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异方差性的概念 类型 后果 检验及其修正方法 含案例

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实验三 异方差性的检验及修正

实验三 异方差性的检验及修正

实验三异方差性的检验及修正一、实验目的掌握异方差性的检验及处理方法二、实验学时：2三、实验内容及操作步骤建立并检验我国制造业利润函数模型1.检验异方差2.调整异方差四、实验要求【例1】表1列出了2012年我国主要制造工业销售收入与销售利润的统计资料，请利用统计软件Eviews建立我国制造业利润函数模型。

（一）检验异方差性⑴观察销售利润（Y）与销售收入（X）的相关图(图1)：SCAT X Y图1 我国制造工业销售利润与销售收入相关图从图中可以看出，随着销售收入的增加，销售利润的平均水平不断提高，但离散程度也逐步扩大。

这说明变量之间可能存在递增的异方差性。

⑵残差分析首先将数据排序（命令格式为：SORT 解释变量），然后建立回归方程。

在方程窗口中点击Resids按钮就可以得到模型的残差分布图（或建立方程后在Eviews工作文件窗口中点击resid对象来观察）。

图2 我国制造业销售利润回归模型残差分布图2显示回归方程的残差分布有明显的扩大趋势，即表明存在异方差性。

⒉Goldfeld-Quant检验⑴将样本按解释变量排序（SORT X）并分成两部分（分别有1到10共11个样本合19到28共10个样本）⑵利用样本1建立回归模型1（回归结果如图3），其残差平方和为216231.7。

SMPL 1 10LS Y C X图3 样本1回归结果⑶利用样本2建立回归模型2（回归结果如图4），其残差平方和为63769.67。

SMPL 19 28 LS Y C X图4 样本2回归结果⑷计算F 统计量：12/RSS RSS F ＝11501152/216231.7=53.19，21RSS RSS 和分别是模型1和模型2的残差平方和。

取05.0=α时，查F 分布表得44.3)1110,1110(05.0=----F ，而44.319.5305.0=>=F F ，所以存在异方差性 ⒊White 检验⑴建立回归模型：LS Y C X ，回归结果如图5。

异方差的诊断及修正

异方差的诊断及修正

异方差的诊断与修正—甘子君 经济1202班 1205060432一、异方差的概念：异方差性（heteroscedasticity ）是相对于同方差而言的。

所谓同方差，是为了保证回归参数估计量具有良好的统计性质，经典线性回归模型的一个重要假定：总体回归函数中的随机误差项满足同方差性，即它们都有相同的方差。

如果这一假定不满足，即：随机误差项具有不同的方差，则称线性回归模型存在异方差性。

在回归模型的经典假定中，提出的基本假定中，要求对所有的i （i=1，2，…，n ）都有2)(σ=i u Var也就是说iu 具有同方差性。

这里的方差2σ度量的是随机误差项围绕其均值的分散程度。

由于)(=i u E ，所以等价地说，方差2σ度量的是被解释变量Y 的观测值围绕回归线)(i Y E =kik i X X βββ+++ 221的分散程度，同方差性实际指的是相对于回归线被解释变量所有观测值的分散程度相同。

设模型为ni u X X Y iki k i i ,,2,1221 =++++=βββ如果其它假定均不变，但模型中随机误差项iu 的方差为).,,3,2,1(,)(22n i u Var i i ==σ则称iu 具有异方差性。

也称为方差非齐性。

二、内容根据1998年我国重要制造业的销售利润与销售收入数据，运用EV 软件，做回归分析，用图示法，White 检验模型是否存在异方差，如果存在异方差，运用加权最小二乘法修正异方差。

三、过程：（实践过程、实践所有参数与指标、理论依据说明等）（一） 模型设定为了研究我国重要制造业的销售利润与销售收入是否有关，假定销售利润与销售收入之间满足线性约束，则理论模型设定为：i Y =1β+2βi X +i μ其中，i Y 表示销售利润，i X 表示销售收入。

由1998年我国重要制造业的销售收入与销售利润的数据，如图1：1988年我国重要制造业销售收入与销售利润的数据 （单位：亿元）（二）参数估计1、双击“Eviews”，进入主页。

第五章 异方差性

第五章 异方差性


Qt

ALt
K

t
eut
• U为随机误差项，它包含了资本K和劳动力L
以外的因素对产出Q的影响，比如能源、环境、
政策等。由于不同的地区这些因素不同造ui 成了 对产出的影响出现差异，使得模型中的 具有
异方差，并且这种异方差的表现是随资本和劳 动力的增加而有规律变化的。
(二）样本数据的观测误差
• 一方面，样本数据的观测误差常随着时间的 推移而逐步积累，引起随机误差项的方差增 加。另一方面，随着时间的推移，样本观测 技术会随之提高，也可能使得样本的观测误 差减少，引起随机误差项的方差减小。因此， 随着时间的推移，样本数据的观测误差会发 生变化，从而引起随机误差项的变化。
Yt 1 2 X 2i 3 X 3i ui (1)
Y 1 2 X 2 3 X 3
(2)
Yt 1' 2 X 2i ui'
(3)
Y 1' 2 X 2
(4)
由(2)、(4)得:1' 1 3 X3 (5)
由(1)、(3)、(5)得:
Var(ui )


