沪教版相似三角形知识点+例题+练习

第1节 比例线段【学习目标】1．理解比例线段的概念，能说出比例关系中比例的内项、外项、第四比例项或比例中项. 2．掌握比例的基本性质，初步会用它进行简单的比例变形，并会判断四条线段是否成比例. 3．培养学生将比例式看成是关于未知数的方程的观点，利用方程思想来解决问题 4．理解黄金分割的概念，知道黄金分割数，会利用黄金分割数，进行简单的运算.【内容剖析】知识点一比例线段一般来说，两个数与两个量a 与b 相除，叫做a 与b 的比.记作b a :(或ba)，其中0≠b .a 除以b 所得的商叫做比值.如果b a :的比值等于k (即k ba=)，那么kb a =. 如果d c b a ::=(或dcb a =)，那么就说dc b a 、、、成比例. 两条线段长度的比叫做两条线段的比.求两条线段长度的比时，对这两条一定要用同一长度单位来度量.因为线段的长度是正数，所以这两条线段的比值总是正数.在四条线段中，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.已知四条线段d c b a 、、、，如果d c b a ::=(或d cb a =)，那么线段d c b a 、、、叫做成比例线段，那么线段d a 、是比例外项，线段c b 、是比例内项，线段d 是c b a 、、的第四比例项. 如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即c b b a ::=(或cbb a =)，那么线段b 叫做线段a 、c 的比例中项.已知4=a ，9=b ，c 是b a 、的比例中项，则=c .已知线段4=a cm ，9=b cm ，线段c 是b a 、的比例中项，则=c .第二十四章相似三角形判断四条线段是否成比例的方法：①将四条线段的单位化为一致；②取四条线段中最长与最短线段相乘，乘积如果与其它两项乘积相等就是比例线段，否则它们不是比例线段. 例1例2注意：四条线段成比例是有顺序的，不能随意颠倒已知d c b 、、是线段，它们的长度分别为1=a mm ，8.0=b cm ，02.0=c cm ，4.0=d dm ，它们是不是比例线段？知识点二比例的基本性质①比例的内项之积等于外项之积如果d c b a =，那么bc ad =；反之，如果bc ad =，那么d c b a =或d b c a =.①合比性质如果d cb a =，那么dd c b b a ±=±. 证明：令k dcb a ==，则kb a =，kdc =，那么 等式左边：1±=±=±k b bkb b b a等式右边：1±=±=±k ddkd d d c等式左边=等式右边 ∴d dc b b a ±=± （1）已知83=-b b a ，求证：811=b a .（2）已知d c b a =(0≠±d b )，求证：db db c a c a -+=-+①等比性质类似地，若k d c b a ==(0≠±d b )，可得kb a =，kd c =，则k db kd kb d bc a =++=++. 于是，我们有了比例的等比性质：如果k d c b a ==，那么k d cb a d bc a ===++(0≠±d b ) 进一步推广可以得到：如果==d c b a …k nm==，其中++d b …0≠+n ，那么=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++n d b m c a ...==dc b a .k n m==已知c b a 、、是非零实数，且满足acb a bc b a c c b a ++-=+-=-+，求abc a c c b b a ))()((+++的值.知识点三黄金分割如图，在线段AB 上存在一点P 将线段AB 分割成大小两条线段AP 、BP ，满足BP AP >且ABAPAP BP =，则它们的比值是多少？我们将上述这种分割称为黄金分割，点P 叫做线段AB 的黄金分割点，215-称为黄金分割数. 【基础过关】1. 如果B A 、两地的实际距离为50米，画在地图上的距离5''=B A 厘米，那么地图上的距离与实际距离的比为（ ）A.10:1B. 100:1C. 1000:1D. 10000:12. 已知线段30=a mm ，2=b cm ，54=c cm ，12=d mm ，试判断d c b a 、、、是否是成比例线段.3. 已知有四条线段成比例，其中三条线段的长度分别是2cm 、3cm 、4cm ，求第四边的长度.解析：设线段的长为，，则∵，∴整理得： 解得：∵为线段，不能取负，∴∴注意一条线段的黄金点有两个 分割点有两个.4. 已知线段5=AB 厘米，20=CD 毫米，求：（1）CDAB的值；（2）线段CD AB 、的比例中项. 5. 若32==d c b a (其中0≠+d b )，求d b ca ++的值.6. 若0432≠==z y x ，求z yx 32+的值.7. 