中考总复习：图形的相似--巩固练习(基础)

苏科版数学中考专题复习：图形的相似综合压轴题专项练习题汇编1．已知四边形ABCD中，M，N两点分别在AB，BD上，且满足∠MCN＝∠BDC．（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，①求证：△ACM∽△DCN；②求证：DN+BM＝CD；（2）如图2，当四边形ABCD为菱形时，若∠BAD＝120°，试探究DN，BM，CD的数量关系．2．在△ABC中，CA＝CB＝m，在△AED中，DA＝DE＝m，请探索解答下列问题．【问题发现】（1）如图1，若∠ACB＝∠ADE＝90°，点D，E分别在CA，AB上，则CD与BE的数量关系是，直线CD与BE的夹角为；【类比探究】（2）如图2，若∠ACB＝∠ADE＝120°，将△AED绕点A旋转至如图2所示的位置，则CD与BE之间是否满足（1）中的数量关系？说明理由．【拓展延伸】（3）在（1）的条件下，若m＝2，将△AED绕点A旋转过程中，当B，E，D三点共线．请直接写出CD的长．3．已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．问题发现：（1）①如图1，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF于G，则＝；②如图2，当四边形ABCD是矩形时，且DE⊥CF于G，AB＝m，AD＝n，则＝；拓展研究：（2）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，且∠B+∠EGC＝180°时，求证：；解决问题：（3）如图4，若BA＝BC＝5，DA＝DC＝10，∠BAD＝90°，DE⊥CF于G，请直接写出的值．4．在等边△ABC中，D，E分别是AC，BC上的点，且AD＝CE，连接BD、AE相交于点F．（1）如图1，当时，＝；（2）如图2，求证：△AFD∽△BAD；（3）如图3，当时，猜想AF与BF的数量关系，并说明理由．5．如图1，点D是△ABC中AB边上一点，∠ACD＝∠B，BC2＝AB•BD．（1）求证：∠ADC＝∠ACB；（2）求∠ACB的度数；（3）将图1中的△BCD绕点C顺时针旋转得到△ECF，BD的对应边EF经过点A（如图2所示），若AC＝2，求线段CD的长．6．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点M为AB边上一个动点，连接DM，过点M作MN ⊥DM，且MN＝DM，连接DN．（1）如图①，连接BD与BN，BD交MN于点E．①求证：△ABD∽△MND；②求证：∠CBN＝∠DNM；（2）如图②，当AM＝4BM时，求证：A，C，N三点在同一条直线上．7．在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上，AB＝8，AD＝6．（1）如图1，当点G在CD上时，求AE+DG的值；（2）如图2，FG与CD相交于点N，连接EN，当EF平分∠AEN时，求证：EN＝AE+DN；（3）如图3，EG，FG分别交CD于点M，N，当MG2＝MN•MD时，求AE的值．8．【问题背景】如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，由已知可以得到：①△≌△；②△∽△．【尝试应用】如图2，在△ABC和△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE ＝30°，求证：△ACE∽△ABD．【问题解决】如图3，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE ＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC上，，求的值．9．已知正方形ABCD中，点E是边CD上一点（不与C、D重合），将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，如图1，连接EF分别交AC、AB于点P、G．（1）请判断△AEF的形状；（2）求证：P A2＝PG•PF；（3）如图2，当点E是边CD的中点时，PE＝1，求AG的长．10．如图，等边△ABC的边长为12，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝4，点F 为BA延长线上一点，过点F作直线l∥BC，G为射线BC上动点，连接GD并延长交直线l于点H，连接FE并延长交BC于点M，连接HE并延长交射线BC于点N．（1）若AF＝4，当BG＝4时，求线段HF和EH的长；（2）若AF＝a（a＞0），点G在运动过程中，请判断△HGN的面积是否改变．若不变，求出其值（用含a的代数式表示）；若改变，请说明理由．11．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．（1）如图1，点D为AC上一点，DE∥BC交AB边于点E，若＝，求AD及DE的长；（2）如图2，折叠△ABC，使点A落在BC边上的点H处，折痕分别交AC、AB于点G、F，且FH∥AC．①求证：四边形AGHF是菱形；②求菱形的边长；（3）在（1）（2）的条件下，线段CD上是否存在点P，使得△CPH∽△DPE？若存在，求出PD的长；若不存在，请说明理由．12．如图①，AB∥MH∥CD，AD与BC相交于点M，点H在BD上．求证：．小明的部分证明如下：证明：∵AB∥MH，∴△DMH∽△DAB，∴．同理可得：＝，…．（1）请完成以上的证明（可用其他方法替换小明的方法）；（2）求证：；（3）如图②，正方形DEFG的顶点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，E、F在边BC 上，AN⊥BC，交DG于M，垂足为N，求证：．13．【问题情境】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，我们可以得到如下正确结论：①CD2＝AD•BD；②AC2＝AB•AD；③BC2＝AB•BD，这些结论是由古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理”．（1）请证明“射影定理”中的结论③BC2＝AB•BD．【结论运用】（2）如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF．①求证：△BOF∽△BED．②若CE＝2，求OF的长．14．如图①，在正方形ABCD中，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，将△ABP沿直线AP翻折得到△AEP，点Q是CD的中点，连接BQ交AE于点F，若BQ∥PE．（1）求证：△ABF∽△BQC；（2）求证：BF＝FQ；（3）如图②，连接DE交BQ于点G，连接EC，GC，若FQ＝6，求△GBC的面积．15．如图1，已知等边△ABC的边长为8，点D在AC边上，AD＝2，点P是AB边上的一个动点．（1）连接PC、PD．①当AP＝时，△APD∽△ACP；②若△APD与△BPC相似，求AP的长度；（2）已知点Q在线段PB上，且PQ＝2．①如图2，若△APD与△BQC相似，则∠ACQ与∠PDC之间的数量关系是；②如图3，若E、F分别是PD、CQ的中点，连接EF，线段EF的长是否是一个定值，若是，求出EF的长，若不是，说明理由．16．（1）如图①，点E，F分别在正方形边AB，BC上，且AF⊥DE，请直接写出AF与DE的关系．（2）如图②，点E，F，G分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD上，且AF⊥EG，求证：．（3）如图③，在（2）的条件下，连接AG，过点G作AG的垂线与CF交于点H，已知BH＝3，HG＝5，GA＝7.5，求的值．17．【问题背景】正方形ABCD和等腰直角三角形CEF按如图①所示的位置摆放，点B，C，E在同一条直线上，其中∠ECF＝90°．【初步探究】（1）如图②，将等腰直角三角形CEF绕点C按顺时针方向旋转，连接BF，DE，请直接写出BF与DE的数量关系与位置关系：；【类比探究】（2）如图③，将（1）中的正方形ABCD和等腰直角三角形CEF分别改成矩形ABCD和Rt△CEF，其中∠ECF＝90°，且，其他条件不变．①判断线段BF与DE的数量关系，并说明理由；②连接DF，BE，若CE＝6，AB＝12，求DF2+BE2的值．18．在相似的复习课中，同学们遇到了一道题：已知∠C＝90°，请设计三种不同方法，将Rt△ABC分割成四个小三角形，使每个小三角形与原三角形相似．（1）甲同学设计了如图1分割方法：D是斜边AB的中点，过D分别作DE⊥AC，DF ⊥BC，请判断甲同学的做法是否正确，并说明理由．（2）乙同学设计了如图2分割方法，过点D作FD⊥AB，DE⊥BC，连结EF，易证△ADF∽△ACB，△DEB∽△ACB，但是只有D在AB特殊位置时，才能证明另两个三角形与原三角形相似，李老师通过几何画板，发现∠A＝30°时，，∠A＝45°时，，∠A＝60°时，．猜测对于任意∠A，当＝（用AC，BC或AB相关代数式表示），结论成立．请补充条件并证明．（3）在普通三角形中，显然连结三角形中位线分割成四个小三角形与原三角形相似．你能参考乙同学的分割方法找到其他分割方法吗？请做出示意图并作适当分割说明（不要求证明过程）．19．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在AB边上，点E在AC边上，连接DE，取BC边的中点O，连接DO并延长到点F，使OF＝OD，连接CF，EF，令＝＝k．（1）①如图1，若k＝1，填空：＝；△ECF是三角形．②如图2，将①中△ADE绕点A旋转，①中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2所示情况给出证明；若不成立，请说明理由．（2）如图3，若k＝，AB＝AD，将△ADE由图1位置绕点A旋转，当点C，E，D三点共线时，请直接写出sin∠1的值．20．【基础探究】如图1，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ACB，AC为对角线，AD•CB＝DC•AC．（1）求证：AC平分∠DAB．（2）若AC＝8，AB＝12，则AD＝．【应用拓展】如图2，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ACB＝90°，AC为对角线，AD•CB ＝DC•AC，E为AB的中点，连结CE、DE，DE与AC交于点F．若CB＝6，CE＝5，请直接写出的值．参考答案1．（1）①证明：∵四边形ABCD为正方形∴∠ACD＝∠BDC＝∠BAC＝45°，又∵∠MCN＝∠BDC，∴∠MCN＝∠ACD＝45°，∴∠MCA+∠ACN＝∠ACN+∠DCN，∴∠MCA＝∠DCN，∴△ACM∽△DCN．②证明：由①可知：△ACM∽△DCN，∴，∴DN＝AM，∴AM+BM＝AB＝CD，∴DN+BM＝CD．（2）解：如图所示：连接AC，在DN上取一点P使∠PCD＝∠PDC＝30°，过P作PQ ⊥CD于Q，∴∠PCD＝∠PDC＝30°，∴∠NPC＝60°，又∵四边形ABCD为菱形且∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°，∴∠NPC＝∠BAC，又∵∠ACP＝∠ACD﹣∠PCD＝30°，∠MCN＝∠BDC＝30°，∵∠MCN＝∠ACP，∴∠MCA+∠ACN＝∠ACN+∠NCP，∴∠MCA＝∠NCP，∴△AMC∽△PNC，∴，∵，∴CD＝CP，∴，∴AM，∴AM＝PN，∴AM+MB＝AB＝CD，∴PN+MB＝CD，∴（DN﹣DP）+MB＝CD，∴（DN﹣CD）+MB＝CD，即DN﹣CD+MB＝CD，∴DN+MB＝2CD．2．解：（1）∵∠ACB＝∠ADE＝90°，CA＝CB，DA＝DE，∴∠A＝∠B＝∠DEA＝45°，∴AB＝AC＝m，AE＝AD＝m，∴CD＝AC﹣AD＝m，BE＝AB﹣AE＝m，∴BE＝CD，∵∠A＝45°，∴直线CD与BE的夹角为45°，故答案为：BE＝CD，45°；（2）不满足，BE＝CD，直线CD与BE的夹角为30°，理由如下：如图2，过点C作CH⊥AB于H，延长CD、BE交于点F，∵CA＝CB，∴AH＝HB，∵∠ACB＝∠ADE＝120°，CA＝CB，DA＝DE，∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∠DAE＝∠DEA＝30°，∴AC＝2CH，∠CAD＝∠BAE，由勾股定理得：AH＝AC，∴AB＝AC，同理可得：AE＝AD，∵∠CAD＝∠BAE，∴△CAD∽△BAE，∴＝＝，∠ACD＝ABE，∴BE＝CD，∠F＝∠CAB＝30°，∴BE＝CD，直线CD与BE的夹角为30°；（3）如图3，点E在线段BD上，∵m＝2，∴AD＝DE＝1，AB＝2，由勾股定理得：BD＝＝，∴BE＝BD﹣DE＝﹣1，∴CD＝BE＝，如图4，点D在线段BE上，BE＝BD+DE＝+1，∴CD＝BE＝，综上所述：当B，E，D三点共线．CD的长为或．3．（1）解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，∵DE⊥CF，∴∠DGF＝90°＝∠ADC，∴∠ADE+∠EDC＝90°＝∠EDC+∠DCF，∴∠ADE＝∠DCF，∴△ADE≌△DCF（ASA），∴DE＝CF，故答案为：1；②解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠FDC＝90°，AB＝CD＝m，∵CF⊥DE，∴∠DGF＝90°，∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，∴∠CFD＝∠AED，∵∠A＝∠CDF，∴△AED∽△DFC，∴＝，故答案为：；（2）证明：如图所示，∠B+∠EGC＝180°，∠EGC+∠EGF＝180°，∴∠B＝∠EGF，在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，则∠CMF＝∠CFM，∵AB∥CD，∴∠A＝∠CDM，∵AD∥BC，∴∠B+∠A＝180°，∵∠B＝∠EGF，∴∠EGF+∠A＝180°，∴∠AED＝∠CFM＝∠CMF，∴△ADE∽△DCM，∴，即；（3）解：过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN＝x，∵∠BAD＝90°，即AB⊥AD，∴∠A＝∠M＝∠CNA＝90°，∴四边形AMCN是矩形，∴AM＝CN，AN＝CM，在△BAD和△BCD中，，∴△BAD≌△BCD（SSS），∴∠BCD＝∠A＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC+∠CBM＝180°，∴∠MBC＝∠ADC，∵∠CND＝∠M＝90°，∴△BCM∽△DCN，∴，∴，∴CM＝x，在Rt△CMB中，CM＝x，BM＝AM﹣AB＝x﹣5，由勾股定理得：BM2+CM2＝BC2，∴（x﹣5）2+（x）2＝52，解得：x1＝0（舍去），x2＝8，∴CN＝8，∵∠A＝∠FGD＝90°，∴∠AED+∠AFG＝180°，∵∠AFG+∠NFC＝180°，∴∠AED＝∠CFN，∵∠A＝∠CNF＝90°，∴△AED∽△NFC，∴＝＝．4．解：（1）如图，∵∠ABC＝∠C＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD＝CE，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠EAC＝∠DBA，∵，∴点D是AC中点，且△ABC是等边三角形，∴∠DBA＝30°，∴∠EAC＝30°，∴∠BAE＝∠DBA＝30°，∴AF＝BF，∴，故答案为：1；（2）由（1）可得△ABD≌△CAE，∴∠EAC＝∠DBA，∵∠ADF＝∠BDA，∴△AFD∽△BAD；（3）由（1）可得△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，∠EAC＝∠DBA，∴∠BFE＝∠DBA+∠BAF＝∠EAC+∠BAF＝∠BAD＝60°，设AF＝x，BF＝y，AB＝AC＝BC＝n，AD＝CE＝1，BD＝AE＝m，∵∠EAC＝∠DBA，∠ADB＝∠ADB，∴△ADF∽△BDA，∴，∴①，∵∠BFE＝∠C＝60°，∠DBC＝∠DBC，∴△BFE∽△BCD，∴，∴②，①÷②得：，∴，∵，即n＝4，∴．5．（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB．∴∠ADC＝∠ACB．（2）解：∵BC2＝AB•BD，∴．又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD．∴∠ACB＝∠CDB．∵∠ADC+∠CDB＝180°，∠ADC＝∠ACB，∴∠ACB＝∠CDB＝∠ADC＝90°．（3）解：∵△BCD绕点C顺时针旋转得到△ECF，∴CE＝BC，∠E＝∠B．∵∠ACD＝∠B，∴∠ACD＝∠E．∴AC＝AE．∵∠ADC＝90°，∴CE⊥AB．