第六章 定积分的应用

第六章 定积分的应用§6-1 微元法用定积分解决已知变化率求总量问题的过程.若某量在[a ，b ]上的变化率f (x )，求它在[a ，b]上的总累积量S ： 因为分割区间、取i 都要求有任意性，求和、求极限又是固定模式，故可简述过程：再简化一下，则变成：称为微元．以求曲边梯形面积A 问题为例，用微元法就可以简写成这样：任取微段[x ，x +dx ]，曲边梯形在此微段部分的面积微元dA =f (x )dx ，所以A =⎰ba dx x f )(．§6－2定积分在几何中的应用一、平面图形的面积1. 直角坐标系下平面图形的面积 (1)X －型与Y －型平面图形的面积把由直线x =a，x =b (a <b )及两条连续曲线y =f 1(x )， y =f 2(x )，(f 1(x )≤f 2(x ))所围成的平面图形称为X y =d (c <d )y ) ≤g 2(y ))注意 构成图形的两条直线，有时也可能蜕化为点．把X －型图形称为X －型双曲边梯形，把Y －型图形称为Y －型双曲边梯形．１）用微元法分析X －型平面图形的面积取横坐标x 为积分变量，x ∈[a ，b ]．在区间[a ，b ]上任取一微段[x ，x +dx ]，该微段上的图形的面积dA 可以用高为f 2(x )－f 1(x )、底为dx 的矩形的面积近似代替．因此dA =[ f 2(x )－f 1(x )]dx ， 从而 A =.)]()([ 12⎰-ba dx x f x f (1)２）微元法分析Y －型图形的面积A =.)]()([ 12⎰-dc dy y g y g (2)对于非X －型、非Y －型平面图形，我们可以进行适当的分割，划分成若干个X －型图形和Y －型图形，然后利用前面介绍的方法去求面积．例1 求由两条抛物线y 2=x ， y =x 2所围成图形的面积A ．解 解方程组,,22x y x y ==得交点(0，0)，(1，1)．将该平面图形视为X －型图形，确定积分变量为x ，积分 区间为[0，1]．由公式(1)，所求图形的面积为A =1 0 31 0 23132)(23x x dx x x -=-⎰=31． 例2 求由曲线y 2=2x 与直线y =－2x +2所围成图形的面积A ． 解解方程组,22 ,22+-==x y x y 得交点(21，1)，(2，－2)． 积分变量选择y ，积分区间为[－2，1]．所求图形的面积为 A =12- 31 2- 22]6141[]21)211[(y y y dy y y ⎰--=--=49．例3 求由曲线y =sin x ，y =cos x 和直线x =2π及y 轴所围成图形的面积A ．解 在x =0与x =2π之间，两条曲线有两个交点： B (4π，22)，C (45π，－22)． 由图易知，整个图形可以划分为[0，4π]，[4π，45π]，[45π，2π]三段，在每一段上都是X －型图形．应用公式(1)，所求平面图形的面积为A =⎰⎰⎰-+-+-4455 02)sin (cos )cos (sin )sin (cos πππππdx x x dx x x dx x x =42．2. 极坐标系中曲边扇形的面积在极坐标系中，称由连续曲线r =r (θ)及两条射线θ=α， θ=β，(α<β)所围成的平面图形为曲边扇形．在[α，β]上任取一微段[θ，θ+d θ]，面积微元dA 表示1这个角内的小曲边扇形面积，dA =21[r (θ)]2d θ 所以 A =⎰βαθθ 2)]([21d r ． (3) 例5 求心形线r =a (1+cos θ)，(a >0)所围成图形的积A ．解 因为心形线对称于极轴，所以所求图形的面积 A 是极轴上方图形A 1的两倍．极轴上方部分所对应的极角变化范围为θ∈[0，π]，由 公式(3)，所求图形的面积为A =2⨯⎰βαθθ 2)]([21d r=⎰⎰++=+ππθθθθθ 022 02)cos cos 21()]cos 1([d a d a=)23|2sin 41sin 22302=++ ⎝⎛πθθθa πa 2．二、空间立体的体积 1. 一般情形设有一立体，它夹在垂直于x 轴的两个平面x =a ， x =b 之间(包括只与平面交于一点的情况)，其中a <b ，如图所示．如果用任意垂直于x 轴的平面去截它，所得的截交面面积A 可得为A =A (x )，则用微元法可以得到立体的体积V 的计算公式．