若线段AB 的长为4，P 是线段AB 的一个黄金分割点，求PA 的长.8. 如图，在矩形ABCD 中截取正方形ABMN ，已知MN 是BC 和CM 的比例中项，53-=CM ，求AD的长.9. 若m y xz x z y z y x =+=+=+333333，求m 的值.【综合培优】一、选择题1. 下列四条线段成比例的是（ ）A. 2=a cm ，3=b cm ，3=c cm ，4=d cmB. 1=a cm ，2=b cm ，3=c dm ，6=d cmC. 5=a cm ，53=b cm ，3=c cm ，5=d cmD. 5=a cm ，1=b cm ，6=c cm ，3=d cm2. 线段22=a cm ，32=b cm ，6=c cm ，则c b a 、、的第四比例项是（ ） A. 33cm B. 3cm C. 3dm D. 3cm3. 已知cd ab =（d c b a 、、、不为零），下列各式中正确的是（ ）A. d c b a =B. cd c a b a +=+ C. d d b a c a +=+ D. c a bd ac = 4. 已知线段3=a ，6=b ，4=c ，那么下面说法正确的是（ ）A. 线段c b a 、、的第四比例项是b a +B. 线段b a 、的比例中项是a 23C. 线段c b a 、、的第四比例项是b a +32D. 线段a 2是线段b 和c 的比例中项5. 点P 是线段AB 的黄金分割点，且15-=AP ，则AB 的长为（ ）A. 2B.15+或15-C. 2或15+D. 2或15-二、 填空题6. 已知：032=-y x ，则=+-yx yx 23 . 7. 若25=a b ，则=+a a b ；若34===e f c d a b ，若042≠+-e c a ，则=+-+-e c a f d b 4242 . 8. 若453z y x ==，则=+++zx zy x 2 .9. 线段4=AB cm ，点C 在直线AB 上，且BC AC 3=，则=BC .10. 线段cm AB 20=，点P 是线段AB 的黄金分割点，且BP AP >，则=AP ，=BP . 11. 已知5:3)2(:)2(=--b a b a ，则=b a : .12. 点P 是线段AB 的黄金分割点，4=AB ，则=AP . 三、解答题13. 已知：234cb a ==，162=-+c b a ，求c b a +-34的值.14. 已知c b a 、、是ABC ∆的三边，且60=++c b a cm ，5:4:3::=c b a ，求ABC ∆的面积和最长边上的高.15. 若点M 在线段AB 上，点N 在线段AB 的反向延长线上，20=AB cm ，且32==NB AN MB AM ，求线段MN 的长.16. 如图，线段AB ，点C 是AB 的黄金分割点（BC AC <），点D （不同于C 点）在AB 上，且AB BD AD ⋅=2，求ACCD 的值。

17. 已知0222=+++++y x z z x y y z x ，求yx zz x y y z x +++++的值.第2节 三角形一边的平行线的性质定理及推论【学习目标】1．通过对三角形中位线的概念与性质的分析，从特殊到一般，提出关于三角形一边平行线的研究问题，并能熟练应用三角形一边的平行线的性质定理.2．掌握三角形一边的平行线性质定理推论的应用.3．了解并掌握三角形的重心的意义和性质，能应用它解题.【内容剖析】知识点一 同高（或等高）的两个三角形面积之比等于底边之比如图1，已知，梯形ABCD 中，DC AB //，对角线AC 、BD 相交于点O .求证：（1）BOC AOD S S ∆∆=；（2）OACOOB DO =. 解析 从图1中可以发现，ADC ∆和BCD ∆是以CD 为公共底的同底等高的三角形，它们的面积相等；AOD ∆和AOB ∆是分别以DO 、OB 为底的同高的三角形，BOC ∆和AOB ∆分别是以CO 、OA 为底的同高的三角形，利用同高（或等高）的两个三角形面积之比等于底边之比，可以把三角形的面积之比转化成底边之比.证明：（1）过点A 作DC AE ⊥，垂足为E ，过点B 作DC BF ⊥，垂足为F .（2）过A 点作BD AH ⊥，垂足为H .知识点二三角形一边平行线性质定理及推论如图2，已知ABC ∆，直线l 与边AB 、AC 分别相交于点D 、E ，且BC l //，试证明ECAEDB AD =. 解析 利用同高（或等高）的三角形的面积之比等于底边之比，将题目中的线段的比转化成三角形的面积比.证明：如图，分别连接EB 、DC ，设点E 到AB 的距离为h ，则h AD S EAD ⋅=∆21，h DB S EDB ⋅=∆21得 DB AD S S EDB EAD =∆∆； 同理可得 ECAES S EDC EAD =∆∆.∴ BC DE //∴ EDC EDB S S ∆∆=，得ECAEDB AD =. 