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第29卷第11期计算机应用与软件Vol.29No．112012年11月Computer Applications and Software Nov．2012随机波动率下的亚式期权定价问题在GPU 集群上的实现徐磊1徐莹1姜广鑫2梁义娟2寇大治1徐承龙21（上海超级计算中心上海201203）2（同济大学数学系上海200092）收稿日期：2011－11－28。
国家高技术研究发展计划（2009AA012201）；上海市科委科研计划项目（08dz1501600）；上海浦江人才计划（10PJ1430600）。
徐磊，工程师，主研领域：并行计算，高性能系统评测，GPU 应用移植及优化。
徐莹，高工。
姜广鑫，硕士生。
梁义娟，博士。
寇大治，工程师。
徐承龙，教授。
摘要期权定价作为计算金融领域的核心问题之一，越来越受到关注。
随着期权交易的规模和交易量的迅速增长，当前的期权定价平台越来越受到挑战，在尽可能短的时间内对期权进行定价变得越来越困难。
传统的计算平台通常使用基于CPU 的计算集群，而图形处理器（GPU ）具有更高的浮点性能和访存带宽，在价格与功耗方面也优于CPU 。
尝试使用GPU 集群来对具有随机波动率的亚式期权进行定价，同时使用带控制变量的Monte Carlo 方法，减小模拟的方差。
最终的测试结果表明GPU 集群较CPU 集群具有更多的优势，适合应用于期权定价领域。
关键词GPU 集群CUDA亚式期权随机波动蒙特卡洛MPI中图分类号TP301文献标识码ADOI ：10．3969/j．issn．1000-386x．2012．11．021IMPLEMENTATION OF PRICING ASIAN OPTIONS WITH STOCHASTICVOLATILITY ON GPU CLUSTERXu Lei 1Xu Ying 1Jiang Guangxin 2Liang Yijuan 2Kou Dazhi 1Xu Chenglong 21（Shanghai Supercomputer Center ，Shanghai 201203，China ）2（Department of Mathematics ，Tongji University ，Shanghai 200092，China ）Abstract Options pricing is one of the core issues in the field of computational finance ，which has attracted increasing focus．With therapid growth of options trading in both scale and volume ，there is growing challenge on existing options pricing platforms ，and to price an option in shortest possible period of time has become increasingly difficult．Traditional computing platforms often use CPU-based computationclusters ，but compared with the tradition CPU ，GPU （Graphic Processing Unit ）can possess higher floating-point performance andbandwidth ，and its cost and power consumption outperform CPU as well．In this paper ，we try to use GPU cluster to price Asian options with stochastic volatility ，and meanwhile use Monte Carlo method with control variables to reduce the variance simulated．Final testing results show that the GPU cluster has more advantages than the CPU cluster and is well suited for pricing options．KeywordsGPU clusterCUDAAsian optionsStochastic volatilityMonte CarloMPI0引言期权，在期货基础上发展而来，是金融领域中投资者用以进行套利和规避风险的一种衍生性金融工具。
