高考模拟试卷(文科)

某重点中学高考数学（文科）模拟试卷(1)（含标准答案）满分：150 时间：120分钟一、选择题：（每题5分，共40分） 1、若集合{}{}M y y N x y x x====--||21，，则M N =（ ）A. ()0，+∞B. [)0，+∞ C. [)1，+∞D. ()1，+∞2、如果双曲线的两个焦点分别为)0,3(1-F 、)0,3(2F ，一条渐近线方程为x y 2=，那么它的两条准线间的距离是（ ） A ．36B ．4C ．2D ．13、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x xy ，则目标函数y x z +=2的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．94、设集合}30|{≤<=x x M ，}20|{≤<=x x N ，那么“M a ∈”是“N a ∈”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5、将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ） A ．10种 B ．20种 C ．36种 D ．52种 6、设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（ ）A ．βαβα⊥⇒⊥⊂⊥n m n m ,,B ．n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,,//C ．n m n m ⊥⇒⊥⊥βαβα//,,D ．ββαβα⊥⇒⊥=⊥n m n m ,,7、 函数f x x()=+21的反函数为f x -1()，则不等式f x -<10()的解集为（ ）A. （0，2）B. （1，2）C. （-∞，2）D. （2，+∞）8、已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4π=x 处取得最小值，则函数)43(x f y -=π是 （ ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称C ．奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 二、填空题（每题5分，共30分） 9、7)12(xx +的二项展开式中x 的系数是____ （用数学作答）． 10、设向量a 与b的夹角为θ，且)3,3(=a ，)1,1(2-=-a b ，则=θcos __________．11、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ． 12、如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，1=AB ． 若二面角1C AB C --的大小为60，则点C 到 平面1ABC 的距离为______________．13、设直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则a =____________．14、M 是椭圆x y 22941+=上的任意一点，F F 12、是椭圆的左、右焦点，则MF MF 12·的最大值是_____________。

