随机利率模型下几何平均亚式期权定价的新解法

第29卷第11期计算机应用与软件Vol.29No．112012年11月Computer Applications and Software Nov．2012随机波动率下的亚式期权定价问题在GPU 集群上的实现徐磊1徐莹1姜广鑫2梁义娟2寇大治1徐承龙21（上海超级计算中心上海201203）2（同济大学数学系上海200092）收稿日期：2011－11－28。

国家高技术研究发展计划（2009AA012201）；上海市科委科研计划项目（08dz1501600）；上海浦江人才计划（10PJ1430600）。

徐磊，工程师，主研领域：并行计算，高性能系统评测，GPU 应用移植及优化。

徐莹，高工。

姜广鑫，硕士生。

梁义娟，博士。

寇大治，工程师。

徐承龙，教授。

摘要期权定价作为计算金融领域的核心问题之一，越来越受到关注。

随着期权交易的规模和交易量的迅速增长，当前的期权定价平台越来越受到挑战，在尽可能短的时间内对期权进行定价变得越来越困难。

传统的计算平台通常使用基于CPU 的计算集群，而图形处理器（GPU ）具有更高的浮点性能和访存带宽，在价格与功耗方面也优于CPU 。

尝试使用GPU 集群来对具有随机波动率的亚式期权进行定价，同时使用带控制变量的Monte Carlo 方法，减小模拟的方差。

最终的测试结果表明GPU 集群较CPU 集群具有更多的优势，适合应用于期权定价领域。

关键词GPU 集群CUDA亚式期权随机波动蒙特卡洛MPI中图分类号TP301文献标识码ADOI ：10．3969/j．issn．1000-386x．2012．11．021IMPLEMENTATION OF PRICING ASIAN OPTIONS WITH STOCHASTICVOLATILITY ON GPU CLUSTERXu Lei 1Xu Ying 1Jiang Guangxin 2Liang Yijuan 2Kou Dazhi 1Xu Chenglong 21（Shanghai Supercomputer Center ，Shanghai 201203，China ）2（Department of Mathematics ，Tongji University ，Shanghai 200092，China ）Abstract Options pricing is one of the core issues in the field of computational finance ，which has attracted increasing focus．With therapid growth of options trading in both scale and volume ，there is growing challenge on existing options pricing platforms ，and to price an option in shortest possible period of time has become increasingly difficult．Traditional computing platforms often use CPU-based computationclusters ，but compared with the tradition CPU ，GPU （Graphic Processing Unit ）can possess higher floating-point performance andbandwidth ，and its cost and power consumption outperform CPU as well．In this paper ，we try to use GPU cluster to price Asian options with stochastic volatility ，and meanwhile use Monte Carlo method with control variables to reduce the variance simulated．Final testing results show that the GPU cluster has more advantages than the CPU cluster and is well suited for pricing options．KeywordsGPU clusterCUDAAsian optionsStochastic volatilityMonte CarloMPI0引言期权，在期货基础上发展而来，是金融领域中投资者用以进行套利和规避风险的一种衍生性金融工具。

CHINACOLLECTIVEECONOMY现新起点计量行为，企业需进行二次确认。

2.税务财务会计确认的基础由于各国税法在一个很长的历史阶段都是按收付实现制原则计税，因为它符合税收的支付能力原则，税务会计当然也要按收付实现制原则确认纳税义务的发生时点。

在财务会计采用权责发生制之后，各国税法也先后由收付实现制改为权责发生制，税务会计当然也就采用权责发生制。

这样，可以减少与财务会计的差异，降低征纳双方的成本。

因为企业涉税行为纷繁复杂，税法并未采取“一刀切”的做法，而是在以权责发生制为主要确认基础的前提下，对特定事项或特定行为，仍然以收付实现制为确认基础或以两者相结合的为确认基础。

在税务会计中，应税收入、扣除费用和应税所得等的确认，除符合税法规定的确认基础外，同时还必须取得符合规定的票据，否则，还是不能实际予以确认。

以权责发生制为确认基础我国《企业所得税法实施条例》第九条明确规定，企业应纳税所得额的计算，以权责发生制为原则，属于当期的收入和费用，不论款项是否收付，均作为当期的收入和费用；不属于当期的收入和费用，即使款项已经在当期收付，均不作为当期的收入和费用。

除税法特别规定外，税法扣除的基本原则是以权责发生制为原则，只要是当期的收入和费用，不论款项是否收付，均作为当期的费用，而不是按收付实现制原则扣除。

“应纳税所得额”的确认以权责发生制为基础，基于不同时期企业享受的税收政策可能不同，特别强调应税收入、扣除费用的确认时间不能提前或滞后。

参考文献：1.盖地.论会计确认[J].会计之友,2012(3).2.牛晓叶,曹志文.企业碳能力的会计确认、计量与报告[J].财会研究,2012(5).3.赵艳丽.现行会计确认、计量模式的评价与思考[J].财会月刊,2010(30).4.罗绍德,王永超.现值:计量属性还是计量方法———基于可靠性视角的解读[J].财经科学,2011(9).5.周洁,谢新安.论公允价值会计的确认[J].商业时代,2012(27).6.赵艳丽,杨光.我国现行会计确认、计量模式存在的问题及对策分析[J].湖南财经高等专科学校学报,2010(3).7.郑淘.会计准则对会计确认与计量的影响分析[J].财会通讯(学术版),2007(3).（作者单位：福建邵化化工有限公司）摘要：文章在随机利率情形下讨论了含多种股票投资的欧式未定权益定价问题。

