一道几何问题的多种解法

专题01 用几何意义探究反比例函数中k 值问题的多种解法如图，反比例函数k y x =（k >0），A 、C 是第一象限上两点，S △OAB =S △OCD =2k ；S △OAC =S 梯形ABDC 在已知面积或比例线段解答反比例函数的问题中，善于利用k 与面积的关系，往往可以事半功倍．典例1．知面积比值，求k 值（2022•山东聊城中考真题）如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与y 轴交于点B ，过双曲线上的一点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ，交直线于点E ，且．()30y px p =+¹()0k y k x=>()2,A q 3y px =+:3:4AOB COD S S =△△(1)求k ，p 的值；(2)若OE 将四边形BOCE 分成两个面积相等的三角形，求点C 的坐标．【答案】(1)，；(2)点C 的坐标为(4，2)【解析】【方法一】坐标法（1）解：∵直线与y 轴交点为B ，∴，即．∵点A 的横坐标为2，∴．∵，∴△COD 的面积为4，设，∴，解得．∵点在双曲线上，∴，把点代入，得，∴，；8k =12p =3y px =+()0,3B 3OB =13232AOB S =´´=V :3:4AOB COD S S =△△,k C m m æöç÷èø142k m m×=8k =()2,A q 8y x=4q =()2,4A 3y px =+12p =8k =12p =（2）解：由（1）得8,C m m æöç÷èø，∴．∵OE 将四边形BOCE 分成两个面积相等的三角形，∴，∵32BOE S m =△，，∴，解得或（不符合题意，舍去），∴点的坐标为（4，2）．【方法二】k 的几何意义法解：（1）由题意知，△ABO 的面积为3，又，得：△OCD 的面积为4，故k =2S △OCD =8，所以，A （2,4），把点代入，得（2）如图，过A ，E 作y 轴垂线，垂足为M ，N则四边形ODEN 为矩形，所以，S △OEN =S △OED ，又S △OBE =S △OCE ，所以S △BEN =S △OCD =4，1,32E m m æö+ç÷èøBOE COE S S =△△13422COE m S m æö=+-ç÷èø△3134222m m m æö=+-ç÷èø4m =4m =-C :3:4AOB COD S S =△△()2,4A 3y px =+12p =所以S △ABM =1，∵AM ∥NE ，∴△ABM ∽△EBN ，其面积比为1:4，∴AM ：NE =1:2，即NE =4，∴C 点坐标为（4,2）典例2．知比例线段，求k 值（2022•贵州铜仁中考真题）如图，点A 、B 在反比例函数k y x=的图象上，AC y ^轴，垂足为D ，BC AC ^．若四边形AOBC 的面积为6，12AD AC =，则k 的值为_______．【答案】3．【解析】【方法一】坐标法设点,k A a a æöç÷èø，∵AC y ^轴，∴AD a =，k OD a =，∵12AD AC =，∴AC 2a =，∴CD =3a ，∵BC AC ^．AC y ^轴，∴BC ∥y 轴，∴点B 3,3æöç÷èøk a a ，∴233k k k BC a a a=-=，∵AOD AOBC OBCD S S S =+V 四边形梯形，四边形AOBC 间面积为6，∴12136232k k a k a a æö+´=+ç÷èø，解得：3k =．【方法二】k 的几何意义法如图，连接OC ，延长CB 交x 轴于E ，则S △AOD =S △BOE =12k ，因为AD ：AC =1:2，所以S △AOC =2S △AOD =k ，S △BOC =6-k ，又四边形DOEC 为矩形，OC 为对角线，所以，S △COD =S △COE ，所以12k +k =6-k +12k ，解得：k =3．典例3．知面积值，求k 值（2022•内蒙古呼伦贝尔中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB △的直角顶点B 在x 轴的正半轴上，点O 与原点重合，点A 在第一象限，反比例函数k y x=（0x >）的图象经过OA 的中点C ，交AB 于点D ，连接CD ．若ACD △的面积是1，则k 的值是_________．【答案】43．【解析】【方法一】坐标法解：设C （m ，k m），因为C 为OA 中点，所以A （2m ，2k m），则D （2m ，2k m ），又△ACD 的面积为1，所以12122k k m m m æö×-=ç÷èø，解得：k =43【方法二】k 的几何意义法解：连接OD ，过C 作CE AB ∥，交x 轴于E ，∵∠ABO ＝90°，反比例函数k y x =（x ＞0）的图象经过OA 的中点C ，1ACD S =V ，∴12COE BOD S S k ==△△，1ACD OCD S S ==V V ，2OC =OA ，∵CE AB ∥，∴△OCE ∽△OAB ，∴221124OCE S OC S OA æöæö===ç÷ç÷èøèø△△O A B ，∴4OCE OAB ACD OCD OBD S S S S S ==++V V V V V ，∴1141122k k ´=++，∴k ＝43，故答案为：43．1.