山东省山东师范大学附属中学2016届高三上学期第一次模拟考试数学(理)及答案

2016年山东师大附中高考模拟试题数学（文史类）本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页，满分150分．注意事项：1．答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案的标号;非选择题答案使用0。

5毫米规格的黑色中性(签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分．共50分． 1.已知集合}2|1||{≤-=x x M ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥+=115|x x N ，则N M 等于（ ）A 。

[]3,1-B 。

(]3,1-C 。

[]4,1- D. (]4,1-2. 已知i 为虚数单位，R a ∈，若ia i +-2为纯虚数，则复数i a z 2)12(++=的模等于（ ） A ．2B ．3 C ．6D ．113．已知函数()1,0,,0.xx x f x a x -≤⎧=⎨>⎩若()()11f f =-，则实数a 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 4. 命题“若220a b +=，则0a =且0b =”的逆否命题是（ )A ．若220ab +≠，则0a ≠且0b ≠B ．若220ab +≠，则0a ≠或0b ≠C ．若0a ≠且0b ≠，则220ab +≠ D ．若0a ≠或0b ≠，则220ab +≠5. “牟合方盖"是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合)在一起的方形伞（方盖)．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和左视图完全相同时，它的俯视图可能是（ ）6。

2015-2016学年山东省实验中学高三（上）第一次诊考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在复平面内，复数对应的点到直线y=x+1的距离是（）A．B．2 C．D．2．不等式﹣x2+|x|+2＜0的解集是（）A．{x|﹣2＜x＜2} B．{x|x＜﹣2或x＞2} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|x＜﹣1或x＞1}3．函数f（x）=lnx+e x（e为自然对数的底数）的零点所在的区间是（）A．B．C．（1，e）D．（e，+∞）4．给出下列命题①若直线l与平面α内的一条直线平行，则l∥α；②若平面α⊥平面β，且α∩β=l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β；③∃x0∈（3，+∞），x0∉（2，+∞）；④已知a∈R，则“a＜2”是“a2＜2a”的必要不充分条件．其中正确命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．15．一空间几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（）m3．A．B．C．D．6．将函数向右平移个单位，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）与，，x轴围成的图形面积为（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（0）=﹣1，且对任意x∈R，有f（x）=﹣f （2﹣x）成立，则f（2015）的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．28．若实数x，y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值为2，则实数a的值是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．29．已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2=1上一个动点，那么点P到点Q 的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（）A． B． C．D．10．已知直线ax+by﹣1=0（a，b不全为0）与圆x2+y2=50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有（）A．66条B．72条C．74条D．78条二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．已知过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心离e的取值范围是．12．将（n∈N+）的展开式中x﹣4的系数记为a n，则=．13．已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足，则实数λ的值为．14．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+n，利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是．15．设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（12分）（2012•射洪县校级模拟）设函数f（x）=，其中向量．（1）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知f（A）=2，b=1，△ABC的面积为，求△ABC外接圆半径R．17．（12分）（2015•湖南模拟）数列{a n}的前n项和记为S n，a1=1，a n+1=2S n+1（n≥1）．（1）求{a n}的通项公式；（2）等差数列{b n}的各项为正，其前n项和为T n，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求T n．18．（12分）（2010•聊城二模）如图所示，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长均为a，D是侧棱CC1的中点．（1）求证：平面AB1D⊥平面ABB1A1；（2）求异面直线AB1与BC所成角的余弦值；（3）求平面AB1D与平面ABC所成二面角（锐角）的大小．19．（12分）（2007•陕西）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．20．（13分）（2012•长春模拟）如图，椭圆经过点（0，1），离心率．（l）求椭圆C的方程；（2）设直线x=my+1与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A′（A′与B不重合），则直线A′B与x轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．21．（14分）（2012•茂名一模）已知函数f（x）=ln（e x+a）（a为常数）为实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[﹣1，1]上的减函数．（1）求a的值；（2）若g（x）≤t2+λt+1在x∈[﹣1，1]及λ所在的取值范围上恒成立，求t的取值范围；（3）讨论关于x的方程的根的个数．2015-2016学年山东省实验中学高三（上）第一次诊考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在复平面内，复数对应的点到直线y=x+1的距离是（）A．B．2 C．D．考点：复数代数形式的混合运算．分析：化简复数，求出它在复平面内的点的坐标，再用点到直线距离公式求之．解答：解：，复数对应复平面内的点（1，1），它到直线的距离是故选D．点评：本题考查复数代数形式的运算，复数在复平面内对应点，点到直线距离公式，是中档题．2．不等式﹣x2+|x|+2＜0的解集是（）A．{x|﹣2＜x＜2} B．{x|x＜﹣2或x＞2} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|x＜﹣1或x＞1}考点：绝对值不等式．专题：计算题．分析：把原不等式中的x2变为|x|2，则不等式变为关于|x|的一元二次不等式，求出解集得到关于x的绝对值不等式，解出绝对值不等式即可得到x的解集．解答：解：原不等式化为|x|2﹣|x|﹣2＞0因式分解得（|x|﹣2）（|x|+1）＞0因为|x|+1＞0，所以|x|﹣2＞0即|x|＞2解得：x＜﹣2或x＞2．故选B．点评：本题考查一元二次不等式的解法，解题的突破点是把原不等式中的x2变为|x|2，是一道中档题．3．函数f（x）=lnx+e x（e为自然对数的底数）的零点所在的区间是（）A．B．C．（1，e）D．（e，+∞）考点：二分法求方程的近似解．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）=lnx+e x在（0，+∞）上单调递增，因此函数f（x）最多只有一个零点．再利用函数零点存在判定定理即可判断出．解答：解：函数f（x）=lnx+e x在（0，+∞）上单调递增，因此函数f（x）最多只有一个零点．当x→0+时，f（x）→﹣∞；又=+=﹣1＞0，∴函数f（x）=lnx+e x（e为自然对数的底数）的零点所在的区间是．故选：A．点评：本题考查了函数零点存在判定定理、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．给出下列命题①若直线l与平面α内的一条直线平行，则l∥α；②若平面α⊥平面β，且α∩β=l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β；③∃x0∈（3，+∞），x0∉（2，+∞）；④已知a∈R，则“a＜2”是“a2＜2a”的必要不充分条件．其中正确命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：空间中直线与平面之间的位置关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：对于①，考虑直线与平面平行的判定定理；对于②，考虑平面与平面垂直的性质定理；对于③，考虑两个集合间的包含关系；对于④，考虑充要条件中条件与结论的互推关系．解答：解：对于①，直线与平面平行的判定定理中的条件是直线在平面外，而本命题没有，故错误；对于②，符合平面与平面垂直的性质定理，故正确；对于③，考虑两个集合间的包含关系（2，+∞）⊊（3，+∞），而x0∈（3，+∞），比如x=4，则4∈（2，+∞），故错误；对于④，由a2＜2a可以得到：0＜a＜2，一定推出a＜2，反之不一定成立，故“a＜2”是“a2＜2a”的必要不充分条件，此命题正确．综上知②④中的命题正确，故选C．点评：本题考查直线与平面的平行关系的判定，面面垂直的性质定理，集合间的关系以及充要条件概念等，抓住概念的内涵与外延，是解决本类综合题的关键．5．一空间几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（）m3．A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知该几何体是由三个棱长为1的正方体和一个形状为正方体一半的三棱柱构成，即体积为3.5个小正方体体积．解答：解：由三视图可知该几何体是由三个棱长为1的正方体和一个形状为正方体一半的三棱柱构成，即体积为3.5个小正方体体积．即V=点评：本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键6．将函数向右平移个单位，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）与，，x轴围成的图形面积为（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；定积分．专题：常规题型；综合题．分析：将函数向右平移个单位，推出函数解析式，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g（x）的图象，利用积分求函数y=g（x）与，，x轴围成的图形面积．解答：解：将函数向右平移个单位，得到函数=sin（2x+π）=﹣sin2x，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y=g（x）=﹣sinx的图象，则函数y=﹣sinx与，，x轴围成的图形面积：﹣+（﹣sinx）d x=﹣cosx+cosx=+1=故选B点评：本题是中档题，考查三角函数图象的平移伸缩变换，利用积分求面积，正确的变换是基础，合理利用积分求面积是近年高考必考内容．7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（0）=﹣1，且对任意x∈R，有f（x）=﹣f （2﹣x）成立，则f（2015）的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．2考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：确定f（x）是以4为周期的函数，结合f（1）=0，即可求得f（2015）的值．解答：解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，有f（x）=﹣f（2﹣x）成立，∴f（x+4）=﹣f（2﹣x）=f（x），∴f（x）是以4为周期的函数，∴f（2015）=f（503×4+3）=f（3）=f（1）．∵f（1）=﹣f（1），∴f（1）=0，∴f（2015）=0故选：C．点评：本题考查抽象函数及其应用，考查赋值法，求得f（1）=0是关键，考查函数的周期性，属于中档题．8．若实数x，y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值为2，则实数a的值是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2考点：简单线性规划．专题：计算题；压轴题．分析：画出约束条件表示的可行域，然后根据目标函数z=x﹣2y的最大值为2，确定约束条件中a的值即可．解答：解：画出约束条件表示的可行域由⇒A（2，0）是最优解，直线x+2y﹣a=0，过点A（2，0），所以a=2，故选D点评：本题考查简单的线性规划，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．9．已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2=1上一个动点，那么点P到点Q 的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（）A． B． C．D．考点：抛物线的应用．专题：计算题；压轴题．分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径．解答：解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），圆x2+（y﹣4）2=1的圆心为C（0，4），根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而推断出当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小为：，故选C．点评：本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．10．已知直线ax+by﹣1=0（a，b不全为0）与圆x2+y2=50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有（）A．66条B．72条C．74条D．78条考点：直线与圆的位置关系；计数原理的应用．专题：数形结合．分析：先考虑在第一象限找出圆上横、纵坐标均为整数的点有3个，依圆的对称性知，圆上共有3×4=12个点横纵坐标均为整数，经过其中任意两点的割线有12个点任取2点确定一条直线，利用计数原理求出直线的总数，过每一点的切线共有12条，又考虑到直线ax+by﹣1=0不经过原点，如图所示上述直线中经过原点的有6条，所以满足题意的直线利用总数减去12，再减去6即可得到满足题意直线的条数．解答：解：当x≥0，y≥0时，圆上横、纵坐标均为整数的点有（1，7）、（5，5）、（7，1），根据题意画出图形，如图所示：根据圆的对称性得到圆上共有3×4=12个点横纵坐标均为整数，经过其中任意两点的割线有C122=66条，过每一点的切线共有12条，上述直线中经过原点的有6条，如图所示，则满足题意的直线共有66+12﹣6=72条．故选B点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及计数原理的运用．根据对称性找出满足题意的圆上的整数点的个数是解本题的关键．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．已知过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心离e的取值范围是（1，）．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：要使直线与双曲线的右支有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜1，求得a和b的不等式关系，进而根据b=转化成a和c的不等式关系，求得离心率的一个范围，最后根据双曲线的离心率大于1，综合可得求得e的范围．解答：解：要使直线与双曲线的右支有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜tan45°=1即b＜a∵b=∴＜a，整理得c＜ a∴e=＜∵双曲线中e＞1故e的范围是（1，）故答案为（1，）点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．在求离心率的范围时，注意双曲线的离心率大于1．12．将（n∈N+）的展开式中x﹣4的系数记为a n，则=．考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：由题意根据二项展开式的通项公式求得a n==，再用裂项法求和求得=2[1﹣+﹣+…+﹣]的值．解答：解：将（n∈N+）的展开式中x﹣4的系数记为a n，则a n==，∴=2[1﹣+﹣+…+﹣]=，故答案为：．