263Vol.26No.3 20037ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA July,2003 Vasiˇc ek∗(200092)(230026)Vasiˇc ekCauchyCauchy1(Call/Put Option)(Exotic Option).Black-ScholesVasiˇc ek T,[0,T]2001107∗(10201029)46826Monte Carlo[1,2],[3–5].Turnbull &Wakeman (1991)Levy (1992).LaplaceTaylor([6–9]),[3,10,11].Cauchy[12].1CauchyCauchy2T ,[0,T ]T 0(Zero-Coupon).(Ω,F,P )rSd r t =(β−αr t )d t +γd Z t ,d S t =S t (r t dt +σB t ).(2.1)(Z t ,B t )(Ω,F,P )2(F t )t ≥0σ-α,β,λ=0σ=0T ,1TTS (τ)d τTξ=S T −1TTS (τ)d τ+.(2.2)C (t )C (t )=E p ξexp−Ttr s d s F t .(2.3)I t =tS (τ)d τ,(t,r t ,S t ,I t )MarkovianC (t )(t,r,S,I )C (t,r,S,I ).Feymann-kac3Vasiˇc ek469 PDE Cauchy⎧⎪⎨⎪⎩∂V∂t+12σ2S2∂2V∂S2+12γ2∂2V∂r2+rS∂V∂S+(β−αr)∂V∂r+S∂V∂I−rV=0,V(T,S,r,I)=S−IT+,(2.4)0≤t<T,−∞<r<+∞,0≤S,I<+∞.(2.4),x=IT S ,V(t,S,r,I)=Sf(t,x,r),⎧⎨⎩∂f∂t+1T−rx∂f∂x+12σ2x2∂2f∂x2+(β−αr)∂f∂r+12γ2∂2f∂r2=0,f(T,x,r)=(1−x)+.(2.5)t→T∂2f(x,t,r)∂x2→δ(1−x),δ(ξ)0DiracT(2.5)f=f1+f2,f1f2PDE:⎧⎨⎩∂f1∂t+rx∂f1∂x+12σ2x2∂2f1∂x2+(β−αr)∂f1∂r+12γ2∂2f1∂r2−rf1=0,f1(T,x,r)=(1−x)+(2.7)⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩∂f2∂t+1T−rx∂f2∂x+12σ2x2∂2f2∂x2+(β−αr)∂f2∂r+12γ2∂2f2∂r21 =−1T−2rx∂f1∂x−rf,f2(T,x,r)=0,(2.7)0≤t<T,−∞<r<+∞,0≤x<+∞.f1Vasiˇc k1Call-PutC(t,r t,S t,K)−P(t,r t,S t,K)=S t−KP(t,T),(2.8) P(t,T)T0t Vasiˇc k([13]):C(t,r t,S t,K)=S t N(d1)−Ke−C1(t,T,r t)+σ2X2N(d2).(2.9)d1=log S tK+12σ2Y+C(t,T,r t)σ2X+σ2Y,d2=log S tK−σ2X+12σ2Y+C(t,T,r t)σ2X+σ2Y,σ2X=1αTtγ2e2α(T−u)d u,σ2Y=σ2(T−t),C1(t,T,r t)=γα(eα(T−t)−1)−γα2(T−t+1)+γα2eα(T−t).47026(2.6)f1(t,x,r)=xN(d1)−e−C1(t,T,r)+σ2X2N(d2)+e A(t,T)−B(t,T)r−x,(2.10)B(t,T)=1α[1−e−α(T−t)],A(t,T)= Tt12γ2B(s,T)−βB(s,T)d s.∂f1∂x=N(d1)−1,τ=T−t,(2.7)⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩∂f2∂τ−1T−rx∂f2∂x−12σ2x2∂2f2∂x2+(β−αr)∂f2∂r−12γ2∂2f2∂r2 =1T−2rxN(d1)−1+rf1=F(τ,x,r),f2(0,x,r)=0.(2.11)Cauchyx∈[0,X],r∈[−R,R],τ∈[0,T],∆x=XN,∆r=2RM,∆τ=TK.∂f∂τki,j=f k+1i,j−f k i,j∆τ+O(∆τ),∂f∂xki,j=f k i+1,j−f k i−1,j2∆x+O(∆x2),∂f∂rki,j=f k i,j+1−f k i,j−12∆r+O(∆r2),∂2f∂xki,j=f k i+1,j+f k i−1,j−2f k i,j∆x+O(∆x2),∂2f∂r2ki,j=f k i,j+1+f k i,j−1−2f k i,j∆r2+O(∆r2),(2.11),f k+1 i,j =1−σ2x2∆τ∆x2−γ2∆τ∆r2f k i,j+∆τ2∆xσ2x2i∆x+1−r j x if k i+1,j+∆τ2∆rγ2∆r+β−αr jf k i,j+1+∆τ2∆xσ2x2i∆x−1+r j x if k i−1,j+∆τ2∆rγ2∆r+αr j−βf k i,j−1+∆τF k i,j,(2.12)1≤i≤N−1,−M+1≤j≤M−1,1≤k≤K−1.∆r=∆x,∆x≤min{σ2x2i|1−r j x i|,γ2β−αr j},∆τ∆x2≤1γ2+σ2x2i3Vasiˇc ek471(2.12)O (∆τ+∆x 2),f k N,j ,f k 0,j ,f k i,M ,f ki,−M ,0≤i ≤N ,−M ≤j ≤M ,1≤k ≤K∀0<p <1,f k N,j =pf k −1N,j +(1−p )f kN −1,j ;(2.13)f k 0,j =pf k −10,j +(1−p )f k 1,j ;(2.14)f k i,M =pf k −1i,M +(1−p )f k i,M −1;(2.15)f k i,−M =pf k −1i,−M +(1−p )f k i,−M +1;(2.16)3f1S =100,I =1t t0S (τ)d τ=1003,T =3t =0.03,σ=30%,α=1,β=0.05γ=0.1γ=0.05r =Vasick Constant Vasick 0.115.847818.673315.63400.318.291134.416118.17360.520.814347.859820.74790.723.344257.774423.3150S =50,I =1t t0S (τ)d τ=1003,T =3t =0.03,σ=30%,α=1,β=0.05γ=0.1γ=0.05r =Vasick Constant Vasick 0.18.00239.39147.89230.39.249317.33959.18640.510.541324.203010.50410.711.840029.258711.82202β=0.1S =100,I =1t t0S (τ)d τ=1003,T =3t =0.03,σ=30%,α=1,β=0.1γ=0.1γ=0.05r =Vasick Constant Vasick 0.118.794018.673318.69760.321.396234.416121.34730.521.396247.859823.9827S =50,I =1t t0S (τ)d τ=1003,T =3t =0.03,σ=30%,α=1,β=0.1γ=0.1γ=0.05r =Vasick Constant Vasick 0.19.45869.39149.40540.310.793417.339510.76440.512.132524.203012.1204γ47226γβ<r,β=rβ1,23T=3,t=0.03,σ=30%,r=10%,α=1,β=0.1x1T=3,t=0.03,σ=30%,x=1,α=1,β=0.05r23Vasiˇc ek473 T=3,t=0.03,σ=30%,r=10%,α=1,β=0.05x34VasicekCauchy1Kemna A G Z,Vorst A C F.A Pricing Method for Options Based on Average Asset Values.Journal of Banking and Finance,1990,14:113–1292Carverhill A,Clewlow L.Flexible Convolution.RISK,1990,5:25–293Rogers L,Shi Z.The Value of an Asian Option.Journal of Applied Probability,1995,32:1077–1088 4Alziary B,Decamps J,Koehl P,A P.D.E.Approach to Asian Option:Analytical and Numerical Evidence.Journal of Banking and 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Av-erage Rate Options.Journal of Computational Finance,2001,5(1):1–2013Wang L J,Zhang S.Princing the Reset Option under Stochastic Interest Rate.Applied Mathematics,A Journal of Chinese Universities,2002,17:471–478PRICING THE ASIAN OPTION UNDERV ASIˇCEK INTEREST RATEWANG Lijun(Department of Applied Mathematics,Tong-Ji University,Shanghai200093)ZHANG Shuguang(Department of Statistics and Finance of University of Science&Technology of China,Hefei230026) Abstract This paper presents a theory of continuous sampled Asian option pricing when the interest rate is modeled by Vasiˇc ek model.For arithmetic Asian option,we subtract an explicit formula from the solution of the price and get a PDE satisfied by the residue with smooth coefficients and0initial condition.We adopt infinite difference scheme to calculate the solution numerically.Key words Asian option,floating strike price,infinite difference scheme。