在图2中，还可以得到AC AE AB AD =，ACECAB DB =等. 思考：如图3已知ABC ∆，直线l 与边AB 、AC 的延长线分别相交于点D 、E ，且BC l //，那么ECAEDB AD =成立吗？由上述问题的结论，我们得到：三角形一边平行线的性质定理 平行于三角形一边的直线截三角形其它两边所在的直线，截得的对应线段成比例.如图，已知ABC ∆中，BC DE //，AB EF //，CE AE 2=，6=AB ，9=BC ，求四边形BDEF 的周长.问题1图3例1图2如图，P是平行四边形ABCD的对角线AC上任意一点.求证：PKPNPMPL⋅=⋅.【基础过关1】1.如图，已知EFCDAB////，14=OA，16=AC，8=CE，12=BD，求DFOB、的长.2.如图，在ABC∆中，BCDE//，4:1:=∆∆ABCBCDSS，若2=AC，求EC的长.3.如图，已知P是ABC∆的中线AD上一点，ABPE//，ACPF//.求证：CFBE=.4. 如图，已知：ABC ∆中，点E 在AC 上，且AC AE 31=，AD 是BC 上的中线，求FD AF :的值.如图4，已知点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，BC DE //.求证：ACAEAB AD BC DE ==. 解析 三角形一边的平行线性质定理是判断线段成比例的一个依据.这个定理的条件中有一条平行于三角形一边的直线，结论中有关的比例线段分别在三角形两边所在的直线上.因此考虑将DE 平移到边BC 上去，然后尝试证明ACAEAB AD BC DE ==. 证明：过点D 作AC DF //，交BC 于点F .又∴ BC DE //∴ 四边形DFCE 为平行四边形，得DE FC =.∴ AC DF //， ∴ ABADBC FC =∴ ABADBC DE =由BC DE //，得ACAEAB AD =∴ ACAE AB AD BC DE == 于是我们得到：三角形一边平行线的性质定理的推论 平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.想一想：当点D 、E 分别在ABC ∆的延长线上时，本题中的结论还成立吗？问题2图4如图，在梯形ABCD中，BCAD//，对角线BDAC、相交于点O，点E在AB上，且BCEO//，已知3=AD，6=BC，求EO的长.如图，在梯形ABCD中，BCAD//，3=AD，5=BC，FE、是两腰上的点，且ADEF//，2:1:=EBAE，求EF的长.ABC∆中，D是BC边上的一点，1:3:=DCBD，G为AD的中点，联结BG并延长交AC于点E，求GBEG:的值.如图已知，BE 、CF是ABC∆的中线，交于点G，求证：21==GCGFGBGE.解析要证明GCGFGBGE=，只要证明BCEF//.根据条件，可知EF是ABC∆的中位线，由此可推出所要证明的结论.证明：联结EF，由BE、CF是ABC∆的中线，可知EF是ABC∆的中位线.∴ BCEF//；BCEF21=，即21=BCEF.∴ BCEF//∴21===BCEFGCGFGBGE想一想，如果ABC∆的另一条中线AD与BE相交于点'G，如图，那么这个交点'G与交点G是否为同一个点？通过运用上题的证明方法，可得21''''==AGDGBGEG，因为点'G与点G同在中线BE上，21''=BGEG，且21=GBGE，所以点'G与点G是同一点.这就是说三角形三条中线相交于一点.三角形三条中线交于一点，这一交点叫做三角形的重心.由例6我们可以得出：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点距离的两倍.【基础过关2】1.如图，在ABCD中，点E在DC边上，若21=ECDE，则=EFBF.2.如图，CDEFAB////，2=AB，8=CD，5:1:=ECAE，则=EF.3.如图，在ABC∆中，6=BC，G是ABC∆的重心，过G作边BC的平行线GH交AC于点H，那么=GH.4.如图，在ABCD中，E是AD上一点，CE与BD相交于点O，CE与BA的延长线相交于点G，已知AEDE2=，10=CE.求COGE、的长.问题35. 如图，在ABC ∆中，设D 、E 是AC AB 、上的两点，且CE BD =，延长DE 交BC 的延长线于点F ，5:3:=AC AB ，12=EF cm ，求DF 的长.6. 如图，在ABC ∆中，6=BC ，24=AC ，︒=∠45C ，在BC 边上有一动点P ，过P 作AB PD //与AC相交于点D ，联结AP ，设x BP =，APD ∆的面积为y .（1）求y 与x 之间的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围.（2）是否存在这样的P 点，使APD ∆的面积是ABP ∆的32，若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由.