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学会用倒推思维的策略解决问题教学对象：五年级教学课时：2课时教学目标：1. 让学生理解倒推思维的含义，并能运用倒推思维解决实际问题。
2. 培养学生独立思考、合作交流的能力。
3. 提高学生解决问题的策略意识，培养学生的创新思维。
教学重点：1. 理解倒推思维的概念。
2. 学会运用倒推思维解决问题。
教学难点：1. 倒推思维在实际问题中的应用。
教学准备：1. PPT课件2. 教学案例及问题3. 练习题教学过程：第一课时：一、导入（5分钟）1. 引入倒推思维的概念，让学生初步了解倒推思维。
二、新课讲解（15分钟）1. 通过PPT课件，详细讲解倒推思维的定义、特点和应用。
2. 举例说明倒推思维在解决问题中的重要性。
三、案例分析（10分钟）1. 给出一个实际问题，让学生尝试用倒推思维解决。
2. 分组讨论，引导学生思考解决问题的不同途径。
四、练习巩固（10分钟）1. 让学生独立完成练习题，检验对倒推思维的理解和运用。
2. 教师点评，总结学生的解题思路。
第二课时：五、拓展提升（15分钟）1. 引导学生思考倒推思维在其他学科和生活中的应用。
2. 举例说明倒推思维在科技创新、企业管理等方面的作用。
六、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，总结倒推思维的特点和应用。
2. 强调倒推思维在解决问题中的重要性。
七、课后作业（5分钟）2. 教师收集学生的作业，进行点评和反馈。
教学反思：本节课通过讲解、案例分析和练习，使学生初步掌握了倒推思维的概念和应用。
在教学过程中，要注意引导学生积极参与，启发他们思考问题的不同角度。
要关注学生的个体差异，给予不同的指导和鼓励，使他们在解决问题的过程中不断提高自己的倒推思维能力。
六、实践操作（10分钟）教师设计一个综合实践任务，让学生运用倒推思维策略解决问题。
例如，设计一个班级活动日程表，要求学生在有限的教室资源和时间条件下，安排一系列活动。
学生分组讨论，尝试用倒推思维方法确定最佳活动安排。
第8讲——巧解分数应用题（三）本讲介绍的分数应用题是较灵活的两种类型，要求同学们能迅速地抓住问题本质，灵活解答。
（1） 通过假设来改变题目中的条件或减少未知量的个数，使得数量关系变得明朗，列式变得简单，推理变得简捷，解题变得容易，这样的解题方法叫做假设法。
（2） 推理的方向与事物发展的方向相反，把事物发展的结果作为推理的起点，逐步还原，以求出最初情况，这种推理方法叫做逆推法。
一、从“结论”入手倒推例1、食堂买来一批面粉，第一天吃了这批面粉总量的101，第二天吃了余下面粉总量的91；以后7天，每天分别吃去当天面粉总量的81，71，61，…,31,21;第10天吃了4袋，正好把所有的面粉都吃完了。
问：这批面粉原来共有多少袋？分析与解1 根据题意，从地10天，第9天……倒推回去，列式求出这批面粉的总袋数。
4÷(1-21)÷(1-31)÷(1-41)÷…÷(1-101)=4÷21÷32÷43÷…÷109=4×12×23×34×…×910=40(袋)分析与解2 这批面粉共吃了10天，把这堆面粉平均分成了10堆。
第1天吃了这批面粉的101，即正好吃了一堆，还剩9堆；第2天吃了余下的91，也正好吃了1堆，这时还剩下8堆；第3天吃了再剩下的81，也正好是吃了1堆……这样每天吃的都是一堆。
第10天吃了4袋，因此，这批面粉共有4×10=40（袋） 答：这批面粉原来共有40袋。
做一做：山顶有棵桃树，一只猴子第一天偷吃了101，以后8天分别偷吃了当天树上桃子的91，81，…,31,21，最后树上只剩下10个桃子。
问：树上原来有多少个桃子？例2、一堆西瓜，第一次卖出总个数的41又4个，第二次卖出余下的21又2个，第三次卖出第二次余下的21又2个，还剩下2个。