（2022•辽宁锦州中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△AOB 的边OB 在y 轴上，边AB 与x 轴交于点D ，且BD =AD ，反比例函数y =k x(x >0)的图像经过点A ，若S △OAB =1，则k 的值为___________．【答案】2．【解析】【方法一】坐标法解：设A(a，b) ，如图，作A过x轴的垂线与x轴交于C，则：AC=b，OC=a，AC∥OB，∴∠ACD=∠BOD=90°，∠ADC=∠BDO，∴△ADC≌△BDO，∴S△ADC=S△BDO，∴S△OAC=S△AOD+ S△ADC=S△AOD+ S△BDO= S△OAB=1，∴12×OC×AC=12ab=1，∴ab=2，∵A(a，b) 在y=kx上，∴k=ab=2 ．【方法二】k的几何意义法由上知，S△AOC=1，所以，k=2S△AOC=2故答案为：2．2.（2022•辽宁鞍山中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点．在Rt OAB V 中，90OAB Ð=°，边OA 在y 轴上，点D 是边OB 上一点，且:1:2OD DB =，反比例函数()0ky x x=>的图象经过点D 交AB 于点C ，连接OC ．若4OBC S =△，则k 的值为_________．【答案】1．【解析】【方法一】坐标法解：∵反比例函数()0k y x x=>的图象经过点D ，∠OAB ＝90°，∴D （m ，k m ），∵OD ：DB ＝1：2，∴B （3m ，3k m），∴AB ＝3m ，OA ＝3k m ，∴反比例函数()0k y x x =>的图象经过点D 交AB 于点C ，∠OAB ＝90°，∴12AOC S k =△，∵4OBC S △＝，∴4AOB AOC S S -△△＝，即1313422k m k m ´×-=，解得k ＝1【方法二】k 的几何意义法如图，过D 作DE ⊥x 轴，则DE ∥AB ，因为OD ：BD =1:2，所以DE ：AB =1:3，所以S △ODE ：S △OAB =1：9，又S △ODE =S △OAC =12k ，所以12k +4=92k ，解得：k =13.（2022•江苏南通中考真题）平面直角坐标系中，已知点是函数图象上的三点．若，则k 的值为___________．【答案】【解析】【方法一】坐标法解：∵点是函数图象上的三点，∴，，∴m ＝n ，∴，，∴点B 、C 关于原点对称，∴设直线BC 的解析式为，代入得：，解得：，∴直线BC 的解析式为，xOy (,6),(3,2),(3,2)--A m m B m n C m n (0)k y k x=¹2ABC S =△34(,6),(3,2),(3,2)--A m m B m n C m n (0)k y k x =¹260k m =>6k mn =(3,2)B m m (3,2)C m m --()0y kx k =¹(3,2)B m m 23m mk =23k =23y x =不妨设m ＞0，如图，过点A 作x 轴的垂线交BC 于D ，把x ＝m 代入得：，∴D （m ，），∴AD ＝，∴，∴，∴，而当m ＜0时，可得，故答案为：．【方法二】由题意知，S △OAB =12632m n m m ×-×，O 为BC 中点，因为所以，S △OAB =12632m n m m ×-×=1，即291mn m -=①，又632m m m n k ×=×=②，23y x =23y m =23m 216633m m m -=()11633223ABC S m m m =´×+=V 218m =2136684k m ==´=34k =342ABC S =△由①②可得：4.（2022•湖北十堰中考真题）如图，正方形ABCD 的顶点分别在反比例函数()110k y k x=>和()220k y k x =>的图象上．若BD y ∥轴，点D 的横坐标为3，则12k k +=（ ）A ．36B ．18C ．12D ．9【答案】B ．【解析】【方法一】解：连接AC ，与BD 相交于点P ，设PA =PB =PC =PD =t （t ≠0）．∴点D 的坐标为（3，23k ），∴点C 的坐标为（3-t ，23k +t ）．∵点C 在反比例函数y =2k x 的图象上，34k=∴（3-t ）（23k +t ）=k 2，化简得：t =3-23k ，∴点B 的纵坐标为23k +2t =23k +2（3-23k ）=6-23k ，∴点B 的坐标为（3，6-23k ），∴3×（6-23k ）=1k ，整理，得：1k +2k =18．【方法二】先利用D 点坐标，表示出A 和C 点坐标，再根据四边形ABCD 为正方形，BD 与y 轴平行，知AC 平行于x 轴，那么，A 和C 点的纵坐标相等，进而求解23,3k D æöç÷èø，13,3k B æöç÷èø，122123,636k k k C k k æöç÷--ç÷-ç÷-èø，121123,636k k k A k k æöç÷-+ç÷-ç÷+èø所以2112123366k k k k k k =---+，整理得：()212212180k k k k ---=即()()1212108k k k k -+=-因为()120k k -¹所以()12018k k +-=，即1218k k +=5.