过微段[x ，x +dx ]两端作垂直于x 轴的平面，截得立体一微片，对应体积微元dV =A (x )dx ． 因此立体体积V =.)( ⎰ba dx x A (4)例5 经过一如图所示的椭圆柱体的底面的短轴、与底面交成角α的一平面，可截得圆柱体一块楔形块， 求此楔形块的体积V ．解 据图，椭圆方程为64422y x +=1． 过任意x ∈[－2，2]处作垂直于x 轴的平面，与楔形块 截交面为图示直角三角形，其面积为A (x )=21y ⋅y tan α=21y 2tan α=32(1－42x )tan α=8(4－x 2)tan α， 应用公式(4)V =⎰--22 2)4(tan 8dx x α=16tan α⎰-22)4(dx x =3256tan α．2. 旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内的一条直线l 旋转一周而成的空间立体，其中直线l 称为该旋转体的旋转轴．把X －型图形的单曲边梯形绕x 旋转得到旋转体，则公式(4)中的截面面积A (x )是很容易得到的．如图，设曲边方程为y =f (x )， x ∈[a ，b ](a <b )，旋转体体积记作V x ．过任意x ∈[a ，b ]处作垂直于x 轴的截面，所得截面是半径为|f (x )|的圆，因此截面面积 A (x )= π|f (x )|2．应用公式(4)，即得V x =π⎰ba dx x f 2)]([ (5)类似可得Y －型图形的单曲边梯形绕y 轴旋转得到的旋转体的体积V y 计算公式 V y =π⎰d c dy y g 2)]([ (6)其中的x =g (y )是曲边方程，c ，d (c <d )为曲边梯形的上下界．例6 求曲线y =sin x (0≤x ≤π)绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积V x ．解 V x =π⎰b a dx x f 2)]([=π⎰π0 2)(sin dx x=⎰-=-ππππ0 0 ]22sin [2)2cos 1(2x x dx x =22π． 例7 计算椭圆2222bya x +=1(a >b >0)绕x 轴及y 轴旋转而成的椭球体的体积V x ，V y ． 解 (1)绕x 轴旋转，旋转椭球体如图所示，可看作上半椭圆y =22x a ab-及x 轴围成的单曲边梯形绕x 轴旋转而成的，由公式(5)得V x =π⎰-a a dx x a a b - 222)(=⎰-a dx x a a b 02222)(2π =a 0 3222]3[2x x a a b -π=34πab 2．(2)绕y 轴旋转，旋转椭球体如图所示，可看作右半 椭圆x =22y b ba-及y 轴围成的单曲边梯形绕y 轴旋转而成的，由公式(6)得V y =π⎰-bb dy y b b a - 222)(=⎰-b dy y b ba 0 2222)(2π =b 0 3222]3[2y y b ba -π=34πa 2b ．f (x当a =b =R 时，即得球体的体积公式V =34πR 3． 例8 求由抛物线y =x 与直线y =0，y =1和y 轴围成的平面图形，绕y 轴旋转而成的旋转体的体积V y ．解 抛物线方程改写为x =y 2，y ∈[0，1]． 由公式(６)可得所求旋转体的体积为 V y =π55])[(1 0514122ππ===⎰⎰y dy y dy y ．三、平面曲线的弧长1. 表示为直角坐标方程的曲线的长度计算公式称切线连续变化的曲线为光滑曲线．若光滑曲线C 由直角坐标方程y =f (x )，(a ≤x ≤b )，则导数f '(x )在[a ，b ]上连续．如图所示，在[a ，b ]上任意取一微段[x ，x +dx ]，对应的曲线微段为AB ，C 在点A 处的切线也有对应微段AP ．以AP 替代AB ，注意切线改变量是微分，即得曲线长度微元d s 的计算公式d s=22)()(dy dx +， (7) 得到的公式称为弧微分公式．以C 的方程y =f (x )代入，得 ds =2)]([1x f '+dx.据微元法，即得直角坐标方程表示的曲线长度的一般计算公式s =⎰ba ds =⎰'+ba dx x f 2)]([1 (8)若光滑曲线C 由方程x =g (y )(c ≤y ≤d )给出，则g '(y )在[c ，d ]上连续，根据弧微分公式(7)及微元法，同样可得曲线C 的弧长计算公式为 s =⎰'+d cdy y g 2)]([1 (9)例9 求曲线y =41x 2－21ln x (1≤x ≤e )的弧长s ． 