【综合培优】一、选择题1. 如图1，点F 是平行四边形ABCD 的边CD 上的一点，直线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误的是（ ）A. ABDFEA ED =B. FB EF BC DE =C. BE BF DE BC =D. AEBC BE BF =第1题图2. 如图2，若AB EF DC ////，则有（ ）A. OE OC OF OD =B. OAOB OE OF = C.OBODOC OA =D.OEODEF CD =3. 如图3，已知：∴ABC 中，DE ∴BC ，EF ∴AB ，则下列比例式能成立的是（ ）A. BC BF AB AD =B.AE CE DB AD =C. AB AD FC BF =D.FCBC AE AC =4. 如图4，CD EF AB ////，已知20=AB ，80=CD ，则EF 的值是（ ）A. 10B. 12C. 16D. 18 5. 如图，BC EF //，AB FD //，18=AE ，12=BE ，14=CD ，则=BD （ ）A. 21B. 328C. 7108D. 以上答案都不对二、填空题6. 已知：D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、AC 上的点，且BC DE //，4=AE ，2=EC ，5=AD ，则=AB .7. 已知：点E D 、、分别在ABC ∆的边AC AB 、延长线上，且BC DE //，32=BD AB ，则=ACAE. 8. 如图，已知：BC FG DE ////，若3:2:1::=FB DF AD ，则=AC AG AE :: ；若2=AE ，则=AC .9. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为AD 的中点，如果5:2:=BF AF ，则=GCAG.10. 在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，在直线AD 上截取FD AF 2=，EF 交AC 于点G ，则ACAG的值为 . 三、简答题11. 如图，已知：BC DE //，AB EF //，求证：FCBFDB AD =.第2题图 第3题图 第4题图 第5题图第8题图 第9题图12. 如图，ABCD ，点E 在AD 的延长线上，BE 交DC 于点F ，交AC 于点O ，求证：FO EO BO ⋅=2.13. 如图，在ABC ∆中，点G 是ABC ∆的重心，︒=∠90AGC ，4=BG ，求AC 的长.14. 如图，CD EF AB ////，a AB =，b CD =，c EF =，求证：ba c 111+=.15. 如图，E 是ABC ∆中线AD 上一点，CE 交AB 于F ，已知2:1:=ED AE ，求BFAF的值.16. 如图，AD 为ABC ∆的角平分线，AD BF ⊥，交AD 的延长线于点F ，AD AM ⊥于A ，交BC 的延长线于M ，FC 的延长线交AM 于E .求证：EM AE =.17. 如图，M 、N 分别为ABC ∆中AB 、BC边上的点，23=MB AM ，54=BN CN ，MN 与中线BD 相交于点O ，求BODO的值.O第3节 三角形一边的平行线的判定定理及推论【学习目标】1．巩固三角形一边平行线的性质定理，理解三角形一边平行线的判定定理及其推论. 2．掌握三角形一边平行线的判定定理及推论的应用.3．理解和掌握平行线分线段成比例定理，会初步应用它来解决简单的图形运算问题.【内容剖析】知识点一 三角形一边平行线的判定定理及推论我们来讨论三角形一边平行线性质定理的逆命题是否正确.如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果ECAEDB AD =，那么BC DE //吗？ 要肯定上述问题结论的正确，只要证明有一个平行四边形的相对两边分别在直线DE 和BC 上. 如图，过点C 作平行于AB 的直线CF ，交直线DE 于点F ，得四边形BCFD . 证明：∴ AB CF //∴ EC AE CF AD =（三角形一边平行线性质定理的推论） 又∴ EC AEDB AD =∴ DBAD CF AD =，得DB CF =. 由DB CF //，DB CF =，可知四边形BCFD 是平行四边形 ∴ BC DF //，即BC DE //.根据比例的性质可知，在关系式∴EC AE DB AD =、∴AC AE AB AD =、∴ACCEAB BD =中，由其中一个可推出其余两个.因此，因此，以关系式∴、∴、∴之一为已知条件，都可推出BC DE //.这样，就得到以下定理：三角形一边的平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.