（2022•黑龙江龙东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OBAD 的顶点B 在反比例函数3y x =的图象上，顶点A 在反比例函数k y x=的图象上，顶点D 在x 轴的负半轴上．若平行四边形OBAD 的面积是5，则k 的值是（ ）A ．2B ．1C ．1-D ．2-【答案】D ．【解析】解：设B点坐标为3,mmæöç÷èø，则A3,3kmmæöç÷èø，因为平行四边形OBAD的面积是5，所以353kmmmæö-×=ç÷èø，解得k=-2【方法二】解：如图，连接OA，设AB交y轴于点C，∵四边形OBAD是平行四边形，平行四边形OBAD的面积是5，∴1522AOB OBADS S==V Y，AB∥OD，∴AB⊥y轴，∵点B在反比例函数3yx=的图象上，顶点A在反比例函数kyx=的图象上，∴3,22 COB COAkS S==-V V，∴35222 AOB COB COAkS S S=+=-=V V V，解得：2k=-．故选：D．6.（2022•湖北黄石中考真题）如图，反比例函数kyx=的图象经过矩形ABCD对角线的交点E和点A，点B、C在x轴上，OCE△的面积为6，则k=______________．【答案】8．【解析】设C （m ，0），由题意知E 为AC 中点，因为△OCE 面积为6，所以E 点纵坐标为12m，所以E 12,12km m æöç÷èø，A 24,6km m m æö-ç÷èø，又A 在反比例函数图像上所以246km m k mæö-×=ç÷èø解得k =8【方法二】解：如图作EF ⊥BC ，则12EF AB =，设E 点坐标为（a ，b ），则A 点的纵坐标为2b ，则可设A 点坐标为（c ，2b ），∵点A ，E 在反比例函数k y x=上，∴ab =k =2bc ，解得：a =2c ，故BF =FC =2c -c =c ，∴OC =3c ，故113622OEC S OC EF c b =´´=´´=V ，解得：bc =4，∴k =2bc =8，故答案为：8．7.（2022•贵州六盘水中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点．y x =4y x=A B(1)求，两点的坐标；(2)将直线向下平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值．【答案】(1)；(2)【解析】（1）解：联立与，解得，；（2）【方法一】解：如图，过点作轴于点，A B y x =a C x D y E 13CD DE =a ()()2,2,2,2A B --3a =y x =4y x=121222,22x x y y ==-ììíí==-îî()()2,2,2,2A B \--C CF y ^F，，，直线向下平移个单位长度得到，根据图象可知,令，得，令，得，，，，，与反比例函数在第一象限的图象交于点，，将代入，得，解得或（舍去）．【方法二】CF OD \∥Q 13CD DE =13OF CD OE DE \==Q y x =a y x a =-0a >0x =y a =-0y =x a =()0,E a \-(),0D a 10,3F a æö\ç÷èø13c y a \=Q y x a =-4y x=C 41213c x aa \==121,3C a a æöç÷èøy x a =-1123a a a=-3a =3a =-如图，连接OC ，过C 作CE ⊥x 轴，因为CD ：DE =1:3，CE ∥OE则△CDE ∽△EDO ，相似比为1:3，面积比为1:9，易知△ODE 面积为212a ，△OCE 的面积为12k =2，所以△OCD 的面积为2-2118a ，又△OCD 与△ODE 的面积比为1:3，所以2-2118a =21132a ´，解得：a =3或a =-3（舍）8.（2022•安徽中考真题）如图，平行四边形OABC 的顶点O 是坐标原点，A 在x 轴的正半轴上，B ，C 在第一象限，反比例函数1y x =的图象经过点C ，()0k y k x=¹的图象经过点B ．若OC AC =，则k =________．【答案】3．【解析】【方法一】设C 1,m m æöç÷èø，因为OC =AC所以A ()2,0m ，又OABC 为平行四边形所以B 13,m m æöç÷èø因为B 点在k y x =上，所以k =133m m ×=【方法二】解：过点C 作CD ⊥OA 于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，∴CD ∥BE ，∵四边形ABCO 为平行四边形，∴CB OA ∥ ，即CB DE ∥，OC =AB ，∴四边形CDEB 为平行四边形，∵CD ⊥OA ，∴四边形CDEB 为矩形，∴CD =BE ，∴在Rt △COD 和Rt △BAE 中，OC AB CD EB =ìí=î，∴Rt △COD ≌Rt △BAE （HL ），∴S △OCD =S △ABE ，∵OC =AC ，CD ⊥OA ，∴OD =AD ，∵反比例函数1yx=的图象经过点C，∴S△OCD=S△CAD=12，∴S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，∴S△OBA=11 2OCBAS=平行四边形，∴S△OBE=S△OBA+S△ABE=13122+=，∴3232k=´=．故答案为3．。