基于Hull-White随机波动率模型的算术平均亚式期权Monte-Carlo定价梁艳;王玉文【摘要】在Black-Schole期权定价模型中,假设股票红利q、无风险利率r及股票收益的标准差σ都是常数.然而在实际的交易市场,波动率却是随机变化的,而非常数.因此,把波动率考虑到期权定价公式中是十分必然的.在建立随机波动率定价模型中,假设波动率是一个随机变量,以亚式期权为研究对象,让随机波动率满足Hull-White 模型,对算术平均亚式期权进行Monte-Carlo模拟定价.【期刊名称】《哈尔滨师范大学自然科学学报》【年(卷),期】2017(033)005【总页数】4页(P1-4)【关键词】Hull-White模型;亚式期权;Monte-Calor模拟【作者】梁艳;王玉文【作者单位】哈尔滨师范大学;哈尔滨师范大学【正文语种】中文【中图分类】O290 引言自1973年著名的Black-Scholes期权定价公式的问世,金融市场迎来了前所未有的变革.随着国际金融衍生品市场越来越复杂，应运而生了大量的新型期权，它们的交易方式、交易价格等更能适应市场和投资的需求，其中研究比较多的就是亚式期权.近年来，如何科学的给亚式期权定价成为非常受欢迎的金融研究课题[1,5]. 在现有的对亚式期权定价模型中，常假设波动率是不变的,但实际市场的波动率却是随机的，所以建立的随机波动率模型需要把这个问题考虑进去.宋逢明[2]研究了Hull-White三叉树利率期限结构模型，并进行了模拟，结果表明其实用性很强.该文研究的Hull-White模型是时变的，而Hull-White模型与Vasick模型都是波动率可以出现负值，这是Hull-White模型[3]最大的缺陷，为了克服这一困难，把波动率的变化范围大致进行了限制，所以并未影响 Hull-White模型在随机波动率期权定价中的应用.1 模型与假设算术平均亚式期权，设其中标的股价为S，在t时刻无风险资产的价格为Bt,无红利支付的风险资产St,无风险利率为r.在t时刻的St 及Vt[4]满足(0≤t≤T)该模型具有与时间有关的漂移率θt(时间t的确定性连续函数)，均值回复速度为κ和波动系数σ为正常数，模型以速率向均值及回复，在返回程度上依赖于时间.{W1(t):0≤t≤T},{W2(t):0≤t≤T}是满足风险中性概率测度条件下的一维标准Brownan运动，Cov(dW1(t),dW2(t))=ρdt,相关系数ρ是常数且|ρ|<1令其中Zt 是与W1，W2独立的布朗运动[5].2 Monte- Carlo模拟法由参考文献[5]可知，该文的模拟的原理如下：假设有两个相似金融衍生品A、B，其中A是待求解，B与A相似，但可求出VB的显式解，用相同的▯t及相同随机序列样本类似模拟出A的近似估计值与B的近似估计值则A的近似估计值为模拟步骤：(1)若E[X]无显式解，找出与X无关的另一个随机变量Y，且E[Y]有显式解.(2)用同样▯t及同样的随机序列样本平行模拟出序列X,Y.(3)用模拟出X,Y，求出最优系数c*=(4)求出模拟序列X及Y的数学期望由求出E[X]的近似值[6].3 算术平均亚式期权的Monte-Carlo模拟3.1 模拟随机波动率过程Vt的路径(1)Wt、Zt是两个相互独立的Brownan运动，ρ是确定的常数，则可解出分割时间区间[0,T]为n等分，记▯▯t，则▯▯……▯又由于Wt1-Wt0,…,Wtn-Wtn-1与Zt1-Zt0,…,Ztn-Ztn-1是相互独立的增量，且Wt1-Wti-1▯N(0,ti-ti-1)=N(0,▯t),Zti-Zti-1▯N(0,ti-ti-1)=N(0,▯t)i=1,…,n.可由Matlab随机生成两组服从标准正态分布N(0,1)的相互独立的n×m个数，分别记作A、B，则A=(a1,a2,…,an)',B=(b1,b2,…,bn)',且ai=aij,bi=bij,i=1,…,n,j=1,…,m对Vti(i=0,1,2,…,n)取对数，有对(1)式等号两边的元素取指数，有则Vt=Vtn为第m次模拟后得到的随机波动率终值，可间接得到波动率的路径变化过程[7].3.2 模拟股票价格过程St的路径若St满足dSt=rS1dt+VtStdW1(t)，则(4)分割时间区间[0,T]为n等分，记▯▯t，由上式有而Wt1-Wt0,…,Wtn-Wtn-1是相互独立的增量，且Wti-Wti-1▯N(0,ti-ti-1)=N(0,▯t),i=1,…,n.同样由Matlab生成两组服从标准正态分布N(0,1)的相互独立的随机数，记作向量C，则对S(ti)(i=1,…,n)取对数，有对(2)式等号两边的元素取对数，有则经过m次模拟近似得出了股票价格的可能变化过程[8].3.3 算术平均亚式期权的关于Monte Carlo模拟的估计值由3.2可估计出S的m条可能路径上的变化值，Sk(t1),…, Sk(tn),k=1,…,m,可计算出m条路径上的算术平均亚式期权价格为：(6)则算术平均亚式期权价格用U1，…,Um的算术平均值来估计(7)4 总结与展望该文在波动率满足Hull-White模型的条件下，对固定执行价格的算术平均亚式期权进行了定价，由于亚式期权是求所有可能股票价格的平均值的期权，所以采用了Monte-Calor模拟法对其路径进行模拟，在最后得出了关于Hull-White随机波动率模型的算术平均亚式期权定价的近似解.但是在用Monte-Calor模拟法时，需要用matlab对数据进行计算，为了得到的数据更加接近于理论值，在计算时需要加大运算次数和运算的数据的密度，为结果的得出增大了难度，会在以后的学习中，继续改进此方法，争取得到运算简便，结果准确的模型.参考文献[1] 郑小迎,陈金贤. 关于亚式期权及其定价模型的研究. 系统工程,2000(18): 22-26.[2] John H, Alan W. The General Hull-White Model and Supercalibration J. Financial Analysts, 2011, 57(6): 34-43.[3] 宋逢明, 石峰. 基于Hull-White模型的债券市场利率期限结构研究[J]. 运筹与管理，2006, 15(3): 85-89.[4] 许聪聪, 许作良. 随机波动模型下算术亚式期权的Monte Carlo模拟定价[J]. 数学的实践与认识，2015, 45(21): 114-121.[5] 王欣欣,王玉文.约化模型下互联网理财产品的信用违约互换保费的确定[J].哈尔滨师范大学自然科学学报,2016,32(1):16-18.[6] 詹慧蓉,程乾生.拟蒙特卡罗法在亚式期权定价中的应用[J].数学的实践与认识,2005,3(35):20-27.[7] 邵斌, 丁娟. GARCH模型中美式亚式期权价值的蒙特卡罗模拟算法[J]. 经济数学,2004, 21(2): 142-148.[8] 叶春翠.CIR随机波动率模型的亚式期权蒙特卡洛模拟定价方法[D].广西师范大学,2012.。

亚式期权定价模拟方法的比较研究作者：卞金萍岳芹来源：《山西能源学院学报》2021年第05期【摘要】文章研究了亚式期权的定价问题。

用蒙特卡罗法比较了算术平均亚式期权在各种不同条件下的期权价格数值，并分别用蒙特卡罗法和控制变量法对亚式期权和欧式进行了数值模拟比较，最后用控制变量法对算术亚式期权和几何亚式期权做了比较分析。

