专题07 分类讨论思想在分段函数中的应用-学会解题之高三数学万能解题模板(2021版)(原卷版)

函数应用问题【高考地位】应用题是指利用数学知识解决一些非数学领域中的问题，在近几年全国各地高考中经常出现。

数学的高度抽象性决定了数学应用的广泛性，因而应用题的非数学背景是多种多样的，解应用题往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的有关问题，并舍弃与数学无关的非本质因素，通过抽象转化成相应的数学问题，或许正是这个原因让学生比较惧怕数学应用题。

在高考中要处理好函数应用题，学会数学建模分析的步骤和掌握数学建模的具体方法是关键.方法 解函数应用题的一般步骤万能模板 内 容使用场景 函数的实际应用问题解题模板第一步 审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步 建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步 解模——求解数学模型，得到数学结论；第四步 还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步 反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.例1.已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品x 千件()025x <≤并全部销售完，每千件的销售收入为()R x 万元，且()21108,(010)3{ 17557,(1025)x x R x x x x-<≤=-++<≤.⑴ 写出年利润()f x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；⑴ 当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？（注：年利润＝年销售收入-年总成本）.【答案】(1)详见解析;(2) 9千件.【解析】第一步，审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；某公司的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品x 千件()025x <≤并全部销售完，每千件的销售收入为()R x 万元，且()21108,(010)3{ 17557,(1025)x x R x x x x-<≤=-++<≤. 第二步，建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 当010x <≤时，第三步，解模——求解数学模型，得到数学结论；第四步，还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步，反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.考点：1、函数的解析式及定义域；2、函数的单调性．【点评】(1)由年利润＝年销售收入-年总成本，结合()R x ，即可得到所求()f x 的解析式；(2)由()1的解析式，我们求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到结果。

分类讨论思想在数学教学中的应用分类讨论思想是近年来在数学教学中越来越广泛应用的思维方式，其基本思想是将问题分解成不同的情况，分别讨论解决，最终得出总解。

分类讨论思想在数学中有着广泛的应用，下面将从数学初中数学和高中数学两个角度来探讨分类讨论思想在数学教学中的应用。

一、初中数学中的应用1. 基础理论-排列组合排列组合是初中数学学习中的重难点，其中就包涵着分类讨论思想。

比如要求n个人分成两组，可以分为选了0/1/2/...n个人放入第一组，其他人放入第二组四种情况，然后再分别计算每种情况的方案数，最后累加起来即可得到总方案数。

2. 几何证明-勾股定理中学数学教学中勾股定理是不可或缺的，而且勾股定理的证明中分类讨论思想也起到了关键作用。

证明勾股定理可以分两种情况讨论：①直角在斜边上②直角不在斜边上。

在第一个情况下，可以假设直角点C在斜边AB上，然后按照三边关系计算AC和BC的平方和是否等于AB的平方。

而在第二种情况下，可以将三角形的一边作为底边D，将BD切成两段分别作为AB和AC，然后继续按照三边关系推导。

3. 统计与概率-树形图统计与概率中经典的树形图也是分类讨论思想在数学中的应用之一。

使用树形图可以很好地将概率事件的条件和不同情况列举出来，并计算各种情况下事件的概率。

1. 实数实数中有两类数：有理数和无理数，而无理数又有代数无理数和超越无理数，其中代数无理数可分为有理根和无理根两种情况。

分类讨论思想在这个方面可以非常清晰地展现出来：①有理数②代数无理数③超越无理数。

因为这些数之间存在巨大的不同，通过这种分类思想可以更加清晰地理解它们之间的关系。

2. 函数函数是高中数学中一个非常重要的概念，而分类讨论思想也在函数教学中扮演着重要角色。

比如，分段函数就可以通过将定义域分成不同的区间，分别定义函数的形式来讨论每个区间内的函数情况。

这样可以使学生更加清晰地认识函数的形式和作用，也更加容易学习和理解。

3. 解析几何解析几何中的分类讨论思想通常可分为两类：①平面几何上的情况②空间几何上的情况。

分类讨论思想在数学学习中的运用分类讨论思想，是一种对特定题型可能出现的不同情况分不同条件分析讨论进而得出结论的思想，即当题目不能在唯一的情况下进行讨论时，这时就要根据特定的标准将此题人为地划分为若干部分，然后再对各个部分分别求解，最后综合部分解题过程得到答案。

在一些题目中，特别是涉及函数、数列、几何等的题型，只针对一方面进行思考无法得出完整的答案，这就需要学生们进行分类讨论。

其实质是一种逻辑划分的思想，是一种“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略，属于思维的范畴，体现出的是一种对数学问题的认识、处理和解决的能力。

分类讨论的具体步骤：1．准确识别出所要讨论的对象，同时明确它的范围；2．确定分类依据，并在此基础上分类，使之不重复也不遗漏；3．逐个攻坚，获取阶段性的结论；4．进行归纳总结，得出完整答案。

一、分类讨论的基本原则能得出完整答案的前提条件是要能准确地利用分类讨论方法，在运用此法分析题目的思考过程中，应确保分类依据的统一性、互斥性、代表性，做到不重、不漏，然后再考虑如何使分类变得更精简，更易于我们下一步的操作。

为了确保分类的准确性，需要遵循如下原则。

1．分类标准的统一性。

分类讨论的难点在于学生不好把握开始讨论的时机，即心中不清楚为何讨论、又从哪方面开始进行，等等。

这就要求我们需要完全理解吃透所用的概念、定理、定义，全面地考虑题目给的条件。

通常情况下，含参数的一元二次不等式的判别式、项的系数、根的大小等，常常是分类讨论划分的依据，学生们也要善于总结这些划分的关键点。

举个例子，根据角的特点把三角形分为锐角、直角、钝角三角形是完全符合要求的。

但是假如把锐角三角形、直角三角形、等边三角形、等腰三角形、钝角三角形等划分在一起，此种分类方法同时用了按边、按角分类两种方法。

要不就按边分，要不就按角分，应该只用一种标准，因此这种分类方法是不正确的。

2．分类标准的互斥性。

各个分类的集合应该彼此互相排斥，即避免各个分类中出现相重合的部分，要不然会造成重复讨论，违背分类讨论的原则。

利用分段函数求解问题数学作为一门基础学科，对于中学生来说是必修的科目之一。

在学习数学的过程中，我们经常会遇到一些与实际问题相关的题目，而分段函数就是解决这类问题的有效工具之一。

在本文中，我将以一些具体的例子来说明如何利用分段函数来解决问题。

一、购买书籍的费用计算假设小明去书店买书，书店的价格策略如下：第一本书的价格为10元，第二本书的价格为8元，第三本及以后的书的价格为6元。

现在小明想知道他买了n本书后一共需要花多少钱。

我们可以用分段函数来解决这个问题。

设x表示买的书的数量，y表示花费的总金额。

根据题意，我们可以列出如下的分段函数：y = 10x，当x = 1；y = 10 + 8(x-1)，当x > 1。

这样，当小明买了1本书时，花费的总金额就是10元；当小明买了2本书时，花费的总金额就是10 + 8 = 18元；当小明买了3本书时，花费的总金额就是10 +8(3-1) = 26元。

