一道考研数学试题的多种解法

求数列极限的十五种方法1.定义法；-N 定义：设｛a .｝为数列，a 为定数，若对任给的正数；，总存在正数 N ，使得当n . N 时,有a . -a | .；：「，则称数列｛a .｝收敛于a ；记作：l im a^a ，否则称｛a .｝为发散数列.例1 •求证： 1nim：a —1，其中a 0.证：当a =1时，结论显然成立.III当 a >1 时，记 a =a n_1，则 a >0 ,由 a =n+a $ K 1 +n a =1 + n(c^ _1)，得_1 兰王，v‘ n彳 1 1 1任给E >0，则当n >口 =N 时，就有—1 ，即a 下一1 c 呂，即lim=1 .1综上， lim a n =1，其中 a >0 .例2 .求： 7nlim—.M^n!解： 变式： 7n_7 77 7 77 7 .7 7 771 .. n7--0 7丄丄n! 1 27 8 9 n —1 n 7! n 6! nn! 6! n2•利用柯西收敛准则由柯西收敛准则，数列 ｛x,｝收敛.1丄当—时，令b 蔦，则b 1，由上易知：”呻1lim a nn丄-11 —1lim b 下n ::0，N 丄6!则当n . N 时, •••lim 7=0.f n!柯西收敛准则：数列｛a n ｝收敛的充要条件是: 一；・0 , T 正整数N ，使得当n 、m • N 时，总有：|a n -a m I ■:"'成立.例3 •证明：数列x n 八§n当（n 才，2, 3,）为收敛数列. k 2±2证：X n -X m =sin(m 勺)-2m +当n • m • N 时，有有二丄「；6! n例4 .（有界变差数列收敛定理 ）若数列｛x ｝满足条件:（n =1, 2,），则称｛人｝为有界变差数列，试证：有界变差数列一定收敛.=0, y n 二 X n —X nJ —%1—X n 』"| X ? - X ’那么｛y n ｝单调递增，由已知可知： ｛y n ｝有界，故｛%｝收敛, 从而0， -I 正整数N ，使得当n .m . N 时，有y n -y m ：：：；; 此即X n -X m _X n -X n 』"|X n 丄^/"| X m 1 - X m |八；由柯西收敛准则，数列｛ X,｝收敛.注：柯西收敛准则把 ；—N 定义中的a n 与a 的关系换成了 a n 与a m 的关系，其优点在于无需借用数列以外的数a ，只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性.3 •运用单调有界定理单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限.例5 •证明：数列 x n = J a +J a +''描 （n 个根式，a >0，n =1, 2, 11|）极限存在，并求l i ^X n • 证：由假设知X n = a • X n1 ；①用数学归纳法可证： X n 1 X, , ^ N :② 此即证｛X,｝是单调递增的.事实上，0 ：：： Xn 1 • ..=a • Xn •；： J a • a • 1 ：：：、'（ ：a • 1）2二 a 1 ；由①②可知： ｛X n ｝单调递增有上界，从而 lim X^ =1存在，对①式两边取极限得：1二JFR ，解得： 1」1如和|/-1 4a(舍负)；.・.limX 」1如.22F 24.利用迫敛性准则（即两边夹法）迫敛性：设数列｛a n ｝、｛b n ｝都以a 为极限，数列｛C n ｝满足：存在正数 N ，当n • N 时，有:1*2 n "郭 n 2 +n 勺 n 2+2n 2+n +n)卫j <X ^n (n 1)；从而lim 単』亠m 吵"2(n ②) 2(n 5 1) "一斗2 (n 2n) 2 r ：2( n n 1)•••由迫敛性，得：朝人+冷…冷弓.注：迫敛性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用.证：令力 a^lC n 乞b ，则数列｛C n ｝收敛，且l nim Cn =a .例6 .求:解：记：X n备？■生，则:....1 2 小“丘 n ； 21 n 2n 1亠 ％ - x ,| M5•利用定积分的定义计算极限黎曼积分定义：设为f(x)定义在［a, b ］上的一个函数，J 为一个确定的数，若对任给的正数g >0 ,总存在某一正数 5，使得对［a, b ］的任意分割T ，在其上任意选取的点集 {©}，1X 」,x ］，n只要—就有送f(©)织—J £ ■则称函数f(x)在［a, b ］上(黎曼)可积，数J 为f(x)在［a, b ］i J_.兀 .2兀 sin — sin —— lim------ + ---- - +"f 1n 1< 22n2n2n .sin — sinsin sin — sinsin si n — sin sin-n nn ____ n . ___ 亠 亠 n ... n nnnn注：数列极限为“有无穷多项无穷小的和的数列极限，且每项的形式很规范”这一类型问题时， 可以考虑能否将极限看作是一个特殊的函数定积分的定义；部分相关的数列极限直接利用积 分定义可能比较困难，这上的定积分，记作 bJ f (x)dx •=exp "li 琴瓦 ^In(1 +丄)卜exp(』ln(1 +x)dx )=exp(2ln2 —1例8.求: 解：因为:又:.兀亠• 2兀亠亠.n 兀sin — sin sin -n n nn +1 n 1 =lim — ■- y ：n 1 二二 二 2 二 n 二 -—(sin — sin — ■ ■■-sin —) •兀丄• 2兀丄亠• nn sin sin sin 一 •- lim n nJnY ：n -1■nsin同理:sin — si n — s in 」由迫敛性，得:例7.求:1112 n n+評+廿1+討2兀时需要综合运用迫敛性准则等方法进行讨论.6•利用（海涅）归结原则求数列极限（x ）=A=对任何人必（n 宀），有 ”叮（Xn ）=A •2=[im(1 •啤)]im(1 ^^1)^ ^lim(1 n^)^^lim(1 」)x =e ； lim(1 -1 -4)n=e • i ： n n注：数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质，有时我们可以借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限，从而使问题得到简化和解决. 7•利用施托尔茨（Stolz ）定理求数列极限stolz 定理1: （__）型：若｛y n ｝是严格递增的正无穷大数列，它与数列 ｛X n ｝一起满足:□0"m ：x 二辭1，则有卩叹辭1，其中l为有限数，或；，或一stolz 定理2： （0）型：若｛yn ｝是严格递减的趋向于零的数列， n —「:：时，Xn —；0且lim X 1 Xn=］，则有lim Xn=l ，其中I 为有限数，或•：：，或-. n「y n1. -y n7%例11 .求：乍 2P 加:小n p愠 np+ (P^N) •解：令X n =1p ，2p 爲…圧-P , y n =n p1, n • N ，则由定理1,得:lim 1P 2P1 nP Rim (n P11)P P1，lim心 「 rn p1"：( n1)p_ n p n]p1) n p_(P ⑴卩P 1注：本题亦可由 方法五（即定积分定义）求得，也较为简便，此处略.例9•求：lim n-<-.: 1e n-1 1 解：lim■n-s ： 1-1 1例10 •计算: 解：一方面, 另一方面, 1= lim 学n T_on( lim 1 n 扛 (1 - n由归结原则: 1、n “ 1、n 2）：：：（1 ） > n(nr ')；1 1(1 ——1)n （取 X n=(1 2丄_2_ 丁 )心丄—(1—)5-; nn2n n—1 ,n = 2, 3,…)， 归结原则：lim f X十2n2由迫敛性，得:n'TnC ：S n，求：Hm S n •n8.利用级数求和求数列极限由于数列与级数在形式上的统一性，有时数列极限的计算可以转化为级数求和，从而通过级 数求和的知识使问题得到解决.1 2n例13 .求：lim( 21) ， (a >1). n： - a aa n1od解：令x =—，则|x | .；：1，考虑级数：V nx nan 1x而S(x)二x f (x)2;因此，原式(1—X)9.利用级数收敛性判断极限存在由于级数与数列在形式上可以相互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系，因此 数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题.例14.设焉0，X ：^^ ^(n r O, 1, 2,)，证明：数列｛X ：｝收敛，并求极限2 +X ：证：由x 0・0 ,可得： x：0(：巾 1 2, )，令 f(x ^22 x C),(x 0)，例12 •设 解：令y =n 2，则｛y n ｝单调递增数列，于是由定理2得:nE ln C ；lim S n = lim k~ 2—— j nY ：2n 1n7 ln C n k1 -7 ln C ：= lim - n二 k 纟 k 土 2 2" (n 1) —nn” ln^^ k_on —k +1=lim n：■： 2n -1n +(n - 1)ln(n y ln kk -1=lim — n二2n 1(n 七)ln( n +1) — n In n -ln(n +1) = lim n:2n 1 .z n 1 nln( ) 1= lim :-n注：Stolz 定理是一种简便的求极限方法，特别对分子、分母为求和型，利用Stolz 定理有很大的优越性，它可以说是求数列极限的洛必达(L'Hospita )法则.lim an = lim =1，•••此级数是收敛的.令Q QS(x) nx n士二八'nx n1，再令n —f (x) =7 nx n」，x:: x::o f(t)dt ■ 0nt n1dt ■ x nn ±n 1f (x)二(产)二1 -x1 (1 -==S(a 」)=a(1-a 于2(1 亠x )=x ：1，x ： 0, (n =0,1,2,)，oo考虑级数：.J |X ： 1 -人； n 倉则 0 . f '(x)2(2 x)2由于X n 牛一X f (X n ) f (X nJf '(©(X n -X n£1X n —人iXn—人 1人一X n 1J?2所以, 级数"_人收敛，从而n£Q0壬(X n 牛-X n )收敛.n_0_令Sn=E (x kk_0_%牛一X k ） = X n 牛一人，叮臂^存在，二 n ^X n 丰 M^+U^S nJ (存在)；对式子：X 」= 2（1+X），两边同时取极限：| =2（1知）,2 *2 +I\ =^J 2或 I =―J2 （舍负）；二 lim 人=J2 .n与、 1 1 i例15 .证明：lim （1In n ）存在.（此极限值称为 Euler 常数）ii i i证：设 a n =i +— +—…+— —In n ，贝U a * —a*丄=—［in n —ln （n —i ）］；2 3 n n对函数y =1 n n 在［n -i, n ］上应用拉格朗日中值定理，可得：Inn —ln(n —1) - (0：：：小1)，10 •利用幕级数求极限例 16•设 sin x =sinx, sin x 二sin(sin n ±x) (n =2, 3, ■■- )，若 sinx 0 ,求:— i解：对于固定的x ，当n —•:时，单调趋于无穷，由stolz 公式，有:sin n x2nn ，1-1 lim nsin n x =lim lim — n 二 nn ：”： 1n 1 [2 2 2sin n x sin n 1 x sin n x所以 a n —a “ 丄=一1 .n(n -1+0) In -1)2 'OC A因为J 收敛，由比较判别法知: n三（n -1）2心a n -a ni 也收敛,n士1 1所以l j m® 存在，即lim^Vi*1iln n)存在. n利用基本初等函数的麦克劳林展开式, 常常易求岀一些特殊形式的数列极限... 1= lim ——y ： 1 ___ 1 sin 2(sin x) s in 2sin . x .2 2丄1 t sin t= lim lim 2 2 lim -“士一* t0 t -int(0 t^(t2-1t4 o(t4))sin t t 3t 4 -- t 6 o （t 6） 1 -- t 2 o （t 2） = lim 3 lim 33 .3t o （t ）3 o （i ）ii •利用微分中值定理求极限拉格朗日中值定理是微分学重要的基本定理，它利用函数的局部性质来研究函数的整体性质,其应用十分广泛•下面我们来看一下拉格朗日中值定理在求数列极限中的应用. 、 a a 例仃•求：limn 2(arctan arctan ) , (a =0).n二 n n 1解：设f （x ） =arctanx ，在［—a, a］上应用拉格朗日中值定理, n +1 n得：吩…（洽）="吟话），启，故当2知，J 。