如图，如果点D 、E 分别在边AB 、AC 的延长线或反向延长线上，且具备条件∴、∴、∴之一，那么也可以用上述同样的方法推出BC DE //.思考：如图，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果ABADBC DE =，那么能否得到BC DE //，为什么？由此由得到：三角形一边的平行线判定定理的推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.图2图1已知，如图，点M为AB的中点，ABEF//，联结EM、FM分别交AF、BE于点DC、.求证：ABCD//.【基础过关1】1.在ABC∆中，点ED、分别是边ACAB、上两点，由下列条件不能得出BCDE//的是（）A.ACAEABAD= B.BCDEABAD= C.AEADECBD= D.ECAEDBAD=2.在ABC∆中，点ED、分别在边AB和BC上，2=AD，3=DB，10=BC，要使ACDE//，那么DE 的长度为.3.已知点ED、分别是ABC∆的边AB和AC反向延长线上的点，如果52=ABAD，那么当=ECAE时，BCDE//.4.如图，已知点FD、是ABC∆的边AB上的两点，满足ABAFAD⋅=2.联结CD，过点F作DCFE//，交边AC于E，联结DE.求证：BCDE//.如图3，已知ABC∆，直线1l与边AB、AC分别相交于点D、E，直线2l与边AB、AC分别相交于点F、G，BCll////21.那么所截得的线段是否成比例？解析：对于这个问题，只需讨论GCEGFBDF=是否成立即可.如图3，过点D 作直线AC 的平行线'l ，设直线'l 与BC 、2l 分别交于点'C 、'G ，则EG DG ='，GC C G =''.利用三角形一边的平行线的性质定理和等量代换，可得GCEGFB DF =. 根据上述结论，在利用比例的性质，可知截得的线段成比例.如图4，将ABC ∆的三边BC AC AB 、、改为三条直线，则上述结论表述为：直线DB 与EC 被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.于是得到：平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例. 如图5，当直线2l 过DB 中点M ，即MB DM =时，则NC EN =.也就是说：两直线被三条平行线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.如图，已知直线321////l l l ，若=AB 5cm ，=BC 8cm ，=EG 2cm ，=GF 3cm ，求线段DE 与GC 的长.知识点三 已知比例线段中的三条线段，求作另一条未知线段已知线段a 、b 、c 如图6，求作线段x ，使x c b a ::=. 作法：如图6所示，图3 图4 图5这是平行线分线段成比例定理的特例，也称为平行线等分线段定理 例21. 作以为端点的射线和；2. 在上顺次截取，；3. 在上截取；4. 联结，过点作，交于点；线段就是所求线段图6【基础过关】1. 点E D 、分别分别是ABC ∆边AC AB 、上的点，下列比例中不能得出BC DE //的是（ ）A.ACAEAB AD =B.BCDEAB AD =C.AEADEC BD =D.ECAEDB AD =2. 如图，已知EF CD AB ////，5:2:=DF BD ，那么下列结论正确的是（ ）A. 5:2:=AE ACB. 5:2:=CD ABC. 5:2:=EF CDD. 7:5:=EA CE3. 如图，已知：EF CD AB //// ，那么下列各式中正确的是（ ）A. CE BC DF AD =B. AD DF CE BC =C. BEBC EF CD =D.EFCEAF AD =4. 如图，已知：321////l l l ，两直线AC 和DF 与1l ，2l ，3l 分别交于点C B A 、、与点F E D 、、，AC 、DF 相交于点O ，下列各式中，不成立的是（ ）A. ODOE AD BE =B. DF DE AC AB =C. DF OF AC OC =D. AC AB DE DF = 5. 如图，如果321////l l l ，12=AC ，3=DE ，5=EF ，则=BC .6. 已知，如图，点F D 、是ABC ∆的边AB 上的两点，满足AB AF AD ⋅=2，联结CD ，过点F 作DC FE //，交边AC 于E ，联结DE .求证BC DE //.第2题图 第3题图 第4题图 第5题图7. 在梯形ABCD 中，点E 在AB 上，点F 在CD 上，且a AD =，b BC =.（1）如图，如果点E 、F 分别是CD AB 、的中点，求证：BC EF //且2ba EF +=. （2）如图，如果nmFC DF EB AE ==，判断EF 和BC 是否平行，请证明你的结论，并用n m b a 、、、的代数式表示EF .