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第6章定积分的应用习题集及答案

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第六章 习题 定积分的应用一．选择题1．曲线x y ln =、a y ln =、b y ln =（b a <<0）和y 轴所围图形的面积为（ C ） （A ）⎰ba xdx ln ln ln ； （B ）⎰be a e xdx e ； （C ）⎰ba ydy e ln ln ； （D ）⎰ae b e xdx ln ．2．曲线x e y =下方与该曲线过原点的切线左方和y 轴右方所围图形的面积为（a ）（A ）⎰-10)(dx ex e x ； （B ）⎰-edy y y y 1)ln (ln ； （C ）⎰-e x x dx x e e 1)(； （D ）⎰-10)ln (ln dy y y y ．3．摆线)sin (t t a x -=、)cos 1(t a y -=（0>a ）的一拱（π20≤≤t ）与x 轴所围图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积为（ D ）（A ）⎰-ππ2022)cos 1(dt t a ； （B ）⎰--at t a d t a ππ2022)]sin ([)cos 1(； （C ）⎰-a dt t a ππ2022)cos 1(； （D ）⎰--ππ2022)]sin ([)cos 1(t t a d t a ． 4．曲线θρcos 2a =(0>a )所围图形的面积为（ D ）（A ）⎰22)cos 2(21πθθd a ； （B ）⎰-ππθθd a 2)cos 2(21；（C ）⎰πθθ202)cos 2(21d a ； （D ）⎰202)cos 2(212πθθd a ．5．连续曲线)(x f y =与直线a x =、b x =（b a <≤0）及x 轴围成的图形绕y 轴旋转一周生成的旋转体体积为（ B ）（A ）⎰ba dx x xf )(2π；（B ）⎰ba dx x f x )(2π；（C ）⎰ba dx x xf )(22π；（D ）⎰ba dx x f x )(22π． 6．半径为R 的半球形水池已装满水．要将水全部吸出水池，需做功的为 （ C ）（A ）⎰-Rdy y R 022)(π；（B ）⎰Rdy y 02π；（C ）⎰-Rdy y R y 022)(π；（D ）⎰Rdy y 03π．二．计算题1．求曲线221x y =与822=+y x 所围图形（上半平面部分）的面积．解：易知：曲线221x y =与822=+y x 的交点为(2,2)±。

所以所求面积为2242223x S π==+⎰2．求心形线⎩⎨⎧-=-=ta t a y ta t a x 2sin sin 22cos cos 2（π20≤≤t ，0>a ）所围图形的面积．解：所求面积=上半部分面积的两倍⎰-=a aydx 233(2)23⎰-a aydx ⎰=3)()([2ππt dx t y )]()(30⎰-πt dx t y⎰--=0)2cos cos 2()2sin sin 2(2πt t a d t t a⎰+⋅-=π222)2sin 2sin sin 3sin 2(4dt t t t t a26a π=．3．求曲线x y 23sin =（π≤≤x 0）与x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周，生成的旋转体体积．解：304sin 3V xdx πππ==⎰4．求由曲线32+=x y 及132+=x y 所围成的平面图形绕x 轴旋转生成的旋转体体积．解：由⎪⎩⎪⎨⎧+=+=13322x y x y 解得曲线32+=x y 与132+=x y 的交点坐标为)4,1(-与)4,1(，所求体积ππππ564)88()13()3(11411221122=-=+-+=⎰⎰⎰---dx x dx x dx x V ． 5．曲线y y x 222-=+绕2=y 旋转一周所成旋转体的体积．解：所求体积()()⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡----+=1122221313dx x xV π21126112ππ=-=⎰-dx x ．6．由曲线21x xy +=与直线0=x 、ξ=x （0>ξ）及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积记为)(ξV ．问a 为何值时，)(lim 21)(ξξV a V +∞→=． 解：220220212)1()(ξξπππξξξ+=+==⎰⎰dx x x dx y V ；2 )( lim πξξ=+∞→V ． 由)( lim 21)(ξξV a V +∞→=，有2212a a +π4π=，得1=a ．7．求由曲线0)y x =≥绕y x =旋转一周所生成的旋转体的体积.解：1122001142()2223560V dx x x ==+-=+-=⎰⎰8．计算曲线)3(31x x y -=上相应于31≤≤x 的一段弧长． 解：所求弧长343221)(131312-=+='+=⎰⎰dx xxdx y s ．9．求曲线λθρae =（0>a ，0>λ）上从0=θ到a =θ的弧长．）1-a e λ10．求摆线 ⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x )20,0(π≤≤>t a 一拱的弧长.解t a t y a t x sin )(cos),1()(='-='由弧长计算公式，得dt t y t x s ⎰'+'=π2022)]([)]([dtt a ⎰-=π20)cos 1(2⎰=π202sin 2dt ta⎰⎰-=πππ202sin 22sin 2dt t a dt ta .a 8=11．设一物体由静止开始作直线运动，在t 秒末的速度是23t （米／秒）．求 （1）在3秒时物体离开出发点的距离． （2）走完343米所需的时间．解：在t 秒末物体的速度23)(t t v v ==（米／秒），离开出发点的距离3023)(t dt t t s s t===⎰（米）． （1）在3秒时物体离开出发点的距离273)3(3===s s （米）． （2）令343)(3===t t s s ，解得7=t ．故走完343米所需的时间7秒．12．设曲线2(,0)y ax x a =>与21y x =-交于点A ，过坐标原点O 和点A 的直线与曲线2y ax =围成一平面图形。