初中几何折叠问题的三种解法初中几何折叠问题的三种解法初中几何是数学中的一个重要分支，而折叠问题则是初中几何中常见的一种问题。

在这里，我们将介绍三种不同的方法来解决初中几何折叠问题。

方法一：手工模拟法手工模拟法是一种简单直观的方法。

它通过将纸张折叠成所需形状来解决问题。

步骤：1. 根据题目给出的图形，画出所需大小和比例的图形。

2. 将纸张按照比例剪成相应大小。

3. 按照题目要求，将纸张进行折叠，直到得到所需形状。

4. 计算所需参数并得出答案。

优点：手工模拟法操作简单易懂，适合初学者使用。

同时也能够帮助学生更好地理解折叠问题的本质。

缺点：手工模拟法需要较长时间完成，并且需要精确测量和折叠。

同时也容易出现误差和偏差。

方法二：平面几何法平面几何法是一种基于平面几何知识来解决问题的方法。

它通过利用图形相似性和对称性来计算所需参数。

步骤：1. 根据题目给出的图形，画出所需大小和比例的图形。

2. 根据平面几何知识，计算所需参数，如角度、长度等。

3. 得出答案。

优点：平面几何法具有计算速度快、精度高等特点。

同时也能够帮助学生更好地理解平面几何知识的应用。

缺点：平面几何法需要学生具备一定的数学基础，并且需要对图形相似性和对称性有深入理解。

同时也容易出现计算错误和漏算情况。

方法三：三维几何法三维几何法是一种基于立体几何知识来解决问题的方法。

它通过利用立体图形的投影和相似性来计算所需参数。

步骤：1. 根据题目给出的图形，画出所需大小和比例的图形。

2. 利用三维几何知识，将立体图形投影到二维平面上，并计算所需参数，如角度、长度等。

3. 得出答案。

优点：三维几何法具有计算速度快、精度高等特点。

同时也能够帮助学生更好地理解立体几何知识的应用。

缺点：三维几何法需要学生具备一定的数学基础，并且需要对立体图形的投影和相似性有深入理解。

同时也容易出现计算错误和漏算情况。

结论：初中几何折叠问题可以通过多种方法来解决，其中手工模拟法、平面几何法和三维几何法是常见的三种方法。

初中几何最值问题常用解法初中几何最值问题一直是学生们的难点，但通过一些常用的解法，我们可以轻松解决这些问题。

以下将介绍9种常用的解法，帮助您更好地理解和学习。

一、轴对称法轴对称法是一种常用的解决最值问题的方法。

通过将图形进行轴对称变换，可以将问题转化为相对简单的问题，从而找到最值。

二、垂线段法垂线段法是指在几何图形中，利用垂线段的性质来求取最值。

例如，在矩形中，要使矩形的周长最小，可以将矩形的一条边固定，然后通过调整其他边的长度，使得矩形的周长最小。

三、两点之间线段最短两点之间线段最短是几何学中的基本原理。

在解决最值问题时，我们可以利用这个原理，找到两个点之间的最短距离。

四、利用三角形三边关系三角形三边关系是指在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

利用这个关系，可以解决一些与三角形相关的最值问题。

五、利用余弦定理求最值余弦定理是三角学中的基本定理，它可以用来解决一些与角度和边长相关的问题。

通过余弦定理，我们可以找到一个角的最大或最小余弦值，从而求得最值。

六、利用基本不等式求最值基本不等式是指在一个数列中，平均值总是小于等于几何平均值。

利用这个不等式，可以解决一些与数列相关的最值问题。

七、代数运算求最值代数运算是一种基本的数学运算方法，它可以用来解决一些与代数式相关的最值问题。

例如，通过求导数或微分的方法，可以找到一个函数的最大或最小值。

八、代数方程求最值代数方程是一种基本的数学方程形式，它可以用来解决一些与代数方程相关的最值问题。

例如，通过解二次方程或不等式的方法，可以找到一个表达式的最大或最小值。

九、几何变换求最值几何变换是指在几何图形中，通过平移、旋转、对称等方式改变图形的形状和大小。

利用几何变换的方法，可以解决一些与图形变换相关的最值问题。

例如，在矩形中，要使矩形的面积最大。

三角形中线问题的三种解法三角形是几何学中最基本的图形之一，它有许多有趣的性质值得探究。

本文将讨论三角形中线的性质及其三种解法。

一、三角形中线的定义及性质在任意三角形ABC中，连接三角形两边的中点，分别得到三条线段DE、FG和HI，我们将它们分别称为三角形的中线。

现在我们来研究中线的性质。

1. 中线相等性质：定理1：三角形中线的长度相等。

证明：因为DE是AB的中线，所以DE的长度等于AB的长度的一半。

同理可得FG和HI的长度分别等于BC和AC的一半。

因此，DE= FG = HI。

2. 中线平行性质：定理2：三角形中线互相平行。

证明：我们可以使用反证法来证明。

假设DE与FG不平行，那么它们必定会相交于一点，设为J。