2 i

f
(X
ji )
i 1, 2, , n
则称随机误差项存在异方差.
( 即回归模型中随机误差项的方差不是常数 )
例2：使用截面数据研究储蓄函数
假设 储蓄函数模型Y i 0 1X i ui
式中：Y i第i个家庭的储蓄额，X i第i个家庭的可支配收入，ui 代表除可支配收入以外影响储蓄额的其它因素，如利率、家庭 人口、文化背景等等。这里，同方差假设显然与事实不符。
ui' 1 3 X 3i ui 1'
异方差性的概念、类型、后果、检验及其修正方法(含案例).PPT共74页

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5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
异方差性的概念、类型、后果、检验及 其修正方法(含案例).
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
异方差性的概念、类型、后果、检验及其修正方法含案例

异方差性的概念、类型、后果、检验及其修正方法含案例

例4.1.1： 在截面资料下研究居民家庭的储蓄行为 Yi=0+1Xi+i
Yi和Xi分别为第i个家庭的储蓄额和可支配收入。
在该模型中，i的同方差假定往往不符合实际情况。对高收 入家庭来说，储蓄的差异较大；低收入家庭的储蓄则更有规律 性（如为某一特定目的而储蓄），差异较小。
因此，i的方差往往随Xi的增加而增加，呈单调递增型变化 。
– 在选项中，EViews提供了包含交叉项的怀特检验“White Heteroskedasticity（cross terms）”和没有交叉项的怀特检 验“White Heteroskedasticity（no cross terms）” 这样两个 选择。
• 软件输出结果：最上方显示两个检验统计量：F统计 量和White统计量nR2；下方则显示以OLS的残差平 方为被解释变量的辅助回归方程的回归结果。
随机误差项具有不同的方差，那么： 检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与解
释变量观测值之间的相关性及其相关的“形式”。 • 各种检验方法正是在这个共同思路下发展起来的。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
问题在于：用什么来表示随机误差项的方差？ 一般的处理方法：
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
2.图示检验法
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
3.模型的预测失效
一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的统计性质；
【书上这句话有点问题】
其中 所以，当模型出现异方差性时，Y预测区间的建立将发生困 难，它的预测功能失效。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
三、异方差性的检验（教材P111）
1.检验方法的共同思路 • 既然异方差性就是相对于不同的解释变量观测值，
（注意：其中的2完全可以是1）
计量经济学 第五章 异方差性

计量经济学 第五章 异方差性


的分散程度，因此同方差性指的是所有观测值的
分散程度相同。
6
异方差性的含义
设模型为
Y i 1 2 X 2 i 3 X 3 i . . . k X k i u i i 1 , 2 , . . . , n
如果对于模型中随机误差项 u i 有：
V a r(u i)i2 , i 1 ,2 ,3 ,...,n (5.3)
的替代变量，对所选函数形式回归。用回归所得
到的 β 、 t 、F 等信息判断，若参数 显β 著不为零，
即认为存在异方差性。
38
第四节 异方差性的补救措施
主要方法:
●模型变换法 ● 加权最小二乘法 ● 模型的对数变换
39
一、模型变换法
以一元线性回归模型为例：
Yi 12Xiui
经检验
u
存在异方差，且
26
(二)检验的特点
要求变量的取值为大样本 不仅能够检验异方差的存在性，同时在多变量的 情况下，还能判断出是哪一个变量引起的异方差。
27
（三）检验的基本步骤：
以一个二元线性回归模型为例，设模型为： Y t= β 1+ β2X 2t+ β3X 3t+ ut
并且，设异方差与 X 2t , X 3t 的一般关系为 σ t 2 = α 1 + α 2 X 2 t+ α 3 X 3 t+ α 4 X 2 2 t+ α 5 X 3 2 t+ α 6 X 2 tX 3 t+ v t
Yi 1 2X2i ui*
X 3i
（u 5i* .5）
当被略去的 X 3 i 与 X 2 i 有呈同方向或反方向变 化的趋势时,随 X 2 i 的有规律变化会体现在（5.5）
4.2 异方差性