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．13．已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足，则实数λ的值为﹣2．考点：平行向量与共线向量．专题：计算题；压轴题．分析：将已知向量的等式变形，利用向量加法的平行四边形法则得到的关系，求出λ解答：解：∵，∴∴∴∵∴λ=﹣2故答案为：﹣2点评：本题考查向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则．14．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+n，利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是n≤9或n＜10．考点：程序框图．专题：计算题．分析：通过观察程序框图，分析为填判断框内判断条件，n的值在执行运算之后还需加1，故判断框内数字应减1，按照题意填入判断框即可．解答：解：通过分析，本程序框图为“当型“循环结构判断框内为满足循环的条件第1次循环，s=1+1=2 n=1+1=2第2次循环，s=2+2=4 n=2+1=3••当执行第10项时，n=11n的值为执行之后加1的值，所以，判断条件应为进入之前的值故答案为：n≤9或n＜10点评：本题考查程序框图，通过对程序框图的分析对判断框进行判断，属于基础题．15．设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为﹣1；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是≤a＜1或a≥2．考点：函数的零点；分段函数的应用．专题：创新题型；函数的性质及应用．分析：①分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；②分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围．解答：解：①当a=1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．点评：本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（12分）（2012•射洪县校级模拟）设函数f（x）=，其中向量．（1）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知f（A）=2，b=1，△ABC的面积为，求△ABC外接圆半径R．考点：正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法；余弦定理．专题：计算题；综合题．分析：（1）直接把向量代入函数f（x）=，利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化为求，利用正弦函数的单调减区间求函数的单调递减区间；利用周期公式求出函数f（x）的最小正周期．（2）已知f（A）=2，求出A的值，通过b=1，△ABC的面积为求出c，再用余弦定理推出△ABC为直角三角形，然后求△ABC外接圆半径R．解答：解：（1）由题意得．所以，函数f（x）的最小正周期为T=π，由得函数f（x）的单调递减区间是（6分）（2）∵，∴，解得，又∵△ABC的面积为．得．再由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，解得∴c2=a2+b2，即△ABC为直角三角形．∴（l2分）点评：本题是基础题，考查二倍角公式，两角和的正弦函数，三角函数的最值，周期，以及三角形的知识，是综合题，考查计算能力，常考题型．17．（12分）（2015•湖南模拟）数列{a n}的前n项和记为S n，a1=1，a n+1=2S n+1（n≥1）．（1）求{a n}的通项公式；（2）等差数列{b n}的各项为正，其前n项和为T n，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求T n．考点：等比数列的通项公式；等差数列的前n项和．专题：计算题；综合题．分析：（1）由题意可得：a n=2S n﹣1+1（n≥2），所以a n+1﹣a n=2a n，即a n+1=3a n（n≥2），又因为a2=3a1，故{a n}是等比数列，进而得到答案．（2）根据题意可得b2=5，故可设b1=5﹣d，b3=5+d，所以结合题意可得（5﹣d+1）（5+d+9）=（5+3）2，进而求出公差得到等差数列的前n项和为T n．解答：解：（1）因为a n+1=2S n+1，…①所以a n=2S n﹣1+1（n≥2），…②所以①②两式相减得a n+1﹣a n=2a n，即a n+1=3a n（n≥2）又因为a2=2S1+1=3，所以a2=3a1，故{a n}是首项为1，公比为3的等比数列∴a n=3n﹣1．（2）设{b n}的公差为d，由T3=15得，可得b1+b2+b3=15，可得b2=5，故可设b1=5﹣d，b3=5+d，又因为a1=1，a2=3，a3=9，并且a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，所以可得（5﹣d+1）（5+d+9）=（5+3）2，解得d1=2，d2=﹣10∵等差数列{b n}的各项为正，∴d＞0，∴d=2，∴．点评：本题主要考查求数列通项公式的方法，以及等比数列与等差数列的有关性质与求和．18．（12分）（2010•聊城二模）如图所示，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长均为a，D是侧棱CC1的中点．（1）求证：平面AB1D⊥平面ABB1A1；（2）求异面直线AB1与BC所成角的余弦值；（3）求平面AB1D与平面ABC所成二面角（锐角）的大小．考点：平面与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角；与二面角有关的立体几何综合题．专题：证明题；综合题；转化思想．分析：（1）取AB1的中点E，AB的中点F．连接DE、EF、CF．证明DE的平行线CF垂直平面ABB1A1，内的相交直线AB，BB1，即可证明平面AB1D⊥平面ABB1A1；（2）建立空间直角坐标系，求出中的相关向量，直接求异面直线AB1与BC所成角的余弦值；（3）求平面AB1D的一个法向量，以及平面ABC的一个法向量，利用向量的数量积求平面AB1D与平面ABC所成二面角（锐角）的大小．解答：解：（1）证明：取AB1的中点E，AB的中点F．连接DE、EF、CF．故．又．∴四边形CDEF为平行四边形，∴DE∥CF．又三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱．△ABC为正三角形．CF⊂平面ABC，∴CF⊥BB1，CF⊥AB，而AB∩BB1=B，∴CF⊥平面ABB1A1，又DE∥CF，∴DE⊥平面ABB1A1．又DE⊂平面AB1D．所以平面AB1D⊥平面ABB1A1．（4分）（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则设异面直线AB1与BC所成的角为θ，则，故异面直线AB1与BC所成角的余弦值为，（3）由（2）得，设n=（1，x，y）为平面AB1D的一个法向量．由得，，即（6分）显然平面ABC的一个法向量为m（0，0，1）．则，故．即所求二面角的大小为．（14分）点评：本题考查平面与平面垂直的判定，异面直线及其所成的角，二面角及其度量，考查空间想象能力，计算能力，是中档题．19．（12分）（2007•陕西）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题．分析：（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率可先求其对立事件该选手不被淘汰，即三轮都答对的概率；（Ⅱ）ξ的可能值为1，2，3，ξ=i表示前i﹣1轮均答对问题，而第i次答错，利用独立事件求概率即可．解答：解：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为A i（i=1，2，3），则，，．∴该选手被淘汰的概率===．（Ⅱ）ξ的可能值为1，2，3.，=，P（ξ=3）=P（A1A2）=P（A1）P（A2）=．∴ξ的分布列为ξ 1 2 3P∴=．点评：本题考查互斥、对立、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考查利用概率知识分析问题、解决问题的能力．20．（13分）（2012•长春模拟）如图，椭圆经过点（0，1），离心率．（l）求椭圆C的方程；（2）设直线x=my+1与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A′（A′与B不重合），则直线A′B与x轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；压轴题．分析：（1）把点（0，1）代入椭圆方程求得a和b的关系，利用离心率求得a和c的关系，进而联立方程求得a和b，则椭圆的方程可得（2）把直线方程与椭圆方程联立消去y，设出A，B的坐标，则A′的坐标可推断出，利用韦达定理表示出y1+y2和y1y2，进而可表示出A′B的直线方程，把y=0代入求得x的表达式，把x1=my1+1，x2=my2+1代入求得x=4，进而可推断出直线A′B与x轴交于定点（4，0）．解答：解：（1）依题意可得，解得a=2，b=1．所以，椭圆C的方程是；（2）由得（my+1）2+4y2=4，即（m2+4）y2+2my﹣3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）则A′（x1，﹣y1）．且．经过点A′（x1，﹣y1），B（x2，y2）的直线方程为．令y=0，则又∵x1=my1+1，x2=my2+1．∴当y=0时，这说明，直线A′B与x轴交于定点（4，0）．点评：本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系．考查了学生基础知识的综合运用．21．（14分）（2012•茂名一模）已知函数f（x）=ln（e x+a）（a为常数）为实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[﹣1，1]上的减函数．（1）求a的值；（2）若g（x）≤t2+λt+1在x∈[﹣1，1]及λ所在的取值范围上恒成立，求t的取值范围；（3）讨论关于x的方程的根的个数．考点：根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质；函数恒成立问题．专题：计算题．分析：（1）因为定义域是实数集R，直接利用奇函数定义域内有0，则f（﹣0）=﹣f（0）即f（0）=0，即可求a的值；（2）先利用函数g（x）的导函数g'（x）=λ+cosx≤0在[﹣1，1]上恒成立，求出λ的取值范围以及得到g（x）的最大值g（﹣1）=﹣1﹣sin1；然后把g（x）≤t2+λt+1在x∈[﹣1，1]上恒成立转化为﹣λ﹣sin1≤t2+λt+1（λ≤﹣1），整理得（t+1）λ+t2+sin1+1≥0（λ≤﹣1）恒成立，再利用一次函数的思想方法求解即可．（3）先把方程转化为=x2﹣2ex+m，令F（x）=（x＞0），G（x）=x2﹣2ex+m （x＞0），再利用导函数分别求出两个函数的单调区间，进而得到两个函数的最值，比较其最值即可得出结论．解答：解：（1）因为函数f（x）=ln（e x+a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，所以f（﹣0）=﹣f（0）即f（0）=0，则ln（e0+a）=0解得a=0，a=0时，f（x）=x是实数集R上的奇函数；（2）由（1）得f（x）=x所以g（x）=λx+sinx，g'（x）=λ+cosx，因为g（x）在[﹣1，1]上单调递减，∴g'（x）=λ+cosx≤0 在[﹣1，1]上恒成立，∴λ≤﹣1，g（x）max=g（﹣1）=﹣λ﹣sin1，只需﹣λ﹣sin1≤t2+λt+1（λ≤﹣1），∴（t+1）λ+t2+sin1+1≥0（λ≤﹣1）恒成立，令h（λ）=（t+1）+t2+sin1+1（λ≤﹣1）则，解得t≤﹣1（3）由（1）得f（x）=x∴方程转化为=x2﹣2ex+m，令F（x）=（x＞0），G（x）=x2﹣2ex+m （x＞0），（8分）∵F'（x）=，令F'（x）=0，即=0，得x=e当x∈（0，e）时，F'（x）＞0，∴F（x）在（0，e）上为增函数；当x∈（e，+∞）时，F'（x）＜0，F（x）在（e，+∞）上为减函数；（9分）当x=e时，F（x）max=F（e）=（10分）而G（x）=（x﹣e）2+m﹣e2（x＞0）∴G（x）在（0，e）上为减函数，在（e，+∞）上为增函数；（11分）当x=e时，G（x）min=m﹣e2（12分）∴当m﹣e2＞，即m＞e2+时，方程无解；当m﹣e2=，即m=e2+时，方程有一个根；当m﹣e2＜，即m＜e2+时，方程有两个根；（14分）点评：本题主要考查函数奇偶性的性质，函数恒成立问题以及导数在最大值、最小值问题中的应用，是对知识的综合考查，属于难题．在涉及到奇函数定义域内有0时，一般利用结论f（0）=0来作题．。

潍坊市2016年高考模拟考试理科数学2016．3本试卷共5页，分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．共150分．考试时间120分钟．第I 卷(选择题 共50分)注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在规定的位置上。

2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题号上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设i 是虚数单位，若复数()512ia a R i +∈-是纯虚数，则a = A. 1-B.1C. 2-D.22.已知集合{}{}2,3,4,5,6,3,5,7,P Q M P Q ===⋂若，则M 的子集个数为 A.5B.4C.3D.23.在ABC ∆中，P ,Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且11,33AP AB BQ BC ==，若,AB a AC b ==u u u r u u u r ，则PQ =uu u rA.1133a b +B. 1133a b -+C.1133a b - D. 1133a b --4.已知函数()()222,log f x x g x x =-+=，则函数()()()F x f x g x =⋅的大致图象为5.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为120°的三角形，则双曲线C 的离心率为A.2B.2C.D.6.已知p ：函数()()()21f x x a =--∞在，上是减函数，21:0,x q x a x+∀>≤恒成立，则p ⌝是q 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知两条不同的直线,m n 和两个不同的平面,αβ，以下四个命题： ①若//,//,//,//m n m n αβαβ且则 ②若,//,//,m n m n αβαβ⊥⊥且则 ③若//,,,//m n m n αβαβ⊥⊥且则 ④若,,,m n m n αβαβ⊥⊥⊥⊥且则其中正确命题的个数是 A.4 B.3 C.2 D.18.设函数()()y f x x R =∈为偶函数，且x R∀∈，满足[]312,322f x f x x ⎛⎫⎛⎫-=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当时，()f x x =，则当[]2,0x ∈-时，()f x =A. 4x +B. 2x -C. 21x ++D. 31x -+9.执行如图所示的程序框图，若输出的7n =，则输入的整数K 的最大值是 A.18 B.50 C.78 D.30610.已知函数()2ln ln x f x ax x x x=+--有三个不同的零点123,,x x x （其中123x x x <<），则2312123ln ln ln 111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为 A. 1a -B. 1a -C. 1-D.1第II 卷（非选择题 共100分）注意事项：将第II 卷答案用0.5mm 的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.观察下列各式：213122+< 221151233++<222111712344+++<……照此规律，当()2221111231n N n *∈+++⋅⋅⋅+<+时，____________. 12.已知ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且cos cos 3cos a B b A c C ⋅+⋅=⋅，则cos C =___________.13.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ，则点M 恰好取自阴影部分的概率为__________.14.将编号为1，2，3，4的四个小球放入3个不同的盒子中，每个盒子里至少放1个，则恰有1个盒子和有2个连号小球的所有不同放法有___________种.（用数字作答）15.已知抛物线22y px =的准线方程为1x =-焦点为F ，A ，B ，C 为该抛物线上不同的三点，,,FA FB FC uuu r uuu r uuu r 成等差数列，且点B 在x 轴下方，若0FA FB FC ++=uu r uu r uu u r，则直线AC 的方程为___________.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分） 已知函数()4sin cos 44f x x x x ππωω⎛⎫=-⋅= ⎪⎝⎭在处取得最值，其中()0,2ω∈. （I ）求函数()f x 的最小正周期； （II ）将函数()f x 的图象向左平移36π个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，若α为锐角，()43g α=cos α. 17. （本小题满分12分）如图所示几何体中，四边形ABCD 和四边形BCEF 是全等的等腰梯形，且平面BCEF ⊥平面ABCD ，AB//DC ，CE//BF ，AD=BC ，AB=2CD ，∠ABC=∠CBF=60°，G 为线段AB 的中点. （I ）求证：AC BF ⊥；（II ）求二面角D FG B --（钝角）的余弦值.18. （本小题满分12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21111,n n n a S S a ++=+=，数列{}n b 满足1131n a n n b b b +⋅==，且.（I ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （II ）记21412n n n n T a b a b a b -=++⋅⋅⋅+，求n T . 19. （本小题满分12分）某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[]50,100内，发布成绩使用等级制.各等级划分标准见右表.规定：A 、B 、C 三级为合格等级，D 为不合格等级.为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计.按照[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.（I ）求n 和频率分布直方图中的,x y 的值；（II ）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（III ）在选取的样本中，从A 、C 两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ表示所抽取的3名学生中为C 等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望.20. （本小题满分13分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率e =，过椭圆的左焦点F 且倾斜角为30°的直线与圆222x y b +=相交所得弦的长度为1. （I ）求椭圆E 的方程；（II ）若动直线l 交椭圆E 于不同两点()()()112211,,,=,,M x y N x y OP bx ay OQ =uu u r uuu r，设()22,bx ay ，O 为坐标原点.当以线段PQ为直径的圆恰好过点O 时，求证：MON ∆的面积为定值，并求出该定值. 21. （本小题满分14分） 函数()()()()2,x f x x a x b e a b R =-+∈.（I ）函数0,3a b ==-时，求函数()f x 的单调区间； （II ）若()x a f x =是的极大值点. （i ）当0a =时，求b 的取值范围；（ii ）当a 为定值时，设()123,,x x x f x 是的3个极值点.问：是否存在实数b ，可找到4x 使得1234,,,x x x x 的某种排列成等差数列？若存在，求出所有的b 的值及相应的4x ；若不存在，说明理由.。

