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第六章 定积分及应用答案

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第六章 定积分及应用一、填空题 1、16； 2、1； 3、0； 4、0； 5、2； 6、1-x ； 7、－1； 8、21I I >，34I I <； 9、,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 10、6； 11、2-； 12、1； 13、0； 14、2()2y x ππ=-； 15、422x x xe e --； 16、22xxxee ---；17、x cos ； 18、21； 19、π二、选择题1、B ；2、B ；3、C ；4、C ；5、B ；6、C ；7、B ；8、D ；9、D ； 10、B ； 11、C ； 12、D 三、基本计算题 （一）定积分计算1．0； 2.45； 3. 2π-； 4. 12ln 2-；5.16ln25； 6. 42ln3； 7.1122π+； 8. )1(22+e ；9.214-π; 10. 631π-; 11. 12ln 2-（二）分段函数积分 1. 22; 2．24; 3. 41; 4.112; 5. e11-; 6.611; 7. )1ln(11-++e（三）含变限积分的极限 1. 2; 2.31; 3. 2; 4.110; 5.31; 6. 61-（四）广义积分 1.12π; 2. 2ln ; 3. π（五）平面图形面积 1.332； 2.364； 3.29； 4.67（六）旋转体的体积 1.π572； 2. 52π四、综合计算 （一）各类计算 1. =S 2; 2. =S 314;3、e 4.)sin ()cos 1(t t t --5.212ln t t6.1,4==b a7. )()(x f x F =''8. 解xe x xx f +++=cos 11)(2，xe x x x xf +-+-='sin )1(2)(229．解⎰⎰-=xxdt t tf dt t f x x F 00)(2)()(，⎰⎰-=-+='xxdt x f t f x xf x xf dt t f x F 0)]()([)(2)()()(因为)(x f 在),(+∞-∞内为增函数，所以，当0)(),()(0<'<>x F x f t f x 故时，；当0)]()([)(),()(00<--='><⎰x dt x f t f x F x f t f x 故时，；因此，在),(+∞-∞内)(x F 为减 函数。

10. 解22)]()([)()()(xdtt f x f xdtt f x xf x F xx⎰⎰-=-='，)()()(t f x f x f >∴单调递增，故0)]()([)(2>-='⎰xdtt f x f x F x，所以，)(x F 在),0(+∞上连续且单调递增。

11.解 即极小值为零。

的极小值点，且为,0)0()(002===∴⎰dt te I x I x t12． 3=a13. （1） 0=x 为极小值点，极小值()00=F 。

（2）拐点的横坐标为22±=x 。

（3）()()811632324221214------=='⎰⎰eedxedx x F x x（二）．定积分等式的证明 1. 设x a b t =+- 2、证⎰⎰⎰⎰++++=Ta TTa Ta adx x f dx x f dx x f dx x f )()()()(0, 而⎰⎰⎰===⎰=+-=+aaaTx u Ta Tdx x f du u f du T u f dxx f 0)()()()(⎰⎰⎰⎰⎰=++=∴+TxTaTa adx x f dx x f dx x f dx x f dx x f 0)()()()()(3.⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-=+=+aaaaa aa aa aa adx x f du u f dx x f dx xf xdx x f dx xf xx f 11112112)(2)()()1(1)()]1(1)([故⎰⎰+=aaa adx xf xx f dx x f 121)]1(1)([21)( 4、2（三） 定积分不等式的证明. 1.提示：1≤≤2. 提示：ln(1)1x x x+>+. 3. ⎰⎰⎰<+<-∴<<<+=--<-1112111)1(,)10(111111dx dx xdx x x x xx x pppppp而1111)1(1+=+-=-⎰p p p dx x p，111=⎰dx ，所以⎰<+<+1111pxdx p p4.证]3,1[,)1(1)1(sin 22∈+≤+x x e x e x x，.12)43(1|arctan 1)1()1(sin 31312312ee x ex e dx x e xdx xπππ=-==+≤+∴⎰⎰七．提高题1.（利用单调性和零点定理）2.⎰⎰'-⎥⎦⎤⎢⎣⎡'=''1012102)2()2(21)2(dx x f x x f x dx x f x ⎰⎰=+-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21100)(4141)2(21)2(210dt t f dx x f x xf3、解：[]22,0)1(ln )(ee x x x x F ∈>-=' ，)(x F ∴单调增加，M e F m e F ===)(,0)(2⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=---=-=222211111)1(11ln )1(ln )(22eeeeeeeedt t t edt t t tt dt t t e F ())1ln(1111ln ln 1122e et teee e e++-+=-+-+= 4.证：不等式等价于：2241222e dx ee xx ≤≤⎰--首先求出xx ex f -=2)(在[]2,0上的最大最小值。

