中考专题复习等腰三角形. 共32页

中考数学专题复习：等腰三角形一、选择题1. 若等腰三角形的顶角为50°，则它的底角度数为( )A .40°B .50°C .60°D .65° 2. 如图，在ABC ∆中，AB AC =，40A ∠=︒，//CD AB ，则BCD ∠=（ ）A.40°B.50°C.60°.D.70°3. 一个等腰三角形两边的长分别为75和18，则这个三角形的周长为()A ．10 3＋3 2B ．5 3＋6 2C ．10 3＋3 2或5 3＋6 2D ．无法确定4. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝65°，点D 是BC 边上任意一点，过点D 作DF ∥AB 交AC 于点E ，则∠FEC 的度数是（ ）A ．120°B ．130°C ．145°D ．150°5. 如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为（ ）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒6. 如图，已知△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，∠BAC =∠DAE =90°，BD ，CE 交于点F ，连接AF ．下列结论：①BD =CE ；②BF ⊥CF ；③AF 平分∠CAD ；④∠AFE =45°．其中正确结论的个数有（ ）A ．1B ．2个C ．3个D ．4个CE F7. △ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是( )A. 120°B. 125°C. 135°D. 150°8. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝12，E 为AC 边的中点，线段BE 的垂直平分线交边BC 于点D .设BD ＝x ，tan ∠ACB ＝y ，则()A. x －y 2＝3B. 2x －y 2＝9C. 3x －y 2＝15D. 4x －y 2＝21二、填空题9. 若等腰三角形的顶角为120°，腰长为2 cm ，则它的底边长为________ cm . 10. 如图，AD 是△ABC 的边BC 上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是________．(把所有正确答案的序号都填写在横线上) ①∠BAD ＝∠ACD ②∠BAD ＝∠CAD③ AB ＋BD ＝AC ＋CD ④ AB －BD ＝AC －CD11. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，E 为AB 的中点．若BC ＝12，AD ＝8，则DE 的长为________．ECB A12. 如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线分别交BC 、AB 于点E 、F ．若△AFC 是等边三角形，则∠B ＝________°． ABC DE F13. 如图，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，MN过点O且MN∥BC，设AB＝12，AC＝18，则△AMN的周长为________．14. 如图，△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE 的延长线于点D，BD＝8，AC＝11，则边BC的长为________．15. 如图，在直角坐标系中，点A(1，1)，B(3，3)是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1，且CA＝CB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为__________．16. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M 是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为________．MD CBA三、解答题17. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D.(1)若∠C=42°，求∠BAD的度数;ODABCxy(2)若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F.求证:AE=FE.18. 如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD=CE.求证:(1)点D在BE的垂直平分线上;(2)∠BEC=3∠ABE.19. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD，连接AC交DE于点M.(1)求证：AD＝BE；(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线；(3)△DBC是等腰三角形吗？说明理由．20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝60°，延长BA至点D，延长CB至点E，使BE＝AD，连接CD，AE，延长EA交CD于点G.