一道非对称式求值题的三种解法

圆锥曲线非对称韦达定理处理方法圆锥曲线非对称韦达定理处理方法如下:一、什么是非对称韦达式？对于一元二次方程:aⅹ²+bⅹ+c=0(a≠0)，令判别式△>0，设其两根分别为m、n，则有韦达定理知:①m+n=-b/a，②mn=c/a。

形如丨m－n丨，m²+n²，1/m+1/n，…为对称韦达式；而m/n，2m+3n，m²+n，…为非对称韦达式。

比如，因(m-n)²=(m+n)²－4mn，故有丨m-n丨=√(m-n)²，即可用韦达定理求出解。

即凡可套用韦达定理的即为对称韦达式，而非对称韦达式是不能直接用韦达定理求解的！二、非对称韦达式的处理技巧——硬凑韦达式法。

例题:已知直线l:y=kx+1与椭圆C:y²/3+x²=1交于M、N两点，与y 轴交于点P，已知PM=2PN，求k的值。

分析:设M(X1，Y1)、N(X2，Y2)，由Y=kX+1和Y²/3+X²=1知，(k²+3)X²+2kX-2=0，△=12k²+24﹥0，故X1+Ⅹ2=-2k/(k²+3)，X1X2=-2/(k²+3)。

∵PM=2PN，即丨X1丨=2丨Ⅹ2丨，∴X1/X2=-2。

下面，利用倒数和构造对称韦达式法求解: X1/X2＋Ⅹ2/X1=(X1＋X2)²/X1X2－2，即有-5/2=-2k²/(k²＋3)，故k=±1。

当然，硬解亦可！由X1=-2X2和Ⅹ1十Ⅹ2=-2k/(k²十3)，知Ⅹ1=-4k/(k²十3)，Ⅹ2=2k/(k²十3)。

代入X1Ⅹ2=-2/(k²十3)，得k=±1。

有时，硬解法运算量会过大！。

非对称韦达定理问题考点解密在一些定点、定值、定线问题中，还常出现需要证明类似y 2-2 x 1y 1+2 x 2为定值的情形，通过直线代换可得：y 2-2 x 1y 1+2 x 2=kx 2+2 x 1kx 1+6 x 2=kx 1x 2+2x 1kx 1x 2+6x 2，但此时式子并不能完全整理为韦达定理的形式，这种式子一般称为“非对称韦达定理”．或者在处理斜率比值的时候：k PAk PB=y 1−t x 1y 2−t x 2=x 2y 1−tx 2x 1y 2−tx 1=kx 1x 2+(m −t )x 2kx 1x 2+(m −t )x 1我们明明求了韦达定理却无法代入，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到x 1+x 2和x 1⋅x 2之间的关系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法．这样的非对称形式，即韦达定理无法直接代入，可以通过韦达定理构造互化公式，先局部互化，然后可整理成对称型.具体办法：①联立方程后得到韦达定理：x 1+x 2=f (t )x 1x 2=g (t ) ⇒m (t )(x 1+x 2)=n (t )x 1x 2代入之后进行代换消元解题.②利用点在椭圆方程上代换题型解密题型一：利用非对称韦达定理思想解决定点问题【精选例题】1已知双曲线C:x 2a 2-y 23a 2=1(a >0)的左顶点为A ，右焦点为F ，P 是直线l :x =a2上一点，且P 不在x 轴上，以点P 为圆心，线段PF 的长为半径的圆弧AF 交C 的右支于点N ．(1)证明：∠APN =2∠NPF ；(2)取a =1，若直线PF 与C 的左、右两支分别交于E ，D 两点，过E 作l 的垂线，垂足为R ，试判断直线DR 是否过定点若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析【分析】(1)过N 作l 的垂线，垂足为H ，且与圆弧AF 交于点M ，则MN ∥AF ，结合圆的知识可得AM =NF ，MH =HN ，设点N x 0,y 0 ，则x 20a2-y 203a 2=1，由NF HN =2，可得NF =2HN ，即得AM =NF =MN (用双曲线的第二定义来说明，也可以)，由相等弦长所对的圆心角相等，得∠APM =∠MPN =∠NPF ，进而求解；(2)设直线PF 的方程为x =my +2，由题意可得m ∈-∞,-33 ∪33,+∞ ，联立方程组，结合韦达定理可得y 1+y 2，y 1y 2，由题知，直线DR 的方程为y -y 2=y 2-y 112-x 1x -12，令y =0，化简即可求解.【详解】(1)证明：过N 作l 的垂线，垂足为H ，且与圆弧AF 交于点M ，则MN ∥AF ，连接AM ，PM ，NF ．因为在圆P 中，PH ⊥AF ，PH ⊥MN ，所以|AM |=|NF |，|MH |=|HN |．由题易知右焦点F (2a ,0)，设点N x 0,y 0 ，则x 20a 2-y 203a 2=1，整理得y 20=3x 20-3a 2．因为|NF ||HN |=x 0-2a 2+y 2x 0-a 2=x 0-2a2+3x 20-3a2x 0-a 2=2x 0-a2x 0-a 2=2x 0-a x 0-a 2=2，所以|NF |=2|HN |，所以|AM |=|NF |=|MN |．【这里若学生用双曲线的第二定义来说明，也可以．见下：因为直线l :x =a 2为双曲线C :x 2a 2-y 23a 2=1(a >0)的准线，根据双曲线的第二定义，可知|NF ||HN |=ca =2，即|NF |=2|HN |，即得|AM |=|NF |=|MN |．】在圆P 中，由相等弦长所对的圆心角相等，得∠APM =∠MPN =∠NPF ，所以∠APN =2∠NPE ．(2)由题知双曲线C :x 2-y 23=1，渐近线为：y =±33x ，右焦点为F 2,0 ，直线PF 的斜率不为0，设直线PF 的方程为x =my +2因为直线PF 与C 的左，右两支分别交于E ，D 两点，则m ∈-∞,-33 ∪33,+∞ ．设D x 1,y 1 ，E x 2,y 2 ，R 12,y 2y 1≠y 2 ，联立方程组x=my+2x2-y23=1，得3m2-1y2+12my+9=0，则y1+y2=12m3m2-1,y1y2=-93m2-1．由题知，直线DR的方程为y-y2=y2-y112-x1x-12，令y=0，得x=x1y2-12y1y2-y1=my1+2y2-12y1y2-y1=my1y2+2y2-12y1y2-y1=-34y1+y2+2y2-12y1y2-y1=54y2-y1y2-y1=54，所以直线DR过定点54,0 .【跟踪训练】1已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点A2,0，B1,3 2，M，N为椭圆E 上关于x轴对称的两点(不与点B重合)，Q1,0，直线MQ与椭圆E交于另一点C，直线QP垂直于直线NC，P为垂足．(1)求E的方程；(2)证明：(i)直线NC过定点，(ii)存在定点R，使PR为定值．【答案】(1)x24+y2=1；(2)(i)证明见解析；(ii)证明见解析.【分析】(1)设方程为mx2+ny2=1m>0,n>0,m≠n，代入A,B点的坐标，得出方程组，求解即得.(2)(i)设MQ的方程为x=ty+1t≠0，与椭圆方程联立，根据韦达定理表示出坐标关系，得出NC的方程为y-y1=y1+y2x1-x2(x-x1 ，令y=0，整理可得x=4，即可得出定点；(ii)由已知可得QP⊥PH，即可得出P的轨迹，得出答案.【详解】(1)设E的方程为mx2+ny2=1m>0,n>0,m≠n，则4m=1m+34n=1，解得m=14n=1，所以E的方程为x24+y2=1.(2)(i)依题意，直线MQ的斜率存在且不为0，设MQ的方程为x=ty+1t≠0，设点C x1,y1，M x2,y2，则N x2,-y2，由x=ty+1x2+4y2=4消去x并整理得t2+4y2+2ty-3=0，则Δ=16t2+48>0，y1+y2=-2tt2+4，y1y2=-3t2+4，显然2ty1y2=3(y1+y2)，直线NC的斜率k NC=y1+y2x1-x2，直线NC的方程为y-y1=y1+y2x1-x2x-x1 ，令y=0，则x=x1-y1x1-x2y1+y2=y2x1+x2y1y1+y2=y2ty1+1+ty2+1y1y1+y2=2ty1y2+y1+y2y1+y2=4，所以直线NC恒过定点4,0.(ii)令直线NC过的定点4,0为点H，由QP⋅NC=0，P在NC上，得QP⊥PH，则点P在以QH为直径的圆上，从而QH的中点R52,0为定点，使PR 为定值32.【点睛】思路点睛：设MQ的方程为x=ty+1t≠0，与椭圆联立得出方程，根据韦达定理得出坐标关系.进而整理化简，即可得出定点坐标.2椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的一个焦点为F1,0，且过点M1,32．(1)求椭圆C的标准方程和离心率；(2)若过点23,0且斜率不为0的直线与椭圆C交于M，N两点，点P在直线x=6上，且NP与x轴平行，求直线MP恒过的定点．【答案】(1)标准方程为C：x24+y23=1，离心率为12；(2)103,0【分析】(1)法一：由题意可得c=11a2+94b2=1a2=b2+c2，解方程即可求出a,b,c，可求出椭圆C的标准方程和离心率；法二：由椭圆的定义求出a=1，再结合b2=a2-c2求出b，可求出椭圆C的标准方程和离心率；(2)设方程为x=my+23，M x1,y1，N x2,y2，联立直线MN方程和椭圆的方程可得my1y2=83y1+y2，表示出直线MP方程，对称性可知直线MP恒过的定点在x轴上，令y=0，将my1y2=83y1+y2代入化简即可得出答案.【详解】(1)法一：由题意c=11a2+94b2=1a2=b2+c2，可得a2=4b2=3c2=1，则椭圆C的标准方程为C：x24+y23=1，离心率为e=ca=12；法二：设椭圆的左焦点为F -1,0 ，则由椭圆的定义知2a =MF +MF =1+12+322+1-12+322=52+32=4，所以a =2，又c =1，得b 2=a 2-c 2=3，则椭圆C 的标准方程为C ：x 24+y 23=1，离心率为e =c a =12；(2)因为直线MN 过点23,0且斜率不为0，所以设直线MN 方程为x =my +23，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，则P 6,y 2 ，联立x =my +23x 24+y 23=1，消去x 得，3m 2+4 y 2+4my -323=0，所以Δ>0y 1+y 2=-4m 3m 2+4y 1y 2=-3233m 2+4，所以my 1y 2=83y 1+y 2 ，直线MP 方程为y -y 2=y 1-y 2x 1-6x -6 ，由对称性可知直线MP 恒过的定点在x 轴上，所以令y =0，得x -6=y 2x 1-6 y 2-y 1，且x 1=my 1+23，所以x -6=y 2my 1+23-6 y 2-y 1=my 1y 2-163y 2y 2-y 1=83y 1+y 2 -163y 2y 2-y 1=-83，可得x =103，直线MP 恒过的定点103,0 ．【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：(1)“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；(2)“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；(3)求证直线过定点x 0,y 0 ，常利用直线的点斜式方程或截距式y =kx +b 来证明.题型二：利用非对称韦达定理思想解决斜率定值问题【精选例题】2椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的长轴长为4，且椭圆C 过点3,32 .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知A 、B 为椭圆C 的左、右顶点，过右焦点F 且斜率不为0的直线交椭圆C 于点M 、N ，直线AM 与直线x =4交于点P ，记PA 、PF 、BN 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，问k 1+k 3k 2是否是定值，如果是，求出该定值，如果不是，请说明理由.【答案】(1)C :x 24+y 23=1；(2)k 1+k 3k 2是定值2，理由见解析【分析】(1)先求出a =2，将3,32代入求出b 2=3，得到椭圆方程；(2)设直线MN ：x =my +1，联立椭圆方程，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，得到两根之和，两根之积，表达出k 1=y 1x 1+2，k 2=2y 1x 1+2，k 3=y 2x 2-2，计算出k 1+k 3k 2=12+my 1y 2+3y 22my 1y 2-2y 1，将两根之积代入，化简得到k 1+k 3k 2=3m 2+4 -3y 1+y 2 +4y 1 +18m23m 2+4 y 1+18m，再代入两根之和，得到k 1+k 3k 2是定值2.