专题07 分类讨论思想在分段函数中的应用【高考地位】分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，它在人类的思维发展中起着重要的作用. 分类讨论思想实际上是一种化整为零、化繁为简、分别对待、各个击破的思维策略在数学解题中的运用. 主要涉及分段函数的求值、单调性和含参数的函数的单调性和最值问题.分类讨论思想，可培养逻辑思维能力和抽象思维能力和严密的思考问题的能力。
类型一 分段函数例1 函数 ，若实数a 满足=1，则实数a 的所有取值的和为（ ） A ．1 B ．C． D ． 【答案】C【解析】第一步，通过观察分析，决定如何对自变量进行分类：令0log 2=a 和0142=++a a 得，，，32321+-=--==a a a第二步 通过运算、变形，利用常见基本初等函数，将问题转化为几段加以求解； 若1>a 则()a a f 2log =，所以()()()1log log 22==a a f f ，所以4=a ； 若10≤<a 则()a a f 2log =，所以()()()11log 4log 222=++=a a a f f ，22log ,0()41,0x x f x x x x >⎧=⎨++≤⎩(())f f a 1716-1516--2-所以0log 2=a 或-4log 2=a ，即1=a 或161=a ； 若032≤<+-a 则()142++=a a a f ，所以()()()114log 22=++=a a a f f ，所以52+-=a （舍）或52--=a （舍）；若3232+-≤≤--a 则()142++=a a a f ，所以()()()()1114414222=++++++=a a a a a f f ，所以32+-=a 或32--=a ；若32--<a 则()142++=a a a f ，所以()()()114log 22=++=a a a f f ，所以52+-=a （舍）或52--=a ； 第三步 得出结论.所以a 所有可能值为161,32,32,1,52,4+-----，其和为51615--，故选C ．【变式演练1】在函数22, 1, 122, 2x x y x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩中，若()1f x =，则x 的值是（ ）A ．1B ．312或 C ．1± D【答案】C 【解析】试题解析：当1x ≤- 时，211x x +=⇒=-；当12x -<<时，211x x =⇒=；当2x ≥时，1212x x =⇒=（舍）.考点：本题考查函数性质例2 已知函数()[)()232,0,32,,0x x f x x a a x ⎧∈+∞⎪=⎨+-+∈-∞⎪⎩在区间(),-∞+∞上是增函数,则常数a 的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．(][),12,-∞+∞C ．[]1,2D ．()(),12,-∞+∞【答案】C【解析】第一步，通过观察分析，决定如何对自变量进行分类： 由题意可得自变量的分界点为0；第二步，通过运算、变形，利用常见基本初等函数，将问题转化为几段加以求解：易判断2y x =在区间[)0,+∞单调递增，因为()f x 在(),-∞+∞上是增函数，所以函数3232y x a a =+-+在(),0-∞单掉递增； 第三步，得出结论：所以只需满足2320a a -+≤，解得：12a ≤≤，所以答案为C ． 考点：1．分段函数；2．函数的单调性．点评：本题考查了分段函数的单调性，渗透着分类讨论的数学思想，考查学生正确理解函数的单调性的概念，其解题的关键点有二：其一是分段函数在每一个区间上的增函数（或减函数）；其二是满足函数在整个区间上是增函数（或减函数），即左段的函数的最大值（或最小值）小于等于右段函数的最小值（或最大值）. 【变式演练2】【甘肃省张掖市第二中学2020-2021学年高三第一学期10月月考数学（理）】已知函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若()()()f a f b a b =<，则b a -的取值范围为（ ） A ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．70,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．90,8⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．150,8⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B 【分析】根据分段函数的单调性以及()()()f a f b a b =<，可得11,128a b ≤<≤≤且122log 2b a +=，令122log 2b a k +==，则24k <≤，然后用k 表示,a b ，再作差，构造函数，并利用单调性可求得结果.