(1)求证：△ACE≌△CBD；(2)求∠CGE的度数．21. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5 cm，BC＝6 cm，AD是BC边上的高．点P 由C出发沿CA方向匀速运动．速度为1 cm/s.同时，直线EF由BC出发沿DA 方向匀速运动，速度为1 cm/s，EF//BC，并且EF分别交AB、AD、AC于点E，Q，F，连接PQ.若设运动时间为t(s)(0＜t＜4)，解答下列问题：(1)当t为何值时，四边形BDFE是平行四边形？(2)设四边形QDCP的面积为y(cm2)，求出y与t之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使点Q在线段AP的垂直平分线上？若存在，求出此时点F到直线PQ的距离h；若不存在，请说明理由．参考答案1. 【答案】D2. 【答案】D【解析】 根据三角形内角和定理和等腰三角形的等边对等角且AB AC =，40A ∠=，可得：70ABC ACB ∠=∠=；然后根据两直线平行内错角相等且//CD AB 可得：70BCD ABC ∠=∠=，所以选D ．3. 【答案】[解析] A 因为75＝5 3，18＝3 2.当5 3为腰长时，三角形的周长为10 3＋3 2；当5 3为底边长时，因为3 2＋3 2＝6 2＝72，72<75，所以不能构成三角形，故三角形的周长为10 3＋3 2.4. 【答案】B【解析】可利用三角形的外角性质求∠ FEC 的度数，结合等腰三角形与平行线的性质，可得∠ EDC 、∠B 均与∠C 相等．即：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ＝65°．∵DF ∥AB ，∴∠ EDC ＝∠B ＝65°．∴∠FEC ＝∠EDC ＋∠C ＝65°＋65°＝130°．5. 【答案】C【解析】由作法得CG AB ⊥，∵AB AC =，∴CG 平分ACB ∠，A B ∠=∠， ∵1804040100ACB ∠=︒-︒-︒=︒，∴1502BCG ACB ∠=∠=︒．故选C ． 6. 【答案】C【解析】∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∴AB=AC ，AD=AE ，∵∠BAD=90°+∠CAD ，∠CAE=90°+∠CAD ，∴∠BAD=∠CAE ，在△AEC 与△ADB 中， AB AC BAD CAE AD AE =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△AEC ≌△ADB(SAS)，∴BD=CE ，故①正确；∴∠ADB=∠AEC ，∵∠DEF+∠AEC+∠EDA=90°，∴∠DEF+∠ADB+∠EDA=90°∴∠DEF+∠EDF=90∘，∴BD ⊥CE ，故②正确；∵作AN ⊥CE ，AM ⊥BD∵△AEC ≌△ADB(SAS)，∴AM=AN，∵AF是∠BFE的角平分线，∠BFE=90°，∴∠AFE=45°，故④正确，故③正确；因为QF≠PF，故③错误。

等腰三角形【命题趋势】在中考中.等腰三角形常以选择题和填空题的形式考查；也经常在解答题中结合二次函数考查；等边三角形常以选择题、填空题和解答题考查.经常与圆综合题作为考查。

【中考考查重点】一、等腰三角形二、等边三角形考点一：等腰三角形的性质与判定1．（2021秋•绥棱县期末）有两边相等的三角形的两边长为4cm.5cm.则它的周长为（）A．8cm B．14cm C．13cm D．14cm或13cm 【答案】D【解答】解：当相等的两边是4cm时.4+4＞5.能够组成三角形.则它的周长是4+4+5＝13（cm）；当相等的两边是5cm时.4+5＞5.能够组成三角形.则它的周长是5+5+4＝14（cm）．故选：D．2．（2021秋•延边州期末）如图.在△ABC中.AD是角平分线.且AD＝AC.若∠BAC＝60°.则∠B的度数是（）A．45°B．50°C．52°D．58°【答案】A【解答】解：∵AD是△ABC的一条角平分线.∠BAC＝60°.性质1.等腰三角形的两个底角度数相等2.等腰三角形的顶角平分线.底边上的中线.底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）3.等腰三角形是轴对称图形.有2条对称轴判定1.有两条边相等的三角形的等腰三角形2.有两个角相等的三角形是等腰三角形面积公式.其中a是底边常.hs是底边上的高∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝×60°＝30°.∵AD＝AC.∴∠ADC＝∠C＝＝75°.∴∠B＝∠ADC﹣∠BAD＝75°﹣30°＝45°．故选：A．3．（2021秋•和平区校级期中）如图.∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F.过F作DE ∥BC.交AB于点D.交AC于点E.BD＝3cm.EC＝2cm.则DE＝5cm．【答案】5【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F.∴∠DBF＝∠FBC.∠ECF＝∠BCF.∵DE∥BC.交AB于点D.交AC于点E．∴∠DFB＝∠DBF.∠CFE＝∠ECF.∴BD＝DF＝3cm.FE＝CE＝2cm.∴DE＝DF+CE＝5（cm）．故答案为：5．