培训学习资料-222反证法

一、问题情境 小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了。小华对婷婷说：“昨天晚上下雨了。”
你能对小华的判断说出理由吗？
假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。
小华的理由：
我们可以把这种说理方法总结一下：
1．反证法 假设原命题______(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明________，从而证明了__________，这种证明方法叫做反证法． 2．反证法常见矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与________、____、____、____等矛盾．
A
B
C
P
证明：假设PB=PC。 在△ABP与△ACP中 AB=AC(已知） AP=AP（公共边） PB=PC（已知） ∴△ABP≌△ACP（S.S.S) ∴∠APB=∠APC(全等三角形对应边相等） 这与已知条件∠APB≠∠APC矛盾，假设不成立. ∴PB≠PC
作业： 练习：学案中巩固提高 习题91页：A组
独立 作业
谢谢大家
0
（平行四边形对边平行）
证明：假设CD、BE互相平分
连结DE，故四边形BCED是平行四边形
∴BD∥CE
这与BD、CE交于点A矛盾
假设错误， ∴CD、BE不能互相平分
变式训练1 已知a＋b＋c＝0，求证：ab＋bc＋ca不大于零． 证明：假设ab＋bc＋ca>0， 因为a2＋b2＋c2≥0. 则(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)>0. 所以(a＋b＋c)2>0，即a＋b＋c≠0，这与a＋b＋c＝0矛盾，所以假设不成立，故ab＋bc＋ca≤0.
显然这与故事中的李树长满果子相矛盾。说明李子是甜的这个假设是错的还是对的？

三式相加得 1－2a＋b＋1－2b＋c＋1－2c＋a>32， 即32>32，矛盾． 所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不能都大于14.
应用反证法常见的“结论词”与“反设词”
当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不
易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见
的“结论词”与“反设词”如下：
用反证法证明：已知 a、b 均为有理数，且 a和 b都是 无理数，求证： a＋ b是无理数．
【证明】 假设 a＋ b为有理数， 则( a＋ b)( a－ b)＝a－b. 由 a>0，b>0，得 a＋ b>0.
3．设实数 a，b，c 满足 a＋b＋c＝1，则 a，b，c 中至少Leabharlann 有一个不小于________．
【解析】 假设 a，b，c 都小于13，则 a＋b＋c<1，与已
知矛盾，故 a，b，c 中至少有一个不小于13.
【答案】
1 3
4．求证：若 a、b、c 均为实数且 a＝x2－2y＋π2，b＝y2 －2z＋3π，c＝z2－2x＋π6，则 a、b、c 中至少有一个大于 0.
已知 f(x)＝ax＋xx－ ＋21(a>1)，证明方程 f(x)＝0 没有负数根．
【解】 假设 x0 是 f(x)＝0 的负数根，
则 x0<0 且 x0≠－1 且 ＝－xx00－ ＋21，
由 0<
<1⇒0<－xx00－ ＋21<1，
解得12<x0<2，这与 x0<0 矛盾，所以假设不成立，
故方程 f(x)＝0 没有负数根.
A．假设 a，b，c 都是偶数 B．假设 a，b，c 都不是偶数 C．假设 a，b，c 至多有一个是偶数 D．假设 a，b，c 至多有两个是偶数