【详解】因为函数()f x 在1[,1)8上递减，在[1,2]上递增，又()()()f a f b a b =<，所以11,128a b ≤<≤≤，且122log 2b a +=，令122log 2b a k +==，则24k <≤，所以212k a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log b k =，所以221log 2k b a k -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，设函数221()log 2x g x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(2,4]x ∈，∵()g x 在(]2,4上单调递增， ∵(2)()(4)g g x g <≤，即70()4g x <≤， ∵70,4b a ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦，故选：B ．例3 ⎪⎩⎪⎨⎧>++≤-=,0,1,0,)()(2x a x x x a x x f 若)0(f 是)(x f 的最小值，则a 的取值范围为（ ）. (A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D) [0,2] 【答案】D【解析】第一步，通过观察分析，决定如何对自变量进行分类： 由题意可得自变量的分界点为0和1；第二步，通过运算、变形，利用常见基本初等函数，将问题转化为几段加以求解： 因为当0x >时，1()f x x a x=++在1x =时取得最小值2a +， 由题意当0x ≤时，2()()f x x a =-应该是递减的，则0a ≥，此时最小值为2(0)f a =，第三步，得出结论：因此22a a ≤+，解得02a ≤≤，选D ． 考点：分段函数的单调性与最值问题．【变式演练3】已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是 ． 【答案】0，3-22. 【解析】0)1())3((==-f f f ，当1≥x 时，322)(-≥x f ，当且仅当2=x 时，等号成立，当1<x 时，0)(≥x f ，当且仅当0=x 时，等号成立，故)(x f 最小值为322-. 考点：分段函数类型二 含参数函数的最值问题例4已知函数()y f x =是二次函数，且满足(0)3f =，(1)(3)0f f -== （1）求()y f x =的解析式；（2）若[,2]x t t ∈+，试将()y f x =的最大值表示成关于t 的函数()g t ．【答案】（1）2()23f x x x =-++；（2）2223(1)()4(11)23(1)t t t g t t t t t ⎧--+≤-⎪=-<<⎨⎪-++≥⎩． 【解析】试题分析：（1）由已知(1)(3)0f f -==，因此二次函数的解析式可设为()(1)(3)f x a x x =+-；（2）由于二次函数的最大值与对称轴有关，而且本题中二次项系数为负（图象是开口向下的抛物线），因此要分三类求最大值，即对称轴在区间的左边，在区间上，在区间的右边，分别求解，最后得()g t 是一个分段函数形式．试题解析：（1）由题可设()(1)(3)f x a x x =+-， 又(0)3f =，得a ＝－1，得2()23f x x x =-++ （2）第一步，通过观察函数的特征，分析参数的位置在什么位置： 由题意可得：参量在区间的端点；第二步，通过讨论含参函数的单调性和已知区间之间的关系进行分类讨论：由（1）知，()y f x =的对称轴为01x =，若1t ≥，则()y f x =在[,2]t t +上是减函数，若12t t <<+，即11t -≤≤，则()y f x =在[)1,t 上是增函数，在[]21+t ，是减函数， 若21t +≤，即1t ≤-，则()y f x =在[,2]t t +上是增函数；第三步，根据含参函数的图像与性质可判断函数在区间上的单调性，并根据函数的单调性求出 其最值：若1t ≥，则()y f x =在[,2]t t +上是减函数，2max ()23y f t t t ==-++…8分若21t +≤，即1t ≤-，则()y f x =在[,2]t t +上是增函数，2max (2)23y f t t t =+=--+若12t t <<+，即11t -≤≤，则max (1)4y f == 第四步，得出结论：故 2223(1)()4(11)23(1)t t t g t t t t t ⎧--+≤-⎪=-<<⎨⎪-++≥⎩考点：二次函数的解析式，二次函数的最值．【名师点睛】（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解． 【变式演练4】【天津市静海区2020-2021学年高三上学期第一次月考】已知函数(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．[)4,8C ．()4,8D ．()1,8【答案】B 【分析】只需使原函数在()1,+∞和(],1-∞上都递增，且端点处的函数值符合要求即可. 【详解】若函数(),142,12xa x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩在R 上递增，则只需满足1402422a aa a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪⎛⎫≥-+ ⎪⎪⎝⎭⎩， 解得：48a ≤<. 故选：B.例5.设函数2(),,f x x ax b a b R =-+∈．（1）当2a =时，记函数|()|f x 在[0，4]上的最大值为()g b ，求()g b 的最小值；（2）存在实数a ，使得当[0,]x b ∈时，2()6f x ≤≤恒成立，求b 的最大值及此时a 的值．