4．（2021秋•龙凤区校级期末）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为40°.那么这个等腰三角形的顶角等于（）A．50°或130°B．130°C．80°D．50°或80°【答案】A【解答】解：①如图.等腰三角形为锐角三角形.∵BD⊥AC.∠ABD＝40°.∴∠A＝50°.即顶角的度数为50°．②如图.等腰三角形为钝角三角形.∵BD⊥AC.∠DBA＝40°.∴∠BAD＝50°.∴∠BAC＝130°．故选：A．5．（2021•淄博）如图.在△ABC中.∠ABC的平分线交AC于点D.过点D作DE∥BC交AB于点E．（1）求证：BE＝DE；（2）若∠A＝80°.∠C＝40°.求∠BDE的度数．【答案】（1）BE＝DE（2）∠BDE的度数为30°【解答】解：（1）证明：在△ABC中.∠ABC的平分线交AC于点D.∴∠ABD＝∠CBD.∵DE∥BC.∴∠EDB＝∠CBD.∴∠EBD＝∠EDB.∴BE＝DE．（2）∵∠A＝80°.∠C＝40°∴∠ABC＝60°.∵∠ABC的平分线交AC于点D.∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝30°.由（1）知∠EDB＝∠EBD＝30°.故∠BDE的度数为30°．6．（2021秋•临江市期末）如图.在△ABC中.AB＝AC.点D、E、F分别在AB、BC、AC 边上.且BE＝CF.BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时.求∠DEF的度数．【答案】（1）略（2）∠DEF＝70°【解答】证明：∵AB＝AC.∴∠ABC＝∠ACB.在△DBE和△ECF中.∴△DBE≌△ECF.∴DE＝EF.∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△DBE≌△ECF.∴∠1＝∠3.∠2＝∠4.∵∠A+∠B+∠C＝180°.∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°∴∠1+∠2＝110°∴∠3+∠2＝110°∴∠DEF＝70°7．（2020秋•呼和浩特期末）如图.点O是等边△ABC内一点.D是△ABC外的一点.∠AOB＝110°.∠BOC＝α.△BOC≌△ADC.∠OCD＝60°.连接OD．（1）求证：△OCD是等边三角形；（2）当α＝150°时.试判断△AOD的形状.并说明理由；（3）探究：当α为多少度时.△AOD是等腰三角形．【答案】（1）△OCD是等边三角形（2）△AOD是直角三角形（3）α＝110°或125°或140°【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC.∴OC＝DC.∵∠OCD＝60°.∴△OCD是等边三角形．解：（2）△AOD是直角三角形．理由如下：∵△OCD是等边三角形.∴∠ODC＝60°.∵△BOC≌△ADC.α＝150°.∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°.∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°.∴△AOD是直角三角形．（3）∵△OCD是等边三角形.∴∠COD＝∠ODC＝60°．∵∠AOB＝110°.∠ADC＝∠BOC＝α.∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α.∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°.∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．①当∠AOD＝∠ADO时.190°﹣α＝α﹣60°.∴α＝125°．②当∠AOD＝∠OAD时.190°﹣α＝50°.∴α＝140°．③当∠ADO＝∠OAD时.α﹣60°＝50°.∴α＝110°．综上所述：当α＝110°或125°或140°时.△AOD 是等腰三角形．考点二： 等边三角形的性质与判定8．（2021秋•浦城县期中）△ABC 是等边三角形.点P 在△ABC 内.P A ＝4.将△P AB 绕点A 逆时针旋转得到△P 1AC .则P 1P 的长等于（ ）A ．4B ．C ．2D ．【答案】A【解答】解：∵△ABC 是等边三角形.∴AC ＝AB .∠CAB ＝60°.∵将△P AB 绕点A 逆时针旋转得到△P 1AC∴△CP 1A ≌△BP A .∴AP 1＝AP .∠CAP 1＝∠BAP .∴∠CAB ＝∠CAP +∠BAP ＝∠CAP +∠CAP 1＝60°.即∠P AP 1＝60°.∴△APP 1是等边三角形.∴P 1P ＝P A ＝4.性质 1. 三条边相等 2. 三个内角相等.且每个内角都等于60°3. 等边三角形是轴对称图形.有3条对称轴判定 1. 三条边都相等的三角形是等边三角形2. 三个角相等的三角形是等边三角形3. 有一个角的是60°的等腰三角形是等边三角形面积公式是等边三角形的边长.h 是任意边上的高9．（2020秋•紫阳县期末）如图.在等腰△ABC中.AB＝AC.点E为AC的中点.延长BC 到点D.使得CD＝CE．延长DE交AB于点F.若∠A＝60°.EF＝4cm.则DF的长为（）A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm【答案】A【解答】解：∵AB＝AC.