第四章 积分变换法积分变换法是求解偏微分方程的一种基本方法. 不仅如此，在自然科学和工程技术的许多领域也有着广泛应用. 本章介绍Fourier 变换在求解偏微分方程定解问题中的应用. 主要以一维热传导方程，一维波动方程及平面上的Laplace 方程为主. 对于高维情形，由于计算过程要复杂一些，故只做简单介绍，也不做过多要求.§4⋅1 热传导方程Cauchy 问题4.1.1 一维热传导方程Cauchy 问题 考虑如下问题2(,), , 0 (1. 1)(,0)(), (1. 2)t xx u a u f x t x t u x x x ϕ⎧-=-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩ 下面利用Fourier 变换求解该定解问题.设0>β为常数，函数2x e β-的Fourier 变换为()224()x F e e ωββπωβ--=(1.3)为书写方便起见，引入记号ˆ()(())(),f F f x ωω=,如果f 为二元函数),(t x f ， ),))(,((),(ˆt t x f F t fωω=表示对),(t x f 中的空间变量x 作Fourier 变换的像函数，此时t 作为参数对待.对（1.1）—（1.2）关于空间变量x 作Fourier 变换得22ˆ(,)ˆˆ(,)(,), 0ˆˆ(,0)() .du t a u t f t t dtuωωωωωϕω⎧+=>⎪⎨⎪=⎩ 上面是一阶线性常微分方程的初值问题，解之可得2222()0ˆˆˆ(,)()(,)t a t a t ut e f e d ωωτωϕωωττ---=+⎰ (1.4) 利用（1.3）得),)( 21(22224t eta F e ta x t a ωπω--=),)()(21()(4)(2222τωτπττω--=----t e t a F e t a x t a记2241Γ(,)()2x a tx t eu t a πt-=（1.5）其中)(t u 为单位阶跃函数. 则有22ˆ((,))()(,)a t e F x t t ωωω-=Γ=Γ22()ˆ((,))()(,)a t e F x t t ωττωωτ--=Γ-=Γ-利用上面结果将（1.4）改写为ˆˆˆˆˆ(,)()(,)(,)(,)tu t t f t d ωϕωωωτωττ=Γ+Γ-⎰ (1.6) 对（1.6）两边取Fourier 逆变换，并利用Fourier 变换卷积公式 ))(()))((ˆ)(ˆ(21211x f f x f fF *=-ωω 便得0(,)()Γ(,(,)*Γ(,)tu x t x x t)f x x t d ϕτττ=*+-⎰()(,)(,)(,)t x t d d f x t d ϕξξξτξτξτξ∞∞-∞-∞=Γ-+Γ--⎰⎰⎰2222()()4()401()(,)2 2( )x x t a t a td ed f ed at at ξξττϕξξξτξππτ----∞∞--∞-∞=+-⎰⎰⎰(1.7)（1.7）即为定解问题（1.1）—（1.2）的解.在),(t x u 的表达式（1.7）中，函数(;)x t Γ起着一个基本作用. 如果令0≡f ，)()(x x δϕ=，则有(,)()(,)(;).u x t x x t x t δ=*Γ=Γ因此，(;)x t Γ是如下问题的解20, , 0 (1. 8)(,0)(), . (1. 9)t xx u a u x t u x x x δ⎧-=-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩而(,)x t ξΓ-和(,)x t ξτΓ--分别是下面两问题的解20, , 0 (1. 10)(,0)(), . (1. 11)t xx u a u x t u x x x δξ⎧-=-∞<<∞>⎨=--∞<<∞⎩ 2()(),, 0 (1. 12)(,0)0, . (1. 13)t xx u a u x t x t u x x δξδτ⎧-=---∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩ 由于知道了(;)x t Γ,就可直接写出（1.1）—（1.2）的解（1.7）式. 类似于求解线性方程组0=Ax ，其中A 为n m ⨯矩阵. 如果知道该齐次方程组的一个基解组，则方程的任一解可由基解组的线性组合表出. 因此，),(t x Γ的作用就相当于向量空间中的基，故称),(t x Γ为定解问题（1.1）—（1.2）的基本解(fundamental solution).基本解是线性微分方程的一个很重要的概念，不仅可以表示Cauchy 问题的解，也可用来构造Green 函数表示边值问题的解.基本解有明确的物理解释. 若在初始时刻0t =时在0x =处置放一单位点热源，则此单位点热源在x 轴上产生的温度分布便是(,)x t Γ. 类似地，若在初始时刻0t =时在x ξ=处置放一单位点热源，则此点热源在x 轴上产生的温度分布为(,)x t ξΓ-. 