问：这堆西瓜共有多少个？解： （1）在第三次卖出去以前有多少个西瓜？（2+2）÷（1-21）=8（个）（2）在第二次卖出去以前有多少个西瓜？（8+2）÷（1-21）=20（个）（3）在第一次卖出去以前有多少个西瓜？（20+4）÷（1-41）=32（个）综合算式得：｛［（2+2）÷21+2］÷21+4｝÷（1-41）=32（个） 答：这堆西瓜共有32个。
《用“倒推”的策略解决问题》教学设计怀来县府前小学徐忠飞【教学目标】：1、知识与能力目标：使学生在解决实际问题的过程中学会用倒推的策略解决问题；使学生在列表、画图这些解决问题的策略基础上，进一步感受倒推是一种解决问题的常用策略。
2、过程与方法目标：使学生经历探究解决问题的策略的过程，进一步积累解决问题的经验，增强解决问题的策略意识。
3、情感、态度、价值观目标：激发学生积极主动的情感状态，养成注意倾听的习惯，体验互助合作的乐趣，获得解决问题的成功体验，提高学好数学的信心。
【教学重难点】：重点:使学生学会运用"倒推"的策略寻找解决问题的思路,并能根据问题的具体情况确定合理的解题步骤.难点:使学生在对解决实际问题过程的不断反思中,感受“倒推”的策略对于解决特定问题的价值,进一步发展分析,综合和进行简单推理的能力.【教学准备】：多媒体课件、粘贴【设计理念】：本案例我从解决问题的目标出发，以形成策略意识为中心，注意发展学生的应用意识、合作交流意识、评价与反思意识以及实践能力和创新精神。
1、心理学研究表明，学生在学习中的情绪与教学效果有直接关系，而教学的情境又是影响学生情绪的重要原因。
因此，结合知识点，创设学生感兴趣的情境内容，显得尤为重要。
2、现代教育理论强调引导学生参与学习活动。
在教学过程中，我就创造一定的条件，通过学生的耳、眼、口、手、脑等多种器官的感受和体验，探究解决问题的能力策略。
【设计思路】：首先，通过课前活动和问题激趣引入教学，使学生感受策略的价值，激发学生的求知欲，并初步体会“倒推”的策略。
其次，通过两个例题的自主探究，学生初步掌握运用倒推策略解决问题的基本思考方法和过程最后，拓展应用部分通过算一算、画一画和玩一玩，应用倒推策略解决实际问题，巩固对“转化”策略的理解。
【教学过程】：一、生活问题激趣师：上新课之前，老师请大家来解决两个生活中常见的问题。
问题1：如果我只告诉同学们从邗江头桥镇到瘦西湖的路，而不告诉你回邗江头桥镇的路，到了那，你会回来吗？怎么回来？{原路返回}问题2：小明一直想知道他们那辆校车上有多少学生。
小学奥数之倒推法例题讲解例题：商店购进一种商品来销售，第一天卖出总数的17又8个，第二天卖出余下的14又5个，第三天卖出余下的25又15个，正好卖完。
求这种商品原有多少个？分析：有时候一些应用题里面有多个单位“1”，或者说单位“1”不统一，这时候我们该怎么办呢？就像上面这题，“原来的商品个数”是一个单位“1”，第二天余下的商品是另一个单位“1”，第三天余下的商品又是另一个单位“1”。
这个时候我们就可以运用“倒推法”，从结果出发一步步往前推。
首先我们画出线段图：先推理①的数量：根据题意“第三天卖出余下的25又15个，正好卖完。
”，可知15个占了①的（1-25），因此我们用除法可以求出①的数量。
15÷（1-25）=15÷35=25（个）再推理②的数量：根据题意“第二天卖出余下的14又5个”，可知②的数量+5，就占了②的（1-14），因此我们用除法可以求出②的数量。
（25+5）÷（1-14）=40（个）最后推理③的数量：根据题意“第一天卖出总数的17又8个”，可知③的数量+8，就占了③的（1-17），因此我们用除法可以求出③的数量。
（40+8）÷（1-17）=56（个）答：这种商品原有56个。
老司机的话：这种题型虽然也可以用初中的“一元一次方程”做出来，但小学生不好理解。
我们灵活运用“线段图”和“倒推法”，可以有效率地提高小学生的思维能力，促进他们智力的开发。