4.2 异方差性


• 其他检验也是如此。
3、模型的预测失效
一方面，由于上述后果，使得模型不具 有良好的统计性质；
所以，当模型出现异方差性时，参数OLS 估计值的变异程度增大，从而造成对Y的预测 误差变大，降低预测精度，预测功能失效。
四、异方差性的检验 Detection of Heteroscedasticity
OLS估计
ˆ exp( ˆ ˆ1 X i1 ˆ2 X i 2 L ˆk X ik ) ˆi2 ˆi2 f i 0
2、异方差稳健标准误法（Heteroscedasticity-Consistent
Variances and Standard Errors）

应用软件中推荐的一种选择。适合样本容量足 够大的情况。
仍然采用OLS，但对OLS估计量的标准差进行 修正。 与不附加选择的OLS估计比较，参数估计量没 有变化，但是参数估计量的方差和标准差变化 明显。 即使存在异方差、仍然采用OLS估计时，变量 的显著性检验有效，预测有效。



六、案例 —中国农村居民人均消费函数模型
~ y (y i ) 0ls e i i
~2 Var ( i ) E ( i2 ) e i
2、图示法
（1）用X-Y的散点图进行判断
看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂型 趋势（即不在一个固定的带型域中）。
~ 的散点图进行判断 (2)X- e i
2
看是否形成一斜率为零的直线。
~2 e i
wi 1/
f ( X i1 , X i 2 ,L , X ik )

一种具有应用价值的方法
Var(i | X i1,L , X ik ) 2 exp(0 1 X i1 L k X ik )
回归分析中的异方差性检验方法(六)

回归分析中的异方差性检验方法(六)

回归分析中的异方差性检验方法回归分析是统计学中一种常用的数据分析方法，它用来研究自变量和因变量之间的关系。

在进行回归分析时，我们通常会假设误差项的方差是恒定的，即不存在异方差性。

然而，在实际应用中，误差项的方差往往并非恒定的，而是存在异方差性。

异方差性会对回归分析的结果产生影响，因此需要进行异方差性检验并进行相应的修正。

一、异方差性的概念及影响异方差性是指误差项的方差不是恒定的，而是随着自变量的变化而变化。

当存在异方差性时，回归系数的估计值会失真，标准误差会被高估或低估，导致对回归系数和其显著性的检验结果产生偏误。

因此，必须进行异方差性的检验和修正，以确保回归分析结果的准确性和可靠性。

二、异方差性检验方法1. Park检验Park检验是一种常用的异方差性检验方法，它是基于残差的平方和与自变量的关系来进行检验的。

具体步骤是：首先进行回归分析，然后计算残差的平方和，接着将残差的平方和与自变量进行回归，最后通过F检验来检验残差的方差是否与自变量相关。

如果F统计量的显著性水平小于设定的显著性水平（通常为），则拒绝原假设，即存在异方差性。

2. Glejser检验Glejser检验是另一种常用的异方差性检验方法，它是通过对自变量的绝对值进行回归来进行检验的。

具体步骤是：首先进行回归分析，然后计算自变量的绝对值，接着将自变量的绝对值与残差进行回归，最后通过t检验来检验残差的方差是否与自变量相关。

如果t统计量的显著性水平小于设定的显著性水平（通常为），则拒绝原假设，即存在异方差性。

三、异方差性的修正方法1. 加权最小二乘法（Weighted Least Squares, WLS）当检验结果表明存在异方差性时，可以采用加权最小二乘法来进行修正。

加权最小二乘法是通过对残差进行加权，使得残差的方差与自变量的关系消失，从而得到回归系数的一致估计。

2. 广义最小二乘法（Generalized Least Squares, GLS）广义最小二乘法是对加权最小二乘法的推广，它允许误差项之间存在相关性，并对误差项的方差-协方差矩阵进行估计，从而得到回归系数的一致估计。

异方差性的概念类型后果检验及其修正方法

异方差性的概念类型后果检验及其修正方法

异方差性的概念类型后果检验及其修正方法异方差性（heteroscedasticity）是指随着自变量的变化，被解释变量的方差不保持恒定，呈现出不同的分散特征。

异方差性可能会导致线性回归模型的参数估计不精确，误差项的标准误差的估计不准确，常见的检验和修正方法包括Breusch-Pagan检验和White检验，同时，还可以采取加权最小二乘法或者转换变量的方法来修正异方差性。