江西省宜春市2023届高三高考模拟文科数学试题一、单选题1．（2023·江西宜春·统考模拟预测）设全集U =R ，{1A x x =<-或}2x ≥，{}2,1,0,1,2B =--，则()U B A ⋂=ð（ ）A ．{}0,1B ．{}1,0-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1-2．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知复数z 满足()1i 2z +=-，则z 等于（ ）A ．1i--B ．1i-C ．1i+D ．1i-+3．（2023·江西宜春·统考模拟预测）非零向量a r ，b r ，c r 满足()a cb ⊥-r r r ，a r 与b r 的夹角为π3，2b =r ，则c r 在a r 上的投影为（ ）A ．－1B．C ．1D4．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知实数,x y 满足约束条件0,30,1,x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则23x yz -+=的最大值是（ ）A ．3B ．13CD ．1275．（2023·江西宜春·统考模拟预测）从棱长为2的正方体内随机取一点，则取到的点到中心的距离不小于1的概率为（ ）A ．π6B ．π4C ．π16-D ．π14-6．（2023·江西宜春·统考模拟预测）若30.04,ln1.04,log 1.04a b c ===则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b<<D ．b<c<a7．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数，公式和定理，若正整数,m n 只有1为公约数，则称,m n 互质，对于正整数(),n n ϕ是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的个数，函数()n ϕ以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：()()32,76ϕϕ==，()96ϕ=.记n S 为数列(){}3nϕ的前n 项和，则10S =（ ）A ．9312-B ．931-C ．10312-D ．1031-8．（2023·江西宜春·统考模拟预测）函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象(04)ω<<关于直线π6x =对称，将()f x 的图象向左平移π4个单位长度后与函数()y g x =图象重合，下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 图象关于直线π6x =对称B ．函数()g x 图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．函数()g x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭单调递减D ．函数()g x 最小正周期为π29．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在Rt ABC V 中，1,2CA CB ==.以斜边AB 为旋转轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的内切球的体积为（ ）ABC ．32π81D ．4π8110．（2023·江西宜春·统考模拟预测）如图，设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点，点A ，B 分别在两条渐近线上，且满足22133OA OF OB =+u u u r u u u u r u u u r ，20OA BF ⋅=u u u r u u u u r，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．B ．2CD11．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知数列{}n a 满足1321223n n a a a a n+++++=L ，若数列()21n n n a ⎧⎫+⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和n S ，对任意*N n ∈不等式n S λ<恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．1λ>B ．1λ≥C ．58λ≥D ．58λ>12．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知函数()()()ln 1,ln (0)1m xf x xg x x m x m =+-=+>+，且()()120f x g x ==，则()2111em xx -+的最大值为（ ）A ．1B ．eC ．2eD ．1e二、填空题13．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知)114d πa x x -=+⎰，则到点(),0M a 的距离为2的点的坐标可以是___________.（写出一个满足条件的点就可以）14．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知点()()1,1,1,1A B ---，若圆22()(24)1x a y a -+-+=上存在点M 满足3MA MB ⋅=u u u r u u u r，则实数a 的取值的范围是___________.15．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知某线路公交车从6:30首发，每5分钟一班，甲、乙两同学都从起点站坐车去学校，若甲每天到起点站的时间是在6:30--7:00任意时刻随机到达，乙每天到起点站的时间是在6:45-7:15任意时刻随机到达，那么甲、乙两人搭乘同一辆公交车的概率是___________________16．（2023·江西宜春·统考模拟预测）如图，多面体ABCDEF 中，面ABCD 为正方形，DE ⊥平面,ABCD CF DE ∥，且2,1,AB DE CF G ===为棱BC 的中点，H 为棱DE 上的动点，有下列结论：①当H 为DE 的中点时，GH P 平面ABE ；②存在点H ，使得GH AC ⊥；③直线GH 与BE ④三棱锥A BCF -的外接球的表面积为9π.其中正确的结论序号为___________.（填写所有正确结论的序号）三、解答题17．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos a b c B +=.(1)求证：2C B =；(2)求3cos a bb B+的最小值.18．（2023·江西宜春·统考模拟预测）如图1，在直角梯形ABCD 中，//,90,224AB CD DAB CD AB AD ∠====o ，点E ，F 分别是边,BC CD 的中点，现将CEF △沿EF 边折起，使点C 到达点P 的位置（如图2所示），且2BP =.(1)求证：平面APE ⊥平面ABD ；(2)求点B 到平面ADP 的距离.19．（2023·江西宜春·统考模拟预测）为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量.某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额.某人拟参加2023年5月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（见表）：月份2022.122023.12023.22023.32023.4月份编号t12345竞拍人数y （万人）1.72.12.52.83.4(1)由收集数据的散点图发现可用线性回归模型拟合竞拍人数y （万人）与月份编号t 之间的相关关系.请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程：ˆˆˆy bt a =+，并预测2023年5月份参与竞拍的人数.(2)某市场调研机构对200位拟参加2023年5月份车牌竞拍人员的报价进行抽样调查，得到如下一份频数表：报价区间（万元）[)1,2[)2,3[)3,4[)4,5[)5,6[]6,7频数206060302010（i ）求这200位竞拍人员报价X 的平均数x 和样本方差2s （同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；（ii ）假设所有参与竞价人员的报价X 可视为服从正态分布()2,N μσ，且μ与2σ可分别由（i ）中所求的样本平均数x 及方差2s 估值.若2023年5月份实际发放车牌数是5000，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价.附：()()()121ˆ 1.3niii nii x x y y bx x ==--=≈-∑∑，若()0,1Y N :，则( 1.11)0.8660<=P Y ，( 1.12)0.8686P Y <=.20．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知函数()ln 2f x x x =--.(1)求函数的最小值；(2)若方程()f x a =有两个不同的实数根1x ，2x 且12x x <，证明：1223x x +>.21．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，左､右焦点分别是12,F F ，以1F 为圆心，6为半径的圆与以2F 为圆心，2为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过椭圆C 的右焦点2F 的直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，且122k k =-，直线1l 交椭圆C 于,M N 两点，直线2l 交椭圆C 于,G H 两点，线段,MN GH 的中点分别为,R S ，直线RS 与椭圆C 交于,P Q 两点，,A B 是椭圆C 的左､右顶点，记PQA △与PQB △的面积分别为12,S S ，证明：12S S 为定值.22．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程11222122t t t t x y ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程cos 2sin 10m ρθρθ+-=.(1)求曲线C 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 有两个不同公共点，求m 的取值范围.23．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知函数()244f x x x =++-.(1)求不等式24410x x ++-≥的解集；(2)若()f x 的最小值为m ，正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：11192a b b c c a m++≥+++.参考答案：1．D【分析】先计算得到U A ð，进而求出交集.【详解】{}12U A x x =-≤<ð，故(){}1,0,1U B A =-I ð故选：D 2．A【分析】利用复数的除法运算和共轭复数的定义求解.【详解】由题可得2(1i)1i 1iz -==--=-++，所以1i z =--，故选:A.3．C【分析】根据投影公式计算出正确答案.【详解】由于()a c b ⊥-r r r，所以()0,a c a b a c a a b b c ⋅-=⋅-⋅=⋅=⋅r r r r r r r r r r r ，由于a r 与b r 的夹角为π3，所以πcos 3a c a b a b a ⋅=⋅=⋅⋅=r r r r r r r，c r 在a r 上的投影为1a a c a a⋅==rr r r r .故选：C 4．B【分析】画出可行域，向上平移基准直线20x y -+=到可行域边界位置，由此求得23x y z -+=的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，向上平移基准直线20x y -+=到可行域边界点()1,1B 的位置，此时z 取得最大值为1max 12111,3z z --⨯+=-==，.故选：B.5．C【分析】根据几何概型概率问题的计算公式求得正确答案.【详解】点到中心距离小于等于1的几何体是以中心为球心，1为半径的球体.所以，取到的点到中心的距离不小于1的概率为334π1π31126⨯-=-.故选：C 6．A【分析】构造函数()()ln 1f x x x =+-，利用导数判断函数单调性，再结合对数的性质即可判断大小关系.【详解】因为0.04a =，ln1.04b =，3log 1.04c =，当()0,1x ∈时，设()()ln 1f x x x =+-，则()11011xf x x x -'=-=<++，所以()f x 在()0,1上单调递减且()00f =，所以()()()0.04ln 10.040.0400f f =+-<=，即()0.04ln 10.04>+，所以a b >；又因为3e >，所以ln 3ln e 1>=，3ln1.04log 1.03ln1.04ln 3=<，即b c >，所以c b a <<.故选：A.7．D【分析】根据题意分析可得()1323nn ϕ-=⋅，结合等比数列求和公式运算求解.【详解】由题意可知：若正整数3nm ≤与3n不互质，则m 为3的倍数，共有1333n n -=个，故()1133332n n n n ϕ---=⋅=，∵()()113233233n n n n ϕϕ+-⋅==⋅，即数列(){}3n ϕ是以首项()32ϕ=，公比3q =的等比数列，故()1010102133113S -==--.故选：D.8．C【分析】由对称性求得ω，由图象平移变换求得()g x ，然后结合正弦函数的对称性，单调性，周期判断各选项．【详解】由已知ππππ662k ω+=+，62k ω=+，Z k ∈，又04ω<<，∴2ω=，ππ2π()sin[2()sin(2463g x x x =++=+，π2ππ2ππ,Z 632k k ⨯+=≠+∈，A 错；π2ππ2()π,Z 633k k ⨯-+=≠∈，B 错；π(0,3x ∈时，2π2π4ππ3π2(,)(,)33322x +∈⊆，C 正确；()g x 的最小正周期是2ππ2T ==，D 错．故选：C ．9．C【分析】根据旋转体的概念得出该旋转体是两个共底面的圆锥的组合体，作出轴截面，得出内切球于心O 位于对称轴AB 上，由平行线性质求得球半径r 后可得球体积．【详解】由题意该几何体是两个共底面的圆锥的组合体，如图是其轴截面，由对称性知其内切球球心O 在AB 上，O 到,CA CB 的距离,OE OF 相等为球的半径，设其为r ，因为C 是直角，所以OECF 是正方形，即CF CE r ==，由//OF CA 得OF BF CA BC =，即212r r -=，解得23r =，球体积为3344232ππ(π33381V r ==⨯=．故选：C ．10．C【分析】先求出AB 所在的直线方程，分别与两条渐近线联立方程组，求出,A B 两点的坐标，再根据22133OA OF OB =+u u u r u u u u r u u u r，求出,a c 之间的关系，从而可得双曲线的离心率【详解】由题意：OA b k a = ，20OA BF =u u u r u u u u r Q g ,2OA BF ∴⊥ ,2BF ak b ∴=-所以直线2BF 的方程为：()ay x c b=-- ①直线OA 的方程为：by x a =②直线OB 的方程为：by x a=-③联立①②可得：2a x cab y c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，即2(,)a ab A c c 联立①③可得22222a c x a babcy a b ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，即22222(,a c abc B a b a b ---又22133OA OF OB =+u u u r u u u u r u u u r Q 22222221(,)(,0)(,)33a ab a c abcc c c a b a b-∴=+--可得222222233()3()a a c c c a b ab abcc a b ⎧=+⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩ ，化简可得223a c = ，即2e 3=，e ∴= 故选：C 11．C【分析】根据1321223n n a a a a n+++++=L 求得 n a ,再因为对任意*N n ∈不等式n S λ<恒成立，()max n S λ>，求出实数λ的取值范围.【详解】1321223n n a a a a n+++++=L ①,31212231n n a a a a n -++++=-L ②,由①-②可得，当 2n ≥ 时,2n na n=,当211,2n a ==,当2n ≥,()()()122211222111n n n n n n n a n n n n +⎛⎫++==- ⎪ ⎪++⨯⨯+⨯⎝⎭,当1,n =()2318n n n a +=+，所以()()2312131111311228223221282212n n n n S n n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ,对任意*N n ∈不等式n S λ<恒成立,所以 ()max n S λ>,()21332528882221181n n S n +⎛⎫=+<+=⎪ ⎪-⨯+⎝⎭⨯.所以58λ≥.故选:C.12．A【分析】根据题意表示出()()21121ln 1e ,x x x x m ++==从而推导出21e 1,xx =+将问题转化为()21111e em m x x m--+=，利用导数求得函数的最值.【详解】()()()()()ln 10,ln 10,1ln 1,11m mf x x x m x x x x =+-=+-==++++()ln0,e ,x xg x x m x m=+==由题意知，()()21121ln 1e ,x x x x m ++==即()()2221121ln 1e e ln e ,x x xx x x m ++===因为0m >，所以21e 1,11xx >+>，设()ln ,1p x x x x =>，则()1ln 0p x x '=+>，()()211e ,xp x p m +==所以211e x x +=，所以()22121111e e e e x m m m x x x m---+==，1(),0e m m t m m -=>，则11(),em mt m --'=当01m <<时，()0;t m '>当1m >时，()0;t m '<所以()t m 在()0,1时单调递增，在()1,+∞时单调递减，所以max ()(1)1,t m t ==故选：A.13．