【详解】(1)由题意得2a =4，解得a =2，将3,32代入椭圆方程C :x 24+y 2b 2=1中得，34+34b2=1，解得b 2=3，故椭圆方程为C :x 24+y 23=1(2)因为a =2，c =4-3=1，所以F 1,0 ，A -2,0 ，B 2,0 ，设直线MN ：x =my +1，联立x =my +1与C :x 24+y 23=1可得，3m 2+4 y 2+6my -9=0，Δ=36m 2+363m 2+4 >0恒成立，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4，直线AM ：y y 1=x +2x 1+2，令x =4得y =6y 1x 1+2，故P 4,6y 1x 1+2，k 1=y 1x 1+2，k 2=6y 1x 1+2-04-1=2y 1x 1+2，k 3=y 2x 2-2，则k 1+k 3k 2=y 1x 1+2+y 2x 2-22y 1x 1+2=12+y 2x 2-2⋅x 1+22y 1=12+y 2my 1+3 2y 1my 2-1=12+my 1y 2+3y 22my 1y 2-2y 1=12+-9m3m 2+4+3y 2-18m 3m 2+4-2y 1=12-33m 2+4 y 2-9m 23m 2+4 y 1+18m =3m 2+4 y 1-3y 2 +18m23m 2+4 y 1+18m=3m 2+4 -3y 1+y 2 +4y 1 +18m23m 2+4 y 1+18m =3m 2+4 18m3m 2+4+4y 1+18m23m 2+4 y 1+18m=43m 2+4 y 1+36m 23m 2+4 y 1+18m=2.k 1+k 3k 2为定值2.【点睛】定值问题常见方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.3已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，离心率为12，点P 1,32 为椭圆上一点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过点C (0，1)且斜率大于1的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，记直线AM 的斜率为k 1，直线BN 的斜率为k 2，若k 1=2k 2，求直线l 斜率的值．【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)32.【分析】(1)由椭圆的离心率,和点P 1,32在椭圆上求出椭圆的标准方程;(2)由椭圆的对称性可知直线l 的斜率一定存在，设其方程为y =kx +1, 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2), 联立方程组消去y ,再将k 1=2k 2用坐标表示,利用点在椭圆上和韦达定理求出直线l 的斜率.【详解】(1)因为椭圆的离心率为12，所以a =2c .又因为a 2=b 2+c 2，所以b =3c .所以椭圆的标准方程为x 24c 2+y 23c2=1.又因为点P 1,32 为椭圆上一点，所以14c 2+943c2=1，解得c =1.所以椭圆的标准方程为x 24+y 23=1.(2)由椭圆的对称性可知直线l 的斜率一定存在，设其方程为y =kx +1.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立方程组消去y 可得(3+4k 2)x 2+8kx -8=0.所以由根与系数关系可知x 1+x 2=-8k 3+4k 2，x 1x 2=-83+4k 2.因为k 1=y 1x 1+2，k 2=y 2x 2-2，且k 1=2k 2，所以y 1x 1+2=2y 2x 2-2.即y 12x 1+2 2=4y 22x 2-22.　①又因为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在椭圆上，所以y 21=34(4-x 21)，y 22=34(4-x 22)．　②将②代入①可得：2-x 12+x 1=42+x 2 2-x 2，即3x 1x 2+10(x 1+x 2)+12=0.所以3-83+4k 2 +10-8k 3+4k 2+12=0，即12k 2-20k +3=0.解得k =16或k =32，又因为k >1，所以k =32.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系,考查椭圆的标准方程和椭圆的几何性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.【跟踪训练】3已知点F 为椭圆E :x 24+y 23=1的右焦点，A ，B 分别为其左、右顶点，过F 作直线l 与椭圆交于M ，N 两点(不与A ，B 重合)，记直线AM 与BN 的斜率分别为k 1,k 2,证明k1k 2为定值．解析：方法1.先联x 24+y 23=1x =ty +1 ，消x 得(4+3t 2)y 2+6ty -9=0，易知△>0，则y 1+y 2=-6t 4+3t 2y 1y 2=-94+3t2．ty 1y 2=32(y 1+y 2)，代入目标信息得，k 1k 2=ty 1y 2-y 1ty 1y 2+3y 2=32(y 1+y 2)-y 132(y 1+y 2)+3y 2稍作整理，即可得k 1k 2=12y 1+32y 232y 1+92y 2=13，为定值，得证．4已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的离心率为2，点3,-1 在双曲线C 上.过C 的左焦点F 作直线l 交C 的左支于A 、B 两点.(1)求双曲线C 的方程；(2)若M -2,0 ，试问：是否存在直线l ，使得点M 在以AB 为直径的圆上?请说明理由.(3)点P -4,2 ，直线AP 交直线x =-2于点Q .设直线QA 、QB 的斜率分别k 1、k 2，求证：k 1-k 2为定值.【答案】(1)x 28-y 28=1；(2)不存在，理由见解析；(3)证明见解析【分析】(1)根据题意列式求a ,b ,c ，进而可得双曲线方程；(2)设l :x =my -4，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立方程，利用韦达定理可得MA ⋅MB=-4，结合圆的性质分析判断；(3)用A ,B 两点坐标表示出直线AP ，得点Q 坐标，表示出k 1,k 2，结合韦达定理，证明k 1-k 2为定值.【详解】(1)由题意，双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1的离心率为2，且M 3,-1 在双曲线C 上，可得9a 2-1b 2=1e =c a =2c 2=a 2+b 2，解得a 2=8，b 2=8，所以双曲线的方程为x 28-y 28=1.(2)双曲线C 的左焦点为F -4,0 ，当直线l 的斜率为0时，此时直线为y =0，与双曲线C 左支只有一个交点，舍去；当直线l 的斜率不为0时，设l :x =my -4，联立方程组x =my -4x 2-y 2=8，消x 得m 2-1 y 2-8my +8=0，易得Δ>0，由于过点F 作直线l 交C 的左支于A ,B 两点，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=8m m 2-1，y 1y 2=8m 2-1<0，可得-1<m <1，因为MA =x 1+2,y 1 ，MB =x 2+2,y 2 ，则MA ⋅MB=x 2+2 x 1+2 +y 1y 2=my 1-2 my 2-2 +y 1y 2=m 2+1 y 1y 2-2m y 1+y 2 +4=8m 2+1 m 2-1-16m 2m 2-1+4=-4，即MA ⋅MB≠0，可得MA 与MB 不相互垂直，所以不存在直线l ，使得点M 在以AB 为直径的圆上.(3)由直线AP :y -2=k 1x +4 ，得Q -2,2+2k 1，所以k 2=y 2-2-2k 1x 2+2=y 2-2-2k 1my 2-2，又k 1=k PA =y 1-2x 1+4=y 1-2my 1，所以k1-k2=y1-2my1-y2-2-2k1my2-2=y1-2my2-2-my1y2-2-2k1my1my2-2=-2my2-2y1+4+2my1+2mk1y1my1my2-2，因为k1=y1-2my1，所以k1my1=y1-2，且y1+y2=my1y2，所以k1-k2=2m y1-y2my1my2-2=2y1-y2y1+y2-2y1=-2，即k1-k2为定值.【点睛】方法点睛：解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．题型三：利用非对称韦达定理思想解决定直线问题【精选例题】4已知B-1,0,C1,0为△ABC的两个顶点，P为△ABC的重心，边AC,AB上的两条中线长度之和为6.(1)求点P的轨迹T的方程.(2)已知点N-3,0,E-2,0,F2,0，直线PN与曲线T的另一个公共点为Q，直线EP与FQ交于点M，试问：当点P变化时，点M是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.【答案】(1)x24+y23=1x≠±2(2)是，证明见解析【分析】(1)依题意PB+PC=4，根据椭圆的定义可知P的轨迹T是以B、C为焦点的椭圆(不包括长轴的端点)，从而求出椭圆方程；(2)设直线PQ的方程为：x=my-3，P x1,y1，Q x2,y2，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可得到2my1y2=53y1+y2，再求出直线PE、QF的方程，联立求出交点的横坐标，整理可得求出定直线方程.(1)解：因为P为△ABC的重心，且边AC,AB上的两条中线长度之和为6，所以PB+PC=23×6=4>BC，故由椭圆的定义可知P的轨迹T是以B-1,0,C1,0为焦点的椭圆(不包括长轴的端点)，且a=2,c=1，所以b=3，所以P的轨迹T的方程为x24+y23=1x≠±2；(2)解：设直线PQ的方程为：x=my-3，P x1,y1，Q x2,y2，联立方程x=my-3x24+y23=1得：3m2+4y2-18my+15=0，则y1+y2=18m3m2+4，y1y2=153m2+4，所以2my1y2=53y1+y2，又直线PE的方程为：y=y1x1+2x+2=y1my1-1x+2，又直线QF的方程为：y=y2x2-2x-2=y2my2-5x-2，联立方程y=y1my1-1x+2y=y2my2-5x-2，解得x=22my1y2-y2-5y1-y2+5y1，把2my1y2=53y1+y2代入上式得：x=223y2-103y1-y2+5y1=43y2-5y1-y2+5y1=-43，所以当点P运动时，点M恒在定直线x=-43上5已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为-25,0，离心率为5．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点-4,0的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P．证明:点P在定直线上.【答案】(1)x24-y216=1；(2)证明见解析.【分析】(1)由题意求得a,b的值即可确定双曲线方程；(2)设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线MA1与NA2的方程，联立直线方程，消去y，结合韦达定理计算可得x+2x-2=-13，即交点的横坐标为定值，据此可证得点P在定直线x=-1上.【详解】(1)设双曲线方程为x2a2-y2b2=1a>0,b>0，由焦点坐标可知c=25，则由e=ca=5可得a=2，b=c2-a2=4，双曲线方程为x24-y216=1.(2)由(1)可得A1-2,0,A22,0，设M x1,y1,N x2,y2，显然直线的斜率不为0，所以设直线MN的方程为x=my-4，且-12<m<12，与x24-y216=1联立可得4m2-1y2-32my+48=0，且Δ=64(4m2+3)>0，则y1+y2=32m4m2-1,y1y2=484m2-1，直线MA1的方程为y=y1x1+2x+2，直线NA2的方程为y=y2x2-2x-2，联立直线MA1与直线NA2的方程可得：x+2 x-2=y2x1+2y1x2-2=y2my1-2y1my2-6=my1y2-2y1+y2+2y1my1y2-6y1=m⋅484m2-1-2⋅32m4m2-1+2y1m×484m2-1-6y1=-16m4m2-1+2y148m4m2-1-6y1=-13，由x+2x-2=-13可得x=-1，即x P=-1，据此可得点P在定直线x=-1上运动.【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.【跟踪训练】5已知圆C1:(x+5)2+y2=1，圆C2:(x-5)2+y2=25，动圆C与圆C1和圆C2均相切，且一个内切、一个外切．(1)求动圆圆心C的轨迹E的方程．(2)已知点A(0,-2),B(0,2)，过点(0,1)的直线l与轨迹E交于M,N两点，记直线AM与直线BN的交点为P．试问：点P是否在一条定直线上？若在，求出该定直线；若不在，请说明理由．【答案】(1)x29+y24=1x≠-655；(2)点P恒在定直线y=4上【分析】(1)设动圆的圆心为C(x,y)，利用两圆外切和内切的关系得到CC1+CC2=6>C1C2，由椭圆的定义即可得到动点的轨迹，利用待定系数法求出方程即可；(2)设直线l的方程为y=kx+1，直曲联立，结合韦达定理得到2kx1x2=3x1+x2，求出直线AM与直线BN的方程，进而得到点P满足的关系式，整理化简可得点P恒在定直线y=4上．【详解】(1)设点C的坐标为(x,y)，圆C的半径为R．