异方差性可以分为条件异方差和非条件异方差两种类型。

条件异方差是指在给定自变量的情况下，被解释变量方差的大小存在差异；非条件异方差则是指被解释变量的方差在整个样本空间内都存在差异。

异方差性的后果是导致参数估计的不准确性和偏误。

当存在异方差性时，OLS（普通最小二乘法）估计的标准误差会低估真实标准误差，从而使得参数显著性以及模型拟合效果可能出现问题。

此外，在存在异方差性的情况下，t检验、F检验等假设检验的结果也会受到影响。

在进行线性回归模型时，常常需要对异方差性进行检验。

一种常用的检验方法是Breusch-Pagan检验，其基本思想是对残差的平方与自变量进行回归，然后通过F检验来判断异方差的存在与否。

另一种常用的检验方法是White检验，它是在一个包含自变量和交互项的扩展模型中对残差的平方与自变量进行回归，通过Wald检验统计量来判断异方差的存在与否。

异方差性可以通过多种修正方法来处理。

其中，一种常用的方法是采用加权最小二乘法（WLS）来估计参数。

WLS的基本思想是将方差不恒定的观测值加权，使得每个观测值的权重与方差的倒数成正比。

另一种常用的方法是通过转换变量，使得原始数据变换成具有恒定方差的形式，例如对数变换、平方根变换等。

下面以一个案例来说明如何检验和修正异方差性。

假设我们研究了城市的房价（被解释变量）与房屋面积和所在地区（自变量）之间的关系。

我们采集了100个样本数据，并构建了线性回归模型进行分析。

1.检验异方差性：使用Breusch-Pagan检验来检验模型的异方差性。

实验四 异方差性及其检验和处理

实验四 异方差性及其检验和处理

实验四 异方差性及其检验和处理
预习提要：1.异方差的含义及种类；异方差的检验及补救方法。

实验目的与要求：
1、掌握异方差的识别方法，包括图示法、解析法
2、掌握异方差的处理方法 实验内容：
1、异方差的定义与后果
2、异方差的检验方法 （1）相关图形分析 （2）残差图形分析 （3）G-Q 检验 （4）WHITE 检验 （5）ARCH 检验 （6）Glejesr 检验
3、异方差的处理方法 （1）模型变换法 （2）加权最小二乘法 （3）模型对数变换
实验方法与步骤：
例1中国农村居民人均消费支出主要由人均纯收入来决定。

农村人均纯收入除从事农业经营的收入外，还包括从事其他产业的经营性收入以及工资性收入、财产收入和转移支出收入等。

为了考察从事农业经营的收入和其他收入对中国农村居民消费支出增长的影响，可使用如下双对数模型：
01122
ln ln ln Y X X
u βββ=+++
其中Y 表示农村家庭人均消费支出，1X 表示从事农业经营的收入，2X 表示其他收入。

表4.1列出了中国2008年各地区农村居民家庭人均纯收入及消费支出的相关数据。

异方差怀特检验

异方差怀特检验

解释：随收入增长，人们有更多旳备用收入，从 而 怎样支配他们旳收入有更大旳选择范围。
一、异方差旳概念
对于模型
Yi 0 1 X ii 2 X 2i k X ki i 假如出现
Var(i
)
2 i
即对于不同旳样本点，随机误差项旳方差不再 是常数，而互不相同，则以为出现了异方差性 (Heteroskedasticity)。
1331.03
614.8 876.0
江苏
2374.7
六、异方差旳修正
模型检验出存在异方差性，可用加权最小二 乘法（Weighted Least Squares, WLS）进行估 计。
v 加权最小二乘法旳基本思想：
加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成 一种新旳不存在异方差性旳模型，然后采用OLS 估计其参数。
Wiei2
Wi [Yi
(ˆ0
ˆ1 X1
F
e~12i
(n (n
1)
~
F
(n
2
c
k
1,
n
2
c
k
1)
2
⑤给定明显性水平，拟定临界值F(v1,v2)， 若F> F(v1,v2)， 则拒绝同方差性假设，
表白存在异方差。
当然，还可根据两个残差平方和相应旳
子样旳顺序判断是递增型异方差还是递减异
型方差。
4. 怀特（White）检验 怀特检验不需要排序，且适合任何形式旳异
注意：
辅助回归仍是检验与解释变量可能旳组合旳 明显性，所以，辅助回归方程中还可引入解释变 量旳更高次方。
假如存在异方差性，则表白确实与解释变量 旳某种组合有明显旳有关性，这时往往显示出有 较高旳鉴定系数以及某一参数旳t检验值较大。

第四章：异方差


1、图示法 2、戈德菲尔特——夸特检验法（G-Q test） 3、帕克(Park)检验法 4、戈里瑟(Glejse)检验法 5、White检验法
1、图示法（残差分布图分析） ei2 ei2 x ei2
x
ei2 x x
x
ei2
e 对 x 的散点图
i i
2
呈现出某种规律 存在异方差 成随机的无规律分布 不存在异方差
四、异方差性的后果
1、OLS估计量仍然具有线性、无偏性，但不具
有有效性
2、变量的显著性检验失效 3、估计的可靠性降低 4、模型的预测失效
ˆ 的均值（期望）等于总体回归 ˆ 、 2、无偏性 ，即估计量 0 1
参数真值 0 与 1
ˆ k Y k ( X ) 证： i i i 0 1 i i 0 k i 1 k i X i k i i 1
¢ -1¢ -1 -1 -1 -1¢ -1¢ ¢ -1-1 ¢ ¢ E (μ E (*D μ μ Dμμ )¢ ED (μ μ )D ¢) D E (μ ) E (D D D) E (μ μ *μ * ) *μ 2 2¢ -1¢ -11 22 -1 1 1 -1 2 -1 2 -¢ 1 ¢ -1 I D Ω D D D D D ¢ ¢ D D WD Ω D D DD D ¢
x 易知 k x
i
i
2 i
0
k X
i
i
1
故
ˆ k i i 1 1
ˆ ) E ( k ) k E ( ) E( i i 1 i i 1 1 1
3、有效性（最小方差性） ， 即在所有线性无偏估计量
ˆ ˆ 中，最小二乘估计量 0 、 1 具有最小方差。