22(2)4x y -+=上的任意一点都可以【分析】根据定积分的几何意义先求出a ，再写出到点(),0M a 的距离为2的点表示一个圆.【详解】由于11d x -⎰表示以()0,0为圆心，1为半径且在第一、二象限的圆弧与坐标轴围成的面积，其面积是半径为1的圆的面积的一半，即为π2.所以)111144π4d d 202ππ2πa x x x x --==⨯+=+=⎰⎰,到点()2,0M 的距离为2的点是圆22(2)4x y -+=上的点.故答案为：22(2)4x y -+=上的任意一点.14．120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】设(,)M x y ，由数量积的坐标表示求得M 点轨迹是一个圆，然后由圆与圆的位置关系可得a 的范围．【详解】设(,)M x y ，则(1,1),(1,1)MA x y MB x y =----=---u u u r u u u r，2(1)(1)(1)3MA MB x x y ⋅=---+--=u u u r u u u r，即22(1)4x y ++=，M 在以(0,1)-为圆心，2为半径的圆上，由题意该圆与圆22()(24)1x a y a -+-+=有公共点，所以2121-≤≤+，解得1205a ≤≤．故答案为：12[0,]5．15．112【分析】由题意知本题是一个几何概型，设甲和乙到达的分别为6时x +分、6时y +分，则3060x ……，4575y ……，他们能搭乘同一班公交车，则4560x ……，4560y ……．试验包含的所有区域是{(,)|3060x y x Ω=……，4575}y ……，他们能搭乘同一班公交车所表示的区域为A ，由此能求出结果．【详解】解：由题意知本题是一个几何概型，设甲和乙到达的分别为6时x +分、6时y +分，则3060x ……，4575y ……，则试验包含的所有区域是{(,)|3060x y x Ω=……，4575}y ……，他们能搭乘同一班公交车所表示的区域为4550{(,)|4550x A x y y ⎧=⎨⎩…………或50555055x y ⎧⎨⎩…………或5560}5560x y ⎧⎨⎩…………，则他们能搭乘同一班公交车的概率5531303012P ⨯⨯==⨯．故答案为：11216．①④【分析】根据线面平行的判定定理，以及线线垂直的判定，结合异面直线所成角，以及棱锥外接球半径的求解，对每一项进行逐一求解和分析即可.【详解】对①：当H 为DE 的中点时，取EA 中点为M ，连接,MH MB ，因为,H M 分别为,ED EA 的中点，故可得MH //AD ，12MH AD =，根据已知条件可知：BG //1,2AD BG AD =，故MH //,BG MH BG =，故四边形HMBG 为平行四边形，则H G //MB ，又MB ⊂平面,ABE HG ⊄平面ABE ，故H G //面ABE ，故①正确；对②：因为ED ⊥平面ABCD ，,⊂DA DC 平面ABCD ，故,DE DA DE DC ⊥⊥，又四边形ABCD 为矩形，故DA DC ⊥，则,,DE DA DC 两两垂直，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：则()()()()()2,0,0,0,2,0,2,2,0,0,0,2,1,2,0A C B E G ，设()0,0,H m ，[]0,2m ∈，若GH AC ⊥，则()()1,2,2,2,020GH AC m ⋅=--⋅-=-≠u u u r u u u r，不满足题意，故②错误；对③：()1,2,GH m =--u u u r，()2,2,2BE =--u u u r ，()()()()1222262GH BE m m ⋅=-⨯-+-⨯-+=+u u u r u u u r，GH ==u u u r，BE =u u u r []0,2m ∈，,cos GH =u u u r u=[]0,2m ∈，令2325m y m +=+，设32t m =+，[]2,4t ∈，23t m -=，则29492453ty t t t==-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭，当[]2,4t ∈时，根据对勾函数的性质得4949454,42t t ⎡⎤+-∈⎢⎥⎣⎦，则236,549y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当25y =时，cos ,GH BE u u u r u u u r有最小值，最小值为，故③错误；对④：由题可得CF ⊥平面ABCD ，又面ABCD 为正方形，∴,,AB BC CF AB BC CF C ⊥⊥⋂=，∴AB ⊥平面BCF ，则AB ，BC ，CF 两两垂直，∴AF 为三棱锥A BCF -的外接球的直径，又22222212219AF AB BC CF =++=++=，∴三棱锥A BCF -的外接球表面积为9π，故④正确.故答案为：①④.17．(1)证明见解析(2)最小值为【分析】（1）根据正弦定理边角互化和两角和差正弦化简即可证明.（2）将问题转化32cos 2cos cos a b c B b b B b B++=24cos cos B B =+，根据第一问解得π10,,cos ,132B B ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后结合不等式求解.【详解】（1）在ABC V 中，2cos a b c B +=，由正弦定理得sin sin 2sin cos A B C B +=，又()πA B C =-+，因为()sin sin 2sin cos B C B C B ++=⋅,所以sin cos sin cos sin C B B C B ⋅-⋅=,所以()sin sin C B B -=,又sin 0B >,所以0πC B C <-<<，且πB C B C +-=<,所以B C B =-，故2C B =.（2）由（1）2C B =得()30,πB C B +=∈，所以π10,,cos ,132B B ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2cos ,2a b c B C B +==，所以32cos 2cos cos a b c B b b B b B++=2sin cos 2sin 2sin2cos 2sin sin cos sin cos C B B B B BB B B B⋅+⋅+==⋅⋅24cos cos B B=+≥当且仅当24cos cos B B =即cos B =π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即当且仅当π4B =时等号成立，所以当π4B =时，3cos a bb B +的最小值为18．(1)证明见解析【分析】（1）连接,BD BF ，由等腰三角形的性质和勾股定理，证明PE EF ⊥，PE BE ⊥，可证得PE ⊥平面ABD ，即可证得平面APE ⊥平面ABD .（2）取AD 的中点O ，连接,,OE DE PO ，由勾股定理求,,PD PA PO ，又B PAD P ABD V V --=，利用体积法求点B 到平面ADP 的距离.【详解】（1）证明：由题意，连接,BD BF ，因为224CD AB AD ===，//AB CD ，90,DAB F ∠=o 是边CD 的中点，所以2BF CF ==，则BC =又E 是边BC 的中点，则EF BC ⊥，在折起中PE EF ⊥.又222224BE PE BP +=+==，所以PE BE ⊥，又BE EF E =I ，BE ⊂平面ABD ，EF ⊂平面ABD ，故PE ⊥平面ABD ，又PE ⊂平面APE ，所以平面APE ⊥平面ABD .（2）由（1）中取AD 的中点O ，连接,,OE DE PO ，由（1）可知，PE ⊥平面ABD ，所以,,PE DE PE AE PE OE ⊥⊥⊥，而()132OE AB DC =+=，112OD AD ==，所以DE =同理AE =所以PD PA PO ======所以PAD V 是等腰三角形，所以1122PAD S AD PO =⋅=⨯=V 又B PAD P ABD V V --=，即1133PAD ABD S h S PE ⋅=⋅V V ，所以ABD PADS PE h S ⋅==VV =，即点B 到平面ADP19．(1)0.41.7ˆ12=+yt ，预测2023年5月份参与竞拍的人数为3.73万人(2)（i ） 3.5x =，2 1.7s =；（ii ）预测竞拍的最低成交价为4.943万元【分析】（1）由已知公式求得线性回归方程，6t =代入回归方程可得预测值；（2）（i ）由均值与方差公式计算出均值与方差；（ii ）由预测值求得报价在最低成交价以上人数占总人数比例，然后由正态分布的性质求得预测竞拍的最低成交价．【详解】（1）11(12345)3,(1.7 2.1 2.5 2.8 3.4) 2.555t y =++++==++++=，55211149162555, 1.7 4.27.511.21741.6,ii i i i tt y ===++++==++++=∑∑，241.653 2.5ˆˆ0.41, 2.50.413 1.275553ba -⨯⨯∴===-⨯=-⨯，y 关于t 的线性回归方程0.41.7ˆ12=+y t 2023年5月份对应6t =，所以0.416 1.27 3.73ˆ=⨯+=y所以预测2023年5月份参与竞拍的人数为3.73万人.（2）（i ）由题意可得：1.50.12.50.33.50.34.50.155.50.16.50.05 3.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=22222(1.5 3.5)0.1(2.5 3.5)0.3(3.5 3.5)0.3(4.5 3.5)0.15s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯22(5.5 3.5)0.1(6.5 3.5)0.05 1.7+-⨯+-⨯=（ii ）2023年5月份实际发放车牌数是5000，设预测竞拍的最低成交价为a 万元，根据竞价规则，报价在最低成交价以上人数占总人数比例为5000100%13.40%37300⨯≈根据假设报价X 可视为服从正态分布()22,, 3.5, 1.7, 1.3===≈N μσμσσ，令 3.51.3--==X X Y μσ，由于( 1.11)0.8660<=P Y ，1( 1.11)0.1340P Y ∴-<=，3.5() 1.110.86601.3a P Y a P Y -⎛⎫∴<=<== ⎪⎝⎭，所以 3.5 1.111.3a -=得 4.943=a ，所以预测竞拍的最低成交价为4.943万元．20．(1)1-(2)证明见解析【分析】(1)利用导数法求函数最值的步骤解求解；(2)根据题意构造函数()()()2F x f x f x =--，()0,1x ∈.对函数求导，利用导函数的正负判断函数的单调性，进而利用函数的最值得出()()212f x f x >-，再结合（1）中函数的单调性即可得证.【详解】（1）由题意可知：函数()ln 2f x x x =--的定义域为：()0,∞+.则()11f x x'=-，令()0f x '=，解得1x =.当()0,1x ∈，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()1,x ∈+∞，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增.所以1x =为极小值点，且()()min 11f x f ==-.所以函数()f x 的最小值为1-.（2）根据题意可知：()()12f x f x =，根据（1）设101x <<，21x >，构造函数()()()2F x f x f x =--，()0,1x ∈.()()()()()221202x F x f x f x x x -'''=+-=<-，所以()F x 在()0,1上单调递减.则有()()10F x F <=，也即()()1120f x f x -->.因为()()12f x f x =，所以()()2120f x f x -->，也即()()212f x f x >-因为121x ->，21x >，由（1）可知()f x 在()1,+∞上单调递增，所以212x x >-，也即122x x +>.由已知21x >，所以1223x x +>.21．(1)2211612x y +=；(2)证明见解析．【分析】（1）根据离心率的定义和椭圆定义求得,a c ，再计算出b 后得椭圆方程；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求得中点,R S 的坐标，当直线PQ 斜率存在时，设直线:PQ y mx n =+，点,R S 在直线PQ 上，代入整理得12,k k 是一个一元二次方程的根，由韦达定理得12k k ，从而得出,m n 关系，得出直线PQ 过定点E ，再确定直线PQ 斜率不存在时也过这个定点E ，然后结合该定点得出三角形面积比．【详解】（1）依题意得12622c a a⎧=⎪⎨⎪+=⎩，则4,2,a c =⎧⎨=⎩则22212b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2211612x y +=；（2）直线()11:2l y k x =-，设()()1122,,,M x y N x y ，由122(2)11612y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222111341616480k x k x k +-+-=，所以2112211634k x x k +=+，211221164834k x x k -=+，且0∆>，则中点211221186,3434k k R k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理可算222222286,3434k k S k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭①当直线斜率存在时，设直线:PQ y mx n =+，点,R S 在直线PQ 上，点,R S 坐标代入整理得()()21122284630,84630,m n k k n m n k k n ⎧+++=⎪⎨+++=⎪⎩易知12,k k 为方程()284630m n k k n +++=的两个根，则123284n k k m n==-+，所以1611n m =-，所以直线16:11PQ y mx m =-，则直线恒过点16,011E ⎛⎫⎪⎝⎭②当直线的斜率不存在时，由对称性可知12k k =-，由122k k =-，不妨设12k k ==，所以221222128816343411k k k k ==++，直线16:11PQ x =过16,011⎛⎫⎪⎝⎭，根据①②可知，直线PQ 恒过点16,011E ⎛⎫⎪⎝⎭，因为PQA △的面积11212S AE y y =⋅-，PQB △的面积21212S BE y y =⋅-，所以121641511167411AE S S BE +===-.【点睛】方法点睛：椭圆中的直线过定点问题的解决方法：斜率存在时，设出直线方程为y mx n =+，根据已知条件确定,m n 的关系后，由直线方程得出定点坐标．本题中，动直线PQ 是由点,R S 确定的，因此可由已知直线12,l l 确定,R S 的坐标，再把坐标代入所设直线方程，发现12,k k 是一个一元二次的两根，这样可由韦达定理求得,m n 的关系，得出结论．22．(1)()22441x y x -=≥(2)4m <<【分析】（1）在曲线C 的参数方程中消去参数t ，可得出曲线C 的普通方程，利用基本不等式求出x 的取值范围，即可得解；（2）求出直线l 的普通方程，分析可知直线l 与双曲线2214y x -=的右支有两个交点，将直线l 与双曲线2214y x -=方程联立，利用直线与双曲线的位置关系可得出关于m 的不等式组，即可解得实数m 的取值范围.【详解】（1）因为112122t t x ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭()222222221422,2441122,2t t t t x x y x y ⎧=++⎪⎪-=≥⎨⎪=+-⎪⎩则则曲线的普通方程为()22441x y x -=≥（2）cos 2sin 10m ρθρθ+-=则210mx y +-=由得()22210,1,14mx y y x x +-=⎧⎪⎨-=≥⎪⎩得()22162170m x mx -+-=有两个不等正根()22222160,Δ468160,20,1617016m m m m m m ⎧-≠⎪=+->⎪⎪⎨->⎪-⎪⎪->-⎩则4m <<23．(1)[)10,2,3∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦(2)证明见解析【分析】（1）利用零点分段法分类讨论，分别求出不等式的解集，即可得解；（2）利用绝对值三角不等式求出()f x 的最小值，即m 的值，再利用柯西不等式证明即可.【详解】（1）不等式24410x x ++-≥，所以224410x x x ≤-⎧⎨---+≥⎩，解得103x ≤-，或2424410x x x -<<⎧⎨+-+≥⎩，解得24x ≤<，或424410x x x ≥⎧⎨++-≥⎩，解得4x ≥，所以原不等式解集为[)10,2,3∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦.（2）()244242f x x x x x x =++-=++-++()2406x x ≥+--+=，当且仅当2x =-时取得，即min ()6f x =，所以6a b c m ++==，因为()1112a b c a b b c a c ⎛⎫++⨯++ ⎪+++⎝⎭()111a b b c c a a b b c c a ⎛⎫=+++++++ ⎪+++⎝⎭()()()111a b b c c a a b b c c a ⎛⎫=+++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭222222⎡⎤⎡⎤⎢⎥=++++⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦2≥()21119=++=，当且仅当12a b c ===时取等号，所以()1119922a b b c c a a b c m ++≥=+++++成立.。