“倒推法”在其他领域也有不少用处，例如名侦探查案的时候，可以根据现场的蛛丝马迹查出坏人是谁。
是一种很有趣的方法呢~。
三年级奥数解析：用倒推法解应用题综述：有些应用题解法的思考，是从应用题所叙述事情的最后结果出发，利用已知条件一步一步倒着分析推理。
追根究底，逐步靠拢所求，直到解决问题。
这种思考问题的方法，通常我们把它叫做倒推法。
故事为铺垫例题：张二痞平时好吃懒做，还一心想发财，一天，他依在一棵大槐树上正幻想着如何发财，突然来了一位白发苍的老人，看透了他的心事，笑了笑对他说：“小伙子，我知道你在想什么，想发财，我可以帮助。
”张二痞高兴得跳起来：“真的！你帮我发了才，一定感谢你。
”老人说：“我知道你身上有钱，但不多，这样吧，把你身上的钱往身后树洞里一放，我吹一口气，你的钱就会增加一倍，然后你给我32元作为报酬。
”小伙子照样办了，钱果然增长了一倍，他恳求老人再来一次，钱一放，吹口气，又增加一倍，付给老人32元………经过四次之后，张二痞从树洞里取出32元，付给了老人，他变得两手空空的了。
十分沮丧。
老人把钱还给张二痞说：“小伙子，要发财，还得靠自己勤劳。
”说完老人不见。
这是怎么一回事？张二痞原来有多少钱？我们用“○”表示小伙子原来的钱数，按照上面说的，就会得到下面的图示：从上图就会发现，如果顺着算是很是很难算出原来的钱数，如果我们从最后的结果，倒推回去，就很容易算出原来的钱数，如果给老人32元，最后一次从树洞里取出的钱就是32元，第4次放进去的钱就是32÷2＝16元了，照这样倒推回去，就得到下面的图示：2－32 ×2－32（4） （3）（2） （1）这样倒着推算的结果是张二痞原来只有30元。
有些问题，从已知条件出发，向所求的问题顺着推算得到答案是很困难的，如果从应用题所叙述的叙述的最后结果出发，倒着向前一步一步分析推算，直到解决问题，解起来就容易得多，这种利用已知条件，按照题目叙述的过程向相反的方向倒着推理思考、解答问题的方法，通常叫做“倒推法”。
例1 小聪问小明：“你今年几岁？”小明回答说：“用我的年龄数减去8，乘以7，加上6，除以5，正好等于4。
第7讲用倒推法解分数应用题知识要点在数学问题中，当顺着题目的条件的叙述去寻找解法时，往往有一定的困难，但是，如果改变一下思考的顺序，从问题的最后结果出发，一步一步倒推着思考，一步一步地往回算，加法用减法还原，减法用加法还原，乘法用除法还原，除法用乘法还原，那么问题就很容易解决，这种解题的方法，我们称之为倒推法。
能用倒推法解决的数学问题常常须满足如下三个条件：（1）最初的数据是未知的；（2）中间的每个步骤是明确的；（3）最后的结果数据是已知的。
对于一些较复杂的还原问题，还要学会用线段图和列表的方法处理，借助线段图、表格来倒推，既能弄清数量关系，又便于验算。
小明看一本书，第一天看了这本书的1/2还多6页，第二天看了余下的1/3，这时还剩下42页。
这本书一共有多少页？我是这样想的：由第二天看了余下的1/3后，还剩42页，可知：余下的页为：42÷（1-1/3）=63（页）全书页数的1/2为：63+6=69（页）全书的页数为：69÷1/2=138（页）解：42÷（1-1/3）=63（页）（63+6）÷（1-1/2）=138（页）答：这本书一共有138页。
例题精讲1修路队修一条路，第一天修了全长的13，第二天修了余下的13，还剩180米没有修，问这条路全长多少米？2某仓库有橡胶原料若干，运出52后，剩下的橡胶原料全部分给了甲、乙、丙三个工厂，甲厂分得21，乙厂分得31，丙厂分得7吨。
问：该仓库原有橡胶原料多少吨？3修路队修一条路，第一周修了全长的12还多2千米，第二周修了余下的27还多1千米，第三周修了9千米刚好修完这条路，问这条路全长多少千米？4山坡上有一棵桃树，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了110，以后八天分别偷吃了当天树上桃子的11111,,,,,98732，偷了九天，树上还剩下10个桃子，这棵树上原有多少个桃子？5有一堆桃，第一个猴子拿走了这堆桃的21多21个，第二个猴子又拿走了剩下桃的21多21个，第三个猴子又拿走了最后剩下桃的21多21个，这时桃子正好被拿光。