以此类推，我们可以通过这个分段函数得出小明买了n本书后的花费总金额。

二、温度的转换在物理课上，我们学习了摄氏度与华氏度之间的转换关系。

假设现在我们需要将一个给定的温度从摄氏度转换为华氏度，转换公式如下：F = 9/5C + 32，当C ≤ 0；F = 9/5C + 32，当C > 0。

其中，F表示华氏度，C表示摄氏度。

根据这个分段函数，我们可以很方便地进行温度转换。

例如，如果给定的温度为-10摄氏度，那么根据分段函数，我们可以得到：F = 9/5(-10) + 32 = 14华氏度。

同样地，如果给定的温度为30摄氏度，那么根据分段函数，我们可以得到：F = 9/5(30) + 32 = 86华氏度。

通过这个分段函数，我们可以快速准确地进行摄氏度与华氏度之间的转换。

三、手机话费的计算假设小红每个月的手机话费计费方式如下：前50分钟每分钟收费0.5元，超过50分钟的部分每分钟收费0.3元。

现在小红想知道她每个月的话费总额。

专题七 分段函数的性质与应用分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化。

即“分段函数——分段看” 一、基础知识：1、分段函数的定义域与值域——各段的并集2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。

3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性。

如果不便作出，则只能通过代数方法比较()(),f x f x -的关系，要注意,x x -的范围以代入到正确的解析式。

4、分段函数分析要注意的几个问题（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。

否则是断开的。

例如：()221,34,3x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩，将3x =代入两段解析式，计算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。

再比如 ()221,31,3x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。

（2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数。

例如：()13f x x =-+，可转化为：()13,113,1x x f x x x -+≥⎧=⎨-+<⎩ 5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。

专题7分类讨论思想在分段函数中的应用【高考地位】分段函数是高中数学中一类重要的函数类型，不仅能考查函数的概念、表示及性质，而且能有效考查学生分类讨论的数学思想方法，培养逻辑思维能力和抽象思维能力和严密的思考问题的能力，因此掌握分 段函数的几类常见问题是必要的，下面针刈•分段函数的特征归纳三类问题：求值问题、单调性问题和最值 问题。

【方法点评】类型一求值问题使用情景：分段函数的求值问题类型二单调性问题使用情景：分段函数的单调性问题解题模板：第一步通过观察分析，袂圧如何对白变量进行分类;第二步通过运算、变形，利用对数运用.指数运算等，将问题转化为对数型方程、指数型方程等类型加以求解;第三步得出结论.例1已知函数f(x) =2x+a,x< I1呃21'若/叫则2()A. 16B. 15C. 2【变式演练1】在函数y =x + 2, x<-1x 2, -l<x<2 中,2X 9 X >2若f(x) = 1,则兀的值是(A. 1C- ±1D. V3【变式演练2】函数f(x) =log 2 X, x 2 +4x + l,x>0x<0若实数a 满足/(/«))=1，则实数a 的所有取值的和为A. 1B.・J1615C16D. -2解题模板：第一步通过观察分析，决定如何对自变量进行分类；第二步根据常见函数的单调性，分别计算每段函数的单调性；第三步满足函数在整个区间上是增函数（或减函数），即左段的函数的最大值（或最小值）小于等于右段函数的最小值（或最大值）；第四步得出结论.[X2,XG [0,+8）例2已知函数= j ?+ / 3 +2 0在区问（—T+x）上是增函数,则常数d的取值范围是（）A.(L2)B. (一。

o,l]U[2,+oo)C. [1,2]D. (一。

o」)U(2,+oo)_ Y - 1 A y y V- 八一，若函数J = /(x)在区间(Q, d+1)上单调递增，则实数log2x y x> 4G的取值范围是()A.(_oo , 1 ]B. [1, 4]C. [ 4, +oo )D. (-8, 1 ] U [4, +8 )（3Q-1）X +4Q,X v 1【变式演练4】已知函数f（x） = \在/?是单调函数，则实数Q的取值范围是[log“x, x>l类型三最值问题使用情景：分段函数的最值问题解题模板：第一步通过观察分析，决定如何对自变量进行分类；第二步根据常见函数的最值，分别计算每段函数的最值；第三步满足函数在整个区间上的最值，即比较每段函数的最值大小，谁最大谁是最大值，谁最小谁是最小值；第四步得出结论.例3 设函数g(x) = x2 - 2(XG /?), /(x) 则/(兀)的值域是( ) \g(x)-x y x>g(x)A. [0, +oo)B.[-p+oo)49QC. [--,0]U(l,+oo)D. [--,0]U(2,+oo)44(兀一 兀 SO,例4 /(x) =1 若/(0)是/⑴的最小值，则。

[全]高中数学：分类讨论思想（含详细分析和例题解析）所谓分类讨论，就是当题目所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每个类别级别进行研究，得出每一类的结论，最后将各类结果进行综合，得到整个问题的解答。

分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略。

分类讨论，是一种重要的数学思想，也是一种逻辑方法，同时又是一种重要的解题策略。

在高中数学中，分类讨论时非常重要的一种解题思路，每次高考的数学试卷中，必然会有需要用到这种思想方法的题目。

一、分类讨论的要求及其意义1、分类讨论的要求：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复)；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。

2、分类讨论的因素：(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等。

(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{an}的前n项和公式等。

(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等。

(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等。

(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等。

二、分类讨论思想的原则为了分类的正确性，分类讨论必需遵循一定的原则进行，在中学阶段，我们经常用到的有以下四大原则：(1) 同一性原则：分类应按照同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据。

2022年高考数学函数的微专题复习专题07分段函数的研究一、题型选讲题型一、分段函数的求值问题由于分段函数的解析式与对应的定义域有关，因此求值时要代入对应的解析式。

含有抽象函数的分段函数，在处理里首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）例1、（2021·江西南昌市·高三期末（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()(6)f x f x =-，且当03x ≤<时，21),01()2(2),13a x x f x x x ++≤≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩，其中a 为常数，则(2019)(2020)(2021)f f f ++的值为（）A ．2B ．2-C ．12D ．12-变式1、（辽宁省沈阳市2020-2021学年高三联考）函数21,13()(4),3x x f x f x x --≤<⎧=⎨-≥⎩，则(9)f =______．变式2、（2021·山东临沂市·高三二模）已知奇函数()()31,0,0x x f x g x x ⎧-<⎪=⎨>⎪⎩，则()()12f g -+=（）A ．11-B ．7-C ．7D ．11变式3、（2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟）对于给定正数k ，定义(),()(),()k f x f x kf x k f x k ≤⎧=⎨>⎩，设22()252f x ax ax a a =--++，对任意x ∈R 和任意(,0)a ∈-∞恒有()()k f x f x =，则（）A ．k 的最大值为2B ．k 的最小值为2C ．k 的最大值为1D ．k 的最小值为1题型二、与分段函数有关的方程或不等式含分段函数的不等式在处理上通常是两种方法：一种是利用代数手段，通过对x 进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解。

