2020届全国联考高三调研考试数学(文)试题(解析版)

2020届高三调研考试卷文科数学（三）（解析附后）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}5,2,1{=M ，}2|{≤=x x N ，故MN 等于( )A ．}1{B ．}5{C ．{1,2}D ．{2,5} 2．若复数(1)(2)z i i =+-，则复数z 的虚部是( ) A ．1 B ．1- C ．3 D ．3-3．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动， 则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为( ) A ．12 B ．16 C ．112D ．134．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影）设直角三角形有一内角为30︒，若向弦图内随机抛掷500 1.732)≈，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为( )A ．134B ．67C ．182D ．108 5．已知(0,)x π∈，则()cos2sin f x x x =+的值域为( )A ．9(0,]8B ．[0,1)C ．(0,1)D ．9[0,]86．已知正项等比数列{}n a 满足：28516a a a =，3520a a +=，则4=S ( ) A ．16 B ．16- C ．15 D ．15-7．设x 、y 满约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则24z x y =-的最小值是( )A ．22-B ．13-C ．10-D ．20- 8．函数cos y x x =+的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．9．执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出的S 的值是( )A ．910 B ．1011 C ．1112 D ．92210．已知椭圆221112211:1(0)x y C a b a b +=>>和双曲线222222222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，若椭圆的离心率1e =x 轴．则双曲线其中一条渐近线的斜率为( )A．D11．已知函数()ln ()f x x ax a R =-∈的图象与直线10x y -+=相切，则实数a 的值为( )A ．11e -B ．1e -C ．211e- D ．21e -12．已知定义域为R 的函数()f x 是偶函数，且对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，1212()()0f x f x x x ->-．设3()2a f =，3(log 7)b f =，3(0.8)c f =-，则( )A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．a c b <<二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知(1,1)=a ，(2,)m =b ，()⊥-a a b ，则||=b ．14．已知数列{}n a 的前n 项和公式为221n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式为 ． 15．已知抛物线28y x =的焦点F ，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，则||4||FA FB +的最小值是 ．16．《九章算术》卷第五《商功》中，有“假令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺：下底面宽3尺，长4尺，高1尺（如图，刍童为上下底面为相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体）”．若该几何体所有顶点在一球体的表面上，则该球体的表面积为 ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）某学校为培养学生的兴趣爱好，提高学生的综合素养，在高一年级开设各种形式的校本课程供学生选择（如书法讲座、诗歌鉴赏、奥赛讲座等）．现统计了某班50名学生一周用在兴趣爱好方面的学习时间（单位：h ）的数据，按照[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10]分成五组，得到了如下的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中m 的值；（2）求该班学生一周用在兴趣爱好方面的平均学习时间．18．（12分）如图，在四边形ABCD 中，23B π∠=，AB =，ABC S ∆． （1）求ACB ∠的大小； （2）若,4BC CD ADC π⊥∠=，求AD 的长．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PAD ，AD BC ∥，12AB BC AP AD ===，90APD BAD ∠=∠=︒． （1）证明：PD PB ⊥；（2）设点M 在线段PC 上，且13PM PC =，若MBC ∆，求四棱锥P ABCD -的体积．20．（12分）已知函数21()1xax x f x e +-=+． （1）求()f x 的单调区间；（2）当0x ≥时，0()1f x ≤≤，求a 的取值范围．21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆C 的长轴长为直径的圆与直线20x y +-=相切． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过椭圆右焦点且不平行于x 轴的动直线与椭圆C 相交于A 、B 两点，探究在x 轴上是否存在定点E ，使得EA EB ⋅为定值？若存在，试求出定值和点E 的坐标；若不存在，请说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos (42sin x y ααα=+⎧⎨=+⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=． （1）把1C 的参数方程化为极坐标方程； （2）求1C 与2C 交点的极坐标(0,02)ρθπ≥≤<．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()||||(0f x x a x b a =-++>，0)b >． （1）当1a b ==时，解不等式()2f x x >+；（2）若()f x 的值域为[2,)+∞，求11111a b +≥++2020届高三入学调研考试卷文科数学（三）解析版一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}5,2,1{=M ，}2|{≤=x x N ，故MN 等于( )A ．}1{B ．}5{C ．{1,2}D ．{2,5} 【答案】C【解析】集合{1,2,5}M =，{|2}N x x =≤，则{1,2}MN =．2．若复数(1)(2)z i i =+-，则复数z 的虚部是( ) A ．1 B ．1- C ．3 D ．3- 【答案】B【解析】(1)(2)3z i i i =+-=--，则复数z 的虚部是1-．3．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动， 则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为( ) A ．12 B ．16 C ．112D ．13【答案】D【解析】现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件总数6n =，乙、丙两人恰好参加同一项活动包含的基本事件个数2m =，∴乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率2163m p n ===．4．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影）设直角三角形有一内角为30︒，若向弦图内随机抛掷500 1.732)≈，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为( )A ．134B ．67C ．182D ．108 【答案】B【解析】设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为12，12-，小正方形的面积21)12S =-=， 则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为12500(1500(10.866)5000.1345006711-⨯=-⨯≈-⨯=⨯=⨯． 5．已知(0,)x π∈，则()cos2sin f x x x =+的值域为( )A ．9(0,]8B ．[0,1)C ．(0,1)D ．9[0,]8【答案】D【解析】由2()cos2sin 12sin sin f x x x x x =+=-+， 设sin x t =，(0,)x π∈，(0,1]t ∴∈，219()2()48g t t ∴=--+，9()[0,]8g t ∴∈，即()cos2sin f x x x =+的值域为9[0,]8．6．已知正项等比数列{}n a 满足：28516a a a =，3520a a +=，则4=S( )A ．16B ．16-C ．15D ．15- 【答案】C【解析】由等比数列的性质得2528516a a a a ==．所以516a =， 又因为3520a a +=，所以34a =，所以11a =，2q =，414(1)=151a q S q-=-． 7．设x 、y 满约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则24z x y =-的最小值是( )A ．22-B ．13-C ．10-D ．20- 【答案】A【解析】由x 、y 满约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩作出可行域如图，联立170x x y =⎧⎨+-=⎩，解得(1,6)A ，化目标函数24z x y =-为124zy x =-，由图可得，当直线124zy x =-过点(1,6)A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为22-．8．函数cos y x x =+的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由于()cos f x x x =+，()cos f x x x ∴-=-+，()()f x f x ∴-≠，且()()f x f x -≠-，故此函数是非奇非偶函数，排除B ，C ； 又当2x π=时，()cos 2222f ππππ=+=， 即()f x 的图象与直线y x =的交点中有一个点的横坐标为2π，排除D ． 9．执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出的S 的值是( )A ．910 B ．1011 C ．1112 D ．922【答案】B【解析】模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量11112231011S =++⋯+⨯⨯⨯的值，可得： 11111111110(1)()()11223101122310111111S =++⋯+=-+-+⋯+-=-=⨯⨯⨯．10．已知椭圆221112211:1(0)x y C a b a b +=>>和双曲线222222222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，若椭圆的离心率1e =x 轴．则双曲线其中一条渐近线的斜率为( )A．D【答案】D【解析】设椭圆的半焦距为1c ，双曲线的半焦距为2c ，双曲线的一条渐近线与椭圆的交点2111,()b c a ，所以双曲线的渐近线的斜率为2221111111111b a c k e a c a c e -===-=． 11．已知函数()ln ()f x x ax a R =-∈的图象与直线10x y -+=相切，则实数a 的值为( )A ．11e -B ．1e -C ．211e- D ．21e -【答案】C【解析】由()ln f x x ax =-，()a R ∈得1()f x a x'=-， 设切点横坐标为0x ，依题意得11a x -=，并且000ln 1x ax x -=+， 解得211a e =-，则实数a 的值为211e -． 12．已知定义域为R 的函数()f x 是偶函数，且对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，1212()()0f x f x x x ->-．设3()2a f =，3(log 7)b f =，3(0.8)c f =-，则( )A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．a c b << 【答案】B【解析】根据题意，()f x 满足对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，1212()()0f x f x x x ->-，则函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，又由()f x 是偶函数，则33(0.8)(0.8)c f f =-=，又由3333330.81=log 3log log 722<<=，则c a b <<．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知(1,1)=a ，(2,)m =b ，()⊥-a a b ，则||=b ． 【答案】2【解析】(1,1)m -=--a b ；()⊥-a a b ，∴()110m ⋅-=-+-=a a b ，0m ∴=；∴(2,0)=b ；∴||2=b ．