由已知条件，得C1C2=25．①当动圆C与圆C1外切，与圆C2内切时，CC1=1+R,CC2=5-R，从而CC1+CC2=6>C1C2．②当动圆C与圆C1内切，与圆C2外切时，CC1=1-R,CC2=5+R，从而CC 1 +CC 2 =6>C 1C 2 ．综上可知，圆心C 的轨迹E 是以C 1,C 2为焦点，6为长轴长的椭圆．易得圆C 1与圆C 2交于点-655,255 与-655,-255，所以动圆圆心C 的轨迹E 的方程为x 29+y 24=1x ≠-655．(2)设直线l 的方程为y =kx +1，M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ．联立直线l 与轨迹E 的方程，得y =kx +1x 29+y 24=1x ≠-655消去y 并整理，得9k 2+4 x 2+18kx -27=0x ≠-655 ．所以x 1+x 2=-18k 9k 2+4，x 1x 2=-279k 2+4，则有2kx 1x 2=3x 1+x 2 ．由已知条件，得直线AM 的方程为x =x 1y 1+2(y +2)，直线BN 的方程为x =x 2y 2-2(y -2)，则点P 的坐标(x ,y )满足x 1y 2-2 (y +2)=x 2y 1+2 (y -2)．又y 2=kx 2+1,y 1=kx 1+1，所以y =4kx 1x 2+6x 2-2x 13x 2+x 1．把2kx 1x 2=3x 1+x 2 代入上式，得y =6x 1+6x 2+6x 2-2x 13x 2+x 1=12x 2+4x 13x 2+x 1=4．故点P 恒在定直线y =4上．6已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >1 的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，F 1到直线AF 2的距离为3，且AF 2 =2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过F 2且斜率为k k ≠0 的直线l 与椭圆C 交于D ，E 两点，椭圆C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，证明：直线A 1D 与A 2E 的交点在定直线上.【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)证明见解析【分析】(1)首先求出直线AF 2的方程，利用点到直线的距离公式得到2bc a=3，再由AF 2 =a =2，即可求出a 、b ，从而求出椭圆方程；(2)联立直线与椭圆方程，设D x 1,y 1 ，E x 2,y 2 ，消元，列出韦达定理，即可得到直线A 1D 、A 2E 的方程，设直线A 1D 与A 2E 的交点坐标为x 0,y 0 ，求出x 0，即可得解.【详解】(1)依题意可得直线AF2的方程为xc+yb=1，即bx+cy-bc=0，则F1到直线AF2的距离为-2bcb2+c2=2bca= 3.又AF2=b2+c2=a=2，a2=c2+b2，故b=3，c=1，所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1.(2)由(1)得F21,0，所以直线l的方程为y=k x-1k≠0，由y=k x-1x24+y23=1可得3+4k2x2-8k2x+4k2-12=0，设D x1,y1，E x2,y2，显然Δ>0，所以x1+x2=8k23+4k2=2-64k2+3，x1x2=4k2-123+4k2=1-154k2+3，故x1x2=52x1+x2-4.由(1)可得A1-2,0，A22,0，则直线A1D的方程为y=y1x1+2x+2，直线A2E的方程为y=y2x2-2x-2，设直线A1D与A2E的交点坐标为x0,y0，则y1x1+2x0+2=y2x2-2x0-2，故x0+2x0-2=y2x1+2y1x2-2=k x2-1x1+2k x1-1x2-2=x1x2-x1+2x2-2x1x2-2x1-x2+2=52x1+x2-4-x1+2x2-252x1+x2-4-2x1-x2+2=3x1+9x2-12x1+3x2-4=3，解得x0=4，故直线A1D与A2E的交点在直线x=4上.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x1,y1、x2,y2；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，必要时计算Δ；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x1+x2、x1x2的形式；(5)代入韦达定理求解.7已知椭圆W:x24m+y2m=1m>0的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，经过点P(1，0)的动直线与椭圆W相交于不同的两点C，D(不与点A，B重合)．(1)求椭圆W的方程及离心率；(2)若直线CB与直线AD相交于点M，判断点M是否位于一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，说明理由．【答案】(1)椭圆方程为x24+y2=1，离心率为32；(2)P点在定直线x=4上．【分析】(1)由长轴长求得m得椭圆方程，然后由离心率公式离心率；(2)设动直线方程为x=ty+1，设C(x1,y1),D(x2,y2)，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得y1+y2,y1 y2，写出直线AC,BD方程，联立求得P点横坐标x，利用直线方程，及韦达定理的结果代入后可得x= 4，即为定直线方程．【详解】(1)由题意24m=4，m=1，所以椭圆方程为x24+y2=1，a=2，b=1，则c=3，离心率为e=ca =32；(2)由题意设动直线方程为x=ty+1，设C(x1,y1),D(x2,y2)，A(-2,0),B(2,0)，由x=ty+1x24+y2=1得(t2+4)y2+2ty-3=0，显然Δ>0，y1+y2=-2tt2+4，y1·y2=-3t2+4，直线AC方程为y=y1x1+2(x+2)，直线BD方程为y=y2x2-2(x-2)，联立方程组y=y1x1+2(x+2)y=y2x2-2(x-2)，得x=2(x1y2+x2y1+2y2-2y1)x1y2-x2y1+2y1+2y2又x1=ty1+1x2=ty2+1，代入得x=2(2ty1y2+3y2-y1)3y2+y1，由y1+y2=-2tt2+4，y1y2=-3t2+4得y1+y2y1y2=2t3，即2ty1y2=3(y1+y2)，所以x=2[3(y1+y2)+3y2-y1]3y2+y1=4，所以P点在定直线x=4上．【点睛】方法点睛：椭圆中的定直线问题，可设出交点坐标为(x1,y1),(x2,y2)，设出动直线方程代入椭圆方程后应用韦达定理，然后由直线与椭圆的交点坐标求出相关的交点坐标，对这个坐标进行分析得出定直线方程，本题中对横坐标进行分析，代入交点坐标的关系及韦达定理的结果即得出结论，实际上本题可从对称性确定定直线与x 轴垂直，再坐标特殊值(如动直线与x 轴垂直)求得定直线方程，然后只要验证一般情形即可(这个寻找过程在解题中还不必反映出来)．考点过关练1已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1-c ,0 ，F 2c ,0 c >0 ，点M 在椭圆E 上，MF 2⊥F 1F 2，△MF 1F 2的周长为4+23，面积为12c ．(1)求椭圆E 的方程．(2)设椭圆E 的左、右顶点分别为A ，B ，过点1,0 的直线l 与椭圆E 交于C ，D 两点(不同于左右顶点)，记直线AC 的斜率为k 1，直线BD 的斜率为k 2，问是否存在实常数λ，使得k 1=λk 2，恒成立？若成立，求出λ的值，若不成立，说明理由．【答案】(1)x 24+y 2=1(2)存在实数λ=13【分析】(1)根据焦点三角形面积及周长列方程求出a ,b ,即可写出椭圆方程；(2)先设直线，再和椭圆联立方程组,结合韦达定理及斜率公式计算k 1k 2=y 1x 1+2⋅x 2-2y 2化简求解即可.【详解】(1)依题意，得2a +2c =4+2312⋅2c ⋅b 2a =b 2a ⋅c =14c ，即a +c =2+3b 2a =12 ，解得a 2=4b 2=1 ，所以椭圆E 的方程为x 24+y 2=1．(2)依题意，可设直线l 的方程为x =ty +1，联立方程x 24+y 2=1x =ty +1 ，化简整理，得t 2+4 y 2+2ty -3=0，易得Δ>0恒成立，设C x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，由韦达定理，得y 1+y 2=-2t t 2+4y 1y 2=-3t 2+4 ，可得ty 1y 2=32y 1+y 2，于是k 1k 2=y 1x 1+2⋅x 2-2y 2=x 2-2 y 1x 1+2 y 2=ty 2-1 y 1ty 1+3 y 2=ty 1y 2-y 1ty 1y 2+3y 2=32y 1+y 2 -y 132y 1+y 2 +3y 2=12y 1+32y 232y 1+92y 2=12y 1+3y 2 32y 1+3y 2 =13，故存在实数λ=13，使得k 1=λk 2恒成立．2椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，过左焦点F (-1,0)的直线与椭圆交于C ，D 两点(其中C 点位于x 轴上方)，当CD 垂直于x 轴时，CD =3.(1)求椭圆的方程；(2)记直线AC ，BD 的斜率分别为k 1,k 2，问；k 1k 2是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)x 24+y 23=1(2)是定值，定值为3．【分析】(1)根据题意结合通径长即可求出椭圆的标准方程.(2)设出直线方程，与椭圆方程联立，得到根与系数关系，将k 1k 2表示出化简即可.【详解】(1)因为椭圆x 2a 2+y 2b2=1的左焦点为F (-1,0)，所以a 2-b 2=1，将x =-1代入x 2a 2+y 2b 2=1，得y =±b 2a ，故CD =2b 2a =3，所以a 2-32a =1 解得a 2=4，所以b 2=3，所以椭圆方程为x 24+y 23=1.(2)因为直线CD 过点F (-1,0)，且点C 位于x 轴上方，所以直线CD 斜率不为0，设直线CD 的方程为x =my -1，联立x 24+y 23=1x =my -1 消去x 得，3m 2+4 y 2-6my -9=0.方程(3m 2+4)y 2-6my -9=0的判别式Δ=36m 2+363m 2+4 =144m 2+144>0，设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2)，由已知y 1>0，于是y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4<0，所以my 1y 2=-32y 1+y 2 ,y 2<0，又椭圆x24+y23=1的左顶点A的坐标为(-2,0)，右顶点B的坐标为(2，0)，所以k1=y1x1+2,k2=y2x2-2，因为y1>0,y2<0,-2<x1<2,-2<x2<2，所以k 1>0,k2>0，所以k1k2=y1x1+2y2x2-2=y1x2-2y2x1+2=y1my2-3y2my1+1=my1y2-3y1my1y2+y2=-32y1+y2-3y1-32y1+y2+y2=-92y1-32y2-32y1-12y2=3所以k1k2定值，定值为3．3已知圆C1:(x+5)2+y2=1，圆C2:(x-5)2+y2=25，动圆C与圆C1和圆C2均相切，且一个内切、一个外切．(1)求动圆圆心C的轨迹E的方程．(2)已知点A(0,-2),B(0,2)，过点(0,1)的直线l与轨迹E交于M,N两点，记直线AM与直线BN的交点为P．试问：点P是否在一条定直线上？若在，求出该定直线；若不在，请说明理由．【答案】(1)x29+y24=1x≠-655(2)点P恒在定直线y=4上【分析】(1)设动圆的圆心为C(x,y)，利用两圆外切和内切的关系得到CC1+CC2=6>C1C2，由椭圆的定义即可得到动点的轨迹，利用待定系数法求出方程即可；(2)设直线l的方程为y=kx+1，直曲联立，结合韦达定理得到2kx1x2=3x1+x2，求出直线AM与直线BN的方程，进而得到点P满足的关系式，整理化简可得点P恒在定直线y=4上．【详解】(1)设点C的坐标为(x,y)，圆C的半径为R．由已知条件，得C1C2=25．①当动圆C与圆C1外切，与圆C2内切时，CC1=1+R,CC2=5-R，从而CC1+CC2=6>C1C2．②当动圆C与圆C1内切，与圆C2外切时，CC1=1-R,CC2=5+R，从而CC1+CC2=6>C1C2．综上可知，圆心C的轨迹E是以C1,C2为焦点，6为长轴长的椭圆．易得圆C1与圆C2交于点-655,255与-655,-255，所以动圆圆心C的轨迹E的方程为x29+y24=1x≠-655．(2)设直线l的方程为y=kx+1，M x1,y1,N x2,y2．联立直线l与轨迹E的方程，得y=kx+1x29+y24=1x≠-655消去y并整理，得9k2+4x2+18kx-27=0x≠-65 5．