另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图像的特点解不等式例2、【2018年高考浙江】已知λ∈R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．变式1、（2021·浙江高三期末）已知(),201,0x x f x x x ⎧≥=⎨-+<⎩，则()2f =______；若()2f α=，则α=______．变式2、（2021·山东烟台市·高三二模）已知函数()f x 是定义在区间()(),00,-∞+∞ 上的偶函数，且当()0,x ∈+∞时，()()12,0221,2x x f x f x x -⎧<≤⎪=⎨-->⎪⎩，则方程()2128f x x +=根的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6变式3、（2021·山东高三其他模拟）已知1a <<，212,22()ln(1),21x x x f x x x ⎧-+<≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，则方程24()2(1)()0f x a f x a -++=的解的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5题型三、分段函数的单调性分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。

高中数学函数分段题解题技巧在高中数学中，函数是一个非常重要的概念，而函数的分段则是函数的一种特殊形式。

分段函数在解题过程中常常出现，因此掌握解题技巧是非常重要的。

本文将介绍一些常见的函数分段题解题技巧，帮助高中学生和家长更好地理解和应对这类题目。

首先，让我们来看一个例子：已知函数f(x)如下所示：\[f(x) = \begin{cases}x^2, & x \leq 0 \\2x+1, & x > 0 \\\end{cases}\]我们需要求解f(x)的定义域、值域以及图像。