CHINACOLLECTIVEECONOMY现新起点计量行为，企业需进行二次确认。
2.税务财务会计确认的基础由于各国税法在一个很长的历史阶段都是按收付实现制原则计税，因为它符合税收的支付能力原则，税务会计当然也要按收付实现制原则确认纳税义务的发生时点。
在财务会计采用权责发生制之后，各国税法也先后由收付实现制改为权责发生制，税务会计当然也就采用权责发生制。
这样，可以减少与财务会计的差异，降低征纳双方的成本。
因为企业涉税行为纷繁复杂，税法并未采取“一刀切”的做法，而是在以权责发生制为主要确认基础的前提下，对特定事项或特定行为，仍然以收付实现制为确认基础或以两者相结合的为确认基础。
在税务会计中，应税收入、扣除费用和应税所得等的确认，除符合税法规定的确认基础外，同时还必须取得符合规定的票据，否则，还是不能实际予以确认。
以权责发生制为确认基础我国《企业所得税法实施条例》第九条明确规定，企业应纳税所得额的计算，以权责发生制为原则，属于当期的收入和费用，不论款项是否收付，均作为当期的收入和费用；不属于当期的收入和费用，即使款项已经在当期收付，均不作为当期的收入和费用。
除税法特别规定外，税法扣除的基本原则是以权责发生制为原则，只要是当期的收入和费用，不论款项是否收付，均作为当期的费用，而不是按收付实现制原则扣除。
“应纳税所得额”的确认以权责发生制为基础，基于不同时期企业享受的税收政策可能不同，特别强调应税收入、扣除费用的确认时间不能提前或滞后。
参考文献：1.盖地.论会计确认[J].会计之友,2012(3).2.牛晓叶,曹志文.企业碳能力的会计确认、计量与报告[J].财会研究,2012(5).3.赵艳丽.现行会计确认、计量模式的评价与思考[J].财会月刊,2010(30).4.罗绍德,王永超.现值:计量属性还是计量方法———基于可靠性视角的解读[J].财经科学,2011(9).5.周洁,谢新安.论公允价值会计的确认[J].商业时代,2012(27).6.赵艳丽,杨光.我国现行会计确认、计量模式存在的问题及对策分析[J].湖南财经高等专科学校学报,2010(3).7.郑淘.会计准则对会计确认与计量的影响分析[J].财会通讯(学术版),2007(3).（作者单位：福建邵化化工有限公司）摘要：文章在随机利率情形下讨论了含多种股票投资的欧式未定权益定价问题。
263Vol.26No.3 20037ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA July,2003 Vasiˇc ek∗(200092)(230026)Vasiˇc ekCauchyCauchy1(Call/Put Option)(Exotic Option).Black-ScholesVasiˇc ek T,[0,T]2001107∗(10201029)46826Monte Carlo[1,2],[3–5].Turnbull &Wakeman (1991)Levy (1992).LaplaceTaylor([6–9]),[3,10,11].Cauchy[12].1CauchyCauchy2T ,[0,T ]T 0(Zero-Coupon).(Ω,F,P )rSd r t =(β−αr t )d t +γd Z t ,d S t =S t (r t dt +σB t ).(2.1)(Z t ,B t )(Ω,F,P )2(F t )t ≥0σ-α,β,λ=0σ=0T ,1TTS (τ)d τTξ=S T −1TTS (τ)d τ+.(2.2)C (t )C (t )=E p ξexp−Ttr s d s F t .(2.3)I t =tS (τ)d τ,(t,r t ,S t ,I t )MarkovianC (t )(t,r,S,I )C (t,r,S,I ).Feymann-kac3Vasiˇc ek469 PDE Cauchy⎧⎪⎨⎪⎩∂V∂t+12σ2S2∂2V∂S2+12γ2∂2V∂r2+rS∂V∂S+(β−αr)∂V∂r+S∂V∂I−rV=0,V(T,S,r,I)=S−IT+,(2.4)0≤t<T,−∞<r<+∞,0≤S,I<+∞.(2.4),x=IT S ,V(t,S,r,I)=Sf(t,x,r),⎧⎨⎩∂f∂t+1T−rx∂f∂x+12σ2x2∂2f∂x2+(β−αr)∂f∂r+12γ2∂2f∂r2=0,f(T,x,r)=(1−x)+.