考研数学解题必知的方法有哪些考研数学解题必知的方法有哪些考研数学对于很多人来说都特别难，一定要掌握好解题的方法。

下面是为大家准备的考研数学解题必知的方法，欢迎大家前来阅读。

考研数学八大解题方法(一)单选题单选题的解题方法总结一下，也就下面这几种。

1.代入法也就是说将备选的一个答案用具体的数字代入，如果与假设条件或众所周知的事实发生矛盾则予以否定。

2.演算法它适用于题干中给出的条件是解析式子。

3.图形法它适用于题干中给出的函数具有某种特性，例如奇偶性、周期性或者给出的事件是两个事件的情形，用图示法做就显得格外简单。

4.排除法排除了三个，第四个就是正确的答案，这种方法适用于题干中给出的函数是抽象函的情况。

5.反推法所谓逆推法就是假定被选的四个答案中某一个正确，然后做反推，如果得到的结果与题设条件或尽人皆知的正确结果矛盾，则否定这个备选答案。

(二)大题接下来提供给大家几个大题的答题技巧，大家认真领会方法，要做到活学活用。

6.踩点得分对于同一道题目，有的人解决得多，有的人解决得少。

为了区分这种情况，阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分,这种方法我们叫它"踩点给分".鉴于这一情况，考试中对于难度较大的题目采用一定的策略，其基本精神就是会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分。