∠A＝60°.∴△ABC为等边三角形.∴∠ACB＝60°.∴∠ACB＝∠CED+∠D.∵CD＝CE.∴∠CED＝∠D＝∠ACB＝30°.∴∠AEF＝∠CED＝30°.∴∠AFE＝180°﹣∠A﹣∠AEF＝90°.∵EF＝4cm.∴设AF＝x.则AE＝2x.∴由勾股定理得：x2+42＝4x2.∴x＝.∴AF＝.AE＝.∴BF＝AB﹣AF＝2AE﹣AF＝.∵∠D＝30°.∴BD＝2BF＝.∴DF2＝BD2﹣BF2＝3BF2.∴DF＝BF＝×＝12．10．（2021春•张店区期末）如图.P是等边三角形ABC内的一点.且P A＝3.PB＝4.PC＝5.以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BP A.连接PQ.则以下结论错误的是（）A．△BPQ是等边三角形B．△PCQ是直角三角形C．∠APB＝150°D．∠APC＝135°【答案】D【解答】解：∵△ABC是等边三角形.∴∠ABC＝60°.∵△BQC≌△BP A.∴∠BP A＝∠BQC.BP＝BQ＝4.QC＝P A＝3.∠ABP＝∠QBC.∴∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°.∴△BPQ是等边三角形.∴PQ＝BP＝4.∵PQ2+QC2＝42+32＝25.PC2＝52＝25.∴PQ2+QC2＝PC2.∴∠PQC＝90°.即△PQC是直角三角形.∵△BPQ是等边三角形.∴∠BOQ＝∠BQP＝60°.∴∠BP A＝∠BQC＝60°+90°＝150°.∴∠APC＝360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC＝150°﹣∠QPC.∵∠PQC＝90°.PQ≠QC.∴∠QPC≠45°.即∠APC≠135°.∴选项A、B、C正确.选项D错误．故选：D．11．（2020秋•河东区期中）如图.点M.N分别在正三角形ABC的BC.CA边上.且BM＝CN.AM.BN交于点Q．求证：∠BQM＝60°．【答案】略【解答】证明：∵BM＝CN.BC＝AC.∴CM＝AN.又∵AB＝AC.∠BAN＝∠ACM.∴△AMC≌△BNA.则∠BNA＝∠AMC.∵∠MAN+∠ANB+∠AQN＝180°∠MAN+∠AMC+∠ACB＝180°.∴∠AQN＝∠ACB.∵∠BQM＝∠AQN.∴∠BQM＝∠AQN＝∠ACB＝60°1．（2021秋•九龙坡区期中）如图.在△ABC中.AB＝AC.点D为边AC上一点.且AD＝BD.∠A＝40°.则∠DBC的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．50°【答案】B【解答】解：∵AB＝AC.∠A＝40°.∴∠ABC＝∠C＝＝70°.∵AD＝BD.∴∠DBA＝∠A＝40°.∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝70°﹣40°＝30°.故选：B．2．如图.为了让电线杆垂直于地面.工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC.当固定点B.C到杆脚E的距离相等.且B.E.C在同一直线上时.电线杆DE就垂直于BC.工程人员这种操作方法的依据是（）A．等边对等角B．等角对等边C．垂线段最短D．等腰三角形“三线合一”【答案】D【解答】解：∵AB＝AC.BE＝CE.∴AE⊥BC.故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”.故选：D．3．（2021秋•九台区期末）如图.已知△ABC的面积为24.AB＝AC＝8.点D为BC边上一点.过点D分别作DE⊥AB于E.DF⊥AC于F.若DF＝2DE.则DF长为（）A．4B．5C．6D．8【答案】A【解答】解：连接AD.则：S△ABD+S△ACD＝S△ABC.即：×8•DF+8•DE＝24.可得：DE+DF＝6.∵DF＝2DE.∴DF＝4.故选：A．5．（2021秋•天河区期末）如图所示的正方形网格中.网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点.如果C也是图中的格点.且使得△ABC为等腰三角形.则点C的个数是（）A．6个B．7个C．8个D．9个【答案】C【解答】解：如图.分情况讨论：①AB为等腰△ABC的底边时.符合条件的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时.符合条件的C点有4个．故选：C．55．（2021秋•南安市期末）如图：D为△ABC内一点.CD平分∠ACB.BD⊥CD.∠A ＝∠ABD.若BD＝1.BC＝3.则AC的长为（）A．5B．4C．3D．2【答案】A【解答】解：延长BD交AC于E.如图.∵CD平分∠ACB.BD⊥CD.∴△BCE为等腰三角形.∴DE＝BD＝1.CE＝CB＝3.∵∠A＝∠ABD.∴EA＝EB＝2.∴AC＝AE+CE＝2+3＝5．故选：A．6．（2021•滨州）如图.在△ABC中.点D是边BC上的一点．若AB＝AD＝DC.∠BAD＝44°.则∠C的大小为．【答案】34°【解答】解：∵AB＝AD.∴∠B＝∠ADB.∵∠BAD＝44°.∴∠ADB＝＝68°.∵AD＝DC.∠ADB＝∠C+∠DAC.∴∠C＝∠DAC＝∠ADB＝34°.