用“倒推法”学解算术应用题应用题教学是数学教学的难点之一。
小学生由于受年龄、理解能力等方面的局限，读题、分析、理解能力差距较大，给应用题教学带来很大的困难。
因此，教会学生用“倒推法”学解算术应用题是小学阶段数学教学的又一简捷方法。
1．用“倒推法”解算术应用题的基本思路、基本模式及板书设计1．1用“倒推法”解算术应用题的基本思路是：从应用题的问题入手，一步一步倒推着找解决问题的条件，直到所有的条件都为已知条件为止。
在有的书上也称之为找“中间量”，只要找到这些具有桥梁作用的中间量，也就能找到解决问题的方法。
其教学的基本模式是：知道“要求的问题是什么”,那么“必须具备哪两个条件”。
其课堂分析过程板书形如一个“金字塔样式”，使学生一看就一目了然。
解题时倒着先从“金字塔”底部做起，一步一步解到顶部，直至求出答案为止。
例如：教学有甲、乙、丙、丁四个数，已知乙数是31，丁数是27，丙数是丁数的2倍，甲数比丙数多9，求甲数比乙数多多少？这个三步计算的应用题时，对于初学应用题的小朋友肯定难掌握好，四个数搅来搅去，使小朋友头混脑胀。
用“倒推法”来解，则显得较为清楚明了。
题中要求的问题是“甲数比乙数多多少人？”那么必须知道“甲数和乙数各是多少”这两个条件。
由于甲数不是已知的，那么又把甲数当作问题来求。
要求“甲”数，必须知道“丙”数是多少？（由题意得知甲数比丙数多9）……就这样，通过这种模式的分析，直到所需的条件都为已知为止。
（其分析过程如下图）分析过程——金字塔模式解题时则需先从金字塔的底部作起，即必须先求出“丙数是多少？”然后求出“甲数是多少？”最后求出“甲比乙多多少？”列出综合算式是：27×2+9-31。
1．2小学阶段我们所学的算术应用题从内容看可大致分为行程应用题、工作量应用题、产量应用题、几何应用题及其他综合类应用题等几类。
从应用题的类型看可归纳为“归一类应用题、归总类应用题、连乘连除类应用题和混合类应用题”。
用倒推法巧解分数应用题如东县曹埠镇曹埠小学六年级王翀宇(226402)最近我们学习了分数应用题，通过学习，我发现了有些分数应用题，我们可以用倒推的方法，也就是按照题目中叙述过程的相反顺序来思考、分析，从而比较顺利地求出了结果。
例如：一只猴子在山上摘桃子吃。
第一天吃了一棵树上桃子数的1/10，以后两天分别吃了当天这棵树上剩下桃子数的1/5、1/3。
这样，这棵树上还留下48个桃子。
这棵树上原有多少个桃子？我想：从已知条件的最后结果出发，倒推过去思考。
由猴子在第三天吃剩下桃子数的1/3后，树上还有48个桃子这个条件出发，可以知道，猴子吃了2天后树上的桃子数为：48÷（1-1/3）=72（个）同理推出，猴子第一天吃了以后树上的桃子数为：72÷（1-1/5）=90（个）树上原有的桃子数为：90÷（1-1/10）=100（个）答：这棵树上原有桃子100个。
比如：小明看一本书，第一天看了这本书的1/2还多6页，第二天看了余下的1/3，这时还剩下42页。
这本书一共有多少页？我是这样想的：由第二天看了余下的1/3后，还剩42页，可知：余下的页为：42÷（1-1/3）=63（页）全书页数的1/2为：63+6=69（页）全书的页数为：69÷1/2=138（页）解：42÷（1-1/3）=63（页）（63+6）÷（1-1/2）=138（页）答：这本书一共有138页。
还有这样一题：白兔、黑兔各采蘑菇若干千克，白兔拿出1/5给黑兔，黑兔再拿出现有蘑菇的1/4给白兔，这时它们都有蘑菇18千克。