要求解定义域，我们需要注意到函数的定义域是指函数的自变量取值范围。

在这个例子中，我们可以看到函数f(x)在x小于等于0的时候是x的平方，在x大于0的时候是2x+1。

因此，函数的定义域可以表示为：x ≤ 0 或 x > 0。

也就是说，函数的定义域是整个实数集。

接下来，我们来求解值域。

值域是函数的因变量取值范围。

在这个例子中，我们可以看到当x小于等于0时，函数的值是x的平方，而x的平方是非负数，所以值域是[0, +∞)。

而当x大于0时，函数的值是2x+1，它的取值范围是(-∞, +∞)。

因此，整个函数的值域是(-∞, +∞)。

最后，我们来绘制函数的图像。

由于函数f(x)在x小于等于0和x大于0时的表达式不同，我们需要分别绘制这两部分的图像。

当x小于等于0时，函数的表达式是x的平方，这是一个开口向上的抛物线。

当x大于0时，函数的表达式是2x+1，这是一条斜率为2的直线。

因此，我们可以将这两部分的图像连在一起，得到整个函数的图像。

通过这个例子，我们可以总结出一些解题技巧：1. 注意函数的定义域和值域。

定义域是函数的自变量取值范围，值域是函数的因变量取值范围。

在分段函数中，不同的定义域和值域可能对应不同的表达式。

2. 绘制函数的图像时，需要根据不同的定义域和表达式来绘制不同的部分。

可以先绘制各个部分的图像，再将它们连在一起。

分类讨论的数学思想【考点综述】分类讨论是高中数学的一种重要思想方法，分类讨论的过程是一个逻辑推理的过程：化整为零，各个击破，再积零为整这也是从一般到特殊、再从特殊到般的过程，能培养学生思维的条理性和严密性.逻辑推理是高中数学的六大核心素养之一，指的是从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养.它主要包括两类：从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎.分类讨论是指在解决一个问题时，若无法用同一种方法解决，则可以根据不同情况把问题分类，转化成若干个小问题，再将这些小问题逐一解决，从而使原问题获得解决.【解题方法思维导图预览】【解题方法】解题方法模板：所给的问题比较复杂，需要按照一定的标准进行分类讨论使用情景：较复杂的数学问题解题模板：第一步确定需要讨论的对象和它的取值范围；第二步逐类进行讨论，得出各类结果第三步归纳各类结论，得出结论.实际应用问题模板一：分段函数中的分类讨论思想使用情景：分段函数分类讨论 解题模板：例1已知函数()ln ,012,02xx x f x x >⎧⎪=⎨⎛⎫-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩若(())0f f a ≤，则实数a 的取值范围为___.[]21log 3,0,e e ⎡⎤-⋃⎢⎥⎣⎦解题模板选择：本题中所给的是一个由分段函数解不等式的问题，故选取实际应用问题模板一分段函数中的分类讨论思想进行解答. 解题模板应用：第一步确定需要讨论的对象和它的取值范围；题目中的函数为分段函数，需要对自变量按照函数的解析式分类讨论： 第二步逐类进行讨论，得出各类结果令()0f x ≤，即ln 00x x ≤⎧⎨>⎩或12020xx ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪≤⎩，解得01x <≤或10x -≤≤，(())0f f a ≤，∴()01f a <≤或()10f a -≤≤，∴0ln 10a a <≤⎧⎨>⎩或102120a a ⎧⎛⎫<-≤⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪≤⎩或1ln 00a a -≤≤⎧⎨>⎩或112020a a ⎧⎛⎫-≤-≤⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪≤⎩， 解得2log 30a -≤≤或1a e e ≤≤，第三步归纳各类结论，得出结论.故不等式的解集为：[]21log 3,0,e e ⎡⎤-⋃⎢⎥⎣⎦. 【典型例题】1. 设函数f (x )=()212log ,0log ,0x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()()1,00,1-B. ()(),11,-∞-+∞C. ()()1,01,-⋃+∞D. ()(),10,1-∞-⋃【答案】C 【解析】【分析】由于a 的范围不确定，故应分0a >和0a <两种情况求解.【详解】当0a >时，0a -<，由()()f a f a >-得212log log a a >，所以22log 0a >，可得：1a >，当0a <时，0a ->，由()()f a f a >-得()()122log log a a ->-，所以()22log 0a -<，即01a <-<，即10a -<<， 综上可知：10a -<<或1a >.故选：C2. 已知函数221,0()log ,0x x f x x x ⎧+-≤=⎨>⎩，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是（ ）A. (4][2,)-∞-+∞B. [1,2]-C. [4,0)(0,2]-D. [4,2]- 【答案】D 【解析】【分析】分0a ≤，0a >两种情况进行讨论，结合绝对值不等式的求解以及对数函数的性质即可求出实数a 的取值范围.【详解】当0a ≤时，()211f a a =+-≤，解得40a -≤≤；当0a >时，()22log 1log 2f a a =≤=，解得02a <≤；综上所述，[]4,2a ∈-.故选:D.【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解，考查了对数不等式的求解，考查了分类的思想.3. 已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x 在R 上恒成立，则a 的取值范围为A. []0,1B. []0,2C. []0,eD. []1,e【答案】C 【解析】【分析】先判断0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，转化为ln xa x≤在(1,)+∞上恒成立． 【详解】∵(0)0f ≥，即0a ≥，（1）当01a ≤≤时，2222()22()22(2)0f x x ax a x a a a a a a a =-+=-+-≥-=->， 当1a >时，(1)10f =>，故当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立； 若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，即ln x a x ≤在(1,)+∞上恒成立，令()ln x g x x=，则2ln 1'()(ln )x g x x -=，当,x e >函数单增，当0,x e <<函数单减， 故()()min g x g e e ==，所以a e ≤．当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立； 综上可知，a 的取值范围是[0,]e ，故选C ．【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．4. 已知函数,1()(32)2,1ax f x xa x x ⎧-≤-⎪=⎨⎪-+>-⎩在(),-∞+∞上为增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. 30,2⎛⎤⎥⎝⎦B. 30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】若函数()()13221ax f x x a x x ⎧-≤-⎪=⎨⎪-+>-⎩，，是R 上的增函数，则0320232a a a a ⎧⎪-⎨⎪≤-+⎩＞＞，解得答案.【详解】∵函数()()13221ax f x x a x x ⎧-≤-⎪=⎨⎪-+>-⎩，，是R 上的增函数，，∴0320232a a a a ⎧⎪-⎨⎪≤-+⎩＞＞，解得a ∈312⎡⎫⎪⎢⎣⎭，，故选：C【点睛】本题考查的知识点是分段函数单调性的性质，首先保证每一段单增，再保证分段点处增，属于中档题.5. 设函数222(2)()log (2)x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩，若()7f m =，则实数m 的值为（ ）A. 0B. 1C. 3-D. 3【答案】D【解析】【分析】对m 讨论，分别求出两段中m 的值，注意取舍.【详解】当2m ≥时，2()27f m m =-=，解得：3m =或3m =-（舍去），当2m <时，2()log 7f m m ==，解得：722m =>舍去，综上可得，实数m 的值为：3，故选：D 【点睛】本题主要考查了分段函数，解题的关键是确定自变量的取值范围.实际应用问题模板二：含参型分类讨论使用情景：解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论.例2-A 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，3），B （2，3），及圆C ：（x -a ）2+（y +1）2=15+22a ，若线段AB （包括端点A ，B ）在圆C 的外部，则实数a 的取值范围是 .答案：(()46,-∞++∞解题模板选择：本题中考查圆的方程的应用，需要对具体的参数进行分类讨论，故选取实际应用问题模板二含参型分类讨论进行解答. 解题模板应用：第一步确定需要讨论的对象和它的取值范围； 本题中a 为参数，需要a 的值进行分类讨论， 第二步逐类进行讨论，得出各类结果 （1）若a =0，符合题意.（2若a <0，圆心C （a ，-1）在第三象限，此时只需要点A 在圆C 外即可（恒符合题意）. （3）若0<a <2，圆心C （a ，-1）在第四象限，而且在线段AB 的正下方，此时只需圆C 的半径r <4，解得0a <<（4）若a ≥2，圆心C （a ，-1）在第四象限，此时只需点B 在圆C 外即可符合题意，解得4a >+第三步归纳各类结论，得出结论.综上，实数a 的取值范围是(()46,-∞++∞.【名师点睛】分类讨论是解决含参问题的常用方法，如能运用数形结合思想、函数思想，便可简化分类讨论，达到迅速、准确的解题效果. 例2-B 解不等式（x -1）（x -k ）<0. 答案见解析解题模板选择：本题中考查不等式的解法，需要对具体的参数进行分类讨论，故选取实际应用问题模板二含参型分类讨论进行解答. 解题模板应用：第一步确定需要讨论的对象和它的取值范围； 不等式中k 为参数，需要对k 进行分类讨论. 第二步逐类进行讨论，得出各类结果 当k >1时，则不等式的解为1<x <k ；当k =1时，原不等式变为（x -1）2<0，不等式无解； 当k <1时，则不等式的解为k <x <1. 第三步归纳各类结论，得出结论.综上可得：当k >1时，则不等式的解为1<x <k ；当k =1时，原不等式无解；当k <1时，则不等式的解为k <x <1.【名师点睛】这种分类是根据不等式求解运算的适用范围分类的. 【典型例题】6. 已知函数2()(2)4()f x x a x a R =-++∈ （1）解关于x 的不等式()42f x a ≤-；（2）若对任意的[1,4]x ∈，()10f x a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）答案不唯一，具体见解析.（Ⅱ）4a ≤ 【解析】【分析】（Ⅰ）将原不等式化为()20x a x （）--≤，分类讨论可得不等式的解. （Ⅱ）若1x =则a R ∈；若(]1,4x ∈，则参变分离后可得411a x x ≤-+-在(]1,4恒成立，利用基本不等式可求411x x -+-的最小值，从而可得a 的取值范围. 【详解】（Ⅰ） ()24f x a ≤-+ 即()2220x a x a -++≤，∴ ()20x a x （）--≤，（ⅰ）当2a <时，不等式解集为{}2x a x ≤≤；（ⅱ）当2a =时，不等式解集为{}2x x =； （ⅲ）当2a >时，不等式解集为{}2x x a ≤≤，综上所述，（ⅰ）当2a <时，不等式解集为{}2x a x ≤≤； （ⅱ）当2a =时，不等式解集为{}2；（ⅲ）当2a >时，不等式解集为{}2x x a ≤≤ .（Ⅱ）对任意的[]()1410x f x a ，，∈++≥恒成立，即()2250x a x a -+++≥恒成立，即对任意的[]1,4x ∈，()2125a x x x -≤-+恒成立.①1x =时，不等式为04≤恒成立，此时a R ∈；②当](1,4x ∈时，2254111x x a x x x -+≤=-+--，14x <≤，∴ 013x <-≤ ，∴ 4141x x -+≥=-， 当且仅当411x x -=-时，即12x -=，3x =时取“=”,4a ∴≤ . 综上4a ≤ .【点睛】含参数的一元二次不等式，其一般的解法是：先考虑对应的二次函数的开口方向，再考虑其判别式的符号，其次在判别式于零的条件下比较两根的大小，最后根据不等号的方向和开口方向得到不等式的解．含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离，把恒成立问题转化为不含参数的新函数的最值问题，后者可用函数的单调性或基本不等式来求.7. 已知函数()24f x x mx =++．(1)求函数在区间[]1,2上的最大值max y ；(2)当[]1,2x ∈时，0y <恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)当3m >-时,82max y m =+；当3m ≤-时,5max y m =+ ；(2)5m <-. 