所以x1+x2=-18k9k2+4，x1x2=-279k2+4，则有2kx1x2=3x1+x2．由已知条件，得直线AM的方程为x=x1y1+2(y+2)，直线BN的方程为x=x2y2-2(y-2)，则点P的坐标(x,y)满足x1y2-2(y+2)=x2y1+2(y-2)．又y2=kx2+1,y1=kx1+1，所以y=4kx1x2+6x2-2x13x2+x1．把2kx1x2=3x1+x2代入上式，得y=6x1+6x2+6x2-2x13x2+x1=12x2+4x13x2+x1=4．故点P恒在定直线y=4上．4已知椭圆W:x24m+y2m=1m>0的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，经过点P(1，0)的动直线与椭圆W相交于不同的两点C，D(不与点A，B重合)．(1)求椭圆W的方程及离心率；(2)若直线CB与直线AD相交于点M，判断点M是否位于一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，说明理由．【答案】(1)椭圆方程为x24+y2=1，离心率为32；(2)P点在定直线x=4上．【分析】(1)由长轴长求得m得椭圆方程，然后由离心率公式离心率；(2)设动直线方程为x=ty+1，设C(x1,y1),D(x2,y2)，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得y1+y2,y1 y2，写出直线AC,BD方程，联立求得P点横坐标x，利用直线方程，及韦达定理的结果代入后可得x= 4，即为定直线方程．【详解】(1)由题意24m=4，m=1，所以椭圆方程为x24+y2=1，a=2，b=1，则c=3，离心率为e=ca =32；(2)由题意设动直线方程为x=ty+1，设C(x1,y1),D(x2,y2)，A(-2,0),B(2,0)，由x =ty +1x 24+y 2=1 得(t 2+4)y 2+2ty -3=0，显然Δ>0，y 1+y 2=-2t t 2+4，y 1·y 2=-3t 2+4， 直线AC 方程为y =y 1x 1+2(x +2)，直线BD 方程为y =y 2x 2-2(x -2)，联立方程组y =y 1x 1+2(x +2)y =y 2x 2-2(x -2) ，得x =2(x 1y 2+x 2y 1+2y 2-2y 1)x 1y 2-x 2y 1+2y 1+2y 2又x 1=ty 1+1x 2=ty 2+1 ，代入得x =2(2ty 1y 2+3y 2-y 1)3y 2+y 1，由y 1+y 2=-2t t 2+4，y 1y 2=-3t 2+4得y 1+y 2y 1y 2=2t 3，即2ty 1y 2=3(y 1+y 2)，所以x =2[3(y 1+y 2)+3y 2-y 1]3y 2+y 1=4，所以P 点在定直线x =4上．【点睛】方法点睛：椭圆中的定直线问题，可设出交点坐标为(x 1,y 1),(x 2,y 2)，设出动直线方程代入椭圆方程后应用韦达定理，然后由直线与椭圆的交点坐标求出相关的交点坐标，对这个坐标进行分析得出定直线方程，本题中对横坐标进行分析，代入交点坐标的关系及韦达定理的结果即得出结论，实际上本题可从对称性确定定直线与x 轴垂直，再坐标特殊值(如动直线与x 轴垂直)求得定直线方程，然后只要验证一般情形即可(这个寻找过程在解题中还不必反映出来)．5已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，点P -1,32 在椭圆C 上，且PF 2 =52，直线l 过点F 1且与椭圆C 交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知OF 1 =F 1M ，OF 2 =F 2N ，若直线AM ，BN 交于点D ，探究：点D 是否在某定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由．【答案】(1)x 24+y 23=1(2)点D 在直线x =-4上．【分析】(1)利用两点距离公式可计算焦点坐标，待定系数法计算椭圆方程即可；(2)由题意先确定M 、N 位置，设直线l 与A 、B 坐标，联立直线与椭圆方程利用韦达定理得出A 、B 纵坐标关系式，再利用点A 、B 坐标表示直线AM 、BN ，法一、求出D 点横坐标化简计算即可；法二、直接利用直线AM 、BN 方程作比计算x D +2x D -2为定值，计算即可.【详解】(1)设F1-c ,0 ，F 2c ,0 ，(c >0)，则PF2=(-1-c)2+94=52，则(c+1)2=4，解得c=1(c=-3舍去)，则a2-b2=1，①代入点P-1,3 2得1a2+94b2=1，②联立①②，解得a2=4，b2=3，故椭圆C的标准方程为x24+y23=1；(2)依题意，M-2,0，N2,0，设直线l:x=my-1，联立x=my-13x2+4y2-12=0 ，整理得3m2+4y2-6my-9=0，Δ=36m2+363m2+4=1441+m2>0；设A x1,y1，B x2,y2，则y1+y2=6m3m2+4，y1y2=-93m2+4，所以2my1y2+3y1+y2=0.可设直线AM:y=y1x1+2x+2，直线BN:y=y1x1-2x-2，法一：联立y=y1x1+2x+2,y=y2x2-2x-2,得x D=2y2x1+2+y1x2-2y2x1+2-y1x2-2=2y2my1+1+y1my2-3y2my1+1-y1my2-3=22my1y2+y2-3y1y2+3y1=22my1y2+3y1+y2-2y2+3y1y2+3y1=-4，故点D在直线x=-4上．法二：故x D+2x D-2=y2x1+2y1x2-2=my1y2+y2my1y2-3y1=-32y1+y2+y2-32y1+y2-3y1=-32y1-12y2-92y1-32y2=13，解得x D=-4，故点D在直线x=-4上．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x1,y1,x2,y2；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，必要时计算Δ；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.6已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，F 22,0 为椭圆E 的右焦点，三点332,12 ，-332,12 ，2,13中恰有两点在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点A ,B 为椭圆E 的左右端点，过点M 2,0 作直线交椭圆E 于P ，Q 两点(不同于A ,B )，求证：直线AP 与直线BQ 的交点N 在定直线上运动，并求出该直线的方程.【答案】(1)x 29+y 2=1(2)证明见解析，x =92【分析】(1)由对称性得到点332,12 ，-332,12在椭圆E 上，结合焦点坐标，得到方程组，求出a 2=9，b 2=1，求出椭圆方程；(2)设直线PQ 的方程为x =my +2，联立椭圆方程，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，N x 0,y 0 ，得到两根之和，两根之积，由A ,P ,N 和B ,Q ,N 共线得到方程组，联立后得到x 0+3x 0-3=5，求出x 0=92，得到交点N 在定直线上，并求出该直线的方程.【详解】(1)因为F 22,0 为椭圆E 的右焦点，所以a 2-b 2=8①,由对称性得，点332,12，-332,12 在椭圆E 上，代入得274a 2+14b2=1②,联立①②解得，a 2=9，b 2=1，所以椭圆E 的标准方程为：x 29+y 2=1.(2)由条件知直线PQ 与直线AB 不重合，故直线PQ 的斜率不为0，设直线PQ 的方程为x =my +2，联立x 29+y 2=1x =my +2 ，可得m 2+9 y 2+4my -5=0，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，N x 0,y 0 ，则y 1+y 2=-4m m 2+9，y 1y 2=-5m 2+9，m =5y 1+y 2 4y 1y 2，由(1)可得A -3,0 ，B 3,0 ，由A ,P ,N 共线得：x 0+3y0=x 1+3y 1=my 1+5y 1③，由B ,Q ,N 共线得：x 0-3y 0=x 2+3y 2=my 2-1y 2④，由③÷④消去y 0并整理得，x 0+3x 0-3=my 1y 2+5y 2my 1y 2-y 1=54y 1+y 2 +5y 254y 1+y 2 -y 1=5，即x 0+3x 0-3=5，所以x 0=92，综上所述，直线AP 与直线BQ 的交点N 在定直线x =92上运动.【点睛】定值问题常见方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.7已知F 是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的左焦点，O 为坐标原点，M 为椭圆上任意一点，椭圆的离心率为32，△MOF 的面积的最大值为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B 为椭圆的左，右顶点，点P 1,0 ，当M 不与A ，B 重合时，射线MP 交椭圆C 于点N ，直线AM ，BN 交于点T ，求∠ATB 的最大值.【答案】(1)x 24+y 2=1，(2)π6【分析】(1)根据条件，列出关于a ,b ,c 的方程，即可求解；(2)首先设直线MN 的方程为x =my +1，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，并利用坐标表示直线AM ,BN 的方程，并且联立方程求点T 的轨迹方程，再利用两直线的倾斜角表示∠ATB ,利用斜率表示tan ∠ATB ，再利用基本不等式即可求解.【详解】(1)由c a =3212cb =32a 2=b 2+c2 ，解得a =2，b =1，c =3所以椭圆E 的方程为x 24+y 2=1.(2)由题知MN 不与x 轴重合，设直线MN 的方程为x =my +1，联立方程组x 24+y 2=1x =my +1 ，消x 整理得m 2+4 y 2+2my -3=0，Δ=4m 2+12m 2+4 =48m 2+1 >0，设M x 1,y 1 、N x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-2m m 2+4，y 1y 2=-3m 2+4.因为AM 的方程为y =y 1x 1+2x +2 ，AN 的方程为y =y 2x 2-2x -2两直线方程联立得：x -2x +2=y 1x 2-2 y 2x 1+2 =y 1my 2+1-2 y 2my 1+1+2=my 1y 2-y 1my 1y 2+3y 2因为my 1y 2=-3m m 2+4=32y 1+y 2 .所以x -2x +2=32y 1+y 2 -y 132y 1+y 2 +3y 2=12y 1+32y 232y 1+92y 2=13，解得x =4.所以动点T 的轨迹方程为x =4y ≠0由椭圆的对称性不妨设T 4,t t >0 ，直线TA 、TB 的倾斜角为α，β，由图可知β>α，且0<β-α<π，因为∠ATB =β-α，则tan ∠ATB =tan β-α =tan β-tan α1+tan βtan α，因为tan α=k TA =t 6，tan β=k TB =t2，所以tan ∠ATB =t 2-t 61+t 2×t 6=31+t 212=4t t 2+12=4t +12t≤42t ⋅12t=443=33当且仅当t =23时等号成立，此时T 4,23 ，∠ATB =π6，所以∠ATB 的最大值为π6.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系，动点轨迹，第二问的关键是根据韦达定理，联立两直线方程可化简求得点T 的轨迹，再利用倾斜角表示∠ATB .8已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为32，右焦点为F 3,0 ，A ，B 分别为椭圆C的左、右顶点.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点D 1,0 作斜率不为0的直线l ，直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，记直线AP 的斜率为k 1，直线BQ 的斜率为k 2，求证：k1k 2为定值；(3)在(2)的条件下，直线AP 与直线BQ 交于点M ，求证：点M 在定直线上.【答案】(1)x 24+y 2=1(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)根据椭圆的几何性质列出方程组求出a ,b ,c ，即可得出椭圆C 的方程；(2)设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，直线l 的方程为x =ty +1，与椭圆方程联立得到y 1+y 2,y 1y 2，代入k 1k 2的表达式，即可得出k 1k 2为定值；(3)根据(1)中的结论，设k 1=m ，则k 2=3m ，求出直线AP 、BQ 的方程，联立即可求出点M 的坐标，从。