∴CD＝DE＝CE．∴∵△ADC∽△ACB，∴．∴AD＝•AC＝1，在Rt△ADC中，．6．证明：（1）①∵四边形ABCD为矩形，DM⊥MN，∴∠A＝∠DMN＝90°，∵AB＝6，AD＝4，MN＝DM，∴，∴△ABD∽△MND；②∵四边形ABCD为矩形，DM⊥MN，∴∠ABC＝∠DMN＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝90°，由①得△ABD∽△MND，∴∠ABD＝∠DNM，又∵∠MEB＝∠DEN，∴△MBE∽△DNE，∴，又∵∠MED＝∠BEN，∴△DME∽△NBE，∴∠NBE＝∠DME＝90°，∴∠CBN+∠CBD＝90°，∴∠CBN＝∠DNM；（2）如图②，过点N作NF⊥AB，交AB延长线于点F，连接AC，AN，则∠NF A＝90°，∵四边形ABCD为矩形，AD＝4，AB＝6，∴∠A＝∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，，则∠ADM+∠AMD＝90°，∵AM＝4BM，AB＝6，∴AM＝AB＝，又∵DM⊥MN，∴∠DMN＝90°，∴∠AMD+∠FMN＝90°，∴∠ADM＝∠FMN，∴△ADM∽△FMN，∴，，∴MF＝6，FN＝，∴，∴，∵∠ABC＝∠AFN＝90°，∴△ABC∽△AFN，∴∠BAC＝∠F AN，∴A，C，N三点在同一条直线上．7．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，EF＝FG，∵∠EFG＝90°，∴∠AFE+∠DFN＝90°，∠AFE+∠AEF＝90°，∴∠DFN＝∠AEF．∴△DFG≌△AEF（AAS），∴AF＝DG，AE＝DF，∴AE+DG＝AF+DF＝AD＝6；（2）证明：如图，延长NF，EA相交于H，∴∠HFE＝90°，∠HAF＝90°，∵∠HFE＝∠NFE，EF＝EF，∠HEF＝∠NEF，∴△HFE≌△NFE（ASA），∴FH＝FN，HE＝NE，∵∠AFH＝∠DFN，∠HAF＝∠D，∴△HF A≌△NFD（AAS），∴AH＝DN，∵EH＝AE+AH＝AE+DN，∴EN＝AE+DN；（3）解：如图，过点G作GP⊥AD交AD的延长线于P，∴∠P＝90°，∵MG2＝MN•MD，∴＝，∵∠GMN＝∠DMG，∴△MGN∽△MDG，∴∠GDM＝45°，∠PDG＝45°，∴△PDG是等腰直角三角形，PG＝PD，∵∠AFE+∠PFG＝90°，∠AFE+∠AEF＝90°，∴∠PFG＝∠AEF，∵∠A＝∠P＝90°，EF＝FG，∴△PFG≌△AEF（AAS），∴AF＝PG，AE＝PF，∴AE＝PD+DF＝AF+DF＝AD＝6．8．【问题背景】∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴△ABC∽△ADE．∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，故答案为：①△ABD≌△ACE；②△ABC∽△ADE．【尝试应用】∵△ABC∽△ADE，∴，∠CAB＝∠EAD，∴∠CAE＝∠BAD，∴△ACE∽△ABD；【问题解决】连接CE，由【尝试应用】知，△ABD∽△ACE，∴∠ACE＝∠ABD＝∠ADE＝30°，∵∠AFD＝∠EFC，∴△ADF∽△ECF，∴，∵，∴，∵，∴．9．（1）解：△AEF是等腰直角三角形，理由如下：由旋转的性质可知：AF＝AE，∠F AE＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∠CAB＝45°，由（1）知∠AFE＝45°，∴∠P AG＝∠AFP＝45°，又∵∠APG＝∠FP A，∴△APG∽△FP A，∴，∴P A2＝PG•PF；（3）解：设正方形的边长为2a，∵将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，∴∠ABF＝∠D＝90°，DE＝BF，∵∠ABC＝90°，∴∠FBC＝180°，∴F，B，C三点共线，∵DE＝EC＝BF＝a，BC＝2a，∴CF＝3a，EF＝＝＝a，∵BG∥EC，∴BG：EC＝FB：CF＝FG：FE＝1：3，∴BG＝，AG＝，GE＝a，∵∠GAP＝∠EG＝45°，∠AGP＝∠EGA，∴△AGP∽△EGA，∴，∴AG2＝GP•GE，∴（）2＝（）×，∴a＝或a＝0（舍去），∴AG＝．10．解：（1）如图1，由题意可得：BD＝DF＝8，∵HF∥BC，∴∠HFD＝∠B，在△HFD和△GBD中，，∴△HFD≌△GBD（ASA），∴HF＝BG＝4，连接DE，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝60°，∵AD＝AE＝4，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AD＝4，∠ADE＝60°，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC，∴DE∥FH，∵FH＝DE＝4，∴四边形DEFH是平行四边形，∴HE和DF互相平分，∵DA＝AF，∴HE经过点A，∴HE＝2AE＝8；（2）如图2，面积不变，理由如下：连接DE，作FK⊥BC于K，在Rt△BFK中，∠B＝60°，BF＝12+a，∴FK＝BF•sin60°＝，由（1）得，DE∥FH＝BC，∴△HDE∽△HGN，△HFD∽△GBD，∴，，∴，∴，∴，∴GN＝，∴S△HGN＝＝＝，11．解：（1）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，∴AD＝2，；（2）①由翻折不变性可知：AF＝FH，AG＝GH，∠AFG＝∠GFH，∵FH∥AC，∴∠AGF＝∠GFH，∴∠AGF＝∠AFG，∴AG＝AF，∴AG＝AF＝FH＝HG，∴四边形AGHF是菱形；②∵FH∥AC，∴△FBH∽△ABC，∴，又∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，∴BH：FH：BF＝3：4：5，∴设BH＝3a，则FH＝AF＝4a，BF＝5a，∴4 a+5a＝10，∴，∴FH＝，即菱形的边长为；（3）在点P使得△CPH∽△DPE，理由如下：∵△CPH∽△DPE，∴，∵BH＝，∴CH＝，∴，∴．12．证明：（1）∴＝，两边都除以MH，得，；（2）如图1，作AE⊥BD于E，MF⊥BD于F，CG⊥BD于G，∴AE∥MF∥CG，∴，∵HH∥AB，∴，∴，同理可得：，由（1）得，，两边乘以，得，（3）如图2，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴，∵，∴，∵四边形DEFG是正方形，∴MN＝DE＝DG，∴，两边都除以DG，得，．13．（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°＝∠ACB，∵∠CBD＝∠ABC，∴△CBD∽△ABC，∴，∴BC2＝AB•BD；（2）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OC⊥BO，∠BCD＝90°，∴BC2＝BO•BD，∵CF⊥BE，∴BC2＝BF•BE，∴BO•BD＝BF•BE，即，∵∠OBF＝∠EBD，∴△BOF∽△BED；②解：在Rt△BCE中，∵BC＝6，CE＝2，∴BE＝＝2，∴DE＝4，BO＝3，由①知△BOF∽△BED，∴，∴，∴OF＝．14．（1）证明：如图①中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠C＝90°，AB∥CD，∴∠ABF＝∠CQB，由翻折的性质可知，∠E＝∠ABC＝90°∵PE∥BQ，∴∠AFB＝∠E＝90°，∴△AFB∽△BCQ；（2）证明：如图①中，设AB＝BC＝CD＝AD＝2a，∵Q是CD的中点，∴CQ＝QD＝a，∵∠C＝90°，∴BQ＝＝＝a，∵△AFB∽△BCQ，∴＝，∴＝，∴BF＝a，∴QF＝a，∴＝＝，∴BF＝QF；（3）解：如图②，建立如图平面直角坐标系，过点E作EH⊥AB于点T．∵BF＝FQ，FQ＝6，∴BF＝4，∴BQ＝BF+FQ＝4+6＝10，∴CQ＝2，AB＝BC＝CD＝AD＝4，∴Q（4，2），∴直线BQ的解析式为y＝x，∵∠EAT＝∠CBQ，∠ATE＝∠BCQ＝90°，∴△ATE∽△BCQ，∴＝＝，∴＝＝，∴AT＝8，ET＝4，∴BT﹣AB﹣AT＝4﹣8，∴E（4，4﹣8），∵D（4，4），∴直线DE的解析式为：y＝x+2﹣10，由，解得，∴G（4﹣4，2﹣2），∴S△BCG＝××（2﹣2）＝20﹣4．15．解：（1）①∵等边△ABC的边长为8，∴AC＝8，∵△APD∽△ACP，∴，∵AD＝2，∴，∴AP＝4，故答案为4；②∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝8，∠A＝∠B＝60°，∵△APD与△BPC相似，∴△APD∽△BPC或△APD∽△BCP，Ⅰ、当△APD∽△BPC时，，∴，∴AP＝，Ⅱ、当△APD∽△BCP时，，∴，∴AP＝4，即△APD与△BPC相似时，AP的长度为或4；（2）①∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝8，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵△APD与△BQC相似，∴△APD∽△BQC或△APD∽△BCQ，Ⅰ、当△APD∽△BQC时，∠APD＝∠BQC，∴∠PDC＝∠A+∠APD＝60°+∠APD＝60°+∠BQC，∴∠BQC＝∠PDC﹣60°，∴∠ACQ＝∠ACB﹣∠BCQ＝60°﹣（180°﹣∠B﹣∠BAC）＝∠B+∠BQC﹣120°＝60°+∠PDC﹣60°﹣120°＝∠PDC﹣120°，∴∠PDC+∠ACQ＝120°；Ⅱ、当△APD∽△BCQ时，∠APD＝∠BCQ，∴∠PDC＝∠A+∠APD＝60°+∠APD＝60°+∠BCQ，∴∠BCQ＝∠PDC﹣60°，∴∠ACQ＝∠ACB﹣∠BCQ＝60°﹣（∠PDC﹣60°）＝120°﹣∠PDC，∴∠ACQ+∠PDC＝120°，即满足条件的∠ACQ与∠PDC之间的数量关系是∠ACQ+∠PDC＝120°或∠PDC﹣∠ACQ＝120°；②线段EF的长是一个定值，为．如图，连接AE并延长至G，使AE＝GE，连接PG，QG，∵点E是DP的中点，∴DE＝PE，∵∠AED＝∠GEP，∴△AED≌△GEP（SAS），∴AE＝GE，PG＝AD＝2，∠ADE＝∠GPE，∴PG∥AD，∴∠QPG＝∠BAC＝60°，∵PQ＝2＝PG，∴△PQG为等边三角形，∴QG＝2，∠PQG＝60°＝∠B，∴QG∥BC，连接GF并延长交BC于H，∴∠FQG＝∠FCH，∵点F是CQ的中点，∴FQ＝FC，∵∠QFG＝∠CFH，∴△QFG≌△CFH（ASA），∴FG＝FH，CH＝QG＝2，连接AH，过点A作AM⊥BC于M，∴∠AMC＝90°，CM＝BC＝4，在Rt△AMC中，AC＝8，根据勾股定理得，AM2＝AC2﹣CM2＝82﹣42＝48，在Rt△AMH中，MH＝CM﹣CH＝2，根据勾股定理得，AH＝＝＝2，∵AE＝GE，FG＝FH，∴EF是△AHG的中位线，∴EF＝AH＝，即线段EF的长是一个定值．16．解：（1）∵AF⊥DE，∴∠ADE+∠DAF＝90°，∵∠ADE+∠AED＝90°，∴∠DAF＝∠AED，∵∠ADE＝∠ABF＝90°，AD＝AB，∴△ADE≌△DAF（AAS），∴AF＝DE；（2）过点G作GM⊥BA交于点M，∵AF⊥EG，∴∠F AB+∠AEG＝90°，∵∠F AB+∠AFB＝90°，∴∠AEG＝∠AFB，∵∠GME＝∠ABF＝90°，∴△GME∽△ABF，∴＝，∵AD＝GM，∴；（3）连接AH，∵AG⊥GH，∴△AGH是直角三角形，∵HG＝5，GA＝7.5，∴AH＝，在Rt△ABH中，BH＝3，AH＝，∴AB＝，∵∠AGH＝90°，∴∠DGA+∠CGH＝90°，∵∠DGA+∠GAD＝90°，∴∠GAD＝∠CGH，∴△DAG∽△CGH，∴＝＝，∴＝＝，∴AD＝6，由（2）知，∴＝＝．17．解：（1）如图②，BF与CD交于点M，与DE交于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCD＝90°，∵△ECF是等腰直角三角形，∴CF＝CE，∠ECF＝90°，∴∠BCD＝∠ECF，∴∠BCD+∠DCF＝∠ECF+∠DCF，∴∠BCF＝∠DCE，∴△BCF≌△DCE（SAS），∴BF＝DE，∠CBF＝∠CDE，∵∠BMC＝∠DMF，∠CBF+∠BMC＝90°，∴∠CDE+∠DMF＝90°，∴∠BND＝90°，∴BF⊥DE，故答案为：BF＝DE，BF⊥DE；（2）①如图③，，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∵∠ECF＝90°，∴∠BCD+∠DCF＝∠ECF+∠DCF，∴∠BCF＝∠DCE，∵，∴△BCF∽△DCE，∴＝；②如图③，连接BD，∵△BCF∽△DCE，∴∠CBF＝∠CDE，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝12，∵CE＝6，，∴＝，∴CF＝8，BC＝16，∵∠DBO+∠CBF+∠BDC＝∠BDO+∠CDE+∠BDC＝∠DBO+∠BDO＝90°，∴∠BOD＝90°，∴∠DOF＝∠BOE＝∠EOF＝90°，在Rt△DOF中，DF2＝OD2+OF2，在Rt△BOE中，BE2＝OB2+OE2，在Rt△DOB中，DB2＝OD2+OB2，在Rt△EOF中，EF2＝OE2+OF2，∴DF2+BE2＝OD2+OF2+OB2+OE2＝DB2+EF2，在Rt△BCD中，BD2＝BC2+CD2＝162+122＝400，在Rt△CEF中，EF2＝EC2+CF2＝62+82＝100，∴BD2+EF2＝400+100＝500，∴DF2+BE2＝500．18．解：（1）甲的做法正确，理由如下：∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC＝∠DFC＝90°，∵∠C＝90°，∴四边形DECF是矩形，∴∠EDF＝90°，DE∥BC，DF∥AC，∴，△AED∽△ACB，△BFD∽△BCA，即：AE＝CE，同理可得：BF＝CF，∴DF∥AC，EF∥AB，∴四边形AEFD是平行四边形，△CEF∽△CAB，同理可得：四边形DEFB是平行四边形，∴∠EFD＝∠A，∵∠AED＝∠EDF，∴△AED∽△FDE，∴四个小三角形与△ABC相似；（2）当时，△EDF∽△AFD∽△FEC，理由如下：∵△ADF∽△ACB，△DEB∽△ACB，∴①，②，得，，∴DE＝EF，∵DE∥AF，∴四边形ADFE是平行四边形，由（1）可得，△DEF和△CEF与△ABC相似，故答案是：；（3）如图，根据和AC和AB及AB的长度找出点D的位置，然后作DE∥AC交BC于E，作EF∥AB交AC于F，连接DF即可．19．解：（1）①∵O是BC的中点，∴OB＝OC，在△BOD和△COF中，，∴△BOD≌△COF（SAS），∴CF＝BD，∠OCF＝∠B，∵AD＝AE，AB＝AC，∴BD＝CE，∴CE＝CF，即：，∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠OCF+∠ACB＝90°，∴∠ECF＝90°，∴△ECF是等腰直角三角形，故答案是：1，等腰直角三角形，解：（2）如图1，仍然成立，理由如下：连接BD，由（1）得：CF＝BD，CF∥BD，∴∠CFO＝∠DBO，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，∴∠CAE＝∠BAD，在△CAE和△BAD中，，∴△CAE≌△BAD（SAS），∴CE＝BD，∠ACE＝∠ABD，∴CE＝CF，∵∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠ACE+∠EAO+∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠EAO+∠ABC＝90°，∴∠EAO+∠DBO＝90°，∴∠EAO+∠CFO＝90°，∴∠FCE＝90°，∴＝1，△ECF是等腰直角三角形；（3）如图2，连接BD，作AG⊥CD于G，设AD＝a，则AB＝，AC＝a，AE＝，由（2）得：∠CAE＝∠BAD，CF＝BD，∵，∴△CAE∽△BAD，∴，∠ACD＝∠ABD，∴，同理（2）得：∠CEF＝90°，∴∠ECF＝∠EAD＝90°，∴点C、A、B、D共圆，∴∠1＝∠ACG，∵AD＝a，AE＝，∠DAE＝90°，∴DE＝，由S△ADE＝得，AG＝a，∴sin∠ACD＝＝＝，∴sin∠1＝．20．（1）证明：∵∠ADC＝∠ACB，，∴△ADC∽△ACB，∴∠DAC＝∠CAB，∴AC平分∠DAB；（2）解：∵△ADC∽△ACB，∴，∴AC2＝AB×AD，∵AC＝8，AB＝12，∴64＝12AD，∴AD＝，故答案为：；（3）解：∵∠ACB＝90°，点E为AB的中点，∴AB＝2CE＝10，∴AC＝8，∵△ADC∽△ACB，∴AD＝＝6.4，由（1）知∠DAC＝∠EAC，∵CE＝AE，∴∠ECA＝∠EAC，∴∠DAC＝∠ECA，∴△AFD∽△CFE，∴．。