求证:∠A ,∠ B ,∠ C中至少有一个角
大于或等于60 °
B
C
证明：假设所求的结论不成立，即
∠A_＜_ 60 ° ,∠ B__＜60 ° ,∠ C __＜60 °
则∠A+∠ B+∠ C＜180 °
这与三__角_形__的_三__个__内_角__之_和__等_于__1_80__°相矛盾
所以__假_设___不成立， 所求证的结论成立
说明：本例中“是锐角(小于90°)”的反面有两种情况， 这时，必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能 成立，最后才能肯定命题的结论一定正确.此题是对反证 法的进一步理解.
大家议一议！
通过本节内容的学习，你 们觉得哪些题型宜用反证法 ？
我来告诉你（经验之谈）
（1）以否定性判断作为结论的命题；
（2）以“至多”、“至少”或“不多于”等形 式陈述的命题；
l3
P
l1
l2
所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行,
这与“经__过__直_线__外_一__点_,_有_且__只__有_一__条_直__线_与__已__
知矛_直_盾_线_平__行_______”矛盾.
命所题以成_假_立设__不__成__立_,即求证的命题正确.
2.已知：如图，直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3 ∥l1，
求证：l3∥l2
l1
证明：
l2
P
假设l3∥l2，即l3与l2相交，记交点为P l3
而l1∥l2,l3 ∥l1
这与“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线
平行”相矛盾，
所以假设不成立， 即l3∥l2
3、求证:若一个整数的平方是偶数,则这 个数也是偶数.

2x+π/6
• =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2 +π-3
>0
• 所以a+b+c >0
• 这与a,b,c都小于等于0矛盾，假设不成立， 原命题成立
Hale Waihona Puke 2021/4/11• [说明] (1)反证法是利用原命题的否定不 成立则原命题一定成立来进行证明的，在 使用反证法时，必须在假设中罗列出与原 命题相异的结论，缺少任何一种可能，反 证法都是不完全的．
思考2： A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎， C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？
分析:假设C没有撒谎, 则C真. 那么A假且B假;由A假, 知B真. 这与B假矛盾.那么假设C没有撒谎不成立;则C必定是在撒谎.
2021/4/11
• 1．反证法的定义 一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理 ，最后得出 矛盾 ，因此说明假设 错误 ， 从而证明了原命题 成立 ，这样的证明方法叫 做反证法． 反证法是 间接证明 的一种基本方法．
2021/4/11
思考1：掀起你的盖头来——认识反证法
思考：
将9个球分别染成红色或白色。那么无论 怎样染，至少有5个球是同色的。你能证
明这个结论吗？
探究：
假设有某种染法使红色球和
白色球的个数都不超过4，
2021/4/11
则球的总数不应超过8， 这与球的总数是9相矛盾
假设不正确，因此，无论怎样染 至少有5个球是同色的
2021/4/11
[例 3] 若 a，b，c 均为实数，且 a＝x2－2y＋π2， b＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋π6. 求证：a，b，c 中至少有一个大于 0. 分析: 本题证明略，可以假设都小于 0，然后相加 说明大于 0

上述证明方法叫做反证法. 假设命题结论的反面成立，经过正确
的推理，引出矛盾，因此说明假设错误， 从而证明原命题成立，这样的的证明方法 叫反证法。
反证法的思维方法：
正难则反
例1.已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根.
证明:假设方程ax+b=0(a≠0)至少存在两个根， 不妨设其中的两根分别为x1，x2且x1≠x2
则ax1=b，ax2=b
∴ax1-ax2=0 ∴a(x1-x2)=0 ∵x1≠x2 , x1- x2 ≠0
∴a=0 与已知a≠0矛盾, 故假设不成立，结论成立。
例2.证明:圆的两条不全是直径的相交弦 不能互相平分.
已知:在⊙O中,弦AB、CD相交于P， 且AB、CD不全是直径 求证：AB、CD不能互相平分.
反证法的基本步骤： (1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立; (2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； (3)从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论 正确. 归谬矛盾： (1)与已知条件矛盾； (2)与已有公理、定理、定义矛盾； (3)自相矛盾.
作业： P91练习：1、2
习题2.2 A组4
a //
例4. 求证：2是无理数
证：假设 2是有理数，
则存在互质的整数m，n使得 2 = m ，
∴ m = 2n ∴ m2 = 2n2
n
∴ m2是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N）
从而有4k2 = 2n2，即n2 = 2k2 ∴ n2也是偶数， 从而n必是偶数 这与m，n互质矛盾！
x y 2 这与条件x y 2矛盾
所以，原结论成立
小结 1.反证法是一种间接证明的方法,是解决某些 “疑难”问题的有力工具.