非对称韦达定理的处理技巧非对称的“韦达定理”的突破技巧在一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 中，如果 $\Delta>0$，设它的两个根分别为 $x_1,x_2$，则我们可以利用公式 $x_1-x_2,x_1^2+x_2^2,x_1x_2$ 等来快速处理。

但在涉及到$x_1,x_2$ 的不同系数的代数式时，比如求 $1/x_2$，则有根与系数的关系：$x_1+x_2=-b/a,x_1x_2=c/a$，借此我们往往能够利用韦达定理快速求解。

但是，在有些问题中，我们会遇到涉及 $x_1,x_2$ 的系数不对等的情况，称为“非对称韦达”，这时就相对较难地转化到应用XXX定理来处理了。

特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去 $x$ 或$y$，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难。

接下来，我们来谈谈常见的突破方式。

突破方式一：配凑成正常的韦达定理处理结构对于非对称的结构 $x_2=tx_1$，我们可以通过配凑成正常的韦达定理处理结构来解决问题。

例如，将 $x_2=tx_1$ 代入 $x_1x_2$ 中，得到 $x_1x_2=x_1(tx_1)=tx_1^2$，然后再利用公式 $x_1+x_2=(-b/a),x_1x_2=(c/a)$，即可求得 $x_1$ 和$x_2$。

突破方式二：转化为二元一次方程对于非对称的结构 $\lambda x_1+\mu x_2$，我们可以将其转化为二元一次方程，再通过二元一次方程的解法求解。

例如，对于 $\lambda x_1+\mu x_2$，我们可以设 $y=\lambdax_1+\mu x_2$，然后将其代入另一个方程中，得到一个二元一次方程，然后再通过求解该方程来得到 $x_1$ 和 $x_2$。

举例说明：例1：函数 $f(x)=3ax-ax^2+x+1$ 在 $x_1,x_2$ 处有极值，且 $1< x_2/x_1 \leq 5$，求 $a$ 的取值范围。

