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For pers onal use only in study and research; not for commercial use1.2.3.4.5.6.7.8 .For pers onal use only in study and research; not for commercialuse椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论)椭圆点P处的切线PT平分△ PF1F2在点P处的外角.PT平分△ PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.若F0(X若P0(X02x,y0)在椭圆一亍a2、x,y0)在椭圆一2a2222y-by-b=1上，则过P0的椭圆的切线方程是一0厂•辔=1.a b=1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦2 x 椭圆一2 a2x 椭圆一2 a2222yby-b=1 (a>b> 0)的左右焦点分别为F1, F2,点P为椭圆上任意一点一RPF2 -=1 ( a > b> 0)的焦半径公式：P1P2的直线方程是°2 - =1.a b戈，则椭圆的焦点角形的面积为S A：1PF2 = b2tan—|MF i |=a ex o ,|MF 2p a-( Fj-c,0) , F 2(c,0) M (心 y °)).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M 、N 两点，贝U MF 丄NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A i 、A 2为椭圆长轴上的顶点，A i P 和A 2Q 交于点M , A 2P 和A i Q 交于点N ，则MF 丄NF.2 2 22-2y ^ = 1内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是一2y^ - ―02-a ba b a b双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线 相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切.(内切：P 在右支；外切：P 在左支)2 25.若F 0(x 0, y 0)在双曲线 令-占=1( a > 0,b > 0)上，则过F 0的双曲线的切线方程是 彎一呼 =1.a ba b2 26.若i =0(x 0, y 0)在双曲线—~2^2 -1(a >0,b >0)外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P2，则切点弦P 1P 2的直线方程是■X 0，__y°y=11. AB 是椭圆即KAB22a 2b 2b 2X 0—2 。
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）之老阳三干创作椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF1F2在点P 处的外角.2.PT 平分△PF1F2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是00221x x y ya b+=.7.椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点辨别为F1,F 2,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 辨别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF⊥NF.10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P 和A2Q 交于点M,A2P 和A1Q 交于点N,则MF⊥NF.11.AB 是椭圆22221x y a b +=的不服行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则22OM ABb k k a⋅=-,即0202y a x b K AB -=.12.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内,则被Po所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+.13.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内,则过Po的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+.双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF1F2在点P 处的内角.2.PT 平分△PF1F2在点P 处的内角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上,则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ,则过Po 作双曲线的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是00221x x y ya b-=. 7.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点辨别为F1,F 2,点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=,则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.8.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c -,2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时,10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时,10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9.设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 辨别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点,则MF⊥NF.10.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点,A1P 和A2Q 交于点M,A2P 和A1Q 交于点N,则MF⊥NF.11.AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不服行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则0202y a x b K K AB OM =⋅,即0202y a x b K AB =.12.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内,则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-. 13.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b-=-. 椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）高三数学备课组椭 圆1.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ,与y 轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.2.过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点,则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.3.若P为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点,12PF F α∠=, 21PF F β∠=,则tan t 22a c co a c αβ-=+.4.设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F1、F2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点,在△P F1F2中,记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=,则有sin sin sin ce aαβγ==+.5.若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点辨别为F1、F2,左准线为L,则当0＜1时,可在椭圆上求一点P,使得PF1是P 到对应准线距离d 与PF2的比例中项.6.P为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F1,F2为二焦点,A 为椭圆内一定点,则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时,等号成立.7.椭圆220022()()1x x y y a b--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.8.已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,O 为坐标原点,P 、Q 为椭圆上两动点,且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.9.过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点,弦MN的垂直平分线交x 轴于P,则||||2PF eMN =. 10.已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ,则22220a b a b x a a---<<. 11.设P点是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12F PF θ∠=,则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2)122tan 2PF F S b γ∆=.12.设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点,P 是椭圆上的一点,PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=,c 、e 辨别是椭圆的半焦距离心率,则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2)2tan tan 1e αβ=-.(3)22222cot PABa b S b a γ∆=-.13.已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ,过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上,且BC x ⊥轴,则直线AC 经过线段EF 的中点.14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点辨别称为内、外点.）17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分红定比e.18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）高三数学备课组双曲线1.双曲线22221x ya b-=（a＞0,b＞0）的两个顶点为1(,0)A a-,2(,0)A a,与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是22221x ya b+=.2.过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点,则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =-（常数）.3.若P为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=,则tan t 22c a co c a αβ-=+（或tan t 22c a co c a βα-=+）.4.设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F1、F2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点,在△PF1F2中,记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=,则有sin (sin sin )ce aαγβ==±-.5.若双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点辨别为F1、F2,左准线为L,则当11时,可在双曲线上求一点P,使得PF1是P 到对应准线距离d 与PF2的比例中项.6. P 为双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F1,F2为二焦点,A 为双曲线内一定点,则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时,等号成立.7. 双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A a B b C -≤. 8. 已知双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0）,O 为坐标原点,P 、Q 为双曲线上两动点,且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b+=-;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b b a-. 9. 过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N两点,弦MN 的垂直平分线交x 轴于P,则||||2PF e MN =. 10. 已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ,则220a b x a +≥或220a b x a +≤-. 11.设P 点是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12F PF θ∠=,则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2)122cot 2PF F S b γ∆=. 12. 设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点,P 是双曲线上的一点,PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=,c 、e 辨别是双曲线的半焦距离心率,则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αγ=-. (2)2tan tan 1e αβ=-.(3)22222cot PAB a b S b a γ∆=+.13. 已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ,过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上,且BC x ⊥轴,则直线AC经过线段EF 的中点.14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点辨别称为内、外点).17.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分红定比e.18.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.。