(2.5)t→T∂2f(x,t,r)∂x2→δ(1−x),δ(ξ)0DiracT(2.5)f=f1+f2,f1f2PDE:⎧⎨⎩∂f1∂t+rx∂f1∂x+12σ2x2∂2f1∂x2+(β−αr)∂f1∂r+12γ2∂2f1∂r2−rf1=0,f1(T,x,r)=(1−x)+(2.7)⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩∂f2∂t+1T−rx∂f2∂x+12σ2x2∂2f2∂x2+(β−αr)∂f2∂r+12γ2∂2f2∂r21 =−1T−2rx∂f1∂x−rf,f2(T,x,r)=0,(2.7)0≤t<T,−∞<r<+∞,0≤x<+∞.f1Vasiˇc k1Call-PutC(t,r t,S t,K)−P(t,r t,S t,K)=S t−KP(t,T),(2.8) P(t,T)T0t Vasiˇc k([13]):C(t,r t,S t,K)=S t N(d1)−Ke−C1(t,T,r t)+σ2X2N(d2).(2.9)d1=log S tK+12σ2Y+C(t,T,r t)σ2X+σ2Y,d2=log S tK−σ2X+12σ2Y+C(t,T,r t)σ2X+σ2Y,σ2X=1αTtγ2e2α(T−u)d u,σ2Y=σ2(T−t),C1(t,T,r t)=γα(eα(T−t)−1)−γα2(T−t+1)+γα2eα(T−t).47026(2.6)f1(t,x,r)=xN(d1)−e−C1(t,T,r)+σ2X2N(d2)+e A(t,T)−B(t,T)r−x,(2.10)B(t,T)=1α[1−e−α(T−t)],A(t,T)= Tt12γ2B(s,T)−βB(s,T)d s.∂f1∂x=N(d1)−1,τ=T−t,(2.7)⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩∂f2∂τ−1T−rx∂f2∂x−12σ2x2∂2f2∂x2+(β−αr)∂f2∂r−12γ2∂2f2∂r2 =1T−2rxN(d1)−1+rf1=F(τ,x,r),f2(0,x,r)=0.(2.11)Cauchyx∈[0,X],r∈[−R,R],τ∈[0,T],∆x=XN,∆r=2RM,∆τ=TK.∂f∂τki,j=f k+1i,j−f k i,j∆τ+O(∆τ),∂f∂xki,j=f k i+1,j−f k i−1,j2∆x+O(∆x2),∂f∂rki,j=f k i,j+1−f k i,j−12∆r+O(∆r2),∂2f∂xki,j=f k i+1,j+f k i−1,j−2f k i,j∆x+O(∆x2),∂2f∂r2ki,j=f k i,j+1+f k i,j−1−2f k i,j∆r2+O(∆r2),(2.11),f k+1 i,j =1−σ2x2∆τ∆x2−γ2∆τ∆r2f k i,j+∆τ2∆xσ2x2i∆x+1−r j x if k i+1,j+∆τ2∆rγ2∆r+β−αr jf k i,j+1+∆τ2∆xσ2x2i∆x−1+r j x if k i−1,j+∆τ2∆rγ2∆r+αr j−βf k i,j−1+∆τF k i,j,(2.12)1≤i≤N−1,−M+1≤j≤M−1,1≤k≤K−1.∆r=∆x,∆x≤min{σ2x2i|1−r j x i|,γ2β−αr j},∆τ∆x2≤1γ2+σ2x2i3Vasiˇc ek471(2.12)O (∆τ+∆x 2),f k N,j ,f k 0,j ,f k i,M ,f ki,−M ,0≤i ≤N ,−M ≤j ≤M ,1≤k ≤K∀0<p <1,f k N,j =pf k −1N,j +(1−p )f kN −1,j ;(2.13)f k 0,j =pf k −10,j +(1−p )f k 1,j ;(2.14)f k i,M =pf k −1i,M +(1−p )f k i,M −1;(2.15)f k i,−M =pf k −1i,−M +(1−p )f k i,−M +1;(2.16)3f1S =100,I =1t t0S (τ)d τ=1003,T =3t =0.03,σ=30%,α=1,β=0.05γ=0.1γ=0.05r =Vasick Constant Vasick 0.115.847818.673315.63400.318.291134.416118.17360.520.814347.859820.74790.723.344257.774423.3150S =50,I =1t t0S (τ)d τ=1003,T =3t =0.03,σ=30%,α=1,β=0.05γ=0.1γ=0.05r =Vasick Constant Vasick 0.18.00239.39147.89230.39.249317.33959.18640.510.541324.203010.50410.711.840029.258711.82202β=0.1S =100,I =1t t0S (τ)d τ=1003,T =3t =0.03,σ=30%,α=1,β=0.1γ=0.1γ=0.05r =Vasick Constant Vasick 0.118.794018.673318.69760.321.396234.416121.34730.521.396247.859823.9827S =50,I =1t t0S (τ)d τ=1003,T =3t =0.03,σ=30%,α=1,β=0.1γ=0.1γ=0.05r =Vasick Constant Vasick 0.19.45869.39149.40540.310.793417.339510.76440.512.132524.203012.1204γ47226γβ<r,β=rβ1,23T=3,t=0.03,σ=30%,r=10%,α=1,β=0.1x1T=3,t=0.03,σ=30%,x=1,α=1,β=0.05r23Vasiˇc ek473 T=3,t=0.03,σ=30%,r=10%,α=1,β=0.05x34VasicekCauchy1Kemna A G Z,Vorst A C F.A Pricing Method for Options Based on Average Asset Values.Journal of Banking and Finance,1990,14:113–1292Carverhill A,Clewlow L.Flexible Convolution.RISK,1990,5:25–293Rogers L,Shi Z.The Value of an Asian Option.Journal of Applied Probability,1995,32:1077–1088 4Alziary B,Decamps J,Koehl P,A P.D.E.Approach to Asian Option:Analytical and Numerical Evidence.Journal of Banking and Finance,1997,21:613–6405Zvan R,Forsyth P,Vetzal K.Robust Numerical Methods for PDE Models of Asian Options.Journal of Computational Finance,1997/98,1(2):39–786Geman H,Yor M.Bessel process,Asian Options and Perpetuities.Mathematical Finance,1993,3(4): 349–3757Geman,H,Eydeland,A Domino Effect.RISK,1995,8:65–678Bouaziz L,Briys,E,Crouhy M.The Pricing of Forward Starting Asian Options.Journal of Banking and Finance,1994,18:823–8399Milevsky M A,Posner S n Options,the Sum of Lognomals and the Reciprocal Gamma Distribution.Journal of Financial and Quantitative Analysis,1998,33(3):409–42210Chalasani P,Jha,S,Varikooty A.Accurate Approximation for European-style Asian Options.Journal of Computational Finance,1998,1(4):11–304742611Thompson G W P.Fast Narrow Bounds on the Value of Asian Options.Working Paper,Centre for Financial Research,Judge Institute of Management Science,University of Cambridge,200012Zhang J E.A Semi-analytical Method for Pricing and Hedging Continuous-sampled Arithmetic Av-erage Rate Options.Journal of Computational Finance,2001,5(1):1–2013Wang L J,Zhang S.Princing the Reset Option under Stochastic