第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分．共50分． 1.已知集合5{||1|2},|11M x x N x x ⎧⎫=-≤=≥⎨⎬+⎩⎭，则N M 等于（ ） A.[]3,1- B. (]3,1- C.[]4,1- D. (]4,1-【答案】B 【解析】 试题分析：[](](]5{||1|2}1,3,|11,4,M N 1,31M x x N x x ⎧⎫=-≤=-=≥=-∴=-⎨⎬+⎩⎭，故选B.考点：集合的运算2.已知i 为虚数单位，a R ∈，若2ia i-+为纯虚数，则复数()21z a =++的模等于（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．11 【答案】D考点：复数的运算性质3.已知函数()1,0,,0.xx x f x a x -≤⎧=⎨>⎩若()()11f f =-，则实数a 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 试题分析：()()()11,112f f a =-∴=--=，故选B.考点：分段函数的图像与性质4.命题“若220a b +=，则0a =且0b =”的逆否命题是（ ）A ．若220a b +≠，则0a ≠且0b ≠B ．若220a b +≠，则0a ≠或0b ≠C ．若0a ≠且0b ≠，则220a b +≠D ．若0a ≠或0b ≠，则220a b +≠ 【答案】D 【解析】试题分析：根据逆否命题的形式是条件、结论同时否定并交换，写出命题的逆否命题． “若220a b +=，（a ，b ∈R ），则a =0且b =0”的逆否命题是：若a ≠0，或b ≠0（a ，b ∈R ），则a 2+b 2≠0，故答案为若a ≠0，或b ≠0（a ，b ∈R ），则a 2+b 2≠0．故选D. 考点：四种命题5.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如下左图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和左视图完全相同时,它的俯视图可能是（）A. B. C. D.【答案】B考点：三视图6.下列说法中正确的个数为（） ①若样本数据12,,,n x x x 的平均数5x =，则样本数据1221,21,,21n x x x +++的平均数为10②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化③采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5,16,27,38,49的同学均被选出，则该班学生人数可能为60 A ．0B ．1C ． 2D ．3【答案】B考点：命题真假的判断7.函数()()sin ln 1f x x x =⋅+的图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】试题分析：根据函数值的符号即可判断，当当-1<x <0时，f （x ）>0，故排除C ，D ，当x =0时，f （0）=0，故排除B ，问题得以解决．f （x ）=sinx •ln （x +1）的定义域为x >-1，当-1＜x ＜0时，sinx <0，ln （x+1）<0，所以f （x ）>0，故排除C ，D ，当x =0时，sin 0=0，ln （0+1）=0，所以f （0）=0，故排除B ，故选：A ． 考点：函数图像【方法点睛】识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．8.函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位后与原函数的图象关于x 轴对称，则ω的最小正值是（ ） A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】D考点：函数y =Asin （ωx +φ）的图象变换；y =Asin （ωx +φ）中参数的物理意义． 9.执行如图所示的程序框图，若输入K=5，则输出的S 是( ) A.18B.50C.78D.306【答案】A 【解析】试题分析：由题n=1时，S=2，n=2时，S=6,n=3时，S=2，n=4时，S=18，所以输出18，故选A.考点：程序框图 10.设函数[],0(),(1),0x x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩其中][x 表示不超过x 的最大整数，如[ 1.2]-=-2，]2.1[=1，]1[=1，若直线(0)y kx k k =+>与函数y=)(x f 的图象恰有三个不同的交点，则k 的取值范围是（）A ．]31,41( B ．]41,0( C ．]31,41[ D ．)31,41[ 【答案】D考点：根的存在性及根的个数的判断 【名师点睛】分段函数“两种”题型的求解策略 (1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．第II 卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.在ABC ∆中，若sinA sinB sinC sin a b c B +-=．则角C 等于 . 【答案】6π【解析】试题分析：根据正弦定理和余弦定理将条件进行化简即可得到结论．222asinA bsinB csinC a b c +-=∴+-=．，22202226a b c cosC C C ab ab ππ+-===<<∴=，.考点：正弦定理；余弦定理12.设x ，y 满足约束条件110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,则目标函数2z x y =-的取值范围为．【答案】[]-1,2考点：简单的线性规划13.在区间[]1,2上随机取一个数r ，则使得圆222x y r +=与直线20x y ++=存在公共点的概率为【答案】2【解析】,r r ≤∴≥2=. 考点：几何概型【方法点睛】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解． 14.四边形ABCD 中，BD AC ⊥且3,2==BD AC ，则⋅的最小值为.【答案】134-考点：平面向量的坐标运算【方法点睛】平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．15.1F 、2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线右支上一点，满足()220OP OF PF+⋅=（O 为坐标原点），且1234PF PF =，则双曲线的离心率为． 【答案】5 【解析】试题分析：由于点P 在双曲线的右支上，则由双曲线的定义可得12||2PF PF a -=，12124863PF PF PF a PF a =∴==，，，222222200OP OF PF OP OF OF OP OP OF +⋅=∴+⋅-=∴=（），（）（），，则12PF F ∆中，21||OP OF OF ==，则1290FPF ∠=︒， 由勾股定理得2221212||||||PF PF F F +=，即有22264364a a c +=，55c a e ∴=∴=，．考点：双曲线的简单性质三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本题满分12分）已知函数()2sin cos sin sin 44f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（I ）求()f x 的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）若()0002x x x f x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭为的一个零点，求0cos 2x 的值.【答案】（I ）[,],63k k k Z ππππ-+∈；（Ⅱ）18因为222,,26263k x k k x k k Z πππππππππ-≤-≤+∴-≤≤+∈函数()f x 的单调递增区间是[,],63k k k Z ππππ-+∈；考点：三角函数中的恒等变换；正弦函数的周期性与单调性【方法点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y＝A sin(ωx＋φ)的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．17.(本题满分12分)某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格．数据分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30 .第6小组的频数是7.（Ⅰ）求这次铅球测试成绩合格的人数；（Ⅱ）若参加测试的学生中9人成绩优秀，现要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加“毕业运动会”，已知学生a、b的成绩均为优秀，求两人a、b至少有1人入选的概率.【答案】（Ⅰ）36；（Ⅱ）512【解析】试题分析：（Ⅰ）利用频率和为1求出第六组的频率；利用频率等于频数除以样本容量求出此次测试总人数；考点：频率分布直方图、中位数及古典概型【方法点睛】解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算． 18.(本题满分12分)如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，且//AB EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且2AB =，1AD EF ==.（I ）求证：AF ⊥平面CBF ；（Ⅱ）设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ；（III ）设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为F ABCD V -，F CBE V -，求:F ABCD F CBE V V --．【答案】（I ）略；（Ⅱ）略；（III ）4:1【解析】试题分析：（I ）可以先由平面ABCD ⊥平面ABEF 以及CB ⊥AB 证得CB ⊥平面ABEF ，⇒AF ⊥CB ．又因为AB 为圆O 的直径⇒AF ⊥BF ，就可证：AF ⊥平面CBF ；（Ⅱ）取DF 的中点为N ，利用MN AO ⇒MNAO 为平行四边形⇒OM ∥AN 即可．既用线线平行来证线面平行；（3）先把两个锥体的体积套公式求出来，就可求出其体积之比试题解析：（I ）证明： 平面⊥ABCD 平面ABEF ,AB CB ⊥,平面 ABCD 平面ABEF =AB ，⊥∴CB 平面ABEF ，⊂AF 平面ABEF ，CB AF ⊥∴ ,又AB 为圆O 的直径，BF AF ⊥∴，⊥∴AF 平面CBF .考点：空间中的线面关系【名师点睛】本题是对立体几何知识的综合考查，涉及到线面垂直，线面平行和棱锥体积公式．是道综合性极强的好题．在证明线面平行时，其常用方法是在平面内找已知直线平行的直线．当然也可以用面面平行来推导线面平行．19.（本题满分12分）用部分自然数构造如图的数表：用()ij a i j ≥表示第i 行第j 个数（,i j N +∈），使得1.i ii a a i ==每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和.设第n （n N +∈）行的第二个数为(2)n b n ≥，（I ）写出1n b +与n b 的关系，并求()2n b n ≥； （Ⅱ）设()21n n c b n =-+，证明：2462111112n c c c c ++++<【答案】（I ）(1)12n n -+；（Ⅱ）略 考点：数列的递推关系；放缩证明不等式20.（本题满分13分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线06=+-y x 相切． （I ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点F 的直线1l 与椭圆交于A B 、，过F 与1l 垂直的直线2l 与椭圆交于C D 、，与34l x =：交于P ，（1）求证：直线PA PF PB 、、的斜率,,PA PF PB k k k 成等差数列（2）是否存在常数λ使得||||||||AB CD AB CD λ+=⋅成立,若存在,求出λ的值,若不存在,说明理由.【答案】（I ）略；（Ⅱ）存在712λ=使得等式成立(2)由题意知直线1l 的斜率存在且不为0，则直线1l 的方程为(1)y k x =-．由22(1),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)84120k x k x k +-+-=．①设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则),(11y x A -．利用根与系数的关系得2122843k x x k +=+，=21x x 2241243k k -+，由题意知直线2l AE 的斜率为1k-，则直线2l 的方程为1(1)y x k =--令4x =，得P 点的坐标34,P k ⎛⎫-⎪⎝⎭()()12121212123311311444444PA PBy y k x k x k k k k x x x x k x x ++--⎛⎫+=+=+++ ⎪------⎝⎭ =()()()1212121212121225883416416x x x x x x k x x x x k x x x x ++++-⨯+⨯-++-++ =2222222222222241288258834343434128412841641643434343k k k k k k k k k k k k k k k k --⨯+-+++⨯+⨯---⨯+-⨯+++++ =()()22203242422361361PF k k k k k k k --=⨯+⨯=-=++即2PA PB PF k k k +=，所以PA PF PB k k k 、、成等差数列;考点：直线与圆锥曲线的关系；等差数列的通项公式；直线的斜率；椭圆的标准方程． 21.（本题满分14分）已知函数a x x a x x x f +--=22ln )(（a ∈R ）在其定义域内有两个不同的极值点． （I ）求a 的取值范围；（Ⅱ）记两个极值点分别为1x ,2x ,且21x x <．已知0>λ,若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立,求λ的范围． 【答案】（I ）10ea <<；（Ⅱ）1λ≥（解法一）转化为,函数ln y x =与函数y ax =的图象在(0,)+∞上有两个不同交点,如图．可见,若令过原点且切于函数ln y x =图象的直线斜率为k ,只须0a k <<． 令切点00A(,ln )x x ,所以001|x x k y x ='==,又00ln x k x =,所以000ln 1x x x =,解得0e x =, 于是1e k =,所以10ea <<．（2）因为112e x x λλ+<⋅等价于121ln ln x x λλ+<+． 由（1）可知12,x x 分别是方程ln 0x ax -=的两个根, 即11ln x ax =,22ln x ax =所以原式等价于121ax ax λλ+<+12()a x x λ=+,因为0>λ,120x x <<, 所以原式等价于121a x x λλ+>+．又由11ln x ax =,22ln x ax =作差得,1122ln ()xa x x x =-,即1212lnx x a x x =-．所以原式等价于121212ln1x x x x x x λλ+>-+,因为120x x <<,原式恒成立,即112212(1)()lnx x x x x x λλ+-<+恒成立．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 【方法点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．。