《图形的相似》全章复习与巩固——巩固练习【巩固练习】 一、选择题1．如图所示，给出下列条件： ①； ②；③； ④.其中单独能够判定的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42. 如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是( )A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形C ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形 D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形3．在平面直角坐标系中，已知点A （﹣4，2），B （﹣6，﹣4），以原点O 为位似中心，相似比为21，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A′的坐标是（ ） A ．（﹣2，1） B ．（﹣8，4） C ．（﹣8，4）或（8，﹣4） D ．（﹣2，1）或（2，﹣1） 4.如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA ∶OC = OB ∶OD ，则下列结论中一定正确的是( )A ．①和②相似B ．①和③相似C ．①和④相似D ．②和④相似5．如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG， ⑤△FGH，⑥△EFK，其中②～⑥中与三角形①相似的是( )A ．②③④B ．③④⑤C ．④⑤⑥D ．②③⑥6. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD =∠ADC =90°，AB =AD =22，CD，点P 在四边形ABCD 的边上．若P到BD 的距离为32，则点P 的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47. 如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A 处，沿OA 所在的直线行走14米到点B 时，人影的长度( ).A ．增大1.5米B ．减小1.5米C ．增大3.5米D ．减小3.5米8. 已知矩形ABCD 中，AB=1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD=（ ）.AC ．2二、填空题9. 如图，Rt△ABC 中，AC⊥BC，CD⊥AB 于D ，AC=8，BC=6，则AD=_________.10. 如图，M 是ABCD 的边AB 的中点，CM 交BD 于E ，则图中阴影部分的面积与ABCD 的面积之比为___ __.11. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。

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探索相似三角形相似的条件【巩固练习】一、选择题1．在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题：（1）若AB= A1B1，AC= A1C1，∠A=∠A1，则△ABC≌△A1B1C1；（2）若AB= A1B1，AC= A1C1，∠B=∠B1，则△ABC≌△A1B1C1;（3）若∠A=∠A1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；(4）若AC：A1C1=CB:B1C1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1．其中真命题的个数为（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2．如图，小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形(阴影部分）与△ABC相似的是( )3．如图，在方格纸中,△ABC和△EPD的顶点均在格点上,要使△ABC∽△EPD,则点P所在的格点为（）A ．P 1B ．P 2C ．P 3D ．P 44．如图，在△ABC 中，如果DE 与BC 不平行,那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ABC 的是（ ）A ．∠ADE=∠CB ．∠AED=∠BC ．AD DE AB BC = D ．AD AEAC AB=5．已知线段AB=10cm ，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），则AC 的长为( ) A ．(5510)cm - B ．(1555)cm - C ．(555)cm - D ．(1025)cm -6．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0。

中考总复习：图形的相似--巩固练习【基础练习】 一、选择题1．如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，如果矩形OA ′B ′C ′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA ′B ′C ′的面积等于矩形OABC 面积的14，那么点B ′的坐标是（ ）．A ．（3，2）B ．（－2，－3）C ．（2，3）或（－2，－3）D ．（3，2）或（－3，－2）2. 如图，△ABC 中，BC=2，DE 是它的中位线，下面三个结论：⑴DE=1；⑵△ADE∽△ABC ；⑶△ADE 的面积与△ABC 的面积之比为1:4。