而将初始时刻0t =变为t τ=时，其温度分布就是(,)x t ξτΓ--.注1 在（1.1）—（1.2）解的表达式（1.7）中，如果将其中的第一项和第二项分别记为1(,)u x t 和2(,)u x t ，则1(,)u x t 是相应于(,)0f x t =时齐次方程的解，而2(,)u x t 是相应于0)(=x ϕ时非齐次方程的解.若记1(,)()*Γ(,)(,)u x t x x t M x t ϕϕ==，则由齐次化原理可知20(,)(,)tf u x t M x t d τττ=-⎰.另外，和1(,)u x t 表达式中的卷积形式类似，2(,)u x t 也可表示成某种卷积形式，请同学们试给出这一表示形式. 例1.1 求解如下定解问题20, , 0 (1.14)(,0)(), . (1.15)t xx x u a u bu cu x t u x x x ϕ⎧---=-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩ 其中,,a b c 均为常数.解 对（1.14）-（1.15）关于x 作Fourier 变换得22ˆ(,)ˆˆˆ(,)(,)(,), 0ˆˆ(,0)()dut a u t bi u t cu t t dtu ωωωωωωωϕω⎧=-++>⎪⎨⎪=⎩解之可得22() ˆˆ(,)().a bi c tut e ωωωϕω---= (1.16)为了求函数22()a bi c teωω---的Fourier 逆变换，利用配方法将其改写为222222224()()42.b a c bi t a t a bi c taaeeeωωω-------=由于222241()(),2x a t a tF eea tωωπ--=利用Fourier 变换的位移性质得000ˆ(())()()()() ,i x F f x e F f f ωωωωωω=-=- 取022biaω=得222222()4221()().2x bibi ixa t a ta aF ee ea tωωπ---=故有2222224()42((,))()b a c bi t a t aaF g x t eeωω----=22(),a bi c teωω---=其中22222244421(,)2b a c x bx taa ta g x t eeea tπ----=22()4.2x bt cta tee a tπ+-=记22()41Γ(,)()2x bt c ta tex t e u t a πt+-=其中)(t u 为单位阶跃函数. 1(;)x t Γ即为定解问题（1.14）—（1.15）的基本解.将（1.16）改写为1ˆˆˆ(,)()(,) ,u t t ωϕωω=Γ.,求Fourier 逆变换得1(,)()Γ(,)u x t x x t ϕ=*1()(,)x t d ϕξξξ∞-∞=Γ-⎰ 22()4() .2x bt cta te ed a tξϕξξπ-+-∞-∞=⎰如果将（1.15）中的齐次方程改为非齐次方程 ，考虑如下定解问题2(,),, 0 (,0)0, . t xx x u a u bu cu f x t x t u x x ⎧=+++-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩请同学们写出该定解问题的解.例1.2 求解如下定解问题20, , 0(,0)(), .t xx u a u x t u x x x ϕ⎧-=-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩ 其中0, ()0, .A x x x x x ϕ>⎧=⎨<⎩解 由（1.7）可得该问题的解为22220()()441(,)(),2 2 x x a ta tx A u x t ed ed at at ξξϕξξξππ----∞∞-∞==⎰⎰对积分作变量代换 2x a tξα-=得 02222202020(,) [][]2x x a t x x a t x x a t Au x t e d Aed e d Ae d αααααπααππαπ---∞----∞--==+=+⎰⎰⎰⎰引入下面函数22()xx e d ααπ-Φ=⎰（1.17）该函数称为误差函数. 利用误差函数可得(,)()222x x A A u x t a t-=+Φ. 4.1.2* 二维热传导方程Cauchy 问题为加深对线性微分方程基本解的进一步理解,下面再求解二维热传导方程Cauchy 问题222()(,,), (,)R , 0 (1.18)(,,0)(,), (,)R . (1.19)t xx yy u a u u f x y t x y t u x y x y x y ϕ⎧-+=∈>⎪⎨=∈⎪⎩ 为求解(1.19)—(1.20)，先求二维热传导方程的基本解,即如下定解问题的解222()0, (,)R , 0 (1.20)(,,0)()(), (,)R . (1.21)t xx yy u a u u x y t u x y x y x y δδ⎧-+=∈>⎪⎨=∈⎪⎩引入二元函数的Fourier 变换12()12()(,)(,)i x y F f f x y e dxdy ωωωω∞∞-+-∞-∞=⎰⎰和一元函数Fourier 变换的性质相对应，二元函数的Fourier 变换也有类似性质.