14．已知数列{}n a 的前n 项和公式为221n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式为 ．【答案】21432n n a n n n +=⎧=⎨-≥∈⎩N 且【解析】由221n S n n =-+可知，当1n =时，112112a S ==-+=．当2n ≥且n +∈N 时，22121[2(1)(1)1]43n n n a S S n n n n n -=-=-+----+=-，则数列{}n a 的通项公式为21432n n a n n n +=⎧=⎨-≥∈⎩N 且．15．已知抛物线28y x =的焦点F ，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，则||4||FA FB +的最小值是 ． 【答案】18【解析】抛物线28y x =的焦点(2,0)F ，设11)(,A x y ，22)(,B x y ，则1212||4||24(2)410FA FB x x x x +=+++=++，当直线AB 斜率不存在时，||4||2421020FA FB +=+⨯+=， 当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为(2)y k x =-(0)k ≠， 代入28y x =得2222(48)40k x k x k -++=，124x x ∴=，224||4||4101018FA FB x x ∴+=++≥=，当且仅当21x =时取等号． ∴||4||FA FB +的最小值是18．16．《九章算术》卷第五《商功》中，有“假令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺：下底面宽3尺，长4尺，高1尺（如图，刍童为上下底面为相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体）”．若该几何体所有顶点在一球体的表面上，则该球体的表面积为 ．【答案】π41【解析】由已知得球心在几何体的外部， 设球心天几何体下底面的距离为x ，则222225()(1)2R x x =+=++，解得2x =，2414R ∴=，∴该球体的表面积41S π=． 三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）某学校为培养学生的兴趣爱好，提高学生的综合素养，在高一年级开设各种形式的校本课程供学生选择（如书法讲座、诗歌鉴赏、奥赛讲座等）．现统计了某班50名学生一周用在兴趣爱好方面的学习时间（单位：h ）的数据，按照[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10]分成五组，得到了如下的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中m 的值；（2）求该班学生一周用在兴趣爱好方面的平均学习时间．【答案】（1）0.1m =；（2）5.08．【解析】（1）由频率分布直方图得：0.0620.0820.2220.0621m ⨯+⨯+⨯++⨯=，解得0.1m =． （2）学生的平均学习时间为：10.1230.1650.470.290.12 5.08⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．18．（12分）如图，在四边形ABCD 中，23B π∠=，AB =，ABC S ∆． （1）求ACB ∠的大小； （2）若,4BC CD ADC π⊥∠=，求AD 的长．【答案】（1）6π；（2． 【解析】（1）在ABC ∆中，1sin 2ABC S AB BC B ∆=⋅，∴由题意可得：12sin23BC π⨯=∴BC =AB BC ∴=，又23B π∠=，6ACB π∴∠=．（2）BC CD ⊥，3ACD π∴∠=，由余弦定理可得：22222212cos2()932AC AB BC AB BC π=+-⋅⋅=+--=， 3AC ∴=，∴在ACD ∆中，由正弦定理可得：3sinsin 3sin sin 4AC ACD AD ADC ππ⨯⋅∠===∠．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PAD ，AD BC ∥，12AB BC AP AD ===，90APD BAD ∠=∠=︒． （1）证明：PD PB ⊥；（2）设点M 在线段PC 上，且13PM PC =，若MBC ∆，求四棱锥P ABCD -的体积．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】证明：（1）90BAD ∠=︒，BA AD ∴⊥， 平面ABCD ⊥平面PAD ，交线为AD ， BA ∴⊥平面PAD ，从而BA PD ⊥，90APD ∠=︒，AP PD ∴⊥，BA AP A ⋂=，PD ∴⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，PD PB ∴⊥．（2）设2AD m =，则AB BC AP m ===，PD =，由（1）知BA ⊥平面PAD ，BA AP ∴⊥，BP =， 取AD 中点F ，连结CF ，PF ，则CF BA ∥，CF m =， 且由（1）知BA ⊥平面PAD ，CF ∴⊥平面PAD ，CF PF ∴⊥，12PF AD m ==，PC ∴=， 13PM PC =，23CM CP ∴=，∴2221332MBC PBC S S BC ∆∆==⨯，2，解得2m =，在PAD ∆中，P 到AD 的距离AP PD h AD ⋅==，P ∴到平面ABCD 的距离H h ==∴四棱锥P ABCD -的体积111(24)2332P ABCD ABCD V S H -=⋅=⨯⨯+⨯20．（12分）已知函数21()1xax x f x e +-=+． （1）求()f x 的单调区间；（2）当0x ≥时，0()1f x ≤≤，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）211[,]44e +--． 【解析】解：（1）(1)(2)()xax x f x e +-'=-，①当0a >时，1()(2)()x a x x af x e+-'=-， 令()0f x '=，解得：11x a=-，22x =，且12x x <，当1(,)(2,)x a∈-∞-⋃+∞时，()0f x '<，当1(,2)x a∈-时，()0f x '>，故()f x 在1(,2)a-单调递增，在1(,)a -∞-，(2,)+∞单调递减，②当0a =时，2()xx f x e -'=-， 故()f x 在(,2)-∞单调递增，在(2,)+∞单调递减，③当102a -<<时，令()0f x '=，解得：12x =，21x a=-且12x x <，故()f x 在(,2)-∞，1(,)a -+∞单调递增，在1(2,)a -单调递减，④当12a =-时，2(2)()02x x f x e -'=…，故()f x 在R 单调递增， ⑤当12a <-时，11x a=-，22x =且12x x <，故()f x 在1(,)a -∞-，(2,)+∞单调递增，在1(,2)a-单调递减；（2）由(0)0f =及（1）知： ①0a ≥时，241(2)11a f e +=+>，不合题意；②102a -<<时，a 需满足条件：极大值()241211a f e +=+≤，解得14a ≤-， 极小值121()110a f e e a--=->->恒成立，当1x a >-时()1f x ≤恒成立得210ax x +-≤，2111()24a x ≤--，即14a ≤-，故1124a -<≤-；③12a =-时，()f x 在[0，)+∞递增，()(0)0f x f ≥=，2(1)1()112xx f x e-+=-+<， 故12a =-；④12a <-时，极大值11()11a f e a-=-<恒成立，极小值241(2)10a f e +=+≥，解得214e a +≥-， 当2x >时()1f x ≤恒成立得210ax x +-≤，2111()24a x ≤--，即14a ≤-，故21142e a +-≤<-， 综上，a 的范围是211[,]44e +--． 21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆C 的长轴长为直径的圆与直线20x y +-=相切． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过椭圆右焦点且不平行于x 轴的动直线与椭圆C 相交于A 、B 两点，探究在x 轴上是否存在定点E ，使得EA EB ⋅为定值？若存在，试求出定值和点E 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212x y +=；（2）见解析．【解析】（1）由题意知，222b c a b c a=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎩11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，则椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）当直线的斜率存在时，设直线(1)y k x =-，联立2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(12)4220k x k x k +-+-=，2880Δk =+>，∴22412A B k x x k +=+，222212A B k x x k -=+， 假设x 轴上存在定点00(,)E x ，使得EA EB ⋅为定值，∴20000(,)(,)()A A B B A B A B A B EA EB x x y x x y x x x x x x y y ⋅=-⋅-=-+++2200()(1)(1)A B A B A B x x x x x x k x x =-+++-- 222200(1)()()A B A B k x x x k x x x k =+-++++ 2220002(241)(2)12x x k x k -++-=+． 要使EA EB ⋅为定值，则EA EB ⋅的值与k 无关，∴220002412(2)x x x -+=-， 解得054x =，此时716EA EB ⋅=-为定值，定点为5(,0)4．当直线的斜率不存在时，(1,2A，(1,2B -，1(,42EA =，1(,42EB =-，117(4416EA EB ⋅=⨯=-也满足条件．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos (42sin x y ααα=+⎧⎨=+⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=．（1）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（2）求1C 与2C 交点的极坐标(0,02)ρθπ≥≤<．【答案】（1）24cos 8sin 160ρραρθ--+=；（2）)4π或(4,)2π． 【解析】（1）曲线1C 的参数方程为22cos (42sin x y ααα=+⎧⎨=+⎩为参数）， 转换为直角坐标方程为：22(2)(4)4x y -+-=，转换为极坐标方程为：24cos 8sin 160ρραρθ--+=．（2）曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=．转换为直角坐标方程为：2240x y y +-=，所以：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+-044)4()2(2222y y x y x ， 整理出公共弦的直线方程为40x y +-=，故⎩⎨⎧=-+=-+040422y x y y x ，解得⎩⎨⎧==22y x 或⎩⎨⎧==40y x ，转换为极坐标为)4π或(4,)2π． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()||||(0f x x a x b a =-++>，0)b >．（1）当1a b ==时，解不等式()2f x x >+；（2）若()f x 的值域为[2,)+∞，求11111a b +≥++． 【答案】（1）{|2x x >或0}x <；（2）见解析．【解析】（1）当1a b ==时，()|1||1|2f x x x x =-++>+，①当1x <-时，不等式可化为：22x x ->+，即23x <-，故1x <-， ②当11x -≤≤时，不等式可化为：22x >+，即0x <，故10x -≤<，③当1x >时，不等式可化为22x x >+，即2x >，故2x >，综上，不等式的解集是{|2x x >或0}x <．（2）根据绝对值三角不等式可知()f x x a x b a b =-++≥+，()f x 的值域是[2,)+∞，故2a b +=，114a b +++=， 故1111a b +++11111()411a b a b a b ++++++=+++111(2)411b a a b ++=++++， 当且仅当1111b a a b ++=++，即1a b ==时取等号时，由基本不等式可得11111a b +≥++．。