其中正确的有（ ）． A. 0个 B.1个 C. 2个 D. 3个3．如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．OA ∶OC =OB ∶OD ，则下列结论中一定正确的是( )．A ．①和②相似B ．①和③相似C ．①和④相似D ．②和④相似4．现给出下列四个命题：①无公共点的两圆必外离；②位似三角形是相似三角形；③菱形的面积等于两条对角线的积；④对角线相等的四边形是矩形．其中真命题的个数是（ ）．A ． 1B ．2C ．3D ．45．如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A （4，4），B （6，2），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的后得到线段CD ，则端点C 和D 的坐标分别为（ ）A ．（2，2），（3，2）B ．（2，4），（3，1）C ．（2，2），（3，1）D ．（3，1），（2，2） 6．如图，在平行四边形ABCD 中（AB ≠BC ），直线EF 经过其对角线的交点O ，且分别交AD 、BC 于点M 、N ，交BA 、DC 的延长线于点E 、F ，下列结论：①AO=BO ；②OE=OF ；③△EAM ∽△EBN ；④△EAO ≌△CNO ，其中正确的是（ ）． A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．③④二、填空题7. 如图，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA =10cm ，OA ′=20cm，则五边形ABCDE 的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是________．A BCDO ① ②⊙③⊙④⊙第7题 第9题8. 如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大的三角形的周长________，面积________．9. 如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE AC ⊥，EF AB ⊥，FD BC ⊥，则DEF △的面积与ABC △的面积之比等于________．10. 将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝6，BC ＝8，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是________．11.如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线l 1∥l 2∥l 3，l 1与l 2之间距离是1，l 2与l 3之间距离是2，且l 1，l 2，l 3分别经过点A ，B ，C ，则边AC 的长为．12. 如图，不等长的两条对角线AC 、BD 相交于点O ，且将四边形ABCD 分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若12AO BO OC OD ==，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有________．三、解答题13. 已知线段OA ⊥OB ，C 为OB 上中点，D 为AO 上一点，连AC 、BD 交于P 点． （1）如图1，当OA=OB 且D 为AO 中点时，求PCAP的值； （2）如图2，当OA=OB ，AO AD =41时，求tan ∠BPC ；14.已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AB 上，BD=AD=AC ，AD 与CE相交于点F ，AE 2=EF•EC．（1）求证：∠ADC=∠DCE+∠EAF； （2）求证：AF•AD=AB•EF．DCPO AB 图 1DCPOAB 图 215．如图,已知在等腰△ABC 中,∠A =∠B =30°,过点C 作CD ⊥AC 交AB 于点D .(1)尺规作图：过A ，D ，C 三点作⊙O （只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；(2)求证：BC 是过A ，D ，C 三点的圆的切线；(3)若过A ，D ，C 三点的圆的半径为3,则线段BC 上是否存在一点P ，使得以P ，D ，B 为顶点的三角形与△BCO 相似.若存在，求出DP 的长；若不存在，请说明理由.CBA16.如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=10，直角尺的直角顶点P 在AD 上滑动时（•点P 与A ，D 不重合），一直角边经过点C ，另一直角边交AB 于点E ．我们知道，结论“Rt•△AEP ∽Rt △DPC ”成立． （1）当∠CPD=30°时，求AE 的长；（2）是否存在这样的点P ，使△DPC 的周长等于△AEP 周长的2倍？若存在，求出DP 的长；若不存在，请说明理由．【提高练习】 一、选择题1．如图，四边形ABCD 中，∠BAD =∠ADC =90°，AB =AD =2，CD =1，点P 在四边形ABCD 的边上．若P 到BD 的距离为1，则点P 的个数为（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．42. 如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则S △BCE ：S △BDE 等于（ ）． A. 2：5 B. 14:25 C. 16:25 D. 4:213.如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，CE 和BD 交于点O ，设△OCD 的面积为m ，△OEB 的面积为，则下列结论中正确的是（ ）A ．m=5B ．m=4C ．m=3D ．m=104.如图所示，平地上一棵树高为6米，两次观察地面上的影子，•第一次是当阳光与地面成60°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长( )．A ．633- B.43 C.63 D.323-5．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE 是平行四边形，连接CE 交AD 于点F ，连接BD 交CE 于点G ，连接BE ．下列结论中：①CE=BD ②△ADC 是等腰直角三角形③∠ADB=∠AEB ④CD •AE=EF •CG ；一定正确的结论有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，ABC △中，CD AB ⊥于D ，一定能确定ABC △为直角三角形的条件的个数是（ ）．①1A ∠=∠，②CD DBAD CD=，③290B ∠+∠=°，④345BC AC AB =∶∶∶∶，⑤AC BD AC CD ⋅=⋅A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题7.如图已知△ABC 的面积是3的等边三角形，△ABC ∽△ADE ，AB=2AD ，∠BAD=45°，AC 与DE 相交于点F ，则△AEF 的面积等于________（结果保留根号）.第7题 第8题8. 已知三个边长分别为2、3、5的正三角形从左到右如图排列，则图中阴影部分面积为．9.如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点，若∠APD=60°，则CD的长为．第9题第10题10．如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为．11.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为1S，2S，则1S+2S的值为．12.已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3（如图所示），以此类推…．若A1C1=2，且点A，D2，D3，…，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是．三、解答题13.（2015•杭州模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别是DC和BC两边上的动点且始终保持∠EAF=45°，连接AE与AF交DB于点N，M．下列结论：①△ADM∽△NBA；②△CEF的周长始终保持不变其值是4；③AE×AM=AF×AN；④DN2+BM2=NM2．其中正确的结论有哪些？14.如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△EFD绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图（2）.（1）问：始终与△AGC相似的三角形有及；（2）设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？15.已知:直角梯形OABC 中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB 为直径的圆M 交OC 于D ．E ，连结AD 、BD 、BE.(1)在不添加其他字母和线的前提下．．．．．．．．．．．．．．，直接．．写出图1中的两对相似三角形. _____________________，______________________；(2)直角梯形OABC 中，以O 为坐标原点，A 在x 轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线223(0)y ax ax a a =--<经过点A ．B ．D ，且B 为抛物线的顶点.①写出顶点B 的坐标（用a 的代数式表示）___________； ②求抛物线的解析式；③在x 轴下方的抛物线上是否存在这样的点P ：过点P 做PN⊥x 轴于N ，使得△PAN 与△OAD 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.16．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =30，AB =50．点P 是AB 边上任意一点，直线PE ⊥AB ，与边AC 或BC 相交于E ．点M 在线段AP 上，点N 在线段BP 上，EM =EN ，sin ∠EMP =1213．（1）如图1，当点E 与点C 重合时，求CM 的长；（2）如图2，当点E 在边AC 上时，点E 不与点A 、C 重合，设AP =x ，BN =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若△AME ∽△ENB （△AME 的顶点A 、M 、E 分别与△ENB 的顶点E 、N 、B 对应），求AP 的长．图1 图2 备用图【基础答案与解析】一．选择题1．【答案】D．2．【答案】D．3．【答案】B；【解析】由OA：OC=0B：OD，利用对顶角相等，两三角形相似，①与③相似，问题可求．4．【答案】A．5．【答案】C；【解析】∵线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，∴端点的坐标为：（2，2），（3，1）．故选：C．6．【答案】B；【解析】①根据平行四边形的对边相等的性质即可求得AO≠BO，即可求得①错误；②易证△AOE≌△COF，即可求得EO=FO；③根据相似三角形的判定即可求得△EAM∽△EBN；④易证△EAO≌△FCO，而△FCO和△CNO不全等，根据全等三角形的传递性即可判定该选项错误．二．填空题7．【答案】12．8．【答案】90，270．9．【答案】１:3;【解析】首先根据题意求得：∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，即可证得△DEF是正三角形，又由直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得DF：AB=1：3，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果．10．【答案】4，724．【解析】根据折叠得到BF=B′F，根据相似三角形的性质得到BF CFAB BC=，设BF=x，则CF=8-x，即可求出x的长，得到BF的长11.【答案】．【解析】如图，过点B作EF⊥l2，交l1于E，交l3于F，如图．∵∠BAC=60°，∠ABC=90°，∴tan∠BAC==．∵直线l1∥l2∥l3，∴EF⊥l1，EF⊥l3，∴∠AEB=∠BFC=90°．∵∠ABC=90°，∴∠EAB=90°﹣∠ABE=∠FBC，∴△BFC∽△AEB，∴==．∵EB=1，∴FC=．在Rt△BFC中，BC===．在Rt△ABC中，sin∠BAC==，AC===．故答案为．12．【答案】甲和丙相似．【解析】∵12AO BOOC OD==，∴AB∥CD，∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO，∴△AOB∽△COD．故必有甲和丙相似． 三.综合题 13．【解析】（1）过C 作CE ∥OA 交BD 于E ，则△BCE ∽△BOD 得CE=21OD=21AD ； 再由△ECP ∽△DAP 得2==CEADPC AP ； （2）过C 作CE ∥OA 交BD 于E ，设AD=x ，AO=OB=4x ，则OD=3x ，由△BCE ∽△BOD 得CE=21OD=23x ， 再由△ECP ∽△DAP 得32==CE AD PE PD ；由勾股定理可知BD=5x ，DE=25x ，则32=-PD DE PD ，可得PD=AD=x ，则∠BPC=∠DPA=∠A ，tan ∠BPC=tan ∠A=21=AO CO 。

初三年级奥数相似基础知识及练习题为大家整理的初三年级奥数相似基础知识及练习题的文章，供大家学习参考！更多最新信息请点击初中奥数网概述：如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个图形相似。

(相似的符号：∽)相似是初中数学的重要组成部分，也是初中几何的重难点，尤其是相似三角形的判定、性质和应用。

相似是继全等学习后初中几何发展到高级阶段的标志，难度也将比全等大幅度提升，全面锻炼几何抽象想象能力和数形结合的思想。

相似在中考中为必考，或单独出现，或结合函数等题型作为压轴题出现，对于考生的要求较高。

性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。

相似多边形的周长比等于相似边的比。

相似多边形的面积比等于相似边比的平方。

判定：如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似(两个条件一个也不能缺)。

三角形：1)判定(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

(简叙为两角对应相等两三角形相似).(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.)(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似.)(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等)，则有两个三角形相似2)直角三角形(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似.(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.3)性质(1)相似三角形的对应角相等.(2)相似三角形的对应边成比例.(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.(4)相似三角形的周长比等于相似比.(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.【练习题】填空题：1. 已知线段3，4，6与x是成比例线段，则x=_______2.已知A、B两地的实际距离为200千米，地图上的比例尺为1∶1000 000，则A、B两地在地图上的距离是______㎝。