对(1.20)-(1.21)关于空间变量作Fourier 变换得22ˆ(,)ˆ(,)0, 0ˆ(,0) 1.dut a u t t dtuωωωω⎧+=>⎪⎨⎪=⎩其中2221212(,) , ωωωωωω==+. 解之可得22222212ˆ(,)a ta t a t ut e e e ωωωω---==.故有2212222211222222222()1121221244421(,,)()(,)(2)11=2211=221=.(2)a t i x y a t ix a t iy xy a t a tx y a tu x y t F f eed d eed e e d eea ta t e a t ωωωωωωωωωωωπωωπππππ∞∞-+--∞-∞∞∞---∞-∞--+-==⎰⎰⎰⎰即(1.18)-(1.19)的基本解为222421Γ(,,)().(2)x y a tx y t eu t a πt +-=与（1.7）相对应，（1.20）—（1.21）的解为(,,)(,)*Γ(,,)(,,)*Γ(,,)tu x y t x y x y t f x y x y t d ϕτττ=+-⎰(,)(,,)x y t d d ϕξηξηξη∞∞-∞-∞=Γ--+⎰⎰(,,)(,,).t d f x y t d d τξητξητξη∞∞-∞-∞Γ---⎰⎰⎰作为练习，同学们试用Fourier 变换求解三维热传导方程Cauchy 问题. §4⋅2 波动方程Cauchy 问题4．2．1 一维波动方程Cauchy 问题考虑如下定解问题2(,), , 0 (2.1)(,0)(), (,0)(), . (2.2)tt xx t u a u f x t x t u x x u x x x ϕψ⎧-=-∞<<∞>⎪⎨==-∞<<∞⎪⎩20, , 0 (2.3)(,0)0, (,0)(), . (2.4)tt xx t u a u x t u x u x x x ψ⎧-=-∞<<∞>⎪⎨==-∞<<∞⎪⎩ 若记（2.3）—（2.4）的解为(,)(,)u x t M x t ψ=，则由叠加原理和齐次化原理可得（2.1）—（2.2）的解为0(,)(,)(,)(,)t f u x t M x t M x t M x t d tτϕψττ∂=++-∂⎰ (2.5)因此，只须求解定解问题（2.3）—（2.4）.对（2.3）—（2.4）关于空间变量x 作Fourier 变换得2222ˆ(,)ˆ(,)0, 0ˆˆˆ(,0)0, (,0)().t d u t a u t t dt u uωωωωωψω⎧+=>⎪⎨⎪==⎩ 解之可得sin ˆˆ(,)() .a tut a ωωψωω= 记1, 2(;) 0, .x atax t x at ⎧<⎪Γ=⎨⎪≥⎩查Fourier 变换表或直接计算可得sin ˆ((;))()(,)a t F x t t a ωωωωΓ=Γ= 故有ˆˆˆ(,)()(,),ut t ωψωω=Γ 对上式取Fourier 逆变换并利用卷积公式得(,)()*Γ(,)u x t x x t ψ=()(,)x t d ψξξξ∞-∞=Γ-⎰1()2x atx at d aψξξ+-=⎰ . 利用（2.5）便得（2.1）—（2.2）的解为0(,)(,)(,)(,)t f u x t M x t M x t M x t d t τϕψττ∂=++-∂⎰11(())()22x at x at x at x at d d t a aϕξξψξξ++--∂=+∂⎰⎰ ()0()1(,)2tx a t x a t d f d a τττξτξ+---+⎰⎰[]11()()()22x at x atx at x at d a ϕϕψξξ+-=++-+⎰ ()0()1(,)2tx a t x a t d f d a τττξτξ+---+⎰⎰ (2.6)当0f ≡时，（2.6）称为一维波方程Cauchy 问题的达朗贝尔（D ’Alembert ）公式.注1 在（2.4）中取()()x x ψδ=，则有(,)(;)u x t x t =Γ，即(;)x t Γ是如下定解问题20, , 0(,0)0, (,0)() .tt xx t u a u x t u x u x x x δ⎧-=-∞<<∞>⎪⎨==-∞<<∞⎪⎩ 的解，称其为一维波动方程的基本解. 利用基本解(;)x t Γ，就可写出（2.1）—（2.2）的解（2.6）式. (;)x t Γ在（2.6）的表达式中也起到一个“基”的作用.4.2.2* 二维和三维波动方程Cauchy 问题下面，首先利用Fourier 变换求解三维波动方程Cauchy 问题,然后用降维法求出二维波动方程Cauchy 问题的解.