【解析】 【分析】（1）分322m -<和322m -≥两种情况，讨论函数的最大值； （2）[]1,2x ∈时，0y <恒成立的等价条件为(1)0(2)0f f <⎧⎨<⎩，求出不等式组的解可确定m 的取值范围．【详解】(1)函数24y x mx =++的图象开口向上，对称轴为2mx =-， 在区间[]1,2上的最大值，分两种情况：①322m -<（3m >-）时，根据图象知，当2x =时，函数取得最大值82max y m =+； ②322m -≥（3m ≤-）时，当1x =时，函数取得最大值5max y m =+.所以，当3m >-时,82max y m =+；当3m ≤-时,5max y m =+.(2)[]1,20x y ∈<，恒成立，只需在区间[]1,2上的最大值0max y <即可，所以(1)0(2)0f f <⎧⎨<⎩，得45m m <-⎧⎨<-⎩，所以实数m 的取值范围是5m <-. 【点睛】本题主要考查含参数的二次函数在给定区间的最大值，分类讨论是解决本题的关键；另外恒成立问题往往通过其等价条件来求解更简单．8. 已知关于x 的不等式()()22454130a a x a x +---+>的解集为R ，求实数a 的取值范围.【答案】119a ≤< 【解析】【分析】按照两种情况讨论：①当2450a a +-=时，可得1a =符合；②当2450a a +-≠时，根据图象的开口方向和判别式列式可解得结果. 【详解】根据题意，分两种情况①当2450a a +-=时，即1a =或5a =-时， 若1a =，不等式变为30>，成立，符合条件；若5a =-，不等式变为2430x +>，解集为1|8x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭，不符合题意.②当2450a a +-≠时，不等式为一元二次不等式，要使解集为R ，则对应二次函数的图象开口只能向上，且2216(1)12(45)0a a a ∆=--+-<，即2450a a +->且2216(1)12(45)0a a a ∆=--+-<，则5a <-或1a >，且220190a a -+<，所以5a <-或1a >，且119a <<，即119a <<，综上，实数a 的取值范围119a ≤<.【点睛】本题考查了分类讨论思想，考查了一元二次不等式恒成立问题，属于基础题. 9. 已知函数2()1()f x ax ax a R =--∈.(1)若对任意实数x ，()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()23f x x <-. 【答案】(1) 40a ;(2)详见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）对a 讨论，0a >时不合题意；0,a =合题意；0a <，利用判别式小于0解不等式，求交集即可得到所求范围；（2）先将不等式()2220ax a x -++<化为()()120x ax --<，再对参数a 的取值范围进行讨论，利用一元二次不等式的解法分别解不等式即可.解析：（1）当0a =时，()10f x =-<恒成立；当0a ≠时，要使对任意实数x ，()0f x <恒成立，需满足()()20410a a a <⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩， 解得40a ，故实数a 的取值范围为40a.（2）由不等式()23f x x <-得()2220ax a x -++<，即()()210ax x --<.方程()()210ax x --=的两根是11x =，22(0)x a a=>. ①当0a <时，20a<，不等式的解为2x a <或1x >；②当0a =时，不等式的解为1x >； ③当02a <<时，21a <不等式的解为21x a<<； ④当2a =时，21a=，不等式无解； ⑤当2a >时，21a >，不等式的解为21x a<<综上：①当0a <时，不等式的解为{x 2x a <或}1x >；②当0a =时，不等式的解为{x }1x >；③当02a <<时，不等式的解为{}21x x a<<；④当2a =时，，不等式解集为∅ ； ⑤当2a >时，不等式的解为{}21xx a<< 【方法点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法、分类讨论思想，属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.10. 对任意x ∈R ，函数()2(4)42f x mx m x m =+-+-的值恒大于零，求m 的取值范围.【答案】不存在这样的实数m ，使函数()f x 的值恒大于零. 【解析】【分析】①当0m =时，函数()f x 的值不恒大于零，舍去；②当0m ≠时，根据一元二次函数的图象与性质，列出不等式组，即可求解.【详解】①当0m =时，函数()44f x x =-+的值不恒大于零，不符合题意，舍去； ②当0m ≠时，要使得对任意x ∈R ，函数()f x 的值恒大于零，则满足()244(42)0m m m m >⎧⎪⎨---<⎪⎩，即20924160m m m >⎧⎨-+<⎩， 此不等式组无解，故m φ∈.综上知，不存在这样的实数m ，使函数()f x 的值恒大于零.【点睛】本题主要考查了一元二次函数的图象与性质的应用，以及一元二次不等式的求解，着重考查分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题.实际应用问题模板三：按性质型分类讨论使用情景：结合数列或函数的性质需要进行分类讨论 解题模板：例3已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =-，则13579a a a a a ++++等于（ ）A.40B.44C.45D.49 B解题模板选择：本题中数列的通项公式的确定与n 相关，需要分类讨论n =1和n ≥2两种情况，故选取实际应用问题模板三按性质型分类讨论进行解答. 解题模板应用：第一步确定需要讨论的对象和它的取值范围；由前n 项和确定数列的通项公式需要对n 进行分类讨论：第二步逐类进行讨论，得出各类结果当n =1时，a 1=0；当n ≥2时，n n a S =-221(1)21n S n n n -=--=-，而n =1时，2n -1=2×1-1=1≠0，所以0,121,2n n a n n =⎧=⎨-⎩， 第三步归纳各类结论，得出结论.所以13579a a a a a ++++=0+5+9+13+17=44，故选：B.【典型例题】11. 在数列{}n a 中，223n S n n =-，则通项公式n a =________．【答案】45n -【解析】【分析】首先利用1n n n a S S -=-得出2n ≥时的通项公式，把1n =代入此通项公式检验也满足，从而得到数列的通项公式.【详解】当1n =时，11231a S ==-=-，当2n ≥时，()()12223213145n n n n n a S S n n n -=---+-=--=， 1n =时，上式也成立，∴45n a n =-，故答案为：45n -.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，熟练掌握数列的递推式1n n n a S S -=-是解本题的关键，属于基础题．12. 设数列{}n a 的前n 项和n S 满足11n n n n S S S S ++=⋅-()n N *∈，且11a =，则n a =_____． 【答案】1,11,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪-⎩【解析】【分析】由11n n n n S S S S ++=⋅-，两本同除以1n n S S +⋅，可构造1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，由此可求出a 1n S n=，再利用1n n n a S S -=-，即可求得n a【详解】由11n n n n S S S S ++=⋅-，得1111n n S S +-= ()n N *∈，1n S ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是以11111S a ==为首相，1为公差的等差数列，11(1)1n n n S ∴=+-⨯=，1n S n∴=， 当2n ≥ 时，11111(1)n n n a S S n n n n -=-=-=---，1,11,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪-⎩【点睛】本题主要考查了由数列的递推关系式，求数列的通项公式，是常考题型，属于中档题. 13. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2+n +2，则a 1+a 3+a 5+a 7＝_____．【答案】34【解析】【分析】根据,n n S a 关系求得n a ，即可赋值得到结果.【详解】因为22n S n n =++，当1n =时，114a S ==；当2n ≥时，()()22121122n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦. 又当14a =不满足上式，故可得4,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩.则135746101434a a a a +++=+++=. 【点睛】本题考查利用n S 求n a ，注意分类讨论，属基础题.14. 设正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项之积为n T ，且1n n S T +=，则数列{}n a 的通项公式是________________. 【答案】1(1)n a n n =+ 【解析】【分析】令1n =可得11112a S T ===，利用n T 的定义，1(2)n n n T S n T -=≥，可得n T 的递推关系，从而得1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求出n T 后可得n S ，从而可得n a ． 【详解】111T a S ==，∴121a =，112a =，即1112S T ==，1(2)n n n T S n T -=≥，∴11n n n T T T -+=，∴1111n n T T --=，即{}n T 是以2为首项，1为公差的等差数列， 故1211n n n T =+-=+，11n T n =+，1n n S n =+，112S =也符合此式，1n n S n =+， ∴当2n ≥时，1111(1)n n n n n a S S n n n n --=-=-=++，又112a =，∴1(1)n a n n =+， 故答案为：1(1)n a n n =+. 【点睛】本题考查求数列的通项公式，解题中注意数列的和、数列的积与项的关系，进行相应的转化．如对积n T 有1(2)n n n T S n T -=≥，对和n S 有1(2)n n n a S S n -=-≥，另外这种关系中常常不包括1n =的情形，需讨论以确定是否一致．15. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2+n ，则a n ＝_____．【答案】2n【解析】【分析】根据数列的通项与前n 项和的关系求解即可.【详解】由题,当1n =时,21112a =+=,当2n ≥时,()()1112n n n a S S n n n n n -=-=+--=.当1n =时也满足.故2n a n =.【点睛】本题主要考查了根据数列的通项与前n 项和的关系求通项公式的方法,属于基础题. 实际应用问题模板四：不确定型分类讨论使用情景：对于一些不确定型的问题，需要进行分类讨论.解题模板：例4设数列1221,,,a a a 满足：11n n a a +-=（n =1，2，…，20），1721,,a a a 成等比数列.若1211,9a a ==.则满足条件的不同数列的个数为 .答案：15099解题模板选择：本题中数列的问题需要确定1和-1的个数，不能确定类型，故选取实际应用问题模板四不确定型分类讨论进行解答.解题模板应用：第一步确定需要讨论的对象和它的取值范围；因为1721,,a a a 成等比数列.所以27121a a a =9=，a 7=±3. 则需要对7a 进行分类讨论.第二步逐类进行讨论，得出各类结果当73a =-时，注意到()71764a a a a -=-=-()()6521a a a a +-+⋯+-，故这6个差中必为5个-1，1个+1所以1721,,,a a a 共有566C =种可能的情况.类似地，由()(21721202012a a a a a =-=-+-)()1987a a a +⋯+-，可知这14个差中必为13个1，1个-1所以7821,,,a a a 共有131414C =种可能的情况.当73a =时，注意到()71762a a a a =-=-+()()6521a a a a -+⋯+-，故这6个差中必为2个-1，4个+1，所以1721,,,a a a ⋯共有2615C =种可能的情况.类似地，由()(2172120206a a a a a =-=-+-)()1987a a a +⋯+-知，这14个差中必为10个+1，4个-1，所以7821,,,a a a 共有10141001C =种可能的情况.所以，a 7=3时，有15×1001=15015个不同的数列. 第三步归纳各类结论，得出结论.综上，满足条件的不同数列的个数为84+15015=15099.【名师点睛】有些题目中的条件开放，使求解结果不唯一，若对这类问题考虑不全面，时常会发生漏解现象.也有些几何问题，因图形的位置不能确定或形状不能确定，必须分类全面讨论.。