对于会做的题目，要解决"会而不对，对而不全"这个老大难问题。

有的考生答案虽然对，但中间有逻辑缺陷或概念错误，或缺少关键步骤。

因此，会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，防止被"分段扣点分"。

对于考生会做的题目，阅卷老师则更注意找其中的合理成分，分段给点分，所以"做不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难"。

对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中得点分。

有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略。

其实你要做的是认认真真把你解题的真实过程原原本本写出来，就是最好的得分技巧。

数学考研常见解题技巧总结数学在考研中是一个相对重要的科目，也是让很多考生头疼的科目之一。

为了提高数学成绩，掌握一些常见的解题技巧是非常重要的。

本文将总结一些常见的数学考研解题技巧，帮助考生在备考过程中更好地应对各类题目。

一、代入法代入法是解题中最常见的一种技巧。

当遇到复杂的方程或不等式，我们可以尝试将问题中的变量用某个具体的数值进行代替，转化为一个可以计算的式子。

通过对不同的数值代入，我们可以得到一些结论，从而帮助我们解决问题。

例如，对于一道复杂的方程题，我们可以先尝试将其中一个未知数设定为1，然后通过计算得到另一个未知数的值，再代入原方程进行验证。

这样一来，问题就变得简单了许多。

二、巧用特殊值巧用特殊值也是解题中常见的技巧之一。

在解题过程中，我们可以灵活运用特殊值，通过代入或者取特殊条件，来解决问题。

比如，在解决组合数学中的排列组合问题时，我们可以先尝试把其中一个数设定为0或者1，来计算其他数的取值范围。

在解决数列题时，可以尝试将数列的前几项设定为特殊值，来寻找规律。

三、引入新变量有时候，题目中给出的问题比较复杂，我们可以通过引入新的变量，简化问题的处理和推导过程。

例如，在解决数学分析中的极限问题时，可以通过引入新变量来推导极限的性质，再进行求解。

这样一来，可以使问题更加简化，计算过程也更加清晰。

四、划分求解有些数学问题比较复杂，难以一步到位，此时可以将问题划分为几个小问题逐步求解。

例如，在解决概率问题时，可以将问题划分为多个小部分，分别求解，再结合得到的结果，得出最终答案。

这样一来，既能够简化问题的处理，又可以减小求解难度。

五、几何画图几何画图是解决几何题常用的技巧之一。

通过画图，可以帮助我们更好地理解问题，从而找到解题的突破口。

在解决几何问题时，可以先根据题目条件画出几何图形，然后根据图形的性质进行推导和计算。

通过几何图形的直观表达，我们可以更加清晰地理解问题的本质，从而有针对性地寻找解决办法。

考研数学中的结论题解法及技巧分析对于考研学生来说，数学作为一门必修课程，占据了考试总分的相当比例。

在数学考试中，结论题是一种比较常见的考题形式。

在这篇文章中，我将分享一些考研数学结论题解法及技巧。

一、什么是结论题？结论题是指要求考生确定某一命题是否成立或者在给定条件下证明某一结论的数学题型。

在考研数学中，结论题所涉及的内容包括几何、代数、数论等方面，考查了考生的逻辑思维和推理能力。

常见的结论题类型包括：（1）推论型结论题：根据已有定理或命题推导出新的结论，要求考生根据已有定理或命题推导出新的结论。

（2）判断型结论题：根据题目所给出的条件判断结论的真伪。

（3）证明型结论题：要求考生根据题目所给出的条件，运用所学知识进行证明。

二、结论题解题方法1.举反例法在进行结论型问题时，我们经常遇到的一个问题就是无法证明某个结论是否成立，也就是找不出任何的证据来证明它是正确的。

这时，我们可以采用举反例的方法来求解，主要思路是在结论条件下找某些特殊的值进行试验。

例如，对于一个命题，如果其中给出的条件为a≥b≥c≥d>0，而结论为a^2+b^2+c^2+d^2>2，则此时容易看出这个结论并不成立，因为取a=b=c=1，d=0即可得到反例。

2.分类讨论法在解决结论问题的过程中，一些特殊条件的存在会对题目的解法产生影响。

例如，对于某一结论题，限制条件为abcd=1，我们可以考虑将abcd中的不同大小关系排列组合起来，分为若干种情况进行讨论。

3.化归与约束在有些结论题中，我们可以把题目所给出的结论表示成一个等式、不等式或者某种特殊形式。

例如，某个命题条件为y=x^3+ax^2+bx+c，要证明满足2x^3+3ax^2+3bx+c>0，我们可以把命题条件用因式分解的方法表示成y=(x^2+a/3x)^2+(b- a^2/3)x^2 +c-(a/3)^2 x^2，从而将关注点集中在B^2 - AC上。

4.添项或减项有些结论题中可以再原命题的基础上，添一些项或减去一些项，从而使得证明更加方便。

数学考研常见计算题解法数学考研是很多学子都会面临的一项考试，其中计算题是考试中的一个重要部分。

对于计算题，不少考生感到头疼，因为这类题目的种类繁多，涉及的知识点也比较广泛。

然而，只要我们掌握了一些解题方法和技巧，就能够应对考试中的各种计算题。

一、几何类计算题的解法几何类计算题是考研数学中的常见题型，主要包括计算线段、面积、体积等几何量的题目。

解决这类题目的关键是熟练掌握计算公式和几何推理的方法。

例如，求一个矩形的面积，可以使用公式S=长×宽进行计算；求一个三角形的面积，可以使用公式S=底边×高/2进行计算。

对于更复杂的几何题目，可以应用相似三角形的性质，通过建立等式来解决。

二、概率统计类计算题的解法概率统计类计算题是数学考研中另一常见的题型，主要涉及概率、随机变量、假设检验等知识点。

要解决这类题目，我们需要掌握一些概率统计的基本概念和计算方法。

例如，在计算事件的概率时，可以使用概率的定义公式P(A)=事件A发生的次数/样本空间中可能发生的次数。

在计算随机变量的期望值时，可以使用期望的定义公式E(X)=x1P(X=x1)+x2P(X=x2)+...+xnP(X=xn)。

三、微积分类计算题的解法微积分是数学考研中一个重要的知识点，它与几何、概率统计等知识有着密切的联系。

在解决微积分类计算题时，我们需要灵活运用导数、积分等概念和计算方法。

例如，在求函数的导数时，可以使用导数的定义公式f'(x0)=lim(h→0)[f(x0+h)-f(x0)]/h来进行计算；在求不定积分时，可以运用不定积分的基本公式和性质进行计算。

