时钟上的角度

钟表问题“钟面角”日常生活中，我们几乎每天都要看钟表，然而我们对钟表表面上的时针、分针、秒针之间的夹角（即“钟面角”）问题可能并没有在意．其实钟面角中蕴涵着丰富的数学知识，我们一起来探究一下“钟面角”问题吧．一、认识“钟面角”要分析钟面角，我们首先要结合其图形特点，寻找并发现它们的变化规律．⑴钟表的表面特点：钟表的表面都是一个圆形，共有12个大格，每个大格间有5个小格．圆形的表面恰好对应着一个周角360°，每个大格对应30°角，每个小格对应6°角．表面一般有时针、分针、秒针三根指针．⑵钟表时针、分针、秒针的转动情况：时针每小时转1大格，每12分钟转1小格，每12个小时转1个圆周；分针每5分钟转一大格，每1分钟转1小格，每小时转1个圆周；秒针5秒钟转1大格，每1秒钟转1小格，每1分钟转一个圆周．⑶时针、分针、秒针的转速：有了以上的认识，我们很容易计算出相应指针的转速：①钟表的时针转速为：30°/小时或0.5°/分钟；②分针的转速为：6°/分钟或0.1°/秒钟；③秒针的转速为：6°/秒．有了这些对钟面角的基本认识，我们就可以探究与钟面角有关的问题了．二、解决与钟面角有关的数学问题⒈计算从某一时刻到另一时刻，时针（分针）转过的角度⑴公式法：时（分）针从某一时刻到另一时刻转过的角度=时（分）针转过的时间×时（分）针的转速（注意统一单位）．⑵观察法：若时（分）针转过了a大格b小格，则时（分）针从某一时刻到另一时刻转过的角度为：30a+6b°．例1.⑴从3：15到7：45，时针转过度．⑵从1：45到2：05，分针转过度．分析：⑴从3：15到7：45，时针走过的时间为4.5小时（270分钟），∴时针转过的角度为：4.5×30°=135°（或270×0.5°=135°）或用观察法：时针共走了4大格2.5小格，∴时针转过的角度为：4×30+2.5×6=135°．⑵从1：45到2：05，分钟走过的时间为20分钟，∴分针转过的角度为：20×6°=120°．或用观察法：分针共走了4个大格（或20小格）∴分针转过的角度为：4×30°=120°（或：20×6°=120°）．⒉计算某一时刻时针（分针）与分针（秒针）之间的夹角⑴求差法：以0点（12时）为基准到某一时刻止，时针转过的角度与分针在整点后的时间转过的角度差，即时针、分针之间的夹角．⑵观察法：某一时刻时针、分针相差a个大格b个小格，时针分针的钟面角=30a+6b°．例2．⑴4：00点整，时针、分针的夹角为．⑵11：40，时针、分针的夹角为．分析：⑴4：00整，时针、分针相差4个大格，夹角为：4×30°=120°．⑵①作差法：11：40，以0点（12时）为基准时针转过的角度为：11×30°=350°分针转过的角度为：40×6°=240°∴时针、分针的夹角为：350°－240°=110°②观察法：11：40分针、时针相隔3个大格，∴时针、分针的夹角为：3×30°=110°⒊求时针、分针成特殊角时对应的时间方程思想：时针、分针成特殊角时对应的时间问题，通常以0点（12时）为基准将时针、分针所转过的角度可看成一个追及问题，从而借助方程进行求解．相等关系：①整点后分针转过的角度－整点后时针转过的角度=整点时分针、时针的夹角（分针需追赶的角度）+a时x分分针与指针的夹角（分针应多转的角度）②或：分针整点后转过的角度—时针从0点基准到现在时刻转过的角度=所成的特殊角例3．你能用一元一次方程解决下面的问题吗？（课本习题P114页第8题）在3时和4时之间的哪个时刻，钟的分针与时针：⑴重合；⑵成平角；⑶成直角．分析：⑴重合：设3时x分时针、分针重合．3时整，时针、分针的夹角为90°．即在后x分钟，分针要比时针多走90°，分针才能追及时针重合．从3时整到3时x分，分针走过6x度角，时针走过0.5x度角．依题意有6x－0.5x=90 解得：x≈16⑵分针与时针成平角：设3时x分时针、分针成平角，即在后x分钟，分针先要多走90°追及时针，然后还要比时针多走180°．依题意有6x－0.5x=90+180 解得：x≈49⑶分针与时针成直角：应分两种情况讨论．①分针在时针的顺时针方向垂直．此时钟面角为90°．即在后x分钟，分针先要多走90°追及时针，然后还要比时针多走90°．依题意有6x－0.5x=90+90180 解得：x≈33②分针在时针的逆时针方向垂直．此时钟面角为270°．即在后x分钟，分针先要多走90°追及时针，然后还要比时针多走270°．依题意有6x－0.5x=90+90180 解得：x≈65（不合题意，舍去）⒋钟面角的综合应用例4.在一个圆形时钟的表面，OA表示秒钟，OB表示分钟（O为两针的旋转中心）．若现在时间恰好是12点整，问经过多少秒后，△OAB的面积第一次达到最大？分析：△OAB的面积最大，设OA边上的高为h，则h总小于等于OB，只有当OA⊥OB时，h=OB，此时△OAB的面积最大．12点整，分针、秒针重合，设经过x秒，分针、秒针第一次垂直，△OAB的面积第一次达到最大．此时秒针走过角度为6x，分针走过的角度为0.1x．依题意有6x—0.1x=90 解得x=15即经过15秒后，△OAB的面积第一次达到最大．钟表夹角问题公式钟面上分12大格60小格。