它们原来各采蘑菇多少千克？这道题我是这样想的：从题目中的最后一个条件去想，黑兔拿出现有蘑菇的1/4后还剩18千克，那么它在未拿出之前应有蘑菇是：18÷（1-1/4）=24（千克）。
这也就是说，黑兔拿出了24-18=6（千克）蘑菇给白兔，白兔在得到黑兔蘑菇之前应有蘑菇是：18-6=12（千克）。
而这12千克实际上是白兔拿出它原有蘑菇的1/5给黑兔后的蘑菇，这样白兔原有的蘑菇就是：12÷（1-1/5）=15（千克）。
那么，黑兔原有的蘑菇应是多少呢？把它算出来，再验算，看看对不对。
通过这三道题的解答，使我明白了，能用倒推法解答的分数应用题通常具备以下的特点：（1）已知最后的结果；（2）已知在到达最终结果时的每一步的具体过程（或具体做法），都能够还原；（3）要求的是最初的数据。
来源：本站原创 2011-06-17 18:18:13[标签：应用题解盈亏问题必备公式]奥数精华资讯免费订阅【盈亏问题公式】（1）一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式：（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。
例如，“小朋友分桃子，每人10个少9个，每人8个多7个。
问：有多少个小朋友和多少个桃子？”解（7+9）÷（10-8）=16÷2=8（个）………………人数10×8-9=80-9=71（个）………………………桃子或8×8+7=64+7=71（个）（答略）（2）两次都有余（盈），可用公式：（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数。
例如，“士兵背子弹作行军训练，每人背45发，多680发；若每人背50发，则还多2 00发。
问：有士兵多少人？有子弹多少发？”解（680-200）÷（50-45）=480÷5=96（人）45×96+680=5000（发）或50×96+200=5000（发）（答略）（3）两次都不够（亏），可用公式：（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。
例如，“将一批本子发给学生，每人发10本，差90本；若每人发8本，则仍差8本。
有多少学生和多少本本子？”解（90-8）÷（10-8）=82÷2=41（人）10×41-90=320（本）（答略）（4）一次不够（亏），另一次刚好分完，可用公式：亏÷（两次每人分配数的差）=人数。
（例略）（5）一次有余（盈），另一次刚好分完，可用公式：应用题：奥数中的经济利润问题例题讲解来源：本站原创 2011-06-17 22:08:39[标签：应用题奥数经济利润题例题讲解]奥数精华资讯免费订阅1、来源：本站原创 2011-06-17 18:41:28[标签：应用题年龄问题例题解析]奥数精华资讯免费订阅在一些数学问题中要讨论年龄的变化和几个人的年龄的关系，我们知道随着时间的往后或往前推移，人的年龄就会增加或减少，如果有几个人，时间往后推移，几个人年龄的和随着年数增加而增加年数的几（按人数）倍，但这几个人年龄间的差却是不变的。
在解答有关年龄变化的问题时这是必须牢记的。
例1：小华今年12岁，他妈妈今年48岁，多少年以前妈妈的年龄是小华的5倍？多少年以后妈妈的年龄是小华的3倍？解：首先，不管是今年或今年前、今年后的若干年，小华和他妈妈年龄的差都是相同的，妈妈的年龄比小华大48－12=36（岁）。
当妈妈的年龄是小华的5倍时，把那时小华的年龄作为1份，妈妈的年龄是这样的5份，比小华多5－1=4（份），所以那时小华是：36÷4=9（岁），是在今年前12－9=3（年）。
当妈妈的年龄是小华的3倍时，把那时小华的年龄作为1份，妈妈的年龄是这样的3份，比小华3－1=2（份），所以那时小华是：36÷2=18（岁），是在今年后18－12=6（年）。
答：3年以前，妈妈的年龄是小华的5倍，6年以后，妈妈的年龄是小华的3倍。