四、线性代数类计算题的解法线性代数是数学考研中的另一重要知识点，它与矩阵、向量、线性方程组等概念相关。

解决线性代数类计算题需要熟悉各种线性代数运算的定义和计算方法。

例如，在求矩阵的秩时，可以通过列向量或行向量的线性相关性来进行判断；在求线性方程组的解时，可以通过高斯消元法、矩阵的逆等方法进行计算。

一道考研题的三种解法及其启示作者：窦慧来源：《大学教育》2014年第11期［摘要］分别运用泰勒公式、和差化积、凑无穷小,可以给出一道题目的三种解法，旨在帮助学生拓展思维，夯实基础，重视初等数学在研究生入学考试中的地位和作用，从而培养其解决问题的能力，提高数学素质.［关键词］余弦函数泰勒公式凑无穷小和差化积［中图分类号］O17［文献标识码］A［文章编号］2095-3437（2014）11-0091-02等价在极限理论中举足轻重,经常会有各种类型的关于等价的题目.其中根据等价关系求解参数就是一种典型出题方式,解题关键还是利用等价的定义求解极限.2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二、数学三中的第15题就是这一类题目.但是在批阅试卷的过程中,发现该题得分率极低,究其原因是对其中的三角函数之积处理不当.为此给出三种解法,以供参考.一、考研题及其三种解法2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二、数学三中的第15题［1］:已知x→0时，1-cosx·cos2x·cos3x与axn等价，求a，n.解法1（利用余弦函数的泰勒展开式证明）x→0时，1-cosx·cos2x·cos3x与axn等价，即■■=1.应用泰勒公式，有cosx=1-■x2+■x4+?紫（x5）=1-■x2+■x4+?紫（x5），cos2x=1-■（2x）2+■（2x）4+?紫（x5）=1-2x2+■x4+?紫（x5），cos3x=1-■（3x）2+■（3x）4+?紫（x5）=1-■x2+■x4+?紫（x5），cosx·cos2x·cos3x=［1-■x2+■x4+?紫（x5）］·［1-2x2+■x4+?紫（x5）］·［1-■x2+■x4+?紫（x5）］，=1-7x2+?紫（x5）.因此1-cosx·cos2x·cos3x=7x2+0（x5）,所以可得a=7，n=2.解法2（利用凑无穷小的方法证明）1-cosx·cos2x·cos3x＝1-cosx+cosx-cosx·cos2x+cosx·cos2x-cosx·cos2x·cos3x =（1-cosx）+cosx（1-cos2x）+cosx·cos2x（1-cos3x）,所以■■＝■■=■■+■■+■cosxcos2x■=■■+■■+■■=■■=1.因此a=7，n=2.解法3（利用初等数学中的积化和差证明）由三角函数的积化和差公式cosα·cosβ=■［cos（α-β）+cos（α+β）］，得cosx·cos2x·cos3x=■（cosx+cos3x）cos3x=■（cosx·cos3x+cos23x）=■（■（cos2x+cos4x）+■（1+cos6x））=■（1+（cos2x+cos4x+cos6x））.所以1-cosx·cos2x·cos3x=1-■（1+cos2x+cos4x+cos6x）=■［（1-cos2x）+（1+cos4x）+（1-cos6x）］.故■■＝■■■+■■■+■■■＝■■+■■+■■=■■=1.所以a=7，n=2.二、三种解法的启示（一）解法1的启示解法1直接利用余弦函数的泰勒展开式，解题过程简洁明了,只要熟练掌握余弦函数的泰勒展开式cosx=1-■x2+■x4+?紫（x5）=1-■x2+■x4+?紫（x5），cos2x=1-■（2x2）+■（2x）4+?紫（x5）=1-2x2+■x4+?紫（x5），cos3x=1-■（3x）2+■（3x）x4+?紫（x5）=1-■x2+■x4+?紫（x5），则该题的难度系数就大大降低.但是我们发现在高等数学中泰勒公式的教学效果并不好.据调查因为泰勒公式是教学中的难点，公式较大，阶数较高，在教学过程中许多教师尽量简化泰勒公式的教学，或者是仅仅侧重于公式的形成过程，不强调公式的用途；学生在处理题目时也尽量避开泰勒公式.这种教学方法的结果就是对泰勒公式不熟悉，仅仅知道有该公式，但不知道公式是怎样的，也不知道怎么运用泰勒公式。

考研数学中的常见解题方法总结数学作为考研的科目之一，在考试中占据着重要的地位。

为了能够成功地应对数学考试，我们需要掌握一些常见的解题方法。

本文将对考研数学中常见的解题方法进行总结，并为各种方法提供适用的例子，帮助大家更好地理解和应用。

一、代数方程解法代数方程是数学中常见的解题形式，常见的代数方程包括一元一次方程、二次方程、三次方程等。

解代数方程的关键是将复杂的方程转化为简单的形式进行求解。

以下是一些常见的代数方程解题方法：1. 一元一次方程的解法一元一次方程是最简单的方程形式，通常以“x”为变量。

解一元一次方程的方法包括等式法、代入法和消元法等。

例如，给定方程2x+3=7，我们可以通过等式法将方程转化为2x=4，然后求得x=2。

2. 二次方程的解法对于二次方程，可以通过因式分解法、配方法、求根公式等多种方法进行求解。

例如，给定方程x^2+2x+1=0，我们可以通过配方法将方程转换为(x+1)^2=0，然后求得x=-1。

二、几何解题方法几何解题方法常见于考研数学的立体几何和平面几何部分。

以下是几何解题的常见方法：1. 三角形的解法在解决三角形问题时，我们可以运用三角形的性质和定理，如勾股定理、正弦定理、余弦定理等。

例如，给定一个直角三角形，已知一个锐角的正弦值为1/2，我们可以通过正弦定理求得另外两个角的值，进而求得其他相关物理量。

2. 相似三角形与比例的运用在解决相似三角形问题时，我们可以利用相似三角形的性质，如相似三角形的对应边成比例、相似三角形的对应角相等等。

例如，给定两个相似三角形，已知一个三角形的底边为3cm，另一个三角形的底边为6cm，我们可以利用比例关系求得其他边的长度。

三、微积分解题方法微积分是数学中的重要分支，考研数学中也常涉及微积分的解题。

以下是微积分解题中常见的方法：1. 极限的运用在解决极限问题时，我们主要运用极限的定义、极限的四则运算法则、极限的夹逼定理等。

例如，求函数f(x)=x^2的极限，我们可以通过应用极限的四则运算法则，求得f(x)的极限为0。

考研数学中的常见解题思路与方法考研数学是考生们备考过程中最为重要的一门科目，往往也是最具挑战性的一门科目。

在考研数学中，除了要掌握基本的概念和定义外，还需要熟练掌握一些解题思路与方法。

本文将介绍一些考研数学中常见的解题思路与方法，以帮助考生们更好地备考。

一、推理求解法推理求解法是考研数学中最常见的一种解题思路。

该方法主要基于逻辑推理和数学推理来解题。

在使用这种方法时，考生首先要仔细阅读题目，将问题转化为数学语言，并排除干扰项。

然后，根据题目中给出的已知条件，通过逻辑推理或数学推理找出解题的关键步骤，最后得到答案。

例如，对于一个典型的推理求解问题，假设有一道关于概率的题目，题目是：“某班有6个男生和4个女生，从中随机抽取2个学生，求抽到的两个学生一个是男生，一个是女生的概率。