时整时针和分针成一条线时整，时针与分针成一条直线。

分析过程如下：
当时针与分针成一条直线的时候，所表示的时间也就是6时整。

6时整有两种情况，第一种是早上六点，还有一种情况是下午六点。

此时，分针指向数字12，时针指向数字6，分针和时针成一条直线，角度为180度。

如下图所示：
扩展资料：
时间单位的换算关系：
（1）一天=1440分钟，1小时=60分钟，1分钟=60秒。

（2）一刻=15分钟，一字=5分钟（闽南广东地区用法）。

时钟各指针的角度关系：
（1）普通钟表相当于圆，其时针或分针走一圈均相当于走过360°角。

（2）钟表上的每一个大格对应的角度是：30°。

（3）时针每走过1分钟对应的角度应为：0.5°
（4）分针每走过1分钟对应的角度应为：6°。

问题研究新课程NEW CURRICULUM一、圆形时钟钟面采取实物教具———圆形石英钟和同学们一起探讨表盘中指针的夹角，通过演示可以明确知道，表盘给我们一个360°的周角形象。

让学生观察时钟表面结构可知：时针12小时转表盘一圈，即旋转了360°，所以时针1小时旋转360°÷12=30°，就很容易得到时针1分钟转30°÷60=0.5°；而分针60分钟转一圈，所以分针1分钟转360°÷60=6°。

我们经过探究，得出结论，形成概念。

（1）表盘中共有12个数字，每两个相邻的数字中心线间的夹角是30°。

（2）表盘中分针每分钟转6°，而时针每分钟转0.5°。

（3）在同一时间内，分针是时针所转度数的12倍。

利用这些关系就可以解决钟表上的有关问题。

【例1】七点三十分时，钟表上时针与分针的夹角是多少度？分析：七点三十分时，分针指在6上，而时针指在7~8中间的位置，两指针之间相距1.5个30°。

所以，夹角度数为30°×1.5=45°。

二、探究数学模型通过实物演示和学生一起建立了以下数学模型：1.整点时间指针度数的计算把钟表指针拨向1点、3点、5点、6点时，学生能够利用先前得到的结论很容易地算出用小时数乘以30°；这时，把指针指向7点，结果有许多学生把度数计算成210°，提示大家：时针与分针所夹的角是指小于180°的角，那么应怎样计算呢？学生通过观察讨论认为用360°去减，算另外一侧的角。