课后练习一、选择题1. 如图，由下列各式不一定能推出BC DE //的是（ ）A.ABADBC DE =B.ACECAB DB =C.ECDBAE AD =D.AEACAD AB =2. 如图，已知CD AB 、相交于点O ，由下列比例式能判定DB AC //的是（ ）A.OBAODB AC =B.OBDOCO AO =C.CDABDB AC =D.CDABDO BO =3. 如图，已知：321////l l l ，两直线AC 和DF 与1l ，2l ，3l 分别交于点C B A 、、与点F E D 、、，且3=AB ，4=DE ，2=DF ，则（ ） A. 2:1:=DE BC B. 3:2:=DE BC C. 8=⋅DE BC D. 6=⋅DE BC第1题图 第2题图 第3题图4. 已知线段c b a 、、，段x 满足bacx =，下列作图正确的是（ ）AB C D5. 已知点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，下列各组线段中不能说明BC DE //的是（ ）A. 6=AD ，4=BD ，4.2=AE ，6.1=CEB. 4=AD ，6=AB ，2=DE ，3=BCC. 4=AD ，6=AB ，2=AE ，3=ACD. 2=BD ，6=AB ，1=CE ，3=AC二、填空题6. 已知，ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，若32=DB AD ，则=ACCE时，能推出BC DE //. 7. 已知，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 的延长线上，4=AB ，3=BD ，3=AC ，则=CE 时，BC DE //. 8. 如图，已知32==EC BE AD BD ，6=DE ，则=AC . 9. 如图，21//l l ，5:2:=FB AF ，1:4:=CD BC ，则=EC AE : .三、简答题10. 如图，已知：EF AD //，BDCDDF CF =，求证：DE AB //.第8题图 第9题图11. 如图，已知：梯形ABCD 中，BC EF AD ////，4:1:=EB AE ，10=DC ，4=AD ，14=BC .（1）求DF 、FC 的长；（2）求EF 的长.12. 如图，已知：AB EF //，AC DG //，CG BF =，求证：BC DE //.13. 如图，已知：梯形ABCD 中，BC AD //，4=AD ，6=BC ，点E ，F 分别是AD 、BC 的中点，AF 、BE 相交于点G ，EC 、DF 相交于点H ，连结GH . （1）求证：BC GH //； （2）求GH 的长.14. 如图，已知：EF CD AB 、、都垂直于直线l ，5:2:=DF BD ，6=AB ，20=EF ，求CD 的长.15. 如图，已知∴ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD =DB ，DE 的延长线与BC 的延长线交于点F ，求证：AECEBF CF =.16. 如图，路灯A 高度9米，在距离路灯正下方B 处21米处有一墙壁CD ，BD CD ⊥，高为3米的树MN竖立在BD 上（BD MN ⊥，垂足为M ，CD MN <），树在灯光下的影子总长度为5米，求BM 的长.17. 如图，N M 、分别是ABC ∆两边AC AB 、的中点，P 是MN 上任一点，延长CP BP 、交AB AC 、于H K 、，求KCAKHB AH +的值.第4节 相似三角形的判定【学习目标】1．理解和掌握相似三角形的三个判定定理及直角三角形相似的判定定理的证明方法，并会应用. 2．学习和培养关于对数学类比思想的认识和理解. 3．培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力.【内容剖析】知识点一图形的放缩运动日常生活中，可以看到许多形状相同、大小不等的图形，像图1中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形ABCD ，得到四边形1111D C B A ；放大四边形ABCD ，得到四边形2222D C B A .相似的图形，它们的大小不一定相同，对于大小不同的两个相似形，可以认为是由其中一个图形经过放缩运动之后得到的；对于大小相同的两个相似形，它们可以重合，这时它们是全等形，因此全等形是相似形的一个特例.知识点二 多边形相似的含义对于多边形来说，进过测量及计算发现，放缩前后的两个图形对应角的大小不变，而各边“同样程度”的放大或缩小了，如图1，在四边形ABCD 与1111D C B A 中，A ∠与1A ∠，B ∠与1B ∠，C ∠与1C ∠，D ∠与1D ∠对应相等；11111111A D DAD C CD C B BC B A AB ===.