【答案】（1）92；（2）2a ＝ 【解析】试题分析：（1）当2a =，2()2f x x x b =-+,对称轴为01x =．所以()f x 的最大值|1|,|1||8|()max{|(1)(4)|}|8|,|1||8|b b b g b f f b b b --≥+⎧==⎨+-<+⎩|,|，即可得到()g b 的最小值．（2）显然0b >．22()24a a f x x b ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭．然后再对<02a ，2a b >和02a b ≤≤进行分类讨论，借助函数的单调性即可求出结果．试题解析：（1）第一步，通过观察函数的特征，分析参数的位置在什么位置： 由题意可得：参量在函数的常量位置；第二步，通过讨论含参函数的单调性和已知区间之间的关系进行分类讨论：当2a =，2()2f x x x b =-+,对称轴为01x =．所以()f x 在[]20，上单调递减，在(]42，上单调递增， 第三步，根据含参函数的图像与性质可判断函数在区间上的单调性，并根据函数的单调性求出 其最值：所以()f x 的最大值|1|,|1||8|()max{|(1)(4)|}|8|,|1||8|b b b g b f f b b b --≥+⎧==⎨+-<+⎩|,|， 第四步，得出结论：即可得到()g b 的最小值，所以()g b 的最小值为92． （2）第一步，通过观察函数的特征，分析参数的位置在什么位置： 由题意可得：参量在函数的对称轴和常量位置；第二步，通过讨论含参函数的单调性和已知区间之间的关系进行分类讨论：∵当<02a时，函数()x f y =在[]b ，0上为增函数， ∵当2ab >时，函数()x f y =在[]b ，0上为减函数，∵当02ab ≤≤时，函数()x f y =在[]b ，0上先减后增， 第三步，根据含参函数的图像与性质可判断函数在区间上的单调性，并根据函数的单调性求出 其最值：∵当<02a 时，只需满足()()⎩⎨⎧+-==bab b b f b f 20由0a <及2b ≥，得()26f b b b >≥＋，与()6f b ≤矛盾． ∵当2a b >时，只需满足()()206 2.f b f b b ab b =≤⎧⎪⎨=-+≥⎪⎩由20a b >>，得22ab b <－－，∵222111()2244f b b b b b ⎛⎫<-+=--+≤ ⎪⎝⎭，与()2f b ≥矛盾．∵当02a b ≤≤时，只需满足()()22206,224624f b a a fb a a f b b b ⎧⎪=≤⎪⎪⎪⎛⎫=-≥⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪=-+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩①，②，③第四步 得出结论.由∵，∵得26b ≤≤．由∵，∵得2-+262a b ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，又02a b ≤≤，∵022a b ≤-≤，即022a b ≤-≤，再结合∵得222()24a b b ≤≤-，∵∵23b ≤≤．当3b ＝时，由∵得2a ＝，此时满足∵，∵，∵及02ab ≤≤． 综上所述，b 的最大值为3，此时2a ＝．考点：1．二次函数的性质；2．函数的单调性；3．分类讨论思想．【变式演练5】【2018年全国普通考试理科数学（北京卷）】设函数f(x)=[ax 2−(4a +1)x +4a +3]e x ∵ （1）若曲线y =f (x )在点（1，f(1)）处的切线与x 轴平行∵求a ∵（2）若f(x)在x =2处取得极小值，求a 的取值范围∵【答案】(1) 1 (2)（12，+∞）【解析】（∵）因为f(x)=[ax 2−(4a +1)x +4a +3]e x ∵ 所以f ′∵x ∵=∵2ax –∵4a +1∵∵e x +∵ax 2–∵4a +1∵x +4a +3∵e x ∵x ∵R ∵ =∵ax 2–∵2a +1∵x +2∵e x ∵ f ′(1)=(1–a )e∵由题设知f ′(1)=0，即(1–a )e=0，解得a =1∵ 此时f (1)=3e≠0∵ 所以a 的值为1∵∵∵∵由∵∵∵得f ′∵x ∵=∵ax 2–∵2a +1∵x +2∵e x =∵ax –1∵(x –2)e x ∵ 若a >12，则当x ∵(1a ∵2)时，f ′(x )<0∵ 当x ∵(2∵+∞)时，f ′(x )>0∵ 所以f (x )<0在x =2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∵(0∵2)时，x –2<0∵ax –1≤12x –1<0∵ 所以f ′(x )>0∵所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是（12∵+∞∵∵点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.【高考再现】1.【2020年高考天津卷9】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ）A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,(0,22)2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞【答案】D【思路导引】由(0)0g =，结合已知，将问题转化为|2|y kx =-与()()||f x h x x =有3个不同交点，分0,0,0k k k =<>三种情况，数形结合讨论即可得到答案．