故答案为：34°．7．（2019•重庆）如图.在△ABC中.AB＝AC.AD⊥BC于点D．（1）若∠C＝42°.求∠BAD的度数；（2）若点E在边AB上.EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE．【答案】（1）48°（2）AE＝FE【解答】解：（1）∵AB＝AC.AD⊥BC于点D.∴∠BAD＝∠CAD.∠ADC＝90°.又∠C＝42°.∴∠BAD＝∠CAD＝90°﹣42°＝48°；（2）∵AB＝AC.AD⊥BC于点D.∴∠BAD＝∠CAD.∵EF∥AC.∴∠F＝∠CAD.∴∠BAD＝∠F.∴AE＝FE．8．（2021秋•长春期末）如图.在等边△ABC中.点D在边BC上.过点D作DE∥AB交AC于点E.过点E作EF⊥DE.交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数；（2）求证：DC＝CF．【答案】（1）30°（2）CD＝CF【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形.∴∠B＝60°.∵DE∥AB.∴∠B＝∠EDC＝60°.∵DE⊥EF.∴∠DEF＝90°.∴∠F＝∠DEF﹣∠EDF＝90°﹣60°＝30°；（2）证明：∵△ABC是等边三角形.∴∠B＝∠ACB＝60°.∵DE∥AB.∴∠B＝∠EDC＝60°.∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°.∴△DEC是等边三角形.∴CE＝CD.∵∠ECD＝∠F+∠CEF.∠F＝30°.∴∠CEF＝∠F＝30°.∴EC＝CF.∴CD＝CF．9．（2020秋•淮南期末）已知.在等边三角形ABC中.点E在AB上.点D在CB的延长线上.且ED＝EC．（1）【特殊情况.探索结论】如图1.当点E为AB的中点时.确定线段AE与DB的大小关系.请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发.解答题目】如图2.当点E为AB边上任意一点时.确定线段AE与DB的大小关系.请你直接写出结论.AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下.过点E作EF∥BC.交AC 于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论.设计新题】在等边三角形ABC中.点E在直线AB上.点D在线段CB的延长线上.且ED＝EC.若△ABC的边长为1.AE＝2.求CD的长（请你画出相应图形.并直接写出结果）．【答案】（1）＝；（2）＝（3）3【解答】解：（1）当E为AB的中点时.AE＝DB；（2）AE＝DB.理由如下.过点E作EF∥BC.交AC于点F.证明：∵△ABC为等边三角形.∴△AEF为等边三角形.∴AE＝EF.BE＝CF.∵ED＝EC.∵∠DEB＝60°﹣∠D.∠ECF＝60°﹣∠ECD.∴∠DEB＝∠ECF.在△DBE和△EFC中..∴△DBE≌△EFC（SAS）.∴DB＝EF.则AE＝DB；（3）点E在AB延长线上时.如图所示.同理可得△DBE≌△EFC.∴DB＝EF＝2.BC＝1.则CD＝BC+DB＝3．故答案为：（1）＝；（2）＝1．（2021•赤峰）如图.AB∥CD.点E在线段BC上.CD＝CE．若∠ABC＝30°.则∠D的度数为（）A．85°B．75°C．65°D．30°【答案】B【解答】解：∵AB∥CD.∴∠C＝∠ABC＝30°.又∵CD＝CE.∵∠C+∠D+∠CED＝180°.即30°+2∠D＝180°.∴∠D＝75°．故选：B．2．（2021•青海）已知a.b是等腰三角形的两边长.且a.b满足+（2a+3b﹣13）2＝0.则此等腰三角形的周长为（）A．8B．6或8C．7D．7或8【答案】D【解答】解：∵+（2a+3b﹣13）2＝0.∴.解得：.当b为底时.三角形的三边长为2.2.3.周长为7；当a为底时.三角形的三边长为2.3.3.则周长为8.∴等腰三角形的周长为7或8．故选：D．3．（2021•广西）如图.⊙O的半径OB为4.OC⊥AB于点D.∠BAC＝30°.则OD的长是（）A．B．C．2D．3【答案】C【解答】解：连接OA.∵OC⊥AB.∴∠ADC＝90°.∴∠DAC+∠ACD＝90°.∵∠BAC＝30°.∴∠ACO＝60°.∵OA＝OC.∴△AOC为等边三角形.∵OC⊥AB.∴OD＝OC＝2.故选：C．4．（2020•铜仁市）已知等边三角形一边上的高为2.则它的边长为（）A．2B．3C．4D．4【答案】C【解答】解：根据等边三角形：三线合一.设它的边长为x.可得：.解得：x＝4.x＝﹣4（舍去）.故选：C．5．（2021•康巴什一模）如图所示.已知m∥n.等边△ABC的顶点B在直线n上.∠1＝25°.则∠2的度数是（）A．25°B．35°C．45°D．55°【答案】B【解答】解：过C点作CD∥m.∴∠ACD＝∠1＝25°.∵m∥n.∴CD∥n.∴∠2＝∠DCB.∵∠ACD+∠DCB＝∠ACB.∴∠2＝∠ACB﹣25°.∵△ABC为等边三角形.∴∠ACB＝60°.∴∠2＝60°﹣25°＝35°.故选：B．6．（2021•荆门一模）如图.△ABC是等边三角形.△BCD是等腰三角形.且BD＝CD.过点D作AB的平行线交AC于点E.若AB＝8.DE＝6.则BD的长为（）A．6B．C．D．【答案】B【解答】解：连接AD交BC于点O.取AC中点N.