那么根据平行线的性质，我们知道AJ与JI分别为DE与FG所在直线的两条平行线，所以AJ = JI。

然而，由中线的等长性质可知，AJ = JI = BJ。

但这与直角三角形ABC中的直角会产生矛盾，所以DE与FG是平行的。

同理可得其他中线的平行性质。

二、解法一：面积法面积法是解决三角形中线问题的一种直观方法，通过求解三角形的面积来推导中线的性质。

下面是面积法的步骤：步骤1：计算三角形ABC的面积，设为S。

步骤2：计算三角形ABC的底边AB的中线DE的长度，设为x。

步骤3：计算三角形ADE和三角形BDE的面积，分别设为S1和S2。

步骤4：由面积的性质可知，S1 = S2 = S/2。

步骤5：根据S1 = S2，我们可以得到x = AB/2。

解法一的关键在于利用面积的性质来推导中线的长度，通过这种方法可以很容易地证明三角形中线的等长性质。

三、解法二：向量法向量法是另一种解决三角形中线问题的方法，它利用向量的性质来进行推导。

下面是向量法的步骤：步骤1：设三角形ABC的顶点分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)。

步骤2：计算线段AB的中点D，坐标为D((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)。

关于求解费马点问题的多种方法探究与综述费马点问题是一个经典的几何问题，它的解法有很多种。

本文将探究和综述多种求解费马点问题的方法。

一、费马点问题的定义费马点问题是指在平面上给定两点A、B和一条直线L，求一点P，使得PA、PB到直线L的距离之和最小。

二、求解费马点问题的方法1. 构造法构造法是最常用的求解费马点问题的方法。

具体步骤如下：（1）以A、B为圆心，PA、PB为半径，画两个圆，交于点C和D。

（2）连接CD，作垂线EF，使EF与CD垂直且相交于点P。

（3）连接AP、BP，使AP、BP与CD垂直。

则点P即为所求的费马点。

2. 向量法向量法是一种比较简单的求解费马点问题的方法。

具体步骤如下：（1）设点P的坐标为(x,y)，则向量AP的坐标为(x-a,y)，向量BP的坐标为(x-b,y)。

（2）设点P到直线L的距离为d，则向量AP和向量BP的夹角为arcsin(d/PA)和arcsin(d/PB)。

（3）根据向量的加法和减法，可以得到向量AP和向量BP的和向量CP的坐标为(2x-a-b,2y)。

（4）由于向量CP与直线L垂直，所以向量CP与直线L的斜率为-1/斜率L。

（5）根据向量的坐标公式，可以得到点P的坐标为((a+b-2cy)/(2(1+c^2)),(a+b-2cx)/(2(1+c^2)))。

3. 三角形面积法三角形面积法是一种比较直观的求解费马点问题的方法。

具体步骤如下：（1）以A、B为圆心，PA、PB为半径，画两个圆，交于点C和D。

（2）连接CD，作垂线EF，使EF与CD垂直且相交于点P。

（3）连接AP、BP，使AP、BP与CD垂直。

（4）以AP、BP、CD为边构成三角形ABC和三角形ABD。

（5）根据三角形面积公式，可以得到三角形ABC和三角形ABD的面积。

（6）由于点P到直线L的距离之和等于线段AC和线段BD的长度之和，所以点P到直线L的距离之和等于(面积ABC+面积ABD)/CD。

几何问题的解析几何解法几何问题是数学中一类常见的问题类型，而解析几何则是解决这类问题的一种有效方法。

解析几何通过运用代数和几何的相互联系，以坐标系为基础，利用代数符号和方程式来研究几何图形的性质和变换。

本文将介绍几何问题的解析几何解法，并提供一些实例来加深理解。

一、直线的解析几何解法直线是几何中最基本的元素之一，通过坐标系的引入，我们可以用解析几何的方法来研究直线的性质和特点。

对于已知两点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，要确定这两点之间的直线方程，可以使用以下公式：\[\frac{{y-y₁}}{{x-x₁}} = \frac{{y₂-y₁}}{{x₂-x₁}}\]这个公式称为点斜式，其中斜率为 \(\frac{{y₂-y₁}}{{x₂-x₁}}\)。

通过这个方程，我们可以得到直线的斜率、截距等重要信息，从而进一步理解和分析直线的特性。

二、圆的解析几何解法圆是另一类常见的几何图形，在解析几何中也有相应的解法。

已知圆心为C(a, b)，半径为r的圆，其方程可以表示为：\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\]在解析几何中，我们可以根据圆心和半径的信息，推导出关于圆的性质和变换的一系列公式。