2020届高三数学第三次调研考试试题文（含解析）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上.2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求集合B，再根据并集定义求结果.【详解】.故选：C【点睛】本题考查集合并集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.2.设i为虚数单位，复数，则在复平面内对应的点在第（）象限A. 一B. 二C. 三D. 四【答案】B【解析】【分析】先根据复数乘法求复数代数形式，再确定象限.【详解】，所以在复平面内对应的点为，在第二象限.故选：B【点睛】本题考查复数乘法运算以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.3.已知数列是等比数列，函数的两个零点是，则（）A. 1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据韦达定理得，再根据等比数列性质结果.【详解】由韦达定理可知，，则，，从而，且，故选：D点睛】本题考查方程与函数零点关系以及等比数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.4.“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当”时，则或此时可能无意义，故不一定成立，而当时，则或，“”成立故“”是的一个必要不充分条件．故答案选5.已知圆C：上存在两点关于直线对称，=（）A. 1B.C. 0D.【答案】A【解析】【分析】根据圆的对称性圆心在对称轴上，通过列方程解得结果.【详解】若圆上存在两点关于直线对称，则直线经过圆心，，，得.故选：A【点睛】本题考查圆的对称性，考查基本分析求解能力，属基础题.6.在中，，是直线上的一点，若，则=（）A. B. C. 1 D. 4【答案】B【解析】【分析】先根据条件化以为基底向量，再根据平面向量共线定理推论确定参数.【详解】，又三点共线，所以，得.故选：B【点睛】本题考查平面向量共线定理推论，考查基本分析求解能力，属基础题.7.惠州市某学校一位班主任需要更换手机语音月卡套餐，该教师统计自己1至8月的月平均通话时间，其中有6个月的月平均通话时间分别为520、530、550、610、650、660（单位：分钟），有2个月的数据未统计出来.根据以上数据，该教师这8个月的月平均通话时间的中位数大小不可能是（）A. 580B. 600C. 620D. 640【答案】D【解析】【分析】先假设未统计2个月的数据，确定中位数大小的取值区间，再判断选择.【详解】当另外两个月的通话时长都小于530（分钟）时，中位数为（分钟），当另外两个月的通话时长都大于650（分钟）时，中位数为（分钟），所以8个月的月通话时长的中位数大小的取值区间为.故选：D【点睛】本题考查根据数据估计中位数，考查基本分析求解能力，属基础题.8.已知函数为偶函数，若曲线的一条切线与直线垂直，则切点的横坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据偶函数求参数，再求导数，根据导数几何意义得斜率，最后根据直线垂直关系得结果.【详解】为偶函数，则，，设切点得横坐标为，则解得，（负值舍去）所以.故选：D【点睛】本题考查偶函数性质、导数几何意义以及直线垂直关系，考查综合分析求解能力，属基础题.9.函数在的图像大致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：因为，故排除A；因为，所以函数为奇函数，故排除B；因为，分别作出与的图象，可知极值点在上，故选C．考点：1、函数的图象；2、函数的奇偶性；3、利用导数研究函数的单调性．10.为椭圆上的一个动点，分别为圆与圆上的动点，若的最小值为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】圆外的点到圆上点的距离的最小值为：点到圆心的距离减去半径；从而得到两个不等式，再根据的最小值，得到关于的方程，进而求得答案.【详解】因为，恰好为椭圆的两个焦点，因为，所以.因为，得，所以，则.故选：B.【点睛】本题考查圆外一点到圆上一点距离的最小值，考查数形结合思想的应用，求解时注意利用不等式结合最值进行运算求值.11.已知函数，对任意，都有，若在上的值域为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化简函数，根据正弦函数性质求最大值，解得；再根据在上的值域确定取值范围，解得结果.【详解】=，，，，，，.故选：A【点睛】本题考查辅助角公式以及正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.12.已知函数在处的导数相等，则不等式恒成立时，实数m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求导数，根据条件解得，代入化简不等式；再将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题，最后利用导数求对应函数最值，即得结果.【详解】由题得，由已知得为两个不等实根，所以，恒成立，恒成立.令，则，当，当上单调递减，在上单调递增.故选：A【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，属中档题.二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空3分，第二空2分.13.执行如图所示的程序框图，则输出的n值是_________.【答案】6【解析】分析】执行循环，根据判断条件判断是否继续循环，直至跳出循环输出结果.【详解】①②③结束循环，输出结果：6故答案为：6．【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解能力，属基础题.14.已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若，，则________．【答案】（或120°）【解析】【分析】根据余弦定理直接求解得，再根据特殊角三角函数值得结果.【详解】因为，，．故答案为：【点睛】本题考查余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.15.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为_______．【答案】.【解析】【分析】设球的半径为，可知圆柱高为；根据圆柱表面积和球的表面积公式分别求得表面积，作比得到结果.【详解】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为圆柱的表面积；球的表面积圆柱的表面积与球的表面积之比为本题正确结果：【点睛】本题考查圆柱表面积和球的表面积公式的应用，属于基础题.16.设为不等式组所表示的平面区域，为不等式组所表示的平面区域，其中，在内随机取一点，记点在内的概率为．（）若，则__________．（）的最大值是__________．【答案】 (1). . (2). .【解析】【分析】分析：当时，时，求出满足的面积，分别求出满足面积，利用几何概型概率公式求解即可.【详解】由题意可得，当时，满足的面积为，时，满足面积为所以；如图，当取得最大值时，即时最大，当时，满足的面积为，时，满足面积为所以；最大值为．故答案为，.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.等差数列的前项和为，已知，公差为大于0的整数，当且仅当=4时，取得最小值.（1）求公差及数列的通项公式；（2）求数列的前20项和.【答案】（1）=2，（2）272【解析】【分析】（1）根据等差数列性质得，解不等式得范围，再根据为大于0的整数得的值，最后根据等差数列通项公式得结果；（2）先根据项的正负去掉绝对值，再分别根据对应等差数列求和公式求和，即得结果.【详解】（1）设的公差为，则由题可知：.，即.解得.因为为整数，=2所以数列的通项公式为（2）当时，；当时，.=272所以数列的前20项和为272.【点睛】本题考查等差数列通项公式、等差数列求和公式以及等差数列性质，考查综合分析求解能力，属中档题.18.如图，四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，点是的中点．（1）求证：平面；（2）若平面平面，，，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析（2）4【解析】【分析】（1）设，利用三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得结果；（2）取的中点，结合面面垂直性质定理得平面，再根据等体积法以及利用锥体体积公式求结果.【详解】（1）连接，设，连接，则点是的中点．又因为是的中点，所以，又因为平面，平面所以平面．（2）因为四边形是菱形，且，所以．又因为，所以三角形是正三角形．取的中点，连接，则又平面⊥平面，平面，平面平面，所以平面．即是四棱锥的一条高而所以．综上，三棱锥的体积为4.【点睛】本题考查线面平行判定定理、面面垂直性质定理以及锥体体积公式，考查综合分析论证与求解能力，属中档基础题.19.惠州市某商店销售某海鲜，经理统计了春节前后50天该海鲜的日需求量（，单位：公斤），其频率分布直方图如下图所示.该海鲜每天进货1次，每销售1公斤可获利40元；若供大于求，剩余的海鲜削价处理，削价处理的海鲜每公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，调拨的海鲜销售1公斤可获利30元.假设商店该海鲜每天的进货量为14公斤，商店销售该海鲜的日利润为元.（1）求商店日利润关于日需求量的函数表达式.（2）根据频率分布直方图，①估计这50天此商店该海鲜日需求量的平均数.②假设用事件发生的频率估计概率，请估计日利润不少于620元的概率.【答案】（1）（2）①15.32公斤②0.4【解析】【分析】（1）根据条件列分段函数关系式，即得结果；（2）①根据组中值求平均数，②先根据函数关系式确定日利润不少于620元对应区间，再求对应区间概率.【详解】（1）当时当时所求函数表达式为：．（2）①由频率分布直方图得：海鲜需求量在区间的频率是；海鲜需求量在区间的频率是海鲜需求量在区间的频率是；海鲜需求量在区间的频率是；海鲜需求量在区间的频率是；这50天商店销售该海鲜日需求量平均数为：（公斤）②当时，，由此可令，得所以估计日利润不少于620元的概率为.【点睛】本题考查函数解析式以及利用频率分布直方图求平均数和概率，考查综合分析求解能力，属中档题.20.己知函数，它的导函数为.（1）当时，求的零点；（2）若函数存在极小值点，求的取值范围.【答案】（1）是的零点；（2）【解析】【分析】（1）求得时的，由单调性及求得结果.（2）当时，，易得存在极小值点，再分当时和当时，令，通过研究的单调性及零点情况，得到的零点及分布的范围，进而得到的极值情况，综合可得结果.【详解】（1）的定义域为，当时，，.易知为上的增函数，又，所以是的零点.（2），①当时，，令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，符合题意.令，则.②当时，，所以在上单调递增.又，，所以在上恰有一个零点，且当时，；当时，，所以是的极小值点，符合题意.③当时，令，得.当）时，；当时，，所以.若，即当时，恒成立，即在上单调递增，无极值点，不符合题意.若，即当时，，所以，即在上恰有一个零点，且当时，；当时，，所以是的极小值点，符合题意.综上，可知，即的取值范围为.【点睛】本题主要考查导数综合应用，考查了函数的极值，单调性和函数的导数之间的关系，构造函数研究函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21.设抛物线C:与直线交于A、B两点.（1）当取得最小值为时，求的值.（2）在（1）的条件下，过点作两条直线PM、PN分别交抛物线C于M、N（M、N不同于点P）两点，且的平分线与轴平行，求证：直线MN的斜率为定值.【答案】（1）（2）证明见解析，定值.【解析】【分析】（1）先确定直线过抛物线焦点，再根据抛物线定义求，最后根据最小值求的值；（2）先确定PM、PN的斜率互为相反数，再设直线PM方程，与抛物线联立解得M坐标，类似可得N点坐标，最后利用斜率公式求结果.【详解】（1）由题意知：直线过定点，该点为抛物线焦点.联立，消去得：设，有，…，当时，，解得（2）证明：由已知可知直线PM、PN斜率存在，且互为相反数设，直线PM的方程为.联立，消去x整理得：.又4为方程的一个根，所以，得同理可得所以直线MN的斜率为定值.【点睛】本题考查焦点弦长以及直线与抛物线位置关系，考查综合分析求解与论证能力，属中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.答题时请在答题卷中写清题号并将相应信息点涂黑.22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，若极坐标系内异于的三点，，都在曲线上.（1）求证：；（2）若过，两点直线的参数方程为（为参数），求四边形的面积.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）将代入极坐标方程，求出，利用两角和与差的余弦公式化简可得结论；（2）求得，则；又得.四边形面积为，化简可得结果.【详解】（1）由，则；（2）由曲线的普通方程为：，联立直线的参数方程得：解得；平面直角坐标为：则；又得.即四边形面积为为所求.【点睛】本题主要考查极坐标方程以及参数方程的应用，考查了极径与极角的几何意义的应用，意在考查综合应用所学知识，解答问题的能力，属于中档题.23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若对任意恒成立，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1) 把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求；(2)对x分类讨论，当时，，借助绝对值不等式即可得到右侧的最小值，从而得到的取值范围.【详解】（1）当时，原不等式等价于，解得，所以；当时，原不等式等价于，解得，所以此时不等式无解；当时，原不等式等价于，解得，所以；综上所述，不等式解集为.（2）由，得当时，恒成立，所以；当时，因为当且仅当即或时，等号成立所以，综上，的取值范围是.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，绝对值三角不等式，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．2020届高三数学第三次调研考试试题文（含解析）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上.2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求集合B，再根据并集定义求结果.【详解】.故选：C【点睛】本题考查集合并集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.2.设i为虚数单位，复数，则在复平面内对应的点在第（）象限A. 一B. 二C. 三D. 四【答案】B【解析】【分析】先根据复数乘法求复数代数形式，再确定象限.