福建省福州市高考模拟 数学试卷（文科） 有答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分（满分150分 考试时间120分钟）参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式V =31Sh 其中x 为样本平均数其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式球的表面积、体积公式V =Sh24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．） 1.设复数121,2z i z bi =+=+, 若12z z ⋅为纯虚数,则实数b = A.2 B.2- C.1 D.1- 2.下列导数运算正确的是 A. 211()1x x x'+=+B. 2(cos )2sin x x x '=- C. 3(3)3log x x e '= D. 21(log )ln 2x x '=3.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起为负数，则它的公差为 A ．－2B ．－3C ．－4D ．－64.运行下面的程序，如果输入的n 是6，那么输出的p 是A. 120B. 720C. 1440D. 50405.将一个总体分为A, B, C 三层,其个体数之比为523,若用分层抽样抽取容量为200的样本,则应从C 中抽取的个体数是A. 20B. 40C. 60D. 80 6.将函数cos()3y x π=-的图像上各点的横坐标伸长到原的2倍(纵坐标不变),再向左平移6π个单位,所得函数图像的一条对称轴为 A. 9x π=B. 8x π=C. 2x π=D. x π=7.已知函数2(10)(),1)x x f x x --≤≤⎧⎪=<≤则下列图象错误的是8.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,点E 在1A D 上且12A E ED =,点F 在AC 上且2CF FA =, 则EF 与1BD 的位置关系是A. 相交不垂直B. 相交垂直C. 异面D. 平行9.已知A 、B 为平面内两定点, 过该平面内动点M 作直线AB 的垂线,垂足为N, 若2MN AN NB λ=⋅, 其中λ为常数, 则动点M 的轨迹不可能是A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线10.已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点, P 为双曲线右支上一点,满足212PF F F =, 直线1PF 与圆222x y a +=相切, 则该双曲线的离心率是A.43 B. 53 C. 54D.以上都不正确 11.已知2a b >≥, 现有下列不等式 ①23b b a >-; ②41112()ab a b+>+; ③ab a b >+; ④log 3log 3a b >; 其中正确的是A. ②④B.①②C.③④D.①③12.设A 是整数集的一个非空子集,对于k A ∈, 如果1k A +∉且1k A -∉, 那么称k 是A 的一个“孤立元素”. 现给定集合{}1,2,3,4,5,6,7,8S =由S 的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元素”的集合共有多少个A. 6B. 7C. 8D. 9第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．13.式子3log 3的值为__________________________. 14.设命题21:01x p x -<-. 命题2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤. 若p 是q 的充分不必要条 件.则实数a 的取值范围是____________________________.15.设点(,a b 是区域4000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点, 记A ={}2()41(0)[1,)x f x ax bx a =-+>+∞关于的一元二次函数在上是增函数,则事件A 发生的概率是_____________________________.16.如图所示, △ABC 是边长为1的正三角形，且点P 在边BC 上运动. 当PA PC ⋅取得最小值时，则cos PAB ∠的值为________________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中，n S 是它前n 项和，设10,2106==S a . (I)求数列{}n a 的通项公式；(II)若从数列{}n a 中依次取出第2项，第4项，第8项，……，第2n项，……，按取出的顺序组成一个新数列{}n b ，试求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.（本小题满分12分）某学校甲、乙两位学生参加数学竞赛的培训,在培训期间,他们参加5次预赛,成绩记录如下(I)用茎叶图表示这两组数据;(II)现要从甲、乙两人中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参赛更合适? 并说明理由. 19.（本小题满分12分）在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c , 且A ∠满足22cos A cos A A -1=-,(I)若2a c ==, 求ABC ∆的面积; (II)求2cos(60)b ca C -⋅+的值.20.（本小题满分12分）如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为3的正方形,平面PCD ⊥底面ABCD,E 是PC 的中点.(I)求证//PA BDE 平面;(II)若PD PC DC ==,求证平面PDA ⊥平面PCB ; (III)若侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD=4.求PAD ∆以PA 为轴旋转所围成的几何体体积. 21.（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，直线)(03)21()3(R m m y m x m ∈=---++恒过的定点F 为椭圆的一个焦点，且椭圆上的点到焦点的最大距离为3. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）若直线MN 为垂直于x 轴的动弦，且N M ,均在椭圆C 上，定点)0,4(T ，直线 MF 与直线NT 交于点S ．①求证：点S 恒在椭圆C 上； ②求MST ∆面积的最大值． 22.(本小题满分14分) 已知函数21()2ln 2f x x x a x =-+有两个极值点12,x x 且12x x < (I)求实数a 的取值范围,并写出函数()f x 的单调区间; (II)判断方程()(1)f x a x =+根的个数并说明理由; (III)证明232ln 2()8f x -->.高三 (文科)数学试卷答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13． 14-_________ ; 14． __1[0,]2_____ ;15．13 ; 16． ____26______ . 三、解答题本大题共6小题,满分74分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17．（本小题满分12分）解（Ⅰ）设数列d a a n ,,}{1公差分别为首项.则由已知得 251=+d a ①，102910101=⨯+d a ② …………4分 联立①②解得)(102,2,81*∈-==-=N n n a d a n 所以…………6分（Ⅱ）),(102102212*+∈-=-⋅==N n a b n nn n ………………9分所以41021021)21(4221--=---=+++=+n n b b b T n n n n ………… 12分 18．（本小题满分12分） 解 (1)作出的茎叶图如下…………4分 (2)派甲参赛比较合适. 理由如下 1(8282799587)855x =++++=甲…………5分1(9575809085)855x =++++=乙…………6分 2222221[(7985)(8285)(8285)(8785)(9585)]31.65s =-+-+-+-+-=甲……8分 2222221[(7585)(8085)(8585)(9085)(9585)]505s =-+-+-+-+-=乙……10分∵22,;x x s s <<乙乙甲甲 ∴甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适. ……12分19．（本小题满分12分）解 (1)由已知 22cosA cos A A -1=-, 可得sin(2)16A π-=,∵1102(,)266662A A A ππππππ<<∴-∈-⇒∴-=即3A π∠=.………… 2分在ABC ∆中,由余弦定理得 22224121cos 242b c a b A bc b +-+-===解得4b =或2b =-(舍去); ………… 4分∴11sin 4222ABC S bc A ∆==⨯⨯=………… 6分 (2)原式=0002sin()2sin 2sin 22sin sin 2sin 32sin cos(60)sin cos(60)sin cos(60)C CR B R C B C R A C A C A C π---⨯-==⋅+⋅+⋅+…… 9分3sin 2C C-==………… 12分 20．（本小题满分12分） 解 (1)连接AC 交BD 于O, 连接EO.∵ABCD 是正方形, ∴O 为AC 中点, 已知E 为PC 的中点, ∴OE//PA. ………2分又∵OE ⊂平面BDE, PA ⊄平面BDE, ∴PA//平面BDE. …………3分(2)在DPC ∆中, 222,2PD PC DC PD PC DC ==∴+= , 即DP ⊥PC. ……4分又已知 平面PCD ⊥底面ABCD, 平面PCD ∩平面ABCD=DC BC ⊥DC; ∴BC ⊥平面PDC, PD ⊂平面PDC, ∴PD ⊥BC, ………… 6分 BC 与PC 相交且在平面PBC 内.∴PD ⊥平面PCB, PD ⊂平面PDA, ∴平面PDA ⊥平面PCB. ………… 8分(3)过D 作PA 的垂线.垂足为H,则几何体为以DH 为半径,分别以PH,AH 为高的两个圆锥的组合体. …………9分侧棱PD ⊥底面ABCD, ∴PD ⊥DA, PD=4, DA=DC=3, ∴PA=5431255PD DA DH PA ⋅⨯===,…………10分 22221133111248()53355V DH PH DH AHDH PA πππππ=⋅+⋅=⋅=⨯⨯= …………12分21．（本小题满分12分）解：（1）直线)(03)21()3(R m m y m x m ∈=---++可化为033)12(=-++--y x y x m ，……1分 由⎩⎨⎧=-+=--033012y x y x 得⎩⎨⎧==01y x ，)0,1(F ∴， 1=∴c ， ………… 3分又3=+c a ，2=∴a ，.3222=-=∴c a b ∴椭圆的方程为.13422=+y x ………4分 （2）①设直线MN 的方程为s x =，则可设),(),,(t s N t s M -，且.124322=+t s 直线MF 的方程为)1(1--=x s t y ，直线NT 的方程为).4(4---=x s ty …… 6分 联立求得交点)523,5285(---s t s s S ，…… 7分 代入椭圆方程124322=+y x 得， 222)52(1236)85(3-=+-s t s ，化简得：.124322=+t s∴点S 恒在椭圆C 上. ……………… 8分②直线MS 过点)0,1(F ，设其方程为1+=my x ，).,(),,(2211y x S y x M 联立⎩⎨⎧=++=1243122y x my x 得096)43(22=-++my y m ， .439,436221221+-=+-=+∴m y y m m y y ………… 9分 2222122112)43(1184)(23321++=-+=-⨯=∆m m y y y y y y S MST， 令)1(12≥+=u m u ，则.6191)13()43(12222++=+=++uu u u m m u u 19+在),1[+∞上是增函数， uu 19+∴的最小值为10. .294118=⨯≤∴∆MST S ………………………………………12分 22．（本小题满分14分）解(Ⅰ)由题设知,函数)(x f 的定义域为(0,)+∞,222()1a x x af x x x x-+'=-+=;…………………1分且()0f x '=有两个不同的根, ∴2220,2x x a a x x -+==-+且(0)x >有两个交点.2211112()()4424a x x x =--++=--+有两个交点求得 1102,0.48a a <<⇒<< ∴a 的取值范围是1(0,)8.…………………3分 (也可利用判别式1180,8a a ∆=-><即;又10,0x a =>∴>).∵1,2x =∴()()0;002121<'<<>'><<x f x x x x f x x x x 时，当时，或当 ∴()f x单调增区间为1(0,2和1()2++∞.单调减区间为 ………………………5分 (Ⅱ)由已知方程 ()(1)f x a x =+212ln 2x x a x ax x ⇒-+--=0∴令21()(2)2ln 2t x x a x a x =-++, 22(2)2()(2)()(2)a x a x a x a x t x x a x x x-++--'=-++==…………………7分21()22ln 02t a a a a a =--+<(2)222ln 20t a a =--+< 0x →时,()t x →-∞;x →+∞时,()t x →+∞;∴()t x 有且只有1个零点, ∴原方程有且只有一个根. ……………………9分 (III)由(Ⅰ)可知12221212(1)2x x a x x x x a+=⎧∴=-⋅⎨⋅=⎩ , ………………………10分并且由2x =21(,1)2x ∈. ………………………11分∵21()2ln 2f x x x a x =-+=2121ln 2x x x x x -+⋅, 222222221()()ln 2f x x x x x x =-+- 2222222222()1(12)ln (12)ln x x f x x x x x x x -'⇒=-+-+=-,其中21(,1)2x ∈………13分 ∴2()0f x '>, 函数()f x 在1(,1)2递增;∴111111132ln 2()()()ln 22422428f x f -->=⨯-+-⋅=. ………………14分 x(0,)aa(,2)a 2 (,)a +∞()t x + 0 - 0 + ()t x极大值极小值。