考虑三维波动方程Cauchy 问题2333(,,,),(,,),0, (2.7)(,,,0)(,,),(,,), (2.8)(,,,0)(,,),(,,). (2.9)tt tu a u f x y z t x y z R t u x y z x y z x y z R u x y z x y z x y z R ϕψ⎧-∆=∈>⎪=∈⎨⎪=∈⎩为求解定解问题(2.7)—(2.9)，先求出三维波动方程的基本解，即如下问题的解,23330, (,,), 0 (2.10)(,,,0)0, (,,) (2.11)(,,,0)()()(), (,,). tt t u a u x y z R t u x y z x y z R u x y z x y z x y z R δδδ-∆=∈>=∈=∈ (2.12)⎧⎪⎨⎪⎩记2222123123(,,) , ωωωωωωωω==++. 对定解问题(2.10)—(2.12)关于空间变量 作Fourier 变换得2222ˆ(,)ˆ(,)0, 0ˆˆ(,0)0, (,0) 1.t d u t a u t t dt uu ωωωωω⎧+=>⎪⎨⎪==⎩解之可得sin ||ˆ(,).||a tut a ωωω=故有123312331 ()1233()1233ˆ(,,,)()(,,,)1ˆ =(,)(2)sin 1 =(2)i x y z R i x y z R u x y z t F u x y z t u t e d d d a t e d d d a ωωωωωωωωωωπωωωωπω-++++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰为计算上面积分,首先对上面积分作变量代换v A ωT T =,其中123(,,) , v v v v =A 为三阶正交矩阵. 选A 使得将(,,)x y z 变为(0,0,)r ，222 r x y z =++. 根据正交变换的保内积性可得，该变换将123 , x y z ωωωω++分别变为3 , v rv .故有33 1233sin 1(,,,)(2)i rv R a v t u x y z t e dv dv dv a v π=⎰⎰⎰，再利用球坐标变换123cos sin sin sin cos v v v ρθϕρθϕρϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩ 可得22 cos 3000cos 200 201sin (,,,)=sin (2) =sin (2) =sin() ()(2)i r i r i r i r a t u x y z t d d e d a i a t e d ar i a t e e d ar ππρϕπρϕρρρθρρϕϕπρρρπρρπ∞∞∞---⎰⎰⎰⎰⎰22sin() ()81( )()16i r i r i a t i a t i r ir i a t e e d ar e e e e d ar ρρρρρρρρπρπ∞--∞∞---∞=--=---⎰⎰. 注意到()(0)2()2()i i e d F e αραρωρπδωαπδα∞=-∞==-=⎰，221(,,,)( )()1612[()(())()()]161[()()]41().4 i a t i a t i r ir u x y z t e e e e d ar r at r at r at at r ar r at r at ar r at ar ρρρρρππδδδδπδδπδπ∞---∞=---=-⋅++-+----=--+=-⎰记1(,,,)()4x y z t r at arδπΓ=- (,,,)x y z t Γ即为三维波动方程的基本解.因此，当0==ϕf 时，(2.7)—(2.9)的解为33R R (,,,)(,,,) =(,,)(,,,)=(,,)(,,,)()=(,,). 4u x y z t M x y z t x y z x y z t x y z t d d d r at d d d arψψψξηζξηζξηζδψξηζξηζπ=*ΓΓ----⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中222()()()r x y z ξηζ=-+-+-.对任一0t >， 记以点(,,)x y z 为心at 为半径的球面为(,,)r S x y z ，即3(,,){ (,,) }r S x y z R r at ξηζ=∈=. 将上面的积分化为累次积分并由δ函数的定义可得(,,)(,,)2(,,)2(,,,)(,,,)(,,)=()()4(,,)=4(,,) =41=(,,4rratS x y z r atS x y z S x y z u x y z t M x y z t r at ds dr ar ds ar ds a t a t ψψξηζδπψξηζπψξηζπψξηζπ∞==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(,,)) . (2.13)at S x y z ds ⎰⎰最后，由叠加原理和齐次化原理便得(2.7)—(2.9)的解为22(,,)(,,)111(,,,)(,,)(,,)44at at S x y z S x y z u x y z t ds ds a t t a t ϕξηζψξηζππ⎛⎫∂=+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰211(,,,)4r f t d d d a r a ξηζξηζπΩ+-⎰⎰⎰ (2.14) 其中 (,,){ (,,) }a t B x y z r at ξηζΩ==<.