【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点． 因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩， 当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意； 当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意； 当0k >时，如图3，当2y kx =-与2yx 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =，所以k >-∞+∞，故选D．综上，k的取值范围为(,0)(22,)【专家解读】本题的特点是函数图象及其现在的灵活运用，本题考查了函数与方程的应用，考查数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想方法，考查数学运算、直观想象、数学建模等学科素养．解题关键是正确作出函数图象，应用函数图象及其性质解决问题．2.【2017天津理】已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是（A）（B）（C）（D）【答案】当时，(*)式为，，又（当时取等号），（当时取等号），所以，综上．故选A．【考点】不等式、恒成立问题【名师点睛】首先满足转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围.3.【2016高考浙江文数】已知函数f（x）=x2+bx，则“b<0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A考点：充分必要条件.【方法点睛】解题时一定要注意时，是的充分条件，是的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化．4.【2017年全国普通考试理科数学】已知函数()23,1,{ 2, 1.x x x f x x x x -+≤=+>设a R ∈，若关于x 的不等式()2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ． 47,216⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ． 4739,1616⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．2⎡⎤-⎣⎦ D ．3916⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】不等式()2x f x a ≥+为()()2xf x a f x -≤+≤ (*)， 当1x ≤时，(*)式即为22332x x x a x x -+-≤+≤-+， 2233322x x a x x -+-≤≤-+， 又22147473241616x x x ⎛⎫-+-=---≤- ⎪⎝⎭（14x =时取等号），p q ⇒p q q p223339393241616x x x ⎛⎫-+=-+≥ ⎪⎝⎭（34x =时取等号）， 所以47391616a -≤≤， 当1x >时，(*)式为222x x a x x x --≤+≤+， 32222x x a x x--≤≤+，又323222x x x x ⎛⎫--=-+≤- ⎪⎝⎭x =，222x x +≥=（当2x =时取等号），所以2a -≤≤，综上47216a -≤≤．故选A ． 【考点】不等式、恒成立问题【名师点睛】首先满足()2x f x a ≥+转化为()()22x xf x a f x --≤≤-去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对x 的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据x 的范围，利用极端原理，求出对应的a 的范围.5. 【2015高考陕西，文4】设，则（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】【解析】因为，所以，故答案选 【考点定位】1.分段函数；2.复合函数求值.10()2,0xx f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩((2))f f -=1-141232C 21(2)24f --==111((2))()11422f f f -===-=C【名师点睛】1.本题考查分段函数和复合函数求值，此题需要先求的值，继而去求的值；2.若求函数的值，需要先求的值，再去求的值；若是解方程的根，则需先令，即，再解方程求出的值，最后在解方程；3.本题属于基础题，注意运算的准确性.【反馈练习】1．【江西省新余市第一中学2021届高三第四次模拟考试数学（文）】已知函数21log (),0()2,0xx x f x x +-<⎧=⎨>⎩，则(1)(1)f f -+=（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B 【分析】根据分段函数分别求出()1f 和()1f -的值，即可求解. 