令0)12()(2=-='-xxe x xf ，得驻点21=x1)0(0==e f 412141)21(--==eef 224)2(e ef ==-，41-=∴em 2e M =。

得证5. （利用单调性和零点定理）6、证：⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅==⎰1,54)()(5415)(5)21(111154ξξξf f dx x f f ，)(x f 在[]1,0上连续，()1,0内可导，且)(211ξf f =⎪⎭⎫⎝⎛，∴在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21ξ上)(x f 满足罗尔定理条件。

()0)(1,0,211='⊂⎪⎭⎫⎝⎛∈∃ξξξf7.证：设)()(x xf x F =，在[]1,0上连续，()1,0内可导。

且0)0(=F ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈===⋅=⎰21,0)()()()1(1)1(21ηηηηF f dx x xf f F ，由罗尔定理知，()1,ηξ∈∃使得0)(='ξF ，即0)()(='+ξξξf f 8.解 令tx u =，则原式变为x x x xf du u f x x x f du u f x xxsin )()(sin )()(12+=⇒+=⎰⎰两边对x 求导，得x x x x x f x x f x f cos sin 2)()()(2++'+=，即x x x x f cos sin 2)(--='，c x x x x x xd x dx x x x x f +--=-=--=⎰⎰cos sin cos 2sincos 2)cos sin2()(c x x x +-=sin cos9. 由题意0)0(=f 令⎰-=xtdt ex g arctan 02)(，显然 0)0(=g ， 2)(arctan 1)(2xex g x +='-，1)0(,1)0(='='∴f g 则 ，)(x g 与)(x f 在点（0，0）处的切线方程 为x y = 2)0(22)0()2(lim 210)2(lim )2(lim ='=-=-=∞→∞→∞→f nf n f n n f nnf n n n。

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【精品】第六章定积分及其应用解答

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第五、六章习题解答（1）一、判断题1、错；2、错；3、对；4、对(需加上)(x f 可积且k 为常数的条件）；5、错.二、填空题1、2ln ；2、x sin ，0；3、6；4、1；5、821，6π。

三、计算题1、[解］⎰⎰⎰⎰⎰-+--=+-=----eeee eee edx x x dx x x dx x dx x x 111111ln )ln (ln ln ln 1111ee e e e 22)1()]11(1[-=--+---=.2、[解]⎰⎰⎰-=-ππππ2232023053cos sin cos sin sin sin xdx x xdx x dx x xππππππ2252252232023sin 52sin 52)(sin sin )(sin sin -=-=⎰⎰x x xd x xd545252=+=。

3、［解］2121032110220)21(31)1()(x x x dx x dx x dx x f -+=-+=⎰⎰⎰652131=+=4、[解])1111(11323204044dt tdt t dx d dt t dx d x x x x ⎰⎰⎰+++=+ ⎰⎰+++-=3204041111x x dt t dx d dt t dx d12281312x x x x +++-=81221213xx xx +-+=.5、［解]212arctan limarctan lim02==→→⎰x x x tdt x xx .四、［解］由352)(2-+=⎰x x dt t f xa两边对x 求导得：54)(+=x x f所以a a x x t t dt t dt t f xa xax a5252)52()54()(222--+=+=+=⎰⎰于是3525252222-+=--+x x a a x x 所以3522-=--a a 即03522=-+a a 解此关于a 的方程得：21=a 或3-=a . 五［证]因为)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导， 所以当),(b a x ∈时，有2)()())(()(a x dtt f a x x f x F xa ---='⎰又因为若令⎰--=xadt t f a x x f x G )())(()(则当),(b a x ∈时，有0)()()()()(<'=-+'='x f x f x f x f x G（注:原题中的条件应为：0)(<'x f ,或需在题中再添上一句话:0)(='x f 只在个别的孤立点处成立）所以)(x G 在),[b a 内单调递减,于是当),(b a x ∈时，0)()(=<a G x G从而当),(b a x ∈时，0)(<'x F故)(x F 在),(b a 内单调递减。