中考总复习：图形的相似--巩固练习（提高） 【巩固练习】 一、选择题1．如图，四边形ABCD 中，∠BAD =∠ADC =90°，AB =AD =2，CD =1，点P 在四边形ABCD 的边上．若P 到BD 的距离为1，则A ．1B ．2C ．3D ．42. 如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE，则S △BCE ：A. 2：5B. 14:25C. 16:25D. 4:213.（2015•甘南州）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，CE 和BD 交于点O ，设△OCD 的面积为m ，△OEBA ．m=5B ．m=4C ．m=3D ．m=104.如图所示，平地上一棵树高为6米，两次观察地面上的影子，•第一次是当阳光与地面成60°时，第二次是阳光A ．633- B.43 C.63 D.323-5．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE 是平行四边形，连接CE 交AD 于点A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，ABC △中，CD AB ⊥于D ，一定能确定ABC △为直角三角形的条件的个数是（ ）．①1A ∠=∠，②CD DB AD CD =，③290B ∠+∠=°，④345BC AC AB =∶∶∶∶，⑤AC BD AC CD ⋅=⋅ A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题7.如图已知△ABC 的面积是3的等边三角形，△ABC ∽△ADE ，AB=2AD ，∠BAD=45°，AC 与DE 相交于点F ，则△AE第7题 第8题8. 已知三个边长分别为2、3、5的正三角形从左到右如图排列，则图中阴影部分面积为 ．9.如图，等边三角形ABC 的边长为3，点P 为BC 边上一点，且BP=1，点D 为AC 边上一点，若∠APD=60°，则CD 的长为 ．第9题 第10题10．如图，在直角三角形ABC 中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x 的三个正方形，则x 的值为． 11.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为1S ，2S ，则1S +2S 的值为12. （2015•湖州）已知正方形ABC 1D 1的边长为1，延长C 1D 1到A 1，以A 1C 1为边向右作正方形A 1C 1C 2D 2，延长C 2D 2到A三、解答题13.（2015•杭州模拟）如图，正方形ABCD 的边长为2，点E ，F 分别是DC 和BC 两边上的动点且始终保持∠EAF=45有哪些？14. 如图（1），△ABC 与△EFD 为等腰直角三角形，AC 与DE 重合，AB =EF =9，∠BAC ＝∠DEF ＝90°，固定△ABC ，将线）于G 、H 点，如图（2）.（1）问：始终与△AGC 相似的三角形有及；（2）设CG ＝x ，BH ＝y ，求y 关于x 的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；（3）问：当x 为何值时，△AGH 是等腰三角形？15.已知:直角梯形OABC 中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB 为直径的圆M 交OC 于D ．E ，连结AD 、BD 、BE.(1)在不添加其他字母和线的前提下．．．．．．．．．．．．．．，直接．．写出图1中的两对相似三角形. _____________________，______________________；(2)直角梯形OABC 中，以O 为坐标原点，A 在x 轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线223y ax ax =--①写出顶点B 的坐标（用a 的代数式表示）___________；②求抛物线的解析式；③在x 轴下方的抛物线上是否存在这样的点P ：过点P 做PN⊥x 轴于N ，使得△PAN 与△OAD 相似？若存在，求出点16．（2011上海）在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =30，AB =50．点P 是AB 边上任意一点，直线PE ⊥AB ，与边AC 或（1）如图1，当点E 与点C 重合时，求CM 的长；（2）如图2，当点E 在边AC 上时，点E 不与点A 、C 重合，设AP =x ，BN =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数（3）若△AME ∽△ENB （△AME 的顶点A 、M 、E 分别与△ENB 的顶点E 、N 、B 对应），求AP 的长．图1 图2 备用图【答案与解析】一．选择题 1．【答案】B ．2．【答案】B ．3．【答案】B ；【解析】∵AB∥CD，∴△OCD∽△OEB，又∵E 是AB 的中点，∴2EB=AB=CD， ∴=（）2，即=（）2， 解得m=4．故选B ．4．【答案】B ．5．【答案】Ｄ；【解析】①利用SAS 证明△BAD ≌△CAE ，可得到CE=BD ，②利用平行四边形的性质可得AE=CD ，再结合△ADE 是等腰直角三角形可得到△ADC 是等腰直角三角形； ③利用SAS 证明△BAE ≌△BAD 可得到∠ADB=∠AEB ；④利用已知得出∠GFD=∠AFE ，以及∠GDF+∠GFD=90°，得出∠GCD=∠AEF ，进而得出△CGD ∽△EAF ，得出比例式6．【答案】Ｃ；④设BC 的长为3x ，那么AC 为4x ，AB 为5x ，由9x 2+16x 2=25x 2，符合勾股定理的逆定理，故正确；⑤由三角形的相似无法推出AC •BD=AD •CD 成立，所以△ABC 不是直角三角形，故错误．所以正确的有三个．故选C ．二．填空题7．【答案】433-． 8．【答案】83．9．【答案】23；【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∵∠APB=∠PAC+∠C，∠PDC=∠PAC+∠APD，∵∠APD=60°，∴∠APB=∠PAC+60°，∠PDC=∠PAC+60°，∴∠APB=∠PDC，又∵∠B=∠C=60°，∴△ABP∽△PCD，∴AB BPPC CD=，即312CD=，∴CD=23．10．【答案】７；【解析】根据已知条件可以推出△CEF∽△OME∽△PFN然后把它们的直角边用含x的表达式表示出来，利用对应11.【答案】17；【解析】如图，设正方形S2的边长为x，根据等腰直角三角形的性质知，AC=2x，x=2CD，∴AC=2CD，CD=2，∴EC2=22+22，即EC=22，∴S2的面积为EC2=8，∵S1的边长为3，S1的面积为3×3=9，∴S1+S2=8+9=17．12．【答案】．【解析】延长D4A和C1B交于O，∵AB∥A2C1，∴△AOB∽△D2OC2，∴=，∵AB=BC 1=1，D C2=C1C2=2，∴==∴OC2=2OB，∴OB=BC2=3，∴OC2=6，设正方形A2C2C3D3的边长为x1，同理证得：△D2OC2∽△D3OC3，∴=，解得，x1=3，∴正方形A2C2C3D3的边长为3，设正方形A3C3C4D4的边长为x2，同理证得：△D3OC3∽△D4OC4，∴=，解得x2=，∴正方形A3C3C4D4的边长为；设正方形A4C4C5D5的边长为x3，同理证得：△D4OC4∽△D5OC5，∴=，解得x=，∴正方形A4C4C5D5的边长为；以此类推…．正方形A n﹣1C n﹣1C n D n的边长为；∴正方形A9C9C10D10的边长为．故答案为．三.综合题13．【解析】解：①∠ANB=∠NDA+∠NAD=45°+∠NAD，∠MAD=∠MAN+∠NAD=45°+∠NAD，∴∠ANB=∠MAD，又∠ADM=∠ABN=45°，∴△ADM∽△NBA，①正确；②如图1，把△ADE顺时针旋转90°得到△ABG，则BG=DE，∠FAG=∠FAB+∠DAE=45°，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF，∴DG=EF，∴△CEF的周长=CE+CF+EF=CE+DE+CF+FG=4，②正确；③当MN∥EF时，AE×AM=AF×AN，∵MN与EF的位置关系不确定，∴③错误；④如图2，把△ADN顺时针旋转90°得到△ABH，则BH=DN，∠MAH=∠MAB+∠BAH=∠MAB+∠DAN45°，在△NAM和△HAM中，，∴△AEF≌△AGF，∴MN=MH，又∵∠MBH=∠MBA+∠ABH=90°，∴BH2+BM2=MH2，即DN2+BM2=NM2，④正确．∴正确的结论有：①②④.14．【解析】（1）△HGA及△HAB；（2）由（1）可知△AGC∽△HAB∴CG ACAB BH=，即99xy=，所以，81 yx =（3）当CG＜12BC时，∠GAC=∠H＜∠HAC，∴AC＜CH∵AG＜AC，∴AG＜GH又AH＞AG，AH＞GH此时，△AGH不可能是等腰三角形；当CG=12BC时，G为BC的中点，H与C重合，△AGH是等腰三角形；此时，GC=922，即x=922 当CG ＞12BC 时，由（1）可知△AGC ∽△HGA 所以，若△AGH 必是等腰三角形，只可能存在AG=AH 若AG=AH ，则AC=CG ，此时x=9综上，当x=9或922时，△AGH 是等腰三角形． 15．【解析】（1）△OAD∽△CDB.△ADB∽△ECB；（2）①（1，－4a ）；②∵△OAD ∽△CDB∴DC CB OA OD = ∵ax 2－2ax －3a=0，可得A （3，0）又OC=－4a ，OD=－3a ，CD=－a ，CB=1，∴331a a -=-， ∴12=a ，∵0<a ， ∴1-=a ．故抛物线的解析式为：322++-=x x y ．③存在，设P （x ，－x 2+2x+3），∵△PAN 与△OAD 相似，且△OAD 为等腰三角形，∴PN=AN ．当x<0（x<－1）时，－x+3=－(－x 2+2x+3)，x 1=－2，x 2=3(舍去)， ∴P （－2，－5），当x>0（x>3）时，x －3=－(－x 2+2x+3)，x 1=0，x 2=3(都不合题意舍去)， 符合条件的点P 为（－2，－5）．16.【解析】（1）∵∠ACB =90°，∴AC =22AB BC -=225030-=40．∵S =12AB CP ⋅⋅=12AC BC ⋅⋅, ∴CP =AC BC AB ⋅=403050⨯=24． 在Rt△CPM 中，∵sin ∠EMP =1213， ∴1213CP CM =． ∴CM =1312CP =132412⨯=26． （2）由△APE ∽△ACB ，得PE AP BC AC =，即3040PE x =，∴PE =34x ． 在Rt△MPE 中，∵sin∠EMP =1213，∴1213PE ME =． ∴EM =1312PE =133124x ⨯=16x ． ∴PM =PN =22ME PE -=22133164x x ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=516x ．∵AP +PN +NB =50，∴x +516x +y =50． ∴y =215016x -+(0<x <32)． （3）①当点E 在线段AC 上时，△AME ∽△ENB ，AM ME EN NB =． ∵EM =EN ，∴2EM AM NB =⋅．设AP =x ，由（2）知EM =1316x ，AM =x PM -=5111616x x x -=，NB =215016x -+． ∴2131121(50)161616x x x ⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭ 解得x 1=22，x 2=0（舍去），即AP =22． ②当点E 在线段BC 上时，根据外角定理，△ACE ∽△EPM ，∴125AC EP CE MP ==． ∴CE =512AC =503． 设AP =x ，易得BE =5(50)3x -， ∴CE =305(50)3x --．∴305(50)3x --=503． 解得x =42．即AP =42．∴AP 的长为22或42．。

《相似》全章复习与巩固--知识讲解（提高）【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；3、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标的变化；4、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力. 【知识网络】【要点梳理】要点一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).要点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比.3.比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．要点诠释：（1）若a:b=c:d，则ad=bc；（d也叫第四比例项）（2）若a:b=b:c，则2b =ac（b称为a、c的比例中项）．要点二、相似三角形1.相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.2.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.(3) 相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

《图形的相似》全章复习与巩固【知识网络】【要点梳理】要点一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 要点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等； 2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比. 3. 比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a :b =c :d ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 要点诠释：（1）若a :b =c :d ，则ad=bc ；（d 也叫第四比例项） （2）若a :b=b :c ，则 =ac （b 称为a 、c 的比例中项）． 4.平行线分线段成比例：基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 要点二、相似三角形2b1.相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.判定方法（三）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.2.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.3.相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似多边形的周长比等于相似比．（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．要点三、位似1.位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.【典型例题】类型一、相似图形及比例线段1. 已知: a:b:c=3:5:7且2a+3b-c=28, 求3a-2b+c的值.举一反三【变式】如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n 与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF ＝（）A．7 B．7.5 C．8 D．8.5类型二、相似三角形2. 如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．(1)∠ABC=________，BC=________；(2)判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由.举一反三：【变式】下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）.A． B． C． D．【答案】B.3.如图所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作AF△BC交ED的延长线于点F，连接AE，CF．求证：（1）四边形AFCE是平行四边形；（2）FG•BE=CE•AE．4. 在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点．连结AE．（1）若AB=AE，求证：△DAE=△D；（2）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，求EF：FA的值．举一反三【变式】如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=（）.A．2：5：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．4：10：255. 如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E，F 分别在线段AD，DC上(点E与点A，D不重合)，且∠BEF=120°，设，.(1)求y与x的函数解析式；(2)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？举一反三【变式】如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y．(1)求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少?类型三、位似6. 将下图中的△ABC作下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化．(1)沿y轴负方向平移1个单位；(2)关于x轴对称；(3)以C点为位似中心，放大到1.5倍．【巩固练习】一、选择题1．如图，已知，那么下列结论正确的是( ).A．B． C．D．2. 在和中，，如果的周长是16，面积是12，那么的周长、面积依次为( ).A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．4，63．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是( ).4.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是，则点B的横坐标是（）.A．B． C．D．5．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为（）A ．1：2B ．1：4C ．1：5D ．1：66. 如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的点，下列条件中不能推出△ABP 与以点E 、C 、P 为顶点的三角形相似的是( ).A ．∠APB=∠EPCB ．∠APE=90°C ．P 是BC 的中点D ．BP ：BC=2：37. 如图，在△ABC 中，EF ∥BC ，,，S 四边形BCFE =8，则S △ABC =（ ）.A ．9B ．10C ．12D ．138.如图，六边形ABCDEF ∽六边形GHIJKL ，相似比为2：1，则下列结论正确的是（ ）.A ．∠E=2∠KB ．BC=2HIC ．六边形ABCDEF 的周长=六边形GHIJKL 的周长D ．S 六边形ABCDEF =2S 六边形GHIJKL二、填空题 9. 在□ABCD 中，在上，若，则___________.10. 如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 和AC 中点，F 是BC 延长线上一点，DF 平分CE 于点G ，CF=1，则BC=_______，△ADE•与△ABC•的面积之比为_______，•△CFG 与△BFD12AEEB的面积之比为________.11. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，S△AOD:S△COB=1:9，则S△DOC:S△BOC=_______.12. 在相同时刻的物高与影长成比例.小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在面上的影长为40米，则古塔高为________.13.如图，直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F．若BC=2，则EF的长是．14．如图，在△ABC中，MN∥BC，若∠C=68°，AM：MB＝1：2，则∠MNA=_______度，AN：NC＝_____________.15.如图，点D,E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED。