山东师范大学附属中学2015届高三数学第一次模拟考试试卷 理（含解析）新人教A 版注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．设全集{}1,2,3,4,0U =----，集合{}{}1,2,0,3,4,0A B =--=--，则()U C A B ⋂=（ ）A.{}0B.{}3,4--C.{}1,2--D.φ 【答案】B. 【解析】试题分析：先利用集合的补集的定义求出集合A 的补集，即}4,3{--=A C U ；再利用集合的交集的定义求出}4,3{)(--=⋂B A C U .故应选B. 考点：交、补、并集的混合运算.2．已知()2,f x x i =是虚数单位，则在复平面中复数()13f i i++对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】A. 【解析】试题分析：因为函数2)(x x f =，所以2)1()1(i i f +=+，化简得i i f 2)1(=+，所以()13f i i++i i i i i i i i i 53515311062)3)(3()3(232+=+=+=-+-=+=.根据复数的几何意义知，()13f i i ++所对应的点的坐标为)53,51(，所以其对应的点在第一象限.故应选A. 考点：复数的代数表示法及其几何意义.3．设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()10P ξ-<<=（ ）A.12p + B.1p - C.12p - D.12p - 【答案】D. 【解析】试题分析：因为随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，所以正态分布曲线关于直线0=x 对称， 所以21)0()0(=<=>ξξP P ，p P P =-<=>)1()1(ξξ， 所以()10P ξ-<<=p P P -=-<-<21)1()0(ξξ.故应选D. 考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 4．设02x π<<，则“2sin 1x x <”是“sin 1x x <”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B. 【解析】试题分析：若“2sin 1x x <”，则由02x π<<知，1sin 0<<x ，所以xx x sin 1sin <，而1sin 1>x，此时不能推出1sin <x x ，即“2sin 1x x <”不是“sin 1x x <”的充分条件；反过来，若“sin 1x x <”，则x x x sin sin 2<，又02x π<<，所以1sin 0<<x ，所以1sin sin 2<<x x x ，即“sin 1x x <”是“2sin 1x x <”的充分条件，即“2sin 1x x <”是“sin 1x x <”的必要条件.综上可知，“2sin 1x x <”是“sin 1x x <”的必要不充分条件.故应选B.考点：充分条件与必要条件.5．已知两个不同的平面αβ、和两个不重合的直线m 、n ，有下列四个命题： ①若//,m n m n αα⊥⊥，则； ②若,,//m m αβαβ⊥⊥则； ③若,//,,m m n n αβαβ⊥⊂⊥则；④若//,//m n m n ααβ⋂=，则.其中正确命题的个数是（ ）A.0B.1C.2D.3 【答案】D. 【解析】试题分析：对于①，因为α⊥m ，所以直线m 与平面α所成的角为090，又因为m ∥n ，所以直线n 与平面α所成的角也为090，即α⊥n 命题成立，故正确；对于②，若α⊥m ，β⊥m ，则经过m 作平面γ，设a =⋂αγ，b =⋂βγ，又因为α⊂a ，β⊂b ，所以在平面γ内，a m ⊥，b n ⊥，所以直线a 、b 是平行直线.因为β⊄a ，β⊂b ，a ∥b ，所以a ∥β.经过m 作平面θ，设c =⋂αθ，d =⋂βθ，用同样的方法可以证出c ∥β.因为a 、c 是平面α内的相交直线，所以α∥β，故正确；对于③，因为α⊥n ，m ∥n ，所以α⊥n .又因为β⊂n ，所以βα⊥，故正确； 对于④，因为m ∥β，n =⋂βα，当直线m 在平面β内时，m ∥n 成立，但题设中没有m 在平面β内这一条件，故不正确.综上所述，其中正确命题的个数是3个，应选D.考点：平面的基本性质及推论. 6．要得到函数()cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ） A.向左平移2π个单位长度 B.向右平移2π个单位长度 C.向左平移4π个单位长度 D.向右平移4π个单位长度 【答案】C.【解析】试题分析：因为函数()cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭)]125(2sin[]2)32sin[(πππ+=++=x x ， 所以将函数()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位长度， 即可得到函数)652sin(]3)4(2sin[πππ+=++=x x y 的图像.故应选C.考点：函数)sin(φω+=x A y 的图像变换.7．已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是（ ）A.⎡⎢⎣⎦B.]3,3[-C.⎛ ⎝⎭D.( 【答案】A.【解析】试题分析：双曲线221124x y -=的渐近线方程是x y 33±=，过右焦点)0,4(F 分别作两条渐近线的平行线1l 和2l ，由下图图像可知，符合条件的直线的斜率的范围是]33,33[-.故应选A.考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；双曲线的简单性质.8．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为 A.360 B.520 C.600 D.720 【答案】C. 【解析】试题分析：根据题意，可分2种情况讨论：①只有甲乙其中一人参加，有480443512=⋅⋅A C C 种情况；②甲乙两人都参加，有240442522=⋅⋅A C C 种情况，其中甲乙相邻的有12022332522=⋅⋅⋅A A C C 种情况；则不同的发言顺序种数为600120240480=-+种，故应选C ．考点：排列、组合的实际应用.9．设函数()2,0,2,0.x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩若()()()40,22f f f -=-=-，则关于x 的方程()f x x =的解的个数为（ ）A.4B.3C.2D.1 【答案】B. 【解析】试题分析：先由)0()4(f f =-可得，c c b =+-416，解之可得4=b ，再由2)2(-=-f 可得224-=+-c b ，解之可得2=c ，故⎩⎨⎧>≤++=0,30,24)(2x x x x x f ，令x x f =)(可得⎩⎨⎧≤=++0242x x x x 或⎩⎨⎧>=03x x，解之可得3=x 或1-=x 或2-=x ，故应选B. 考点：根的存在性及根的个数判断. 10．已知向量→OA与→OB的夹角为θ，→→→→→→→-====PQ OB t OQ OA t OP OB OA ,)1(,,1,20t 在时取得最小值，当0105t <<时，夹角θ的取值范围为（ ） A.0,3π⎛⎫⎪⎝⎭B.,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C.2,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.20,3π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C. 【解析】试题分析：由题意知，θθcos 2cos 12=⨯⨯=⋅→→OB OA ，→→→→→--=-=OA t OB t OP OQ PQ )1(，所以θcos )1(44)1()1(2)1(2222222t t t t OB OA t t OA t OB t PQ -=+-=⋅--+-=→→→→→1)cos 42()cos 45(2+--++=t t θθ，由二次函数的图像及其性质知，当上式取最小值时，θθcos 45cos 210++=t .由题意可得，51cos 45cos 210<++<θθ，求得0cos 21<<-θ，所以322πθπ<<，故应选C.考点：向量数量积表示两个向量的夹角.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）11．若13x x k ++->对任意的x R ∈恒成立，则实数k 的取值范围为_________. 【答案】)4,(-∞. 【解析】试题分析：要使得不等式13x x k ++->对任意的x R ∈恒成立，需31)(-++=x x x f 的最小值大于k ，问题转化为求)(x f 的最小值.首先设31)(-++=x x x f ，则有⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤≤--≤+-=3,2231,41,22)(x x x x x x f . 当1-≤x 时，)(x f 有最小值为4；当31≤≤-x 时，)(x f 有最小值为4；当3≥x 时，)(x f 有最小值为4.综上所述，)(x f 有最小值为4.所以，4<k .故答案为)4,(-∞. 考点：含绝对值不等式；函数恒成立问题. 12．如图给出的是计算11112462014+++⋅⋅⋅+的值的程序框图，其中判断框内应填入的是 .【答案】2014≤i . 【解析】试题分析：根据程序框图可得计算出的S 为：iS 1614121++++=Λ，为了计算20141614121++++Λ，当2012,,4,2Λ=i 时，iS 1+代替S ，并用2+i 代替i ，进入下一次运算；而当2014=i 时，i S 1+代替S ，恰好20141614121++++=ΛS ，用2+i 代替i 得，20142016>=i ，在这次运算中结束循环体并输出S 的值，因此，判断框内应填2014≤i .考点：程序框图.13．已知圆C 过点()1,0-，且圆心在x 轴的负半轴上，直线:1l y x =+被该圆所截得的弦长为C 的标准方程为 .【答案】()4322=++y x .【解析】试题分析：设圆C 的圆心C 的坐标为)0)(0,(<a a ，则圆C 的标准方程为222)(r y a x =+-.圆心C 到直线:1l y x =+的距离为：21+=a d ，又因为该圆过点()1,0-，所以其半径为1+=a r .由直线:1l y x =+被该圆所截得的弦长为以及弦心距三角形知，222222r d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+，即()221221+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a ，解之得：3-=a 或1=a （舍）.所以21=+=a r ，所以圆C 的标准方程为()4322=++y x .考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系. 14．定义：{},min ,,a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，在区域0206x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(){}22,min 2,42p x y x y x x y x y x x y ++++=++，则、满足的概率为 ．【答案】49. 【解析】试题分析：由题意知，如下图所示，实验包含的所有事件对应的集合}60,20),{(≤≤≤≤=Ωy x y x ，其面积为111=⨯=ΩS ；满足条件的事件}42,60,20),{(2++≤++≤≤≤≤=y x y x x y x y x A ，即316)314()4(203202=-=-=⎰x x dx x S A ，由几何概型的计算公式知，9462316=⨯=P .故应填49.考点：几何概型. 15．已知0,0>>y x ，若m m yx x y 2822+≥+恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】42m -<<. 【解析】试题分析：因为0,0>>y x ，所以由基本不等式知，882282=⋅≥+yxx y y x x y ，当且仅当yxx y 82=即 x y 2=等号成立.问题m m y x x y 2822+≥+恒成立转化为m m y x xy 2822min +≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+，即m m 282+≥，由一元二次不等式解法知，42m -<<.考点：一元二次不等式及其解法；均值不等式的应用.三、解答题（题型注释）16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，且22212a cb ac +-=.. （1）求2sincos 22A CB ++的值； （2）若2b =∆，求ABC 面积的最大值．【答案】（1）41-；（2）315． 【解析】试题分析：（1）在△ABC 中，首先运用余弦定理公式B ac b c a cos 2222=-+，并结合已知条件22212a cb ac +-=即可求出B cos ；然后根据三角形的内角和等于π和倍角公式，将所求式子2sincos 22A CB ++化简为只关于B cos 的式子，最后将B cos 的值代入即可； （2）将已知b=2代入22212a cb ac +-=，即可得到式子ac c a 21422=-+；试题解析：（1）在△ABC 中，由余弦定理可知，B ac b c a cos 2222=-+，由题意知ac b c a 21222=-+，∴41cos =B ；又在△ABC 中π=++C B A ， ∴1cos 22cos 12cos 2cos 2cos 2sin 2cos 2sin 2222-++=+=+-=++B B B B B B B C A π212cos cos 22-+=B B ，又41cos =B ，∴412cos 2sin 2-=++B C A . （2）∵b=2 ，∴由ac b c a 21222=-+可知，ac c a 21422=-+，即4221-≥ac ac ，∴38≤ac .∵41cos =B ，∴415sin =B ∴3154153821sin 21=⋅⋅≤⋅=∆B ac S ABC .∴△ABC 面积的最大值为315．考点：余弦定理；均值不等式.17．如图，在七面体ABCDMN 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且21.MD NB MB ND P ==，，与交于点（1）在棱AB 上找一点Q ，使QP//平面AMD ，并给出证明； （2）求平面BNC 与平面MNC 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）当13BQ AB =时，有QP //平面AMD. 证明：因为MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，所以MD//NB ， 所以12BP NB PM MD ==，又12QB QA =，所以QB NB QA MD =，所以在MAB ∆中，OP//AM. 又OP ⊄面AMD ，AM ⊂面AMD ，∴OP // 面AMD. （2）锐二面角的余弦值为32. 【解析】试题分析：（1）设Q 为AB 上的一点，满足13BQ AB =.由线面平行的性质证出MD//NB ，结合题中数据利用平行线的性质，得到QB NBQA MD=，从而在MAB ∆中得到OP//AM.最后利用线面平行判定定理，证出QP // 面AMD ，说明在棱AB 上存在满足条件的点；（2）建立如图所示空间直角坐标系，算出向量CM u u u u r 、CN u u u r 和DC u u u r的坐标.利用垂直向量数量积为0的方法建立方程组，算出平面CMN 的法向量1n u r.根据线面垂直的判定定理证出DC ⊥平面BNC ，从而得到DC u u u r即是BNC 的法向量，最后利用空间向量的夹角公式加以计算，即可算出平面CMN 与平面BNC 所成锐二面角的余弦值.试题解析：（1）当13BQ AB =时，有QP //平面AMD. 证明：因为MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，所以MD//NB ，所以12BP NB PM MD ==，又12QB QA =，所以QB NB QA MD =，所以在MAB ∆中，OP//AM. 又OP ⊄面AMD ，AM ⊂面AMD ，∴OP // 面AMD.（2）以DA 、DC 、DM 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），M （0，0，2）N （2，2，1），所以CM u u u u r =（0，-2，2），CN u u u r =（2，0，1），DC u u u r=（0，2，0），设平面CMN 的法向量为1n u r =（x ，y ，z ）则110n CM n CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u u ru r u u u r，所以22020y x x z -+=⎧⎨+=⎩，所以1n u r =（1，-2，-2）.又NB ⊥平面ABCD ，∴NB ⊥DC ，BC ⊥DC ，∴DC ⊥平面BNC ，∴平面BNC 的法向量为2n u u r =DC u u ur =（0，2，0），设所求锐二面角为θ，则121242cos 323n n n n θ⋅===⨯⋅u r u u ru r u u r .考点：利用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定.18．某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为432555、、，且各轮问题能否正确回答互不影响。