高考文科综合模拟试卷（新课程）第Ⅰ卷（选择题）本卷共35小题，每小题4分，共计140分。

在每小题列出的四个选项中，只有一个是最符合题意的。

图1为“7月乌鲁木齐至广州一线气温变化图”，读图回答1～2题。

1．图中A所在地区气温低的原因是A．地处准噶尔盆地 B．地处柴达木盆地C．地处横断山区 D．地处塔里木盆地2．图中气温最高并有“火洲”之称的地方，其气温最高的主要原因是A．地形闭塞，不易散热 B．地形闭塞，水汽难以到达C．纬度高，日照时间长 D．地处西北干旱地区，温差大比较1997年三峡库区移民结构与江苏省人口结构表（见表1），完成3～4题。

表13．对两地区人口的比较，叙述正确的是A．三峡库区的非农业人口数量比江苏多B．三峡地区的经济发展水平比江苏高C．三峡库区移民的农业人口比重比江苏小D．三峡地区和江苏省的城市化水平与其经济发展是相适应的4．对三峡库区移民的正确叙述是A．三峡移民安置就是对库区所有人口进行重新安置B．57％的非农业人口一般不存在重新安置问题C．对农业人口重新安置的核心问题是居住地问题D．开发性移民主要是针对非农业迁移人口而言的读图2两幅图，分析回答5～6题。

5．图中湖?白的水面、水量和水位均在下降，盐度却在升高的主要原因是A．受副热带高压带的控制B．沿河流域的工业用水太多C．沿河工农业生产排污过多D．全球气候变暖造成蒸发加速6．有关ABC三国农业生产类型和主要农作物的叙述，正确的是A．灌溉农业、水稻和棉花B．绿洲农业、小麦和油菜C．绿洲农业、棉花和花生D．灌溉农业、小麦和棉花近年来，云南发挥得天独厚的气候和地理优势，采取“公司+基地+农户”的模式，抓好茶园“第一车间”，做大茶文章、打好绿色牌，使云南茶叶产业走上一条可持续发展的绿色之路。

据此回答7～8题。

7．采取“公司+基地+农户”的模式，说明A．影响农业生产的自然条件已经不重要B．科技和政策因素对农业区位的选择起决定作用C．社会经济因素是农业区位选择的首要条件D．交通和市场需求的变化对农业区位的影响最为突出8．茶园“第一车间”指的是A．得天独厚的气候和地理优势B．天然绿色茶园C．没有加工的绿色茶叶D．加工茶叶的第一道工序北海银滩沙质为高品位的石英砂，为国内外所罕见，被专家称为“世界上难得的优良沙滩”。

数学模拟试卷一、选择题：（每小题5分，共12小题，计75分） 1、已知集合A ={1,2,3,4,5},B ={(x ，y)x ∈A,y ∈A ，x-y ∈A}则B 中所含元素的个数为（ ）A.3B. 6C. 8D. 102、若i i z 21+=,则复数-z = ( )A.i --2B. i +-2C. i -2D.i +23、设a ，b ∈R 。

“a=0”是“复数a+bi 是纯虚数”的 （ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4、若x x x x f ln 42)(2--=,则0)('>x f 的解集为 （ ）A. (0,∞+)B. (-1,0)⋃(2,∞+)C. (2,∞+)D. (-1,0)5、设{an}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列是递增数列”的 （ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件6、执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A. 2 B .4 C.8 D. 167、若曲线02221=-+x y x C ：与曲线0)(2=--m mx y y C ：有四个不同的交点,则实数m 的取值范围是 （ ）A.)33,33(- B. )33,0()0,33(⋃-C.]33,33[- D. ),33()33,(+∞⋃--∞8、函数y（ ）9、2(sin cos )1y x x =--是 （ ）A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数10、在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是 （ ）A.0B.1C.2D.411、已知向量(5,6)a =-r ，(6,5)b =r ，则a r 与b r （ ）A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向12、设两个向量22(2,cos )a λλα=+-r 和(,sin ),2m b m α=+r 其中,,m λα为实数.若2,a b =r r 则m λ的取值范围是（ ）A.[6,1]-B. [4,8]C.(,1]-∞D.[1,6]-二、填空题（每小题5分，共3小题，计15分）13、函数在R 上为奇函数，且，则当，.14、若角α的终边经过点(12)P -，，则tan 2α的值为15、函数ln(1)y x =-的定义域为三、解答题：（共6小题，计60分）16、用10个球设计一个摸球游戏：（1）使摸到红球的概率为51； （2）使摸到红球和白球的概率都是52. （1）2个红球，8个其他颜色球； （2）4个红球，4个白球，2个其他颜色球.17、袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为七分之一，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．（1）求袋中原有白球的个数；（2）求甲取到白球的概率．18、求函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值。

四川省2024年高考语文模拟试卷及答案36分）阅读下面的文字，完成下面小题。

这是一个机器写作迅速发展并逐渐进入多个文本生成领域的时代，在新闻报道、行业报告等实用文体上，机器写作已经展现出巨大的潜力，而随着深度学习等人工智能算法的介入，人们也开始尝试将其用于一些文学文本的写作试验。

当前的文本生成算法普遍使用了GPT（GenerativePre-Training）模型，与其他的深度学习算法相比，其优势在于不依赖于大量的人工标注信息，仅需要在无监督的模式下进行学习就可以显著提升模型的性能。

简单来说，就是让机器自主阅读大量的文本，即所谓的预训练，然后再根据具体的需求，给它一些现成的文本对模型进行微调。

通过这种方式训练好的模型，可以写出合乎语法规范的句子，甚至可以模仿某个特定作家的文风。

但其缺陷也是显而易见的——缺乏创造性。

在小说创作中，创造性的一个重要体现是情节的构建，即通过叙事过程将一连串合乎逻辑却又出人意料的事件连缀起来。

而MakeBelieve是基于常识库的故事生成系统，可以产生逻辑性较好的故事，但内容通常比较平淡，缺乏戏剧性。

因此，如何在机器写作中自主建构富有创造性的情节，仍然是该领域面临的重大挑战。

具体到科幻小说的创作上，它又具有一些与传统的现实主义小说不同的特征，从而进一步加大了机器写作在这一文类创作上的难度。

例如，创作时，科幻作家经常创造一些新的名词，从赫伯特乔治·威尔斯创造的“时间机器”，艾萨克·阿西莫夫的“心理史学”“时空竖井”，到刘慈欣的“宇宙社会学”“二向箔”，等等。