专题27图形的相似（46题）一、单选题1．（2024·重庆·中考真题）若两个相似三角形的相似比是1:3，则这两个相似三角形的面积比是（）A ．1:3B ．1:4C ．1:6D ．1:9【答案】D【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”解答即可．【详解】解：两个相似三角形的相似比是1:3，则这两个相似三角形的面积比是1:9，故选：D ．2．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一块面积为260cm 的三角形硬纸板（记为ABC ）平行于投影面时，在点光源O 的照射下形成的投影是111A B C △，若123OB BB =::，则111A B C △的面积是（）A ．290cmB ．2135cmC ．2150cmD ．2375cm 【答案】D【详解】解：∵一块面积为260cm 的三角形硬纸板（记为ABC ）平行于投影面时，在点光源O 的照射下形成的投影是111A B C △，123OB BB =::，∴125OB OB =，∴位似图形由三角形硬纸板与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2:5，∵三角形硬纸板的面积为260cm ，∴111224525ABC A B C S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，∴111A B C △的面积为2375cm ．故选：D ．3．（2024·陕西·中考真题）如图，正方形CEFG 的顶点G 在正方形ABCD 的边CD 上，AF 与DC 交于点H ，若6AB =，2CE =，则DH 的长为（）A ．2B ．3C ．52D ．834．（2024·湖南·中考真题）如图，在ABC 中，点D E ，分别为边AB AC ，的中点．下列结论中，错误的是（）A ．DE BC ∥B ．ADE ABC △△∽C ．2BC DE=D ．12ADE ABC S S =【答案】D【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质可判断A C 、；由相似三角形的判定和性质可判断B D 、，掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】解：∵点D E ，分别为边AB AC ，的中点，∴DE BC ∥，2BC DE =，故A C 、正确；∵DE BC ∥，∴ADE ABC △△∽，故B 正确；∵ADE ABC △△∽，∴221124ADE ABC S DE S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△，∴14ADE ABC S S =，故D 错误；故选：D ．5．（2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（）A ．甲和乙B ．乙和丁C ．甲和丙D ．甲和丁【答案】D【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可．【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形．故选D ．6．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，ABC 与A B C ''' 是位似图形，位似中心为点O ．若点(3,1)A -的对应点为(6,2)A '-，则点(2,4)B -的对应点B '的坐标为（）A ．(4,8)-B ．(8,4)-C ．(8,4)-D ．(4,8)-【答案】A【分析】本题考查了位似变换，根据点'A A 、的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键．【详解】解：∵ABC 与A B C ''' 是位似图形，点(3,1)A -的对应点为(6,2)A '-，∴A B C ''' 与ABC 的位似比为2，∴点(2,4)B -的对应点B '的坐标为()22,42-⨯⨯，即()4,8-，故选：A ．7．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，矩形OABC 各顶点的坐标分别为()0,0O ，()3,0A ，()3,2B ，()0,2C ，以原点O 为位似中心，将这个矩形按相似比13缩小，则顶点B 在第一象限对应点的坐标是（）A ．()9,4B ．()4,9C ．31,2⎛⎫ ⎪D ．21,3⎛⎫ ⎪8．（2024·四川成都·中考真题）如图，在ABCD Y 中，按以下步骤作图：①以点B 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交BA ，BC 于点M ，N ；②分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧在ABC ∠内交于点O ；③作射线BO ，交AD 于点E ，交CD 延长线于点F ．若3CD =，2DE =，下列结论错误的是（）A ．ABE CBE ∠=∠B ．5BC =C ．DE DF =D ．53BE EF =【答案】D【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综合．先由作图得到BF 为ABC ∠的角平分，利用平行线证明AEB ABE ∠=∠，从而得到3AE AB CD ===，再利用平行四边形的性质得到325BC AD AE ED ==+=+=，再证明AEB DEF △∽△，分别求出32BE EF =，2DF =，则各选项可以判定．【详解】解：由作图可知，BF 为ABC ∠的角平分，∴ABE CBE ∠=∠，故A 正确；∵四边形ABCD 为平行四边形，∴,,AD BC AB CD AD BC == ，∵AD BC∥∴AEB CBE ∠=∠，∴AEB ABE ∠=∠，∴3AE AB CD ===，∴325BC AD AE ED ==+=+=，故B 正确；∵AB CD =，∴ABE F ∠=∠，∵AEB DEF ∠=∠，∴AEB DEF △∽△，∴BE AB AEEF DF ED ==，∴332BE EF DF ==，∴32BE EF =，2DF =，故D 错误；∵2DE =，∴DE DF =，故C 正确，故选：D ．9．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为对角线BD AC ，的三等分点，连接AE 并延长交CD 于点G ，连接EF FG ，，若AGF α∠=，则FAG ∠用含α的代数式表示为（）A ．452α︒-B ．902α︒-C ．452α︒+D ．2α【答案】B【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．证明EOF DOC ∽△△，求得45OFE ∠=︒，证明ABE GDE ∽，证得12DG CD CG ==，推出()SAS DEG CFG ≌，得到GE GF =，据此求解即可．【详解】解：∵正方形ABCD 中，点E ，F 分别为对角线BD AC ，的三等分点，∴OD OC =，45ODC OCD ∠=∠=︒，DE CF =，∴OE OF =，∵EOF DOC ∠=∠，OE OFOD OC=，∴EOF DOC ∽△△，∴45OFE OCD ∠=∠=︒，∵点E ，F 分别为对角线BD AC ，的三等分点，∴12DE BE =，∵正方形ABCD ，∴AB CD ∥，∴ABE GDE ∽，∴12DG DE AB BE ==，∴12DG CD CG ==，∴()SAS DEG CFG ≌，∴GE GF =，∴()111809022GEF AGF α∠=︒-∠=︒-，∴1190904545222FAG GEF AFE ααα∠=︒-︒--︒=︒-=∠-∠=，故选：B ．10．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A 为反比例函数()0y x x=-<图象上的一点，连接AO ，过点O 作OA 的垂线与反比例()40y x x =>的图象交于点B ，则AOBO的值为（）A ．12B ．14C ．33D ．13【答案】A【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k 的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A 作AC x ⊥轴于C ，过B 作BD x ⊥轴于D ，证明AOC OBD △∽△，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．【详解】解：过A 作AC x ⊥轴于C ，过B 作BD x ⊥轴于D ，∴11122ACO S =⨯-= ，1422BDO S =⨯= ，90ACO ODB ∠=∠=︒，∵OA OB ⊥，∴90AOC OBD BOD ∠=∠=︒-∠，∴AOC OBD △∽△，∴2ACO BDO S OA S OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，即2122OA OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴12OA OB =（负值舍去），故选：A ．11．（2024·山东威海·中考真题）如图，在ABCD Y 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点E 在BC 上，点F 在CD 上，连接AE ，AF ，EF ，EF 交AC 于点G ．下列结论错误的是（）A ．若CE ADCF AB=，则EF BD ∥B ．若AE BC ⊥，AF CD ⊥，AE AF =，则EF BD ∥C ．若EF BD ∥，CE CF =，则EAC FAC ∠=∠D ．若AB AD =，AE AF =，则EF BD ∥∴AC BD⊥在Rt ,Rt ACE AFC 中，AE AF AC AC=⎧⎨=⎩∴Rt Rt ACE AFC ≌∴CE CF =又∵AE AF =∴AC EF⊥∴EF BD ∥，故B 选项正确，C.∵CE CF =，∴CFE CEF ∠=∠∵EF BD ∥，∴,CBD CEF CDB CFE ∠=∠∠=∠∴CBD CDB ∠=∠∴CB CD=∴四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，又∵EF BD ∥∴AC EF ⊥，∵CE CF =，∴AC 垂直平分EF ，∴AE AF=∴EAC FAC ∠=∠，故C 选项正确；D.若AB AD =，则四边形ABCD 是菱形，由AE AF =，且BE DF =时，可得AC 垂直平分EF ，∵AC BD⊥∴EF BD ∥，故D 选项不正确故选：D ．12．（2024·河南·中考真题）如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为OC 的中点，EF AB ∥交BC 于点F ．若4AB =，则EF 的长为（）A ．12B ．1C ．43D ．213．（2024·安徽·中考真题）如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，2BC =，BD 是边AC 上的高．点E ，F 分别在边AB ，BC 上（不与端点重合），且DE DF ⊥．设AE x =，四边形DEBF 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象为（）A ．B ．C．D．【答案】A【分析】本题主要考查了函数图象的识别，相似三角形的判定以及性质，勾股定理的应用，过点E 作EH AC ⊥于点H ，由勾股定理求出AC ，根据等面积法求出BD ，先证明ABC ADB ∽，由相似三角形的性质可得出AB AC AD AB =，即可求出AD ，再证明AED BFD ∽，由相似三角形的性质可得出2AED BFD S AD S BD ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，即可得出4AED BFD S S = ，根据()ABC AED BDC BDF DEBF S S S S S =--- 四边形，代入可得出一次函数的解析式，最后根据自变量的大小求出对应的函数值．【详解】解：过点E 作EH AC ⊥于点H ，如下图：∵90ABC ∠=︒，4AB =，2BC =，∴2225AC AB BC =+=，∵BD 是边AC 上的高．∴1122AB BC AC BD ⋅=⋅，∴455BD =，∵BAC CAB ∠=∠，90ABC ADB ∠=∠=︒，∴ABC ADB ∽△△，∴AB AC AD AB=，解得：855AD =，∴85252555DC AC AD =-=-=，∵90BDF BDE BDE EDA ∠+∠=∠+∠=︒，90CBD DBA DBA A ∠+∠=∠+∠=︒，∴DBC A ∠=∠，BDF EDA ∠=∠，∴AED BFD ∽，14．（2024·山东·中考真题）如图，点E 为ABCD Y 的对角线AC 上一点，5AC =，1CE =，连接DE 并延长至点F ，使得EF DE =，连接BF ，则BF 为（）A ．52B ．3C ．72D ．4【答案】B【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点，正确作辅助线是解题关键．作辅助线如图，由平行正相似先证DEC GAE ∽，再证BGF AGE ∽，即可求得结果．【详解】解：延长DF 和AB ，交于G 点，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB ∥，DC AB =即DC AG ∥，∴DEC GAE∽∴CE DE DC AE GE AG==，∵5AC =，1CE =，∴514AE AC CE =-=-=，∴14CE DE DC AE GE AG ===，又∵EF DE =，14DE DE GE EF FG ==+，∴13EF FG =，∵14DC DC AG AB BG ==+，DC AB =，∴13DC BG =，∴13EF DC FG BG ==，∴34BG FG AG EG ==∴AE BF ∥，∴BGF AGE ∽，∴34BF FG AE EG ==∵4AE =，∴3BF =．故选：B ．二、填空题15．（2024·江苏盐城·中考真题）两个相似多边形的相似比为12∶，则它们的周长的比为．【答案】12∶/12【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形周长之比等于相似比即可求解，掌握相似多边形的性质是解题的关键．【详解】解：∵两个相似多边形的相似比为12∶，∴它们的周长的比为12∶，故答案为：12∶．16．（2024·云南·中考真题）如图，AB 与CD 交于点O ，且AC BD ∥．若12OA OC AC OB OD BD ++=++，则AC BD =．17．（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB 经小孔O 在屏幕（竖直放置）上成像A B ''．设36cm AB =，24cm A B ''=．小孔O 到AB 的距离为30cm ，则小孔O 到A B ''的距离为cm ．【答案】20【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得AB A B ''∥，AOB A OB ''∽△△，过O 作OC AB ⊥于点C ，CO 交A B ''于点C '，利用已知得出''AOB A OB △∽△，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．【详解】由题意得：AB A B ''∥，∴AOB A OB ''∽△△，如图，过O 作OC AB ⊥于点C ，CO 交A B ''于点C '，∴OC A B '''⊥，30cm OC =，∴A B OC AB OC '''=，即243630OC '=，∴20OC '=（cm ），即小孔O 到A B ''的距离为20cm ，故答案为：20．18．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，点E 是OA 的中点，点F 是OD 上一点．连接EF ．若45FEO ∠=︒，则EF BC 的值为．【答案】12【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到45OAD ∠=︒，AD BC =，再证明EF AD ∥，进而可证明OEF OAD △∽△，由相似三角形的性质可得12EF OE AD OA ==，即12EF BC =．【详解】解：∵正方形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，∴45OAD ∠=︒，AD BC =，19．（2024·四川眉山·中考真题）如图，ABC 内接于O ，点O 在AB 上，AD 平分BAC ∠交O 于D ，连接BD ．若10AB =，BD =BC 的长为．10AB = ，25BD =，()22102545AD ∴=-=，DAC CBD ∠=∠ ，又∵BAD DAE ∠=∠，∴BAD CBD ∠=∠，90ADB BCE ∠=∠=︒ ，ABD BEC ∴ ∽，BE BC AB AD∴=，451045BC ∴=，8BC ∴=，故答案为：8．20．（2024·湖北·中考真题）DEF 为等边三角形，分别延长FD DE EF ，，，到点A B C ，，，使DA EB FC ==，连接AB AC ，，BC ，连接BF 并延长交AC 于点G ．若2AD DF ==，则DBF ∠=，FG =．【答案】30︒/30度435/435【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理．利用三角形的外角性质结合EB EF =可求得30DBF ∠=︒；作CH BG ⊥交BG 的延长线于点H ，利用直角三角形的性质求得1CH =，3FH =，证明AGF CGH ∽，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．【详解】解：∵DEF 为等边三角形，DA EB FC ==，∴112CH CF ==，FH =∵90AFB H ∠=∠=︒，∴AF CH ∥，∴AGF CGH ∽，21．（2024·四川眉山·中考真题）如图，菱形ABCD 的边长为6，120BAD ∠=︒，过点D 作DE BC ⊥，交BC 的延长线于点E ，连结AE 分别交BD ，CD 于点F ，G ，则FG 的长为．【详解】解： 菱形ABCD 的边长为6，120BAD ∠=︒，6AD BC CD ∴===，AD BC ∥，120BCD ∠=︒，60DCE ∴∠=︒，DE BC ⊥ ，90DEC ∴∠=︒，在Rt DCE V 中，9030CDE DCE ∠=-︒∠=︒ ，132CE CD ∴==，2233DE CD CE ∴=-=，9BE BC CE ∴=+=，AD BE ，18090ADE DEC ︒︒∴∠=-∠=，在Rt ADE △中，()222233637AE DE AD =+=+=，AD BE ，AFD EFB ∴ ∽，6293AF AD FE BE ∴===，226737555AF AE ∴==⨯=，AD CE ∥，AGD EGC ∴△∽△，623AG AD EG CE ∴===，22372733AG AE ∴==⨯=，67472755FG AG AF ∴=-=-=．故答案为：475．22．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线AC 和BD 交于点O ，若13ABD BCD S S =△△，则AOD BOC S S =△△．【答案】19【分析】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握平行线间的距离，相似三角形的判定与性质是解题的关键．设AD BC ，的距离为d ，则112132ABD BCD AD d S S BC d ⋅==⋅△△，即13AD BC =，证明AOD COB ∽，则2AOD BOC S AD S BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△，计算求解即可．【详解】解：设AD BC ，的距离为d ，∴112132ABD BCD AD d S S BC d ⋅==⋅△△，即13AD BC =，∵AD BC ∥，∴ADO CBO ∠=∠，DAO BCO ∠=∠，∴AOD COB ∽，∴221139AOD BOC S S AD BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭V V ，故答案为：19．23．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知点()7,0A -，(),10B x ，()17,C y -，在平行四边形ABCO 中，它的对角线OB 与反比例函数()0k y k x =≠的图象相交于点D ，且:1:4OD OB =，则k =．【答案】15-【分析】本题考查了反比例函数与平行四边形综合，相似三角形的性质与判定，分别过点,B D ，作x 轴的垂线，垂足分别为,F E ，根据平行四边形的性质得出()2410B -，，证明ODE OBF △∽△得出6OE =，2.5DE =，进而可得()6,2.5D -，即可求解．【详解】如图所示，分别过点,B D ，作x 轴的垂线，垂足分别为,F E ，∵四边形AOCB 是平行四边形，点()7,0A -，(),10B x ，()17,C y -，∴7OA BC ==，∴24x =-，即()2410B -，，则24OF =，10BF =∵DE x ⊥轴，BF x ⊥轴，∴DE BF∥∴ODE OBF△∽△∴14OE OD DE OF OB BF ===∴6OE =， 2.5DE =∴()6,2.5D -∴6 2.515k =-⨯=-故答案为：15-．24．（2024·四川成都·中考真题）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 是ABC 的一条角平分线，E 为AD 中点，连接BE ．若BE BC =，2CD =，则BD =．