解 y '=21x －x 21=21(x －x1)，ds =2)]([1x f '+dx =)1(21)1(4112x dx x x +=-+dx ， 所求弧长为s =⎰ba ds =41]ln 21[21)1(21e1 2 1=+=+⎰x x dx x x e (e 2+1)． 例10 求心形线r =a (1+cos θ) (a >0)的全长．解 θ∈[0，2π]；又因为心形线关于极轴对称，全长是其半长的两倍，所以θ∈[0，π]．ds =22)]([)]([θθr r +'d θ=2)cos 1(2θ+d θ=2a cos 2θd θ，所以 s =2⎰πθθ2cos2d a =8a ．§6—3 定积分在物理中的部分应用一、变力做功物体在一个常力F 的作用下，沿力的方向作直线运动，则当物体移动距离s 时，F 所作的功W =F ⋅s ．物体在变力作用下做功的问题，用微元法来求解．设力F 的方向不变，但其大小随着位移而连续变化；物体在F 的作用下，沿平行于力的作用方向作直线运动．取物体运动路径为x 轴，位移量为x ，则F =F (x )．现物体从点x =a 移动到点x =b ，求力F 作功W ．在区间[a ，b ]上任取一微段[x ，x +dx ]，力F 在此微段上做功微元为dW ．由于F (x )的连续性，物体移动在这一微段时，力F (x )的变化很小，它可以近似的看成不变，那么在微段dx 上就可以使用常力做功的公式．于是，功的微元为dW =F (x )dx ． 作功W 是功微元dW 在[a ，b ]上的累积，据微元法W =⎰ba dW =⎰ba dx x F )(． (12)例1 在弹簧弹性限度之内，外力拉长或压缩弹簧，需要克服弹力作功．已知弹簧每拉长0.02m 要用9.8N 的力，求把弹簧拉长0.1m 时，外力所做的功W ．解 据虎克定律，在弹性限度内，拉伸弹簧所需要的外力F 和弹簧的伸长量x 成正比，即 F (x )=kx ，其中k 为弹性系数． 据题设，x =0.02m 时，F =9.8N ，所以 9.8=0.02k ，得k =4.9⨯102(N/m).所以外力需要克服的弹力为 F (x )=4.9⨯102x ．由(12)可知，当弹簧被拉长0.1m 时，外力克服弹力作功W =⎰⨯1.0 0 2109.4xdx =21⨯4.9⨯1021.0 0 2x =2.45(J)．例2 一个点电荷O 会形成一个电场，其表现就是对周围的其他电荷A 产生沿径向OA作用的引力或斥力；电场内单位正电荷所受的力称为电场强度．据库仑定律，距点电荷r =OA 处的电场强度为F (r )=k 2r q(k 为比例常数，q 为点电荷O 的电量)． 现若电场中单位正电荷A 沿OA 从r =OA =a 移到r =OB =b (a <b )，求电场对它所作的功W ．解 这是在变力F (r )对移动物体作用下作功问题．因 为作用力和移动路径在同一直线上，故以r 为积分变量，可应用公式(12)，得W =⎰b adr rq k 2=kq b a r ]1[-=kq (b a 11-)．二、液体的压力单位面积上所受的垂直于面的压力称为压强，即p=ρ⋅h，(其中ρ是液体密度，单位是kg/3m，h是深度，单位是m)．如果沉于一定深度的承压面平行于液体表面，则此时承压面上所有点处的h是常数，承压面所受的压力P=ρ⋅h⋅A，其中A是单位为m2的承压面的面积．若承压面不平行于液体表面，此时承压面不同点处的深度未必相同，压强也就因点而异．考虑一种特殊情况：设承压面如图那样为一垂直于液体表面的薄板，薄板在深度为x 处的宽度为f(x)，求液体对薄板的压力．薄板沿深度为x的水平线上压强相同，为ρ⋅x，现在在薄板深x处取一高为dx的微条(见图中斜线阴影区域)，设其面积为dA．微条上受液体压力为压力微元dP．近似认为在该微条上压强相同，为ρ⋅x，则dP=ρ⋅xdA；又深度为x处薄板宽为f(x)，故dA=f(x)dx，因此dP=ρ⋅x⋅f(x)dx．若承压面的入水深度从a到b(a<b)，则薄板承压面上液体总压力是x从a到b所有压力微元dP的累积．据微元法P=⎰badxxxf)(ρ=ρ⎰badxxxf)(．(13)。