【关键词】亚式期权; Monte Carlo模拟;控制变量; 期权定价【中图分类号】F830 【文献标识码】 A 【文章编号】 2096-4102（2021）05-0042-03我国金融市场的快速发展，出现了各种新型期权，亚式期权（Asianoptions）就是其中的一种。

本文用Monte Carlo法比较分析了算术看涨亚式期权在各种不同条件下的计算值，利用控制变量法模拟出了亚式期权和欧式期权的数值，并对算术、几何平均亚式期权做了对比分析。

一、亚式期权定价模型（一）亚式期权在有效期[0，T]内，采用几何平均法计算的称为几何亚式期权，采用算术平均法的称为算术亚式期权。

设S1，S2，L，Sn为股票在不同时刻t1，t2，L，tn的值，A（S）、G（S）分别表示资产价格的算术、几何亚式平均值，具体如表1所示。

各种形式的亚式期权到期日的收益情况如表2所示。

其中，J是标的资产在有效期内的平均值，K是执行价格。

（二）亚式期权的性质性质1[Ca（t，St）≤C（t，St）]其中[Ca（t，St）]为算术平均亚式看涨期权，[C（t，St）]为欧式看涨期权。

性质2 对于固定敲定价格的离散型亚式期权，有下列不等式[Cg（S0，T）≤Ca（S0，T）][Pg（S0，T）≥Pa（S0，T）]其中，[Ca（S0，T），Cg（S0，T）]分別为t=0时刻算术、几何亚式看涨期权价格;[Pa （S0，T）≥Pg（S0，T）]分别为t=0时刻算术、几何亚式看跌期权价格。

二、Monte Carlo模拟定价（一）Monte Carlo模拟的计算原理设随机变量X的期望为[μ]，X1，X2，X3，L，XN是独立同分布于X的随机样本，当N 充分大时，则有[PlimN→+∞1Ni=1NXi=μ=1]，由于[X-μσ/N∶N（0，1）]，当模拟的次数N→+∞时，由中心极限定理可得[limN→+∞PX-μσ/N≤Za/2=1-α]，由此可以得到关于[μ]的1-[α]下的显著性水平，即可模拟得到较精确的期权价格。

Vasicek随机利率模型下欧式期权定价的Mellin变换法孙娇娇【期刊名称】《《经济数学》》【年(卷),期】2019(036)003【总页数】6页(P21-26)【关键词】金融数学; Mellin变换法; Vasicek随机利率; 偏微分方程【作者】孙娇娇【作者单位】淮北师范大学数学科学学院安徽淮北 235000【正文语种】中文【中图分类】O211; F8301 引言近几十年来，多数学者在研究期权定价时都是假定利率在短期内保持不变的，如刘文倩(2018)[1]等研究了固定利率时股票价格服从混合分数布朗运动模型下不同类型障碍期权的定价公式．而在长期内利率会随着时间发生变动，因此，众多研究者们提出随机利率模型．毛志娟和梁治安(2013)[2]利用测度变换的鞅方法推导出欧式期权的解析解并用Monte Carlo方法模拟出期权数值解；Fang(2012)[3]运用鞅方法研究了Vasicek随机利率模型下欧式期权定价问题，并得到相应的定价公式；郭志东(2017)[4]利用偏微分方程的方法研究了Merton随机利率模型下的欧式期权定价问题．运用Mellin变换法研究Vasicek随机利率模型下的欧式期权定价问题也有价值．诸多文献表明，与研究期权定价的概率论方法相比，Mellin变换方法会将求解的过程简单化．Panni和Srivastav(2004)[5]运用此方法得到了欧式期权和一篮子期权的定价公式；Panni和Srivastav(2005)[6]还用这种方法研究了美式永久期权的定价问题；Robert(2011)[7]运用Mellin方法研究了Heston随机利率下的欧式期权问题，Robert(2013)[8]还运用此方法分析了跳扩散下的期权定价问题，得到期权价值的解析表达式，并利用数值算例将Mellin变换法与其他期权定价方法进行比较，进而体现出Mellin变换法的优越性；Yoon(2014)[9]则运用Mellin变换技巧得到Hull-White随机利率模型下的欧式期权定价公式．2 构建模型令St为标的资产(如股票)的价格,μt,σ1分别为股票价格的漂移率和波动率．设股票价格St满足以下的随机微分dSt=μtStdt+σ1StdWt，式中:Wt表示标准几何布朗运动．在风险中性概率测度下，以上模型可以转化为如式(1)所示的随机微分方程(1)其中代表风险中性概率测度下满足如下关系的标准布朗运动(2)在Vasicek随机利率模型下，即期利率rt在风险中性概率测度下满足如下随机微分方程drt=a(b-rt)dt+σdBt，(3)其中a,b,σ都是正的常数，Bt为布朗运动，且其中-1≤ρ≤1．在金融市场中，利率的变动会影响债券价格及相应的收益，而利率又不是可交换的资产．因此，作为利率载体的零息债券在研究利率方面起着重要的作用．接下来将给出Vasicek随机利率模型下零息债券的价格公式．令rt=r，P=P(r,t)表示无违约风险的零息债券的价格，且P(rT,T)=1．根据Feynman-Kac公式，得到定理1-2。