我们所说的 放缩前后两图形的形状相同，就是指他们的角对应相等，边的长度对应成比例.一般来说，两个多边形是相似形，就是说它们同为n 边形而且形状相同.也就是两个多边形的角对应相等，边的长度对应成比例.根据相似多边形的含义，得到：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例. 当两个相似的多边形全等时，它们对应边的长度的比值都是1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动.将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形.图1中，四边形和四边形都与四边形形状相同，我们把形状相同的两个图形叫做相似的图形，或者说是相似形.图1【基础过关1】一、选择题1. 下列各组图形不一定是相似图形的是（ ）A. 有一个角是︒110的两个等腰三角形B. 两个等腰直角三角形C. 边数相同的两个多边形D. 有一个角相等的两个菱形2. A 、B 两地的实际距离10km ，画在地图上的距离是25cm ，则地图上的距离与实际距离之比是（ ）A. 1：400B. 1：4000C. 1：40000D. 1：4000003. 下列各组图形一定是相似多边形的是（ ）A. 两个矩形B. 两个正方形C. 两个菱形D. 两个平行四边形二、填空题4. 两个图形是相似的图形，那么这两个图形的形状_________ ，大小____________.5. 如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角_______，对应边的长度________.6. 若ABC ∆与'''C B A ∆是相似形，点A 与点'A ，点B 与点'B ，点C 与'C 分别是对应顶点，那么边AC 的对应边是 ，'''A C B ∠得对应角是 .7. 两个相似的多边形是全等形时，它们的对应边的长度的比值都是__________.8. 四边的长分别为3、4、5、6的四边形与四边长分别为9、12、15、18的四边形______是相似形（填“一定”，“不一定”或“一定不”）.9. 已知两三角形是相似形，其中一个三角形的两内角分别是︒60和︒70，那么另一个三角形的最小内角的度数为 . 三、解答题10. 已知四边形ABCD 与四边形''''D C B A 是相似的图形，并且点A 与点'A 、点B 与点'B 、点C 与点'C 、点D 与点'D 分别是对应顶点，其中AB 、BC 、CD 、DA 的长分别为cm 4、cm 3、cm 6、cm 7，''C B 的长为6cm . 求''B A 、''D C 、''A D 的长.11. 一张长方形纸片对折后所得的长方形与原长方形是相似形，求原长方形的长与宽的比.知识点三 相似三角形的判定如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形.两个相似三角形中，对应相等的角及其顶点分别是它们的对应角与对应顶点，以对应顶点为端点的边是它们的对应边.如图2，已知DE 是ABC ∆的中位线，那么在ADE ∆与ABC ∆中，A A ∠=∠，B ADE ∠=∠，C AED ∠=∠；21===AC AE BC DE AB AD .由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似.用符号来表示，记作ADE ∆∴ABC ∆，其中点A 与点A 、点D 与点B 、点E 与点C 分别是对应顶点；符号“∴”读作“相似于”.相似三角形的对应角相等、对应边成比例.两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个相似三角形的相似比（或相似系数）.如图24-17中，ADE ∆与ABC ∆相似比21==AB AD k ，而ABC ∆与ADE ∆的相似比2'==ADABk .两个相似三角形的相似比与表述这两个三角形相似的顺序有关.当两个相似三角形的相似比1=k 时，这两个相似三角形就成为你全等三角形.反过来，两个全等三角形一定是相似三角形，它们的相似比等于1.因此，全等三角形是相似三角形的特例. 1. 相似的传递性注意：用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“△”后相应的位置上图2由相似三角形的对应角相等、对应边成比例可以推出：如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形相似. 2. 相似三角形的预备定理如图3，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 和AC 上，这时ADE ∆是∴ABC 被平行于BC 的直线DE 所截得的三角形.