Interest Rate.Applied Mathematics,A Journal of Chinese Universities,2002,17:471–478PRICING THE ASIAN OPTION UNDERV ASIˇCEK INTEREST RATEWANG Lijun(Department of Applied Mathematics,Tong-Ji University,Shanghai200093)ZHANG Shuguang(Department of Statistics and Finance of University of Science&Technology of China,Hefei230026) Abstract This paper presents a theory of continuous sampled Asian option pricing when the interest rate is modeled by Vasiˇc ek model.For arithmetic Asian option,we subtract an explicit formula from the solution of the price and get a PDE satisfied by the residue with smooth coefficients and0initial condition.We adopt infinite difference scheme to calculate the solution numerically.Key words Asian option,floating strike price,infinite difference scheme。
基于Hull-White随机波动率模型的算术平均亚式期权Monte-Carlo定价梁艳;王玉文【摘要】在Black-Schole期权定价模型中,假设股票红利q、无风险利率r及股票收益的标准差σ都是常数.然而在实际的交易市场,波动率却是随机变化的,而非常数.因此,把波动率考虑到期权定价公式中是十分必然的.在建立随机波动率定价模型中,假设波动率是一个随机变量,以亚式期权为研究对象,让随机波动率满足Hull-White 模型,对算术平均亚式期权进行Monte-Carlo模拟定价.【期刊名称】《哈尔滨师范大学自然科学学报》【年(卷),期】2017(033)005【总页数】4页(P1-4)【关键词】Hull-White模型;亚式期权;Monte-Calor模拟【作者】梁艳;王玉文【作者单位】哈尔滨师范大学;哈尔滨师范大学【正文语种】中文【中图分类】O290 引言自1973年著名的Black-Scholes期权定价公式的问世,金融市场迎来了前所未有的变革.随着国际金融衍生品市场越来越复杂，应运而生了大量的新型期权，它们的交易方式、交易价格等更能适应市场和投资的需求，其中研究比较多的就是亚式期权.近年来，如何科学的给亚式期权定价成为非常受欢迎的金融研究课题[1,5]. 在现有的对亚式期权定价模型中，常假设波动率是不变的,但实际市场的波动率却是随机的，所以建立的随机波动率模型需要把这个问题考虑进去.宋逢明[2]研究了Hull-White三叉树利率期限结构模型，并进行了模拟，结果表明其实用性很强.该文研究的Hull-White模型是时变的，而Hull-White模型与Vasick模型都是波动率可以出现负值，这是Hull-White模型[3]最大的缺陷，为了克服这一困难，把波动率的变化范围大致进行了限制，所以并未影响 Hull-White模型在随机波动率期权定价中的应用.1 模型与假设算术平均亚式期权，设其中标的股价为S，在t时刻无风险资产的价格为Bt,无红利支付的风险资产St,无风险利率为r.在t时刻的St 及Vt[4]满足(0≤t≤T)该模型具有与时间有关的漂移率θt(时间t的确定性连续函数)，均值回复速度为κ和波动系数σ为正常数，模型以速率向均值及回复，在返回程度上依赖于时间.{W1(t):0≤t≤T},{W2(t):0≤t≤T}是满足风险中性概率测度条件下的一维标准Brownan运动，Cov(dW1(t),dW2(t))=ρdt,相关系数ρ是常数且|ρ|<1令其中Zt 是与W1，W2独立的布朗运动[5].2 Monte- Carlo模拟法由参考文献[5]可知，该文的模拟的原理如下：假设有两个相似金融衍生品A、B，其中A是待求解，B与A相似，但可求出VB的显式解，用相同的▯t及相同随机序列样本类似模拟出A的近似估计值与B的近似估计值则A的近似估计值为模拟步骤：(1)若E[X]无显式解，找出与X无关的另一个随机变量Y，且E[Y]有显式解.