2016年山东省高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z=（a﹣1）+3i（a∈R）在复平面内对应的点在直线y=x+2上，则a的值等于（）A．1B．2C．5D．62．已知集合，则集合A的真子集的个数为（）A．3B．4C．1D．23．已知函数f（x）=，若f（﹣1）=2f（a），则a的值等于（）A．或﹣B． C．﹣D．±4．将800个个体编号为001～800，然后利用系统抽样的方法从中抽取20个个体作为样本，则在编号为121～400的个体中应抽取的个体数为（）A．10B．9C．8D．75．“数列{a n}成等比数列”是“数列{lga n+1}成等差数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知直线l的方程为ax+2y﹣3=0，且a∈[﹣5，4]，则直线l的斜率不小于1的概率为（）A． B． C． D．7．一个空间几何体的三视图如图，其中主视图是腰长为3的等腰三角形，俯视图是边长分别为1，2的矩形，则该几何体的体积等于（）A．2B． C． D．8．已知向量，若向量的夹角为φ，则有（）A．φ=θB．φ=π﹣θC．φ=θ﹣πD．φ=θ﹣2π9．已知不等式2x+m+＞0对一切x∈（1，+∞）恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m＞﹣10B．m＜﹣10C．m＞﹣8D．m＜﹣810．在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足==，则=（）A．﹣B． C．﹣D．﹣二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是．12．从0，2，4中选两个数字，从1，3中选一个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为．13．若不等式|2x+a|＜b的解集为{x|1＜x＜4}，则ab等于．14．若函数f（x）=a x+2﹣（a＞0，a≠1）的图象经过定点P（m，n），则函数g（x）=log n （x2﹣mx+4）的最大值等于．15．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线的交点坐标为，且双曲线与抛物线的一个公共点M的坐标（x0，4），则双曲线的方程为．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知函数f（x）=cosx[sin（x+）﹣sin（x+）]+．（1）若f（+）=，0＜θ＜，求tanθ的值；（2）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．17．在2015年8月世界杯女排比赛中，中国女排以11战10胜1负的骄人战绩获得冠军．世界杯女排比赛，采取5局3胜制，即每场比赛中，最先获胜3局的队该场比赛获胜，比赛结束，每场比赛最多进行5局比赛．比赛的积分规则是：3﹣0或者3﹣1取胜的球队积3分，负队积0分；3﹣2取胜的球队积2分，负队积1分．在本届世界杯中，中国队与美国队在第三轮相遇，根据以往数据统计分析，中国队与美国队的每局比赛中，中国队获胜的概率为．（1）在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率是多少？（2）试求中国队与美国队比赛中，中国队获得积分的分布列与期望．18．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF且BE＜CF，∠BCF=，AD=，EF=2．（1）求证：AE∥平面DCF；（2）若，且=λ，当λ取何值时，直线AE与BF所成角的大小为600？19．已知数列{a n}的前n项和S n=a n+．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，且数列{b n}的前n项和为T n，求T2n．20．已知椭圆=1（a＞b＞0）经过点，且离心率等于．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：y=x+m与椭圆交于A，B两点，与圆x2+y2=2交于C，D两点．①当|CD|=2时，求直线l的方程；②若λ=，试求λ的取值范围．21．已知函数f（x）=ln（）+（a∈R）．（1）若函数f（x）在定义域上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数在定义域上有两个极值点x1，x2，试问：是否存在实数a，使得f（x1）+f（x2）=3？2016年山东省高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z=（a﹣1）+3i（a∈R）在复平面内对应的点在直线y=x+2上，则a的值等于（）A．1B．2C．5D．6【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】求出对应点的坐标，代入直线方程，然后求解a的值．【解答】解：复数z=（a﹣1）+3i（a∈R）在复平面内对应的点在直线y=x+2上，可得3=a﹣1+2，解得a=2．故选：B．2．已知集合，则集合A的真子集的个数为（）A．3B．4C．1D．2【考点】子集与真子集．【分析】先求出集合A，由此能求出集合A的子集的个数．【解答】解：∵集合={2}，∴集合A的真子集只有一个为∅．故选：C．3．已知函数f（x）=，若f（﹣1）=2f（a），则a的值等于（）A．或﹣B． C．﹣D．±【考点】分段函数的应用．【分析】利用分段函数的表达式建立方程关系进行求解即可．【解答】解：f（﹣1）=（﹣1）2=1，则由f（﹣1）=2f（a），得1=2f（a），即f（a）=，若a＞0，由f（a）=得log3a=，得a=，若a＜0，由f（a）=得a2=，得a=﹣或（舍），综上a的值等于或﹣，故选：A．4．将800个个体编号为001～800，然后利用系统抽样的方法从中抽取20个个体作为样本，则在编号为121～400的个体中应抽取的个体数为（）A．10B．9C．8D．7【考点】系统抽样方法．【分析】根据题意，求出系统抽样的分组组距，再求编号为121～400的个体中应抽取的个体数即可．【解答】解：把这800个个体编上001～800的号码，分成20组，则组距为=40；所以编号为121～400的个体中应抽取的个体数为=7．故选：D．5．“数列{a n}成等比数列”是“数列{lga n+1}成等差数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】等差关系的确定．【分析】数列{a n}成等比数列，公比为q．若a1＜0时，则lga n+1没有意义．由数列{lga n+1}成等差数列，则（lga n+1+1）﹣（lga n+1）=为常数，则为非0常数．即可判断出结论．【解答】解：∵数列{a n}成等比数列，公比为q．∴a n=．若a1＜0时，则lga n+1没有意义．由数列{lga n+1}成等差数列，则（lga n+1+1）﹣（lga n+1）=为常数，则为非0常数．∴“数列{a n}成等比数列”是“数列{lga n+1}成等差数列”的必要不充分条件．故选：B．6．已知直线l的方程为ax+2y﹣3=0，且a∈[﹣5，4]，则直线l的斜率不小于1的概率为（）A． B． C． D．【考点】直线的斜率．【分析】先求出直线的斜率的范围，再根据几何概型的概率公式计算即可．【解答】解：由ax+2y﹣3=0得到y=﹣x+，故直线的斜率为﹣，∵直线l的斜率不小于1，∴﹣≥1，即a≤﹣2，∵且a∈[﹣5，4]，∴﹣5≤a≤﹣2，∴直线l的斜率不小于1的概率为=，故选：C．7．一个空间几何体的三视图如图，其中主视图是腰长为3的等腰三角形，俯视图是边长分别为1，2的矩形，则该几何体的体积等于（）A．2B． C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图易得这个几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长是1、2的长方形，顶点在底面的射影是长边的中点，短侧棱长为：3，求出棱锥的高，即可求解四棱锥的体积．【解答】解：由三视图知，这是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长是1、2的长方形，顶点在底面的射影是长边的中点，短侧棱长为3，棱锥的高： =2，∴四棱锥的体积是：×1×2×2=．故选：D．8．已知向量，若向量的夹角为φ，则有（）A．φ=θB．φ=π﹣θC．φ=θ﹣πD．φ=θ﹣2π【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的夹角公式和两角和的余弦公式以及诱导公式，再根据向量的夹角的范围即可求出．【解答】解：∵向量，∴||==1，||=1， =﹣cosθcos2θ﹣sinθsin2θ=﹣cosθ=cos（π﹣θ），∴cosφ==cos（π﹣θ）=cos（θ﹣π），∵θ∈（π，2π），∴θ﹣π∈（0，π），∴φ=θ﹣π，故选：C．9．已知不等式2x+m+＞0对一切x∈（1，+∞）恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m＞﹣10B．m＜﹣10C．m＞﹣8D．m＜﹣8【考点】基本不等式．【分析】不等式2x+m+＞0化为：2（x﹣1）+＞﹣m﹣2，利用基本不等式的性质可得2（x﹣1）+的最小值，即可得出．【解答】解：不等式2x+m+＞0化为：2（x﹣1）+＞﹣m﹣2，∵x＞1，∴2（x﹣1）+≥2×=8，当且仅当x=3时取等号．∵不等式2x+m+＞0对一切x∈（1，+∞）恒成立，∴﹣m﹣2＜8，解得m＞﹣10，故选：A．10．在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足==，则=（）A．﹣B． C．﹣D．﹣【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由题意设===k，可得a=6k，b=4k，c=3k，由余弦定理可得cosA，再由正弦定理可得=，代值化简可得．【解答】解：由题意设===k，（k＞0），则a=6k，b=4k，c=3k，∴由余弦定理可得cosA===﹣，∴由正弦定理可得====﹣，故选：A．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是11 ．【考点】循环结构．【分析】按照循环结构的流程，列举出每个循环的变量的取值，与循环条件对比即可得结果【解答】解：依此程序框图，变量a的变化依次为1，12+2=3，32+2=11不满足循环条件a＜10，故输出11故答案为1112．从0，2，4中选两个数字，从1，3中选一个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为20 ．【考点】计数原理的应用．【分析】根据0的特点，分三类进行，当0在个为和十位时，当没有0参与时，根据分类计数原理可得．【解答】解：若三位数的个位为0，则有2×2×A22=8个；若十位为0，则有C21•C21=4个；若这个三位数没有0，则有C21•C21A22=8个．综上，要求的三位偶数的个数为 8+8+4=20个，故答案为：20．13．若不等式|2x+a|＜b的解集为{x|1＜x＜4}，则ab等于﹣15 ．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】解出不等式|2x+a|＜b，得到关于a，b的不等式组，求出a，b的值，从而求出ab 即可．【解答】解：∵|2x+a|＜b，∴﹣b＜2x+a＜b，∴﹣a﹣b＜2x＜b﹣a，∴﹣＜x＜，由不等式的解集为{x|1＜x＜4}，则，解得：a=﹣5，b=3则ab=﹣15，故答案为：﹣15．14．若函数f（x）=a x+2﹣（a＞0，a≠1）的图象经过定点P（m，n），则函数g（x）=log n（x2﹣mx+4）的最大值等于﹣1 ．【考点】函数与方程的综合运用；函数的最值及其几何意义．【分析】求出m、n，然后利用对数函数的性质，以及二次函数的性质求解函数的最值．【解答】解：函数f（x）=a x+2﹣（a＞0，a≠1）的图象经过定点P（m，n），可知m=﹣2，n=，函数g（x）=log n（x2﹣mx+4）=log（x2+2x+4）=log [（x+1）2+3]≤﹣1．函数g（x）=log n（x2﹣mx+4）的最大值：﹣1．故答案为：﹣1．15．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线的交点坐标为，且双曲线与抛物线的一个公共点M的坐标（x0，4），则双曲线的方程为\frac{{x}^{2}}{5}﹣\frac{{y}^{2}}{20}=1 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，由题意可得p=， =2，求得M （3，4）代入双曲线的方程，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】解：双曲线=1的渐近线方程为y=±x，抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，由题意可得=，即p=，=2，即b=2a①又M的坐标（x0，4），可得16=2px0=x0，解得x0=3，将M（3，4）代入双曲线的方程可得﹣=1②由①②解得a=，b=2，即有双曲线的方程为﹣=1．故答案为：﹣=1．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知函数f（x）=cosx[sin（x+）﹣sin（x+）]+．（1）若f（+）=，0＜θ＜，求tanθ的值；（2）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣），由f（+）=，可解得cosθ，又0＜θ＜，可由同角三角函数关系式即可求sinθ，tanθ的值．（2）由f（x）=sin（2x﹣），根据周期公式可求T，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z可解得单调递增区间．【解答】解：（1）∵f（x）=cosx[sin（x+）﹣sin（x+）]+ =cosx（sinx﹣cosx）+=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），∵f（+）=，故有： sin[2（+）﹣]=sin（θ+﹣）=sin （θ+）=cosθ=，∴可解得：cosθ=，∵0＜θ＜，si nθ==，∴tanθ===．（2）∵f（x）=sin（2x﹣），∴T==π．∴由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z可解得：x∈[kπ﹣，kπ+]，k∈Z∴函数f（x）的最小正周期是π，单调递增区间是：x∈[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．17．在2015年8月世界杯女排比赛中，中国女排以11战10胜1负的骄人战绩获得冠军．世界杯女排比赛，采取5局3胜制，即每场比赛中，最先获胜3局的队该场比赛获胜，比赛结束，每场比赛最多进行5局比赛．比赛的积分规则是：3﹣0或者3﹣1取胜的球队积3分，负队积0分；3﹣2取胜的球队积2分，负队积1分．在本届世界杯中，中国队与美国队在第三轮相遇，根据以往数据统计分析，中国队与美国队的每局比赛中，中国队获胜的概率为．（1）在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率是多少？（2）试求中国队与美国队比赛中，中国队获得积分的分布列与期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的可能性有两种：连胜3局或前3局两胜1负，第五局胜，由此能求出在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率．（2）中国队与美国队比赛中，中国队获得积分X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出中国队获得积分X的分布列和数学期望EX．【解答】解：（1）∵根据以往数据统计分析，中国队与美国队的每局比赛中，中国队获胜的概率为，∴在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率：p=+=．（2）中国队与美国队比赛中，中国队获得积分X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）=（）=，∴中国队获得积分X的分布列为：X 0 1 2 3PEX==．18．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF且BE＜CF，∠BCF=，AD=，EF=2．（1）求证：AE∥平面DCF；（2）若，且=λ，当λ取何值时，直线AE与BF所成角的大小为600？【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出面ABE∥面CDF，由此能证明AE∥面CDF．（2）以C为坐标原点，以CB，CD，CF分别为x，y，z轴建系，利用向量法能求出当λ取1时，直线AE与BF所成角的大小为60°．【解答】证明：（1）∵BE∥CF，AB∥CD，且BE∩AB=B，FC∩CD=C，∴面ABE∥面CDF，又AE⊂面ABE，∴AE∥面CDF．解：（2）∵∠BCF=，且面ABCD⊥面BEFC，∴FC⊥面ABCD以C为坐标原点，以CB，CD，CF分别为x，y，z轴建系，∵，且=λ，∴AB=（）λ，∴A（，（）λ，0），E（，0，），F（0，0，），B（，0，0），=（0，（1﹣）λ，），=（﹣，0，），∵直线AE与BF所成角的大小为60°，∴cos60°==，由λ＞0，解得λ=1，∴当λ取1时，直线AE与BF所成角的大小为60°．19．已知数列{a n}的前n项和S n=a n+．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，且数列{b n}的前n项和为T n，求T2n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由于数列{a n}的前n项和S n=a n+，可得a1+a2=a2+﹣2，解得a1．当n≥2时，S n﹣1=a n﹣1+﹣2，可得：a n=a n﹣a n﹣1+n﹣2﹣[﹣2]，化简整理即可得出．（2）b n=，可得b2n﹣==．b2n=．即可得出．1【解答】解：（1）∵数列{a n}的前n项和S n=a n+，∴a1+a2=a2+﹣2，解得a1=3．当n≥2时，S n﹣1=a n﹣1+﹣2，可得：a n=a n﹣a n﹣1+n﹣2﹣[﹣2]，解得a n﹣1=n+1．∴a n=n+2，当n=1时也成立．∴a n=n+2．（2）b n=，∴b2n﹣===．1b2n==．∴数列{b n}的前2n项和T2n=+=﹣﹣．20．已知椭圆=1（a＞b＞0）经过点，且离心率等于．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：y=x+m与椭圆交于A，B两点，与圆x2+y2=2交于C，D两点．