高中数学教学中分类讨论思想的应用新疆生产建设兵团第一师高级中学 任光萍高中数学教学中，分类讨论教学思想适用于存在多种解题可能性的题型解答过程当中。

这种题型不可通过一种思维将解答过程描述完整，因此需要将问题按照特定的条件或者标准划分，形成多个独立的问题，最后将所有的解题过程综合起来，确定出结果。

教学环节应用此思想可培养学生的逻辑思维，简化数学问题，为学生解题提供思路，提高解题效率。

一、分类讨论在高中数学教学中的应用要求高中数学中分类讨论教学思想的应用应按照特定要求进行，才能确保分类过程的正确性。

首先，遵循同一性，在同一次分类过程需依照特定标准和依据进行。

其次，遵循互斥性，即分类之后，各个分项代表的含义互相排斥，元素只属于一个子项当中。

再次，遵循相称性，分类之后子项的并集需要和母项子项相等。

最后，遵循层次性，分类过程包括一次、多次分类，其中一次分类之后，对分类对象进行一次讨论；多次分类之后，分别对各个子项展开讨论，并将其作为母项继续分类，直到讨论结果满足要求。

二、高中数学教学分类讨论应用范围在应用分类讨论时，应明确此教学方法的适用范围，掌握正确讨论的因素。

例如，数学概念、性质、定理、公式、图形、参数等问题具有不确定性，因此可应用此解题思想。

其中在概念方面，可按照绝对值、不等式、二次函数、直线倾斜角等限制因素展开分类讨论；在性质方面，可对函数单调性以及不等式等展开讨论；在图形方面，可对指数函数、对数函数、二次函数等图像展开讨论；在参数方面，可针对参数取值的差异性，合理选取数学题型的求解方式。

三、高中数学教学分类讨论的具体应用（一）细分讨论步骤高中数学的逻辑性较强，在教学环节，分类讨论思想的应用需要对讨论类型加以细化，细化讨论步骤，明确此方法的应用方向，促使学生高效运用其解决实际问题。

通常情况下，分步讨论需要三个步骤：首先，对讨论对象的属性加以分析，进一步确定其范畴。

在高中数学中，分类讨论的对象主要有五种，其一，当讨论对象概念或者属性具备分段性质，当涉及讨论对象绝对值、值域时，对象为分段函数或者反比例函数的时候，可进行分类讨论；其二，当讨论对象是各种不确定的值共同组成的图像或者函数时，可进行分类讨论；其三，当讨论对象的运算存在多重性，涉及偶数开平方、除数为零、正负解情况以及向量乘积时，可使用分类讨论；其四，当讨论对象为几何图形时，且图形存在相邻、相交或者相切等关系时，可展开分类讨论；其五，当讨论对象为应用题、消耗问题或者排列组合问题时，可进行分类讨论。

高考数学复习：各分段的提分秘籍和答题模板不同的分数段考生在温习进程中由于完善的方法和单薄点是不同的，所以需求在温习进程中采取不同的措施，下面给大家简明的做一梳理。

1、 80分及以下的考生关于做历年试题、模考题基天分考70分左右，目的分数是90分的同窗来说，做多少标题并不是最重要的，关于这局部考生而言，把基本的知识体系梳理好，考试必考标题的方法整理好这才是最重要的，否那么做多少标题对你现阶段的提分效果都不是太大。

2、 80—90分奔120分的考生这局部考生基础都没有效果，普通缺乏的是知识框架、条理、以及难题的思索和剖析方法，其实要拿到120分并不难，需求考生把选择加填空最多控制在错3个，大题局部，丢分尽量控制在15分的范围内。