应 用 数 学M A T H EM AT ICA A P PL ICAT A 2005,18(2):253~259*几何平均亚式期权定价方法的探析肖文宁,王杨,张寄洲(上海师范大学数理信息学院,上海200234)庆贺陈庆益先生八十寿辰摘要:本文对几何平均亚式期权不同的定价方法进行了详细的论述,从随机偏微分方程途径与概率论途径两个角度仔细描述了亚式期权定价的过程中,每个具体的主要演算步骤.本文采用几何平均法计算资产价格的平均值,并以连续时间的情形为例,用两种不同的方法得到几何平均亚式期权的解析定价公式,并通过比较得出两种结论是完全一致的.关键词:对数正态分布;亚式期权;几何平均;固定敲定价格中图分类号:O29;F224 AMS(2000)主题分类:35R60;60H 15文献标识码:A 文章编号:1001 9847(2005)02 0253 071.引言亚式期权是一种强路径有关期权,即在期权到期日的收益依赖于在整个有效期内原生资产所经历的价格平均值.在离散和连续两种不同的情形下,这里的平均值有两种意义,即算术平均和几何平均(见[2,3]).假设J t 是路径变量,它表示从开始时刻到时刻t 的平均值,那么离散情形:算术平均J n =1n ni =1Sti,几何平均J n =ni=1Sti1/n =exp1nni =1ln Sti;连续情形:算术平均J t =1t!t0S d ,几何平均J t =ex p 1t!tln Sd .与之相应的亚式期权有两类:算术平均亚式期权和几何平均亚式期权.亚式期权在到期日的收益可以有两种不同类型(以看涨为例):固定敲定价格:也称平均资产价格,其收益函数是在欧式期权的收益函数中用资产价格的平均值取代资产本身的价格,即:收益=(J T -K )+;浮动敲定价格:也称平均敲定价格,其收益函数是在欧式期权的收益函数中用资产价格的平均值取代合约的敲定价格,即:收益=(S T -J T )+.本文针对具固定敲定价格的几何平均亚式期权(在连续情形下)的定价问题,详细剖析其合理的前提假设基础,数学方法的具体应用.2.预备知识*收稿日期:2004 07 24基金项目:上海市自然科学基金(03ZA 14072)作者简介:肖文宁,女,汉,河北人,硕士研究生,研究方向:金融数学.亚式期权定价原理的假设 (i)市场上允许卖空行为;(ii)不考虑交易费用及税收;(iii)无风险利率为常数r;(iv)遵循无套利原理;(v)证券交易具有时间和数量上的连续性;(v i)股票价格遵循几何布朗运动:d S=S( d t+d Z).设S0为股票的当前价格;T为到期日;K 为敲定价格;M为期望回报率,为股票价格的波动率.股票价格的行为模型 基于传统期权理论的假设:{ln(S t)}是一个正态随机过程,即:ln(S t)~N(ln(S0)+( -2/2)t,t),详细推导过程可以参见[4,5].基于上述准备,可以通过两个不同的途径求得几何平均亚式期权的定价公式.3.利用随机偏微分方程的途径3.1几何平均亚式期权的定价模型及简化(以欧式看涨为例)设此亚式期权是V=V(S t,J t,t),J t为在连续情形下几何平均意义下的路径变量:J t=e1T!T0ln S t d t,d J t d t=J tln S t-ln J tt.构造投资组合:!=V-∀S.选取适当的∀,使!在(t,t+d t)内是无风险的,即:d!=r!d t=r(V-∀S)d t=d V-∀d S-q∀S d t.(1)对于V=V(S t,J t,t)代入It 公式,用Tay lor公式展开为:d V= Vt d t+VS d S+VJ d J+122Vt2(d t)2+122VS2(d S)2+122VJ2(d J)2 +2VS t(d S d t)+2VJ t(d J d t)+2VS J(d S d J)+∀.由[1]中相关内容可知d t d t=d t d Z=d Z d t=0及(d Z)2=d t,可得到(d S)2=(d J)2=d t d J =d t d S=d S d J=0,所以d V= Vt d t+VS d S+VJ d J+122S22VS2d t= Vt+122S22VS2+ SVS+VJd Jd t d t+SVS d Z.(2)结合(1)和(2)并整理得V t+122S2 2VS2+VJd Jd t+(r-q)SVS-rV=0.这样我们就得到了几何平均亚式期权的定价模型(见[3]):定解区域:{0#S<∃,0#J<∃,0#t#T},V t+122S2 2VS2+Jln S-ln JtVJ+(r-q)SVS-r V=0,V(J T,K,T)=(J T-K)+.(3)方程(3)是一个包含三个变量的超抛物方程.3.2求解方程(3)的具体过程现通过变量替换,将(3)最终化为热传导方程,再利用Po isso n公式进行求解.令#=t ln J+(T-t)ln ST,V=U(#,t).(4)则V t=1T(ln J-ln S)U#+Ut,VS=T-tT SU#,254应 用 数 学20052V S 2=T -tTS 22U #2-T -t TS 2 U #.将以上各式代入方程(3)中并整理得U t +122T -tT 22U +r -q -22T -t T U -r U =0,U(#,T )=(e #-K )+,(5)此时定解区域是:{#∃R ,0#t #T}.再令W =U e%(t), &=#+∋(t), =r (t),(6)有U t =e -%(t) W r %(t)-%%(t)W + W &∋%(t),U #=e -%(t) W &, 2U #2=e-%(t) 2W&2.将以上各式代入方程(5)并整理得r %(t) W +12 2T -t T 2 2W &2+r -q - 22T -t T +∋%(t) W &-(r +%%(t))W =0.取∋%(t)+r -q - 22T -t T =0;%%(t)+r =0;r %(t)=-T -tT2以及终值条件:∋(T)=%(T )=r(T)=0.解之得:∋(t)=12T r -q - 22(T -t)2, %(t)=r (T -t), r (t)=13T2(T -t)3.(7)则方程(5)变为W = 22 2W&2,W (&,0)=(e &-K )+.(8)它的解可用Poisson 公式表示,其解为:W (&, )=1 2( !∃ln K(e y -K )e -(y-&)22 2 d y &I 1-I 2.对于上面I 1和I 2利用N (d)=12(!d -∃e -w 22d w 进行求解:I 1=1 2( !∃ln Ke y e -(y -&)22 2d y=e ( 2 +&)2-&22 21 2(!∃ln Ke-[y-( 2 +&)]22 2d y=e &+22N 2+&-ln K,I 2=K 2(!ln Ke -(y-&)222 d y=K 2(!&-ln K-∃e -w 22d w =K N &-ln K .所以方程(8)W (&, (d 1)+KN (d 2),255第2期肖文宁等:几何平均亚式期权定价方法的探析这里d1=2 +&-ln K,d2=&-ln K=d1- .现在将式(4),(6)和(7)代回求原方程(3)的解.首先看d1=2 +&-ln K=213T2(T-t)3+t ln J+(T-t)ln ST+12Tr-q-22(T-t)2-ln K13T2(T-t)3=1TlnJ t S T-tK T+(r*+(*)2)(T-t)*T-td*1,d2=&-ln K=t ln J+(T-t)ln ST+12Tr-q-22(T-t)2-ln K13T2(T-t)3=1Tln Jt S(T-t)K T+r*(T-t)*T-td*2=d*1-*T-t,这里r*=12Tr-q-22(T-t),*=(T-t)3T.于是,方程(8)的解变为W(&, )=exp1Tln J t S T-t+r*+(*)22(T-t)N(d*1)-K N(d*2) =(J t S T-t)1T e r*+(*)22(T-t)N(d*1)-K N(d*2).通过以上变换得原方程(4)的解:V(S t,J t,t)=U(#,t)=W e-%(t)=(J t S T-t)1/T e r*+(*)22-r(T-t)N(d*1)-K e-r(T-t)N(d*2).这样我们就得到了具有固定敲定价格的欧式看涨几何平均亚式期权的定价公式为V(S t,J t,t)=(J t S T-t)1/T e r*+(*)2-r(T-t)N(d*1)-K e-r(T-t)N(d*2).其中,r*=12T r-q-22(T-t), *=13T(T-t),d*1=1Tln Jt S T-tK T+(r*+(*)2)(T-t)*T-t, d*2=d*1-*T-t.4.利用概率论知识的途径n个数的几何平均值定义为n S1S2∀S n,即ex p ln(S1)+ln(S2)+∀+ln(S n)n.对于连续情形,当资产价格S t从t=0连续变化到t=T时,S t的几何平均值可写成G= 256应 用 数 学2005ex p 1T!T0ln (S t )d t .由本文预备知识2.2可知1T!Tln (S t )d t 是一个服从正态分布的随机变量,其数学期望及方差可以通过求随机积分而得,具体积分过程如下(在期权定价原理的风险中性意义下有 =r ):! =E1T!T0ln (S t )d t =1T!TE[ln (S t)]d t=1T !T 0ln (S 0)+ - 22t d t =ln (S 0)+T - 22/2=ln (S 0)+T r -22/2.∀ 2=Var1T!T0ln (S t )d t =1T2E !T 0ln (S t)d t -!T 0E[ln (S t)]d t2=1T 2E !T 0ln (S t)-ln (S 0)- - 22t d t2=1T 2E !T 0!T 0ln (S u)-ln (S 0)- -22u ln (S t )-ln (S 0)-- 22t d u d t.(9)因为{ln (S t )}是一个广义的维纳过程,所以ln (S t )-ln (S 0)- - 22t 即为一个维纳过程,且有ln (S t )-ln (S 0)- - 22t ~N (0, t).令W u =ln (S u )-ln (S 0)- - 22u ~N (0, u ),W t =ln (S u )-ln (S 0)-- 22t ~N (0, t ).知EW u =EW t =0,即两者的均值都为0,协方差函数为(相关内容可参见[1])Cov (W u ,W t )=E(W u -EW u )(W t -EW t )=EW u W t=12[|( u )2|+|( t )2|-|( u )2-( t )2|]= 22[|u |+|t |-|u -t |]= 2m in (u,t).(10)将(10)代入(9)得∀2=1T2!T 0!T0 2min (u,t)d u d t = 2T 2!T 0!tu d u +!T tt d u d t=2T 2!T 012t 2+t(T -t)d t =13T 2.此时,具固定敲定价格的估价以上面! 和∀ 的值便可较容易地得出.按照关于现代金融市场的风险中性原则,期权的价格应该等于其到期日价值以无风险利率的贴现值,以看涨为例,即:∀c (G,T ,K )=e -rTE [max (0,G -K )]=e-r T!∃K(x -K )fG(x )d x.其中f G (x )表示G 的密度函数.令y =ln x ,则257第2期肖文宁等:几何平均亚式期权定价方法的探析!∃K(x -K )f G (x )d x =!∃ln K(e y-K )f G (e y)e yd y.(11)由概率论知识可知,如果ln G 和G 的概率分布函数分别用F ln G (y )和F G (y )表示,则F lnG (y )=P(ln G <y )=P (G <e y)=F G (e y),所以f ln G (y )=F %ln G (y )=F %G (e y )=f G (e y )e y .说明f G (e y )e y 就是ln G =1T !T 0ln (S t)d t 的密度函数.而ln G =1T!Tln (S t )d t ~N (! ,∀ 2),从而得到f G (e y)e y=1∀2(e-(y-!)22∀2.(12)将(12)代入(11)得!∃K(x -K )fG(x )d x =!∃ln K(e y-K )1∀2(e -(y-!)22∀2d y &I 3-I 4.(13)求积分式(13)得I 3=!∃ln K 1∀2(e y e -(y-! )22∀ 2d y =e! +∀ 22N ! +∀ 2-ln K∀,I 4=K N !-ln K ∀.所以!∃K(x -K )fG(x )d x =e! +∀22N ! +∀ 2-ln K ∀ +K N !-ln K ∀.(14)将(9)式代入(14)得!∃K(x -K )fG(x )d x =S 0eT 2r-26Nln S 0K +T 2r +26 T /3-K Nln S 0K +T 2r -22 T /3.进而可得∀c (G,T ,K )=e-rT!∃K (x -K )fG(x )d x=S 0e-12Tr+162N (d 1)-K e -r TN (d 2),(15)这里d 1=ln S 0K +T 2r + 26 T /3,d 2=ln S 0K +T 2r - 22 T /3.(16)这就是通过概率论知识所得到的具有敲定价格的几何平均亚式期权的定价公式.5.对本文3和4进行详细的比较从本文3和4中定价公式表面看,由两种方法得出的定价公式存在着很大的差异,但经过分析发现在3中,考虑的是从任意时刻t 到到期日T 的情形,并且考虑了支付红利的情况,而在4中,考虑的是从t =T 贴现到t =0时刻,并且是在无红利条件下进行推导的.因此我们若令3r*^, *^= *|t=0258应 用 数 学2005d *1^=d *1|t=0=ln S 0K +T 2r -q +26 T /3,d *2^=d *2|t=0=ln S 0K +T 2r -q -22 T /3.则V(J 0,K ,0)=S 0e-12r+q+26TN (d *1^)-K e -rTN (d *2^).进而当无红利支付,即q =0时,V(J 0,K ,0)=S 0e-12r +26Tn(d *1)-K e -r TN (d *2).(17)其中,d *1=ln S 0K +T 2r + 26 T /3,d *2=ln S 0K +T 2r -22 T /3.(18)此时,我们看出式(17)与(15)完全符合,也即在3中加入两个条件:(i)考虑起始时刻t =0;(ii)无红利支付情况下,这样就与4中结果一致.参考文献:[1] 袁震东.近代概率引论∋∋∋测度、鞅和随机微分方程[M ].北京:科学出版社,1991.[2] 章珂等.几何平均亚式期权的定价方法[J].同济大学学报,2001,29(8):924~927.[3] 姜礼尚.期权定价的数学模型和方法[M ].北京:高等教育出版社,2003.[4] 陈占锋,章珂.期权定价原理的数理逻辑探析[J].中国管理科学,2001,9(2):10~15.[5] K wo k Y K.M athematical M odels of F inancial Der ivatives[M ].Sing apo re:Spr ing er,1998.An Investigation on Pricing Methods ofthe Geometric Average Asian O ptionsX I A O Wen ning ,WA N G Yang ,ZH A N G J i z hou(Math.&S ci.College,Shanghai N ormal Univer sity ,Shanghai 200234,China)Abstract:In this paper,a detailed inv estig ation are given on the different pricing m ethods of the geometric av erag e asian options.Every deduction reasoning procedur e in both stochas tic par tial differential equation appr oach and probabilistic appro ach are described detailedly.This paper calculates the averag e valuation of assets by the geometric average method.U nder the situatio n of continuo us time,analytic pricing fo rmula of the g eometric average asian op tions are obtained through tw o different metho ds.And these tw o conclusions are com pletely consistent.Key words:Log ar ithmic nom al distribution;Asian o ption;Geom etric av erag e;Fixed strick price259第2期肖文宁等:几何平均亚式期权定价方法的探析。