①当|CD|=2时，求直线l的方程；②若λ=，试求λ的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点M满足椭圆方程，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）①求出O到直线的距离，由圆的弦长公式可得2，解方程可得m的值，进而得到直线的方程；②将直线y=x+m代入椭圆方程，运用判别式大于0，运用韦达定理和弦长公式，再由直线和圆相交的条件和弦长公式，化简整理，即可得到所求范围．【解答】解：（1）由题意可得e==，a2﹣b2=c2，将M的坐标代入椭圆方程，可得+=1，解得a=2，b=c=2，即有椭圆的方程为+=1；（2）①O到直线y=x+m的距离为d=，由弦长公式可得2=2，解得m=±，可得直线的方程为y=x±；②由y=x+m代入椭圆方程x2+2y2=8，可得3x2+4mx+2m2﹣8=0，由判别式为△=16m2﹣12（2m2﹣8）＞0，化简可得m2＜12，由直线和圆相交的条件可得d＜r，即有＜，即为m2＜4，综上可得m的范围是（﹣2，2）．设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=﹣，x1x2=，即有弦长|AB|=•=•=•，|CD|=2=，即有λ==•=•，由0＜4﹣m2≤4，可得≥2，即有λ≥．则λ的取值范围是[，+∞）．21．已知函数f（x）=ln（）+（a∈R）．（1）若函数f（x）在定义域上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数在定义域上有两个极值点x1，x2，试问：是否存在实数a，使得f（x1）+f（x2）=3？【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求得函数的定义域和导函数f′（x），依题意可知f′（x）≥0，在（0，+∞）上恒成立，即a≤在（0，+∞）上恒成立，构造辅助函数，g（x）=，求导，利用导数法求得g（x）的单调区间及最小值，即可求得a的取值范围；（2）由题意可知：函数在定义域上有两个极值点x1，x2，即方程f′（x）=0在（1，+∞）上由两个不同的实根，根据二次函数性质求得a的取值范围，利用韦达定理，求得x1+x2和x1•x2表达式，写出f（x1）+f（x2），根据对数的运算性质求得a的值，判断是否满足a的取值范围．【解答】解：（1）由函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣，依题意可知：f′（x）≥0，在（0，+∞）上恒成立，即a≤在（0，+∞）上恒成立，令g（x）=，g′（x）==，令g′（x）=0，解得x=4，且1＜x＜4时，g′（x）＜0，当x＞4时，g′（x）＞0，所以g（x）在x=4时取极小值，也为最小值，g（4）=12，故实数a的取值范围是a≤12；（2）f′（x）=﹣=，函数在定义域上有两个极值点x1，x2，即方程f′（x）=0在（1，+∞）上由两个不同的实根，即方程x2+（4﹣a）x+（4+a）=0，在（1，+∞）上由两个不同的实根，∴解得：a≥12，由韦达定理：x1+x2=a﹣4，x1•x2=a+4，于是，f（x1）+f（x2）=ln（）++ln（）+，=ln[]+a[]，=ln[]+a[]，=ln（）+a（），=，=3，解得a=9，但不满足a＞12，所以不存在实数a，使得f（x1）+f（x2）=3．。

第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}1,2,3,4,0U =----，集合{}{}1,2,0,3,4,0A B =--=--，则()U C A B ⋂=（ ） A.{}0 B.{}3,4-- C.{}1,2--D. φ【答案】B. 【解析】试题分析：先利用集合的补集的定义求出集合A 的补集，即}4,3{--=A C U ；再利用集合的交集的定义求出}4,3{)(--=⋂B A C U .故应选B. 考点：交、补、并集的混合运算.2.已知()2,f x x i =是虚数单位，则在复平面中复数()13f i i++对应的点在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A.【解析】考点：复数的代数表示法及其几何意义.3.设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()10P ξ-<<=（ ）A.12p + B.1p - C.12p -D.12p - 【答案】D. 【解析】试题分析：因为随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，所以正态分布曲线关于直线0=x 对称，所以21)0()0(=<=>ξξP P ，p P P =-<=>)1()1(ξξ， 所以()10P ξ-<<=p P P -=-<-<21)1()0(ξξ. 故应选D.考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.4.设02x π<<，则“2sin 1x x <”是“sin 1x x <”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B. 【解析】试题分析：若“2sin 1x x <”，则由02x π<<知，1sin 0<<x ，所以xx x sin 1sin <，而1sin 1>x，此时不能推出1sin <x x ，即“2sin 1x x <”不是“sin 1x x <”的充分条件；反过来，若“sin 1x x <”，则x x x sin sin 2<，又02x π<<，所以1sin 0<<x ，所以1sin sin 2<<x x x ，即“sin 1x x <”是“2sin 1x x <”的充分条件，即“2sin 1x x <”是“sin 1x x <”的必要条件. 综上可知，“2sin 1x x <”是“s i n 1x x <”的必要不充分条件. 故应选B.考点：充分条件与必要条件.5.已知两个不同的平面αβ、和两个不重合的直线m 、n ，有下列四个命题： ①若//,m n m n αα⊥⊥，则；②若,,//m m αβαβ⊥⊥则；③若,//,,m m n n αβαβ⊥⊂⊥则； ④若//,//m n m n ααβ⋂=，则. 其中正确命题的个数是（ ）A.0B.1C.2D.3【答案】D. 【解析】试题分析：对于①，因为α⊥m ，所以直线m 与平面α所成的角为090，又因为m ∥n ，所以直线n 与平面α所成的角也为090，即α⊥n 命题成立，故正确；对于②，若α⊥m ，β⊥m ，则经过m 作平面γ，设a =⋂αγ，b =⋂βγ，又因为α⊂a ，β⊂b ，所以在平面γ内，a m ⊥，b n ⊥，所以直线a 、b 是平行直线. 因为β⊄a ，β⊂b ，a ∥b ，所以a ∥β. 经过m 作平面θ，设c =⋂αθ，d =⋂βθ，用同样的方法可以证出c ∥β. 因为a 、c 是平面α内的相交直线，所以α∥β，故正确；对于③，因为α⊥n ，m ∥n ，所以α⊥n . 又因为β⊂n ，所以βα⊥，故正确； 对于④，因为m ∥β，n =⋂βα，当直线m 在平面β内时，m ∥n 成立，但题设中没有m 在平面β内这一条件，故不正确. 综上所述，其中正确命题的个数是3个，应选D. 考点：平面的基本性质及推论.6.要得到函数()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象（ ）A.向左平移2π个单位长度 B.向右平移2π个单位长度C.向左平移4π个单位长度D.向右平移4π个单位长度【答案】C. 【解析】试题分析：因为函数()cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭)]125(2sin[]2)32sin[(πππ+=++=x x ， 所以将函数()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位长度， 即可得到函数)652sin(]3)4(2sin[πππ+=++=x x y 的图像. 故应选C.考点：函数)sin(φω+=x A y 的图像变换.7.已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是（ ）A.33⎡-⎢⎣⎦B. ]3,3[-C.33⎛-⎝⎭D.(【答案】A. 【解析】试题分析：双曲线221124x y -=的渐近线方程是x y 33±=，过右焦点)0,4(F 分别作两条渐近线的平行线1l 和2l ，由下图图像可知，符合条件的直线的斜率的范围是]33,33[-. 故应选A.考点：1、直线与圆锥曲线的关系；2、直线的斜率； 3、双曲线的简单性质.8.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为 A.360 B.520C.600D.720【答案】C. 【解析】考点：排列、组合的实际应用.9.设函数()2,0,2,0.x b x c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩若()()()40,22f f f -=-=-，则关于x 的方程()f x x =的解的个数为（ ）A.4B.3C.2D.1【答案】B. 【解析】试题分析：先由)0()4(f f =-可得，c c b =+-416，解之可得4=b ，再由2)2(-=-f 可得224-=+-c b ，解之可得2=c ，故⎩⎨⎧>≤++=0,30,24)(2x x x x x f ，令x x f =)(可得⎩⎨⎧≤=++0242x x x x 或⎩⎨⎧>=03x x，解之可得3=x 或1-=x 或2-=x ，故应选B. 考点：根的存在性及根的个数判断.10.已知向量→OA 与→OB 的夹角为θ，→→→→→→→-====PQ OB t OQ OA t OP OB OA ,)1(,,1,20t 在时取得最小值，当0105t <<时，夹角θ的取值范围为（ ） A.0,3π⎛⎫⎪⎝⎭ B.,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C.2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭D.20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C. 【解析】试题分析：由题意知，θθcos 2cos 12=⨯⨯=⋅→→OB OA ，→→→→→--=-=OA t OB t OP OQ PQ )1(，所以θcos )1(44)1()1(2)1(2222222t t t t OB OA t t OA t OB t PQ -=+-=⋅--+-=→→→→→1)cos 42()cos 45(2+--++=t t θθ，由二次函数的图像及其性质知，当上式取最小值时，θθcos 45cos 210++=t .由题意可得，51cos 45cos 210<++<θθ，求得0cos 21<<-θ，所以322πθπ<<，故应选C.考点：向量数量积表示两个向量的夹角.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.若13x x k ++->对任意的x R ∈恒成立，则实数k 的取值范围为_________. 【答案】)4,(-∞. 【解析】试题分析：要使得不等式13x x k ++->对任意的x R ∈恒成立，需31)(-++=x x x f 的最小值大于k ，问题转化为求)(x f 的最小值.首先设31)(-++=x x x f ，则有⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤≤--≤+-=3,2231,41,22)(x x x x x x f .当1-≤x 时，)(x f 有最小值为4；当31≤≤-x 时，)(x f 有最小值为4；当3≥x 时，)(x f 有最小值为4.综上所述，)(x f 有最小值为4.所以，4<k .故答案为)4,(-∞. 考点：1、含绝对值不等式；2、函数恒成立问题.12.如图给出的是计算11112462014+++⋅⋅⋅+的值的程序框图，其中判断框内应填入的是 .【答案】2014≤i . 【解析】考点：程序框图.13.已知圆C 过点()1,0-，且圆心在x 轴的负半轴上，直线:1l y x =+被该圆所截得的弦长为C 的标准方程为 .【答案】()4322=++y x .【解析】试题分析：设圆C 的圆心C 的坐标为)0)(0,(<a a ，则圆C 的标准方程为222)(r y a x =+-. 圆心C 到直线:1l y x =+的距离为：21+=a d ，又因为该圆过点()1,0-，所以其半径为1+=a r . 由直线:1l y x =+被该圆所截得的弦长为222222r d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+，即()221221+=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+a a ，解之得：3-=a 或1=a （舍）.所以21=+=a r ，所以圆C 的标准方程为()4322=++y x .考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系.14.定义：{},min ,,a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，在区域0206x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(){}22,min 2,42p x y x y x x y x y x x y++++=++，则、满足的概率为 ． 【答案】49. 【解析】试题分析：由题意知，如下图所示，实验包含的所有事件对应的集合}60,20),{(≤≤≤≤=Ωy x y x ，其面积为111=⨯=ΩS ；满足条件的事件}42,60,20),{(2++≤++≤≤≤≤=y x y x x y x y x A ，即316)314()4(203202=-=-=⎰x x dx x S A ，由几何概型的计算公式知，9462316=⨯=P . 故应填49.考点：几何概型.15.已知0,0>>y x ，若m m yxx y 2822+≥+恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】42m -<<. 【解析】试题分析：因为0,0>>y x ，所以由基本不等式知，882282=⋅≥+yxx y y x x y ，当且仅当yxx y 82=即 x y 2=等号成立. 问题m m y x x y 2822+≥+恒成立转化为m m y x x y 2822min+≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+，即m m 282+≥，由一元二次不等式解法知，42m -<<.考点：1、一元二次不等式及其解法；2、均值不等式的应用.三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，且22212a cb ac +-=.. （I ）求2sincos 22A CB ++的值； （II ）若2b =∆，求ABC 面积的最大值．【答案】（Ⅰ）41-；（Ⅱ）315． 【解析】试题分析：（Ⅰ）在△ABC 中，首先运用余弦定理公式B ac b c a cos 2222=-+，并结合已知条件22212a cb ac +-=即可求出B cos ；然后根据三角形的内角和等于π和倍角公式，将所求式子2sincos 22A CB ++化简为只关于B cos 的式子，最后将B cos 的值代入即可； （Ⅱ）将已知b =2代入22212a cb ac +-=，即可得到式子ac c a 21422=-+；（Ⅱ）∵b =2 ，∴由ac b c a 21222=-+可知，ac c a 21422=-+，即4221-≥ac ac ，∴38≤ac .∵41cos =B ，∴415sin =B ∴3154153821sin 21=⋅⋅≤⋅=∆B ac S ABC . ∴△ABC 面积的最大值为315． 考点：1、余弦定理；2、均值不等式.17.（本小题满分12分）如图，在七面体ABCDMN 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且21.MD NB MB ND P ==，，与交于点（I ）在棱AB 上找一点Q ，使QP//平面AMD ，并给出证明； （II ）求平面BNC 与平面MNC 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（Ⅰ）当13BQ AB =时，有QP //平面AMD. 证明：因为MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，所以MD //NB ， 所以12BP NB PM MD ==，又12QB QA =，所以QB NBQA MD=，所以在MAB ∆中，OP//AM. 又OP ⊄面AMD ，AM ⊂面AMD ，∴OP // 面AMD. （Ⅱ）锐二面角的余弦值为32. 【解析】试题分析：（Ⅰ）设Q 为AB 上的一点，满足13BQ AB =.由线面平行的性质证出MD//NB ，结合题中数据利用平行线的性质，得到QB NBQA MD=，从而在MAB ∆中得到OP//AM. 最后利用线面平行判定定理，证出QP // 面AMD ，说明在棱AB 上存在满足条件的点；（Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系，算出向量CM 、CN 和DC 的坐标. 利用垂直向量数量积为0的方法建立方程组，算出平面CMN 的法向量1n . 根据线面垂直的判定定理证出DC ⊥平面BNC ，从而得到DC 即是BNC 的法向量，最后利用空间向量的夹角公式加以计算，即可算出平面CMN 与平面BNC 所成锐二面角的余弦值.试题解析：（Ⅰ）当13BQ AB =时，有QP //平面AMD. 证明：因为MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，所以MD//NB ， 所以12BP NB PM MD ==，又12QB QA =，所以QB NBQA MD=，所以在MAB ∆中，OP//AM. 又OP ⊄面AMD ，AM ⊂面AMD ，∴OP // 面AMD.（Ⅱ）以DA 、DC 、DM 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则D （0,0,0），B （2,2,0），C （0,2,0），M （0,0,2）N （2,2,1），所以CM =（0,-2,2），CN =（2,0,1），DC =（0,2,0），设平面CMN 的法向量为1n =（x,y,z ）则1100n C M n CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以22020y x x z -+=⎧⎨+=⎩，所以1n =（1,-2,-2）.又NB ⊥平面ABCD ，∴NB ⊥DC ，BC ⊥DC ，∴DC ⊥平面BNC ，∴平面BNC 的法向量为2n =DC =（0,2,0），设所求锐二面角为θ，则121242cos 323n n n n θ⋅===⨯⋅.考点：1、利用空间向量求平面间的夹角；2、直线与平面平行的判定.18.（本小题满分12分）某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为432555、、，且各轮问题能否正确回答互不影响。