例7. 则
例8. 证明：
不愤不启，不悱不发。举一隅不以三隅反，则不复也。
小 结：
1. 反证法： 从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题
成立，这样的证明方法叫反证法. 2. 用反证法证明命题的一般步骤如下： （1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； （2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确。
2.2.2 反证法
知识回顾：
综合法是从条件→结论的推理方法，
分析法是从结论→条件的推理方法，二
者都是直接证明的方法.当某些数学命题
难以直接证明时，我们可以采用一种间
接证明的方法
反证法.
一般地，假设原命题不成立（即在原命题 的条件下，结论不成立），经过正确的推理， 最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明 了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.
3.反证法证明命题的程序： 否定——推理——矛盾——肯定
说明：反证法的适用范围 （1）已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少； （2）命题的结论以否定形式出现时； （3）命题的结论以“至多”、“至少”的形式出现时； （4）命题的结论以“唯一”的形式出现； （5）命题的结论以“无限”的形式出现时； （6）关于存在性命题 .
例2. 求证：2 , 3 , 5 不可能成等差数列. 证明：假设 2 , 3 , 5 成等差数列,
则 2 3 2 5.
(2 3)2 ( 2 5)2 ,
即 5 2 10, 即 25 40, 这是不可能的. 所以假设不成立， 故原命题成立．
例3.
证明：假设
例4.
例5. 设 f(x)=x2+ax+b，求证：| f(1)|, | f(2)|, | f(3)|中至少有

3.反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下：
结论词 至少有一个 至__多__有__一__个__ 至少有n个 至多有_n_个
一__个__也__没__有___
至多有
反设词
至少有两个
(不存在)
_(_n_－__1_) _个
至少有 (n＋1)个
结论词 只有一个 对所有x成立
对_任__意___x不成立
没有或至少 存在_某__个___x
题型三 用反证法证明结论中含有“至多”“至少”“都”等词语的问题 例3 用反证法证明：如果函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程 f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实数根.(不考虑重根) 证明 假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实数根， 设α，β为它的两个实数根， 则f(α)＝f(β)＝0. 因为α≠β，不妨设α＜β，又因为函数f(x)在[a，b]上是增函数， 所以f(α)＜f(β)，这与f(α)＝f(β)＝0矛盾， 所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实数根.
反设词
有两个
不成立
存在某个x成立
结论词 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ是
_一__定__是___
p或q
p_且_ q
反设词 _不__都__是__ 不一定是 綈p且__綈q 綈p或綈q
思考 (1)有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种 说法对吗？为什么？ 答案 这种说法是错误的，反证法是先否定命题，然后再证明命题的 否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题. 命题的否定与原命题是对立的，原命题正确，其命题的否定一定不对. (2)反证法主要适用于什么情形？ 答案 要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的 线索不够清晰；如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论， 而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.

1.反证法的定义. 2.反证法的一般步骤. （重点） 3.运用反证法的注意事项. （难点）
路边苦李
竹林七贤之一
王戎7岁时,与小伙 伴们外出游玩,看到路 边的李树上结满了果 子。小伙伴们纷纷去 摘取果子,只有王戎站 在原地不动。伙伴问 他为什么不去摘？
王戎回答说：“树在道边而多子,此必苦李。”小伙 伴摘取一个尝了一下,果然是苦李。
解:假设小赵去过长城, 则小赵说谎,小钱说谎,与只有一人说的是假话相矛盾; 假设小钱去过长城, 则小赵说真话,小钱说谎,小孙,小李说真话,满足题意; 故答案为:小钱.
总结提炼
1.用反证法证明命题的一般步骤是什么? ①反设 ②归谬 ③结论
2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些? 用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与
反馈练习P91 练习1，2
1、证明: △ABC中, ∠C是直角.则∠B一定是锐角. 证明：假设∠B≥90°. 那么,由∠C=90°. 即∠B+∠C≥180°. 所以∠B+∠C+∠A>180°. 这与三角形内角和定理相矛盾
所以∠B<90°，即∠B一定是锐角.
反馈练习P91 练习2 2.求证：2，3，5不可能成等差数列.
A,B都撒谎
由A撒谎
B没有撒谎.
这与B撒谎矛盾.
那么假设C没有撒谎不成立; 矛盾
则C必定是在撒谎. 结论
2016年江门调研
15．小赵，小钱，小孙，小李四位同学被问到谁去过 长城时，
小赵说：我没去过； 小钱说：小李去过； 小孙说；小钱去过； 小李说：我没去过． 假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去 过长城的是 小钱 ．
. b
下面用反证法证明直线a与平面 没有公共点，假设