y = x2
A = ∫0 ( x − x 2 )dx
2 3 x 1 = x2 − = . 3 0 3 3
3 1
1
x
x+dx
求面积的一般步骤： 求面积的一般步骤： 1.作图（如果需要求出交点）. 作图（如果需要求出交点） 作图 微元法 2.用定积分表示面积 用定积分表示面积. 用定积分表示面积 公式法
2）求出一个元素（如 f ( x )dx 称为量U 的元素 ）求出一个元素（ 且记作 dU ，即 dU = f ( x )dx ）；
3)化 为 定 积 分 U =
∫
b
a
du
定积分在几何 几何上的应用 第二节 定积分在几何上的应用
一、平面图形的面积 1.直角坐标系情形 直角坐标系情形
y
y = f ( x)
π
π
3
o π
6
x
3 0
6 0
= − ∫ π sin xdx + ∫ 6 sin xdx
− 3 0
π
= cos x − π + ( − cos x ) 06
3
0
π
3− 3 = 2
说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 问题： 问题：积分变量只能选 x 吗？
例 3
相当于定积分的换元） 连续. y = ψ (t )连续 （相当于定积分的换元）
x2 y2 的面积. 例 5 求椭圆 2 + 2 = 1的面积 a b x = a cos t 解 椭圆的参数方程 y = b sin t
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积． 由对称性知总面积等于 倍第一象限部分面积． 倍第一象限部分面积