这些词汇，有的是将两个普通词语连接在一起，有的则是完全新造的词汇。

这种创造新词汇的能力，是当前所有机器写作算法都不具备的。

且不说完全新造的词汇，就是如“时间机器”这样将“时间”和“机器”进行简单连接的构造，机器写作也无能为力。

换句话说，写作程序的阅读学习过程，不仅没有增加其创造性，反而是一种对创造性逐渐压制的过程。

2023届高考文科数学模拟试卷三十六（含参考答案）一.选择题：本大题共10小题,每小题5分,满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有 A ．3个B ．5个C ．7个D ．8个 2. sin 42sin 72cos 42cos 72+=A ．B ．12C ．sin114 D ．cos114 3．下列各组命题中的假命题是A ．1,20x x R -∀∈>B ．2,(1)0x N x +∀∈->C ．,lg 1x R x ∃∈<D ．,tan 2x R x ∃∈= 4．右图是函数sin()(0,0,)2y A x A πωφωφ=+>><在区间5[,]66ππ-上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将sin ()y x x R =∈的图象上所有的点 A ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短 到原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变5．已知等比数列{}n a 中，公比1q >，且168a a +=，3412a a =，则116a a = A ．2 B ．3 C ．6 D ．3或66．若a b c <<,则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间A. 和内B. 和内C. 和内D. 和内7．设a ，b ，c 均为正数，且122log aa =, 121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭则 A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c8．P 是ABC ∆所在平面上的一点，满足20PA PB PC ++=，若ABC ∆的面积为1，则(),a b (),b c (),a -∞(),a b (),b c (),c +∞(),a -∞(),c +∞6π-56πABP ∆的面积为 A. 1 B. 2 C. 21D. 319．从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为A ．2097B ．2264C ．2111D ．201210．函数，正实数满足且．若实数是方程的一个解，那么下列四个判断：① ② ③ ④ 中有可能成立的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4二.填空题：本大题共5小题,每小题5分,满分25分．把答案填在答题卡的横线上． 11．函数y =的值域是 ▲ ． 12．已知tan()35πα-=-，则22sin cos 3cos 2sin αααα-＝ ▲ . 13．如右图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得15BCD ︒∠=，30BDC ︒∠=,30CD =米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60︒，则塔高AB = ▲ 米.14. 已知向量=(1,3)OA ，=(2,1)OB - ，(1,2)OC m m =+-，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是 ▲ . 15．已知函数f (x )=|x +11x-|，则关于x 的方程2()6()0f x f x c -+= (c ∈R )有6个不同实数解的充要条件是 ▲ ．三.解答题：本大题共6小题,共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(本小题满分12分)已知集合231{|1,[,2]},{|||1}22A y y x x xB x x m ==-+∈-=-≥；命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，并且命题p 是命题q 的充分条件，求实数m 的取值范围．x x f x2log )31()(-=c b a ,,c b a <<d 0)(=x f a d <a d >c d >c d < 1 23 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 343536 37 383940…17．（本小题满分12分） 已知 （1）求的最大值及取得最大值时x 的取值的集合;（2）在△ABC 中，a b c 、、分别是角A ，B ，C所对的边，若a =，且对()f x 的定义域内的每一个x ，都有()()f x f A ≤恒成立，求AB AC ⋅的最大值.18．（本小题满分12分）叙述两角差的余弦公式，并用向量的数量积证明．19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：121,(0).a a a a ==>数列{}n b 满足1(*)n n n b a a n N +=∈． （1）若{}n a 是等差数列，且312b =，求a 的值及{}n a 的通项公式； （2）若{}n a 是等比数列，求{}n b 的前项和n S ；（3）当{}n b 是公比为1a -的等比数列时，{}n a 能否为等比数列？若能，求出a 的值；若不能，请说明理由．20．（本小题满分13分）某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数(且)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数≥80时，听课效果最佳．(1) 试求的函数关系式；(2) 老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理由．sin 2().sin xf x x x=+()f x p t ]14,0(∈t ]40,14[∈t ()835log +-=x y a 0a >1a ≠p ()p f t =。

2023届高考文科数学模拟试卷五十五（含参考答案）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A=2{|21},{|ln(1)}x x B x y x -<==-，则A B 为A ．{|2}x x <B ．{|12}x x <<C ．{|1}x x <D ．{|1}x x ≤2．若cos isin z θθ=-（i 为虚数单位），则使21z =-的θ值可能是A ．0B ．πC ．2πD ．2π3．下列函数中，在区间02π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数且以π为周期的函数是A ．sin2xy = B ． sin y x = C ． tan y x =- D ． cos 2y x =- 4．命题“0x R ∃∈，3210x x -+>”的否定是A ．x R ∀∈，3210x x -+≤ B ．0x R ∃∈，3210x x -+< C ．0x R ∃∈，3210x x -+≤ D ．不存在x R ∈，3210x x -+> 5. 设α表示平面，b a ,表示直线，给定下列四个命题：①αα⊥⇒⊥b b a a ,//；②αα⊥⇒⊥b a b a ,//; ③αα//,b b a a ⇒⊥⊥;④b a b a //,⇒⊥⊥αα. 其中正确命题的个数有A.1个B.2个C.3个D.4个 6．在等比数列{}n a 中，5113133,4,a a a a ⋅=+=则155a a = A ．3 B ．13 C ．3或13 D ．3-或13- 7．圆224450x y x y +--+=上的点到直线90x y +-=的最大距离与最小距离的差为A.B.C. D.6频率706050408．一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为56，则判断框中应填入的条件是A.4i <B.5i <C. 5i ≥D. 6i < 9．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积不小于3S的概率是A ．32 B ．13C ．43 D ．41 10．若不等式组0024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则s 的取值范围是Ａ．s ≥4 Ｂ．0s <≤2 Ｃ．2≤s ≤4Ｄ．0s <≤2或s ≥4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分． 11. 统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如右图示，规定不低于60分为 及格，不低于80分为优秀，则及格人数是 ； 优秀率为 。