2016届高三教学质量调研考试理科数学参考答案一、选择题CCDBA CABDB二、填空题（11）20 （12）56π （13） 2 （14）3 （15）]1(,1)(1,12e e --U 三、解答题（16）解：（Ⅰ）1cos )sin 3(cos 2cos22=-+C B B A0cos sin 3cos cos cos =-+∴C B C B A ………… 1分0cos sin 3cos cos )cos(=-++-∴C B C B C B ………… 2分0cos sin 3cos cos sin sin cos cos =-++-∴C B C B C B C B0cos sin 3sin sin =-∴C B C B ， ………… 4分又 B 是三角形的内角3tan =∴C （或2sin()03C π-=）………… 5分又 C 是三角形的内角3π=∴C………… 6分（Ⅱ）1sin 423ABCS ab ab π∆=∴=∴= , ………… 8分 又C ab b a c cos 2222-+= ，24()2a b ab ab ∴=+--4a b ∴+= 或4a b +=或0a b -=………… 10分2a b ∴== ...........12分（17）解：（Ⅰ）证明:设线段AC 的中点为O ,连接OE OD ,.AC0190,12ABC BO AC ∠=∴== ，同理1=DO ，又1==AD AB 所以四边形ABOD 是平行四边形，所以AB DO // ………… 2分又E O , 分别是AC PC ,的中点，PA OE //∴ ………… 3分. 又,,,OD OE O PA AB A OD OE ==⊂ 面ODE ，,PA AB ⊂面PAB∴面//ODE 面PAB ………… 4分 又⊆DE 面ODE //DE ∴面PAB ………… 5分（Ⅱ）⊥⊥PA BC AB , 面ABCD ,∴以B 为原点，以为x 轴的正方向，BC 为y 轴正方向，过点B 作平行于AP 的直线为z 轴的正方向，建立空间直角坐标系xyz B - ………… 6分则)0,23,23(),2,0,1(),0,3,0(),0,0,0(D P C B设面PBC 的法向量为),,(1111z y x =则)1,0,2(,030200111111-=∴⎩⎨⎧==+∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅n y z x BC n n ………… 8分 设面DPC 的法向量为),,(2222z y x =则 )1,3,1(,023230223210022222222=∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+--∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅n y x z y x n DP n … …… 10分所以121cos ,5n n <>==………… 11分 故二面角B CP D --的余弦值为51………… 12分另解：（Ⅰ）⊥⊥PA BC AB , 面ABCD ,∴以B 为原点，以为x 轴的正方向，为y 轴正方向，过点B 作平行于的直线为z 轴的正方向，建立空间直角坐标系xyz B - 则)1,23,21(),0,0,1(),0,23,23(),2,0,1(),0,3,0(),0,0,0(E A D P C B)1,0,1(-=∴ ………… 1分设面PBA 的法向量为),,(z y x =则)0,1,0(,020011=∴⎩⎨⎧==+∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅n x z x BA n n . 或：AB BC ABC ⊥∴=∠,90 ，⊥PA 面ABCD ，BC PA ⊥，⊥∴BC 面PAB所以面PBA 的法向量为)0,1,0(= ………… 3分0DE n ∴⋅=………… 4分//DE ∴面PAB ………… 5分（Ⅱ）设面PBC 的法向量为),,(1111z y x n =则)1,0,2(,030200111111-=∴⎩⎨⎧==+∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅n y z x n BP n………… 8分设面DPC 的法向量为),,(2222z y x n =则)1,3,1(,023230223210022222222=∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+--∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅n y x z y x DC n n ………… 10分所以121cos ,5n n <>==………… 11分故二面角B CP D --的余弦值为51………… 12分备注：本题建系只在第二问给1分.（18）解：（Ⅰ）设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A ，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件1A ，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件2A ，则1A ，2A 互斥，13121()=1-=4238P A ⨯⨯（）， …………2分2312111()=(1)=4232216P A ⨯⨯⨯⨯-， ………… 4分12113()()()81616P A P A P A =+=+= ………… 5分（Ⅱ）X 所有可能的取值为0,5,15,35 …………6分37(0)(1)+416P X P A ==-=()313(5)=428P X ==⨯31211(15)=42328P X ==⨯⨯⨯312111(35)=4232216P X ==⨯⨯⨯⨯ ………… 10分………… 11分731195=0+5+15+35=16881616EX ⨯⨯⨯⨯ ………… 12分 （19）解：（I ）设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由已知可得：0d ≠，且1211125(3)=()(11)a d a d a d a d +=⎧⎨++⋅+⎩ 解得：1=-13a d ⎧⎨=⎩或1=50a d ⎧⎨=⎩（舍）34n a n ∴=- ………… 2分当1n =时， 2111423b b b =+-0n b >∴ 13b =， ………… 3分当2n ≥时，2423n n n S b b =+-① 2-1-11423n n n S b b -=+-②②-①得，22-114-22n n n n n b b b b b -=+- …………4分-1-1--2)0n n n n b b b b ⋅+=（）（ -10-=2n n n b b b >∴ ，{}n b ∴是首项为3，公差为2的等差数列.故21n b n =+. ………… 6分 （II ）11111=()(25)(63)(21)62121n n n c a b n n n n ==-+-+-+ ………… 7分1211111111111=c =-+--=1-61335572121621n n T c c n n n ⎡⎤+++⎢⎥-++⎣⎦（）（）+()++(-)（） ………… 9分11==3(21)3(23)n n n n T T n n ++∴++ 2221(23)231=1-(1)(21)23+1231n n T n n n n T n n n n n n +++==+++++，令21()=1-231f x x x ++，则当0x >时，2243()=0231x f x x x +>++，（）1n n T T +⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭为递增数列，11256n n T T T T +∴≥=， ………… 10分又+11n m n m T a T a +≥对N n *∀∈恒成立，故1345=316m m a m a m +-≤-， 解得193m ≤， ………… 11分所以正整数m 的最大值为6. ………… 12分（20）解： (I)函数()f x 的定义域为：(1,)x ∈-+∞， ………… 1分当1a =时,()()()'2211111x xxf x x x x +--=-=+++, …………2分 ()()'1,0,0x f x ∴∈-> 函数()f x 在()1,0-上单调递增, …………3分()()'0,,0x f x ∴∈+∞> 函数()f x 在()0,+∞上单调递减 …………4分()()max 00f x f ∴== ……………5分(II) 令()()1x f x ϕ=+ 因为“对任意的1212,[0,2],()1()x x f x g x ∈+≥恒成立”等价于“当0a <时，对任意的12min max ,[0,2],()()x x x g x ϕ∈≥成立”， ……………6分 由于()()()'2211111a ax a x x x x ϕ--+=-=+++ 当0a <时,[]0,2x ∀∈有()'0x ϕ>,从而函数()x ϕ在[]0,2上单调递增, 所以()()min 01x ϕϕ== ……………8分22()2e e (2)e mx mx mx g x x x m mx x '=+⋅=+ ……………9分当0m =时，2()g x x =，[0,2]x ∈时，max ()(2)4g x g ==，显然不满足max ()1g x ≤， ……………10分当0m ≠时，令()0g x '=得，1220,x x m==-， （i ）当22m-≥，即10m -≤≤时，在[0,2]上()0g x '≥，所以()g x 在[0,2]单调递增，所以2max ()(2)4e m g x g ==，只需24e 1m ≤，得ln 2m ≤-，所以1ln 2m -≤≤- ……………11分(ii) 当202m <-<，即1m <-时，在2[0,],()0g x m '-≥，()g x 单调递增，在2[,2],()0g x m '-<，()g x 单调递减，所以max 2224()()eg x g m m =-=，只需2241em ≤，得2e m ≤-，所以1m <- ……………12分(iii) 当20m-<，即0m >时，显然在[0,2]上()0g x '≥，()g x 单调递增，2max ()(2)4e m g x g ==，24e 1m ≤不成立，综上所述，m 的取值范围是(,ln 2]-∞- ……………13分21. 解：（Ⅰ）因为若抛物线24y x =的焦点为()1,0与椭圆C 的一个焦点重合，所以1c = ………1分又因为椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以1b c ==故椭圆C 的方程为2212x y +=， ……………3分“相关圆”E 的方程为2223x y +=……………4分（Ⅱ）（i ）当直线l 的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为3x =，则,,3333A B ⎛⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2AOB π∠= ……………5分 当直线l 的斜率存在时，设其方程设为y kx m =+，设()()1122,,,A x y B x y联立方程组2212y kx m x y ++==⎧⎪⎨⎪⎩得222()2x kx m ++=,即222(12)4220k x kmx m +++-=, …………6分△=222222164(12)(22)8(21)0k m k m k m -+-=-+>,即22210(*)k m -+>12221224122212km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩……………7分因为直线与相关圆相切，所以d ===22322m k =+……………8分22222221212121222(1)(22)4(1)()1212k m k m x x y y k x x km x x m m k k +-∴+=++++=-+++222322012m k k--==+ O A O B ∴⊥ 2A OB π∴∠=为定值 ……………9分 （ii ）由于PQ是“相关圆”的直径，所以12ABQ S AB PQ ∆==，所以要求ABQ ∆面积的取值范围，只需求弦长AB 的取值范围当直线AB 的斜率不存在时，由（i）知3AB =……………10分因为||AB==……………11分==,①0k≠时||AB=221448kk++≥所以22111844kk<≤++,所以22881[1]313344kk<+≤++,||AB<≤当且仅当k=”=”……………12分②当0k=时,||AB=|AB |||AB≤≤……………13分ABQ∴∆面积的取值范围是43⎡⎢⎣……………14分。

2016—2017学年山东师大附中高三（上）第一次模拟数学试卷（理科）一、选择题:本题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x｜x2﹣2x﹣8≤0}，集合N=｛x|lgx≥0}，则M∩N=()A．｛x｜﹣2≤x≤4｝B．{x｜x≥1｝C．｛x｜1≤x≤4} D．{x|x≥﹣2｝2．下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递增的函数是（）A．f(x）=x2B．f（x）=2|x|C．f（x）=log2D．f（x）=sinx3．设φ∈R，则“φ=”是“f（x）=cos（2x+φ）为奇函数”的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．由曲线y=,直线y=x所围成的封闭曲线的面积是（)A．B．C．D．15．已知﹣＜α＜0，sinα+cosα=，则的值为（）A．B．C．D．6．若变量x，y满足约束条件,且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（）A．5 B．6 C．7 D．87．己知命题“∃x∈R，2x2+(a﹣1)x+≤0是假命题，则实数a的取值范围是() A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，3）C．(﹣3,+∞）D．（﹣3，1）8．将函数y=sin(2x﹣）图象向左平移个单位,所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．x=B．x=C．x=D．x﹣=9．函数y=2x2﹣e|x｜在［﹣2，2］的图象大致为（）A．B．C．D．10．设函数f′(x）是函数f(x）(x∈R)的导函数，f（0）=1,且3f（x）=f′（x）﹣3，则4f（x)＞f′（x）的解集为（）A．(，+∞）B．（,+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）二、填空题:本题共5小题,每小题5分．11．已知cos(﹣θ）=,则sin(+θ)的值是．12．已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=+的最小值为．13．已知f（x）=,若f（a)=﹣3，则f（6﹣a）=．14．若函数f（x）=｜2x﹣2｜﹣b有两个零点,则实数b的取值范围是．15．对于函数f（x)=,有下列5个结论:①任取x1，x2∈［0，+∞），都有｜f（x1）﹣f(x2）｜≤2；②函数y=f(x）在区间[4，5］上单调递增；③f（x）=2kf（x+2k）（k∈N），对一切x∈［0，+∞）恒成立；+④函数y=f(x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；⑤若关于x的方程f(x）=m（m＜0）有且只有两个不同实根x1，x2，则x1+x2=3．则其中所有正确结论的序号是．（请写出全部正确结论的序号)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+,x∈R．(Ⅰ）求f(x）的最小正周期；(Ⅱ）求f（x)在闭区间［﹣,]上的最大值和最小值．17．已知函数f（x）=ax2+blnx（x＞0）在x=1处有极值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求出函数y=f(x）的单调区间．18．已知函数f(x）=Asin(ωx+φ）（A＞0,ω＞0，｜φ|＜满足下列条件：①周期T=π;②图象向左平移个单位长度后关于y轴对称; ③f（0)=1．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式;（Ⅱ）设α，β∈(0，)，f(α﹣）=﹣,f（β+）=，求cos（2α﹣2β）的值．19．已知函数f（x)=x3﹣ax2+10，（I)当a=1时,求曲线y=f(x）在点（2，f（2)）处的切线方程;（II）在区间[1,2］内至少存在一个实数x,使得f(x)＜0成立,求实数a的取值范围．20．设函数f(x）=a﹣lnx（a＞0）．（1）若f（x）在[1，+∞）上递增,求a的取值范围；(2）求f（x)在[1,4］上的最小值．21．已知函数f（x）=lnx﹣ax2+（a﹣1）x（a＜0）．（Ⅰ）求函数f（x)的单调区间；（Ⅱ）记函数f（x)=F(x)的图象为曲线C．设点A（x1，y1),B（x2,y2)是曲线C上的不同两点．如果在曲线C上存在点M(x0，y0），使得：①x0=；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x)存在“中值相依切线”．试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”,请说明理由．2016—2017学年山东师大附中高三（上）第一次模拟数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M=｛x|x2﹣2x﹣8≤0｝，集合N=｛x｜lgx≥0｝，则M∩N=（)A．{x|﹣2≤x≤4}B．{x｜x≥1｝C．{x|1≤x≤4}D．{x|x≥﹣2｝【考点】交集及其运算．