(2)用同样▯t及同样的随机序列样本平行模拟出序列X,Y.(3)用模拟出X,Y，求出最优系数c*=(4)求出模拟序列X及Y的数学期望由求出E[X]的近似值[6].3 算术平均亚式期权的Monte-Carlo模拟3.1 模拟随机波动率过程Vt的路径(1)Wt、Zt是两个相互独立的Brownan运动，ρ是确定的常数，则可解出分割时间区间[0,T]为n等分，记▯▯t，则▯▯……▯又由于Wt1-Wt0,…,Wtn-Wtn-1与Zt1-Zt0,…,Ztn-Ztn-1是相互独立的增量，且Wt1-Wti-1▯N(0,ti-ti-1)=N(0,▯t),Zti-Zti-1▯N(0,ti-ti-1)=N(0,▯t)i=1,…,n.可由Matlab随机生成两组服从标准正态分布N(0,1)的相互独立的n×m个数，分别记作A、B，则A=(a1,a2,…,an)',B=(b1,b2,…,bn)',且ai=aij,bi=bij,i=1,…,n,j=1,…,m对Vti(i=0,1,2,…,n)取对数，有对(1)式等号两边的元素取指数，有则Vt=Vtn为第m次模拟后得到的随机波动率终值，可间接得到波动率的路径变化过程[7].3.2 模拟股票价格过程St的路径若St满足dSt=rS1dt+VtStdW1(t)，则(4)分割时间区间[0,T]为n等分，记▯▯t，由上式有而Wt1-Wt0,…,Wtn-Wtn-1是相互独立的增量，且Wti-Wti-1▯N(0,ti-ti-1)=N(0,▯t),i=1,…,n.同样由Matlab生成两组服从标准正态分布N(0,1)的相互独立的随机数，记作向量C，则对S(ti)(i=1,…,n)取对数，有对(2)式等号两边的元素取对数，有则经过m次模拟近似得出了股票价格的可能变化过程[8].3.3 算术平均亚式期权的关于Monte Carlo模拟的估计值由3.2可估计出S的m条可能路径上的变化值，Sk(t1),…, Sk(tn),k=1,…,m,可计算出m条路径上的算术平均亚式期权价格为：(6)则算术平均亚式期权价格用U1，…,Um的算术平均值来估计(7)4 总结与展望该文在波动率满足Hull-White模型的条件下，对固定执行价格的算术平均亚式期权进行了定价，由于亚式期权是求所有可能股票价格的平均值的期权，所以采用了Monte-Calor模拟法对其路径进行模拟，在最后得出了关于Hull-White随机波动率模型的算术平均亚式期权定价的近似解.但是在用Monte-Calor模拟法时，需要用matlab对数据进行计算，为了得到的数据更加接近于理论值，在计算时需要加大运算次数和运算的数据的密度，为结果的得出增大了难度，会在以后的学习中，继续改进此方法，争取得到运算简便，结果准确的模型.参考文献[1] 郑小迎,陈金贤. 关于亚式期权及其定价模型的研究. 系统工程,2000(18): 22-26.[2] John H, Alan W. The General Hull-White Model and Supercalibration J. Financial Analysts, 2011, 57(6): 34-43.[3] 宋逢明, 石峰. 基于Hull-White模型的债券市场利率期限结构研究[J]. 运筹与管理，2006, 15(3): 85-89.[4] 许聪聪, 许作良. 随机波动模型下算术亚式期权的Monte Carlo模拟定价[J]. 数学的实践与认识，2015, 45(21): 114-121.[5] 王欣欣,王玉文.约化模型下互联网理财产品的信用违约互换保费的确定[J].哈尔滨师范大学自然科学学报,2016,32(1):16-18.[6] 詹慧蓉,程乾生.拟蒙特卡罗法在亚式期权定价中的应用[J].数学的实践与认识,2005,3(35):20-27.[7] 邵斌, 丁娟. GARCH模型中美式亚式期权价值的蒙特卡罗模拟算法[J]. 经济数学,2004, 21(2): 142-148.[8] 叶春翠.CIR随机波动率模型的亚式期权蒙特卡洛模拟定价方法[D].广西师范大学,2012.。
亚式期权定价模拟方法的比较研究作者：卞金萍岳芹来源：《山西能源学院学报》2021年第05期【摘要】文章研究了亚式期权的定价问题。
用蒙特卡罗法比较了算术平均亚式期权在各种不同条件下的期权价格数值，并分别用蒙特卡罗法和控制变量法对亚式期权和欧式进行了数值模拟比较，最后用控制变量法对算术亚式期权和几何亚式期权做了比较分析。
【关键词】亚式期权; Monte Carlo模拟;控制变量; 期权定价【中图分类号】F830 【文献标识码】 A 【文章编号】 2096-4102（2021）05-0042-03我国金融市场的快速发展，出现了各种新型期权，亚式期权（Asianoptions）就是其中的一种。