依照这个分数布置温习方法。

选择题局部，高考的选择题局部题型考试的方向基本都是固定的，当你在一轮二轮温习进程中总结出标题的出题战略时，答题就变得很复杂了。

比如平面几何三视图，概率计算，圆锥曲线离心率等等试题中都有一些特征，只需掌握思索的切入方法和要点，再适当训练基本就可以片面打破，但是假设不掌握中心方法，单纯做题训练就算做很多标题，打破也十分困难，学习就会进入一个死循环，对照答案可以了解，但自己遇到新的标题任然无从下手。

关于大题方面，基本上三角函数或解三角形、数列、平面几何和概率统计应该是考生努力把分数拿满的标题。

关于较难的原那么曲线和导数两道标题基本要拿一半的分数，考生温习时可把数学大题的每一道题作为一个独立的版块章节，先总结每道大题常考的几种题型，再专项打破外面的运算方法，图形处置方法以及解题的思索打破口，只需把这些都归结到位，那么总结的框架套路，都是可以直接秒刷的标题的。

3、 120 奔140 的考生分数到达120的同窗，知识框架应该有了，做题的套路也有一些了。

那么怎样提高？首先选择填空错误基本控制在1个以内，关于前面压轴解答题到达七成基本就可以了，详细而言考生需求要针对压轴题停止方法层面和题型层面的体系归结，要点是解题进程中的细节运算和做题速度，需求精做一些与高考难度分歧或稍高的典型标题，比如选择一些以前全国各省市的模拟和诊断中的典型标题。

【三维设计】2013届高考数学一轮复习 数学思想活用 巧得分系列分类讨论思想在分段函数中的应用 新人教版[典例] (2011·江苏高考)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为______．[解析] ①当1－a ＜1，即a ＞0时，a ＋1＞1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1－a )＋a＝－(1＋a )－2a ，计算得a ＝－32(舍去)；②当1－a ＞1，即a ＜0时，a ＋1＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1＋a )＋a ＝－(1－a )－2a ，计算得a ＝－34，符合题意．综上所述，a ＝－34. [答案] －34[题后悟道] 解答本题利用了分类讨论思想，由于f (x )为分段函数，要表示f (1－a )和f (1＋a )的值，首先应对自变量1－a 和1＋a 的范围进行讨论，这样才能选取不同的关系式，列出方程，求出a 的值．得出结果后，应注意检验．所谓分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略．针对训练(2013·杭州模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧ x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( ) A ．－3 B ．±3C ．－1D ．±1解析：选D ∵f (a )＋f (－1)＝2，且f (－1)＝1＝1，∴f (a )＝1，当a ≥0时，f (a )＝ a ＝1，a ＝1；当a <0时，f (a )＝－a ＝1，a ＝－1.∴a ＝±1.。

课例分析《分类讨论思想在解决函数问题中的应用》福建莆田六中林金沂为适应二十一世纪科技与经济的发展,培养大批具有高素质的创新型人才,我国正在进行从应试教育向素质教育转轨的伟大改革,并提出在素质教育中着重培养学生的创新精神和实践能力的现代教育目标.如何有效地加强数学思想方法教学的问题,提升一点来说,就是要在所有数学教学活动中,结合具体的数学内容和活动形式,适当进行数学方法论的教育.数学基本知识(如法则、公式、定理、性质、基本方法等)的应用都是有一定条件的,就是说只能在一定的范围内应用它们,当在一个比它需要的条件更广的范围内求解问题时,要应用这些基本知识,就需要把这一更广的范围划分成几个较小的范围,在每个小范围内把问题逐一解决掉,就是“化整为零”、“各个击破”,或者说不同情况要采取不同的方法对待.分类讨论不仅在数学知识的探究和概念学习中十分重要,而且在解决数学问题过程中起着重要帮助.学会用这种思想方法解决问题,对提高学生思维能力、解决问题的能力有很大作用.基于此,提供一堂高三数学复习课的设计和分析.1创设问题情境,明确学习目标1.1课题引入例1求函数22(4)/21(4)x xyx x≥=+<的反函数.这是一道分段函数的反函数问题,由于函数是分段定义的,这表明问题的解决也必须“分段”解决,即通过简单的分类讨论,引入分类讨论的思想、原则和注意事项.1.2问题引伸例2求函数22()/21()x x ayx x a≥=+<的反函数.与例1相似,()f x在[,)x a∈+∞时的反函数为1()()f x x x=+≥;()f x在(,)x a∈∞时的反函数为:1()22()f x x x a=<;那么,能不能说1/21(),()22().x x af xx x a+≥=<1.3展开尝试字母a的引入,问题发生了那些变化,指导学生对字母a的不同取值,通过作出原函数(或反函数)图象加以研究,结合课件演示归纳,直指函数定义,明确了以2a=为分界点进行讨论的解题原则.2开展变式训练,及时反馈调节例3设函数2()22f x ax x=+,对于满足14x<<的一切x值都有()0f x>,求实数a的取值范围.分析1本题为含参数二次函数问题,常规思路是转化为二次函数的最小值,通过对a的不同取值情况进行讨论实现问题的解决(答案:1/2a>).分析2过变量分离得:22212ax x>=2112()2x,问题转化为求该函数的最大值;简化(避免)了讨论的过程.分析3抛物线()f x与x轴相切时,可得a1/2=,相应切点为(2,0),由已知:应有(2)f>,得1/2a>(已满足<0).分析4考查函数2()g x ax=,()22h x x=的图象,要使()0f x>对14x<<恒成立,只须当(1,4)x∈时,()g x的图象在()h x的上方即可,但仍无法解决,通过考查两图象相切,得1/2a=,相应切点为(2,2),此时应有(2)(2)g h>,得1/2a>(己满足<0).变式1改2()22f x x x a=+(其他条件不变,下同);变式2设函数2()22f x x a x=+;变式3设函数2()(2)2f x ax a x=++;变式4设函数22()(6)212f x x a x a a=++.解为分类讨论法,其余解法体现了问:/21a1 10题转化思想,同时,解3与解4通过特殊情况(相切)的研究,从而寻找到问题解决的突破口.变式1,2为解2的巩固,变式3,4可通过因式分解实现问题的解决,其中,变式3还体现了降次的思想:()(2)(1)0f x ax x=>对(1,x∈4)恒成立得:20ax>(余略).例4己知2()f x ax x a=+,||1,||x a≤≤1,求证:|()|5/4f x≤.分析本题为双“变量”问题,若把a看作系数,x作为变量,是一道二次函数(特例0a=时退化为一次函数)最值问题,通过对抛物线的开口及对称轴位置讨论可以解决问题,但需分多种情况;若把x看作系数,a作为变量,则是一次函数最值问题,只需证明1a=±时命题成立即可;亦可应用绝对值不等式性质求解:2|()||(1)|||f x a x x≤+21||x x≤+5/4(11)x≤≤≤.变更问题的条件、结论,挖掘习题所蕴含的教育、教学功能,通过一题多解,培养学生多角度地观察问题、分析问题、进而解决问题的能力,最大限度发挥习题的作用.3课堂教学设计说明高中数学课程标准中,明确提出了“倡导积极主动、勇于探索的学习方式、注重提高学生的数学思维能力、发展学生的数学应用意识”.在数学课堂教学中,如何贯彻、落实课程标准及素质教育的精神,是每一位数学教师都应该给予足够关注的问题.数学思想不是“教”出来的,而应是在课堂教学中“培养”出来.在教学中,通过精心设计,有意识潜移默化地引导学生领会蕴含其中的数学思想和方法;随着学生对表层数学知识学习的深入,予以反复再现、渗透;本节课的教学目标定位在高中数学思想方法中的分类讨论思想及初步掌握命题转化思想的学习上,对其进行概括、强化和提高,并对它的内容、名称、规律以及运用方法适度明确化,是关于数学思想、方法培养的一次偿试;在课堂教学过程中力求贯穿“探讨、研究、提高”的宗旨,强化数学应用意识,让学生在获取知识的前提下,学会学习.教学过程中,通过投影仪、课件设计等多媒体技术,加强师生的互动与交流,使变量的变化过程“动”起来,以加深学生的理解,完善学生的认知结构.在教学设计上分三个层次:(1)在学生原有的认知水平上,讲解教师及学生设计的基础练习(做为预习任务布置给学生),加深产生分类讨论的原因及类型的理解掌握;(2)探讨分类讨论的步骤及原则;(3)再应用,进而提出避免分类讨论的技巧、命题转化的思想等解题策略.贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想,通过引导学习观察、比较、分析和概括,使学生充分地动手、动脑、参与教学全过程;关注课堂的三个构成要素——教师、学生以及教学媒体,让学生的学习能力和学习水平在这三者的共同作用下得到促进和发展;注重创设问题情景,调动学生的学习热情与积极性,在平等的教学氛围中,通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价,实现共同探究、教学相长的教学情境.数学校本教研与教师专业发展福建闽清一中许友娟随着义务教育新课程改革的不断推进,数学教师在教育教学过程中遇到的困难和问题很快突显出来,其中根本性的问题在于教师素质和专业水平适应不了课改深层次的要求.数学校本教研是一种注重数学教学情境,以改进教学实践为目的,专业人员和一线教师密切合作的研究模式,它是数学教师专业发展的平台,能从根本上促进课堂教学系统的良性发展和教师专业化水平的提高,因而对于数学教师个体和数学教师群体的专业发展具有特别的价值和意义.1数学校本教研是数学教师专业发展的有效途径1.1数学校本教研的内涵数学校本教研是指数学教师在教学过程中,以数学教学中的实际问题为研究内容,以改进数学教学、促进教师的专业发展为研究目的,遵循一定的研究程序所开展的教学研究活动.它以学校为中心,以教师为研究主体,以课堂教11。