几何平均亚式期权的定价模型及其实证研究的开题报告一、研究背景和意义现代金融市场的期权产品种类繁多，其中几何平均亚式期权因其对冲风险的有效性受到广泛关注。

近年来，随着金融市场的发展和成熟，几何平均亚式期权的交易量不断增加，成为基金、保险、银行等金融机构投资组合中不可或缺的一部分。

几何平均亚式期权是一种具有深度的期权产品，其定价模型需要考虑多个因素，如股票价格、波动率、无风险利率等等。

因此，研究几何平均亚式期权的定价模型，可以为投资者提供更加准确和科学的交易参考和风险管理。

二、研究内容和方法本文将从几何平均亚式期权的基本特征以及市场交易情况入手，探索几何平均亚式期权定价模型的建立方法。

具体研究内容如下：1. 介绍几何平均亚式期权的基本概念和特征，以及与其他类型期权的区别和联系。

2. 介绍几何布朗运动模型和欧几里得期权定价模型，并探讨在此基础上建立几何平均亚式期权定价模型的方法。

3. 分析影响几何平均亚式期权定价的因素，如波动率、无风险利率、期权到期时间等，并在此基础上，建立几何平均亚式期权定价模型。

4. 进行实证研究，通过对历史市场数据的分析和模型回测，验证所建立的几何平均亚式期权定价模型的有效性和准确性。

5. 提出对未来几何平均亚式期权市场的展望和预测，在此基础上提出建议和对策，为投资者的决策提供参考。

本研究将采用定量研究方法，主要是基于历史市场数据的回归分析和统计分析来建立和验证几何平均亚式期权定价模型。

同时，将借鉴现有的文献资料和专家意见，分析市场发展趋势和预测，为本研究提供参考。

三、预期成果和意义本研究的预期成果如下：1. 建立符合市场实际情况的几何平均亚式期权定价模型，提高了投资者对几何平均亚式期权的认识和理解，增强了投资决策的准确性和科学性。