例如，通过对圆心的平移、旋转和缩放等操作，我们可以得到新的圆的方程和特征。

这些解析几何的方法在实际问题中具有广泛的应用，例如在计算机图形学和物理学领域。

三、多边形的解析几何解法多边形是由多条线段组成的几何图形，其解析几何解法也是基于坐标系的引入和运用。

对于一个n边形，我们可以通过提取顶点的坐标，组成一个由点组成的集合。

通过连接这些顶点，我们可以得到多边形的边界。

进一步，我们可以运用向量加法、平移以及旋转等解析几何的方法来研究多边形的性质和变换。

除了以上提到的几何图形，解析几何还可以用于研究曲线、立体图形等问题。

通过引入坐标系，用代数的方法来解决几何问题，解析几何在数学领域扮演着重要的角色。

解析几何的出现极大地促进了几何学和代数学的发展。

立体几何中组合问题的几种解法解决几何组合问题时，应准确灵活使用加法原理和乘法原理，要分类分步进行，做到不重复不遗漏。

1 直接求解法例1：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法有多少种?分析：正面考虑本题各步骤的方法比较复杂，计算困难，应运用逆向思维，即先考虑从10个点任意取出4个点的方法，再减去从10个点中取出4点共面的的方法即可。

解：从10个点中找出4个点的方法有Ｃ410=210种，其中在四面体的四个面内各有6个点，取出共面的4个点的方法有4Ｃ4■=60种；相邻面各棱的中点4点共Ｃ410面的有3种；一条棱上三点与其相对棱中点也共面，共6种。

∴所求方法N=210-60-3-6=141(种)本题应注意“哪些点共面?”共有几种情况?[1]例2：从平面Ⅱ上取6个点，再从平面B上取4个点，这10个点最多可确定多少个三棱锥?解法①：分三种情况考虑：第一种情况从平面a上的6个点中任取一个再与从平面β上的4个点中任取3个点构成的三棱锥有Ｃ1■Ｃ■■个；第二种情况，从平面a上的6个点中任取2个与平面13上的4个点中任取2个点构成的三棱锥有Ｃ2■Ｃ2■个；第三种情况，从平面a上的6个点中任取3个点与平面β上的4个点中任取1个点构成的三棱锥有Ｃ■■Ｃ1■个。

根据加法原理共有Ｃ1■Ｃ■■+Ｃ2■Ｃ2■ +Ｃ■■Ｃ1■ =24+90+80=194(个)。

解法②：逆向思维：从10个点中任取4个点的组合数Ｃ410中，去掉4个点共面的两种情况即4点在平面a上的Ｃ4■个，4点在平面β上的Ｃ4■个。

其余的任4点都能构成一个三棱锥。

因此，可构成三棱锥Ｃ410-Ｃ4■-Ｃ4■=210-15-1=194(个)。

2 从几何概念上求解［2］例3：空间10个点，无三点共线，其中有六个点共面，其余无四个点共面，则这些可以组成四棱锥的个数有多少个?此题易错解，仿上例。

错解一：从共面的6个点中任取1个、2个、3个、4个点，与从另外4个不共面的点中任取4个、3个、2个、1个点可构成的四棱锥有Ｃ1■Ｃ4■＋Ｃ2■Ｃ■■＋Ｃ■■Ｃ2■=6+60=120+60=246(个)。