”解决这个问题的关键是要理解题目给出的条件，即班里有6个男生和4个女生，并且要抽取2个学生。

根据题目条件，我们可以采用排列组合的方法求解，即从10个学生中抽取1个男生和1个女生，然后计算这种情况出现的概率。

二、反证法反证法是另一种常见的解题思路与方法。

在使用这种方法时，考生假设问题的结论不成立，然后通过推理得出矛盾，从而证明问题的结论是正确的。

反证法常用于一些证明问题和一些不等式证明中。

例如，对于一个典型的反证法问题，假设有一道关于函数的题目，题目是：“证明函数f(x)=x^2在区间[0,1]上是递增的。

”要证明这个结论，我们可以采用反证法，首先假设f(x)在区间[0,1]上是递减的，然后通过推理得出矛盾，即找到一个具体的实例，该实例使得假设不成立，从而证明了f(x)在区间[0,1]上是递增的。

三、枚举法枚举法是解决一些特殊问题的常见方法。

它通常用于数学计数和组合问题中，通过穷举所有可能的情况，找到满足条件的解。

例如，对于一个典型的枚举法问题，假设有一道关于排列组合的题目，题目是：“从1、2、3、4、5五个数字中，取出3个数字，有多少种取法？”要解决这个问题，可以使用枚举法，穷举所有可能的取法，然后计数满足条件的解。

考研数学解答证明题的思路与方法一、引言在考研数学中，解答证明题是一项重要的任务。

要正确解答证明题，需要具备一定的思路和方法。

本文将介绍考研数学解答证明题的常用思路和方法，帮助考生提高解题的能力。

二、归纳法归纳法是解答证明题常用的一种方法。

其基本思路是通过证明结论在某个特殊情况成立的前提下，在下一个更一般的情况中同样成立。

归纳法可以分为数学归纳法和强归纳法两种。

1. 数学归纳法数学归纳法通常适用于证明一些递推关系或与正整数相关的结论。

其基本步骤包括：首先证明当n=1时结论成立；然后假设当n=k时结论成立，利用这个假设证明当n=k+1时结论也成立。

通过这种方法可以推广到所有的正整数n。

2. 强归纳法与数学归纳法类似，强归纳法也通过已知结论在某一情况下成立的前提下，推广到更一般的情况中。

不同之处在于强归纳法在假设某个情况成立时，同时假设之前的情况也成立。

通过这种方法可以解决一些复杂的证明问题。

三、反证法反证法是另一种常用的证明方法。

其基本思路是假设结论不成立，然后推导出与已知的事实相矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。

反证法常用于证明一些唯一性问题，或证明某个命题的否定推出矛盾。

四、递推法递推法是解答证明题的又一重要方法。

其基本思路是利用已知条件和递推公式，从已知情况出发，通过递推关系逐步推导出目标结论。

五、条件必要性与充分性在解答某些证明题时，需要分别证明条件的必要性和充分性。

必要性是指如果某个条件成立，则结论必然成立；充分性是指如果结论成立，则条件必然成立。

通过证明必要性和充分性可以确保得到正确的结论。

六、举反例有时候，在解答证明题时，可以通过举反例来证明某个命题是错误的。

只要找到一个例子使得命题不成立，就可以推断该命题是错误的。

七、总结考研数学解答证明题需要掌握一定的思路和方法。

本文介绍了几种常用的解题方法，包括归纳法、反证法、递推法、条件必要性与充分性以及举反例法。

掌握这些方法，将有助于考生在考试中解答证明题时更加得心应手。

考研数学解答题解答思路与方法考研数学解答题是考核考生解题能力和逻辑思维能力的重要部分。

在解答题过程中，正确的思路和方法是取得高分的关键。

本文将从几个常见的数学解答题类型入手，为考生提供解答思路和方法的指导。

一、函数极限题函数极限题是数学考研中常见且重要的题型。

在解答这类题目时，首先要明确题目要求求取的极限值，并根据题目给出的条件进行分析。

常见的函数极限题可分为两种情况来讨论：无穷远点极限和有界点极限。

对于无穷远点极限，一般可以利用函数的等价无穷小、夹逼定理或泰勒展开等方法进行求解。

需要注意的是，在使用等价无穷小和泰勒展开时，要理解其在数学推导过程中的合理性和适用范围。

对于有界点极限，可以考虑使用极限的四则运算法则、洛必达法则或变量代换等方法进行求解。

在使用洛必达法则时，要注意判断0/0型和∞/∞型的情况，避免误用。

二、微分方程题微分方程题在数学考研中也是一个常见的题型。

在解答微分方程题时，需要根据题目给出的微分方程形式，明确所求解函数的特点，并选择合适的方法进行求解。

常见的微分方程题可分为：一阶齐次线性微分方程、一阶非齐次线性微分方程和高阶微分方程。

对于一阶齐次线性微分方程，可以使用变量分离、恰当微分或一阶线性微分方程的求解公式等方法进行求解。

对于一阶非齐次线性微分方程，可以使用常数变易法、二次恒等变换或待定系数法等方法求解。

对于高阶微分方程，可以考虑使用特征根法、常数变易法或待定系数法等方法求解。

在解答微分方程题时，需要注意运用积分法、初值条件等辅助条件，确保求解得到的函数满足题目要求。

三、多元函数极值题多元函数极值题是考研数学中的重点和难点之一。

在解答这类题目时，需要找到合适的解题思路和方法。

对于一元函数的极值问题，常见的方法有使用导数法或利用函数图像法。

在使用导数法时，需要找到函数取得极值的条件，并求出导数为0的点，然后分析这些点的极值情况。

在利用函数图像法时，可以通过观察函数的单调性、凹凸性等性质推断出极值点的位置。

2019年考研数学二第21题多种解法一、题目给定函数f(x) = 1/(3x + 2)，计算f[f[f(x)]] / f[f(f(x))] 在(0,1) 区间的值。