第六章 定积分应用（基础篇）一、求由曲线x y sin =与x y 2sin =)0(π≤≤x 所围成的平面图形的面积。

二、求对数螺线θρa e =相应于ϕθ≤≤0的一段弧长。

三、设曲线y x =，22y x -=及0=y 围成一平面图形，求 1）平面图形的面积； 2） 此平面图形绕x 轴旋转一周而形成的立体体积。

四、曲线x y sin =（π≤≤x 0）和x 轴围成一平面图形，求1） 平面图形的面积；2） 此平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转一周而形成的立体体积；五、摆线的一拱的方程为⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x ，π20≤≤t ， 1）求摆线一拱的弧长；2）求摆线一拱与x 轴所围图形的面积；3）求摆线一拱与x 轴所围图形绕x 轴旋转一周所成立体的体积。

六、a 为何值时，抛物线2x y =与三直线a x =，1+=a x ，0=y 所围成的图形面积何时最小？七、求心形线)cos 1(2θρ+=的全长和所围图形的面积。

八、直线b ax y +=与直线1,0==x x 及0=y 所围图形面积为A ，求b a ,使这块图形绕x轴旋转一周所得体积最小。

（其中0,0≥≥b a ）九、设电流i 可以表示为时间的函数22)(t t t i +=，求从0=t 秒到6=t 秒流过的电量是多少。

十、半径为R 的半球形水池已经装满水，要将水全部从水池吸出，水密度为1，求所作的功。

十一、 质点以速度 2sin )(t t t v =（米/秒）作直线运动，求质点从时间11=t 秒到时间π=2t 秒内所经过的路程。

十二、一根金属棒的线密度为2()26x x x ρ=++（kg/m ），求该金属棒的从0到6m 的质量。

一、从原点向曲线x y ln 1-=作切线，计算由切线、曲线和x 轴所围图形的面积．二、求曲线θcos 3=r 所围图形和曲线θcos 1+=r 所围图形的公共部分面积及边界曲线周长。

第六章定积分的应用教学目的1、理解元素法的基本思想；2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。