计量经济学原理 第六章异方差性


项具有同方差性。
异方差性修正后的回归分析
加权最小二乘法（WLS）：通过构造一个权重矩阵来修正异方差性，使得修正后的估计量具有更小的 方差和更高的有效性。
异方差稳健标准误（Heteroskedasticity-Robust Standard Errors）：通过调整标准误的计算方式来 修正异方差性对假设检验的影响，这种方法不需要对模型进行任何修改。
相关性。
影响
异方差性主要影响估计量的效 率，而自相关性则会导致估计
量的偏误和不一致性。
检验方法
异方差性通常通过残差图、 White检验等方法进行检验， 而自相关性则可以通过DW检 验、LM检验等方法进行检验
。
异方差性与多重共线性
概念差异
异方差性关注误差项的方差变化 ，而多重共线性则是指解释变量 之间存在高度线性相关关系。
异方差性的定义和类型
异方差性是指误差项的方差随自变量的变化 而变化，包括条件异方差性和无条件异方差 性。
异方差性的检验方法
介绍了图示检验法、Goldfeld-Quandt检验、 White检验等方法，用于判断模型是否存在异方差 性。
异方差性的处理方法
针对异方差性问题，可以采用加权最小二乘 法、广义最小二乘法等方法进行修正，使模 型满足同方差性假设。
04
异方差性在回归分析中的应用
异方差性对回归结果的影响
估计量无偏性
01
在异方差性存在的情况下，普通最小二乘法（OLS）估计量仍
然是无偏的，即估计量的期望值等于真实值。
估计量有效性
02
异方差性会导致OLS估计量的方差增大，从而使得估计量的有
效性降低。
假设检验失效
03
异方差性会使得t检验和F检验失效，因为这些检验都假设误差

异方差性的概念、类型、后果、检验及其修正方法(含案例).

2 0 0 2 0 0
其中
2 SEYˆ Y 1 X0 (XX) 1 X 0
0 0


所以，当模型出现异方差性时，Y预测区间的建立将发生困 难，它的预测功能失效。
三、异方差性的检验（教材P111）
1.检验方法的共同思路 • 既然异方差性就是相对于不同的解释变量观测值，
随机误差项具有不同的方差，那么： 检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与解 释变量观测值之间的相关性及其相关的“形式”。 • 各种检验方法正是在这个共同思路下发展起来的。
分别为两个子样对应的随机项方差。
H0成立，意味着同方差； H1成立，意味着异方差。
⑤构造统计量
nc 2 ~ e2i ( 2 k 1) nc nc F ~ F( k 1, k 1) nc 2 2 2 ~ e ( k 1 ) 1i 2
⑥检验。给定显著性水平，确定F分布表中相应的临界值
2 E() I

Var( ) 2 , i 1,2, , n i Cov( , ) 0, i j i j
即同方差和无序列相关条件。
2.变量的显著性检验失去意义
在变量的显著性检验中，t统计量
t ˆ
j j j
ˆ ) Se(
~2 来表示随机误差项的方差。 即用e
i
2.图示检验法
（1）用X-Y的散点图进行判断（李子奈P108）
看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂型 趋势（即不在一个固定的带型域中）。
随机误差项的 方差描述的是 取值的离散程 度。而由于被 解释变量Y与随 机误差项有相 同的方差，所 以利用Y与X之 间的相关图形 也可以粗略地 看出的离散程 度与X之间是否 有相关关系。

什么是异方差性如何进行异方差性的检验与处理

什么是异方差性如何进行异方差性的检验与处理异方差性，它是统计学中一种常见的现象，指的是观测值的方差在不同的条件下不相等。

在数据分析和建模过程中，异方差性可能会导致模型参数估计不准确，假设检验无效以及预测效果下降等问题。

因此，了解异方差性并进行检验和处理是非常重要的。

1. 异方差性的表征异方差性通常表现为残差的方差与预测值的关系不稳定。

在回归分析中，当残差的方差与预测值的关系呈现出一定的模式时，可以初步判断存在异方差性。

常见的异方差性模式有以下几种：（1）线性模式：残差的方差与预测值呈线性关系，即残差的方差随着预测值的增大而增大或减小。

（2）指数模式：残差的方差与预测值呈指数关系，即残差的方差随着预测值的增大呈指数级别增大或减小。

（3）对数模式：残差的方差与预测值呈对数关系，即残差的方差随着预测值的增大呈对数级别增大或减小。

（4）多重峰值模式：残差的方差具有多个峰值，表示不同分组或条件之间存在不同的方差水平。

2. 异方差性的检验针对上述异方差性模式，可以进行一些统计检验来验证异方差性的存在。

常用的异方差性检验方法包括帕金森-斯皮尔曼检验（Park test）、布劳什-帕甘检验（Breusch-Pagan test）和韦斯特曼检验（White test）等。