由此得出数学模型：令时间为a 小时，则两指针的夹角=a ×30°或360°-a ×30°。

2.非整点时间指针度数的计算把钟表指针拨到如图，1点45分时的时针与分针之间的夹角是多少？我们很容易地看到此时的夹角是分针与12点中心线的夹角减去时针与12点中心线夹角的差。

第1讲角度换算及时钟上的角知识定位讲解用时：5分钟A适用范围：北师大版初一，基础一般；B知识点概述：本讲义主要用于北师大版初一新课，本节课我们要学习时钟上的角度问题求解、角度换算。

知识梳理讲解用时：20分钟度分秒的换算公式：1°=60′ 1′=60″钟面上时针和分针转过的角度：时针：1小时转1大格=30° 1分钟转0.5°分针：1小时转12大格=360° 1分钟转6°课堂精讲精练【例题1】38.33°可化为（）A．38°30ˊ3″B．38°20ˊ3″C．38°19ˊ8″ D. 38°19ˊ48″【答案】D【解析】讲解用时：5分钟解题思路：本题考查了度分秒的换算，解题的关键是掌握度分秒是60进制教学建议：略难度：3 适用场景：当堂例题例题来源：年份：【练习1.1】15.25°可化为（）【答案】15°15′【解析】∵0.25°=15′，∴15.25°=15°15′讲解用时：5分钟解题思路：根据1°＝60′，1′＝60″，进行转换，即可解答．难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：年份：【例题2】把15°48′36″化成以度为单位是（）【答案】15.81°【解析】36″÷60=0.6′，48.6′÷60=0.81°，0.81°+15°=15.81°讲解用时：5分钟解题思路：根据1°＝60′，1′＝60″，进行转换，即可解答．教学建议：略难度：3 适用场景：当堂例题例题来源：年份：【练习2.1】把38°19ˊ48″化成以度为单位是（）【答案】38.33°【解析】48″÷60=0.8′，19.8′÷60=0.33°，0.33°+38°=38.33°讲解用时：5分钟解题思路：根据1°＝60′，1′＝60″，进行转换，即可解答．难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：年份：【例题3】若∠A＝20°18′，∠B＝20°15′30〞，∠C＝20.25°，则（）A．∠A＞∠B＞∠C B．∠B＞∠A＞∠CC．∠A＞∠C＞∠B D．∠C＞∠A＞∠B【答案】A【解析】解答：∵∠A＝20°18′，∠B＝20°15′30〞，∠C＝20.25°＝20°15′，∴∠A＞∠B＞∠C．故选A．讲解用时：5分钟解题思路：∠A、∠B已经是度、分、秒的形式，只要将∠C化为度、分、秒的形式，即可比较大小．教学建议：略难度：3 适用场景：当堂例题例题来源：年份：【练习3.1】若∠P＝25°12′，∠Q＝25.12°，∠R＝25.2°，则下列结论中正确的是（）A．∠P＝∠Q B．∠Q＝∠RC．∠P＝∠R D．∠P＝∠Q＝∠R【答案】C【解析】解答：25°12′＝25.2°，∴∠P＝∠R．故选C．讲解用时：5分钟解题思路：本题是度分秒的换算，根据换算结果直接得到答案．难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：年份：【例题4】计算15°48′36″+21°32′40″【答案】请输入内容【解析】15°48′36″+21°32′40″ =36°80′76″=37°21′16″讲解用时：5分钟解题思路：满60进1，注意进位跟十进制的区别之处教学建议：略难度：3 适用场景：当堂例题例题来源：年份：【练习4.1】计算15°48′36″+15.48°【答案】31°17′24″【解析】15.48°=15°28′48″，15°48′36″+15.48°=15°48′36″+15°28′48″=30°76′84″=31°17′24″讲解用时：5分钟解题思路：先换算成同样的单位，然后再计算，注意满60进1难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：年份：【例题5】已知∠α＝37°50′，∠β＝52°10′，则∠β－∠α＝______．【答案】14°20′．【解析】解答：∠β－∠α＝52°10′－37°50′＝14°20′．故答案为：14°20′．讲解用时：5分钟解题思路：把已知的度数代入式子计算，度与度对应相减，分与分对应相减，被减数的分小于减数的分，根据1度等于60分借1度计算即可．教学建议：略难度：3 适用场景：当堂例题例题来源：年份：【练习5.1】计算 90°﹣57°23′27″．【答案】32°36′33″【解析】90°=89°59′60″，90°﹣57°23′27″=89°59′60″-57°23′27″=32°36′33″讲解用时：5分钟解题思路：借1为60，注意借位跟十进制的区别之处难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：年份：【例题6】钟表在3点时，它的时针和分针所组成的角（小于180°）是（）A．30° B．60° C．75° D．90°【答案】D【解析】钟表被分成12大格，每一大格是30°，3点时，时针指向3，分针指向12，所以所成夹角为90°讲解用时：5分钟解题思路：画出时针分针所指位置，再根据时针分针单位时间所走过的角度计算即可教学建议：可以截一个钟表过来作为道具难度：3 适用场景：当堂例题例题来源：年份：【练习6.1】钟表在早晨8点时，它的时针和分针所组成的角（小于180°）是（）【答案】120°【解析】钟表被分成12大格，每一大格是30°，8点时，时针指向8，分针指向12，所以所成夹角为90°讲解用时：5分钟解题思路：画出时针分针所指位置，再根据时针分针单位时间所走过的角度计算即可难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：年份：【例题7】从9.00到9.30时针转过的角度为（），分针转过的角度为（）【答案】15°、180°【解析】9.00到9.30经过了30分，时针每分钟转过的角度是0.5°，分针每分钟转过的角度是6°。