【答案】1712+【分析】连接CE ，过E 作EF CD ⊥于F ，设BD x =，EF m =，根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质证得112CF DF CD ===，EAC ECA =∠∠，ECD EDC BEC ∠=∠=∠，进而利用三角形的外角性质和三角形的中位线性质得到2CED CAE ∠=∠，22AC EF m ==，证明CBE CED ∽，利用相似三角形的性质和勾股定理得到232m x =+；根据角平分线的定义和相似三角形的判定与性质证明CAB FBE ∽∵90ACB ∠=︒，E 为AD 中点，∴CE AE DE ==，又2CD =∴112CF DF CD ===，EAC ∠25．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，ABC ，90ACB ∠=︒，5CB =，10CA =，点D ，E 分别在AC AB ，边上，5AE =，连接DE ，将ADE V 沿DE 翻折，得到FDE V ，连接CE ，CF ．若CEF △的面积是BEC 面积的2倍，则AD =．【答案】103/133【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．设AD x =，5AE x =，根据折叠性质得DF AD x ==，ADE FDE ∠=∠，过E 作EH AC ⊥于H ，设EF 与AC 相交于M ，证明AHE ACB ∽得到EH AH AE BC AC AB==，进而得到EH x =，2AH x =，证明Rt EHD 是等腰直角三角形得到45HDE HED ∠=∠=︒，可得90FDM ∠=︒，证明()AAS FDM EHM ≌得到12DM MH x ==，则3102CM AC AD DM x =--=-，根据三角形的面积公式结合已知可得()31022552x x x ⎛⎫-⋅=- ⎪⎝⎭，然后解一元二次方程求解x 值即可．【详解】解：∵5AE AD =，∴设AD x =，5AE x =，∵ADE V 沿DE 翻折，得到FDE V ，∴DF AD x ==，ADE FDE ∠=∠，过E 作EH AC ⊥于H ，设EF 与AC 相交于M ，则90AHE ACB ︒∠=∠=，又A A ∠=∠，三、解答题26．（2024·四川眉山·中考真题）如图，BE 是O 的直径，点A 在O 上，点C 在BE 的延长线上，EAC ABC ∠=∠，AD 平分BAE ∠交O 于点D ，连结DE ．(1)求证：CA 是O 的切线；(2)当8,4AC CE ==时，求DE 的长．【答案】(1)见解析(2)62【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．（1）连接OA ，根据圆周角定理得到90BAE ∠=︒，根据等腰三角形的性质得到ABC BAO ∠=∠，求得90OAC ∠=︒，根据切线的判定定理得到结论；（2）根据相似三角形的判定和性质定理得到16BC =，求得12BE BC CE =-=，连接BD ，根据角平分线的定义得到BAD EAD ∠=∠，求得 BDDE =，得到BD DE =，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OA ，BE 是O 的直径，90BAE ∴∠=︒，90BAO OAE ∴∠+∠=︒，OA OB = ，ABC BAO ∴∠=∠，EAC ABC ∠=∠ ，CAE BAO ∴∠=∠，90CAE OAE ∴∠+∠=︒，90OAC ∴∠=︒，OA 是O 的半径，27．（2024·四川凉山·中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 在O 上，AD 平分BAC ∠交O 于点D ，过点D 的直线DE AC ⊥，交AC 的延长线于点E ，交AB 的延长线于点F ．(1)求证：EF 是O 的切线；(2)连接EO 并延长，分别交O 于,M N 两点，交AD 于点G ，若O 的半径为230F ∠=， ，求GM GN ⋅的值．【答案】(1)见详解(2)7225【分析】（1）连接OD ，根据等腰三角形的性质及角平分线得到OD AC ∥，根据平行线的性质得90ODF ∠=︒即可证明；（2）连接,MD AN ，先解Rt ODF △，求得4OF =，23DF =，则6AF =，3AE =，可证明23AD DF ==，由DGO AGE ∽，得23DG OD AG AE ==，故23,55DG AD AG AD ==，证明MGD AGN △∽△，即可得到7225GM GN GD GA ⋅=⋅=．【详解】（1）解：连接OD ，∵OA OD =，∴23∠=∠，∵AD 平分BAC ∠，∴12∠=∠，∴13∠=∠，∴OD AC ∥，∴ODF AED∠=∠∵DE AC ⊥，∴90AED ∠=︒，∴90ODF ∠=︒，即OD EF ⊥，∵OD 是O 的半径∴EF 是O 的切线；∵30F ∠=︒，∴在Rt ODF △中，24OF OD ==，由勾股定理得：22DF OF OD =-∴246AF =+=，∵在Rt AEF 中，30F ∠=︒，∴132AE AF ==，【点睛】本题考查了圆的切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，30︒的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键．28．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，点C 在以AB 为直径的O 上，过点C 作O 的切线l ，过点A 作AD l ⊥，垂足为D ，连接AC BC 、．(1)求证：ABC ACD △△∽；(2)若5AC =，4CD =，求O 的半径．【答案】(1)见解析(2)256【分析】题目主要考查切线的性质，相似三角形的判定和性质及勾股定理解三角形，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．（1）连接OC ，根据题意得90OCD OCA ACD ∠∠∠=+=︒，90ACB ACO OCB ∠∠∠=+=︒，利用等量代换确定ACD ABC ∠∠=，再由相似三角形的判定即可证明；（2）先由勾股定理确定3AD =，然后利用相似三角形的性质求解即可．【详解】（1）证明：连接OC ，如图所示：∵CD 是O 的切线，点C 在以AB 为直径的O 上，∴90OCD OCA ACD ∠∠∠=+=︒，90ACB ACO OCB ∠∠∠=+=︒，∴ACD OCB ∠∠=，∵OC OB =，∴OBC OCB ∠∠=，∴ACD ABC ∠∠=，∵AD l ⊥，29．（2024·陕西·中考真题）如图，直线l 与O 相切于点A ，AB 是O 的直径，点C ，D 在l 上，且位于点A 两侧，连接BC BD ，，分别与O 交于点E ，F ，连接EF AF ，．(1)求证：BAF CDB ∠=∠；(2)若O 的半径6r =，9AD =，12AC =，求EF 的长．∴90BAF ABD ∠+∠=︒，∴BAF CDB ∠=∠；（2）解：∵6r =，∴212AB r AC ===，222212915BD AB AD =+=+=，∵直线l 与O 相切于点A ，∴90BAC ∠=︒，∴ABC 是等腰直角三角形，∴45ABC ACB ∠=∠=︒，∵AB 是O 的直径，∴90BEA ∠=︒，∴ABE 也是等腰直角三角形，∴cos 4562AE BE AB ==⋅︒=，∵ BFBF =，∴BEF BAF ∠=∠，∵BAF CDB ∠=∠，∴BEF BDC ∠=∠，∴BEF BDC ∽，∴BE EF BD CD =，即6215129EF =+，∴4225EF =．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理等知识点的应用，掌握切线的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．30．（2024·上海·中考真题）如图所示，在矩形ABCD 中，E 为边CD 上一点，且AE BD ⊥．(1)求证：2AD DE DC =⋅；(2)F 为线段AE 延长线上一点，且满足12EF CF BD ==，求证：CE AD =．∠在矩形ABCD中，ADE ⊥，AE BD∴90∠+∠=︒DAE ADBADB AED∴∠=∠，FEC AED∠=∠，在矩形ABCD 中，12OA OD BD ==， 12EF CF BD ==，OA OD EF CF ∴===，ADO OAD ∴∠=∠，FEC FCE ∠=∠，ADO FEC ∠=∠，FEC E AD F O OAD C ∴∠∠=∠∠==，在ODA V 和FEC 中，ODA FEC OAD FCE OD FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ODA FEC ∴ ≌，CE AD ∴=．【点睛】本题考查矩形综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题第的关键．31．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，O 经过B ，C 两点，与斜边AB 交于点E ，连接CO 并延长交AB 于点M ，交O 于点D ，过点E 作EF CD ∥，交AC 于点F ．(1)求证：EF 是O 的切线；(2)若42BM =，1tan 2BCD ∠=，求OM 的长．【答案】(1)见解析(2)5OM =【分析】（1）连接OE ，延长EO ，交O 于点P ，连接,,PD BD 根据直径所对的圆周角是直角求出45DBE ∠=︒得45DPE ∠=︒，90DOE ∠=︒，由EF CD ∥可得90FED DOE ∠=∠=︒，从而可证明EF 是O 的切线；（2）由1tan 2BCD ∠=得12DB BC =，即12DB AC =，证明DBM ACM ∽ ，得12BM DM DB AM CM AC ===，由42BM =∵,AB BC ACB =∠∴ABC 是等腰直角三角形，∴45,ABC ∠=︒∵CD 是O 的直径，∴8242122AB AM BM =+=+=，在等腰直角三角形ABC 中，222AC BC AB +=,∴()2222122AC AC AB +==，解得，12AC =，∴12AC BC ==，∴16,2DB BC ==在t R BDC 中，222212665,CD BC DB =+=+=∴35CO DO ==，又12DM CM =，∴2,CM DM =∴265,DM DM CD +==∴25DM =∴35255OM OD DM =-=-=【点睛】本题主要考查平行线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造圆周角是解答本题的关键．32．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，连接BD ，过点C 作CE AB ⊥，垂足为E ，CE 交BD 于点F ，1ABC ∠=∠．(1)求证：23∠∠=；(2)若445∠=︒．①请判断线段BC ，BD 的数量关系，并证明你的结论；②若13BC =，5AD =，求EF 的长．【答案】(1)见解析∴EF BE AD AB =，∴5512EF =，2512EF ∴=．33．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在ABC 中，AB AC =，点D 是AC 上的一个动点，过点D 作DE BC ⊥于点E ，延长ED 交BA 延长线于点F ．请你解决下面各组提出的问题：(1)求证：AD AF =；(2)探究DF DE与AD DC 的关系；某小组探究发现，当13AD DC =时，23DF DE =；当45AD DC =时，85DF DE =．请你继续探究：①当76AD DC =时，直接写出DF DE 的值；②当AD m DC n =时，猜想DF DE的值（用含m ，n 的式子表示），并证明；(3)拓展应用：在图1中，过点F 作FP AC ⊥，垂足为点P ，连接CF ，得到图2，当点D 运动到使ACF ACB ∠=∠时，若AD m DC n =，直接写出AP AD的值（用含m ，n 的式子表示）．【答案】(1)见解析(2)①73DF DE =②2DF DE m n =，证明见解析(3)2AP n AD m=【分析】（1）等边对等角，得到B C ∠=∠，等角的余角的相等，结合对顶角相等，得到F ADF ∠=∠，即可得出结论；∵DE BC ⊥，∴AG CE ∥，∴AGD CED ∽△△，∵AD m DC n =，∴GD AD m ==，由（1）知AD AF =，又AG EF ⊥，∴DG FG =，即2DF DG =，∴22GD m DE nDF DE ==；（3）2AP n AD m =，理由如下：过点D 作DG CF ⊥，∵ACF ACB ∠=∠，DE CE ⊥，∴DG DE =，由（2）知，当AD m DC n =时，2DF DE m n=，∴2DE n DF m =，∴2DG n DF m =，∵PF AC ⊥，∴90ACF CFP ∠+∠=︒，∵FE BC ⊥，∴90B AFD ∠+∠=︒，∵AB AC =，∴ACB B =∠∠，∴B ACF ∠=∠，∴AFD CFP ∠=∠，∴AFD PFD CFP PFD ∠-∠=∠-∠，∴AFP DFG ∠=∠，∴sin sin AFP DFG ∠=∠，∴2AP DG n AF DF m==，由（1）知AD AF =，34．（2024·福建·中考真题）如图，在ABC 中，90,BAC AB AC ∠=︒=，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，AE OC ⊥，垂足为,E BE 的延长线交 AD 于点F ．(1)求OE AE的值；(2)求证：AEB BEC △∽△；(3)求证：AD 与EF 互相平分．∴在Rt AOC 中，tan 2AC AOC AO∠==．AE OC ⊥ ，∴在Rt AOE △中，tan AE AOC OE∠=．2AE OE ∴=，12OE AE ∴=；（2）过点B 作BM AE ∥，交EO 延长线于点M ．,90BAE ABM AEO BMO ∴∠=∠∠=∠=︒．AO BO = ，AOE BOM ∴△≌△，,AE BM OE OM ∴==．12OE AE = ，2BM OE EM ∴==，45MEB MBE ∴∠=∠=︒，135AEB AEO MEB ∴∠=∠+∠=︒，180135BEC MEB ∠=︒-∠=︒，AEB BEC ∴∠=∠．,90AB AC BAC =∠=︒ ，45ABC ∴∠=︒，ABM CBE ∴∠=∠，BAE CBE ∴∠=∠，AEB BEC ∴△∽△．（3）如图，连接,DE DF ．90ADB AFB ∴∠=∠=,90AB AC BAC ∠== 2,BC BD DAB ∴=∠=由（2）知，AEB △∽△22AE AB AO BE BC BD ∴===35．（2024·北京·中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C ，D 在O 上，OD 平分AOC ∠.(1)求证：OD BC ∥；(2)延长DO 交O 于点E ，连接CE 交OB 于点F ，过点B 作O 的切线交DE 的延长线于点P .若56OF BF =，1PE =，求O 半径的长.【答案】(1)见解析(2)32【分析】（1）根据题意，得AOC B C ∠=∠+∠，结合OB OC =，得到B C ∠=∠，继而得到2AOC B ∠=∠，根据OD 平分AOC ∠，得到2AOC AOD ∠=∠，继而得到B AOD ∠=∠，可证OD BC ∥；（2）不妨设5,6OF x BF x ==，则11OB OF BF x OC OE =+===，求得111OP OE PE x =+=+，证明OFE BFC ∽，OBM POB ∠=∠，求得665x BC =，取BC 的中点M ，连接OM ，则335x BM =，求得3cos 5OBM ∠=，3cos 5POB ∠=，结合切线性质，得到3cos 51OB OB OB POB OP OE PE OB ∠====++，解答即可.【详解】（1）根据题意，得AOC B C ∠=∠+∠，∵OB OC =，∴B C ∠=∠，∴2AOC B ∠=∠，∵OD 平分AOC ∠，∴2AOC AOD ∠=∠，∴B AOD ∠=∠，∴OD BC ∥；（2）∵56OF BF =，1PE =，不妨设5,6OF x BF x ==，则11OB OF BF x OC OE =+===，∴111OP OE PE x =+=+，∵OD BC ∥，2【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算，等量代换思想，熟练掌握三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算是解题的关键36．（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．在ABC 中，点D 为边AB 上一点，连接CD ．(1)初步探究如图2，若ACD B ∠=∠，求证：2AC AD AB =⋅；(2)尝试应用如图3，在（1）的条件下，若点D 为AB 中点，4BC =，求CD 的长；(3)创新提升如图4，点E 为CD 中点，连接BE ，若30CDB CBD ∠=∠=︒，ACD EBD ∠=∠，27AC =BE 的长．【答案】(1)证明见解析(2)22CD =(3)21【分析】（1）根据题意，由ACD B ∠=∠，A A ∠=∠，利用两个三角形相似的判定定理即可得到ACD ABC △△∽，再由相似性质即可得证；（2）设AD BD m ==，由（1）中相似，代值求解得到2AC m =，从而根据ACD 与ABC 的相似比为12AD AC =求解即可得到答案；（3）过点C 作EB 的平行线交AB 的延长线于点H ，如图1所示，设CE DE a ==，过点B 作BF EC ⊥于点F ，如图2所示，利用含30︒的直角三角形性质及勾股定理即可得到相关角度与线段长，再由三角形相似的判定与性质得到21277AD AC CD a AC AH CH a ====，代值求解即可得到答案．【详解】（1）证明：∵ACD B ∠=∠，A A ∠=∠，∴ACD ABC △△∽，∵点E 为CD 中点，∴设CE DE a ==，∵30CDB CBD ∠=∠=︒，∴2CB CD a ==，120DCB ∠=︒，∴60FCB ∠=︒，∴30CBF ∠=︒，∴12CF BC =，∴CF a =，3BF a =，∴2EF a =，∴7BE a =，∵CH BE ∥，点E 为CD 中点，∴227CH BE a ==，243DH DB a ==，EBD H ∠=∠，又∵ACD EBD ∠=∠，∴ACD H ∠=∠，ACD AHC ∽△△，∴21277AD AC CD a AC AH CH a ====，又∵27AC =，∴2AD =，14AH =，∴12DH =，即4312a =，∴3a =，∴721BE a ==．【点睛】本题考查几何综合，涉及相似三角形的判定与性质、含30︒的直角三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解决问题的关键．37．（2024·安徽·中考真题）如图1，ABCD Y 的对角线AC 与BD 交于点O ，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，且AM CN =．点E ，F 分别是BD 与AN ，CM 的交点．(1)求证：OE OF =；(2)连接BM 交AC 于点H ，连接HE ，HF ．（ⅰ）如图2，若HE AB ∥，求证：HF AD ∥；（ⅱ）如图3，若ABCD Y 为菱形，且2MD AM =，60EHF ∠=︒，求AC BD 的值．∴OHF OAD ∠=∠，∴HF AD∥（ⅱ）∵ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，又OE OF =，60EHF ∠=︒，∴30EHO FHO ∠=∠=︒，∴3OH OE =，∵AM BC ∥．2MD AM =，∴AHM CHB ∽，∴13AH AM HC BC ==，即3HC AH =，∴()3OA AH OA OH +=-，∴2OA OH =，∵BN AD ∥，2MD AM =，AM CN =，∴BNE DAE ∽，∴23BE BN ED AD ==，即32BE ED =，∴()()32OB OE OB OE -=+∴5OB OE =，故22323555AC OA OH OE BD OB OE OE ⨯====．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，全等三角形判定以及性质，相似三角形的判定以及性质，平行线截线段成比例以及菱形的性质，掌握这些判定方法以及性质是解题的关键．38．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在ABCD Y 中，ABC ∠为锐角，点E 在边AD 上，连接,BE CE ，且ABE DCE S S = ．(1)如图1，若F 是边BC 的中点，连接EF ，对角线AC 分别与,BE EF 相交于点,G H ．①求证：H 是AC 的中点；②求::AG GH HC ；(2)如图2，BE 的延长线与CD 的延长线相交于点M ，连接,AM CE 的延长线与AM 相交于点N ．试探究线段AM 与线段AN 之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)①见解析；②::2:1:3AG GH HC =(2)3AM AN =，理由见解析【分析】（1）①根据ABE DCE S S = ，得出E 为AD 的中点，证明出AHE CHF ≌即可；②先证明出AGB HGE ∽得到2AB AG EH GH==，然后再根据平行四边形的性质找到线段的数量关系求解；（2）连接BD 交CN 于点F ，证明()AAS AEB DEM ≌，进一步证明出四边形ABDM 为平行四边形，得出DF 为CMN 的中位线，得到12DF MN =，再证明出AEN DEF ≌得到DF AN =，再通过等量代换即可求解．【详解】（1）解：①ABE DCE S S = ，E ∴为AD 的中点，AE DE ∴=，F 是边BC 的中点，BF CF ∴=，AE CF ∴=，在ABCD Y 中，AD BC∴EAH FCH ∠=∠，又∵AHE CHF ∠=∠，()AAS AHE CHF ∴ ≌，。