专题5 非对称韦达定理的处理 微点1 非对称韦达定理的处理微专题5 非对称的“韦达定理”的处理 微点1 对称的“韦达定理”的处理 【微点综述】在一元二次方程20ax bx c ++=中，若0∆>，设它的两个根分别为12,x x ，则有根与系数关系：1212,b cx x x x a a +=-=，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理2212121211,,x x x x x x -++之类的结构，但在有些问题时，我们会遇到涉及12,x x 的不同系数的代数式的应算，比如求112122121232,2x x x x x x x x x x +--+或12x x λμ+之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了．特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去x 或y ，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，我们把这种形如112122122,,x x x x y x y x λμ++或12121212322x x x x x x x x +--+之类中12,x x 的系数不对等的情况，这些式子是非对称结构，称为“非对称韦达”，接下来，我们来谈谈常见的突破方式． 引例1．设直线l 过点()0,3P ，和椭圆顺次交于,A B 两点，则的取值范围为 ． 【答案】1,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】设直线l 的方程为：3y kx =+，代入椭圆方程，消去y 得()229454450kx kx +++=（*）则12212254,944594k x x k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，注意到1122x x AP PB x x ==，令12x x λ=，则12x x λ=，∴()1221x x x λ+=+，2122x x xλ=，∴()()2212121x x x x λλ++=，即22132424520k k λλ++=+．在（*）中，由判别式0,∆>可得 259k >，从而有2232436445205k k <<+，∴136425λλ<++<，解得155λ<<．结合01λ<<得115λ<<．综上，115AP PB ≤<． 【评注】12x x λ=经常出现在圆锥曲线的题型为：过点Q 的直线与圆锥曲线交于不同的两点,A B ，且满足QA QB λ=之类的，或者是QAQB之类的．其中QA QB λ=，用坐标表示出来后，就可以选择一个较简单的式子来转化到韦达定理；QAQB我们可以设他们的比值为λ，这样可以转化到QA QB λ=，再用同样的办法来解决．韦达化处理由引例1可知，核心条件坐标化后，并不全是直接韦达化的形式．对于坐标化后的表达式不是韦达形式的，还需进行韦达化处理．韦达化处理主要有以下几种处理方法：代换、配凑、和积消元法．韦达化处理一、代换——即消去x 或y 中的一个由于我们联立后的方程式关于x 或y 的二次方程，韦达定理中的两根之和与两根之积只式单独的x 或y 的形式，而此时坐标表达式并非是直接的韦达形式，因此需进行代换： 例1．直线l 与抛物线22y x =交于A 、B 两点，且满足OA OB ⊥，证明：直线l 过定点． 【解析】由题，直线l 不与x 轴平行，故设l x ty m =+：，其中0m ≠，设点1122(,),(,)A x y B x y ，联立22y x x ty m ⎧=⎨=+⎩，消x 得：2220y ty m --=，0>，则121222y y t y y m +=⎧⎨=-⎩，因为OA OB ⊥，则0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，（方向一：直线代换：1122x ty m x ty m =+⎧⎨=+⎩）又1122x ty mx ty m =+⎧⎨=+⎩，即()()()2212121212x x ty m ty m t y y tm y y m =+⋅+=+++，代入得()()22222121212121222x x y y t y y tm y y m t m m t m m +=+++=--+++，即220m m -=，解得0m =(舍)或2m =，即直线l 过定点()2,0．【评注】通常情况下，我们在解答题以直线代换居多，这里不再赘述．但需要注意一点，一般而言，如果选择代换消去y 则正设直线；选择代换消去x ，则反设直线．（方向二：曲线代换：222121212222y y y y x x ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭）又222121212222y y y y x x ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，代入得2212121212202y y x x y y y y m m ⎛⎫+=+=-= ⎪⎝⎭，解得0m =(舍)或2m =，即直线l 过定点(2,0)．【评注】对于核心信息表达式中的一次项，一般以直线代换为主．而曲线如果为抛物线，也可以用抛物线代换，如例题中抛物线为22y x =，因此对于x 的一次式可以用曲线代换．反之，如果抛物线为22(0)x py p =>则可用曲线对y 进行代换，由于我们要代换的是y ，因此联立后的方程保留为关于x 的二次方程，同时直线的假设则以正设为主．另一方面，如果核心信息表达式中是单元的二次形式，如21x 形式，则一般考虑用曲线代换，这样处理会更加简单．例2．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22:12xy Ω+=的上顶点为A ，点B 、C 是Ω上不同于A 的两点，且点B 、C 关于原点对称．记直线AC 、AB 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k ⋅为定值．【分析】此题中核心信息即直线AC 、BC 的斜率．由题易知点A(0，1)，要表示AC 、AB 的斜率，还需要引入参数，因为B 、C 关于原点对称，故不妨设1111(,),(,)B x y C x y -，那么是否需要设直线呢？再往后看． 引入参数后，将斜率坐标化表达：11121111,y y k k x x +-==-，目标信息为斜率之积，即2111122111111y y y k k x x x +-=⋅=--⋅-，接下来需要考虑代换问题，观察到目标信息是二次形式，代换中我们提到，对于单元二次形式的，可采用曲线代换，由于此时还未假设直线，看来也是不需要了．由点B 、C 在曲线上，故有221112x y +=，即221112x y =-，代入目标信息中可得211221122x k k x -⋅==--，为定值．【解析】由题，设点11(,)B x y ，11(,)C x y -，则11121111y y k k x x +-==-，，又点B 椭圆上，故有221112xy +=，即221112x y =-，代入可得2121111222111111112=2x y y y k k x x x x +--⋅=⋅==---，为定值，得证． 【针对训练】1．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点是12F F 、，左右顶点是12A A 、，离心率过2F 的直线与椭圆交于两点P 、Q (不是左、右顶点)，且1F PQ ∆的周长是直线1A P 与2A Q 交于点M . (1)求椭圆的方程；(2)(∴)求证直线1A P 与2A Q 交点M 在一条定直线l 上；(∴)N 是定直线l 上的一点，且PN 平行于x 轴，证明：2PF PN是定值．2．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，短轴长为（1）求椭圆C 的方程；（2）设A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，若过点()4,0P 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，直线AM 与BN 相交于点Q ．证明：点Q 在定直线上． 韦达化处理二：配凑配凑法进行韦达化处理，一个经典案例就是弦长中的12x x -=前述坐标化后的部分式子，也需要作配凑处理：（1）22221122(2)(2)x y x y -+⇒=-+21121212()()4y y y y x x x x -++-=-，即12124()x x k y y +-=-+，其中k 为直线AB 斜率，12y y +再用直线代换，即121212()2y y kx m kx m k x x m +=+++=++，得[]12124()2x x k k x x m +-=-++．此处需注意两点，一是2121y y k x x -=-，几何意义即为直线斜率，二是通过平方差公式因式分解转化，对于含平方形式是有力手段．（2）2212y y +⇒21212()2y y y y +-． （3）1212(2)(2)0x x y y --+=⇒1212122()40x x x x y y -+++=，此处12y y 考虑直线代换，2212121212()()()y y kx m kx m k x x mk x x m =+⋅+=+++，再代入上式即可得221212(1)(2)()40k x x mk x x m ++-+++=． （4）1212122y y x x +=-⇒--122112(2)(2)(2)(2)y x y x x x -+-=---， 而22121212()y y k x x mk x x m =+++，整理得1212(21)(22)()4(1)0k x x k m x x m +--++-+=．（5）122y y =-⇒此形式可以配凑倒数关系，2112y y =-，故2212122112y y y y y y y y ++=， 配凑可得2121212212()252y y y y y y y y y +-+==-． 韦达化处理三、利用韦达定理构造“和积消去”型此外，在一些定点、定值、定线问题中，还常出现需要证明类似()()211222y x y x -+为定值的情形，通过直线代换可得：()()()()21211211212122222266y x kx x kx x x y x kx x kx x x -++==+++，但此时式子并不能完全整理为韦达定理的形式，这种式子一般称为“非对称韦达定理”．我们明明求了韦达定理却无法代入，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到12x x +和12x x ⋅之间的关系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法．例3．已知点F 为椭圆22:143x y E +=的右焦点，A ，B 分别为其左、右顶点，过F 作直线l 与椭圆交于M ，N 两点(不与A ，B 重合)，记直线AM 与BN 的斜率分别为12,,k k 证明12k k 为定值． 【分析】此题核x 条件为直线AM 与BN 的斜率12,,k k 显然要设点，不妨设1122(,),(,),M x y N x y 而由题可知A(－2，0)，B(2，0)，因此1112y k x =+， 2222y k x =-从而目标信息112211(2)(2)k y x k y x -=+，要证明其值为定值．从目标信息的形式来看，用x 或y 表示并无差异，考虑到直线不与x 轴重合，故采用反设直线要方便些，因此设:1l x ty =+，通过直线替换后可得1121212122121122(2)(1)(2)(3)3 k y x y ty ty y y k y x y ty ty y y ---===+++，出现了韦达定理结构之外的形式，即落单的1y 和23y ，像此类结构，一般被称为“非对称韦达”．下面我们介绍几种常见的处理策略，准备工作先做好，先联221431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消x 得22(43)690t y ty ++-=，易知∴>0，则122122643943t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩．策略一：和积转换——找出韦达定理中的两根之和与两根之积的关系 如本例中由韦达定理可得，12123()2ty y y y =+，代入目标信息得，121112*********()233()32y y y k ty y y k ty y y y y y +--==+++稍作整理，即可得1212121312239322y y k k y y +==+，为定值，得证．若看不出两根之和与两根之积的关系怎么办呢？我们不妨用待定一下系数，设()121222396243430t y y y y t t t λλμλμμ⎧=⎪⎛⎫=++⇒-=-+⇒⎨ ⎪++⎝⎭⎪=⎩，∴12123()2ty y y y =+ 上面使用的是纵坐标的和积关系，若正设直线，需考虑直线l 斜率问题，斜率存在时，同理，借助横坐标的和积关系也可证明，再验证斜率不存在时的情形．考虑到本例中反设直线，两根的和积关系显而易见，而对于一般的和积关系，关系可能不是那么明显，如此例中正设直线，具体可参看策略三中的解析．策略二：配凑半代换——对能代换的部分进行韦达代换，剩下的部分进行配凑而半代换也有一定技巧，就是配凑．比如题中的112121223 k ty y y k ty y y -=+，若只代换12y y ， 得1212229439343ty k tt k y t--+=-++，依然无法得到定值，因为落单的1y 和23y 不一致，而此时为分式结构，分式结构的定值需要满足上下一致，且对应成比例，抓住这个核心，可以对1y 和23y 其中某个进行配凑使其能构成比例形式．以分子为例，分子要出现2y 形式，可将分子整理为1121222122()3k ty y y y y k ty y y -++=+，从结构上可以猜测定值为13，不妨将韦达代入，得222221222229631434343993334343t t ty y k t t t t t k y y t t-++-++++===-+-+++，得证． 分母可作类似处理，得12112121221291432733343 y k ty y y t t k ty y y y t ---+===+--+． 上面使用的是纵坐标的配凑半代换，借助横坐标的配凑半代换亦可证明，可自行尝试． 策略三：先猜后证可以先找一个特殊情况先得到该定值，进而再证明其他情形也为该值．显然先考虑直线l 斜率不存在时的情形，此时312M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，312N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，或312M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，312N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，对应为121322k k ==，或112k =-，232k =-，此时均有121=3k k ，为定值． 当直线l 斜率存在时，不妨就正设直线()1l y k x =-：，联立22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩， 消y 得2222(34)84(3)0,k x k y k +-+-=易知∴＞0，则212221228344(3)34k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩此时目标信息1231k k =，可采用分析法证明．要证1231k k =，即证123,k k =也即1212322y y x x =+-，即12123(1)(1)22k x k x x x --=+-，即12213(1)(2)(1)(2)x x x x --=-+，也即121225()80x x x x -++=，此时为韦达定理的结构，代入韦达，即证22224(3)825803434k k k k -⨯-⨯+=++，也即2228(3)408(34)0k k k --++=，显然成立，也即恒有1231k k =，为定值． 上述先猜后证采用的是正设直线，借此我们也说说正设直线时采用和积关系处理和配凑半代换的处理策略．目标信息直线代换后得111111212221211212(1)(2)(1)(2)22=.(1)(2)(1)(2)22k k x x x x x x x x k k x x x x x x x x ------+==-+-+-+- 若采用和积关系处理策略，观察韦达不难发现，此时和积关系没有反设直线那么直观，那么我们该如何寻找其关系呢?一方面，可以采用待定系数，设1212(),x x x x λμ=++求解λμ，得出和积关系．如此处设1212()x x x x λμ=++，即2222224(3)(84)38343434k k k k k k λμμλμ-++=+=+++，解得524λμ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 即12125() 4.2x x x x =+-另一方面，可先对和积形式分别作分离常数处理 122122623415134x x k x x k ⎧+=-+⎪⎪+⎨⎪=-+⎪+⎩， 那么12125()4,2x x x x =+-如此也能得到和积关系．代入目标信息，得1212121121221212121212513()4222221222539223()4226222x x x x x x k x x x x k x x x x x x x x x x +---++---+====-+-+--+-+-，得证．都到这了，那么“配凑半代换”也试一试好了，目标信息112122121222,22k x x x x k x x x x -+=-+--观察到此时分母中有落单的12,,x x 先把分母配凑成12122()32x x x x x -++-，此时分母中落单的只有2x ，且系数为正．因分子可配凑成121222()2x x x x x -+++，从而1121222121222()2()32k x x x x x k x x x x x -+++=-++-，再代入韦达定理， 22222221222222224(3)163211343434934(3)8333234343= 4k k x x k k k k k k k x x k k k--++-+-+++==--+--+-+++，得证．策略一的“和积转换”以及策略二的“配凑半代换”可以说是“非对称韦达定理”的通法，而猜证结合也探究类题型的有效处理手段．除此之外，对于不同的结构和形式，还有一些其他对应的处理技法，考虑到通用性，这里只重点讲解“猜证结合”与“和积转换”和“配凑半代换”．通过上述例题我们也能再次感受到，不同的参数引入和直线假设，对后续的计算处理将产生不同的影响，计算量也存在较大差异．【解析】（反设直线）由题，A(－2，0)，B(2，0)，设:1l x ty =+，1122(,),(,),M x y N x y 则1112y k x =+， 2222y k x =-，联立221431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消x 得22(43)690t y ty ++-=，且∴>0，则122122643943t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩． （策略一：和积转换，一般是积转和）所以12123()2ty y y y =+，代入得，121121121212212212313()122233933()3222y y y y y k ty y y k ty y y y y y y y +-+-====++++，为定值，得证．（策略二：配凑半代换）因此2222211212221222222963()1434343=9933334343t t ty y k ty y y y y t t t t t k ty y y y y t t-++-+-+++++===+-+-+++，得证． （正设直线）情形一：当直线l 斜率不存在时，此时312M ⎛⎫⎪⎝⎭，，312N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，或312M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，312N ⎛⎫⎪⎝⎭，， 因此121322k k ==，或112k =-，232k =-，此时均有121=3k k ，为定值．情形二：当直线l 斜率存在时，不妨就正设直线()1l y k x =-：，()11M x y ，()22N x y ，， 因此1112y k x =+， 2222y k x =-，112121212221211212(2)(1)(2)22(2)(1)(2)22k y x k x x x x x x k y x k x x x x x x -----+===+-+-+-， 联立22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消y 得2222(34)84(3)0k x k y k +-+-=，易知∴＞0，则212221228344(3)34k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩． （策略一：和积转换，一般是积转和）即122122623415134x x k x x k ⎧+=-+⎪⎪+⎨⎪=-+⎪+⎩，因此12125()42x x x x =+-，所以12121212121212513()422212225393()4226222x x x x x x k k x x x x x x +---++-===+--+-+-，为定值，得证．（策略二：配凑半代换）所以()()1212212121222232x x x x x k k x x x x x -+++=-++-，即22222221222222224(3)163211343434934(3)8333234343= 4k k x x k k k k k k k x x k k k--++-+-+++==--+--+-+++，为定值，得证．（策略三：先猜后证）要证1231k k =，即证123k k =，也即1212322y y x x =+-，即12123(1)(1)22k x k x x x --=+-，即12213(1)(2)(1)(2)x x x x --=-+，也即121225()80x x x x -++=，也即2228(3)408(34)0k k k --++=，显然成立，也即恒有1231k k =，为定值，得证． 例4．已知椭圆E 的左､右焦点分别为()()12,0,,0(0).F c F c c ->点M 在E 上，21212,MF F F MF F ⊥的周长为6+1.3c（1）求E 的方程．（2）设E 的左､右顶点分别为,A B ，过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与E 交于,C D 两点，记直线AC的斜率为1k ，直线BD 的斜率为2k ，则__________．(从以下∴∴∴三个问题中任选一个填到横线上并给出解答)．∴求直线AC 和BD 交点的轨迹方程； ∴是否存在实常数λ，使得12k k λ=恒成立；∴过点C 作关于x 轴的对称点C '，连结,C D '得到直线1l ，试探究：直线1l 是否恒过定点．【答案】（1）2219x y +=；（2）答案见解析．【分析】（1）由题意列出关于,,a b c 的方程组解出即可得结果；（2）选择∴与椭圆方程联立结合韦达定理得出()121294ty y y y =+，再将AC 与BD 的方程联立即可得出结果；选择∴与∴相似，直接代入计算12k k 即可；选择∴直线C D '与x 轴交于点M ，由对称性可知，0CM DM k k +=，结合韦达定理解出m 即可得结果．【解析】（1）依题意，得2222611223a c b b c c c a a ⎧+=+⎪⎨⋅⋅=⋅=⎪⎩，即2313a c b a ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩，解得2291a b ⎧=⎨=⎩所以E 的方程22 1.9x y +=（2）选择∴设直线l 的方程为32x ty =+，联立方程221932x y x ty ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，化简整理，得()224912270t y ty ++-=，假设()()1122,,,C x y D x y ，由韦达定理，得()122122392749t y y t y y t -⎧+=⎪+⎪⎨-=⎪+⎪⎩，得()121294ty y y y =+ 直线AC 的方程：()1133y y x x =++；直线BD 的方程：()2233y y x x =--； 联立方程，得()()11223333y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩，两式相除，得()()1212212121219333233332ty y x y y x x x x y x y ty y⎛⎫+ ⎪+++⎝⎭=⋅==---⎛⎫- ⎪⎝⎭()()()()()122122121221211211212192?9363329439233232?34y y y y y y y y ty y y ty y y y y y y y y y y ++++++=====-+-++-，即333x x +=-，解得6x =，所以直线AC 和BD 交点的轨迹方程是直线6x =．选择∴联立方程221932x y x ty ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，化简整理，得()224912270t y ty ++-=，假设()()1122,,,C x y D x y ，由韦达定理，得()122122392749t y y t y y t -⎧+=⎪+⎪⎨-=⎪+⎪⎩，得()121294ty y y y =+于是()()()()2112121112121212121221221239233323249933292942ty y y y y x y k y x ty y y k x y x y ty y y y y y ty y ⎛⎫-⋅+- ⎪---⎝⎭=⋅====+++⎛⎫⋅+++ ⎪⎝⎭()()1212121239331222927933222y y y y y y y y ++===++故存在实数13λ=，使得12k k λ=恒成立． 选择∴()()()112211,,,,,C x y D x y C x y -'，联立方程，得221932x y x ty ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，化简整理，得()224912270t y ty ++-=，由韦达定理，得()122122392749t y y t y y t -⎧+=⎪+⎪⎨-=⎪+⎪⎩，直线C D '与x 轴交于点M ，由对称性可知，0CM DM k k +=，假设(),0M m ，即12120y y x m x m+=--，则()()12210y x m y x m -+-=， 所以()()()()12211221121221123322y x m y x m x y x y m y y ty y ty y m y y ⎛⎫⎛⎫-+-=+-+=+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1212223273322022949tty y m y y t m t t --⎛⎫⎛⎫=+-+=+-⋅= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ 即()()9320t m t -+-⋅-=，解得6m =，所以直线C D '恒过定点()6,0M ． 【评注】利用韦达定理构造“和积消去”型解决非对称型问题基本规律（1）对于非对称型题，韦达定理无法直接代入，可以通过韦达定理构造互化公式，先局部互化，然后可整理成对称型；（2）和积互化公式：12121212f ()()()()x x t h t x x m x x x x g t +=⎧⇒=+⎨=⎩ （3）一般情况下，多把积化和，且m 多为常数，授课时注意讲清这些数据细节． 【针对训练】 3．点,A B 是椭圆22:143x y +=E 的左右顶点若直线:(1)l y k x =-与椭圆E 交于M ，N 两点，求证：直线AM 与直线BN 的交点在一条定直线上．4．设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB =. (1)求椭圆C 的离心率； (2)如果|AB |=154，求椭圆C 的方程. 5．已知1A 、2A分别是离心率e =2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左右项点，P 是椭圆E 的上顶点，且121PA PA ⋅=-. （1）求椭圆E 的方程；（2）若动直线l 过点()0,4-，且与椭圆E 交于A 、B 两点，点M 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AM 恒过定点.6．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）过点(P ．(1)求椭圆C 的方程；(2)记椭圆C 的上下顶点分别为,A B ，过点()0,4斜率为k 的直线与椭圆C 交于,M N 两点，证明：直线BM 与AN 的交点G 在定直线上，并求出该定直线的方程．7．椭圆有两个顶点(1,0),(1,0),A B -过其焦点(0,1)F 的直线l 与椭圆交于,C D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AC 与BD 交于点Q ．（1）当CD =l 的方程； （2）当P 点异于,A B 两点时，证明：OP OQ ⋅为定值．参考答案：1．(1)2212x y +=(2) (∴)见证明；(∴)见证明【分析】(1)由题意可得4c aa ⎧=⎪⎨⎪=⎩，可以求出a =1c =，从而求出椭圆的方程；(2)(∴)由点斜式分别写出1A P 与2A Q 的方程，两式子消去y ，根据韦达定理可得()11,P x y ，()22,Q x y 的坐标关系，进而可以得到点M 在一条定直线x ＝2上；(∴)由于21PF PN合点P在椭圆上，可以求出22PF PN=为定值． 【详解】(1)设椭圆的焦距是2c ，据题意有：4c aa ⎧=⎪⎨⎪=⎩，a =1c =，则1b =， 所以椭圆的方程是2212x y +=.(2) (∴)由(1)知()1A ，)2A ，()21,0F ，设直线PQ 的方程是1x my =+，代入椭圆方程得：()222210m y my ++-=， 易知()222442880m m m ∆=++=+>，设()11,P x y ，()22,Q x y ，12y y >， 则1221222211m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩21y y -= 直线1AP的方程是：y x =+ ∴， 直线2A P的方程是：y x = ∴， 设(),M x y ，既满足∴也满足∴，则2x y x y y y my y y y y yx+-+++-==22222m m--==，故直线1A P与2A P交点M在一条定直线l：x＝2上.(∴)设()2,N t，()11,P x y，()12,2x∈-，则12PNx=-，∴2111PFPN====.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，椭圆与直线的综合问题，考查了学生综合分析能力及计算能力，属于难题．2．（1）22143x y+=；（2）证明见解析.【解析】（1）用离心率公式和b列方程求得a，即可得椭圆方程；（2）方法一：设直线:4MN x ty=+，()11,M x y，()22,N x y联立椭圆方程，由韦达定理得12,y y 关系，由直线AM和BN方程联立求解交点坐标，并化简得1x=，即可证明问题；方法二：设()11,M x y，()22,N x y，()33,Q x y，123,,x x x两两不等，因为P，M，N三点共线，由斜率相等得到方程，同理A，M，Q三点共线与B，N，Q三点共线也得到两方程，再结合三条方程求解31x=，即可证明问题.【详解】解：（1）因为椭圆的离心率12，12ca∴=，2a c∴=，又2b=b∴=因为222233b ac c=-==，所以1c=，2a=，所以椭圆C的方程为22143x y+=．（2）解法一：设直线:4MN x ty=+，()11,M x y，()22,N x y，224143x tyx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()223424360t y ty+++=，所以12212224343634t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩．直线AM 的方程：()1122y y x x =++∴ 直线BN 的方程：()2222y y x x =--∴ 由对称性可知：点Q 在垂直于x 轴的直线上， 联立∴∴可得1221212623ty y y y x y y ++=-．因为121223y y t y y +=-， 所以()122112212121362262133y y y y ty y y y x y y y y -+++++===--所以点Q 在直线1x =上．解法二：设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,Q x y ，123,,x x x 两两不等， 因为P ，M ，N 三点共线，所以()()()()22122212122222121212313144444444x x y y y y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⇒=⇒=------， 整理得：()12122580x x x x -++=．又A ，M ，Q 三点共线，有：313122y y x x =++∴ 又B ，N ，Q 三点共线，有323222y y x x =--∴将∴与∴两式相除得： ()()()()2222121332231231222222222y x y x x x x y x x y x ++⎛⎫++=⇒= ⎪----⎝⎭ ()()()()()()222121221212312224223124x x x x x x x x ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭==--⎛⎫-- ⎪⎝⎭即()()()()()()2211212331212122224222224x x x x x x x x x x x x x x +++++⎛⎫+== ⎪----++⎝⎭， 将()12122580x x x x -++=即()12125402x x x x =+-=代入得：233292x x ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭解得34x =（舍去）或31x =，（因为直线BQ 与椭圆相交故34x ≠） 所以Q 在定直线1x =上．【点晴】求解直线与圆锥曲线定点定值问题：关键在于运用设而不求思想、联立方程和韦达定理，构造坐标点方程从而解决相关问题. 3．证明见解析【分析】联立直线与椭圆方程，联立直线AN 的方程与直线BM 的方程，结合韦达定理，化简可求得直线AM 与直线BN 交点在定直线x ＝4上．【详解】由题意得，()2,0A -，()2,0B ，设()()1122,,,M x y N x y ，联立22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，化简得(222234)84120k x k x k +-+-=， 所以2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，直线AM 的方程为()1122y y x x =++，直线BN 的方程为22(2)2y y x x =--， 联立()112222(2)2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩，即()1122(1)22(1)(2)2k x y x x k x y x x -⎧=+⎪+⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，解得1121222(23)34x x x x x x x -+=+-原式()()222221212221222241282234223434342482434k k x x x x x x k k x x x k x k ⎛⎫-⋅-⋅+ ⎪⎡-++⎤++⎣⎦⎝⎭==++-+-+ 2222222222221624812244234344812812223434k k x x k k k k x x k k ⎛⎫----++ ⎪++⎝⎭==⎛=----++++⎫ ⎪⎝⎭，故直线AM 与直线BN 交点在定直线x ＝4上． 4．(1)23(2)22195x y +=【分析】（1）利用直线的点斜式方程设出直线方程，代入椭圆方程，得出,A B 的纵坐标，再由2AF FB =，即可求解椭圆C 的离心率；（2）利用弦长公式和离心率的值，求出椭圆的长半轴、短半轴的值，从而写出椭圆的标准方程.【详解】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由题意知10y >，20y <. 直线l的方程为)y x c =+，其中c联立)22221y x c x y a b ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()22224330a b y cy b +--=，解得()212223c a y a b +=+，()222223c a y a b -=+.因为2AF FB =，所以122y y -=.即()()22222222233c a c a a ba b+--=++，得离心率23c e a ==.（2）因为21|||AB y y =-154=.由23c a =得b =.所以51544a =，得3a =，b = 椭圆C 的方程为22195x y += 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质，其中解答中涉及到直线的点斜式方程，直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，直线与圆锥曲线的弦长公式等知识点的综合考查，着重考查了学生的推理与运算能力，转化与化归思想，解答准确的式子变形和求解是解答的一个难点，属于中档试题.5．（1）2212x y +=（2）证明见解析【分析】（1）由向量数量积的坐标运算可求得1c =，再由离心率可得a ，然后求得b ，得椭圆方程；（2）当直线l 的斜率存在时，设直线:4l y kx =-，()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,M x y -， 由直线方程与椭圆方程联立并消元后应用韦达定理得1212,x x x x +，然后写出直线AM 方程并变形后代入1212,x x x x +，可得定点坐标，再验证直线l 斜率不存在时，直线AM 也过这个定点即可．【详解】解：（1）由题意得()1,0A a -，()2,0A a ，()0,P b ， 则22212(,)(,)1PA PA a b a b a b c ⋅=--⋅-=-+=-=-，所以1c =，又2222c e a a b c ⎧==⎪⎨⎪=+⎩，所以a =1b =，所以椭圆E 的方程为2212x y +=.（2）当直线l 的斜率存在时，设直线:4l y kx =-，()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,M x y -， 由22124x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 得()221216300k x kx +-+=.由()22(16)120120k k ∆=--+>， 得2152k >，所以1221612k x x k +=+，1223012x x k =+. ()12121212121244AM k x x y y kx kx k x x x x x x ----+===+++，直线AM 的方程为()()121112k x x y y x x x x --=-+，即()()()()()()()()12121121211*********44k x x k x x kx x x k x x x x y y x x kx x x x x x x x x ---++--=+-=-+-=+++()()()12121212121212122424kx x x x kx x x k x x kx x x x x x x x x -++--==+-+++，因为1221612k x x k +=+，1223012x x k =+，所以21212230221124416412kkx x k k x x k +-=-=-++， 直线AM 的方程为可化为()121214k x x y x x x -=-+，则直线AM 恒过定点10,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.当直线l 的斜率不存在时，直线AM 也过点10,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，综上知直线AM 恒过定点10,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题中的定点问题．解题方法是设而不求思想方法．设出动直线l 方程4y kx =-，设交点坐标()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得1212,x x x x +，利用此结论求出直线AM 方程，可确定定点坐标． 6．(1)22184x y +=(2)证明见解析；定直线1y =【分析】（1）利用椭圆过点，离心率，结合222a b c =+，即可得解；（2）由题意得直线MN 的方程4y kx =+，与椭圆方程联立，结合韦达定理及求根公式可求得12,x x ，联立直线AN 的方程与直线BM 的方程，化简可求得直线BM 与AN 的交点G 在定直线1y =上．【详解】（1）由椭圆过点(P22222421a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2284a b ⎧=⎨=⎩ 故所求的椭圆方程为22184x y +=．（2）由题意得()0,2A ，()0,2B -，直线MN 的方程4y kx =+，设()()1122,,,M x y N x y ，联立224184y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()221216240k x kx +++=，∴1221612k x x k -+=+，1222412x x k =+．由求根公式可知，不妨设1x =，2x = 直线AN 的方程为2222y y x x --=，直线BM 的方程为1122y y x x ++=， 联立22112222y y x x y y xx -⎧-=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，得()()()()2121121121212222222266y x kx x kx x x y y y x kx x kx x x -++-===++++ 代入12,x x，得2242123k y y -==-+， 解得1y =，即直线BM 与AN 的交点G 在定直线1y =上．7．（1）1y =+；（2）证明见解析．【分析】（1）先由题意求出椭圆方程，直线l 不与两坐标轴垂直，设l 的方程为()10,1y kx k k =+≠≠±，然后将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去y ，利用根与系数的关系，再由弦长公式列方程可求出k 的值，从而可得直线方程； （2）表示直线AC ，BD 的方程，联立方程组可得1221121211.11Q Q x kx x kx x x kx x kx x ++++=--+-而12222kx x k =--+代入化简可得Q x k =-，而1P x k =-，则可得P Q OP OQ x x ⋅=的结果【详解】（1）由题意，椭圆的方程为2212y x +=易得直线l 不与两坐标轴垂直，故可设l 的方程为()10,1y kx k k =+≠≠±，设()()1122,,,C x y D x y ，由221,1,2y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()222210k x kx ++-=，判别式()2Δ810.k =+> 由韦达定理得12122221,22k x x x x k k +=-=-++，∴故122CD x x =-==，解得k =即直线l 的方程为1y =+．（2）证明：直线AC 的斜率为111AC y k x =+，故其方程为()1111y y x x =++， 直线BD 的斜率为221BD y k x =-，故其方程为()2211y y x x =--， 由()()11221,11,1y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩两式相除得()()()()()()2121121211111111y x kx x x x y x kx x ++++===--+- 1221121211kx x kx x kx x kx x +++-+-即1221121211.11Q Q x kx x kx x x kx x kx x ++++=--+-由（1）知12222kx x k =--+，答案第9页，共9页 故()()()()()()222222222222122111222212111222Q Q k k k k kx x k x x k k k k k k k x k x x k x k k k ---+--++-++++===-+-⎛⎫----+-++ ⎪+++⎝⎭ 11k k -+解得Q x k =-．易得1,0P k ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故()11P Q OP OQ x x k k⋅==-⋅-=， 所以OP OQ ⋅为定值1。