【详解】，所以在复平面内对应的点为，在第二象限.故选：B【点睛】本题考查复数乘法运算以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.3.已知数列是等比数列，函数的两个零点是，则（）A. 1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据韦达定理得，再根据等比数列性质结果.【详解】由韦达定理可知，，则，，从而，且，故选：D点睛】本题考查方程与函数零点关系以及等比数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.4.“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当”时，则或此时可能无意义，故不一定成立，而当时，则或，“”成立故“”是的一个必要不充分条件．故答案选5.已知圆C：上存在两点关于直线对称，=（）A. 1B.C. 0D.【答案】A【解析】【分析】根据圆的对称性圆心在对称轴上，通过列方程解得结果.【详解】若圆上存在两点关于直线对称，则直线经过圆心，，，得.故选：A【点睛】本题考查圆的对称性，考查基本分析求解能力，属基础题.6.在中，，是直线上的一点，若，则=（）A. B. C. 1 D. 4【答案】B【解析】【分析】先根据条件化以为基底向量，再根据平面向量共线定理推论确定参数.【详解】，又三点共线，所以，得.故选：B【点睛】本题考查平面向量共线定理推论，考查基本分析求解能力，属基础题.7.惠州市某学校一位班主任需要更换手机语音月卡套餐，该教师统计自己1至8月的月平均通话时间，其中有6个月的月平均通话时间分别为520、530、550、610、650、660（单位：分钟），有2个月的数据未统计出来.根据以上数据，该教师这8个月的月平均通话时间的中位数大小不可能是（）A. 580B. 600C. 620D. 640【答案】D【解析】【分析】先假设未统计2个月的数据，确定中位数大小的取值区间，再判断选择.【详解】当另外两个月的通话时长都小于530（分钟）时，中位数为（分钟），当另外两个月的通话时长都大于650（分钟）时，中位数为（分钟），所以8个月的月通话时长的中位数大小的取值区间为.故选：D【点睛】本题考查根据数据估计中位数，考查基本分析求解能力，属基础题.8.已知函数为偶函数，若曲线的一条切线与直线垂直，则切点的横坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据偶函数求参数，再求导数，根据导数几何意义得斜率，最后根据直线垂直关系得结果.【详解】为偶函数，则，，设切点得横坐标为，则解得，（负值舍去）所以.故选：D【点睛】本题考查偶函数性质、导数几何意义以及直线垂直关系，考查综合分析求解能力，属基础题.9.函数在的图像大致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：因为，故排除A；因为，所以函数为奇函数，故排除B；因为，分别作出与的图象，可知极值点在上，故选C．考点：1、函数的图象；2、函数的奇偶性；3、利用导数研究函数的单调性．10.为椭圆上的一个动点，分别为圆与圆上的动点，若的最小值为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】圆外的点到圆上点的距离的最小值为：点到圆心的距离减去半径；从而得到两个不等式，再根据的最小值，得到关于的方程，进而求得答案.【详解】因为，恰好为椭圆的两个焦点，因为，所以.因为，得，所以，则.故选：B.【点睛】本题考查圆外一点到圆上一点距离的最小值，考查数形结合思想的应用，求解时注意利用不等式结合最值进行运算求值.11.已知函数，对任意，都有，若在上的值域为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化简函数，根据正弦函数性质求最大值，解得；再根据在上的值域确定取值范围，解得结果.【详解】=，，，，，，.故选：A【点睛】本题考查辅助角公式以及正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.12.已知函数在处的导数相等，则不等式恒成立时，实数m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求导数，根据条件解得，代入化简不等式；再将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题，最后利用导数求对应函数最值，即得结果.【详解】由题得，由已知得为两个不等实根，所以，恒成立，恒成立.令，则，当，当上单调递减，在上单调递增.故选：A【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，属中档题.二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空3分，第二空2分.13.执行如图所示的程序框图，则输出的n值是_________.【答案】6【解析】分析】执行循环，根据判断条件判断是否继续循环，直至跳出循环输出结果.【详解】①②③结束循环，输出结果：6故答案为：6．【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解能力，属基础题.14.已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若，，则________．【答案】（或120°）【解析】【分析】根据余弦定理直接求解得，再根据特殊角三角函数值得结果.【详解】因为，，．故答案为：【点睛】本题考查余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.15.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为_______．【答案】.【解析】【分析】设球的半径为，可知圆柱高为；根据圆柱表面积和球的表面积公式分别求得表面积，作比得到结果.【详解】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为圆柱的表面积；球的表面积圆柱的表面积与球的表面积之比为本题正确结果：【点睛】本题考查圆柱表面积和球的表面积公式的应用，属于基础题.16.设为不等式组所表示的平面区域，为不等式组所表示的平面区域，其中，在内随机取一点，记点在内的概率为．（）若，则__________．（）的最大值是__________．【答案】 (1). . (2). .【解析】【分析】分析：当时，时，求出满足的面积，分别求出满足面积，利用几何概型概率公式求解即可.【详解】由题意可得，当时，满足的面积为，时，满足面积为所以；如图，当取得最大值时，即时最大，当时，满足的面积为，时，满足面积为所以；最大值为．故答案为，.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.等差数列的前项和为，已知，公差为大于0的整数，当且仅当=4时，取得最小值.（1）求公差及数列的通项公式；（2）求数列的前20项和.【答案】（1）=2，（2）272【解析】【分析】（1）根据等差数列性质得，解不等式得范围，再根据为大于0的整数得的值，最后根据等差数列通项公式得结果；（2）先根据项的正负去掉绝对值，再分别根据对应等差数列求和公式求和，即得结果.【详解】（1）设的公差为，则由题可知：.，即.解得.因为为整数，=2所以数列的通项公式为（2）当时，；当时，.=272所以数列的前20项和为272.【点睛】本题考查等差数列通项公式、等差数列求和公式以及等差数列性质，考查综合分析求解能力，属中档题.18.如图，四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，点是的中点．。

2020届高三第二次联考试卷文科数学本卷分第I 卷（选择题、填空题）和第n 卷解答题两部分， 满分150分.考试用时间120分钟. 注意事项：1 .答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、班级用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答卷上；2 .第I 卷每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应表格指定位置上 .答在第I 卷上 不得分；3 .考试结束，考生只需将第n 卷（含答卷）交回 ^ 参考公式：1 一一 一锥体的体积公式 V -Sh ,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.3第I 卷（选择题、填空题共70分）一、选择题（共10小题，每小题 5分，？茜分50分.在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的）1 .设全集 U R, A xx （x 3）分表示的集合为（）A. X X 0B.C. X 3 X1D.2.已知正方形ABCD 的边长为1,则0 ,B XX 1 ,则下图中阴影部 x 3 x 0X x 1 uur uuur uur AB BC AC =()塔B 在观察站C 的南偏东40°,则灯塔A 与灯塔B 的距离为（A. 0B. 2C. 2D. 2.23.两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于 a km ,灯塔A 在观察站C 的北偏东20o ,灯 )kmA. aB..2aC.2aD..3a4 .曲线f (x)xln x 在点x 1处的切线方程为（A . y2x B . y2x 2 C . yD.5 .设函数f(x)2XA. 2 l°g 2X(,2] x (2,C. 2 或16）,则满足 f （x ） 4的x 的值是（6.设向量3r (sin x,一)，b4 ,11、D. 2 或 16r且a//b ,则锐角x 为（A.一6A. 已知等差数B.—4{a n }中，a 3,C.一3 a 15是方程x 26x D.勺121 0的两根，则a7 %a 9 a 10 a 11A. 18B.18C.15D.12一是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是( 3值范围是13 .如下图是由大小相同的长方体木块堆成的几何体的三视图 块木块堆成.14 .对于函数f(x) sin x cosx ,给出下列四个命题：4①存在(0,一)，使 f()-;238. 已知函数 y Asin( x ) m 的最大值是4,最小值是 0,最小正周期是 —,直线29. A . yC . y 若函数 4sin(4x —) 2sin(4 x -) 23B . y D . y2sin(2x -) 2 2sin(4 x -) 26 f (1 x)的图象大致为10.已知a 0且 a 1, f(x) 当 x ( 1,1) 时均有f(x)则实数 a 的取M * r $ iA.2,B.1 ,1 1,441 C. 1,12,2D.4,二、填空题(共 4小题，每小题 5分，满分20分)11.函数 f (x)x 4 ,、------ 的定义域为|x| 512.若 f (n)为 f(14) 17 .n 21的各位数字之和 (n N ),如：因为142 1 197,17 ,所以记 f 1 (n) f(n)f2008(8)= --------------f 2(n) f(f 1(n)) f k 1(n) f (f k (n))),则y f(x)的图象如右下图所示,则函数y则此几何体共由俯视图侧视图②存在（。

2020届高三入学调研考试卷文科数学（二）【答案】B【解析】复数z，z在复平面内的对应点关于实轴对称，z 1i，121号位注意事项：z1i所以z 1i，∴1z i1i i21i12i(1i)(12i)13i．(12i)(12i)55封座1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目3．已知m log5，n 5.13，p 5.10.3，则实数m,n,p的大小关系为0.5（）密不号场考的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四A．m p nC．n m p【答案】B【解析】m log50，0n 5.130.5B．m n pD．n p m1，p 5.11，所以m n p．订个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M x R|x |2，N x R0x 4，则M(ðN)R（）4．焦点在xA．6x2y22轴上的椭圆1（a 0）的离心率为，则a （）a2323B．632C．6D．2装只号证考准A．[0,2]C．[2,0]【答案】CB．[2,0)D．(,2][4,)【答案】Cx2y2【解析】因为1（a 0）焦点在xa23轴上，即b23，c2ea 2a2b2c2，【解析】M [2,2]，集合N 0,4，ðN (,0][4,)，R解得a 6．卷M(ðN)[2,0]．R5．若函数f(x)为R上的奇函数，且当x 0时，f(x)e x m ，则此名姓2．设复数z，z在复平面内对应的点关于实轴对称，且z 1i121z则1（）z i2，1f ln （）2A．1【答案】AB．0C．2D．2级班A．1i13iB．5511iC．i D．322【解析】因为f(x)为R上的奇函数，且当x 0时，f(x)e x m ，20.31即f(0)0，m 1，11∵ln 0，即ln 0，22f1ln e2ln1211，11422π，圆柱体积为V π22V π23328π∴该几何体的体积为V V ．3228π，1f1ln1．28．随机从3名老年人，2名中老年和1名青年人中抽取2人参加问卷调查，6．已知等差数列{a}的前n项和为S，S 5S 0，则n n63SS9（）3则抽取的2人来自不同年龄层次的概率是（）14411A．B．C．D．515515A．18B．13C．13D．18【答案】D【答案】D【解析】由S 5S，可设S 5a，S a，6363∵{a}为等差数列，∴S，S S，S S为等差数列，n36396即a，6a，S S成等差数列，∴S S 13a，即S 18a，96969 S∴918．S3【解析】记3名老年人，2名中老年和1名青年人分别为A，A，A，B，1231 B，C ，该随机试验的所有可能结果为(A,A )，(A,A)，(A,B)，(A,B)，212131112 (A,C)，(A,A )，(A,B)，(A,B )，(A,C)，(A,B)，(A,B )，(A,C)，1232122231323 (B,B)，(B,C)，(B,C)共15种，121211其中来自不同年龄层的有11种，故古典概型的概率为．