【分析】求出M中不等式的解集确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：由M中不等式变形得:（x﹣4）(x+2)≤0,解得:﹣2≤x≤4，即M=[﹣2，4］，由N中lgx≥0，得到x≥1，即N=［1,+∞），则M∩N=[1，4]，故选：C．2．下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递增的函数是（）A．f(x）=x2B．f（x）=2|x|C．f(x）=log2D．f(x）=sinx【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义和性质分别进行判断即可．【解答】解：A．f（x)=x2是偶函数，在（﹣∞,0）上单调递减,不满足条件．B．f(x）=2｜x｜是偶函数，在（﹣∞,0）上单调递减,不满足条件．C．f（x）=﹣log2是偶函数，在(﹣∞,0)上单调递增，满足条件．D．f(x）=sinx是奇函数，不满足条件．故选：C．3．设φ∈R，则“φ=”是“f（x）=cos(2x+φ)为奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用充分、必要条件性质判断即可．【解答】解：若φ=,则有f（x）=cos（2x+）=﹣sin2x，为奇函数，充分条件；若f（x）=cos（2x+φ）为奇函数，则有f（﹣x）=﹣f（x），即cos（﹣2x+φ）=﹣cos(2x+φ），不一定φ=，不必要条件，则“φ=”是“f（x）=cos(2x+φ）为奇函数”的充分不必要条件，故选：A．4．由曲线y=，直线y=x所围成的封闭曲线的面积是（）A．B．C．D．1【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】联立方程组求出定积分的上下限，再根据定积分的几何意义即可求出．【解答】解：联立方程组得到或，故由曲线y=，直线y=x所围成的封闭曲线的面积是（﹣x）dx=（﹣）｜==，故选：A．5．已知﹣＜α＜0，sinα+cosα=，则的值为(）A．B．C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】先求出sin2α,再求出cos2α，即可求出的值．【解答】解：∵sinα+cosα=,∴1+2sinαcosα=，∴sin2α=﹣,∵﹣＜α＜0，sinα+cosα=,∴﹣π＜2α＜0,｜sinα|＜｜cosα｜，∴cos2α=，∴==，故选：C．6．若变量x,y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m﹣n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图:由z=2x+y，得y=﹣2x+z,平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A,直线y=﹣2x+z的截距最小,此时z最小，由，解得,即A(﹣1,﹣1），此时z=﹣2﹣1=﹣3，此时n=﹣3,平移直线y=﹣2x+z,由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由,解得,即B（2，﹣1)，此时z=2×2﹣1=3，即m=3,则m﹣n=3﹣(﹣3）=6，故选:B．7．己知命题“∃x∈R,2x2+(a﹣1)x+≤0是假命题，则实数a的取值范围是(）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1,3）C．（﹣3，+∞）D．（﹣3,1）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】写出原命题的否命题，据命题p与￢p真假相反，得到恒成立,令判别式小于0,求出a的范围．【解答】解：∵“∃x∈R,2x2+（a﹣1)x+≤0"的否定为“∀x∈R，“∵“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+”为假命题∴“为真命题即恒成立∴解得﹣1＜a＜3故选B8．将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位,所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．x=B．x=C．x=D．x﹣=【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位,所得函数图象对应的函数的解析式为y=sin[2（x+）﹣］=sin（2x+），当x=时，函数取得最大值，可得所得函数图象的一条对称轴的方程是x=，故选：C．9．函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2,2]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x)=y=2x2﹣e|x|，∴f(﹣x）=2(﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数,当x=±2时,y=8﹣e2∈（0，1），故排除A,B;当x∈[0,2]时，f(x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解,故函数y=2x2﹣e｜x|在[0，2］不是单调的，故排除C,故选：D10．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且3f(x）=f′（x)﹣3，则4f （x)＞f′（x）的解集为(）A．(，+∞）B．（,+∞）C．（,+∞) D．（,+∞）【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】根据题意,设函数f（x）=ae bx+c,由f（0）=1得a+c=1；再由3f（x）=f′（x)﹣3,得；由此求出f（x)的解析式，再解不等式4f(x）＞f′（x)即可．【解答】解：∵3f(x）=f′（x）﹣3，∴f′(x）=3f（x）+3；可设f（x)=ae bx+c，由f（0)=1，∴a+c=1;又3f(x）=f′（x）﹣3,∴3ae bx+3c=abe bx﹣3，即(3a﹣ab）e bx=﹣3﹣3c，∴，解得b=3，c=﹣1，a=2；∴f（x）=2e3x﹣1，x∈R;又4f（x）＞f′（x）,∴8e3x﹣4＞6e3x，即e3x＞2，解得x＞,所求不等式的解集为（，+∞）．故选：B．二、填空题：本题共5小题，每小题5分．11．已知cos(﹣θ）=，则sin（+θ）的值是．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．【解答】解：cos（﹣θ）=,则sin（+θ)=cos(﹣﹣θ）=cos（﹣θ)=．故答案为：．12．已知a＞0,b＞0，a+b=2,则y=+的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】利用题设中的等式，把y的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得y的最小值．【解答】解：∵a+b=2，∴=1∴y==（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立）则的最小值是故答案为：．13．已知f(x)=,若f(a)=﹣3，则f(6﹣a)=．【考点】对数的运算性质;函数的值；分段函数的应用．【分析】分类讨论满足f（a）=﹣3的a值,进而可得f（6﹣a）的值．【解答】解：当a≤1时，f（a）=2a﹣1﹣2=﹣3无解，当a＞1时，解f（a）=﹣log2(a+1）=﹣3得:a=7，∴f(6﹣a)=f（﹣1）=2﹣2﹣2=，故答案为:14．若函数f（x）=|2x﹣2｜﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是0＜b＜2．【考点】函数的零点．【分析】由函数f(x）=｜2x﹣2｜﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，从而可得函数y=｜2x﹣2｜函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可求b的范围【解答】解：由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点,可得|2x﹣2|=b有两个零点，从而可得函数y=｜2x﹣2｜函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可得，0＜b＜2时符合条件,故答案为：0＜b＜215．对于函数f(x）=，有下列5个结论：①任取x1，x2∈[0，+∞），都有｜f（x1）﹣f（x2）|≤2；②函数y=f（x）在区间[4，5]上单调递增；③f（x）=2kf（x+2k）(k∈N）,对一切x∈[0,+∞）恒成立；+④函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点;⑤若关于x的方程f（x）=m(m＜0）有且只有两个不同实根x1，x2，则x1+x2=3．则其中所有正确结论的序号是①④⑤．（请写出全部正确结论的序号)【考点】命题的真假判断与应用；分段函数的应用．【分析】作出f（x)=的图象,分别利用函数的性质进行判断即可．【解答】解：f（x）=的图象如图所示：①∵f（x）的最大值为1，最小值为﹣1,∴任取x1、x2∈［0,+∞），都有｜f（x1）﹣f(x2）|≤2恒成立，故①正确；②函数在区间［4,5]上的单调性和[0，1］上的单调性相同,则函数y=f（x）在区间[4，5］上不单调;故②错误；③f(）=2f（+2）=4f（+4)=6f（+6）≠8f（+8），故不正确;故③错误，④如图所示，函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；故④正确，⑤当1≤x≤2时，函数f(x）关于x=对称，若关于x的方程f（x)=m(m＜0）有且只有两个不同实根x1，x2，则=,则x1+x2=3成立，故⑤正确,故答案为：①④⑤．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知函数f（x)=cosx•sin(x+）﹣cos2x+，x∈R．（Ⅰ）求f（x)的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】（Ⅰ）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式求出此函数的最小正周期；（Ⅱ）由(Ⅰ）化简的函数解析式和条件中x的范围，求出的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得,f（x)=cosx•（sinx cosx)====所以，f(x）的最小正周期=π．(Ⅱ）由(Ⅰ）得f（x）=，由x∈[﹣，］得，2x∈[﹣，］，则∈[,］，∴当=﹣时，即=﹣1时，函数f（x）取到最小值是：，当=时，即=时，f（x）取到最大值是：,所以，所求的最大值为,最小值为．17．已知函数f（x)=ax2+blnx（x＞0）在x=1处有极值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求出函数y=f(x)的单调区间．【考点】函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）函数f(x）=ax2+blnx在x=1处有极值，得到f（1)=,f′（1）=0得到a、b即可；（2）找到函数的定义域，求出导函数，列表讨论，能求出函数f(x）的单调区间．．【解答】解：（Ⅰ)因为函数f（x)=ax2+blnx，所以．…又函数f（x）在x=1处有极值，所以即…可得,b=﹣1．…经检验,此时f'（x）在x=1的左右符号相异，所以，b=﹣1．…(Ⅱ)由（Ⅰ）可知，其定义域是（0,+∞），且．…当x变化时，f′（x)，f（x）的变化情况如下表：x（0，1) 1 (1，+∞）f′（x) ﹣0 +f（x) 单调递减极小值单调递增所以函数y=f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是(1，+∞)．…18．已知函数f(x）=Asin（ωx+φ）(A＞0，ω＞0，|φ|＜满足下列条件：①周期T=π;②图象向左平移个单位长度后关于y轴对称；③f（0)=1．（Ⅰ）求函数f(x）的解析式;（Ⅱ）设α，β∈（0，），f(α﹣）=﹣,f（β+）=，求cos（2α﹣2β）的值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin(ωx+φ）的图象变换．【分析】（Ⅰ）根据f(x)的周期求出ω的值，根据f(x）的图象平移以及g(x）的图象关于y 轴对称，求出φ的值，再由f（0)=1求出A的值，即得f（x）的解析式；(Ⅱ）根据f（α﹣）与f（β+）的值求出cos2α、cos2β，再根据α、β的范围求出sin2α、sin2β，从而求出cos（2α﹣2β）的值．【解答】解：（Ⅰ)∵f（x)的周期为T==π,∴ω=2；又函数f（x）的图象向左平移个单位长度,变为g（x)=Asin[2（x+）+φ］，由题意,g（x）的图象关于y轴对称,∴2×+φ=+kπ，k∈Z；又|φ｜＜,∴φ=，∴函数f（x)=Asin（2x+）；又f(0)=1，∴Asin=1,解得A=2，∴函数f（x）=2sin（2x+）；(Ⅱ)由f（α﹣）=﹣，f（β+）=，得2sin（2α﹣+)=﹣，2sin（2β++）=，∴cos2α=，cos2β=；又α、β∈（0,），∴2α、2β∈（0，），∴sin2α=，sin2β=,∴cos(2α﹣2β）=cos2αcos2β+sin2αsin2β=×+×=．19．已知函数f(x）=x3﹣ax2+10，（I）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（II）在区间[1，2]内至少存在一个实数x，使得f（x)＜0成立,求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（I）求出导函数，求出f′（2）即切线的斜率，求出f（2），利用点斜式写出切线的方程．（II）分离出参数a,构造函数g（x）,求出g（x)的导函数，判断出g（x）在区间［1，2］内的单调性，求出g（x）的最小值，求出a的范围．【解答】解：（I）当a=1时，f′（x)=3x2﹣2x，f（2）=14，曲线y=f（x）在点（2，f（2))处的切线斜率k=f′(2）=8，所以曲线y=f（x)在点（2，f（2）)处的切线方程为8x﹣y﹣2=0．（II）．有已知得:，设，，∵1≤x≤2∴g′（x）＜0所以g（x）在[1，2］上是减函数．∴，所以．20．设函数f（x)=a﹣lnx（a＞0）．（1)若f（x）在[1，+∞)上递增,求a的取值范围；（2)求f（x)在［1，4］上的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求导函数，根据f（x）在［1，+∞）上递增,可得在[1，+∞）上，恒成立，由此可求a的取值范围；（2）由，x∈［1，4］，分类讨论，确定函数的单调性，从而可求f（x)在［1，4]上的最小值．【解答】解：(1）求导函数，可得∵f（x)在［1，+∞)上递增，∴在［1，+∞)上，恒成立∴在[1，+∞）上，∴a≥2∴a的取值范围为［2,+∞）；（2）由，x∈［1，4]①当a≥2时，在x∈[1，4]上,f'（x）≥0,∴f min（x)=f（1）=a②当0≤a≤1时,在x∈［1，4]上，f’（x)≤0，∴f min（x）=f(4）=2a﹣2ln2③当1＜a＜2时,在上f'（x）≤0,在上f’（x）≥0此时综上所述：21．已知函数f（x）=lnx﹣ax2+（a﹣1)x（a＜0)．（Ⅰ）求函数f(x）的单调区间；（Ⅱ)记函数f（x)=F（x）的图象为曲线C．设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点．如果在曲线C上存在点M(x0，y0），使得:①x0=;②曲线C在点M处的切线平行于直线AB,则称函数F（x）存在“中值相依切线"．试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”,请说明理由．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）根据对数函数的定义求得函数的定义域，再根据f（x）的解析式求出f（x)的导函数，然后分别令导函数大于0和小于0得到关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相应的x的范围即分别为函数的递增和递减区间；（II)假设函数f（x）的图象上存在两点A（x1，y1）,B（x2，y2），使得AB存在“中值相依切线”，根据斜率公式求出直线AB的斜率,利用导数的几何意义求出直线AB的斜率，它们相等,再通过构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可证明结论．【解答】解:（Ⅰ)函数f（x）的定义域是(0，+∞）．…由已知得，．…（1）当a＞0时,令f'（x)＞0，解得0＜x＜1；令f'(x）＜0,解得x＞1．所以函数f（x）在(0，1）上单调递增，在（1,+∞)上单调递减．…（2）当a＜0时,①当时，即a＜﹣1时，令f’(x)＞0，解得或x＞1；令f'（x）＜0，解得．所以，函数f（x）在和(1,+∞）上单调递增，在上单调递减；…②当时，即a=﹣1时，显然，函数f(x）在（0，+∞）上单调递增；…③当时,即﹣1＜a＜0时，令f'(x）＞0，解得0＜x＜1或;令f'（x）＜0，解得．所以，函数f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减．…综上所述，（1）当a＞0时，函数f（x）在（0，1）上单调递增,在（1，+∞）上单调递减；（2）当a＜﹣1时，函数f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减;(3）当a=﹣1时,函数f(x）在(0，+∞)上单调递增;（4）当﹣1＜a＜0时，函数f（x）在（0，1)和上单调递增，在上单调递减．…（Ⅱ)假设函数f（x）存在“中值相依切线"．设A（x1,y1），B（x2，y2）是曲线y=f（x）上的不同两点,且0＜x1＜x2，则，．==…曲线在点M（x0，y0）处的切线斜率k=f’（x0）==,…依题意得:=．化简可得：=，即==．…设(t＞1），上式化为：,即．…令，=．因为t＞1，显然g’（t）＞0,所以g（t）在（1，+∞）上递增，显然有g(t）＞2恒成立．所以在(1,+∞)内不存在t,使得成立．综上所述，假设不成立．所以,函数f(x)不存在“中值相依切线”．…2017年1月8日。