连接ON.如图.∵△ABC是等边三角形.∴AB＝AC＝BC＝8.∠ABC＝60°.∵△BCD是等腰三角形.∴BD＝DC.∴AD垂直平分BC.∴BO＝CO＝4.∵AN＝CN.∴ON＝AB＝4.ON∥AB.∵AB∥DE.∴ON∥DE.∴.∴＝2.∴OD＝AO.∴tan∠ABO＝.即.∴AO＝4.∴OD＝2.在Rt△BOD中.BD＝＝2．故选：B．7．（2021•丹东模拟）如图.△ABC是等边三角形.AD是BC边上的中线.点E在AD上.且DE＝BC.则∠AFE＝（）A．100°B．105°C．110°D．115°【答案】B【解答】解：∵△ABC是等边三角形.∴∠BAC＝60°.∵AD是BC边上的中线.∴∠BAD＝BAC＝30°.AD⊥BC.BD＝CD＝BC.∴∠CDE＝90°.∵DE＝BC.∴DE＝DC.∴∠DEC＝∠DCE＝45°.∴∠AEF＝∠DEC＝45°.∴∠AFE＝180°﹣∠BAD﹣∠AEF＝180°﹣30°﹣45°＝105°.故选：B．8．（2020•台州）如图.等边三角形纸片ABC的边长为6.E.F是边BC上的三等分点．分别过点E.F沿着平行于BA.CA方向各剪一刀.则剪下的△DEF的周长是．【答案】6【解答】解：∵等边三角形纸片ABC的边长为6.E.F是边BC上的三等分点.∴EF＝2.∵△ABC是等边三角形.∴∠B＝∠C＝60°.又∵DE∥AB.DF∥AC.∴∠DEF＝∠B＝60°.∠DFE＝∠C＝60°.∴△DEF是等边三角形.∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．故答案为：6．9．（2019•哈尔滨）如图.在四边形ABCD中.AB＝AD.BC＝DC.∠A＝60°.点E为AD边上一点.连接BD、CE.CE与BD交于点F.且CE∥AB.若AB＝8.CE＝6.则BC的长为．【答案】2【解答】解：如图.连接AC交BD于点O∵AB＝AD.BC＝DC.∠A＝60°.∴AC垂直平分BD.△ABD是等边三角形∴∠BAO＝∠DAO＝30°.AB＝AD＝BD＝8.BO＝OD＝4∵CE∥AB∴∠BAO＝∠ACE＝30°.∠CED＝∠BAD＝60°∴∠DAO＝∠ACE＝30°∴AE＝CE＝6∴DE＝AD﹣AE＝2∵∠CED＝∠ADB＝60°∴△EDF是等边三角形∴DE＝EF＝DF＝2∴CF＝CE﹣EF＝4.OF＝OD﹣DF＝2∴OC＝＝2∴BC＝＝210．（2021•朝阳）如图.在平面直角坐标系中.点A的坐标为（5.0）.点M的坐标为（0.4）.过点M作MN∥x轴.点P在射线MN上.若△MAP为等腰三角形.则点P的坐标为．【答案】（.4）或（.4）或（10.4）【解答】解：设点P的坐标为（x.4）.分三种情况：①PM＝P A.∵点A的坐标为（5.0）.点M的坐标为（0.4）.∴PM＝x.P A＝.∵PM＝P A.∴x＝.解得：x＝.∴点P的坐标为（.4）；②MP＝MA.∵点A的坐标为（5.0）.点M的坐标为（0.4）.∴MP＝x.MA＝＝.∵MP＝MA.∴x＝.∴点P的坐标为（.4）；③AM＝AP.∵点A的坐标为（5.0）.点M的坐标为（0.4）.∴AP＝.MA＝＝.∵AM＝AP.∴＝.解得：x1＝10.x2＝0（舍去）.∴点P的坐标为（10.4）；综上.点P的坐标为（.4）或（.4）或（10.4）．故答案为：（.4）或（.4）或（10.4）．1.（2021•贵港模拟）如图.在△ABC中.AB＝BC.∠A＝36°.AB的垂直平分线DE交AB于点D.交AC于点E.若AB＝10.则CE的长为（）A．5B．8C．10D．10【答案】C【解答】解：∵在△ABC中.AB＝BC＝10.∠A＝36°.∴∠C＝∠A＝36°.∵AB的垂直平分线是DE.∴AE＝BE.∴∠ABE＝∠A＝36°.∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝108°﹣36°＝72°.∵∠BEC＝∠A+∠ABE＝72°∴∠BEC＝∠EBC.∴CE＝BC＝10.故选：C．2．（2021•西湖区二模）如图.在△ABC中.点D在边BC上.且满足AB＝AD＝DC.过点D 作DE⊥AD.交AC于点E．设∠BAD＝α.∠CAD＝β.∠CDE＝γ.则（）A．2α+3β＝180°B．3α+2β＝180°C．β+2γ＝90°D．2β+γ＝90°【答案】D【解答】解：∵AB＝AD＝DC.∠BAD＝α.∴∠B＝∠ADB.∠C＝∠CAD＝β.∵DE⊥AD.∴∠ADE＝90°.∴∠CAD+∠AED＝90°.∵∠CDE＝γ.∠AED＝∠C+∠CDE.∴∠AED＝γ+β.∴2β+γ＝90°.故选：D．3．（2021•陕西模拟）如图.△ABC中.AB＝AC.AD⊥BC于点D.DE⊥AB于点E.BF⊥AC 于点F.DE＝2.则BF的长为（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解答】解：∵△ABC中.AB＝AC.AD⊥BC.∴AD是△ABC的中线.∴S△ABC＝2S△ABD＝2×AB•DE＝AB•DE＝2AB.∵S△ABC＝AC•BF.∴AC•BF＝2AB.∵AC＝AB.∴BF＝2.∴BF＝4.故选：B．4．（2021•西陵区模拟）如图.已知Rt△OAB.∠OAB＝50°.∠AOB＝90°.O点与坐标系原点重合.若点P在x轴上.且△APB是等腰三角形.则点P的坐标可能有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解答】解：如图.