试析数学竞赛中组合几何问题的几种解法在数学竞赛中，组合几何问题是常见的，下面介绍几种解法：
1.计数法。

组合几何问题往往可以用计数法来解决。

例如求某个图形中有多少直线或平面，或者有多少种不同的构造方法等等。

计数法的关键在于找到合适的计数方法，可以运用排列组合、容斥原理、本质不同排列法等等。

2.坐标法。

坐标法是一种比较直观的解法，即将图形在平面直角坐标系上进行表示，然后利用坐标计算的方法来求解。

坐标法的优点是直观易懂，但容易出现计算繁琐、复杂等问题。

3.反证法。

反证法主要应用于求解定理的证明。

通过假设反命题成立，推出矛盾的结论，从而证明原命题成立。

在组合几何问题中，也可以利用反证法来解决一些难题，如建立同构关系、寻找最优解等。

4.递归法。

递归法适用于递归结构的问题，即将问题逐步分解成更小、更简单的子问题，并通过递推的方式求解。

在组合几何问题中，递归法可以用于求解一些多边形的分割问题、树形结构的问题等等。

以上是几种常见的组合几何问题解法，实际中不同的问题可能需要结合不同的解法来解决。

经典⼏何题，⼀题多解题⽬：如图，四边形ABCD是正⽅形，点E是边BC上⼀点，∠AEF＝90°，EF交正⽅形外⾓的平分线CF于F．求证：AE＝EF．【⽅法⼀】在AB上取⼀点G使得AG＝CE，易得△BGE为等腰直⾓三⾓形，再证明△AGE≌△ECF（ASA）即可．【⽅法⼆】过点E作EG⊥BC交FC的延长线于点G，证明△AEC≌△FEG（ASA）即可．【⽅法三】延长AC⾄点G使得CG＝CF并连接EG，证明△ECF≌△ECG（SAS），再得∠ECA＝∠G（提⽰：外⾓的性质）即可．【⽅法四】分别延长AB，FC交于点G，并连接EG，证明△ABE≌△GBE（SAS），再证∠EGC＝∠F（提⽰：外⾓的性质）即可．【⽅法五】延长AB⾄点G，使得BG＝BE，并连接EG，CG，证明△ABE≌△CBG（SAS），再证明四边形EGCF为平⾏四边形即可（两组对边分别平⾏）．【⽅法六】连接AC，过点E作EG⊥BC，交AC于点G，证明△AEG≌△FEC（ASA）即可．【⽅法七】如图，分别过点E，F作EG∥CF，FG∥CD和FH∥BC，EG分别与FG，FH交于点G，H，易得四边形ECFH为平⾏四边形，再证明△ACE≌△EGF（ASA）即可．【⽅法⼋】过点F作FG⊥BC于点G，分别设AB＝a，EC＝x，FG＝CG＝y，则BE＝a－x，根据△ABE∽△EGF得AB：BE＝EG：GF，即a：（a－x）＝（x＋y）：y，得ay＝ax＋ay－x2－xy，得x（a－x－y）＝0，即a＝x＋y，所以AB＝EG，BE＝FG所以AE＝EF．【总结】本题还有许多其他构造辅助线的⽅法来证明，有的是同种类型的不同构法，异曲同⼯。

欢迎⼤家讨论！当然，除了⼀题多解之外，⼤家也可以考虑把条件和结论对调进⾏证明，要不试试看？题⽬：如图，四边形ABCD是正⽅形，点E是边BC上⼀点，在正⽅形外⾓的平分线CF上取⼀点F使得AE＝EF．。

9-262019年第9期一道平面几何最值问题的三种解法及多个变式杨春波（河南省郑州中原一中实验中学，河南郑州450000）题目如图1,线段MB的长为4,C为上一动点,分别以4C、BC为斜边在4B的同侧作等腰直角MCD和等腰直角43（/,那么DE 长的最小值是________•图1分析:当点C在线段上运动时，点D和E随之运动,DE的长度不断变化.根据图形的对称性,大胆猜想：当C为的中点时,DE的长度最小猜想是否正确？且看下面三种解法.1—题多解解法1:（代数视角，转化为二次函数的最值问题）设AC=x（0<x<4）,BC=4-x，由△ACD和5BCE为等腰直角三角形知，CD=—=—,CE=—=^—^,1.厶DCE=180°-血匹72J245°-45°=90°.在RtACDE中，由勾股定理得DE2=CD2+CE2=—x2~4x+8—(x—2)2+4,当x=2时,£>矿取得最小值4,则DE长的最小值为2.解法2：（几何视角，构造直角梯形）如图2,分别过点D、E作AB的垂线，垂足分别为点M、N.由44（70和为等腰直角三角形知,M为AC的中点，"为BC的中点，则MN=MC+CN=—AC+—BC=—AB=2.222在直角梯形DMNE中，有DEM MN=2；当C为4B的中点时，直角梯形DM/VE退化为矩形，有DE=MN=2.于是,DE长的最小值为2.解法3：（几何视角，构造矩形和等腰直角三角形）如图3,延长4D、BE交于点F,连结FC,作FH丄AB于点H.由HkCD和△BCE为等腰直角三角形知,ZOCE=180o-45o-45°= 90°,则四边形DCEF为矩形，△FAB也为等腰直角三角形•于是DE=FC M FH=—AB=2,2当点C与H重合（为4B中点）时，DE=FC= FH=2.所以,DE长的最小值为2.图3点评:解法1是代数解法，选取4C的长度为自变量％，将表达为％的二次函数，最值可求.解法2、3均为几何解法，但构图略有不同一一解法2是构造直角梯形,发现其直角腰2019年第9期欽学款学9-27长为定值,从而斜腰长不小于直角腰长，获得最小值;解法3则构造一个矩形和一个更大的等腰直角三角形,利用矩形对角线相等的性质将DE转化为FC,其最小值为点F到AB的距离.以上三种解法各有千秋——代数法以函数思想为指引，只要按部就班运算即可；几何法则需重新构图，转化线段，辅助线一旦作出也算方便、快捷.2—题多变上面展示了用不同解法求解同一道题目，称为一题多解.解题完毕，我们还可考虑试题的多种变式，同样可以从不同的视角对原问题进行改编.2.1改变图形结构将等腰直角三角形变为等边三角形,即得：变式1如图4,线段AB的长为4,C为4B 上一动点,分别以AC、BC为边在佃的同侧作等边AACD和等边那么DE长的最小值是________•分析:原解法1在ADCE中求解DE2用勾股定理，而这里厶DCE=60。

解析几何七种常规题型及方法常规题型及解题的技巧方法 A ：常规题型方面 一、一般弦长计算问题：例1、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x yl a b-=被椭圆C 截得的弦长为3e =,过椭圆C 2l 被椭圆C 截的弦长AB, ⑴求椭圆的方程；⑵弦AB 的长度。