高考数学圆锥曲线的经典性质50条椭圆与双曲线的对偶性质－-（必背的经典结论）椭 圆1.点P 处的切线PT 平分△P Ｆ1Ｆ2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF １Ｆ2在点Ｐ处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点。
.3..4. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离。
5. 以焦点半径PF １为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切。
6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.7.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为Ｐ1、Ｐ2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b+=。
8.椭圆22221x y a b+=（a 〉b>０)的左右焦点分别为F 1,Ｆ ２，点Ｐ为椭圆上任意一点12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=．9.椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ， 2(,0)F c 00(,)M x y ).10. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,Ａ为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和ＡQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、Ｎ两点，则MF ⊥NF..11..12. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q ， Ａ1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Ｑ交于点N ，则MF ⊥N Ｆ..13..14.AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则22OM ABb k k a⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
*作品编号：DG13485201600078972981* 创作者： 玫霸*椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=. 6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7.椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11.AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
实用文档之"椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）"椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=. 6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b +=. 7.椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PFS b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11.AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）之马矢奏春创作椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF1F2在点P 处的外角.2.PT 平分△PF1F2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是00221x x y ya b+=.7.椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F1,F 2,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个极点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF⊥NF.10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A1、A2为椭圆长轴上的极点,A1P 和A2Q 交于点M,A2P 和A1Q 交于点N,则MF⊥NF.11.AB 是椭圆22221x y a b +=的不服行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则22OM ABb k k a⋅=-,即0202y a x b K AB -=.12.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内,则被Po所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+.13.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内,则过Po的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+.双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF1F2在点P 处的内角.2.PT 平分△PF1F2在点P 处的内角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上,则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ,则过Po 作双曲线的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是00221x x y ya b-=. 7.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F1,F 2,点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=,则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.8.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c -,2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时,10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时,10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9.设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个极点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点,则MF⊥NF.10.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A1、A2为双曲线实轴上的极点,A1P 和A2Q 交于点M,A2P 和A1Q 交于点N,则MF⊥NF.11.AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不服行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则0202y a x b K K AB OM =⋅,即0202y a x b K AB =.12.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内,则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-. 13.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b-=-. 椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）高三数学备课组椭 圆1.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞o ）的两个极点为1(,0)A a -,2(,0)A a ,与y 轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.2.过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点,则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.3.若P为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点,12PF F α∠=, 21PF F β∠=,则tan t 22a c co a c αβ-=+. 4.设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F1、F2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点,在△P F1F2中,记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=,则有sin sin sin ce aαβγ==+.5.若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当0＜1时,可在椭圆上求一点P,使得PF1是P 到对应准线距离d 与PF2的比例中项.6.P为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F1,F2为二焦点,A 为椭圆内一定点,则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时,等号成立.7.椭圆220022()()1x x y y a b--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.8.已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,O 为坐标原点,P 、Q 为椭圆上两动点,且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最年夜值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.9.过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点,弦MN的垂直平分线交x 轴于P,则||||2PF eMN =. 10.已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ,则22220a b a b x a a---<<. 11.设P点是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12F PF θ∠=,则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2)122tan 2PF F S b γ∆=.12.设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点,P 是椭圆上的一点,PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=,c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率,则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2)2tan tan 1e αβ=-.(3)22222cot PABa b S b a γ∆=-.13.已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ,过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上,且BC x ⊥轴,则直线AC 经过线段EF 的中点.14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).（注:在椭圆焦三角形中,非焦极点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦极点连线段分成定比e.18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）高三数学备课组双曲线1.双曲线22221x ya b-=（a＞0,b＞0）的两个极点为1(,0)A a-,2(,0)A a,与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是22221x ya b+=.2.过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点,则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =-（常数）.3.若P为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除极点外的任一点,F1, F2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=,则tan t 22c a co c a αβ-=+（或tan t 22c a co c a βα-=+）. 4.设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F1、F2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点,在△PF1F2中,记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=,则有sin (sin sin )ce aαγβ==±-.5.若双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当11时,可在双曲线上求一点P,使得PF1是P 到对应准线距离d 与PF2的比例中项.6. P 为双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F1,F2为二焦点,A 为双曲线内一定点,则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时,等号成立.7. 双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A a B b C -≤. 8. 已知双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0）,O 为坐标原点,P 、Q 为双曲线上两动点,且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=-;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a-;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b b a-. 9. 过双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N两点,弦MN 的垂直平分线交x 轴于P,则||||2PF e MN =. 10. 已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ,则220a b x a +≥或220a b x a +≤-. 11.设P 点是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12F PF θ∠=,则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2)122cot 2PF F S b γ∆=. 12. 设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点,P 是双曲线上的一点,PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=,c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率,则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αγ=-. (2)2tan tan 1e αβ=-.(3)22222cot PAB a b S b a γ∆=+.13. 已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ,过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上,且BC x ⊥轴,则直线AC经过线段EF 的中点.14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦极点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦极点连线段分成定比e.18.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.。