由BC DE //，得ACAEAB AD BC DE ==；B ADE ∠=∠，C AED ∠=∠，又BAC DAE ∠=∠，因此ADE ∆∴ABC ∆.在如图3（2）、（3）情况下，同理得到ADE ∆∴ABC ∆. 由此得到：相似三角形的预备定理 平行于三角形一边的直线截三角形其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似.3. 相似三角形的判定定理1问题：在ABC ∆与111C B A ∆中，已知1A A ∠=∠、1B B ∠=∠，能证明ABC ∆与111C B A ∆相似吗？证明：如图4，在射线AB 上截取11B A AD =，再过点D 作1B ADE ∠=∠，DE 与射线AC 相交于点E .∴ 在ADE ∆于111C B A ∆中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠∠=∠=1111BADE A A B A AD∴ ADE ∆∴111C B A ∆ ∴ 1B B ∠=∠∴ B ADE ∠=∠，得BC DE //.∴ ADE ∆∴ABC ∆（相似三角形的预备定理） ∴ ABC ∆∴111C B A ∆这样，就得相似三角形的一个判定定理：相似三角形的判定定理1 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似.（1） （2） （3）图3解析：相似三角形的预备定理，给我们提供了证明两个三角形相似的思路和依据，由此考虑移动其中一个三角形，构造出具有预备定理的图形特征的图形.图4简述为：两角相等，两个三角形相似.在梯形ABCD中，CDAB//，且CDAB2=，点FE、分别是BCAB、的中点，EF与BD 相交于点M.（1）求证：EDM∆∴FBM∆.（2）若6=DB，求BM的长.已知：如图，在ABC∆中，ACAB=，BCDE//，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且ABEEDF∠=∠.（1）求证：DEF∆∴BDE∆；（2）求证：EFDBDFDG⋅=⋅.【基础过关2】1. 如图，321∠=∠=∠，那么图中的相似三角形有哪几对？2. 如图，已知：21∠=∠，ABC ADE ∠=∠，求证：AE AB AC AD ⋅=⋅.3. 已知：如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90BAC ，BC AD ⊥于D ，点O 是AC 边上一点，联结BO 交AD 于点F ，OB OE ⊥交BC 边于点E . 求证：ABF ∆∴COE ∆.4. 3. 已知：如图，ABC ∆是直角三角形，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥于点D ，E 是AC 的中点，ED 的延长线与CB 的延长线交于点F .求证：FCFDFD FB =.【综合培优1】一、选择题1. 下列语句不正确的是（ ）A. 两个等边三角形是相似三角形B. 有一个角为40°的两个等腰三角形相似C. 两个等腰直角三角形是相似三角形D. 有一个角为100°的两个等腰三角形相似2. 如图，已知：点D 在∴ABC 的边AB 上，且ACD ∠=B ∠，则下列各式中不一定成立的是（ ） A. AB AD AC ⋅=2 B.BC CDAC AD =C.BCCDDB AD =D. ABBC AC CD =二、填空题3. 如图，已知：AD 、BC 相交于点O ，C A ∠=∠，若4=AO ，6=OB ，8=OC ，则=OD .4. 如图，已知：AD 、BE 是ABC ∆的两高，AD 、BE 相交于O ，则图中共有 对相似三角形.5. 如图，已知：CD 是ABC Rt ∆斜边上的高，则=CDAD= . 6. 如图，已知：点D 在ABC ∆的边AB 上，B ACD ∠=∠，6=AC ，4=AD ，=BD .7. 如图，已知：点D 在ABC ∆的边上，2=AD ，9=AB ，6=AC .过点D 的直线交AC 于点E ，使以点第3题图 第4题图第5题图 第6题图 第7题图E D A 、、为顶点的三角形与ABC ∆相似，则=AE .三、简答题8. 如图，以DE 为对称轴，折叠等边ABC ∆，使点A 正好落在边BC 上的F 点.求证：DBF ∆∴FCE ∆.9. 如图，已知：等腰ABC ∆中，AC AB =，︒=∠108BAC ，AB BD =，求BCBD的值.10. 如图，已知：ABC ∆中，点E 是AB 上一点，AC CE =，点D 在BC 上，DB DE =，DE 的延长线与CA的延长线相交于点F ，连结CE ，求证：DF DE CD ⋅=2.11. 如图，平行四边形ABCD 中，点E 在DC 上，联结AE ，BE ，点F 为AE 上一点，且C BFE ∠=∠.（1）求证：ABF ∆∴EAD ∆； （2）求证：AF AE DC DE ⋅=⋅.。