二、多种解法1. 代数法首先，我们可以通过代入法来求解该问题。

首先，将f(x) = 1/(3x + 2) 代入，得到f[f(x)] 和f[f[f(x)]] 的表达式。

然后，再代入f(f(x))，就可以求得f[f[f(f(x))]] 和f[f(f(x))] 的表达式。

最后，通过简单的代数运算即可得到结果。

2. 几何法另外一种方法是通过几何意义来理解这个问题。

我们可以将函数f(x) 的图像在坐标系中表示出来，然后通过观察图像来求解问题。

这种方法可以更加直观地理解问题的本质，但是计算过程可能会比较复杂。

3. 微积分法我们也可以利用微积分的知识来求解这个问题。

首先，我们需要找到函数f(x) 的导数，然后利用导数求解原函数在指定区间内的值。

最后，将所求得的函数值代入到目标表达式中即可。

4. 线性代数法我们可以利用线性代数的方法来解决这个问题。

首先，我们将函数f(x) 表示为矩阵的形式，然后利用矩阵的运算规则来求解目标表达式的值。

这种方法需要我们熟悉矩阵的运算规则，但是对于某些问题可能会更加简便。

5. 数学归纳法我们还可以利用数学归纳法来解决这个问题。

首先，我们需要找到函数f(x) 的递推关系式，然后通过归纳法求解目标表达式的值。

这种方法需要我们熟悉数学归纳法的应用，但是对于某些问题可能会更加简洁明了。

6. 函数性质法利用函数性质进行求解也是一种常见的方法。

对于给定的函数f(x) = 1/(3x + 2)，我们可以分析其单调性、奇偶性等性质，然后结合这些性质进行求解。

这种方法需要我们熟悉函数的性质及其应用。

7. 不等式法利用不等式性质也是求解此类问题的一种方法。

我们可以根据函数的值域、单调性等性质，推导出一些不等式，然后利用这些不等式进行求解。

这种方法需要我们熟悉不等式的性质及其应用。

考研数学线性代数题解题技巧与方法线性代数是考研数学中的一门重要课程，也是许多考生感到头疼的科目。

在考研数学线性代数题中，解题技巧和方法是至关重要的。

本文将探讨几种在解线性代数题目时常用的技巧和方法，希望能对考生们有所帮助。

一、方程组求解1. 列主元消去法：列主元消去法是求解线性方程组的一种常用方法。

它的基本思想是通过一系列的行变换，将方程组化为“简化行梯阵”，然后逆序回代求解未知数。

在进行列主元消去法时，可以采用高斯-约当消去法或高斯-塞尔曼消去法。

2. 矩阵求逆法：求解线性方程组可以借助矩阵求逆。

当方程组可用矩阵表示时，我们可以通过求解矩阵的逆矩阵来求解方程组。

矩阵求逆法可以使用伴随矩阵法、初等变换法或分区法等方法求解。

二、特征值和特征向量1. 特征方程法：求解特征值和特征向量可以通过解特征方程来实现。

根据定义，特征值和特征向量满足方程AX = λX，其中 A 是给定的 n阶方阵，X 是 n 维非零向量，λ 是标量。

我们可以通过解特征方程det(A-λI) = 0 来获得特征值λ，然后代入方程组进行求解得到特征向量X。

2. 相似对角化法：相似对角化是一种常用的特征值和特征向量求解方法。

根据特征分解定理，对于 n 阶矩阵 A，若存在可逆矩阵 P，使得P⁻¹AP = D，其中 D 是对角矩阵，那么 D 的对角线上的元素就是 A 的特征值，P 的列向量就是 A 的特征向量。

三、向量空间1. 基与维数：向量空间是线性代数的重要概念之一。

对于给定的向量空间 V，若存在 V 的一个向量组 v₁, v₂, ..., vₙ，满足：(1) 向量组中的向量线性无关；(2) 向量空间 V 中的任意向量都可以由该向量组线性表示；那么这个向量组就是 V 的一组基。

而向量空间 V 的维数就是它的基的向量个数。

2. 基变换与坐标表示：在向量空间中，基的选择对于向量的表示是至关重要的。

不同的基会导致不同的坐标表示。

考研数学题型解析与解题思路数学作为考研的科目之一，对于很多考生来说是一个难点。

在考研数学中，常见的题型包括选择题、填空题、计算题以及证明题等，每个题型都有其特定的解题思路和解题方法。

本文将对常见的考研数学题型进行解析，并介绍解题思路，帮助考生更好地应对数学考试。

一、选择题选择题是考研数学中最常见的题型之一。

在解答选择题时，考生需要仔细阅读题目，理解题意，并选择正确的答案。

选择题的解题思路主要有以下几种：1. 列举法：将每个选项分别代入，计算得结果，选出符合条件的选项。

2. 排除法：通过排除不符合条件的选项，找出符合题目要求的选项。

3. 分类讨论法：根据题目条件的不同，将问题进行分类讨论，逐一排除不符合条件的选项。

二、填空题填空题是另一种常见的题型，在解答填空题时，考生需要根据题目的要求，将空缺处填入正确的数值或表达式。

解答填空题的思路主要有以下几种：1. 代数法：利用代数运算的性质，将题目中的条件表示为方程或不等式，并求解得出空缺处的数值。

2. 几何法：通过绘制图形，利用几何性质，推导出空缺处的数值或表达式。

3. 推理法：根据题目给出的条件，进行逻辑推理，得出空缺处的数值。

三、计算题计算题是要求考生进行具体数值计算的题目，在解答计算题时，考生需要灵活运用所学的数学知识，运算符号和计算方法。

解答计算题的思路主要有以下几种：1. 分步计算法：将计算题按照不同的步骤进行分解，每一步计算一部分，最后合并计算结果。

2. 特殊性质法：根据计算题的特殊性质，运用相应的数学定理或性质，简化计算步骤。

3. 近似计算法：对于复杂的计算题，可以运用近似计算的方法进行估计和简化。

四、证明题证明题是考研数学中较为难的一类题目。

在解答证明题时，考生需要通过推理和论证，证明给出的命题或结论。

解答证明题的思路主要有以下几种：1. 直接证明法：按照题目要求，逐步推理，从已知条件出发，通过演绎推理证明所需的结论。

2. 反证法：假设所需证明的结论不成立，通过与已知条件矛盾的推理，推出矛盾结论，证明原命题成立。

考研数学的常见解题方法考研数学是众多考研学子必须攻克的难关之一。

它不仅要求考生具备扎实的基础知识，还需要掌握有效的解题方法，才能在考试中取得优异的成绩。

下面将为大家介绍一些考研数学中常见的解题方法。

一、直接法直接法是最基本也是最常用的解题方法。

在面对一些简单的问题时，直接利用已知条件和所学的定理、公式进行计算和推导，从而得出答案。

例如，对于求函数的极限问题，如果函数的表达式比较简单，可以直接将极限值代入函数中进行计算。

再比如，求定积分时，如果被积函数的原函数容易求出，就可以直接使用牛顿莱布尼茨公式进行计算。

二、反证法反证法是一种间接的证明方法。

当正面证明某个命题比较困难时，可以先假设该命题不成立，然后通过推理得出矛盾，从而证明原命题成立。

例如，在证明某个数是无理数时，往往采用反证法。

假设这个数是有理数，然后根据有理数的定义和性质进行推导，最终得出矛盾。

三、数学归纳法数学归纳法通常用于证明与自然数有关的命题。

它的基本步骤是：首先证明当 n 等于某个初始值（通常是 1 或 0）时命题成立，然后假设当 n 等于 k 时命题成立，证明当 n 等于 k ＋ 1 时命题也成立。