高等数学第六章 定积分应用试题及答案

高等数学第六章 定积分应用试题及答案

第六章 一元函数定积分的应用一、微元法（元素法）实际问题中可化为定积分来计算的待求量A ，一般总可按“分割、近似求和、取极限”这三个步骤导出它的积分表达式。

但为了简捷实用起见，常常采用微元法（又称元素法）。

微元法的关键就在于寻找待求量A 的微小增量（部分量）能近似表达为x ∆的线性形式，()x x f A ∆≈∆而且当0→∆x 时，()()x x x f A ∆=∆-∆0，亦即()dx x f dA =，其中()x f 为[]b a ,上的某一个连续函数。

量dA 称为待求量的微元素。

然后把()dx x f 在[]b a ,上积分，即待求量⎰=badx x f A )(。

这就是微元法。

在采用微元法时，必须注意如下几点：（1）选好坐标系，这关系到计算简繁问题。

（2）待求量A 具有以区间的可加性，即A =∑∆A ；（3）取好微元x x f d )(，经常应用“以匀代变”“以直代曲”的思想决定A ∆的线性主部，这关系到结果正确与否的问题。

定积分的几何应用一、平面图形的面积 1．直角坐标的情形求)(1x y ϕ=与)(2x y ϕ=与所围图形的面积方法（1）以x 为积分变量由)(1x ϕ)(2x ϕ=解出两个常数值a x =，b x =，面积元素dA =dx x x )]()([12ϕϕ-，面积A =x x x bad )]()([12ϕϕ-⎰，（b x a ≤≤）。

方法(2) 以y 为积分变量由)(1x y ϕ=、)(2x y ϕ=解出x 的两个表达式)(1y x ϕ=，)(2y x ϕ=，再根据)(1y ϕ)(2y ϕ=解出y 的两个常数值c y =，d y =，面积元素dA =dy y y )]()([12ϕϕ-，面积A =y y y dc d )]()([12ϕϕ-⎰，（d y c ≤≤）。

以x 还是y 为积分变量，要视具体情况分析，总之要让计算最简单。

（1）X — 型平面图形的面积 （2） Y — 型平面图形⎰-=badx x g x f S )()( ⎰-=dcdy y g y f S )()(2．参数方程情形求)(x f y =、a x =、b x =以及x 轴所围图形的面积（b a x f <≥,0)(），如果曲边)(x f y =的方程为参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x φϕ，则其面积dx y A ba ⎰==dt t t )(')(ϕφβα⎰，其中)(),(βϕαϕ==b a3．极坐标情形设平面图形是由曲线 )(θϕ=r 及射线αθ=，βθ=围成的曲边扇形。

高等数学第六章答案

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第六章 定积分的应用第二节 定积分在几何上的应用 1. 求图中各阴影部分的面积: （1） 16. (2) 1(3)323. (4)323.2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 463π-. (2)3ln 22-. (3)12e e+-.(4)b a -3. 94.4. （1）.1213（2）.45. (1) πa 2. (2)238a π. (3)218a π.6. （1）423π⎛- ⎝ （2）54π（3）2cos 2ρθρθ==及162π-+7．求下列已知曲线所围成的图形, 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： （1）2x x y y x =和轴、向所围图形，绕轴及轴。

（2）22y x y 8x,x y ==和绕及轴。

（3）()22x y 516,x +-=绕轴。

（4）xy=1和y=4x 、x=2、y=0，绕。

（5）摆线()()x=a t-sint ,1cos ,y 0x y a t =-=的一拱，绕轴。

2234824131,;(2),;(3)160;(4);(5)5a .52556πππππππ（）8．由y =x 3, x =2, y =0所围成的图形, 分别绕x 轴及y 轴旋转, 计算所得两个旋转体的体积.1287x V π=. y V =645π9．把星形线3/23/23/2a y x =+所围成的图形, 绕x 轴旋转, 计算所得旋转体的体积.332105a π 10．（1）证明 由平面图形0≤a ≤x ≤b , 0≤y ≤f (x )绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为 ⎰=badx x xf V )(2π. 证明略。

（2）利用题（1）结论, 计算曲线y =sin x (0≤x ≤π)和x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. 22π11．计算底面是半径为R 的圆, 而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积. 343R .12．计算曲线3223y x =上相应于38x ≤≤的一段弧的弧长。