思路分析：把直线2l 的方程代入椭圆方程,利用韦达定理和弦长公式求解.解析:⑴由1l 被椭圆C 截得的弦长为，得228a b +=，………①又e =，即2223c a =，所以223a b =………………………….②联立①②得226,2a b ==，所以所求的椭圆的方程为22162x y +=.⑵∴椭圆的右焦点()2,0F ，∴2l 的方程为:)2y x -, 代入椭圆C 的方程,化简得,251860x x -+= 由韦达定理知，1212186,55x x x x +==从而12x x -==由弦长公式，得12AB x =-==，即弦AB 的长度为5点评：本题抓住1l 的特点简便地得出方程①，再根据e 得方程②，从而求得待定系数22,a b ，得出椭圆的方程，解决直线与圆锥曲线的弦长问题时,常用韦达定理与弦长公式.二、中点弦长问题：具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）:设曲线上两点为(,)x y 11,(,)x y 22,代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。

过A （2,1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。

分析：设P x y 111(,),P x y 222(,)代入方程得x y 121221-=，x y 222221-=。

两式相减得()()()()x x x x y y y y 12121212120+--+-=.又设中点P(x,y ），将x x x 122+=,y y y 122+=代入，当x x 12≠时得 22201212x yy y x x ---=·。

数学猪蹄形多种解法
猪蹄形（也称猪蹄骨）是一种常见的肉类食品，但在数学中，猪蹄形是一种几何图形，它由两个半圆和一个矩形组成。

在数学中，我们经常对这种几何图形进行分析和计算，比如求它的面积、周长等。

关于猪蹄形的面积，有多种解法，下面我将介绍其中两种：
第一种方法是将猪蹄形分成一个矩形和两个半圆。

我们可以先计算出矩形的面积，再计算出两个半圆的面积，最后将它们相加得到猪蹄形的面积。

设猪蹄形的长为a，宽为b，则矩形的面积为ab，而两个半圆的半径分别为a/2和b/2，因此两个半圆的面积分别为π(a/2)^2/2和π(b/2)^2/2。

将它们相加得到猪蹄形的面积为：
S = ab + π(a/2)^2/2 + π(b/2)^2/2
第二种方法是将猪蹄形分成一个等腰梯形和两个扇形。

我们可以先计算出等腰梯形的面积，再计算出两个扇形的面积，最后将它们相加得到猪蹄形的面积。

设猪蹄形的长为a，宽为b，则等腰梯形的上底和下底分别为a和b，高为a/2，因此等腰梯形的面积为：
S1 = (a+b)×a/4
而两个扇形的半径分别为a/2和b/2，因此两个扇形的面积分别为π(a/2)^2/4和π(b/2)^2/4。

将它们相加得到猪蹄形的面积为：
S = S1 + π(a/2)^2/4 + π(b/2)^2/4
这两种方法都可以用来计算猪蹄形的面积，具体使用哪种方法取决于具体情况和个人偏好。

但无论采用哪种方法，都要保证计算准确无误。

求三棱锥体积的五种解法三棱锥体是立体几何中的特殊形状，它的形状类似三角形的金字塔结构，一般由三个垂直平行的棱面组成，其表面积是三角形和圆锥共有的表面积。

求三棱锥体积是几何学中的基本问题，下面介绍三棱锥体积的五种解法。

第一种是利用梯形公式求三棱锥体积，把三棱锥体看成由一系列小梯形组成的形状，利用梯形的面积公式∫（上底+下底）×高/2计算每个梯形的体积，把每个梯形的体积加起来得到总体积。

第二种是利用整体积公式求三棱锥体积，三棱锥体是由上底圆和底底圆以及三角形中间构成的，因此我们可以利用整体积公式：三棱锥体积=上底圆积+下底圆积+中间三角形积来求解三棱锥体积。

第三种是利用球锥体积公式求三棱锥体积，由于球锥体和三棱锥体的概念相近，因此也可以采用球锥体积公式来求三棱锥体积，球锥体积公式是：球锥体积=pi×圆半径×圆半径×高，其中pi为圆周率，可以把它改成三棱锥体积公式：三棱锥体积=Pi×上底圆半径×上底圆半径×高第四种是利用分块计算求三棱锥体积，大体思路如下：首先将三棱锥体假设成一系列分块的规则几何体，其次利用常见的几何体计算公式计算每个分块的体积，最后将每个分块的体积加起来再除以形状的层数即可得到三棱锥体的积。

第五种就是从容斥原理入手求解三棱锥体积，我们可以将该问题转换成求三棱锥体与立方体（体积为长宽高的立方体）的差面积，改善后的公式为：三棱锥体积=立方体积-六个小直角棱锥体积-八个小底面三角形积。

因此，以上介绍了三棱锥体积的五种解法，只要明白原理，就可以脱离复杂的图形，迅速求解三棱锥体积的问题。

希望以上的介绍能够帮助你快速求解三棱锥体积的问题。