钟面角度数公式是用于计算时钟上指针的角度的公式。

在一个标准的12小时制时钟中，时针、分针和秒针分别围绕表盘转动。

以下是计算时钟上指针角度的常用公式：
1. 时针角度：
时针每小时转动30度，每分钟转动0.5度，每秒钟转动1/120度。

假设当前时间为h小时，m分钟，s秒钟，则时针的角度为：(h * 30 + m * 0.5 + s *
(1/120))度。

2. 分针角度：
分针每分钟转动6度，每秒钟转动1/10度。

假设当前时间为m分钟，s秒钟，则分针的角度为：(m * 6 + s * (1/10))度。

3. 秒针角度：
秒针每秒钟转动6度。

假设当前时间为s秒钟，则秒针的角度为：s * 6度。

这些公式适用于标准的12小时制时钟。

时针与分针的角度计算公式(一)时针与分针的角度在时钟中，时针和分针的角度是一种有趣的几何关系。

当我们知道特定的时间时，我们可以使用以下公式计算时针与分针之间的角度。

公式1: 时针角度计算公式时针的角度可以通过以下公式计算：时针角度 = (时钟时数 % 12 + 分钟数 / 60) * 30这里，时钟时数是指当前小时数，范围从0到12；分钟数是指当前分钟数，范围从0到60。

示例假设当前时间是3点45分，那么我们可以使用公式来计算时针的角度：时针角度 = (3 % 12 + 45 / 60) * 30 = °因此，时针与12点方向之间的角度为°。

公式2: 分针角度计算公式分针的角度可以通过以下公式计算：分针角度 = 分钟数 * 6这里，分钟数是指当前分钟数，范围从0到60。

示例假设当前时间是3点45分，那么我们可以使用公式来计算分针的角度：分针角度 = 45 * 6 = 270°因此，分针与12点方向之间的角度为270°。

公式3: 时针与分针角度之差计算公式时针与分针之间的角度差可以通过以下公式计算：角度差 = |时针角度 - 分针角度|这里，| |表示取绝对值。

示例假设当前时间是3点45分，我们可以使用公式来计算时针与分针之间的角度差：角度差 = |° - 270°| = °因此，时针与分针之间的角度差为°。

综上所述，我们可以使用以上三个公式来计算时针与分针的角度及其之间的角度差。

这些公式可以帮助我们更好地理解时钟的几何关系，以及计算任意给定时间的时针与分针的角度。

2022-2023学年四年级数学上册典型例题系列之第八单元：钟表中的角度问题专项练习（解析版）1．如图钟面上表示的时间是（：），这时分针和时针形成的角是( )角，再过( )分钟就是3时了。