问：a 为何值时，该图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积是多少？ 解：A点坐标为)1a a +，直线OA方程为：y x =。

所以旋转体体积为：()222245022()1151a x a V a a x dx a a ππ⎫=-=⎪+⎝⎭+，()2724'()151a a V a a π-=+。

由此可知，当04a <<时，'()0V a >；当4a =时，'()0V a =；当4a >时，'()0V a <。

所以4a =。

13．设1D 是由抛物线22y x =和直线,2,0x a x y ===所围成的平面区域；2D 是由抛物线22y x =和直线,0x a y ==所围成的平面区域，其中02a <<。

（1）试求1D 绕x 轴旋转而成的旋转体的体积1V ，2D 绕y 轴旋转而成的旋转体的体积2V 。

（2）当a 为何值时，12V V +取到最大值，并求此最大值。

..,.,,,4.当水面与闸门的上端相平所围成下部由二次抛闸门的上部为矩形为对称轴其中直线某闸门的形状与大小如图所示AB ABCD l 欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承lAB物线与线段时.20,,02;02,25.?)(,4:52221其中所围成的平面区域直线是由抛物线所围成的平面区域及和直线是由抛物线设米闸门矩形部分的高a a x y x y D y x a x x y D m h <<=======02数二考研题O xy22x y =1D 2a2D 受的水压力之比为应为和.?(2);;(1)212211试求此最大值取得最大值为何值时试问轴旋转而成的旋转体的体积绕轴旋转而成的旋转体体积绕试求V V a V y D V x D +02数三考研题多少;(1).ln ,ln A D D x x y x y 的面积求平面图形及该切线与曲线的切线过坐标原点作曲线==6.轴围成03数一考研题解：（1）()2225142(32)5a V xdx a ππ==-⎰；222242022a y V a a dy a πππ=⋅-=⎰。

（2）54124(32)5V V a a ππ+=-+。

易见：()312'4(1)V V a a π+=-。

所以01a <<时，()12'0V V +>；1a =时，()12'0V V +=；12a <<时，()12'0V V +<。

由此可知1a =是最大值点，最大值为1295π。

14．设D是位于曲线2(1,0)xay a x -=>≤<+∞下方， x 轴上方的无界区域。

（1）求D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积()V a 。

（2）a 为何值时，()V a 最小，并求此最小值。

解：（1）2()ln ln ln ln x ax ax xa aV a xa dxaxda a a a xaa dx a a a a πππππ-+∞-+∞+∞--+∞==-=-+⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰（2）3(ln 1)'()2ln a a V a aπ-=。

由此可见：a e >时，'()0V a >；a e =时，'()0V a =；a e <时，'()0V a <。

所以a e =是最小值点。

()V a 的最小值为2e π。

15．曲线2x xe e y -+=与直线0,(0),0x x t t y ==>=围成一曲边梯形。

该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体，其体积为()V t ，侧面积为()S t ，在x t =处的底面积为()F t 。

（1） 求()()S t V t 的值。

（2）求极限()lim ()t S t F t →+∞。

解：（1）200()222x x tte e S t dx ππ-⎛⎫+== ⎪⎝⎭⎰⎰，20()2x xt e e V t dx π-⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰ 所以()2()S t V t = （2）22()2t t x te e F t y ππ-=⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以 20222()lim lim()2x x tt t t t e e dx S t F t e e ππ-→+∞→+∞-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰ 222lim2222lim 21t t t t t t t t t t tt e e e e e e e e e e ππ---→+∞--→+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭=16 ．已知某产品的总产量对时间t 的变化率tet t Q 152225)(--='（单位：吨/天），0)0(=Q ，求：（1）投产后多少天平均日产量达到最大？最大值是多少？ （2）达到最大值后再生产30天，求这30天的平均日产量.（1）解：因为tet t Q 152225)(--='，所以15()15tQ t C e-=+。

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ch6定积分及其应用——定积分应用典型例题

ch6定积分及其应用——定积分应用典型例题

第六章 定积分及其应用 定积分应用习题课典型例题典型例题1例1 由 1. 求其所围成的图形的面积.⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤===40cos ,sin ,0πx x y x y x 所围的平面图形如图所示0xy 14πxy sin =xy cos =2. 它绕x 轴旋转而成的 旋转体体积解()4cos sin d A x x x π=-⎰[]12cos sin 40-=+=πx x 1. 2. ()4220cos sin d V x x xππ=-⎰4cos2d x xππ=⎰22sin 240πππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x 0xy 14πxy sin =xy cos =典型例题典型例题2例2 求抛物线21x y -=在(0,1) 内的一条切线, 使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解 设抛物线上切点为)1,(2x x M -则该点处的切线方程为)(2)1(2x X x x Y --=--它与 x , y 轴的交点分别为,)0,(212xx A +)1,0(2+x B 所指面积=)(x S 22(1)122x x+12(1)d x x--⎰22(1)243x x+=-oxyM1B 1A=')(x S )13()1(22412-⋅+x x x ,33<x 0)(<'x S ,33>x 0)(>'x S 且为最小点 .故所求切线为3433Y X =-+,0)(='x S 令得[ 0 , 1] 上的唯一驻点33=x ,]1,0[)(33上的唯一极小点在是因此x S x =oxyM1B 1A典型例题典型例题3例3 设非负函数()[0,1]f x 在上满足()()x f x f x '=曲线)(x f y =与直线1=x 及坐标轴所围图形(1) 求函数;)(x f (2) a 为何值时， 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体 体积最小？解 (1)时，当0≠x 由方程得a xx f x f x 23)()(2=-'[]a x x f 23)(=',223x a +面积为 2 ,即xC x a x f +=223)(故得又⎰=10d )(2x x f ()x x C x a d 23210+=⎰22Ca +=a C -=4xa x a x f )4(23)(2-+=(2) 旋转体体积V x x f d )(102⎰=π()1610132++=a a π(),01513=+='a V π令5-=a 得又V ''5-=a ,015>=π5-=∴a 为唯一极小点,因此5-=a 时 V 取最小值 .x o y 1典型例题典型例题4轴所围图及表示x t x x f y t V )0(,)()(>==例4 设)(x f y =在 x ≥0 时为连续的非负函数, 且,0)0(=f 形绕直线 x ＝t 旋转一周所成旋转体体积 ,证明:.)(2)(t f t V π=''x)(x f xoyt证利用柱壳法xx f x t V d )()(2d -=π则xx f x t t V td )()(2)(0-=⎰πx x f t t d )(20⎰=πx x f x td )(20⎰-πx x f t V t d )(2)(0⎰='π)(2t f t π+)(2t f t π-()2().V t f t π''=故典型例题典型例题5例5 求曲线132--=x y 与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y ＝3 旋转所得旋转体的体积.故旋转体体积为=V 432⋅⋅πx x d )]2(3[2122⎰+--π1222221362(1)d 2(1)d x x x xπππ=----⎰⎰222=362(1)d x xππ--⎰448.15π=解 利用对称性 ,⎩⎨⎧=y 10≤≤x ,22+x 21≤<x ,42x -在第一象限 xx d )]4(3[22122⎰---πo xy A 123BC典型例题典型例题6)d 5(d x u =故所求旋转体体积为x x xd 5)2(2251⋅-⋅=π165.75π=xx x V d 5)2(222051-=⎰πu V d d 2ρπ=旋转所得旋转体体积.解 曲线与直线的交点坐标为),4,2(A 曲线上任一点)4,(2x x x P -到直线x y 2=的距离为xx 2251-=ρ),(2如图为数轴以u x y =则2oxyA)d 5(d x u =故所求旋转体体积为xx xd 5)2(2251⋅-⋅=π165.75π=xx x V d 5)2(222051-=⎰πu V d d 2ρπ=旋转所得旋转体体积.解 曲线与直线的交点坐标为),4,2(A 曲线上任一点)4,(2x x x P -到直线x y 2=的距离为xx 2251-=ρ),(2如图为数轴以u x y =则2oxyA典型例题典型例题7解方法一)()()()1(x C x R x L '-'='边际利润xx x L 02.018202.020)(-=--='故得9000)(=='x x L 得驻点令()0.020L x ''=-<又.900件时，总利润最大当产量为∴9500(2)(90050)(180.02)d 8075()L x x +=-=⎰元.807550900元件，总利润为件又多生产即从8000(3)(800)(180.02)d 8000()L x x =-=⎰元.8000800元件时的总利润为即生产方法二(0)0C =Q 固定成本为x x C 2)(=∴2(0)200.01R x x=+-(0)0R =Q 201.020)(x x x R -=∴总利润函数为∴xx x x C x R x L 201.020)()()(2--=-=201.018)(x x x L -=即2()(0)2d (0)2C x C x C x =+=+⎰先求总成本函数0()(0)(200.02)d x R x R x x =+-⎰总收入为9000)(=='x x L 解得令()0.020L x ''=-<Q 件时，总利润最大．当产量为900∴)(807595001.095018)50900()2(2元=⨯-⨯=+L 元．总利润为件时，件多生产即从产量为807550900)(800080001.080018)800()3(2元=⨯-⨯=L 元．件时的总利润为即生产8000800201.018)()1(xx x L -='典型例题典型例题8例8某企业购置一台设备需购置成本1000元，在10年中每年收益为200元，若连续利率为5%，假设购置的设备在10年后完全失去价值，求价值的资本价值．100.050200d 1000t v e t -=-⎰0.0510200(1)10000.05e -⨯=--)(88.573元≈元．即收益的资本价值为88.573是有限的，为而资本价值仍若收益流量是无限期的,0.05200lim[(1)1000]0.0520010003000().0.5t t v e -→+∞=--=-=元解THANK YOU。