2. 分析影响几何平均亚式期权定价的因素，为投资者制定风险管理策略提供了参考和决策支持。

3. 进行实证研究并对模型进行回测验证，验证了几何平均亚式期权定价模型的有效性和准确性。

CEV模型下有离散红利支付的几何平均亚式期权的定价张增林;刘兆鹏;武以敏【摘要】首先阐述了标准几何亚式期权的涵义及其定价模型,介绍了CEV的涵义,然后借助PhelimP.Boyle和Yisong Tian为CEV模型下回望期权和障碍期权的定价技巧,利用二叉树逼近方法得到服从CEV过程且有离散红利支付的几何平均亚式期权的定价.【期刊名称】《宿州学院学报》【年(卷),期】2011(026)005【总页数】3页(P16-18)【关键词】几何平均亚式期权;波动率弹性为常数;二叉树模型【作者】张增林;刘兆鹏;武以敏【作者单位】宿州学院数学与统计学院,安徽宿州,234000;宿州学院数学与统计学院,安徽宿州,234000;宿州学院数学与统计学院,安徽宿州,234000【正文语种】中文【中图分类】F830.91 标准亚式期权的涵义及其定价模型标准亚式期权又称为平均价格期权，是股票期权的衍生，是在总结真实期权、虚拟期权和优先认股权等期权实施的经验教训基础上最早由美国银行家信托公司(BankersTrust)在日本东京推出的。

它是当今金融衍生品市场上交易最为活跃的奇异期权之一，与通常意义上股票期权的差别在于，在到期日确定期权收益时，不是采用标的资产当时的市场价格，而是采用合同期内二级市场标的资产价格的平均值。

在对价格进行平均时，可采取几何平均，也可采取算术平均。

相应的亚式期权可分为两种，一种是几何平均亚式期权，一种是算术平均亚式期权。

由于亚式期权是路径依赖的期权，因此一方面避免了投机者在接近到期日时通过操纵标的资产价格来牟取暴利的可能，另一方面在一定程度上避免了期权价格的人为波动。

吴云、何建敏研究了服从CEV过程的几何亚式期权的定价[1]。

他们借助PhelimP.Boyle和Yisong Tian为CEV模型下回望期权和障碍期权的定价技巧，利用二叉树方法得到了CEV模型下无红利支付的几何平均亚式期权的定价[2]。