在x轴上共有4个这样的P点（图中实心点）．故选：D．5．（2021•成都模拟）如图.把一张长方形纸片沿对角线折叠.若△EDF是等腰三角形.则∠BDC＝（）A．45°B．60°C．67.5°D．75°【解答】解：由翻折可知：△BED≌△BCD.∴∠EBD＝∠CBD.∠E＝∠C＝90°∵△EDF是等腰三角形.∴∠EFD＝∠AFB＝∠ABF＝45°.∴∠CBF＝45°.∴∠CBD＝∠CBE＝22.5°.∴∠BDC＝67.5°.故选：C．6．（2021•中山区一模）如图.直线m∥n.点A在直线m上.点B、C在直线n上.AB＝CB.∠1＝70°.则∠BAC等于（）A．40°B．55°C．70°D．110°【答案】C【解答】解：∵m∥n.∴∠ACB＝∠1＝70°.∵AB＝BC.∴∠BAC＝∠ACB＝70°.故选：C．7．（2021•饶平县校级模拟）如图.在△ABC中.AB＝6.AC＝4.∠ABC和∠ACB的平分线交于点E.过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N.则△AMN的周长为（）A．12B．10C．8D．不确定【答案】B【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E.∴∠ABE＝∠CBE.∠ACE＝∠BCE.∴∠CBE＝∠BEM.∠BCE＝∠CEN.∴∠ABE＝∠BEM.∠ACE＝∠CEN.∴BM＝＝NE.∴△AMN的周长＝AM+ME+AN+NE＝AB+AC.∵AB＝AC＝4.∴△AMN的周长＝6+4＝10．故选：B．8．（2021•商河县校级模拟）如图.△ABC的面积为8cm2.AP垂直∠B的平分线BP于P.则△PBC的面积为（）A．2cm2B．3cm2C．4cm2D．5cm2【答案】C【解答】解：延长AP交BC于E.∵AP垂直∠B的平分线BP于P.∴∠ABP＝∠EBP.∠APB＝∠BPE＝90°.在△APB和△EPB中.∴△APB≌△EPB（ASA）.∴S△APB＝S△EPB.AP＝PE.∴△APC和△CPE等底同高.∴S△APC＝S△PCE.∴S△PBC＝S△PBE+S△PCE＝S△ABC＝4cm2.故选：C．9．（2021•甘谷县一模）如图.已知：∠MON＝30°.点A1.A2.A3……在射线ON上.点B1.B2.B3……在射线OM上.△A1B1A2.△A2B2A3.△A3B3A4……均为等边三角形.若OA1＝1.则△A7B7A8的边长为（）A．64B．32C．16D．128【答案】A【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形.∴∠B1A1A2＝60°.∵∠MON＝30°.∴∠OB1A1＝30°∴A1B1＝OA1＝1.∴A2B1＝1.∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形.∴A1B1∥A2B2∥A3B3.B1A2∥B2A3.∴A2B2＝2B1A2.B3A3＝2B2A3.∴A3B3＝4B1A2＝4.A4B4＝8B1A2＝8.A5B5＝16B1A2＝16.以此类推：△A7B7A8的边长为26＝64.故选：A．10．（2021•蔡甸区二模）如图.△ABC中.点D在BC边上.且∠ADB＝90°∠CAD．（1）求证：AD＝AC；（2）点E在AB边上.连接CE交AD于点F.且∠CFD＝∠CAB.AE＝BD.①求∠ABC的度数；②若AB＝8.DF＝2AF.直接写出EF的长．【答案】（1）略（2）EF＝．【解答】解：（1）∵∠ADB＝∠ACB+∠CAD.∠ADB＝90°∠CAD.∴∠ACB＝∠ADB﹣∠CAD＝90°∠CAD.∵∠ADB+∠CDA＝180°.∴∠CDA＝180°﹣∠ADB＝180°﹣（90°∠CAD）＝90°∠CAD.∴∠ACB＝∠ADC.∴AD＝AC；（2）①过点D作DG∥CE交AB于点G.∵∠CFD＝∠CAB.∠CFD＝∠CAD+∠ACE.∠CAB＝∠CAD+∠DAB.∴∠ACE＝∠DAB.又∵∠ACD＝∠ADC.∠ECB＝∠ACD﹣∠ACE.∠B＝∠ADC﹣∠DAB.∴∠ECB＝∠B.∴CE＝BE.∵DG∥CE.∴∠ECB＝∠BDG.∴∠BDG＝∠B.∴DG＝BG.∵∠AEC＝∠DGA.AC＝DA.∠ACE＝∠DAG.∴△AEC≌△DGA(AAS).∴DG＝AE.又∵AE＝BD.∴DG＝BD＝BG.∴△BDG为等边三角形.∴∠ABC＝60°；②EF＝．过点D作DH∥AB交CE于点H.由①知△EBC和△HDC均为等边三角形.设AE＝BD＝x.则BE＝BC＝8﹣x.∴DH＝CD＝8﹣2x.∵DH∥AB.∴＝.即＝.∴x＝2.∵∠ACE＝∠DAB.∵△F AE∽△ACE.∴＝.∵AC＝AD＝3AF.∴＝.EF＝AE＝．。

专题13.3 等腰三角形知识点1：等腰三角形1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．2.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、 底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．3.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．知识点2：等边三角形1.定义：三条边相等的三角形叫做等边三角形．2.等边三角形的性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