3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。

教学重点：1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。

2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。

教学难点：1、截面面积为已知的立体体积。

2、引力。

§6. 1 定积分的元素法回忆曲边梯形的面积:设y=f (x)≥0 (x∈[a,b]).如果说积分,⎰=b adx xfA)(是以[a,b]为底的曲边梯形的面积,则积分上限函数⎰=x adt tfxA)()(就是以[a,x]为底的曲边梯形的面积.而微分dA(x)=f (x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值∆A≈f (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素.以[a,b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式,以[a,b]为积分区间的定积分:⎰=b adx xfA)(.一般情况下,为求某一量U,先将此量分布在某一区间[a,b]上,分布在[a,x]上的量用函数U(x)表示,再求这一量的元素dU(x),设dU(x)=u(x)dx,然后以u(x)dx为被积表达式,以[a,b]为积分区间求定积分即得⎰=b adx xfU)(.用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法).§6. 2 定积分在几何上的应用一、平面图形的面积1．直角坐标情形设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成, 则面积元素为[f 上(x )- f 下(x )]dx , 于是平面图形的面积为dx x f x f S ba ⎰-=)]()([下上.类似地, 由左右两条曲线x =ϕ左(y )与x =ϕ右(y )及上下两条直线y =d 与y =c 所围成设平面图形的面积为⎰-=d c dy y y S )]()([左右ϕϕ.例1 计算抛物线y 2=x 、y =x 2所围成的图形的面积.解 (1)画图.(2)确定在x 轴上的投影区间: [0, 1].(3)确定上下曲线: 2)( ,)(x x f x x f ==下上.(4)计算积分 31]3132[)(10323102=-=-=⎰x x dx x x S . 例2 计算抛物线y 2=2x 与直线y =x -4所围成的图形的面积.解 (1)画图.(2)确定在y 轴上的投影区间: [-2, 4].(3)确定左右曲线: 4)( ,21)(2+==y y y y 右左ϕϕ. (4)计算积分⎰--+=422)214(dy y y S 18]61421[4232=-+=-y y y . 例3 求椭圆12222=+by a x所围成的图形的面积. 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍, 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0, a ]. 因为面积元素为ydx , 所以 ⎰=aydx S 04. 椭圆的参数方程为:x =a cos t , y =b sin t ,于是 ⎰=a ydx S 04⎰=02)cos (sin 4πt a td b⎰-=022sin 4πtdt ab ⎰-=20)2cos 1(2πdt t ab ππab ab =⋅=22.2．极坐标情形曲边扇形及曲边扇形的面积元素:由曲线ρ=ϕ(θ)及射线θ =α, θ =β围成的图形称为曲边扇形. 曲边扇形的面积元素为 θθϕd dS 2)]([21=. 曲边扇形的面积为⎰=βαθθϕd S 2)]([21. 例4. 计算阿基米德螺线ρ=a θ (a >0)上相应于θ从0变到2π 的一段弧与极轴所围成的图形的面积.解: ⎰=πθθ202)(21d a S 32203234]31[21πθπa a ==. 例5. 计算心形线ρ=a (1+cos θ ) (a >0) 所围成的图形的面积.解: ⎰+=πθθ02]cos 1([212d a S ⎰++=πθθθ02)2cos 21cos 221(d a πθθθπ20223]2s i n 41s i n 223[a a =++=.二、体 积1．旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体. 这直线叫做旋转轴. 常见的旋转体: 圆柱、圆锥、圆台、球体.旋转体都可以看作是由连续曲线y =f (x )、直线x =a 、a =b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的立体.设过区间[a , b ]内点x 且垂直于x 轴的平面左侧的旋转体的体积为V (x ), 当平面左右平移dx 后, 体积的增量近似为∆V =π[f (x )]2dx , 于是体积元素为dV = π[f (x )]2dx ,旋转体的体积为dx x f V ba 2)]([π⎰=.例1 连接坐标原点O 及点P (h , r )的直线、直线x =h 及x 轴围成一个直角三角形. 将它绕x 轴旋转构成一个底半径为r 、高为h 的圆锥体. 计算这圆锥体的体积.解: 直角三角形斜边的直线方程为x hr y =. 所求圆锥体的体积为dx x h r V h20)(π⎰=h x h r 0322]31[π=231hr π=. 例2. 计算由椭圆12222=+by a x 所成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积. 解: 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆 22x a ab y -= 及x 轴围成的图形绕x 轴旋转而成的立体. 