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）之吉白夕凡创作椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF1F2在点P 处的外角.2.PT 平分△PF1F2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是00221x x y ya b+=.7.椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点辨别为F1,F 2,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 辨别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF⊥NF.10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P 和A2Q 交于点M,A2P 和A1Q 交于点N,则MF⊥NF.11.AB 是椭圆22221x y a b +=的不服行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则22OM ABb k k a⋅=-,即0202y a x b K AB -=.12.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内,则被Po所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+.13.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内,则过Po的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+.双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF1F2在点P 处的内角.2.PT 平分△PF1F2在点P 处的内角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上,则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ,则过Po 作双曲线的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是00221x x y ya b-=. 7.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点辨别为F1,F 2,点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=,则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.8.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c -,2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时,10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时,10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9.设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 辨别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点,则MF⊥NF.10.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点,A1P 和A2Q 交于点M,A2P 和A1Q 交于点N,则MF⊥NF.11.AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不服行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则0202y a x b K K AB OM =⋅,即0202y a x b K AB =.12.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内,则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-. 13.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b-=-. 椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）高三数学备课组椭 圆1.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ,与y 轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.2.过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点,则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.3.若P为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点,12PF F α∠=, 21PF F β∠=,则tan t 22a c co a c αβ-=+. 4.设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F1、F2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点,在△P F1F2中,记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=,则有sin sin sin ce aαβγ==+.5.若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点辨别为F1、F2,左准线为L,则当0＜1时,可在椭圆上求一点P,使得PF1是P 到对应准线距离d 与PF2的比例中项.6.P为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F1,F2为二焦点,A 为椭圆内一定点,则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时,等号成立.7.椭圆220022()()1x x y y a b--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.8.已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,O 为坐标原点,P 、Q 为椭圆上两动点,且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.9.过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点,弦MN的垂直平分线交x 轴于P,则||||2PF eMN =. 10.已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ,则22220a b a b x a a---<<. 11.设P点是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12F PF θ∠=,则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2)122tan 2PF F S b γ∆=.12.设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点,P 是椭圆上的一点,PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=,c 、e 辨别是椭圆的半焦距离心率,则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2)2tan tan 1e αβ=-.(3)22222cot PABa b S b a γ∆=-.13.已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ,过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上,且BC x ⊥轴,则直线AC 经过线段EF 的中点.14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点辨别称为内、外点.）17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分红定比e.18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）高三数学备课组双曲线1.双曲线22221x ya b-=（a＞0,b＞0）的两个顶点为1(,0)A a-,2(,0)A a,与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是22221x ya b+=.2.过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点,则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =-（常数）.3.若P为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=,则tan t 22c a co c a αβ-=+（或tan t 22c a co c a βα-=+）. 4.设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F1、F2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点,在△PF1F2中,记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=,则有sin (sin sin )ce aαγβ==±-.5.若双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点辨别为F1、F2,左准线为L,则当11时,可在双曲线上求一点P,使得PF1是P 到对应准线距离d 与PF2的比例中项.6. P 为双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F1,F2为二焦点,A 为双曲线内一定点,则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时,等号成立.7. 双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A a B b C -≤. 8. 已知双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0）,O 为坐标原点,P 、Q 为双曲线上两动点,且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=-;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a-;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b b a-. 9. 过双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N两点,弦MN 的垂直平分线交x 轴于P,则||||2PF e MN =. 10. 已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ,则220a b x a +≥或220a b x a +≤-. 11.设P 点是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12F PF θ∠=,则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2)122cot 2PF F S b γ∆=. 12. 设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点,P 是双曲线上的一点,PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=,c 、e 辨别是双曲线的半焦距离心率,则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αγ=-. (2)2tan tan 1e αβ=-.(3)22222cot PAB a b S b a γ∆=+.13. 已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ,过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上,且BC x ⊥轴,则直线AC经过线段EF 的中点.14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点辨别称为内、外点).17.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分红定比e.18.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.。
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椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=. 6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7.椭圆22221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11.AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.13.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b +=+. 双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b -=. 6.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 7.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11.AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即022y a x b K AB=。