例4：设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和． (1)求证：数列{Sn}不是等比数列； (2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？
证明： (1)证法 1：(反证法)若{Sn}是等比数列，则 S22＝S1S3， 即 a21(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2) ∵a1≠0， ∴(1＋q)2＝1＋q＋q2， 即 q＝0，这与 q≠0 矛盾，故{Sn}不是等比数列．
2．用反证法证题，必须准确写出命题的否定，把命题所包 含的所有可能情形找全，范围既不缩小，也不扩大．常用 反设词如下：
结论词 至少有一个
反设词 一个也没有
结论词 对所有x成立
至多有一个 至少有两个 对任意x不成立
至少有n个 至多有n－1个 至多有n个 至少有n＋1个
p或q p且q
反设词
存在某个 x0不成立 存在某个
5．用反证法证明：若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那 么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多只有一个实数根． 证明：假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个根， 设α、β为其中的两个实根． 因为α≠β，不妨设α>β. 又因为函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，所以f(α)>f(β)． 这与假设f(α)＝f(β)＝0矛盾， 所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多只有一个实数根．
方法规律总结： 1.证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题， 即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只 有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反 设结论易于导出矛盾，所以宜用反证法证明． 2.若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况 一一驳倒，才能推断结论成立．
命题方向4：用反证法证明否定性命题
证法 2：只需证明 SnSn＋2≠S2n＋1， ∵Sn＋1＝a1＋qSn，Sn＋2＝a1＋qSn＋1， ∴SnSn＋2－S2n＋1＝Sn(a1＋qSn＋1)－(a1＋qSn)Sn＋1 ＝a1(Sn－Sn＋1)＝－a1an＋1≠0.

用反证法证明“至多”“至少”问题
理论
把这种不是直接从原命题的条件逐步 推得命题成立的证明方法称为间接证明
注：反证法是最常见的间接证法，
一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下,
结论不成立）经，过正确的推理，
最后得出矛盾。
因此说明假设错误，从而证这明样了的原证命明题方成法立叫，做反证
法。
•反证法的证明过程：
否定结论——推出矛盾——肯定结论， 即分三个步骤：反设—归谬—存真
复习 1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法
2.这两种基本证法的推证过程和特点：
综合法 已知条件 结论 由因导果
分析法 结论 已知条件 执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程
路边苦李
王戎7岁时,与小伙伴 们外出游玩,看到路边的 李树上结满了果子.小伙 伴们纷纷去摘取果子,只 有王戎站在原地不动.王 戎回答说:“树在道边而多 子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一 下果然是苦李.
[证明] 假设 a， b， c成等差数列，则 a＋ c＝2 b，即a ＋c＋2 ac＝4b.
∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，即b＝ ac， ∴a＋c＋2 ac＝4 ac，∴( a－ c)2＝0，即 a＝ c. 从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾， 故 a， b， c不成等差数列．
•反证法的证明过程：
结论 成立
1．用反证法证明否定性命题的适用类型 结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题 称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合 使用反证法． 2．用反证法证明数学命题的步骤
用反证法证明唯一性命题
【例2】 求证方程2x＝3有且只有一个根．