157．如图，每一个虚线围成的最小正方形边长都为1，某几何体的三视图如图中实线所示，则该几何体的体积为（）9．将函数f(x)2sin2x的图象向左平移（0π）个单位长度后4得到g(x)的图象，且g π3，则函数g(x)图象的一个对称中心的坐标是（）A．,06B．,012C．,012D．,06【答案】BA．8πB．9πC．28π32πD．33【解析】将函数f(x)2sin2x的图象向左平移个单位得到【答案】C【解析】该几何体为一个半圆锥和一个圆柱组合而成，1212 f ln212ππππ半圆锥体积为g(x)sin 2x 2，g ππ2sin2212123，2又0π，解得4ππ，即g(x)2sin2x，126A．12B．22C．32D．1又gπ122sin2π12π60，【答案】A【解析】取BC中点为D ，根据3AO AB AC2AD，即O为△ABC 重∴π,0是g(x)图象的一个对称中心．12心，另外O为△ABC 的外接圆圆心，即△ABC 为等边三角形，10．秦九韶算法是我国古代算筹学史上光辉的一笔，它把一元n次多项AB AC AB ACcos6012．式的求值转化为n个一次式的运算，即使在计算机时代，秦九韶算法仍然是高次多项式求值的最优算法，其算法如图所示，若输入的a，a，a，0 1 2112．函数f(x)满足：f(x)f(x)，且f(0) 1，则关于x的方程e x[f(x)]2mf(x)n 0的以下叙述中，正确的个数为（）a，a分别为0，1，1，3，2，则该程序框图输出p的值为（）34①m 12，n0时，方程有三个不等的实根；②m n 1时，方程必有一根为0；③n 0且m n1时，方程有三个不等实根．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D【解析】f(x)f(x)1e x，得(e x f(x))1，即e x f(x)x c，f(x)x ce x，由f(0)1，得c1，f(x)exx，f(x)在( ,0)上单调A．14B．2C．30D．32递增，在(0, )上单调递减，且f(1) 0，大致草图如图所示，【答案】B【解析】根据图中程序框图可知：f(x)0x x23x32x4，当x2时，图中的计算是当x 2时，多项式f(x)0 x x23x32x4的值，∴p f(2) 2．11．若在△ABC中，BC1，其外接圆圆心O满足3AO AB AC，m12，n0，有3个不等实根，①正确；m n1时，f(x) 1，即x 0恒满足方程，②正确；则ABAC（）3n 0且m n 1时，方程有三个不等实根，③正确，所以正确的个数为3个．二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．13．2018年俄罗斯世界杯将至，本地球迷协会统计了协会内180名男性球迷，60名女性球迷在观察场所（家里、酒吧、球迷广场）上的选择，制作了如图所示的条形图，用分层抽样的方法从中抽取48名球迷进行调查，则其中选择在酒吧观赛的女球迷人数为_________人．π15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A ，a 6，3b 26，则C _________．【答案】45π【答案】12【解析】在△ABC中，∵Aπ3，a 6，b 26，由正弦定理【解析】总球迷是18060240人，家里的女性球迷是12025%30人，球迷广场女性8012.5%10人，所以在酒吧观赛的女球迷是60301020人，20抽样中，选择在酒吧观赛的女球迷人数为484人．240a b2π5π，得sin B ，由a b，得B ，所以C ．sin A sin B241216．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过双曲线C:x2y2a（2a 0）的右顶点P作射线l与双曲线C的两条渐近线分别交于第一象限的点M14．设xy 1，y满足约束条件x y 0，则平面直角坐标系对应的可行域和第二象限的点N，且PN 3P M，△OMN的面积为S 3，则2x y 4a ________．面积为_________．【答案】3【答案】4912【解析】由等轴双曲线可设M(x,x)11，N(x,x )22，x 0，x 0，12【解析】画出可行域如图所示，则可行域对应的面积为△ABC，由PN 3P M，得(x a,x )3(x a,x)2211，整理得x a 3(x a)21，A 43,43，B5217749,1，C 1,1，则．22312解得a 3x，x 3x，121△SOMN12x 2(x )3，解得x 1，即a3．2△SABC1124三、解答题：本大题共6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明，ABCD ， AB 2 ，求三棱锥 F AGC 的体积．证明过程或演算步骤．17．（12 分）已知数列{a }满足 a1 ， aan1nn 12n 1（ n 2 ， n N ）．【答案】（1）证明见解析；（2） VF AGC1． 4（1）求数列 {a }的通项公式；n【解析】（1）证明：如图，连接 BD 交 AC 于 E 点，则 E 为 BD 的中点， 连接 GE ，（2）设数列 blog (a1) ，求数列n2 n1bbnn 1的前 n项和 S ．n【答案】（1） a2nn1；（2） Snnn 1．【解析】（1）由已知 aa nn 12n 1 ，∴ a(aa ) (a nnn 1n 1a n 2) (an 2 a n 3)(aa ) a ，211∵ SD ∥平面 GAC ，平面 SDB 平面 GAC GE ， SD 平面 SBD ，∴ a2nn 1 2n 2 2n 3 22211，∴ SD ∥GE ，而 E 为 BD 的中点，∴ G 为 SB 的中点． （2）∵ F ， G 分别为 SC ， SB 的中点，∴ ana (1q n ) 1(12n ) 11 q 1 22n 1．∴ VF AGC11 1 1 1 V V V V V ，SAGCCAGSCABSSABCSABCD（2） blog (a1) n ， n2n1b bnn 11 1 1 ， n (n 1) n n 1取 AB 的中点 H ，连接 SH ，∵ △SAB 为等边三角形，∴ SH A B ， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n∴ S 1． 1 2 2 3 3 4 n n 1 n 1 n 118．（12 分）如图，在四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，又平面 SAB 平面 ABCD ，平面 SABSAB ，平面 ABCD AB ， SH 平面BAD 60，△SAB 为等边三角形， G 是线段 SB 上的一点，且 SD ∥平 面 GAC ．∴ SH 平面 ABCD ，而 SH 3 ，菱形 ABCD 的面积为 S ABCD12 22si n 6023 ，2∴ VS ABCD∴ VF AGC1 1 S SH23 3 2 ， 3 3 1 1 V ． 8 419．（12 分）从集市上买回来的蔬菜仍存有残留农药，食用时需要清洗（1）求证： G 为 SB 的中点；数次，统计表中的 x表示清洗的次数， y 表示清洗 x次后 1 千克该蔬菜残（2）若 F 为 SC 的中点，连接 GA ， GC ， FA ， FG ，平面 SAB 平面留的农药量（单位：微克）．2 2 4 4 8 nABCD S ABCD5②R21(y y)2i ii 1(y y)2i，R20.95说明模拟效果非常好；（1）在如图的坐标系中，描出散点图，并根据散点图判断，y bx a与y me x n哪一个适宜作为清洗x次后1千克该蔬菜残留的农药量的回i 111111③0.37，0.14，0.05，0.02，0.01．e e2e3e4e5归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由）【答案】（1）见解析；（2）y 10e x 0.8；（3）拟合效果非常好．【解析】（1）散点图如图，（2）根据判断及下面表格中的数据，建立y关于x的回归方程；用y me x n作为清洗x次后1千克该蔬菜残留的农药量的回归方程类表中ei x15，．5i 1型．（2）由题知m i 1()(y y)i i()2i0.90.0910，（3）对所求的回归方程进行残差分析．附：①线性回归方程y bx a中系数计算公式分别为i 1n y m 2100.120.8，故所求的回归方程为y 10e x 0.8．（3）列表如下：b i 1(x x)(yi i(x x)iy)2，a y bx；i 1所以(y y )20.19，(y y)29.1，R21i i ii 1i 10.199.10.979，6nnii55nn55所以回归模拟的拟合效果非常好．20．（12 分）已知抛物线 C : x 4 y ， P ， Q 是抛物线 C 上的两点， O 是x xx 则 M 点的横坐标为 x 122k ，纵坐标为 y kx 4 0224 ，坐标原点，且 OP OQ ．1 故 M 点的轨迹方程为 y x 224 ．（1）若 OP OQ ，求 △OPQ 的面积；21．（12 分）已知函数 f ( x ) ax sin x 1 ， x [0, π] ．（2）设 M 是线段 PQ 上一点，若 △OPM 与 △OQM 的面积相等，求 M 的（1）若 a1 2，求 f ( x ) 的最大值；轨迹方程．【答案】（1） S16 ；（2） y△O PQ【解析】设 P ( x , y ) ， Q ( x , y ) ，112212x 24 ．2（2）当 a 时，求证： f ( x ) cos x0 ． ππ【答案】（1） 1；（2）证明见解析．2（1）因为 OPOQ ，1【解析】（1）当 a 时， f2 1(x) cos x ，2又由抛物线的对称性可知 P ， Q 关于 y 轴对称，所以 x x ， yy ，2121由 f(x) 0 ，得 x ，所以 x 0, 3 π3时， f(x) 0 ； xπ3, π 时， 因为 OP OQ ，所以 OP OQ 0 ，故 x x y y0 ，则 x 1 21 212 y 120 ，f (x) 0 ，又 x 24 y ，解得 y4 或 y0 （舍），1111所以 x 4，于是 △OPQ 的面积为1△S OPQ12x y16 ．11因此 f ( x )的单调递减区间为 0,π3，单调递增区间为 , π ，3（2）直线 PQ 的斜率存在，设直线 PQ 的方程为 y kx m ，∴ f ( x )的最大值为 maxf (0), f ( π )maxπ 1, 1 2π1． 2代入 x 24 y ，得 x 2 4k x 4m 0 ， Δ16k 216m 0 ，2（2）证明：先证 x sin x cos x 1 0 ，π且 xx4k ， x x4m ，121 2因为 OP OQ ，所以 OP OQ x xy y0 ，1 21 2令 g ( x )2πx sin x cos x 1 ，故 x x1 2x 2 x 21 2 160 ，则 4m m20 ，所以 m 4 或 m 0 （舍），则 g22 π (x)cos x sin x 2 sin( x ) ， π π 4因为 △OPM 与 △OQM 的面积相等，所以 M 为 PQ 的中点，π 2由 y 2 sin( x ) ， x [0, π] 与 y 的图象易知，22 0 00 π2π4π7存在x [0,π]，使得g0(x )0，（2）设点Q的极坐标为Q(,)，故x (0,x )时，g0(x)0；x (x,π)时，g(x)0，易知OR9cos2364sin2，OP2cos8sin，所以g(x)的单调递减区间为(0,x )，单调递增区间为(x,π)，00所以g(x)的最大值为max{g(0),g(π)}，而g(0)0，g(π)0，22又由a ，x 0，所以ax sin x 1cos x x sin x 1cos x 0，ππ1故代入2OR 9OP OQ，得9cos24sin22cos2cos si n即2，9cos24sin2所以点Q的轨迹的直角坐标方程为2x y 9x 4y．sin，2当且仅当a ，x 0或π，取“”成立，即f(x)cos x0．π23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数f(x)x 3x 1，M为不等式f(x) 2 的解集．（1）求M ；请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．（2）证明：当log b M时，2aa 2b 2a b12．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】【答案】（1）M (0,)；（2）证明见解析．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C:x 2cosy 3sin（为参数），直线【解析】（1）当x 3时，f(x)42成立；当1x 3时，f(x)3x x 122x 2，∴0x 3；l:2x y 8 ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C和直线l的极坐标方程；当x 1时，f(x)4 2 ，不成立．（2）点P在直线l上，射线O P交曲线C于点R，点Q在射线OP上，且综上，M (0,)．满足2OR 9OP OQ，求点Q的轨迹的直角坐标方程．a 10a 1（2）证明：根据题意，得logb 0，∴或，b 10b 1【答案】（1）2cos422s in21，29cos sin 8；（2）要证2a 2b 2a b12成立，2x y 9x24y2．即证4a 4b 22a b 4a b1422a b成立，【解析】（1）曲线C的极坐标方程为2cos422sin921，即证4a 4b 4a b 140成立，4a 4b 4a b144a (14b 1)4(4b 11)(4b 11)(44a)，直线l的极坐标方程为2cos sin 8．22222a8当a 1b 1时，(4b 11)0，(44a)0；当0a 10b 1时，(4b 1 1)0，(44a)0，故(4b 1 1)(44)0，所以4a 4b 4a b 140成立，即2a 2b 2a b12成立．9 a。