比如，证明一个数列的通项公式，就可以使用数学归纳法。

先验证初始值，再假设通项公式对 n ＝ k 成立，推出对 n ＝ k ＋ 1 也成立。

四、换元法换元法是将一个复杂的式子通过换元转化为一个较为简单的式子，从而便于求解。

常见的换元有三角换元、根式换元等。

例如，在求积分时，如果被积函数中含有根式，可以通过换元将根式去掉，使积分变得容易计算。

五、配方法配方法是将一个式子通过配方转化为一个完全平方式或其他易于处理的形式。

在求解二次方程、二次函数的最值等问题时经常用到。

比如，对于二次函数 y ＝ ax²＋ bx ＋ c，可以通过配方将其化为 y ＝ a(x ＋ h)²＋k 的形式，从而求出函数的对称轴和最值。

六、构造法构造法是根据题目条件和结论的特点，构造出一个新的数学模型或函数，从而使问题得到解决。

考研数学解析难题的思路随着考研数学科目的日益重要，解析难题也成为了许多考生的头疼问题。

在面对一道复杂的解析题时，我们需要运用一定的思路和方法来帮助我们更好地理解和解决问题。

本文将介绍一些解析难题的思路，帮助考生在考研数学中取得更好的成绩。

一、递进分析法递进分析法是解析难题中常用的一种思路。

它通过逐步推导和分析问题，将复杂的问题拆解为一步步简单的子问题，并逐个解决。

这一方法需要考生具备良好的逻辑思维和分析能力，能够清晰地把握解题思路。

例如，当遇到一道涉及多个变量和复杂运算的多元函数求导题时，我们可以首先对每一个变量进行单独求导，然后逐步将结果进行整合，最终得到整体的导数表达式。

这种递进分析法可以有效地降低解析难题的难度，使问题变得更加易于理解和解决。

二、归纳总结法归纳总结法是一种通过观察现象和数据，找出规律并进行总结的思路。

在解析难题中，考生可以通过观察题目中的规律和特点，找出数学模型或者逻辑关系，并进行归纳总结，从而解决问题。

例如，当遇到一道需要求解概率或者排列组合问题的题目时，我们可以通过列举一些特殊情况，观察其规律，并归纳总结出一般性的结论。

这种归纳总结法可以帮助考生在解析难题中更好地理解题目，并找到解决问题的有效方法。

三、图像分析法图像分析法是一种通过绘制图像来分析和解决问题的方法。

在解析难题中，通过绘制题目所描述的图像，我们可以更直观地理解问题，并找出解决问题的关键。

例如，当遇到一道涉及函数的连续性或者极值问题时，我们可以通过绘制函数图像，找出函数的极值点和趋势，从而解决问题。

图像分析法可以帮助考生更好地理解题目要求，并找到解决问题的路径。

四、辅助工具法辅助工具法是一种通过利用数学工具和方法来辅助解析问题的思路。

在解析难题中，我们可以运用概率、微积分、矩阵等数学工具来辅助分析和解决问题。

例如，在解决某些复杂的最优化问题时，我们可以利用微积分的极值定理和条件极值的方法，来确定最优解。

辅助工具法可以帮助考生更好地利用所学的数学知识，解决解析难题。

考研数学教育备考初等数学题的解题技巧备考考研数学教育专业，初等数学部分是必考内容之一。

掌握一些解题技巧可以帮助考生更高效地解答初等数学题目。

本文将为大家介绍几种常见的解题技巧，希望对考研数学教育备考有所帮助。

一、代入法代入法是解答初等数学题目中常用的一种解题技巧。

在解题过程中，我们可以先将问题中的变量设为某个具体的值，然后代入到等式或者不等式中进行计算，最后得出结果。

这种方法通常适用于一元方程、一次不等式等题型。

例如，假设需要解答以下方程：2x + 3 = 7我们可以选择将变量 x 设为 2，然后代入到方程中进行计算。

代入后的等式为：2 × 2 +3 = 74 + 3 = 77 = 7通过代入法，我们得出 x = 2 这个方程的解。

二、化简法化简法是解答初等数学题目中常用的另一种解题技巧。

在解题过程中，我们可以通过将复杂的表达式进行化简，将其转化为简单的形式，从而更容易解答问题。

例如，假设需要解答以下方程：3(x + 2) - 4(x - 1) = 5我们可以通过化简法将方程转化为简单的形式。

按照分配律计算出括号中的项，化简后的方程为：3x + 6 - 4x + 4 = 5-x + 10 = 5通过化简法，我们将问题简化为求解一个一元一次方程。

三、利用图像法图像法是解答初等数学题目中常用的一种解题技巧。

在解题过程中，我们可以通过绘制图像来辅助解答题目。

这种方法通常适用于几何题或者图形题。

例如，假设需要解答一个几何题，如求两直线的夹角。

我们可以通过绘制两条直线的图像，利用几何知识求解两直线的夹角。

四、套用公式法套用公式法是解答初等数学题目中常用的一种解题技巧。

在解答题目过程中，我们可以根据问题的特点，套用相应的公式或者定理进行求解。

例如，假设需要解答一个面积求解题目。

我们可以根据题目的形状和已知条件，套用面积公式进行计算。

总结：在备考考研数学教育专业的初等数学部分时，解题技巧的掌握尤为重要。

内蒙古自治区考研数学复习资料解题常用方法总结随着考研的逐渐临近，很多考生开始整理复习资料并查找解题方法。

对于考研数学这一科目来说，掌握一些常用的解题方法至关重要。

本文将对内蒙古自治区考研数学复习资料解题常用方法进行总结。

一、函数与极限在考研数学中，函数与极限是一个重要的知识点。

准确掌握这一内容，对于解题会有很大的帮助。

其中，常见的解题方法有：1. 利用极限的性质，如夹逼定理、无穷小的比较等来求解极限；2. 应用洛必达法则，将极限转化为导数之比的形式求解；3. 利用泰勒展开式，将函数转化为无穷级数的形式进行求解。