四川省南部中学高2023届高考模拟检测（五）数学（文科）试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N ⋂=A .(0,4]B.[0,4)C.[1,0)-D.(1,0]-2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =A.-5B.5C.-4+iD.-4-i3.在区间[]2,3-上随机选取一个数X ，则1X ≤的概率为A.45B.35C.25D.154.设变量x,y 满足约束条件360,{20,30,x y x y y +-≥--≤-≤则目标函数z =y －2x 的最小值为A.－7B.－4C.1D.25.奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=A.2- B.1- C.0D.16.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，83742S a a ==-，，则9a =（）A.6B.4C.6- D.27.若sin 2,sin x x 分别是sin θ与cos θ的等差中项和等比中项，则cos2x 的值为（）A.1338+ B.1338C.1338D.148.一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50 方向直线航行，30分钟后到达B 处．在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是东偏南20 ，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65 ，那么B 、C 两点间的距离是（）A.海里B.C.D.海里9.函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为（）A.B.C. D.10.已知直三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为 A.3172B. C.132D.11.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，左､右顶点分别为,A B 点,P Q 是双曲线C 上关于x 轴对称的两点，且直线PQ 经过点F .如果M 是线段FQ 上靠近点Q 的三等分点，E 在y 轴的正半轴上，且E A M ,,三点共线，,,P E B 三点共线，则双曲线C 的离心率为（）A.5B. C. D.612.已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是()A.(－∞，0)B.C.(0,1)D.(0，＋∞)第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a 与b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a+2b |=______.14.过点(3，1)作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦，其中最短的弦长为__________.15.抛物线()220x py p =>的焦点为F ，其准线与22133y x -=相交于A ，B 两点，若ABF △为等边三角形，则p =___________.16.设()f x 与()g x 是定义在同一区间[],a b 上的两个函数，若对任意[],x a b ∈，都有()()1f x g x -≤成立，则称()f x 和()g x 在[],a b 上是“亲密函数”，区间[],a b 称为“亲密区间”．若()234f x x x =-+与()21g x x =-在[],a b 上是“亲密函数”，则b 的最大值______三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.南中数学教研室对高二学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，所得数据如下表所示：x 681012y2356（1）请画出上表数据的散点图;（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+（3）根据（2）中求出的线性回归方程，预测记忆力为11的学生的判断力．(参考公式： 1221,ni i i n ii x y nx y b a y bx x nx==-==--∑∑)18.已知向量()()sin ,sin ,cos ,cos ,sin 2m A B n B A m n C ==⋅=，且、、A B C 分别为ABC 的三边,,a b c 所对的角．（1）求角C 的大小；（2）若sin ,sin ,sin A C B 成等差数列，且()18CA AB AC ⋅-=，求c 边的长．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，且90BAP CDP ∠=∠=︒.（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=︒，且四棱锥P ABCD -的体积为83，求该四棱锥的侧面积．20.已知函数()3211,32f x x ax a =-∈R .(I)当a =2时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；(II)设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.21.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221x y a b +=(a >b >0)的离心率为22,椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为22(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ,B 两点,交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点,⊙N 的半径为|NO |.设D 为AB 的中点,DE ,DF 与⊙N 分别相切于点E ,F ,求∠EDF 的最小值.22.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线:4cos C ρθ=，直线l 的参数方程为：321x ty t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于,M N 两点.（1）写出曲线C 和直线l 的普通方程；（2）若点(3,1)P -，求11||||PM PN -的值.23.已知函数()2f x m x m x =+--()0m >的最大值为6.（1）求m 的值；（2）若正数x ，y ，z 满足x y z m ++=，求证：xy xz m ≤.四川省南部中学高2023届高考模拟检测（五）数学（文科）试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N ⋂=A.(0,4] B.[0,4) C.[1,0)- D.(1,0]-【答案】B【详解】试题分析：()()234041014x x x x x --<⇒-+<⇒-<<，故M N ⋂=[0,4)，故选B ．考点：1.一元二次不等式的解法；2.集合的运算．2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =A.-5 B.5C.-4+iD.-4-i【答案】A【详解】试题分析：由题意，得22z i =-+，则12(2)(2)5z z i i =+-+=-，故选A ．考点：1、复数的运算；2、复数的几何意义．3.在区间[]2,3-上随机选取一个数X ，则1X ≤的概率为A.45B.35C.25D.15【答案】B【详解】试题分析：在[]2,3-上符合1X ≤的区间为[]2,1-,因为区间[]2,3-的区间长度为5且区间[]2,1-的区间长度为3,所以根据几何概型的概率计算公式可得35P =,故选B.考点：几何概型4.设变量x,y 满足约束条件360,{20,30,x y x y y +-≥--≤-≤则目标函数z =y －2x 的最小值为A.－7B.－4C.1D.2【答案】A 【分析】画图分析【详解】画出原不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分，由题意知,当目标函数2z y x =-表示的直线经过点A(5，3)时，z 取得最小值，所以z 的最小值为3257-⨯=-，故选A.【考点定位】本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.5.奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=A.2- B.1- C.0D.1【答案】D 【详解】【分析】试题分析：(2)f x +是偶函数，则()f x 的图象关于直线2x =对称，又()f x 是奇函数，则(0)0f =，且()f x 是周期函数，且周期为8，所以(8)(9)(0)(1)1f f f f +=+=．故选D ．考点：函数的奇偶性，周期性．【名师点睛】解函数问题时，有些隐含性质需我们已知条件找出，特别是周期性．当函数具有两个对称时函数一般也是周期函数．当函数()f x 是奇函数，又有对称轴x m =时，则函数一定是周期函数，且周期为4T m =；若()f x 有两条对称轴x a =和x b =，则函数是周期函数，2b a -是函数的一个周期；同样若()f x 有两个对称中心(,0)a 和(,0)b ，则函数是周期函数，2b a -是函数的一个周期；6.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，83742S a a ==-，，则9a =（）A.6B.4C.6- D.2【答案】C【分析】根据题意求出首项和公差，再根据等差数列的通项即可得解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由83742S a a ==-，，得()11187842262a d a d a d ⨯⎧+=+⎪⎨⎪+=-⎩，解得1102a d =⎧⎨=-⎩，所以9186a a d =+=-.7.若sin 2,sin x x 分别是sin θ与cos θ的等差中项和等比中项，则cos2x 的值为（）A.1338+ B.1338C.1338D.124【答案】A【分析】根据条件可得2sin 2sin cos x θθ=+，2sin sin cos x θθ=，然后结合同角三角函数的关系，以及恒等变换公式化简，即可得到结果.【详解】依题意可得2sin 2sin cos x θθ=+，2sin sin cos x θθ=，且()22222sin cos sin cos 2sin cos 4sin 22sin 1x x θθθθθθ+=+-=-=，所以()241cos 2cos 220x x -+-=，即24cos 2cos 220x x --=，解得133cos 28x ±=又因为2sin sin cos x θθ=，所以2cos 212sin 1sin 20x x θ=-=-≥，所以133cos 28x +=故选:A8.一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50 方向直线航行，30分钟后到达B 处．在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是东偏南20 ，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65 ，那么B 、C 两点间的距离是（）A.海里B.C.D.海里【答案】A【分析】根据给定条件，画出图形，再利用正弦定理解三角形作答.【详解】依题意，如图，在ABC中，5020304065105BAC ABC ∠=-=∠=+=，，则3045402060ACB AB ∠==⨯=，，由正弦定理得sin sin BC AB BAC ACB =∠∠，即20sin30sin45BC =，因此120222BC ⨯==（海里），所以B C 、两点间的距离是海里．9.函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D【详解】试题分析：函数2||()2x f x x e =-|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称，因为22(2)8e ,08e 1f =-<-<，所以排除,A B 选项；当[]0,2x ∈时，4x y x e '=-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数，当0(,2)x x ∈时，()f x 为增函数．故选：D.10.已知直三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为A.B. C.132D.【答案】C【详解】因为直三棱柱中，AB ＝3，AC ＝4，AA 1＝12，AB ⊥AC ，所以BC ＝5，且BC 为过底面ABC 的截面圆的直径．取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面BCC 1B 1内，矩形BCC 1B 1的对角线长即为球直径，所以2R ＝13，即R ＝13211.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，左､右顶点分别为,A B 点,P Q 是双曲线C 上关于x 轴对称的两点，且直线PQ 经过点F .如果M 是线段FQ 上靠近点Q 的三等分点，E 在y 轴的正半轴上，且E A M ,,三点共线，,,P E B 三点共线，则双曲线C 的离心率为（）A.5B. C.D.6【分析】可设22,,b b P c Q c a a ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,，根据E A M ,,三点共线和,,P E B 三点共线，得到a 、c 的关系，即可求出离心率【详解】解：设()()(),0,,0,,0F c A a B a --，点PQ 是双曲线C 上关于x 轴对称的两点，且直线PQ 经过点F ，可得PQ x ⊥轴，令x c =-可得22221c y a b-=，解得2b y a =±可设22,,b b P c Q c a a ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由M 是线段FQ 上靠近点Q 的三等分点，可得22,3b M c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由E 在y 轴的正半轴上，可设()0,E e ，由E A M ,,三点共线，可得AM EA k k =，即为223b e a a a c=-+①由,,P E B 三点共线，可得EB BP k k =，即为2b e a ac a-=--，②由①②可得()123a c c a =+-，即为3322c a c a -=+，即5c a =，所以5ce a==.故选：A.【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：（1）直接求出a 、b 、c ，计算离心率；（2）根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．12.已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是()A.(－∞，0)B.C.(0,1)D.(0，＋∞)【答案】B【详解】函数f （x ）=x （lnx ﹣ax ），则f′（x ）=lnx ﹣ax+x （﹣a ）=lnx ﹣2ax+1，令f′（x ）=lnx ﹣2ax+1=0得lnx=2ax ﹣1，函数f （x ）=x （lnx ﹣ax ）有两个极值点，等价于f′（x ）=lnx ﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx 与y=2ax ﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax ﹣1与y=lnx 的图象相切，由图可知，当0＜a ＜时，y=lnx 与y=2ax ﹣1的图象有两个交点．则实数a 的取值范围是（0，）．故选B ．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a 与b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a+2b |=______.【答案】【详解】∵平面向量a 与b 的夹角为060，21a b == ，∴021cos601a b ⋅=⨯⨯= .∴2a b +====故答案为点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．(2)a =常用来求向量的模．14.过点(3，1)作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦，其中最短的弦长为__________.【答案】【详解】最短弦为过点()3,1与圆心连线的垂线与圆相交而成，d ====【考点定位】本题考查直线和圆的位置关系，考查数形结合思想和运算能力.圆的半径、弦心距、半弦构成的直角三角形在解决直线和圆问题常常用到，本题只需要简单判断最短弦的位置就能轻松解答,有时候可能会出现点到直线的距离公式来求弦心距的长度.15.抛物线()220x py p =>的焦点为F ，其准线与22133y x -=相交于A ，B 两点，若ABF △为等边三角形，则p =___________.【答案】6【分析】求出抛物线的焦点和准线方程，求出AB 的长，根据ABF △为等边三角形，得到关于p 的方程，即可求得答案.