2020届全国大联考高三第四次联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2|340A x x x =--<，{}|23xB y y ==+，则A B =U （ ） A ．[3,4) B ．(1,)-+∞C ．(3,4)D ．(3,)+∞【答案】B【解析】分别求解集合,A B 再求并集即可. 【详解】因为{}2|340{|14}A x x x x x =--<=-<<,{}|23xB y y ==+{|3}y y =>,所以(1,)A B =-+∞U . 故选：B 【点睛】本题考查集合的运算与二次不等式的求解以及指数函数的值域等.属于基础题. 2．若直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为则m =（ ）A ．1B ．2C D ．3【答案】A【解析】将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可. 【详解】圆222230x x y y ++--=的标准方程22(1)(1)5x y ++-=,圆心坐标为(1,1)-,半径因为直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为所以直线20x y m ++=过圆心,得2(1)10m ⨯-++=,即1m =. 故选：A 【点睛】本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题. 3．抛物线23x ay =的准线方程是1y =，则实数a =（ ） 3344【答案】C【解析】根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可. 【详解】因为准线方程为1y =,所以抛物线方程为24x y =-,所以34a =-,即43a =-. 故选：C 【点睛】本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题.4．已知三棱柱的高为4，底面是边长为2的等边三角形，则该三棱柱的体积为（ ）A ．B ．C ．4D ．6【答案】B【解析】根据柱体的体积公式求解即可. 【详解】三棱柱底面的面积为224S =⨯=故体积为V Sh ==故选：B 【点睛】本题考查棱柱的体积公式.属于基础题. 5．已知:cos sin 2p x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，:q x y =则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据诱导公式化简sin cos 2y y π⎛⎫+= ⎪⎝⎭再分析即可. 【详解】因为cos sin cos 2x y y π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,所以q 成立可以推出p 成立,但p 成立得不到q 成立,例如5coscos33ππ=,而533ππ≠,所以p 是q 的必要而不充分条件. 故选：B本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题.6．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（ ） A ．15︒ B ．30︒C ．45︒D ．60︒【答案】D【解析】设圆锥的母线长为l ,底面半径为R ,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得2l R =即可得圆锥轴截面底角的大小. 【详解】设圆锥的母线长为l ,底面半径为R ,则有2222R Rl R R ππππ+=+,解得2l R =,所以圆锥轴截面底角的余弦值是12R l =,底角大小为60︒. 故选：D 【点睛】本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.7．已知F 是双曲线22:4||C kx y k +=（k 为常数）的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为（ ） A ．2k B ．4kC ．4D ．2【答案】D【解析】分析可得k 0<,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可. 【详解】当0k ≥时,等式224||kx y k +=不是双曲线的方程；当k 0<时,224||4kx y k k +==-,可化为22144y x k -=-,可得虚半轴长2b =,所以点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为2. 故选：D 【点睛】本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题. 8．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，下列叙述正确的是（ ） A ．单调递增 B ．单调递减C ．先递减后递增D ．先递增后递减【解析】先用诱导公式得()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再根据函数图像平移的方法求解即可. 【详解】函数()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移3π个单位得到,如图所示,()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增.故选：C 【点睛】本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.9．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 、11A D 上，且11(0)A P AQ m m a ==<<，设平面MEF I 平面MPQ l =，则下列结论中不成立的是（ ）A ．//l 平面11BDDB B ．l MC ⊥C ．当2am =时，平面MPQ MEF ⊥ D ．当m 变化时，直线l 的位置不变【答案】C【解析】根据线面平行与垂直的判定与性质逐个分析即可. 【详解】因为11A P AQ m ==,所以11//PQB D ,因为E 、F 分别是AB 、AD 的中点,所以//EF BD ,所以//PQ EF ,因为面MEF I 面MPQ l =,所以PQ EF l ////.选项A 、D 显然成立； 因为BD EF l ////,BD ⊥平面ACC A ,所以l ⊥平面ACC A ,因为MC ⊂平面11ACC A ,所以l MC ⊥,所以B 项成立；易知1AC ⊥平面MEF ,1A C ⊥平面MPQ ,而直线1AC 与1A C 不垂直,所以C 项不成立. 故选：C 【点睛】本题考查直线与平面的位置关系.属于中档题.10．已知抛物线22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点且MN 为过焦点的弦，若||1OF =，||8MN =，则OMN V 的面积为（ ）A ．B ．C ．D 【答案】A【解析】根据||1OF =可知24y x =,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可. 【详解】由题意可知抛物线方程为24y x =,设点()11,M x y 点()22,N x y ,则由抛物线定义知,12|||||2MN MF NF x x =+=++,||8MN =则126x x +=.由24y x =得2114y x =,2224y x =则221224y y +=.又MN 为过焦点的弦,所以124y y =-,则21y y -==所以211||2OMN S OF y y =⋅-=V 故选：A【点睛】本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.11．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC V 的面积为1)，则b c +=（ ） A ．5 B ．C ．4D ．16【答案】C【解析】根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4A π=,再根据面积公式可求得【详解】ABC V 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈, ∴4A π=.∵1sin 1)24ABC S bc A ===-V , ∴bc=6(2-,∵2a =,∴由余弦定理可得22()22cos a b c bc bc A =+--,∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.故选：C 【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.12．存在点()00,M x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，且点M 在第一象限，使得过点M 且与椭圆在此点的切线00221x x y y a b +=垂直的直线经过点0,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A．⎛ ⎝⎦B．⎫⎪⎪⎝⎭C．⎛ ⎝⎦ D．⎫⎪⎪⎝⎭【答案】D【解析】根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可. 【详解】因为过点M 椭圆的切线方程为00221x x y ya b+=,所以切线的斜率为2020b x a y -,由20020021b y b x x a y +⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭,解得3022by b c =<,即222b c <,所以2222a c c -<,所以3c a >. 故选：D 【点睛】二、填空题13．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线斜率分别为1k ，2k ，若123k k =-，则该双曲线的离心率为________. 【答案】2【解析】由题得21223b k k a=-=-,再根据2221b e a =-求解即可.【详解】双曲线22221x y a b-=的两条渐近线为b y x a =±,可令1k b a =-,2k b a =,则21223b k k a =-=-,所以22213b e a=-=,解得2e =.故答案为：2. 【点睛】本题考查双曲线渐近线求离心率的问题.属于基础题.14．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，E 、F 分别为CD 、AB 的中点，则异面直线1B F 与1D E 所成的角为________.【答案】60︒【解析】连接1A F 、EF ,可得11A FB ∠即为异面直线1B F 与1D E 所成的角.再根据三角形中的关系分析即可. 【详解】连接1A F 、EF ,则易证四边形11A D EF 为平行四边形,所以11D E A F ∥,所以11A FB ∠即为异面直线1B F 与1D E 所成的角.因为2AB =,13AA =所以可求得112A F B F AB ===,所以11A FB V 为等边三角形,则1160A FB ︒∠=.故答案为：60︒ 【点睛】本题考查异面直线所成的角.需要根据题意构造三角形进行求解.属于基础题. 15．已知在等差数列{}n a 中，717a =，13515a a a ++=，前n 项和为n S ，则6S =________.【答案】39【解析】设等差数列公差为d ,首项为1a ,再利用基本量法列式求解公差与首项,进而求得6S 即可.【详解】设等差数列公差为d ,首项为1a ,根据题意可得711116172415a a d a a d a d =+=⎧⎨++++=⎩,解得113a d =-⎧⎨=⎩,所以6116653392S =-⨯+⨯⨯⨯=. 故答案为：39 【点睛】本题考查等差数列的基本量计算以及前n 项和的公式,属于基础题.16．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点和椭圆22143x y +=的右焦点重合，直线过抛物线的焦点F 与抛物线交于P 、Q 两点和椭圆交于A 、B 两点，M 为抛物线准线上一动点，满足||||8PF MF +=，3MFP π∠=，则直线AB 的方程为________.【答案】3(1)y x =-【解析】根据||||8PF MF +=,3MFP π∠=可得MFP V 为正三角形且边长为4,进而求得直线AB 的倾斜角,再求解方程.由椭圆22143x y +=,可知1c =,12p =,2p =,∴24y x =,在MFP V 中,3MFP π∠=,PF PM =,故MFP V 为正三角形.又||||8PF MF +=,故||||4PF MF ==13||||sin ||||43234MFP S PF MF PF MF π=⋅=⋅=V ∵||4MF =,12F F =,∴16FMF π∠=,13MFF π∠=,∴直线AB 的倾斜角为3π,将直线方程3(1)y x =-. 故答案为：3(1)y x =- 【点睛】本题考查抛物线与椭圆综合运用,同时也考查直线方程的倾斜角与斜率点斜式等.属于中档题.三、解答题17．在数列{}n a 和等比数列{}n b 中，10a =，32a =，()1*2n a n b n N +=∈.（1）求数列{}n b 及{}n a 的通项公式； （2）若12n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】（1）1n a n =-，2nn b =（2）2(2)2n n S n =+-⨯【解析】(1)根据10a =与32a =可求得12b =,3328b ==再根据等比数列的基本量求解即可.(2)由(1)可得1(1)2n n c n -=-⨯,再利用错位相减求和即可.【详解】（1）依题意12b =,3328b ==,设数列{}n b 的公比为q ,由120n a n b +=>,可知0q >,由223128b b q q =⋅=⨯=,得24q =,又0q >,则2q =, 故111222n n nn b b q --==⨯=,又由122n a n +=,得1n a n =-.