《图形的相似》全章复习与巩固--巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．如图，已知，那么下列结论正确的是( ).A．B． C．D．2. 在和中，，如果的周长是16，面积是12，那么的周长、面积依次为( ).A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．4，63．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是( ).4.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x 轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是，则点B的横坐标是（）.A．B． C．D．5.如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为（）A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：66. 如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，P是BC边上的点，下列条件中不能推出△ABP与以点E、C、P为顶点的三角形相似的是( ).A．∠APB=∠EPC B．∠APE=90° C．P是BC的中点D．BP：BC=2：37. （2016•盐城）如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（）A．0个B．1个C．2个D．3个8.如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（）.A．∠E=2∠K B．BC=2HIC．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL二、填空题9. 在□ABCD中，在上，若，则___________.10. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF=1，则BC=_______，△ADE•与△ABC•的面积之比为_______，•△CFG与△BFD的面积之比为________.11. （2016•衡阳）若△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，则△ABC与△DEF的周长之比为．12. 在相同时刻的物高与影长成比例.小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在面上的影长为40米，则古塔高为________.13.如图，直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F．若BC=2，则EF的长是．14．如图，在△ABC中，MN∥BC，若∠C=68°，AM：MB＝1：2，则∠MNA=_______度，AN：NC＝_____________.15.如图，点D,E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED。