补充：信号流图

两者结合在控制系统设计中优势
提高设计效率
通过信号流图和梅森规则的结合，可以快速准确 地分析控制系统的性能，从而提高设计效率。
优化系统性能
通过对信号流图的优化和梅森规则的应用，可以 实现对控制系统性能的精确调整和优化。
降低设计难度
信号流图和梅森规则的结合使得控制系统的设计 过程更加直观和易于理解，降低了设计难度。
前向通路
从输入节点到输出节点的一条通路，其上 所有支路的传输函数之积为该通路的总传 输函数。
传输函数
描述支路上信号传输特性的函数，通常表 示为H(s)。
信号流图绘制方法
01
确定系统的输入和输出变量，以及它们之间的关系。
02
根据输入和输出变量的关系，绘制出系统的信号流图。在绘制过程中， 需要注意信号的流动方向和节点、支路的表示方法。
性能指标计算
利用梅森规则求得传递函数后，可以进一步计算控制系统的性能指标，如超调量、调节时间等，以评估系统的性能优 劣。
系统优化设计
梅森规则在控制系统优化设计中也有应用。通过对传递函数的调整和优化，可以改善系统的性能指标， 提高系统的稳定性和响应速度。
案例分析：利用梅森规则求解系统传递函数
案例描述
考虑一个简单的控制系统，其信号流图包含 两个节点和三条支路。其中，节点1到节点2 的支路传递函数为G1(s)，节点2到节点1的支 路传递函数为G2(s)，节点2的自环传递函数 为H(s)。
梅森规则应用
根据梅森规则，首先找出所有的前向通路和 回路。在这个例子中，存在两条前向通路： P1 = G1(s) 和 P2 = G1(s)G2(s)H(s)。同时 存在一个回路：L1 = -G2(s)H(s)。计算特征 式 Δ = 1 - G2(s)H(s)。最后，利用梅森规则 公式求得系统传递函数 T = [P1 + P2] / Δ = [G1(s) + G1(s)G2(s)H(s)] / [1 - G2(s)H(s)]。

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（3）混联： ）混联：
X1 H1 H3 X3 X2 H2 X4
X2 H2H3 X1 H1H3 X4
X4=H3X3=H3(H1X1+ H2X2)= H1H3X1 + H2H3X2
H2 X1 H1 X2 H3 X4 X3
H1H2 X1 H1H3
X3
பைடு நூலகம்
X4
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（4）自环的消除： ）自环的消除：
例 求下列信号流图的系统函数
H4
首先找出所有回路： 解 (1)首先找出所有回路： 首先找出所有回路 L1=H3G L2=2H1H2H3H5 L3=H1H4H5 (2)求特征行列式 求特征行列式
1
H1
H2
H3 G H5
2
1
△=1-（H3G+2H1H2H3H5+ H1H4H5）+ H3G H1H4H5 （ (3)然后找出所有的前向通路： 然后找出所有的前向通路： 然后找出所有的前向通路 1 p1=2H1H2H3 H = ( p1∆1 + p2 ∆2 ) ∆ p2=H1H4 (4)求各前向通路的余因子：△1 =1 ， △2 =1-GH3 求各前向通路的余因子： 求各前向通路的余因子 框图也可用梅森公式求系统函数。 框图也可用梅森公式求系统函数。 ▲ ■
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3、信号流图的基本性质 、
（1）信号只能沿支路箭头方向传输。 ）信号只能沿支路箭头方向传输。 支路的输出=该支路的输入与支路增益的乘积 该支路的输入与支路增益的乘积。 支路的输出 该支路的输入与支路增益的乘积。 （2）当结点有多个输入时，该结点将所有输入支路 ）当结点有多个输入时， 的信号相加， 的信号相加，并将和信号传输给所有与该结点相连 的输出支路。 的输出支路。 x1 d x5 如：x4= ax1+bx2+cx3 x5= dx4 x6= ex4

设线性系统由n个线性代数方程描述，若写成 n (2.94) x j a ij x i ， j 1,2,, n
i 1
则称为因果关系形式。其中，写在等式左端的变 量为“果”，写在等式右端的变量为“因”。
对于一个给定的线性方程组，其信号流图不是 唯一的。但这些信号流图尽管形式上不同，但 求解结果都是一样的，都描述了同一个系统。 所以，这些信号流图是等效的，称为等效的非 同构图。 2．由微分方程组构造 信号流图只能表示线性代数方程，当系统是 由线性微分方程描述时，则应首先通过拉氏变 换将它们变换成线性代数方程，再整理成因果 形式，作出系统的信号流图。
(b)
X 3 ( s) E ( s)
X 1 ( s)
X 1 ( s)
X 3 (s)
E ( s)
E (s)
X 2 ( s)
E ( s)
-1 X 2 ( s) (c)
E (s)
图2.30 结构图与信号流图的对应关系
1）结构图中的信号线，方框及传递函数与信 号流图中的节点、支路及传递函数相对应。如 图2.30a所示。 2 ）结构图中的引出点，在信号流图中合到节 点上去了，信号直接从节点上引出，这是因为 同一节点输出相等，如图2.30b所示。 3）结构图中的“比较点”与信号流图中的 “节点”相对应，如图2.30c所示 。
与梅森增益公式有关的几个概念 1）通道：凡从某一节点开始，沿着支路的箭 头方向连续经过一些支路而终止在另一节点 （或同一节点）的途径，统称为通道。 2）前向通道：从输入节点到输出节点，而且 每个节点只经过一次的通道称为前向通道。前 向通道中各支路的乘积，称为前向通道传递增 益。
信号流图的变换法则与简化 信号流图通过变换，也可以得到只剩下输入 节点和输出节点的信号流图，从而求出总的传 递函数。 1. 加法——并联支路的简化 n 个同方向的并联支路，可用一个等效支路代 替，等效支路的传递函数等于 n 个支路传递函 数之和。

x1 x2 x3 xS1 1 x2 x1 x3 2 x3 x1 x2
-1 1 -1 1 Xs1 1 X1 -1 2 -1 Xs1 1 X1 -1/2 X2 1 X3 3 2 1 -1 -1
X2 1 X3
1 1 1 1 ，B 0 ，X a X 解：A 1 2 2 、 2、 3） ij j （1 aii）X i bi1 X S（ i 1 i 1 j 1 1 1 0 X i aij X j （ 1 aii）X i bi1 X S （ 、 2、 3） ，可见其流图是不同的 ，但其解 1 i 1
L5＝gf g
f
x1
L4＝cd
a
c
x3
d
x4
L2＝cef
p
b
e
x2
有向回路增益说明图
L1＝dgp
（10）非接（切）触回路：若干个有向回路之间没有公共节点 的回路，若两个回路不接触时称为不接触二重(阶)回路， n个回路不接触时称为不接触n重（阶）回路。 h
x1
b
a
c
x3
f
d
g
x4
e
p
x2
非接触回路说明图1
第六章 网络函数与稳定性
§6-3 信号流图(分析和求解线性方程组的一种方法）(P243)
•信号流图(SFG—Signal Flow Graph)： 信号流图表示信号的流动，是由节点和支路组成的加权有向图。 信号流图用于线性网络或系统的分析、求解，它可以完全对应 一个线性方程组（系统或网络） ；图中的每个节点对应着线性 方程组的某一常量或变量，加权支路对应相应（方程组）的系 数；从而把线性方程组的变量描述为沿支路方向流动的信号 （信号流图）；把线性方程组的代数变换转化为信号流图的变 换。因而提供了一种通过对信号流图的观察和约简求解线性方 程组的方法。