知识点3：直角三角形的一个定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．【例题1】如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度数．【例题2】证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=AB ．【例题7】已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为（ ）A ．B ．C ．D ．不能确定【例题3】如图，已知AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC 与BD 交于点O ，AC=BD.求证：(1)BC=AD ；(2)△OAB 是等腰三角形.一、选择题1.已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为（ ）12C AA．B．C．D．不能确定2.如图所示，点D是△ABC的边AC上一点（不含端点），AD=BD，则下列结论正确的是（）A．AC＞BC B．AC=BC C．∠A＞∠ABC D．∠A=∠ABC3．如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）A．1个B．2个C．3个D．3个以上4.如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（）A．2+2B．2+C．4 D．3二、解答题5.已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．6.如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E．求证：AE=CE．7.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1=∠2，AD ∥BC （如图）．求证：AB=AC ．8.已知：如图，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ．求证：AB=AD ．9.证明：等腰三角形两底角的平分线相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 是△ABC 的平分线．求证：BD=CE ．10.证明：等腰三角形两腰上的高相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BE 、CF 分别是△ABC 的高．E DCAB11.证明：等腰三角形两腰上的中线相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 分别是两腰上的中线．求证：BD=CE ．12.已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=2a ，∠ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高．求：CD 的长．13．已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°．求证：BD=AB ．14.已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段．求证：其中一条是另一条的2倍．已知：在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC=2∠C ，BD 是∠ABC 的平分线．1415.已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AB ．求证：∠BAC=30°．16.已知，如图，点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 是等边三角形．求证：AN=BM ．17．一个直角三角形房梁如图所示，其中BC ⊥AC ，∠BAC=30°，AB=10cm ， CB 1⊥AB ，B 1C ⊥AC 1，垂足分别是B 1、C 1，那么BC 的长是多少？18.如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，AC 的垂直平分线交AB 于E ，D 为垂足，连接EC ．（1）求∠ECD 的度数；（2）若CE=5，求BC 长．12专题13.3 等腰三角形知识点1：等腰三角形1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．2.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、 底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．3.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．知识点2：等边三角形1.定义：三条边相等的三角形叫做等边三角形．2.等边三角形的性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。