本文用Monte Carlo法比较分析了算术看涨亚式期权在各种不同条件下的计算值，利用控制变量法模拟出了亚式期权和欧式期权的数值，并对算术、几何平均亚式期权做了对比分析。
一、亚式期权定价模型（一）亚式期权在有效期[0，T]内，采用几何平均法计算的称为几何亚式期权，采用算术平均法的称为算术亚式期权。
设S1，S2，L，Sn为股票在不同时刻t1，t2，L，tn的值，A（S）、G（S）分别表示资产价格的算术、几何亚式平均值，具体如表1所示。
各种形式的亚式期权到期日的收益情况如表2所示。
其中，J是标的资产在有效期内的平均值，K是执行价格。
（二）亚式期权的性质性质1[Ca（t，St）≤C（t，St）]其中[Ca（t，St）]为算术平均亚式看涨期权，[C（t，St）]为欧式看涨期权。
性质2 对于固定敲定价格的离散型亚式期权，有下列不等式[Cg（S0，T）≤Ca（S0，T）][Pg（S0，T）≥Pa（S0，T）]其中，[Ca（S0，T），Cg（S0，T）]分別为t=0时刻算术、几何亚式看涨期权价格;[Pa （S0，T）≥Pg（S0，T）]分别为t=0时刻算术、几何亚式看跌期权价格。
二、Monte Carlo模拟定价（一）Monte Carlo模拟的计算原理设随机变量X的期望为[μ]，X1，X2，X3，L，XN是独立同分布于X的随机样本，当N 充分大时，则有[PlimN→+∞1Ni=1NXi=μ=1]，由于[X-μσ/N∶N（0，1）]，当模拟的次数N→+∞时，由中心极限定理可得[limN→+∞PX-μσ/N≤Za/2=1-α]，由此可以得到关于[μ]的1-[α]下的显著性水平，即可模拟得到较精确的期权价格。
Vasicek随机利率模型下欧式期权定价的Mellin变换法孙娇娇【期刊名称】《《经济数学》》【年(卷),期】2019(036)003【总页数】6页(P21-26)【关键词】金融数学; Mellin变换法; Vasicek随机利率; 偏微分方程【作者】孙娇娇【作者单位】淮北师范大学数学科学学院安徽淮北 235000【正文语种】中文【中图分类】O211; F8301 引言近几十年来，多数学者在研究期权定价时都是假定利率在短期内保持不变的，如刘文倩(2018)[1]等研究了固定利率时股票价格服从混合分数布朗运动模型下不同类型障碍期权的定价公式．而在长期内利率会随着时间发生变动，因此，众多研究者们提出随机利率模型．毛志娟和梁治安(2013)[2]利用测度变换的鞅方法推导出欧式期权的解析解并用Monte Carlo方法模拟出期权数值解；Fang(2012)[3]运用鞅方法研究了Vasicek随机利率模型下欧式期权定价问题，并得到相应的定价公式；郭志东(2017)[4]利用偏微分方程的方法研究了Merton随机利率模型下的欧式期权定价问题．运用Mellin变换法研究Vasicek随机利率模型下的欧式期权定价问题也有价值．诸多文献表明，与研究期权定价的概率论方法相比，Mellin变换方法会将求解的过程简单化．Panni和Srivastav(2004)[5]运用此方法得到了欧式期权和一篮子期权的定价公式；Panni和Srivastav(2005)[6]还用这种方法研究了美式永久期权的定价问题；Robert(2011)[7]运用Mellin方法研究了Heston随机利率下的欧式期权问题，Robert(2013)[8]还运用此方法分析了跳扩散下的期权定价问题，得到期权价值的解析表达式，并利用数值算例将Mellin变换法与其他期权定价方法进行比较，进而体现出Mellin变换法的优越性；Yoon(2014)[9]则运用Mellin变换技巧得到Hull-White随机利率模型下的欧式期权定价公式．2 构建模型令St为标的资产(如股票)的价格,μt,σ1分别为股票价格的漂移率和波动率．设股票价格St满足以下的随机微分dSt=μtStdt+σ1StdWt，式中:Wt表示标准几何布朗运动．在风险中性概率测度下，以上模型可以转化为如式(1)所示的随机微分方程(1)其中代表风险中性概率测度下满足如下关系的标准布朗运动(2)在Vasicek随机利率模型下，即期利率rt在风险中性概率测度下满足如下随机微分方程drt=a(b-rt)dt+σdBt，(3)其中a,b,σ都是正的常数，Bt为布朗运动，且其中-1≤ρ≤1．在金融市场中，利率的变动会影响债券价格及相应的收益，而利率又不是可交换的资产．因此，作为利率载体的零息债券在研究利率方面起着重要的作用．接下来将给出Vasicek随机利率模型下零息债券的价格公式．令rt=r，P=P(r,t)表示无违约风险的零息债券的价格，且P(rT,T)=1．根据Feynman-Kac公式，得到定理1-2。