【详解】因为21log (),0()2,0xx x f x x +-<⎧=⎨>⎩所以()1122f ==，()()211log 1101f -=+--=+=⎡⎤⎣⎦，所以()()11123f f -+=+=，故选：B2．【广西北海市2021届高三第一次模拟考试数学（理）】已知函数2log ,0()34,0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，则(1)(1)f f --=(2)f -((2))f f -[()]f f a ()f a [()]f f a [()]f f x a =()f x t =()f t a =()f t a =t ()f x t =A ．-7B ．2C ．7D ．-4【答案】A 【分析】根据解析式，分别求出(1)f 和(1)f -，即可得出结果. 【详解】因为2log ,0()34,0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩， 所以2(1)log 10f ==，()(1)3417f -=--=， 因此(1)(1)7f f --=-. 故选：A.3.已知函数()()837,8,8x a x x f x ax -⎧--≤=⎨>⎩，若数列{}n a 满足()()*n a f n n N=∈，且{}na 是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,3B ．17,39⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．17,39⎛⎫⎪⎝⎭D ．[)2,3【答案】C 【分析】由题意可得分段函数()f x 在每一段都是单调递增且98a a >，即可得解. 【详解】因为函数()()837,8,8x a x x f x ax -⎧--≤=⎨>⎩，()()*n a f n n N=∈，且{}na 是递增数列，则()981837a a a -⎪>⎨⎪>--⎩，解得1739a <<. 故选：C. 【点睛】在处理函数与数列的综合问题时，要注意数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点.4.【云南省红河州2021届高中毕业生第一次复习统一检测数学（文）】已知函数()()101,012,1x f x x x f x x -≤<=-≤<⎨⎪-≥⎪⎩，若函数()()()01g x f x k k =-≤≤的所有零点从小到大依次成等差数列，则()g x 的零点一定不包含（ ）A．20192-B ．2019C ．2020D．20202+【答案】D 【分析】根据题意，得出当0k =时，()g x 的零点为1-，1，3，5，…，都是奇数，此时包含2019，当1k =时，()g x 的零点为0，2，4，…，都是偶数，进而讨论即可求解 【详解】解析由条件知()f x 是周期为2的周期函数，函数()g x 的零点即曲线()y f x =与直线y k =的交点的横坐标作图如下，由图可知，当0k =时，()g x 的零点为1-，1，3，5，…，都是奇数，此时包含2019，当1k=时，()g x 的零点为0，2，4，…，都是偶数，此时包含2020，当k =()g x的零点为1，22-…，此时包含20192-，因此()g x的零点一定不包含20202+. 故选D5.【宁夏银川一中2021届高三第四次月考数学（理科）】已知函数()3244,0(),0x x a x a x f x a x ⎧+-+->⎪=⎨≤⎪⎩，是单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,2) B ．(1,3] C ．[2,3] D ．[3,)+∞【答案】C 【分析】结合已知分段函数的单调性及每段函数单调性的要求进行求解即可. 【详解】由()32()44f x x a x a =+-+-，0x >，可知()22()340f x x a '=+-≥在0x >时恒成立，故240a -≥即2a ≥或2a ≤-，根据分段函数的性质可知，204014a a a a ⎧-≥⎪>⎨⎪-≥⎩，解可得，23a ≤≤.故选：C.6.【河南省2020届高三（6月份）高考数学（文科）质检】已知函数2,0,(),0,x x e e x f x x x -⎧->=⎨-⎩若0.013335,log 2,log 0.92a b c ===，则有（ ） A ．()()()f b f a f c >> B ．()()()f c f a f b >>C ．()()()f a f c f b >>D ．()()()f a f b f c >>【答案】D【分析】 先得到函数()f x 在R 上单调递增，然后比较,,a b c 的大小，从而得到结果【详解】因为2,0,(),0,x x e e x f x x x -⎧->=⎨-⎩，当0x >时，()x x f x e e -=-单调递增，且()00f =， 当0x ≤时，()2f x x =-，在(],0-∞上单调递增，且()00f =，所以函数()f x 在R 上单调递增，又由0.01351,0log 1,0a b c =><=<<，所以a b c >>，所以()()()f a f b f c >>.故选：D7.【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】已知函数()2121f x ax x ax =+++-（a R ∈）的最小值为0，则a =（ ）A ．12B ．1-C ．