这些检验方法都是基于残差的方差与预测值之间的关系建立的。

以布劳什-帕甘检验为例，该检验的原假设是残差的方差与预测变量之间不存在显著相关关系，即不存在异方差性。

在进行检验时，首先需要对模型进行拟合，并获得残差。

然后，根据拟合残差和预测变量的关系构建辅助回归模型，并进行显著性检验。

如果辅助回归模型的显著性检验结果小于设定的显著性水平（通常为0.05），则可以拒绝原假设，认为存在异方差性。

3. 异方差性的处理在实际数据分析中，如果检验结果表明存在异方差性，需要对数据进行处理以减小或消除其影响。

常用的异方差性处理方法包括以下几种：（1）对数或平方根变换：通过对原始数据进行对数或平方根变换，可以降低数据的异方差性。

第三节 异方差性0811.23

自变量 因变量
x1 x2 x3 ： xn
y1t y2t y3t ： yn1
y11 y21 y31 ： yn1
y12 y21 y31 ： yn1
y13 y21 y31 ： yn1
…
y1N1
y1
y2 y3
… y2N2 … y3N3 ： ： … ynNn
：
yn
一元线性回归同方差性的图形表示
一元线性回归异方差性的图形表示
ˆ
2
n k 1
e
2
t
但是，如果总体方差是可变的，即被解释变量存在 异方差性，则在只有一个样本的情况下，对各个方差 的估计就无法进行。显然，如果总体方差无法估计， 则模型的假设检验、应用模型进行预测等工作就根本 无法进行。
另外，存在异方差时，真实方差可能被高估，也可 能被低估。显然，不管是高估，还是低估，均会导致 显著性检验和预测结果不可靠。
本节内容
一、异方差性及其后果
二、异方差性的检验 三、解决异方差问题的原理 四、解决异方差问题的方法 五、案例分析
一、异方差性及其后果
1、异方差性的概念 设线性回归模型为：
Yt 0 1 X1t 2 X 2t k X kt ut
如果对所有的t（t=1，2，…，n）有：
第二，除了同方差假定不成立外，其它假定均满足。
•检验的具体步骤：
（1）排序（sort x） 将解释变量的取值按从小到大排序。 （2）数据分组 先将数据分为大致相等的三个样本，将排列 在中间的一个样本删除掉，记为c，其余两个 部分观察值的个数为(n-c)/2。 （3）提出假设 即 ：
H 0 : t2 2 , t 1, 2,, n;
整理得:
n ˆ ˆ (Yt 0 1 X t ) ft 0 1 n (Y X ) X f 0 t ˆ0 ˆ1 t t t 1

异方差性及后果

预测稳定性下降
异方差性可能导致预测结果在不同时间或不同样本上 波动较大，影响预测的稳定性。
预测置信度降低
由于异方差性的存在，使得预测结果的置信度降低， 难以确定预测结果的可靠性。
对决策的影响
决策失误风险增加
01
由于异方差性导致模型预测结果的不准确和不稳定，可能导致
决策失误的风险增加。
资源分配不合理
使用异方差性检验方法，如White检验、 Goldfeld-Quandt检验等，对模型进行检验， 如果检验结果显著，则说明存在异方差性。
通过比较不同预测变量对应的残差大小，如果 不同预测变量对应的残差大小差异较大，那么 可能存在异方差性。
02
异方差性的来源
数据来源
异常值
数据中的异常值可能导致异方差 性，因为异常值可能与其他数据 点存在较大差异，从而影响方差 估计。
加权最小二乘法（WLS）
WLS也是一种异方差性稳健的模型，它通过对不同的观测值赋予不同的权重来纠正异 方差性。WLS的优点是可以处理非线性和非正态的异方差性。
05
异方差性的检验
图示检验法
残差图检验
通过绘制实际观测值与预测值的残差， 判断是否存在异方差性。如果残差随 预测值的增加或减少而变化，则可能 存在异方差性。
02
异方差性可能导致决策者在资源分配上出现偏差，使得资源未
能得到有效利用。
战略规划受阻
03
异方差性可能影响战略规划的制定和实施，使得企业或组织的
发展受到限制。
04
异方差性的处理方法
变换数据
1 2
对数变换
对数变换可以减少异方差性，特别是当数据具有 较大的方差时。对数变换的公式是$y = log(x)$。
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一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的统计性质；
另 一 方 面 ， 在 预 测 值 的 置 信 区 间 中 也 包 含 有 随 机 误 差 项 共
同 的 方 差 2。 【书上这句话有点问题】
P(Yˆ0