《高等数学教学资料》答案-第6章定积分的应用.doc

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第6章定积分的应用1.求由两抛物线)'二兀与y 2 = -x+4所用成的面积解:先求出两抛物线的交点，(2,V2),(2,-V2),由对称性，只要求位于第一彖限的而积的两倍即可，关于>/22f (4-2y 2)dy = 4(2y-y 3/3) 02.求由双曲线y = x + \!兀与两肓线x = 2^y = 2所围图形的而积解：双曲线在x=l 处达到极小值2,边界线的交点为(1,2), (2,5/2) , (2,2)关于x 积分较简单解：由对称也 只需求!110<^<^/3的一叶的面积，乘以3则得所求面积,□広/3 q 2 兀/3 $ 2 兀/3A = - f rd3 = — [ sin 2(3^)d^ = — f (1-cos(60))d& = 2 J 2 J 4 J厶0 厶 0 " o 4•求山双曲线y = l/x,三直线y = 4x. x = 2. y = 0所围成平面图形绕兀轴旋转所成的旋转体的体积解：该曲线是由三段抛物线组成的，y = 4-x 2 , 丁 = 2 +兀2 , )=4 - 区间分别是[-2,-1],[-1,1],1,2],边界点(・2,0),(・1,3),(1,3),(2,0),旋转体可看成半径为3高为4的体积为3x3x4〃的圆柱体挖去抛物线绕直线y = 3旋转成的部分，再考虑到曲线关于y 轴的对称性，所以/-I 0V = 367i-27T j(x 2-l)2d.r+j(l-x 2)2dx\-2-1解：该题即教材习题6.3第6题，图形的顶点是©0),(1」)，体积等于圆弧x=xl(y)绕x=2旋转的体积减V=7T<1/2 2 ] 、 f 16x 2dr+ [ —dx =7T1/2 __1 2、 J J x 儿<3 o x 1/2丿 解：先求出图形的顶点(0,0),(1/ 2,2),(2」/ 2), (2,0)=碍冷+ 2)十/6 5.求由曲线y = 3-|x 2-l|与X 轴所围封闭图形绕岂线y = 3旋转所成旋转体的体积= 16A /2/3y 积分较方便, 3•求三叶玫瑰线在极处标下的曲线厂=a sin(3&) > 0, tz > 0围成的面积1 ___________________去直线段x=y 绕x=2旋转所得的圆台的体积，故V = ;rJ((l + Jl_b )2_(2_y)2)dy1 ______________=可(27^-2()' —I)*®i 方法2 V = ^J((2-x 1(j))2-(2-y)2)dy1 1 1=龙J 4 (y -若(y) +彳(y) - y?) dy =打2 (2y - y' -兀］(y)) dy,由于J 兀］(刃dy 等于边长为一的正方型 00 0面积减去四分Z —圆而积.故得IV = ;rj2(2y — y2p (y ))dy = 2;r(l — l/3 — (l —龙/4))=龙(龙/2 —2/3)7•求曲线),=ln(l- x 2)上相应于0 5x51/2上的一段弧的弧长\x = acos^ t\ &求曲线｛相应于(0<t<7T/2)上的一•段弧长 y = asint. 解：由于2siii/cos/ = sin2r, sin 4r +cos 41 =(sin 2 Z +cos 21)2 -2sin 2/ cos 21 = 1 -2sin 2tcos 21 = 1 - — sin 2 2/ = —(1 + cos 2 2(),故 2 2TT /2 ___________ 刃 2 _______________________________弧长$ = 4G J sinrcos/vcos 4+ sin 4 tdt =——厂 j y ］\ + cos 2(2r)dcos(2r) 0°2 () 龙/2 ________=J J1 + cos?⑵)dcos ⑵)2Z (In(cos(2f) + Jl + cos?⑵))+ cos(2f) J1 + cos?⑵))|= a 9.求极坐标下抛物线厂=——,上相应于(-龙/25 0W 龙/2)上的一段弧长 1 + COS (P龙/2 」e =f d(p S 3(^/2) Jcos?(0/2)-7C arcsin =兀(兀 12-2/3)f-i + 1 + qdr 二 ： + ln 土］1 1 — x 1 + x < 1 一( i l + -^ln(V2 + l) d (p 解：弧长 l-x 21/2 = ln3-l/2 0 1/2 訂0 解：S __J__ + 心 4(1 + COS 0)2 (1+COS 0)4 (I+COS0严訂=2sec(0 / 2) tan@/ 2) - 2J tan2((p/2)sec(©/ 2) d(©/ 2)=2 sec(0 / 2) tan(° / 2) - 2 j (sec2((p/2)-1) sec(° / 2) d((p/2)s = \ "呷⑺ + i n(tan((^ + 龙)/4) =72 + ln(l + >/2)I cos2 (^/2) 屮丿I。