±1D ．12± 【答案】C【分析】设()()()()2121g x h x ax g x h x x ax ⎧+=+⎪⎨-=+-⎪⎩，计算可得()()()()()()()2,2,g x g x h x f x h x g x h x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，再结合图像即可求出答案.【详解】设()()()()2121g x h x ax g x h x x ax ⎧+=+⎪⎨-=+-⎪⎩，则()()221g x x ax h x x ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩， 则()()()()()()()()()()()2,2,g x g x h x f x g x h x g x h x h x g x h x ⎧≥⎪=++-=⎨<⎪⎩， 由于函数()f x 的最小值为0，作出函数()(),g x h x 的大致图像，结合图像，210x -=，得1x =±，所以1a =±.故选：C8．【贵州省贵阳市四校2021届高三上学期联合考试】在区间[-2，2]随机取一个数x ，则事件“2,(0)1,(0)x x y x x ⎧≤=⎨+>⎩，且1,22y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦”发生的概率为（ ） A ．78 B ．58 C ．38 D ．12【答案】D【分析】根据已知条件，求事件“2(0)1(0)x x y x x ⎧=⎨+>⎩，且1[,2]2y ∈”发生时x 的取值范围，代入几何概型计算公式，即可求出答案．【详解】事件“2(0)1(0)x x y x x ⎧=⎨+>⎩，且1[,2]2y ∈” 由题可知，该分段函数是一个增函数，1[,2]2y ∈，此时[1x ∈-，1]， 所以该事件发生的概率1(1)12(2)2P --==--． 故选：D ．9.【安徽省宿州市泗县第一中学2020届高三下学期最后一卷数学（文）】已知函数()22log ,012,04x x f x x x x ⎧>⎪=⎨++≤⎪⎩，方程()f x a =有四个不同根1x ，2x ，3x ，4x ，且满足1234x x x x <<<，则221323432x x x x x x +-的取值范围是（ ）A．)⎡+∞⎣ B．1298⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．9,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．9129,28⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】作出函数()y f x =的图象，可得出当直线y a =与函数()y f x =的图象有四个交点时a 的取值范围，求出实数3x 的取值范围，将代数式221323432x x x x x x +-转化为关于3x 的函数，利用双勾函数的基本性质求出221323432x x x x x x +-的取值范围. 【详解】作出函数图像可得1222+=-x x ，2324log log x x -=从而得341x x =，且()23–log 1,2x ∈，从而得()312,4x ∈，所以()22231221323432233311222x x x x x x x x x x x x ++-=-=+，令231t x =则()4,16t ∈，2y t t =+在()4,16上递增，所以9129,28y ⎛⎫∈⎪⎝⎭. 故选：D. 10．【上海市闵行区2021届高三上学期一模】已知定义在[0,)+∞上的函数()f x 满足()()151,0222,2x x f x f x x ⎧--≤<⎪=⎨--≥⎪⎩.设()f x 在[)()*22,2n n n -∈N 上的最大值记作n a ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则n S 的最大值为___________.【答案】64【分析】根据函数的解析式，分别求得123,,,a a a ，得出172n a n =-，结合等差数列的性质和前n 项和公式，即可求解.【详解】由题意，函数()()151,0222,2x x f x f x x ⎧--≤<⎪=⎨--≥⎪⎩， 当1n =时，[0,2)x ∈，此时()151f x x =--，此时函数()f x 在[0,2)上的最大值为()1151115f =--=，所以115a =，当2n =时，[2,4)x ∈，此时()()22f x f x =--，此时2[0,2)x -∈，所以()()2215212133f x f x x x =--=----=--，此时函数()f x 在[2,4)[0,2)上的最大值为()3133313f =--=，所以213a =，当[22,2)x n n ∈-时，()15[(22)]2(1)15(22)12(1)f x f x n n x n n =-----=------， 此时函数()f x 的最大值为()172f n n =-，所以172n a n =-，当18,n n N +≤≤∈时，0n a >，当9,n n N +≥∈时，0n a <，所以n S 的最大值为8818()8(151)6422a S a +⨯+===. 故答案为：64.。
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