二、导数与微分导数与微分是数学中的重要概念，也是数学考研中常见的题型。

在解题时，常用的方法包括：1. 利用定义，求解函数的导数；2. 利用求导法则，如和法、积法、商法等，对复杂函数进行求导；3. 应用微分的概念，求解函数的微分；4. 利用高阶导数，求解高阶导数的常用方法。

三、积分与定积分积分与定积分是考研数学中重要的知识点，也是解题的常用方法之一。

常见的解题方法有：1. 利用积分的基本性质，如线性性、换元积分法等，对复杂函数进行求解；2. 利用定积分的定义，将函数转化为面积或曲线长度进行求解；3. 应用定积分的几何意义，求解曲线下的面积或曲线的弧长。

四、常微分方程常微分方程是考研数学中的重要内容，解题方法也有一定的特点。

常见的解题方法包括：1. 利用分离变量法，将常微分方程转化为可分离变量的形式进行求解；2. 利用齐次方程，通过变量替换将常微分方程转化为可求解的形式；3. 应用一阶线性常微分方程的解法，通过求解齐次方程的特解和常数变易法，求解非齐次方程。

综上所述，内蒙古自治区考研数学复习资料的解题常用方法主要包括函数与极限、导数与微分、积分与定积分以及常微分方程等。

通过灵活运用这些解题方法，考生可以更好地应对考研数学中的各种题型。

希望本文的总结能够为考生的复习提供一定的帮助，助其在考试中取得好成绩。

2021年考研数学二的第20题
2021年考研数学二的第20题是一道关于矩阵和向量的问题，题目要求求一个向量α使得Aα=b，其中A是已知矩阵，b是已知向量。

解法一：直接求解法
1.写出方程组：Aα=b。

2.使用高斯消元法或者迭代法求解该方程组，得到向量α的各个分量。

解法二：利用特征值和特征向量
1.计算矩阵A的特征值和特征向量。

2.如果A有唯一的一个特征值λ，并且对应的特征向量是α，那么Aα=b 可以通过λ和α求解。

3.如果A有多个特征值，则需要找到一个特征值λ和对应的特征向量α使得Aα≈b。

解法三：利用QR分解
1.对矩阵A进行QR分解，得到QA=R。

2.令α=Q^Tb，即α是b在A的左特征向量构成的矩阵Q的转置列向量。

3.验证Aα=b是否成立。

解法四：利用奇异值分解（SVD）
1.对矩阵A进行奇异值分解，得到A=UΣV^T。

2.令α=VΣ^Tb，即α是b在A的右特征向量构成的矩阵V的列向量。

3.验证Aα=b是否成立。

考研数学常见解题方法快速解决难题考研数学是许多考生的难点，难题常常让人望而却步。

然而，只要我们掌握了一些常见的解题方法，就能够快速解决难题。

本文将介绍几种常见的解题方法，帮助考生在考研数学中取得好成绩。

1. 列式解法列式解法是解决代数题的常见方法。

当我们遇到一道与代数相关的题目时，可以将问题抽象成一个等式或者一个方程组，然后运用代数知识进行求解。

通过列式解法，我们可以将复杂的问题转化为数学表达式，从而更好地理解和解决。

2. 图形解法图形解法在几何和图论等领域中经常使用。

当我们遇到一道与几何图形相关的题目时，可以通过绘图的方式来解决。

通过将题目中的条件和要求用几何图形表示出来，我们可以更直观地理解问题，并找到解决问题的关键点。

3. 分类讨论法分类讨论法适用于一些复杂的问题，当我们难以一步到位时，可以通过将问题进行分类讨论来解决。

将问题分成几种情况，并对每种情况进行具体分析和求解，最后综合所有情况的结果，就可以解决原始问题。

4. 逆向思维法逆向思维法常用于一些较难的逻辑题和数论题中。

当我们难以从正向思维解决问题时，可以尝试从反面思考。

即通过排除法，找到问题的反例或者矛盾点，然后根据反例或矛盾点来推理出答案。

5. 假设法假设法是解决一些证明题的有效方法。

当我们需要证明一个命题或者定理时，可以假设这个命题或者定理不成立，然后通过推理和论证来得出矛盾。

如果得出矛盾，则原命题成立；如果没有得出矛盾，则需要重新假设或者改变方法。

总结：以上介绍了几种常见的解题方法，这些解题方法在考研数学中经常出现，掌握了这些方法，可以帮助考生更好地解决一些难题。

同时，在备考过程中，进行大量的练习和题目分析也是非常重要的。

通过不断的练习，不断总结解题方法和技巧，相信每个考生都能够快速解决数学难题，取得优异的成绩。

希望以上的解题方法能对考生们在考研数学中解决难题有所帮助！祝愿各位考生取得理想的成绩！。

一道考研数学试题的多种解法崔静静;赵思林【摘要】发散思维是创新思维的最主要特点,一题多解能够培养学生的发散思维能力.利用凑微分法、分部积分法、换元法等给出了2018年全国硕士研究生入学考试一道数学试题的6种解法.以此引导学生深入地探索问题,培养学生的创造性思维能力.【期刊名称】《西昌学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(032)004【总页数】3页(P54-56)【关键词】考研试题;一题多解;换元法;不定积分【作者】崔静静;赵思林【作者单位】内江师范学院数学与信息科学学院 641112;内江师范学院数学与信息科学学院 641112【正文语种】中文【中图分类】O172.2发散思维是创造性思维的最主要的特点，是测定创造力的主要标志之一。

一题多解能够培养学生的发散思维能力，引导学生深入地探索问题，培养学生灵活多变处理问题的能力[1]。

本文介绍2018年全国硕士研究生入学考试一道数学试题的6种解法，作为一题多解的一个实例，仅供参考。

原题如下：例（2018年数学一，二第15题）求不定积分。

方法1 （教育部考试中心参考答案）评析：方法1属于常规方法，可用凑微分法（第一类换元积分法），将原式变为，然后考虑用分部积分。

用观察法可得，从而将裂项，变为是考查考生的一个分水岭，此处看似简单，对学生的思维要求极高。

方法2评析：方法2与方法1一脉相承。

可将原式化为，再次使用分部积分法。

相比方法1，更多考生选择后者。

方法3令t=ex-1，则x=ln(t+1)，所以所以原式由t=ex-1，则上式方法4方法5方法6将t=ex代入此式，评析：相比方法1和方法2，方法3至方法6均用换元法，把原式变为熟悉的形式，将复杂的计算和推证简化。

以上解法表明：凑微分法是求不定积分最简单的方法之一[2]。

在解积分题目时，应注意一题多解，用多种方法解同一道题通常比盲目的做几道题的效果好。

选择一道好的例题，通过一题多解，一题多讲，可以巩固学生的知识，训练其思维，开拓其视野[3]。