t
2
SEYˆ0 Y0
Y0
Yˆ0
t
2
SEYˆ0 Y0 ) 1
其中
SY ˆ0 E Y 0 21 X 0 (X X ) 1 X 0
Yi和Xi分别为第i个家庭的储蓄额和可支配收入。
在该模型中，i的同方差假定往往不符合实际情况。对高收 入家庭来说，储蓄的差异较大；低收入家庭的储蓄则更有规律 性（如为某一特定目的而储蓄），差异较小。
因此，i的方差往往随Xi的增加而增加，呈单调递增型变化。
例4.1.2：以绝对收入假设为理论假设、以分组数据 （将居民按照收入等距离分成n组，取组平均数为样 本观测值）作样本建立居民消费函数：
• 异方差一般可以归结为三种类型：
（1）单调递增型： i2=f(Xi)随Xi的增大而增大； （2）单调递减型： i2=f(Xi )随Xi的增大而减小； （3）复杂型： i2=f(Xi )随Xi的变化呈复杂形式。
3.实际经济问题中的异方差性
例4.1.1： 在截面资料下研究居民家庭的储蓄行为 Yi=0+1Xi+i
度
Y
X
2.异方差的类型
• 同方差性假定是指，每个i围绕其0均值的方差
并不随解释变量Xi的变化而变化，不论解释变量 的观测值是大还是小，每个i的方差保持相同，
即
i2 =常数 （i=1,2,…,n）
• 在异方差的情况下，i2已不是常数，它随Xi的
变化而变化，即
i2 =f(Xi) （i=1,2,…,n）
怀特(White)检验的基本思想与步骤
• 下面，以二元回归为例，说明怀特检验的基本思想与步骤： 设回归模型为：
Y i01 X 1 i2X 2 ii
首先，对该模型做普通最小二乘回归，记残差为：
e ~Y(Yˆ)
i i i 0ls
然后，以上述残差的平方为被解释变量，以原模型中各解释 变量的水平项、平方项（还可以有更高次项）、交叉项等各 种组合为解释变量，做如下的辅助回归：
nR2 ~2()
显然，辅助回归仍是检验 e~i2 与解释变量可能的组合的相关性。如果存 在异方差性，那么 e~i2 与解释变量的某种组合之间必定存在显著的相关
性，这时往往显示出有较大的可决系数 R2 ，并且某一参数的 t 检验值 较大。
所以，检验准则是：如果 nR2 ≥ 2 ( ) ，则存在异方差；反之，则不存在 异方差。
i i i 0ls
V a r(i)E (i2) e ~ i2
即 用 e ~ 2 来 表 示 随 机 误 差 项 的 方 差 。
i
2.图示检验法
（1）用X-Y的散点图进行判断（李子奈P108）
看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂型 趋势（即不在一个固定的带型域中）。
随机误差项的 方差描述的是 取值的离散程 度。而由于被 解释变量Y与随 机误差项有相 同的方差，所 以利用Y与X之 间的相关图形 也可以粗略地 看出的离散程 度与X之间是否 有相关关系。
因为在有效性证明（见教材P70-71）中利用了
E()2I
Va(r )
i
2
,
i 1,2,,n
Co(v, )0, i j
ij
即同方差和无序列相关条件。
2.变量的显著性检验失去意义
在变量的显著性检验中，t统计量
ˆ ˆ ˆ
tSj(eˆ )j j
j j
2cjj
jj
2(XX)j1j
（j=0,1,2,…,k）
White Heteroskedasticity Test:
F-statistic Obs*R-squared
9.833740 20.55085
Probability Probability
0.000027 0.000985
Test Equation: Dependent Variable: RESID^2 Method: Least Squares Date: 05/03/11 Time: 17:21 Sample: 1 31 Included observations: 31
e~12 i
(nck1) 2
2
2
⑥检验。给定显著性水平，确定F分布表中相应的临界值
F（1，2）。
若F≥F（1，2），则拒绝H0，认为存在异方差；
反之，则不存在异方差。
5.怀特(White)检验
• G-Q检验需按某一被认为有可能引起异方差的解释 变量对样本排序，而且只能检验单调递增或单调递 减型异方差；怀特(White)检验则不需要排序，且对 任何形式的异方差都适用。
同方差性假设为 Var(i)2 （i=1,2,…,n）
如果出现
Var(i)i2 （i=1,2,…,n）
即对于不同的样本点i ，随机误差项的方差不再是常数，则认
为出现了异方差性。
注意：对于每一个样本点i，随机误差项i都是随机变量，服
从均值为0的正态分布；而方差i2衡量的是随机误差项围绕其 均值0的分散程度。所以，所谓异方差性，是指这些服从正态