【答案】 2 55 钝 52．从下午2：00到下午3：00，钟面上的分针转动了( )°，时针转动了( )°。

【答案】 360 303．周末赵玲去王老师家学钢琴，时间是下午的3：00到5：00，这段时间钟面上的时针旋转了( )°。

【答案】604．钟面上的时间是7：00，时针和分针组成的角是( )度。

钟面上的时间是3：30，时针和分针组成的角是( )度。

【答案】 150 755．钟面上从3：00到3：15，分针转动了( )°；( )时整，时针和分针组成的角是平角。

【答案】 90 6或186．时钟3时整，分针和时针组成的角是( )度；5时整，分针和时针组成的角是( )角。

【答案】 90 钝7．钟面上3时整，时针与分针所形成的角是( )角；从3时到3时30分，分针转动( )度。

【答案】直 1808．从3：00到3：30，钟面上的时针转了( )°，分针转了( )°；9时整，钟面上时针和分针组成的较小夹角是( )角。

【答案】 15 180 直9．钟面上2时整，时针与分针所形成的角是（）角；从9时到9时30分，分针转动形成的角是（）角。

【答案】锐平10．钟面上，从13时到13时15分，分针转动的角度是（）°；从5时40分到6时05分，分针转动的角度是（）°。

【答案】 90 15011．钟面上2时整，时针和分针组成的角是( )角；钟面上3：00时，时针和分针组成的角是( )角；钟面上( )时整，时针和分针组成的角是平角。

【答案】锐直 612．2：00，钟面上时针和分针形成的角是( )角，9：30，钟面上时针和分针形成的角是( )角，3：30，钟面上时针和分针形成的角是( )角。

时针与分针的角度计算时针和分针是我们日常生活中经常见到的时钟指针。

它们分别指示着小时和分钟的信息，而它们之间的夹角则是人们在计算时间或解题中常常遇到的问题。

本文将介绍如何计算时针与分针的角度，并提供实际应用的例子。

一、基本原理要计算时针与分针的夹角，首先需要了解时针和分针每一分钟和小时所转过的角度。

1. 时针每一小时转过的角度为360度（一圈），所以每一分钟转过的角度为360度除以60，即6度。

2. 分针每一小时转过的角度也为360度，但由于分针一圈上有60个刻度，所以每一分钟转过的角度为360度除以60，即6度。

二、夹角计算一般情况下，夹角的计算涉及两种场景：整点和非整点。

1. 在整点时刻，时针恰好指向小时刻度，而此时分针指向12点的位置。

因此，此时时针和分针的夹角为0度。

2. 在非整点时刻，时针与分针的夹角可通过以下公式计算：夹角 = | (时针转过的角度 - 分针转过的角度) |三、实际应用时针与分针的角度计算在解题和实际生活中都有广泛的应用。

下面以几个例子来说明其中的实际应用。

例1：计算某时刻时针与分针的夹角假设现在是3时15分，我们要计算此时时针与分针的夹角。

根据以上的原理，时针转过的角度为15分钟乘以6度，即90度；分针转过的角度为15分钟乘以6度，也为90度。

带入夹角计算公式，夹角 = | 90度 - 90度 | = 0度。

因此，在3时15分的时刻，时针与分针的夹角为0度。

例2：题目解答现在我们假设有一道题目：“在12小时制下，几点几分时，时针与分针之间夹角为30度？”根据夹角计算公式，我们可以设时针转过的角度为x度，则分针转过的角度为(x+30)度。

代入时针每一分钟6度的角度计算，可以得到以下方程：(6x - 6(x+30)) = 30化简后可得：6x - 6x - 180 = 30化简后可得：180 = 30显然，方程无解。

因此，在12小时制下，时针与分针之间夹角为30度的情况是不存在的。