（2）依题意1(1)2n n c n -=-⨯.01221021222(2)2(1)2n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯,①则12312021222(2)2(1)2n nn S n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯,②①-②得12122222(1)2(1)212nn nn n S n n ---=+++--⨯=--⨯-…,即2(2)2n n S n -=-+-⨯,故2(2)2nn S n =+-⨯.【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求解以及错位相减求和等.属于中档题. 18．如图，在四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ，1SD =，5cos ASD ∠=，底面ABCD 是边长为2的菱形，点E ，F 分别为棱DC ，BC 的中点，点G 是棱SC 靠近点C 的四等分点.求证：（1）直线SA P 平面EFG ； （2）直线AC ⊥平面SDB . 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1) 连接AC 、BD 交于点O ,交EF 于点H ,连接GH ,再证明SA GH ∥即可. (2)证明AC BD ⊥与SD AC ⊥即可. 【详解】（1）连接AC 、BD 交于点O ,交EF 于点H ,连接GH ,所以O 为AC 的中点,H 为OC中SA GH ∥,SA ⊄平面EFG ,GH ⊂平面EFG ,所以直线SA P 平面EFG .（2）在ASD V 中,1SD =,2AD =,5cos 5ASD ∠=,由余弦定理得,222AD SA SD =+-2cos SA SD ASD ⋅∠,即222521215SA SA =+-⨯⨯,解得5SA =由勾股定理逆定理可知SD DA ⊥,因为侧面SAD ⊥底面ABCD ,由面面垂直的性质定理可知SD ⊥平面ABCD ,所以SD AC ⊥,因为底面ABCD 是菱形,所以AC BD ⊥,因为SD BD D =I ,所以AC ⊥平面SDB .【点睛】本题考查线面平行与垂直的证明.需要根据题意利用等比例以及余弦定理勾股定理等证明.属于中档题.19．设抛物线2:2(0)C y px p =>过点(,2)(0)m m m >.（1）求抛物线C 的方程；（2）F 是抛物线C 的焦点，过焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，若2BF FA =u u u r u u u r ，求||AB 的值.【答案】（1）24y x =（2）92【解析】(1)代入(,2)m m 计算即可.(2) 设直线AB 的方程为(1)y k x =-,再联立直线与抛物线的方程,消去x 可得y 的一元二次方程,再根据韦达定理与2BF FA =u u u r u u u r求解k ,进而利用弦长公式求解即可.【详解】解：（1）因为抛物线2:2(0)C y px p =>过点(,2m m ,所以42m pm =,所以2p =,抛物线的方程为24y x =（2）由题意知直线AB 的斜率存在,可设直线AB 的方程为(1)y k x =-,()11,A x y ,()22,B x y .因为2BF FA =u u u r u u u r ,所以212y y =-,联立2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩,化简得2440y y k --=,所以124y y k+=,124y y =-,所以14y k =-,212y =,解得22k =±,所以()212122199||141882AB y y y y k =++-=⨯=. 【点睛】 本题考查抛物线的方程以及联立直线与抛物线求弦长的简单应用.属于基础题.20．已知在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，在四边形ABCD 中，DA AB ⊥，AD BC ∥，22AB AD BC ===，E 为PB 的中点，连接DE ，F 为DE 的中点，连接AF .（1）求证：⊥AF PB ；（2）求点D 到平面AEC 的距离.【答案】（1）见解析（2）26 【解析】(1) 连接AE ,证明PB AD ⊥与AE PB ⊥,进而证得PB ⊥面ADE 即可证明⊥AF PB .(2)利用等体积法D AEC E ACD V V --=求解即可.【详解】解：（1）连接AE ,在四边形ABCD 中,DA AB ⊥,PA ⊥平面ABCD ,AB Ì面ABCD ,∴AD PA ⊥,PA AB A =I ,∴AD ⊥面PAB ,又∵PB ⊂面PAB ,∴PB AD ⊥,又∵在直角三角形PAB 中,PA AB =,E 为PB 的中点,∴AE PB ⊥,AD AE A ⋂=, ∴PB ⊥面ADE ,AF ⊂面ADE ,∴⊥AF PB .（2）由22PA AB AD BC ====,∴12AE PB ==AC =EC =,∴222AE EC AC +=,∴12AEC S ==V 设点D 到平面AEC 的距离为d ,∵D AEC E ACD V V --=,∴111122332d =⨯⨯⨯⨯,∴d =【点睛】本题主要考查了证明线面垂直与线线垂直的方法,同时也考查了等体积法求点到面的距离问题,属于中档题.21．已知椭圆22:22:1(0)x y E a b a b+=>>的左右焦点分别是1F ，2F ，离心率12e =过点1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆E 截得的线段长为3.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线l 过椭圆E 的右焦点2F ，且与x 轴不重合，交椭圆E 于M ，N 两点，求||MN 的取值范围.【答案】（1）22143x y +=（2）[3,4) 【解析】(1)代入x c =-求解椭圆E 上的点的坐标,再根据线段长为3以及12e =求解即可.(2)分析直线l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠,联立直线与椭圆的方程,再根据弦长公式与斜率的范围求解即可.【详解】（1）由于222c a b =-,将x c =-代入椭圆方程22221x y a b +=,即2b y a =±,由题意知223b a=,即223a b =,又12c e a ==,所以2a =,b =所以椭圆E 的方程为22143x y +=. （2）当直线l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠,()11,M x y ,()22,N x y . 由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22224384120k x k x k +-+-=,则2122843k x x k +=+, 212241243k x x k -=+,所以()212221213||34343k MN x k k +=-==+++, 所以||(3,4)MN ∈.当直线l 与x 轴垂直时,||3MN =.综上所述,||MN 的取值范围为[3,4).【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求解以及弦长公式的运用等,属于中档题.22．已知函数21()4ln 2f x x x =-+. （1）求()f x 的单调区间；（2）讨论()1()2f x g x b x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭零点的个数. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)求导后分析导函数的正负再判断单调性即可. (2) 4ln ()x g x bx x -=+,()g x 有零点等价于方程4ln 0x bx x-+=实数根,再换元将原方程转化为2ln t b t =,再求导分析2ln ()t h t t =的图像数形结合求解即可. 【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞,244()x f x x x x-'=-+=,当02x <<时,()0f x '<,所以()y f x =在(0,2)单调递减；当2x >时,()0f x '>,所以()y f x =在(2,)+∞单调递增,所以()y f x =的减区间为(0,2),增区间为(2,)+∞.（2）4ln ()x g x bx x -=+,()g x 有零点等价于方程4ln 0x bx x-+=实数根,令2(0)x t t =>则原方程转化为2ln t b t =,令2ln ()t h t t =,22(1ln )()t h t t -'=.令()0h t '=,t e =,∴(0,)t e ∈,()0h t '>,(,)t e ∈+∞,()0h t '<,max 2()()h t h e e ==,当1t e=时,()20h t e =-<,当t e >时,()0h t >. 如图可知①当0b ≤时,()h t 有唯一零点,即g(x)有唯一零点；②当20b e <<时,()h t 有两个零点,即g(x)有两个零点； ③当2e b =时,()h t 有唯一零点,即g(x)有唯一零点； ④2b e>时,()h t 此时无零点,即g(x)此时无零点. 【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的单调性的方法,同时也考查了利用导数分析函数零点的问题,属于中档题.。

绝密★启用前全国大联考2020届高三毕业班下学期4月联合质量检测数学(文)试题 (解析版)2020年4月一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1.不等式110x->成立的充分不必要条件是（ ） A. 1x >B. 1x >-C. 1x <-或01x <<D. 10x -≤≤或1x > 【答案】A 【解析】 【分析】求解不等式110x ->的解集，其充分不必要条件即该解集的真子集即可. 【详解】解110x->，()10,10x x x x ->->， 得()(),01,x ∈-∞+∞，其充分不必要条件即该解集的真子集，结合四个选项A 符合题意. 故选：A【点睛】此题考查充分不必要条件的辨析，关键在于准确求解分式不等式，根据充分条件和必要条件的集合关系判定.2.复数 12z i =+的共轭复数是z ，则z z ⋅=（ ）B. 3C. 5【答案】C 【解析】【分析】根据 12z i =+，写出其共轭复数 12z i =-，即可求解. 【详解】由题 12z i =+，其共轭复数 12z i =-， ()()21212145z z i i i ⋅=+-=-=. 故选：C【点睛】此题考查共轭复数的概念和复数的基本运算，关键在于熟练掌握复数的乘法运算.3.甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为x 甲、x 乙标准差分别为σ甲、σ乙，则( )A. x x <甲乙，σσ<甲乙B. x x <甲乙，σσ>甲乙C. x x >甲乙，σσ<甲乙D. x x >甲乙，σσ>甲乙【答案】C 【解析】 【分析】通过读图可知甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知x x >甲乙，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故σσ<甲乙. 【详解】由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知x x >甲乙，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故σσ<甲乙.故选.。

2020届高三第二次联考试卷文科数学本卷分第Ⅰ卷(选择题、填空题)和第Ⅱ卷解答题两部分，满分150分. 考试用时间120分钟. 注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、班级用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答卷上； 2．第I 卷每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应表格指定位置上. 答在第Ⅰ卷上不得分；3．考试结束，考生只需将第Ⅱ卷（含答卷）交回. 参考公式: 锥体的体积公式13V Sh =, 其中S 是锥体的底面积, h 是锥体的高.第Ⅰ卷(选择题、填空题共70分)一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设全集{}{}R,(3)0,1U A x x x B x x ==+<=<-, 则下图中阴影部分表示的集合为 ( )A. {}0x x >B. {}30x x -<<C. {}31x x -<<-D. {}1x x <-2. 已知正方形ABCD 的边长为1, 则AB BC AC ++u u u r u u u r u u u r=（ ）A. 0B. 2C.2 D. 223. 两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km , 灯塔A 在观察站C 的北偏东20o, 灯塔B 在观察站C 的南偏东40o，则灯塔A 与灯塔B 的距离为 ( )km A. a B.a 2 C. a 2 D. a 34. 曲线x x x f ln )(=在点1=x 处的切线方程为（ ）A. 22+=x yB. 22-=x yC. 1-=x yD. 1+=x y5. 设函数22(,2]()log (2,)x x f x x x ⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足()4f x =的x 的值是 ( )A. 2B. 16C. 2或16D. 2-或166. 设向量311(sin ,),(,cos ),432a xb x ==r r 且//a b r r , 则锐角x 为（ ） A. 6π B. 4π C. 3πD. π125 7. 已知等差数列{}n a 中, 315,a a 是方程2610x x --=的两根, 则7891011a a a a a ++++等于（ ）A. 18B. 18-C. 15D. 128. 