体积元素为dV = π y 2dx ,于是所求旋转椭球体的体积为⎰--=a a dx x a a bV )(2222πa a x x a ab --=]31[3222π234ab π=. 例3 计算由摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱, 直线y =0所围成的图形分别绕x 轴、y 轴旋转而成的旋转体的体积.解 所给图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为⎰=a x dx y V ππ202⎰-⋅-=ππ2022)cos 1()cos 1(dt t a t a⎰-+-=ππ20323)cos cos 3cos 31(dt t t t a=5π 2a 3.所给图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差. 设曲线左半边为x =x 1(y )、右半边为x =x 2(y ). 则⎰⎰-=a a y dy y x dy y x V 20212022)()(ππ ⎰⎰⋅--⋅-=πππππ022222sin )sin (sin )sin (tdt a t t a tdt a t t a⎰--=ππ2023sin )sin (tdt t t a =6π 3a 3 .2．平行截面面积为已知的立体的体积设立体在x 轴的投影区间为[a , b ], 过点x 且垂直于x 轴的平面与立体相截, 截面面积为A (x ), 则体积元素为A (x )dx , 立体的体积为dx x A V b a )(⎰=.例4 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心, 并与底面交成角α. 计算这平面截圆柱所得立体的体积.解: 取这平面与圆柱体的底面的交线为x 轴, 底面上过圆中心、且垂直于x 轴的直线为y 轴. 那么底圆的方程为x 2 +y 2=R 2. 立体中过点x 且垂直于x 轴的截面是一个直角三角形. 两个直角边分别为22x R -及αtan 22x R -. 因而截面积为αtan )(21)(22x R x A -=. 于是所求的立体体积为 dx x R V R R αtan )(2122-=⎰-ααtan 32]31[tan 21332R x x R R R =-=-. 例5. 求以半径为R 的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h 的正劈锥体的体积.解: 取底圆所在的平面为x O y 平面, 圆心为原点, 并使x 轴与正劈锥的顶平行. 底圆的方程为x 2 +y 2=R 2. 过x 轴上的点x (-R <x <R )作垂直于x 轴的平面, 截正劈锥体得等腰三角形. 这截面的面积为22)(x R h y h x A -=⋅=.于是所求正劈锥体的体积为⎰--=R R dx x R h V 22h R d h R 2202221c o s 2πθθπ==⎰ . 三、平面曲线的弧长设A , B 是曲线弧上的两个端点. 在弧AB 上任取分点A =M 0, M 1, M 2, ⋅ ⋅ ⋅ , M i -1, M i , ⋅ ⋅ ⋅, M n -1, M n =B , 并依次连接相邻的分点得一内接折线. 当分点的数目无限增加且每个小段M i -1M i 都缩向一点时, 如果此折线的长∑=-ni i i M M 11||的极限存在, 则称此极限为曲线弧AB 的弧长, 并称此曲线弧AB 是可求长的.定理 光滑曲线弧是可求长的.1．直角坐标情形设曲线弧由直角坐标方程y =f (x ) (a ≤x ≤b )给出, 其中f (x )在区间[a , b ]上具有一阶连续导数. 现在来计算这曲线弧的长度.取横坐标x 为积分变量, 它的变化区间为[a , b ]. 曲线y =f (x )上相应于[a , b ]上任一小区间[x , x +dx ]的一段弧的长度, 可以用该曲线在点(x , f (x ))处的切线上相应的一小段的长度来近似代替. 而切线上这相应的小段的长度为dx y dy dx 2221)()('+=+,从而得弧长元素(即弧微分)dx y ds 21'+=. 以dx y 21'+为被积表达式, 在闭区间[a , b ]上作定积分, 便得所求的弧长为⎰'+=ba dx y s 21. 在曲率一节中, 我们已经知道弧微分的表达式为dx y ds 21'+=, 这也就是弧长元素. 因此 例1. 计算曲线2332x y =上相应于x 从a 到b 的一段弧的长度. 解: 21x y =', 从而弧长元素 dx x dx y ds +='+=112.因此, 所求弧长为b a b a x dx x s ])1(32[123+=+=⎰])1()1[(322323a b +-+=. 例2. 计算悬链线cx c y ch =上介于x =-b 与x =b 之间一段弧的长度. 解: cx y sh =', 从而弧长元素为 dx cx dx c x ds ch sh 12=+=. 因此, 所求弧长为⎰⎰==-b b b dx cx dx c x s 0ch 2ch c b c dx c x c b sh 2]sh [20==. 2．参数方程情形设曲线弧由参数方程x =ϕ(t )、y =ψ(t ) (α≤t ≤β )给出, 其中ϕ(t )、ψ(t )在[α, β]上具有连续导数.因为)()(t t dx dy ϕψ''=, dx =ϕ'(t )d t , 所以弧长元素为 dt t t dt t t t ds )()()()()(12222ψϕϕϕψ'+'='''+=. 所求弧长为⎰'+'=βαψϕdt t t s )()(22. 例3. 计算摆线x =a (θ-sin θ), y =a (1-cos θ)的一拱(0 ≤θ ≤2π )的长度.解: 弧长元素为θθθd a a ds 2222sin )cos 1(+-=θθd a )cos 1(2-=θθd a 2sin 2=. 