例2：小芬家由小芬和她的父母组成，小芬的父亲比母亲大4岁，今年全家年龄的和是72岁，10年前这一家全家年龄的和是44岁。
今年三人各是多少岁？解：一家人年龄的和今年与10年前比较增加了72－44=28（岁），而如果按照三人计算10年后应增加3×10=30（岁），只能是小芬少了2岁，即小芬8年前出生，今年是8岁，今年父亲是（72－8＋4）÷2=34（岁），今年母亲是34－4=30（岁）。
答：今年父亲34岁，母亲30岁，小芬8岁。
例3：父亲今年38岁，母亲今年36岁，儿子今年11岁，多少年后，父母亲的年龄之和是儿子的年龄的4倍？解：今年父母年龄之和为38＋36=74（岁），儿子年龄的4倍是44岁，今年父母年龄之和比儿子年龄的4倍多74－44=30（岁），而每过一年父母年龄增加2岁，过一年儿子年龄增加数的4倍为4岁，就是说每过一年父母年龄的增加比儿子年龄增加数的4倍少4－2= 2（岁），当父母年龄之和为儿子年龄的4倍时，要过30÷2=15（年）。
答：15年后，父母亲的年龄之和是儿子的年龄的4倍。
例4：今年张老师的年龄是小华年龄的5倍，过8年，张老师的年龄是小华年龄的3倍，小华今年多少岁？解：今年张老师的年龄是小华年龄的5倍，是把今年小华年龄的作为1份，今年张老师的年龄是这样的5份，张老师今年的年龄比小华多5－1=4（份），过8年，张老师的年龄是小华年龄的3倍，是把那时小华的年龄作为1份，张老师那时的年龄是这样的3份，张老师那时的年龄比小华多3－1=2（份）。
今年和过8年后张老师与小华年龄差的岁数是相同的，因此过8年的1份是今年的4÷2=2（份），那么，今年的1份的岁数是8÷（2－1）= 8（岁），就是今年小华8岁。
答：今年小华8岁。
例5：今年大华20岁，大明18岁，小芬12岁，小玲8岁，多少年后大华、大明的年龄的和的2倍等于小芬、小玲年龄的和的3倍？解：今年大华、大明年龄的和的2倍是（20＋18）×2=76（岁），小芬、小玲年龄的和的3倍是（12＋8）×3=60（岁），大华、大明年龄的和的2倍比小芬、小玲年龄的和的3倍多76－60=16（岁），而每过一年，大华、大明增加年龄的和的2倍比小芬、小玲增加年龄的和的3倍少2×3－2×2=2（岁），使大华、大明年龄的和的2倍等于小芬、小玲年龄的和的3倍，过的年数是16÷2=8（年）。
答：8年后大华、大明的年龄的和的2倍等于小芬、小玲年龄的和的3倍。
*例6：小云问刘老师今年多少岁。
刘老师说：“当我像你这么大的时候，你只有3岁，当你像我这么大的时候，我已经39岁了。
”刘老师今年多少岁？解：把小云和刘老师年龄的变化情况画成下面的线段图：刘老师比小云大的岁数用1个“→”所指的线段表示，当刘老师的年龄往回推移到小云今年的年龄时，推移了这样的一段，小云的年龄也同样往回推移这样的一段，这样小云只有3岁；当小云的年龄往后推移这样一段到刘老师今年的年龄时，刘老师的年龄也往后推移这样的一段，这样，刘老师就有39岁。
从图中看到39岁比3岁多了3个这样的一段，每段（就是两人的年龄差）是（39－3）÷3=12（岁），刘老师今年的年龄是39－12=27（岁）。
第二章珠算加减法教学目的：通过本章的学习能够熟记珠算加减法口诀；能熟练进行基本珠算加减法运算，无决式加减法运算。
了解珠算结合心算加减法运算。
教学重点：（1）珠算加减法口诀；（2）凑五补十加减法；（3）珠算结合心算加减法。
教学难点：（1）珠算加减法口诀；（2）凑五补十加减法。
课时安排：总学时16课时。
课前五分钟：爱国就是对祖国的忠诚和热爱。
历朝历代，许多仁人志士都具有强烈的忧国忧民思想，以国事为己任，前仆后继，临难不屈，保卫祖国，关怀民生，这种可贵的精神，使中华民族历经劫难而不衰。
爱国的内容十分广泛，热爱祖国的山河，热爱民族的历史，关心祖国的命运，在危难之时英勇战斗，为祖国捐躯，都是爱国主义的表现。
在中华民族五千年的发展历程中，中华民族形成了以爱国主义为核心的伟大的民族精神。