已知函数sin()y A x m ωϕ=++的最大值是４, 最小值是0, 最小正周期是2π, 直线3x π=是其图象的一条对称轴, 则下面各式中符合条件的解析式是（ ）A. 4sin(4)6y x π=+ B. 2sin(2)23y x π=++ C. 2sin(4)23y x π=++ D. 2sin(4)26y x π=++ 9. 若函数)(x f y =的图象如右下图所示, 则函数)1(x f y -=的图象大致为 ( )10. 已知0a >且21,()x a f x x a ≠=- , 当(1,1)x ∈- 时均有1()2f x <　, 则实数a 的取值范围是( )A. [)∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛，，221 0YB. (]4,11,41 Y ⎪⎭⎫⎢⎣⎡C. (]2 11,21， Y ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ D. [)∞+⎥⎦⎤⎝⎛， 441,0Y 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 函数5||4)(--=x x x f 的定义域为_____ ________.12. 若()f n 为21n +的各位数字之和()n *∈N , 如: 因为2141197,19717+=++=, 所以(14)17f =. 记1()()f n f n =,21()(())f n f f n =, …,1()(())k k f n f f n += (k *∈N ), 则2008(8)f = .13. 如下图是由大小相同的长方体木块堆成的几何体的三视图, 则此几何体共由____ _____块木块堆成.14. 对于函数x x x f cos sin )(+=, 给出下列四个命题:① 存在)2,0(πα∈, 使34)(=αf ; 俯视图侧视图正视图D.C.A. B.② 存在)2,0(πα∈, 使)3()(αα+=+x f x f 恒成立;③ 存在R ϕ∈, 使函数)(ϕ+x f 的图象关于y 轴对称; ④ 函数f (x )的图象关于点)0,43(π对称;⑤ 若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 则()f x ∈. 其中正确命题的序号是 .2020年文科数学答题卷二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11. 12.13. 14.第Ⅱ卷(解答题共80分)三、解答题（共6小题，满分80分） 15. (本小题满分14分)已知向量(cos ,sin )=r a αα, (cos ,sin )=rb ββ, -=r r a b .(Ⅰ) 求cos()αβ-的值; (Ⅱ) 若0πα<<, 0πβ-<<, 且5sin β=-, 求sin α.班 姓 学号 考16. (本小题满分12分)已知函数32()(4)3(6)f x x m x mx n =+--+-在定义域内是奇函数. (1) 求m , n 的值;(2) 求()f x 在区间[3,2]-上的极值和最值.17. (本小题满分14分)已知点集{}(,)L x y y ==⋅u u r r m n , 其中(22,1),(1,12)x b b =-=+u u r rm n 为向量, 点列(,)n n n P a b 在点集L 中, 1P 为L 的轨迹与y 轴的交点, 已知数列{}n a 为等差数列, 且公差为1, *N n ∈.(1) 求数列{}n a , {}n b 的通项公式;(2) 求1n n OP OP +⋅u u u r u u u u u r 的最小值;(3) 设1(2)n n n n c n n a P P +=≥⋅u u u u u u r , 求234n c c c c ++++L 的值.18. (本小题满分14分)(1) 如图1, 在三棱锥A BCD -中, ,M N 分别是ABC ∆和ACD ∆的重心, 求证://MN BD .(2) 如图2, 在三棱锥S ABC -的侧棱,,SA SB SC 上分别取,,A B C '''三点, 使12SA SA '=, 13SB SB '=, 14SC SC '=, 过,,A B C '''三点作截面将棱锥分成上、下两部分, 求这两部分的体积比. 学号 考室19. (本小题满分12分)某西部山区的某种特产由于运输的原因, 长期只能在当地销售. 当地政府通过投资对该项特产的销售进行扶持, 已知每投入x 万元, 可获得纯利润100)40(16012+--=x P 万元 (已扣除投资, 下同). 当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售, 其规划方案为: 在未来10年内对该项目每年都投入60万元的销售投资, 其中在前5年中, 每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路. 公路5年建成, 通车前该特产只能在当地销售; 公路通车后的5年中, 该特产既在本地销售, 也在外地销售, 在外地销售的投资收益为: 每投入x 万元, 可获纯利润)60(2119)60(1601592x x Q -+--=万元. 问仅从这10年的累积利润看, 该规划方案是否可行?20.（本小题满分14分）已知函数()22xx af x =-, 将()y f x =的图象向右平移两个单位, 得到()yg x =的图象.(1) 求函数()y g x =的解析式;(2) 若函数()y h x =与函数()y g x =的图象关于直线1y =对称, 求函数()y h x =的解析式;(3) 设1()()(),F x f x h x a=+ 设()F x 的最小值为m . 是否存在实数a , 使2m >若存在, 求出a 的取值范围, 若不存在, 说明理由.室2020年联考文科数学答案一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） CDDCC BCDAC二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11. {x |45x x ≥≠且} 12. 11 13. 5 14. ①③④⑤ 三、解答题（共6小题，满分80分）15. 解:（Ⅰ）(cos ,sin )=r Q a αα, (cos ,sin )=rb ββ, ()cos cos ,sin sin ∴-=--r rαβαβa b . ………………………………………………… (2)5-=r r Q a b ,5=, …………………… (4) 即 ()422cos 5αβ--=, ()3cos 5αβ∴-=. (7)（Ⅱ）0,0,022ππαβαβπ<<-<<∴<-<Q , (8)()3cos 5αβ-=Q ,()4sin .5αβ∴-= (9)5sin 13β=-Q ,12cos 13β∴=, (10)()sin sin ∴=-+⎡⎤⎣⎦ααββ ……………………………………………………………… (12)()()sin cos cos sin =-+-αββαββ ………………………………………………… (13)412353351351365⎛⎫=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭. ………………………………………………………………………… (14) 16. 解: (1) 依题意得()()f x f x -=-, (1)即3232()(4)()3()(6)(4)3(6)x m x m x n x m x mx n -+----+-=---+--, ……………… (2)∴22(4)2(6)0m x n -+-=, ……………………………………………………………………… (3) 故4m =,6n =. ……………………………………………………………………………………(4)(2)由(1)得3()12f x x x =-, ………………………………………………………………………(5)∴2()3123(2)(2)f x x x x '=-=-+, …………………………………………………… (6)当(3,2)x ∈--时, ()0f x '>, ()f x 单调递增; 当(2,2)x ∈-时, ()0f x '<, ()f x 单调递减;……………………………………………………………………………………………… (8)所以当2x =-时,()f x 有极大值16. (9)(3)9f -=Q , (2)16f =-, ……………………………………………………………………… (10) max ()(2)16f x f ∴=-=,min ()(2)16f x f ∴==-. (12)17.解:(1)由y =⋅u u r r m n,(22,1),(1,12)x b b =-=+u u r rm n , 得:12+=x y (2)即 :L 12+=x y Q 1P 为L 的轨迹与y 轴的交点, 1(0,1)P ∴ 则 110,1a b == (3)Q数列{}n a 为等差数列, 且公差为1, 1 (N )n a n n *∴=-∈, ………………………………… (4) 代入12+=x y , 得:2 1 (N )n b n n *=-∈ (5)(2) (1,21)n P n n --Q , 1(,21)n P n n +∴+,221121(1,21)(,21)515()1020n n OP OP n n n n n n n +∴⋅=--⋅+=--=--u u u r u u u u u r (8)Nn *∈Q , 所以当1n =时,1n n OP OP +⋅u u u r u u u u u r有最小值, 为3. (9)(3) 当2≥n 时, )12,1(--n n P n ,得:11),n n n a P P n +⋅=-u u u u u u r…………………………………(10)111(1)1n C n n n n===---, (12)23111111(1)()()12231n C C C n n n∴+++=-+-++-=--L L L . …………………… (14)18. 解: (1) 连结AM , 延长交BC 于P ; 连结AN , 延长交CD 于Q , 连结PQ . (1),M N Q 分别是ABC ∆和ACD ∆的重心,23AM AN AP AQ ∴==. ...................................................... (3) //MN PQ ∴, 且,P Q 分别是,BC CD 的中点. ..................... (5) ∴//PQ BD , (6)由公理4知: //MN BD . (7)(2) 解:sin 1sin 12SB C SBC S SB SC B SC S SB SC B SC ''∆∆''''⋅∠==''⋅∠, ……………………… (10) 设点A '到平面SBC 的距离为h ', A 点到平面SBC 的距离为h .12SA SA '=Q , 12h h '∴=. …………………………………………… (12) 1131243SB C S A B C A SB C S ABC A SBCSBC S h V V V V S h ''∆''''''----∆'⋅===⋅. .................................... (13) 故三棱锥被分成的两部分的体积比为1:23. (14)19. 解: 在实施规划前, 由题设100)40(16012+--=x P (万元), 知每年只须投入40万, 即可获得最大利润100万元. 则10年的总利润为W 1=100×10=1000（万元）. …………………………………………… (3) 实施规划后的前5年中, 由题设100)40(16012+--=x P 知, 每年投入30万元时, 有最大利润8795max =P (万元). ………………………………………………………………………………………………………… (5) 前5年的利润和为8397558795=⨯(万元). (6)设在公路通车的后5年中, 每年用x 万元投资于本地的销售, 而用剩下的（60－x ）万元于外地区的销售投资, ………………………………………………………………………………………………………… (7) 则其总利润为5)2119160159(5]100)40(1601[222⨯+-+⨯+--=x x x W 4950)30(52+--=x . ……………………………… (9) 当x =30时，W 2|max =4950（万元）. (10)AB CD M NQPSC'B'A'CBA从而10年的总利润为495083975+（万元）. (11)1000495083975>+Θ,∴该规划方案有极大实施价值. …………………………………………… (12) 20. 解: (1) 由题设,()g x (2)f x =-2222x x a--=-. (2)(2) 设点(,)x y 在()y h x =的图象上, 点11(,)x y 在()y g x =的图象上, 且与点(,)x y 关于直线1y =对称, 则112x xy y=⎧⎨=-⎩, (4)2(),2()y g x y g x ∴-=∴=-, 即22()222x x ah x --=-+. (6)(3)由题设,21()2xx F x a =-+22222x x a ---+＝111()2(41)242x x a a -+-+ ………………… (7) 0a ≠Q① 当0a <时, 有114a -0<, 410a -<, 而2x0>, 12x 0>,()2F x ∴<, 这与()F x 的最小值2m >+矛盾; …………………………………………… (8) ② 当104a <≤时, 有114a -0>, 410a -≤, 此时()F x 在R 上是增函数, 故不存在最小值;……………………………………………………………………………………………………… (9) ③ 当4a ≥时, 有114a -0≤, 410a ->, 此时()F x 在R 上是减函数, 故不存在最小值;……………………………………………………………………………………………………… (10) ④当144a <<时, 有114a -0>,410a ->,()2F x ≥, (11)当且仅当2x=时取得等号,()F x 取最小值m=2. (12)又2m >+及144a <<, 得(4)(41)744144a a a a --⎧>⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩ …………………………………………… (13) 1212,21244a a a ⎧<<⎪⎪∴<<⎨⎪<<⎪⎩. (14)。