所求弧长为⎰=πθθ202sin 2d a s πθ20]2cos 2[2-=a =8a .3．极坐标情形设曲线弧由极坐标方程ρ=ρ(θ) (α ≤ θ ≤ β )给出, 其中r (θ)在[α, β]上具有连续导数. 由直角坐标与极坐标的关系可得x =ρ(θ)cos θ , y =ρ(θ)sin θ(α ≤θ ≤ β ).于是得弧长元素为θθθd y x ds )()(22'+'=θθρθρd )()(22'+=.从而所求弧长为⎰'+=βαθθρθρd s )()(22.例14. 求阿基米德螺线ρ=a θ (a >0)相应于θ 从0到2π 一段的弧长.解: 弧长元素为θθθθd a d a a ds 22221+=+=.于是所求弧长为⎰+=πθθ2021d a s )]412ln(412[222ππππ++++=a . §6. 3 功 水压力和引力一、变力沿直线所作的功例1 把一个带+q 电量的点电荷放在r 轴上坐标原点O 处, 它产生一个电场. 这个电场对周围的电荷有作用力. 由物理学知道, 如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点O 为r 的地方, 那么电场对它的作用力的大小为2r q k F = (k 是常数). 当这个单位正电荷在电场中从r =a 处沿r 轴移动到r =b (a <b )处时, 计算电场力F 对它所作的功. 例1' 电量为+q 的点电荷位于r 轴的坐标原点O 处它所产生的电场力使r 轴上的一个单位正电荷从r =a 处移动到r =b (a <b )处求电场力对单位正电荷所作的功.提示: 由物理学知道, 在电量为+q 的点电荷所产生的电场中, 距离点电荷r 处的单位正电荷所受到的电场力的大小为2r q k F = (k 是常数). 解: 在r 轴上, 当单位正电荷从r 移动到r +dr 时, 电场力对它所作的功近似为dr r q k2, 即功元素为dr r q kdW 2=. 于是所求的功为dr rkq W b a 2⎰=b a r kq ]1[-=)11(b a kq -=. 例2. 在底面积为S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体. 在等温条件下, 由于气体的膨胀, 把容器中的一个活塞(面积为S )从点a 处推移到点b 处. 计算在移动过程中, 气体压力所作的功. 解: 取坐标系如图, 活塞的位置可以用坐标x 来表示. 由物理学知道, 一定量的气体在等温条件下, 压强p 与体积V 的乘积是常数k , 即pV =k 或Vk p =. 解: 在点x 处, 因为V =xS , 所以作在活塞上的力为xk S xS k S p F =⋅=⋅=. 当活塞从x 移动到x +dx 时, 变力所作的功近似为dx xk , 即功元素为dx xk dW =. 于是所求的功为dx x k W b a ⎰=b a x k ][ln =ab k ln =. 例3. 一圆柱形的贮水桶高为5m , 底圆半径为3m , 桶内盛满了水. 试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？解: 作x 轴如图. 取深度x 为积分变量. 它的变化区间为[0, 5], 相应于[0, 5]上任小区间[x , x +dx ]的一薄层水的高度为dx . 水的比重为9.8kN/m 3, 因此如x 的单位为m , 这薄层水的重力为9.8π⋅32dx . 这薄层水吸出桶外需作的功近似地为dW =88.2π⋅x ⋅dx ,此即功元素. 于是所求的功为⎰=502.88xdx W π502]2[2.88x π=2252.88⋅=π(kj). 二、水压力从物理学知道, 在水深为h 处的压强为p =γh , 这里 γ 是水的比重. 如果有一面积为A 的平板水平地放置在水深为h 处, 那么, 平板一侧所受的水压力为P =p ⋅A .如果这个平板铅直放置在水中, 那么, 由于水深不同的点处压强p 不相等, 所以平板所受水的压力就不能用上述方法计算.例4. 一个横放着的圆柱形水桶, 桶内盛有半桶水. 设桶的底半径为R , 水的比重为 γ , 计算桶的一个端面上所受的压力.解: 桶的一个端面是圆片, 与水接触的是下半圆. 取坐标系如图.在水深x 处于圆片上取一窄条, 其宽为dx , 得压力元素为dx x R x dP 222-=γ.所求压力为⎰-=R dx x R x P 022 2γ)()(2221220x R d x R R ---=⎰γ R x R 02322])(32[--=γ332R r =. 三、引力从物理学知道, 质量分别为m 1、m 2, 相距为r 的两质点间的引力的大小为221r m m G F =, 其中G 为引力系数, 引力的方向沿着两质点连线方向.如果要计算一根细棒对一个质点的引力, 那么, 由于细棒上各点与该质点的距离是变化的, 且各点对该质点的引力的方向也是变化的, 就不能用上述公式来计算.例5. 设有一长度为l 、线密度为ρ的均匀细直棒, 在其中垂线上距棒a 单位处有一质量为m 的质点M . 试计算该棒对质点M 的引力.例5'. 求长度为l 、线密度为ρ的均匀细直棒对其中垂线上距棒a 单位处质量为m 的质点M 的引力.解: 取坐标系如图, 使棒位于y 轴上, 质点M 位于x 轴上, 棒的中点为原点O . 由对称性知, 引力在垂直方向上的分量为零, 所以只需求引力在水平方向的分量. 取y 为积分变量, 它的变化区间为]2 ,2[l l -. 在]2,2[l l -上y 点取长为dy 的一小段, 其质量为ρdy , 与M 相距22y a r +=. 于是在水平方向上, 引力元素为2222y a a y a dy m G dF x +-⋅+=ρ2/322)(y a dy am G +-=ρ. 引力在水平方向的分量为⎰-+-=222/322)(llx y a dy am G F ρ22412l a a l Gm +⋅-=ρ.。