高等数学第六章-定积分的元素法及其应用(1)

高等数学第六章-定积分的元素法及其应用(1)


精确值
积分表达式
这种分析方法成为元素法 (或微元分析法) 元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
第六章 定积分的元素法及其应用
二、定积分在几何学上的应用
1. 直角坐标系下平面图形的面积
（1）若函数 f (x) 在[a,b] 上连续且 f (x) 0，则由f ( x)，x a,
所围图形的面积 . y b
利用椭圆的参数方程
o x xdx a x
应用定积分换元法得

4ab 2 sin2 t dt 0
4ab

1 2


2
ab
当 a = b 时得圆面积公式
第六章 定积分的元素法及其应用
2. 极坐标系下平面图形的面积
设由曲线 =( ) 及射线 =， = 围成的曲边扇 形，则曲边扇形面积为：
思考练习
1. 用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s .
提示: 交点为(1, 1), (9, 3), 以 x 为积分变量 , 则要分
两段积分, 故以 y 为积分变量.
A 3 1
dy
3 y
弧线段部分
直线段部分
s
3
1
1
dy
第六章 定积分的元素法及其应用
2.求曲线
30
y

x
R x
第六章 定积分的元素法及其应用
思考: 可否选择 y 作积分变量 ?
此时截面面积函数是什么 ? 如何用定积分表示体积 ? 提示:
2x y tan 2 tan y R2 y2
y
o
(x, y)
R x
2 tan Ry R2 y2 dy 0
(完整word版)《微积分》各章习题及详细答案

(完整word版)《微积分》各章习题及详细答案

第一单元 函数与极限一、填空题1、已知x xf cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim 22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。

4、01sin lim 0=→x x k x 成立的k 为 。

5、=-∞→x e x x arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、____________22lim22=--++∞→x x n 。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。

第六章 定积分及其应用

第六章 定积分及其应用

β α
称为定积分的换元公式. 称为定积分的换元公式
定理2.4 设u(x),v(x)在区间 在区间[a,b]上有连续导数，则 上有连续导数， 定理 在区间 上有连续导数
∫ u( x) v′( x) dx = u( x)v( x)
a
b
b a
− ∫ u ′( x ) v ( x ) dx.
a
b
称为定积分的分部积分公式. 称为定积分的分部积分公式 例2 计算下列定积分
注: (1)定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分变量 定积分仅与被积函数及积分区间有关 用什么字母表示无关.即 用什么字母表示无关 即
∫
b
a
f ( x ) d x = ∫ f (t ) d t = ∫ f (u ) d u.
a a
b
b
(2)定积分的几何意义 定积分的几何意义: 定积分的几何意义
A=∫
b
1
1 1 dx = − 2 x x

1
1 = 1− . b
b
性质2 被积函数中的常数因子可以提到积分号的前面，即 性质 被积函数中的常数因子可以提到积分号的前面，
∫
b
a
k f ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx
a
b
性质3 如果积分区间[a,b]被分点 分成区间 被分点c分成区间 性质 如果积分区间 被分点 分成区间[a,c]和[c,b],则 和 则
s ≈ ∑ v(ξ i ) ∆ t , (λ = max ∆ t i ).
i =1 1≤ i ≤ n n
（2）近似求和： ）近似求和： （3）取极限： ）取极限：
s = lim ∑ v (ξ i ) ∆ t i