几何平均亚式期权定价模型及其VaR计算胡攀【摘要】针对现实世界中存在的模糊性,在标的股票价格服从几何Liu过程的模型假设下,给出了几何平均亚式看涨、看跌期权的定价模型及其VaR计算公式.数值计算的结果表明,随机条件下的期权价值与VaR值完全被低估.【期刊名称】《西华师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(036)004【总页数】6页(P345-349,354)【关键词】几何Liu过程;模糊环境;定价模型;VaR计算【作者】胡攀【作者单位】四川文理学院数学与财经学院,四川达州635000【正文语种】中文【中图分类】F830.9在现实世界中存在着大量的随机性和模糊性等不确定性.随机性是一种客观的不确定性,随机变量的分布函数可以通过统计方法很容易得到.然而,模糊性是一种主观的不确定性,刻画模糊性的隶属函数由有经验的专家给出.为了处理模糊过程,1965年Zadeh用隶属函数引入模糊集合的概念[1].Liu在2002年定义了可信性测度与模糊事件的自对偶性,由此建立起可信性理论,使之成为研究模糊理论的一个数学分支[2];为了描述动态模糊,2008年Liu在模糊环境下提出了与布朗运动相对应的Liu 过程的概念,同时建立了Liu股票价格模型[3];2008年Qin与Li在上述模型基础之上建立了欧式期权定价公式[4]; 2009年Qin与Gao又提出了分数Liu过程[5].基于上述理论,2010年谭英双借助Liu过程,Liu公式等不确定性理论建立的模糊欧式看涨期权推导出模糊环境下的净现值流公式[6];2013年胡华给出了标的股票服从几何分数Liu过程的幂期权定价模型[7];同年林亮、吴帅给出了模糊过程下不同死力假设的增额寿险精算模型[8].亚式期权作为一种强路径依赖性期权,可分为算术平均和几何平均两种.随机条件下亚式期权的定价模型是在理想化的市场假设条件下得到的结果,其完全忽略了像战争、恐怖袭击、公司破产等模糊因素对金融市场的影响,因而期权价值被低估.随机条件下几何平均亚式期权的定价问题参见文献[9-12].由于现实的金融市场中存在大量的模糊性,因而考虑模糊环境下几何平均亚式期权的定价问题似乎更符合市场的实际情况.现有的研究成果中,对于亚式期权VaR的讨论,都是在随机条件下进行的,存在风险价值被低估的可能.而对于模糊条件下期权的VaR研究,迄今为止还是空白.因此,本文在金融市场受模糊性因素影响的基础上,在标的股票价格服从几何Liu过程的模型假设下,首先利用可信性理论给出几何平均亚式看涨、看跌期权的定价公式及其证明过程;其次利用定价公式给出几何平均亚式看涨、看跌期权的VaR计算方法;最后通过数值计算比较随机和模糊条件下几何平均亚式看涨、看跌期权的价值和VaR值.期望能为期权投资者或金融炒家提供一种更加符合实际市场的投资决策或规避风险的工具.1.1 可信性理论定义1[3] Liu过程Ct的正态隶属函数为∞.特别,当e=0,σ=1时称Ct为标准Liu过程.定义2[13] 假设Ct是一个标准Liu过程,则称模糊过程Csds为Liu过程的积分.引理1[13] 对任意t>0,It的正态隶属函数为.引理2[14] (可信性反演定理) 假设ξ是隶属函数为μ的模糊变量,对于任意实数集合B,ξ的可信性测度(x)).定义3[15] 假设ξ是一个模糊变量,则ξ的期望值为≥{ξ≤r}dr.1.2 Liu股价模型假设模糊金融市场中仅存在两种证券:一种为债券, t时刻的价格记为Bt;另一种为股票,t时刻的价格记为Xt.文献[2]给出了股票价格服从几何Liu过程的一般模型其中r表示无风险利率,e为股票的漂移项,σ为股票的扩散项,Ct为标准Liu过程.1.3 VaR的定义及计算方法1996年, J.P.Morgan[16]在随机条件下提出了度量金融衍生工具或投资组合市场风险的VaR方法, 自此VaR便成为金融市场上管理和控制风险的重要工具.定义4[16] VaR是指在给定置信水平和一定持有期内某一金融衍生工具或投资组合所面临的最大可能损失.其含义是风险价值.考虑投资组合Π,假设θ0表示该组合的初始价值,R表示持有期内组合的收益率,则其期末价值θ=θ0(1+R);记投资组合的最低收益率为R*,则其最低价值θ*=θ0(1+R*)；模糊环境下与给定置信水平α对应的最低收益率可表示为:Cr{R<R*}=1-α记μR和σR分别表示R的期望回报和波动率.依定义4,模糊环境中投资组合的相对VaR为:VaRrel=ECr(θ)-θ*=θ0(μR-R*)绝对VaR为:VaRabs=θ0-θ*=-θ0R*其中ECr表示依赖于可信性测度Cr的数学期望.亚式期权作为强路劲依赖型期权,分为看涨和看跌两种.看涨(看跌)期权赋予期权持有者在到期时间按既定价格购买(销售)一定量的股票的权利而不是义务.执行价格为K,到期时间为T的几何平均亚式看涨期权在t=0时刻的价值为lnXtdt)-K)+;看跌期权的价值为lnXtdt))+.定理1 记C=C(X0,K,e,σ,r),P=P(X0,K,e,σ,r),则Liu股价模型下, 执行价格为K,到期时间为T的几何平均亚式看涨、看跌期权在当前时刻t=0的价值为证明：以几何平均亚式看涨期权定价模型的推导为例, 几何平均亚式看跌期权的定价模型可以类似证明.依据模糊变量的期望值定义,有C(X0,K,e,σ,r)将(5)式变形后代入上式并化简得:原式当x≥0时,由可信性反演定理可知结合引理.于是当x<0时,.于是综合(12)、(13)两式有将(14)式代入(11)式可得(9)式成立.定理2 记C(X0,K,e,σ,r)=C,P(X0,K,e,σ,r)=P由定理1给出,则①Liu股价模型下,几何平均亚式看涨期权的相对风险为:,绝对风险为:.②Liu股价模型下,几何平均亚式看跌期权的相对风险为:,绝对风险为:.其中由(16)式给出,-1,μC、μP分别为看涨、看跌期权的期望回报率.证明: ①几何平均亚式看涨期权在[0,T]时间段内的收益率为当≤K时,R≡-1，所以当时,.依据VaR的定义,模糊环境下与给定置信水平α对应的最低收益率为从中可解得.于是根据期权的相对风险与绝对风险的定义即可得结论.②几何平均亚式看跌期权的绝对风险价值与相对风险价值可类似证明,这里从略. 下面通过数值计算比较模糊条件下和随机条件下几何平均亚式期权的价值与VaRrel值,计算结果见表1、表2.随机条件下几何平均亚式看涨、看跌期权的解析定价公式采用2001年章珂、周文彪、沈荣芳给出的定价模型[17].随机条件下几何平均亚式期权的VaRrel计算公式采用2009年董洪坤[18]的结果.分别记随机条件下几何平均亚式看涨、看跌期权在当前时刻的价值为C(t,Bt)和P(t,Bt);模糊条件下几何平均亚式看涨、看跌期权在当前时刻的价值记为C(t,Ct)和P(t,Ct).模型中各参数取值如下:X0=K=100,T=1,μc=μp=e=0.0325,σ=0.2,r=0.0225.表1 的计算结果显示,模糊环境下几何平均亚式看涨、看跌期权的价值均高于随机条件下的对应价值.原因在于随机条件下的几何平均亚式期权定价完全忽略了像战争、恐怖袭击、公司破产等突发因素对金融市场的影响,从而导致价值被低估.模糊因素的忽略将导致短期内期权市场出现套利机会,这使得大量的期权投资者或金融炒家涌向期权市场,从而抬高期权价格,直到套利机会消失.以看涨期权为例,如果模糊条件下的期权价值9.5561被定价为随机条件下的5.3319,这时期权价值存在4.2242的套利机会,于是期权投资者或金融炒家将涌向市场直到4.2242的套利机会消失为止.表2给出了几何平均亚式期权在不同置信水平下的VaRrel值.数据显示几何平均亚式期权的VaRrel均是置信水平α的减函数;其次由于受模糊因素的影响,相同置信水平下几何平均亚式看涨、看跌期权的VaRrel值高于随机条件下的对应值;再次在模糊金融市场中仍然是高风险对应高回报.以5%的置信水平为例,模糊条件下看涨期权的VaRrel值为30.7575,而随机条件下的VaRrel值只有16.0365.若忽略模糊因素的影响,则期权的风险值被低估14.721,低估率高达47.86%.这对于期权投资者来讲是非常危险的,因为其获得的收益与承担的风险完全不匹配.【相关文献】[1] ZADEH L A.Fuzzy Sets [J].Information and Control, 1965(8):338-353.[2] LIU B D.Foundation of Uncertainty Theory [M].Beijing: Tsinghua University, 2006:81-96.[3] LIU B D.Fuzzy process, Hybrid Process and Uncertain Process [J].Journal of Uncertain Systems, 2008, 2(1): 3-16.[4] QIN Z F, LI X.Option Pricing Formula for Fuzzy Financial Market [J].Journal of Uncertain Systems, 2008, 2(1):17-21.[5] QIN Z F, GAO X.Fractional Liu Process with Application to Finance [J].Mathematical and Computer Modeling, 2009, 50(9/10):1538-1543.[6] 谭英双.基于模糊不确定环境的高新技术项目价值评估模型[J].系统工程理论与实践，2010,30(6):1021-1026.[7] 胡华.标的股票服从几何分数Liu过程的幂期权定价模型[J].河南师范大学学报(自然科学版),2013,41(2):1-5.[8] 林亮,吴帅.模糊过程下不同死力假设的增额寿险精算模型[J].桂林理工大学学报,2013,33(1):160-163.[9] 郑小迎,陈金贤.关于亚式期权及其定价模型研究[J].系统工程,2000,18(2):335-379.[10] 赵建忠.亚式期权定价的模拟方法研究[J].上海金融学院学报,2006(5):58-61.[11] 薛红.分数跳-扩散过程下亚式期权定价模型[J].工程数学学报,2010,27(6):1009-1015.[12] 胡攀.有交易费的分数型几何平均亚式期权的定价公式[J].绵阳师范学院学报,2013,32(11):21-26.[13] QIN Z F, LI X.Fuzzy Calculus for Finance [M].Beijing: Tsinghai University, 2008:1-54.[14] LIU B D.Uncertainty Theory [M].Berlin: Springer-Verlag, 2007:48.[15] LIU B D, LIU Y K.Expected Value of Fuzzy Variable and Fuzzy Expected Value Models[J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 2002, 10(4): 445-450.[16] MORGAN J P.Measuring the risk in Value at risk [J].Financial Analysis Journal, 1996, Nov./Dec.47-55.[17] 章珂,周文彪,沈荣芳.几何平均亚式期权的定价方法[J].同济大学学报(自然科学版),2001,29(8):924-927.[18] 董洪坤.几类奇异期权的VaR度量[D].长沙:湖南大学硕士学位论文,2009:22-28.。