【详解】抛物线()220x py p =>的焦点为(0,)2p F ，其准线为2p y =-，将2p y =-与22133y x -=联立，得221312x p -=，解得x =，则||AB =，由于ABF △为等边三角形，故||2AB p =，即32p ⋅=，解得6p =，故答案为：616.设()f x 与()g x 是定义在同一区间[],a b 上的两个函数，若对任意[],x a b ∈，都有()()1f x g x -≤成立，则称()f x 和()g x 在[],a b 上是“亲密函数”，区间[],a b 称为“亲密区间”．若()234f x x x =-+与()21g x x =-在[],a b 上是“亲密函数”，则b 的最大值______【答案】4【分析】首先表示出()()f x g x -，令()()1f x g x -≤，即2551x x -+≤，解得x 的取值范围，即可得解.【详解】解：因为()()()22342155f x g x x x x x x -=-+--=-+，若()234f x x x =-+与()21g x x =-在[],a b 上是“亲密函数”，则()()1f x g x -≤，即2551x x -+≤，即21551x x -≤-+≤，解得12x ≤≤或34x ≤≤，即[][]1,23,4x ∈⋃，所以b 的最大值为4.故答案为：4三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.南中数学教研室对高二学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，所得数据如下表所示：x681012y 2356（1）请画出上表数据的散点图;（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+（3）根据（2）中求出的线性回归方程，预测记忆力为11的学生的判断力．(参考公式： 1221,n i ii n i i x y nx y b a y bx x nx==-==--∑∑ )【答案】（1）答案见解析（2）ˆ0.7 2.3yx =-（3）5.4【分析】（1）根据表格直接画出散点图即可；（2）根据公式分别计算出 ,ba ，即可得到线性回归防尘；（3）根据（2）中的回归方程，将11x =代入计算，即可得到结果.【小问1详解】散点图如下：【小问2详解】446283105126158i i i x y ==⨯+⨯+⨯+⨯=∑()()116810129,2356444x y =+++==+++=4222224*********i i x ==+++=∑2158494140.73444920b -⨯⨯∴===-⨯ ，则 40.79 2.3ay bx =-=-⨯=- ，故线性回归方程为ˆ0.7 2.3yx =-【小问3详解】由（2）中线性回归方程可知，当11x =时，0.711 2.3 5.4y =⨯-=，所以预测记忆力为11的同学的判断力约为5.418.已知向量()()sin ,sin ,cos ,cos ,sin 2m A B n B A m n C ==⋅= ，且、、A B C 分别为ABC 的三边,,a b c 所对的角．（1）求角C 的大小；（2）若sin ,sin ,sin A C B 成等差数列，且()18CA AB AC ⋅-= ，求c 边的长．【答案】（1）π3C =；（2）6c =.【分析】（1）根据数量积的运算，有sin 2m n C ⋅= ，因为2sin cos m n C C ⋅= ，可求得1πcos ,23C C ==；（2）因为sin ,sin ,sin A C B 成等差数列，由正弦定理得2c ab =，因为()18CA AB AC ⋅-= ,所以可得cos 18,36ab C ab ==，由余弦定理()22222cos 3c a b ab C a b ab =+-=+-，即可解得c .【详解】（1）对于ABC ，π,0πA B C C +=-<<，∴()sin sin A B C +=；由()()sin ,sin ,cos ,cos m A B n B A == ，可得sin cos sin cos sin()sin m n A B B A A B C ⋅=+=+= ，又∵sin 2m n C ⋅= ，∴1sin 22sin cos sin ,cos 2C C C C C ==∴=,π(0,π),3C C ∈∴= .（2）由sin ,sin ,sinB A C 成等差数列，得2sin sin sin C A B =+；由正弦定理得2c a b =+，∵()18CA AB AC ⋅-= ，∴18CA CB ⋅= ，即cos 18,36ab C ab ==，由余弦定理()22222cos 3c a b ab C a b ab =+-=+-，∴2224336,36c c c =-⨯=，∴6c =．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，且90BAP CDP ∠=∠=︒.（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=︒，且四棱锥P ABCD -的体积为83，求该四棱锥的侧面积．【答案】（1）证明见解析；（2）623+.【详解】试题分析：（1）由90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB AP ⊥，CD PD ⊥．从而得AB PD ⊥，进而而AB ⊥平面PAD ，由面面垂直的判定定理可得平面PAB ⊥平面PAD ；（2）设PA PD AB DC a ====，取AD 中点O ，连结PO ，则PO ⊥底面ABCD ，且22,2AD a PO a ==，由四棱锥P ABCD -的体积为83，求出2a =，由此能求出该四棱锥的侧面积.试题解析：（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB AP ⊥，CD PD ⊥．由于AB CD ∥，故AB PD ⊥，从而AB ⊥平面PAD ．又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ．（2）在平面PAD 内作PE AD ⊥，垂足为E ．由（1）知，AB ⊥面PAD ，故AB PE ⊥，可得PE ⊥平面ABCD ．设AB x =，则由已知可得2AD =，22PE x =．故四棱锥P ABCD -的体积31133P ABCD V AB AD PE x -=⋅⋅=．由题设得31833x =，故2x =．从而2PA PD ==，22AD BC ==，22PB PC ==．可得四棱锥P ABCD -的侧面积为111222PA PD PA AB PD DC ⋅+⋅+⋅21sin606232BC +︒=+．20.已知函数()3211,32f x x ax a =-∈R .(I)当a =2时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；(II)设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.【答案】（Ⅰ）390x y --=；（Ⅱ）见解析．【详解】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，求出切线的斜率,再用点斜式写出切线方程；（Ⅱ）由()()(sin )g x x a x x =-'-,通过讨论确定()g x 的单调性,再由单调性确定极值.试题解析：（Ⅰ）由题意2()f x x ax '=-，所以，当2a =时，(3)0f =，2()2f x x x =-'，所以(3)3f '=，因此，曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程是3(3)y x =-，即390x y --=.（Ⅱ）因为()()()cos sin g x f x x a x x =+--，所以()()cos ()sin cos g x f x x x a x x ''=+---，()()sin x x a x a x=---()(sin )x a x x =--，令()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=-≥，所以()h x 在R 上单调递增，因为(0)0h =，所以，当0x >时，()0h x >；当0x <时，()0h x <.（1）当a<0时，()()(sin )g x x a x x '=--，当(,)x a ∈-∞时，0x a -<，()0g x '>，()g x 单调递增；当(,0)x a ∈时，0x a ->，()0g x '<，()g x 单调递减；当(0,)x ∈+∞时，0x a ->，()0g x '>，()g x 单调递增.所以当x a =时()g x 取到极大值，极大值是31()sin 6g a a a =--，当0x =时()g x 取到极小值，极小值是(0)g a =-.（2）当0a =时，()(sin )g x x x x '=-，当(,)x ∈-∞+∞时，()0g x '≥，()g x 单调递增；所以()g x 在(,)∞∞-+上单调递增，()g x 无极大值也无极小值.（3）当0a >时，()()(sin )g x x a x x '=--，当(,0)x ∈-∞时，0x a -<，()0g x '>，()g x 单调递增；当(0,)x a ∈时，0x a -<，()0g x '<，()g x 单调递减；当(,)x a ∈+∞时，0x a ->，()0g x '>，()g x 单调递增.所以当0x =时()g x 取到极大值，极大值是(0)g a =-；当x a =时()g x 取到极小值，极小值是31()sin 6g a a a =--.综上所述：当a<0时，函数()g x 在(,)a -∞和(0,)+∞上单调递增，在(,0)a 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是31()sin 6g a a a =--，极小值是(0)g a =-；当0a =时，函数()g x 在(,)∞∞-+上单调递增，无极值；当0a >时，函数()g x 在(,0)-∞和(,)a +∞上单调递增，在(0,)a 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是(0)g a =-，极小值是31()sin 6g a a a =--.【考点】导数的几何意义及导数的应用【名师点睛】(1)求函数f (x )极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0,求出函数定义域内的所有根；④检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f (x )在x 0处取极大值,如果左负右正,那么f (x )在x 0处取极小值．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ,b )内有极值,那么y ＝f (x )在(a ,b )内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值．21.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221x y a b +=(a >b >0)的离心率为22,椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ,B 两点,交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点,⊙N 的半径为|NO |.设D 为AB 的中点,DE ,DF 与⊙N 分别相切于点E ,F ,求∠EDF 的最小值.【答案】（Ⅰ）22142x y +=.(II)3π.【详解】试题分析：（Ⅰ）由2c a =得a =,由椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为=,求得椭圆的方程为22142x y +=；（Ⅱ）由2224x y y kx m⎧+=⎨=+⎩,解得222(21)4240k x kmx m +++-=,确定222(,)2121km m D k k -++,DN =,结合22NDNF 的单调性求EDF ∠的最小值.试题解析：（Ⅰ）由椭圆的离心率为2，得2222()a a b =-，又当1y =时，2222a x a b =-，得2222a a b -=，所以224,2a b ==，因此椭圆方程为22142x y +=.（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程2224y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(21)4240k x kmx m +++-=，由0∆>得2242m k <+.（*）且122421km x x k +=+，因此122221m y y k +=+，所以222(,2121km m D k k -++，又(0,)N m -，所以222222(()2121km m ND m k k =-++++整理得2242224(13)(21)m k k ND k ++=+，因为NF m =，所以2422222224(31)831(21)(21)ND k k k k k NF +++==+++.令283,3t k t =+≥，故21214t k ++=，所以2221616111(1)2NDt t NF t t=+=++++.令1y t t=+，所以211y t '=-.当3t ≥时，0'>y ,从而1y t t =+在[3,)+∞上单调递增，因此1103t t +≥，等号当且仅当3t =时成立，此时0k =，所以22134ND NF ≤+=，由（*）得m <<且0m ≠.故12NF ND ≥，设2EDF θ∠=，则1sin 2NF ND θ=≥，所以θ的最小值为π6，从而EDF ∠的最小值为π3，此时直线l 的斜率是0.综上所述：当0k =，(m ∈⋃时，EDF ∠取到最小值π3.【考点】圆与椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】圆锥曲线中的两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．常见解法：①几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决；②代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．22.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线:4cos C ρθ=，直线l 的参数方程为：321x t y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于,M N 两点.（1）写出曲线C 和直线l 的普通方程；（2）若点(3,1)P -，求11||||PM PN -的值.【答案】（1）22(2)4x y -+=;250x y --=（2）55【分析】（1）利用极坐标和直角坐标方程得转化公式即可得出曲线C 的普通方程，消去直线l 参数方程中的t 即可得直线l 的普通方程；（2）联立直线l 的参数方程和曲线C 的普通方程得出关于参数的一元二次方程，利用参数t '的几何意义和韦达定理即可求得11||||PM PN -的值.【小问1详解】将:4cos C ρθ=等号两边同时乘以ρ可得24cos ρρθ=，所以224x y x +=；即22(2)4x y -+=；所以曲线C 的普通方程为22(2)4x y -+=；将32:1x t l y t =+⎧⎨=-+⎩消去参数t 可得，32(1)x y =++，整理得250x y --=；即直线l 的普通方程为250x y --=【小问2详解】注意到(3,1)P -在直线l 上，直线l 倾斜角为1tan 2αα=，，cos 2sin αα∴=，22π(0,),sin 0,cos 0,sin cos 12ααααα∈>>+= ，解得525sin ,cos ,55αα==所以直线l 参数方程为2535(515x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩'''为参数），联立C 的直角坐标方程与l的参数方程得22(+1)1)455t ''+-=整理得225205t ''+-=，设方程的解为12,t t ''，则125t t ''+=-，122t t ''=-，12,t t ''异号.不妨设1||PM t '=，2||PN t '=-，有12121211115||||5t t PM PN t t t t ''+-=+==''''.23.已知函数()2f x m x mx =+--()0m >的最大值为6.（1）求m 的值；（2）若正数x ，y ，z 满足x y z m ++=，求证：≤.【答案】（1）2；（2）证明见解析.【分析】（1）利用绝对值三角不等式求出()f x 的最大值，让最大值等于6即可得m 的值；（2）由（1）知，2x y z ++=，由222x x x y z y z ⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭利用基本不等式即可求证.【详解】（1）由题意得()2()(2)3f x x m x m x m x m m =+--≤+--=，因为函数()f x 的最大值为6，所以36m =，即2m =±.因为0m >，所以2m =；（2）由（1）知，2x y z ++=，因为0x >，0y >，0z >，所以222x x x y z y z ⎛⎫⎛⎫=++=+++≥+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2x y z ==时，即1x =，12y z ==等号成立，22m ≤=≤，当且仅当11,2x y z ===时，等号成立.。