分段函数的解与应用分段函数是指一个函数由多个子函数组成，每个子函数在特定的区间内有效。

分段函数常常用于描述实际问题中的非线性关系，如温度变化、利润曲线等。

本文将介绍分段函数的解和应用，并展示其在实际问题中的运用。

一、分段函数的解分段函数的解即找到使得函数取特定值的自变量的取值。

为了解分段函数，我们需要根据函数的定义域和每个子函数的定义条件来寻找解。

例如，考虑以下分段函数：f(x) =-x + 3, 当x ≤ 2x^2, 当 x > 2我们首先要确定每个子函数的定义域。

在这个例子中，第一个子函数的定义域为负无穷到2，第二个子函数的定义域为2到正无穷。

接下来，我们分别解每个子函数的方程，以找到使得整个函数取特定值的自变量的取值。

对于第一个子函数 -x + 3，当函数取特定值时，即解方程 -x + 3 = y。

解这个方程得到 x = 3 - y。

对于第二个子函数 x^2，同样地，解方程 x^2 = y，得到x = √y。

综合考虑两个子函数的定义域和解得的解，我们得到整个分段函数的解为：当 y < 1 时，x = 3 - y当 y ≥ 1 时，x = √y 或者 x = -√y二、分段函数的应用分段函数在实际问题中有广泛的应用。

下面我们将介绍两个常见的应用案例：温度转换和利润最大化。

1. 温度转换在某些情况下，我们需要将温度从一种度量方式转换到另一种度量方式。

这时候可以使用分段函数来完成。

假设我们需要将摄氏温度转换成华氏温度。

根据转换公式，当温度低于或等于0摄氏度时，转换公式为 F = C × 9/5 + 32；当温度高于0摄氏度时，转换公式为 F = C × 9/5 + 32。

由于转换公式中存在两个不同的算法，我们可以使用分段函数来表示该问题。

定义一个分段函数 f(C)，其中 C 表示摄氏温度，F 表示华氏温度。

f(C) =C × 9/5 + 32, 当C ≤ 0C × 9/5 + 32, 当 C > 0通过这个分段函数，我们可以方便地将摄氏温度转换成华氏温度。

f(x)分段函数解题技巧随着数学教育的深入，分段函数的应用也越来越广泛。

分段函数是指在定义域的不同区间内，函数有不同的定义式。

在解题时，我们需要根据函数定义式的不同来进行分类讨论，这就需要我们掌握一定的解题技巧。

本文将从几个方面详细介绍f(x)分段函数解题技巧，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

一、理解分段函数的定义在了解解题技巧之前，首先要对分段函数有一个清晰的认识。

分段函数是由若干个不同的函数组成，这些函数在一定的定义域范围内分别成立。

通常分段函数的定义式为f(x)={f1(x), x≤a; f2(x), x>a}。

这表示在x≤a的时候，函数采用f1(x)的定义式；在x>a的时候，函数采用f2(x)的定义式。

解题时需要根据不同的定义域范围来进行分类讨论。

二、分类讨论的方法1.确定各个定义域的范围在解题时首先需要明确各个定义域的范围，通常可以根据定义式中的不等号来确定。

例如对于一个分段函数f(x)={2x, x≤0; x+1, x>0}，在定义域的范围内应该确定x≤0和x>0两个区间。

2.分类讨论具体步骤在确定了各个定义域的范围之后，就可以进行分类讨论了。

通常可以按以下步骤进行：（1）针对每个定义域范围，分别列出对应的函数定义式；（2）根据具体问题进行分别讨论，并列出相应的方程式；（3）通过解方程来求解问题。

三、应用实例以下通过几个具体的应用实例来说明f(x)分段函数解题技巧的应用。

例1：已知分段函数f(x)={2x, x≤0; x+1, x>0}，求f(x)的零点。

解：首先确定函数的定义域范围分别为x≤0和x>0。

接着分别列出对应的函数定义式，分别为2x和x+1。

然后对两个定义域的范围进行分类讨论：（1）当x≤0时，f(x)=2x，所以f(x)的零点为x=0；（2）当x>0时，f(x)=x+1，所以f(x)的零点为x=-1。

例2：已知分段函数f(x)={3x-1, x<2; x^2, x≥2}，求f(x)的极值点。