例4.1.3：以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型
Yi=Ai1 Ki2 Li3ei
产出量为被解释变量，选择资本、劳动、技术等投入要素 为解释变量，那么每个企业所处的外部环境对产出量的影 响被包含在随机误差项中。
由于每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同， 造成了随机误差项的异方差性。
这时，随机误差项的方差并不随某一个解释变量观测值 的变化而呈规律性变化，为复杂型的一种。
Ci= 0+1Yi+i
一般情况下：居民收入服从正态分布，处于中等收入组中 的人数最多，处于两端收入组中的人数最少。而人数多的组 平均数的误差小，人数少的组平均数的误差大。所以样本观 测值的观测误差随着解释变量观测值的增大而先减后增。
如果样本观测值的观测误差构成随机误差项的主要部分，那 么对于不同的样本点，随机误差项的方差随着解释变量观测值 的增大而先减后增（U形），出现了异方差性。
（ 2 ） 用 X — e ~ 2 的 散 点 图 进 行 判 断 （教材P111）
i 看是否形成一条斜率为零的直线。
e~i2
e~i2
X 同方差
e~i2
X 递增异方差
e~i2
X 递减异方差
X 复杂型异方差
3.戈里瑟（Gleiser）检验与帕克（Park）检验
• 戈里瑟检验与帕克检验的思想：
以|e~ |或e~i2 为被解释变量，以原模型的某一解释变量 Xj 为
解释变量，建立如下方程：
|e~i |f(Xji)i
或
e~i2 f(Xji)i
i=1,2,…,n i=1,2,…,n
（Gleiser） (Park)
选 择 关 于 变 量 Xj 的 不 同 的 函 数 形 式 （ 如 f(Xji)X2 ji或
f(Xji) 2X jievi ） ， 对 方 程 进 行 估 计 并 进 行 显 著 性 检 验 ；
• 软件输出结果：最上方显示两个检验统计量：F统计 量和White统计量nR2；下方则显示以OLS的残差平 方为被解释变量的辅助回归方程的回归结果。
– 以教材P118的例子为例，包含交叉项的怀特检验“White Heteroskedasticity（cross terms）”的输出结果为 ：
怀特 检验 的软 件输 出界 面：
规律
• 一般经验告诉人们：对于采用截面数据作样本 的计量经济学问题，由于在不同样本点（即不 同空间）上解释变量以外的其他因素的差异较 大，所以往往存在异方差性。
二、异方差性的后果
1.参数估计量非有效
• 当计量经济学模型出现异方差性时，其普通最小二乘法参 数估计量仍然具有无偏性，但不具有有效性。而且，在大样 本情况下，参数估计量仍然不具有渐近有效性。
G-Q检验的步骤：
①将n对样本观察值(Xi1, Xi2, …,Xik,Yi)按某一被认为有 可能引起异方差的解释变量观察值Xij的大小排队。
②将序列中间的c=n/4个观察值除去，并将剩下的观 察值划分为较小与较大的容量相同的两个子样本， 每个子样本的样本容量均为(n-c)/2 。
③对每个子样本分别求回归方程，并计算各自的残差平方 和。将两个残差平方和中较小的一个规定为~e2 ，较大的一
e ~ i 2 0 1 X 1 i 2 X 2 i 3 X 1 2 i 4 X 2 2 i 5 X 1 i X 2 i i
则在同方差性假设下【也即H0：1=…= 5=0 】，该辅助回归 方程的可决系数R2与样本容量n的乘积渐近地服从自由度=辅 助回归方程中解释变量个数【该例= 5】的2分布：
包 含 有 随 机 误 差 项 共 同 的 方 差 2 。
如果出现了异方差性，而仍按同方差时的公式计算t
统计量，将使t统计量失真【偏大或偏小，见第三版P110补 充说明】，从而使t检验失效【使某些原本显著的解释变量
可能无法通过显著性检验，或者使某些原本不显著的解释变量
可能通过显著性检验】。
3.模型的预测失效
引言
• 在教材P29-32和P64-65，分别对一元和多元线性回归模型
提出了若干基本假设，只有在满足这些基本假设的情况下， 应用普通最小二乘法才能得到无偏的、有效的参数估计量。
• 但是，在实际的计量经济学问题中，完全满足这些基本假 设的情况并不多见。
• 如果违背了某一项基本假设，那么应用普通最小二乘法估 计模型所得参数估计量就可能不具有某些优良特性，这就需 要发展新的方法估计模型。
如果存在某一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原 模型存在异方差性。