(2.14)称为三维波动方程Cauchy 问题的克希霍夫（Kirchhoff ）公式.利用Fourier 变换求二维波动方程的基本解比较难. 利用三维空间中已有的结果（2.13），下面用降维法求二维波动方程Cauchy 问题.考虑如下三维波动方程Cauchy 问题2330,(,,),0 (,,,0)0,(,,,0)(,),(,,) tt t u a u x y z R t u x y z u x y z x y x y z R ψ⎧-∆=∈>⎪⎨==∈⎪⎩（2.15）（2.16）对于定解问题（2.15）—（2.16），由于初始数据与z 无关，可推知解u 与z 也无关，故有zz u ＝0，即定解问题（2.15）－（2.16）其实是一个二维波动方程Cauchy 问题, 由(2.13)可得该问题的解为2(,,)2(,,)1(,,)(,)41=(,) (2.17)2at atS x y z S x y z u x y t ds a t ds a t ψξηπψξηπ+=⎰⎰⎰⎰其中22222(,,){(,,)|()()(),}atS x y z x y z a t z ξηζξηζξ+=-+-+-=≥. 对于上半球面(,,)atS x y z +直接计算得 2222221()() ()()ds d d atd d a t x y ζζξηξηξηξη∂∂=++∂∂=----将上式代入到（2.17）中便得222(,)(,,)(,,)1(,). (2.18)2at B x y u x y t x y t d d a a t rψξηξζπ=Γ=-⎰⎰其中22()()r x y ξη=---，(,){(,)|}at B x y r at ξη=<.和三维情形类似，由（2.18）可得二维波动方程Cauchy 问题2222(,,),(,),0 (2.19)(,,,0)(,),(,), (2.20)(,,,0)(,),(,). (2.21)tt tu a u f x y t x y R t u x y z x y x y R u x y z x y x y R ϕψ⎧-∆=∈>⎪=∈⎨⎪=∈⎩ 的解为222222(,)(,)1(,)1(,)(,,)22at at B x y B x y u x y t d d d d a t a a t r a t r ϕξηψξηξηξηππ∂=++∂--⎰⎰⎰⎰()222(,)1(,,)2()a t tB x y f d d d a a t r τξηττξηπτ---⎰⎰⎰（2.22） （2.22）称为二维波动方程Cauchy 问题的波以松（Poisson ）公式.4.2.3 解的物理意义对一维波动方程Cauchy 问题，如果无外力作用，则解由D’Alembert 公式给出，即[]11(,)()()() .22x atx at u x t x at x at d aϕϕψξξ+-=++-+⎰ 将上式改写为(,)()() ,u x t f x at g x at =++-其中011()()() ,22x atf x at x at d a ϕψξξ++=++⎰11()()() .22x at g x at x at d aϕψξξ--=-+⎰ 记1(,)()u x t f x at =+，2(,)()u x t g x at =-，则12(,)(,)(,).u x t u x t u x t =+.首先考虑1(,)() .u x t f x at =+当0t =时1(,0)() .u x f x =在(,)x u 平面上画出函数()f x 的图形，则()f x at +的图形可通过()f x 的图形向左平移at 个单位长度而得. 随着t 的增加，()f x 的图形不断向左平移，移动速度为a ，故称1(,)u x t 为左传播波，a 为波速. 同样道理，2(,)()u x t g x at =-称为右传播波. D’Alembert 公式表明:弦线在t 时刻的振动是初始振动所产生的右传播波和左传播波的叠加.其次，从D’Alember t 公式还可看出:u 在(,)x t 的值(,)u x t 只与x 轴上区间[],x at x at -+上初始值有关，而与其它点的初始值无关. 这是由于波速为a ，在区间[],x at x at -+外的初始扰动在时刻t 还未传播到点x ，故称区间[],x at x at -+为点(,)x t 的依赖区间. 在(,)x t 平面上，过(,)x t 点分别作斜率为1a±的直线，两条直线在x 轴上所截得的区间便是[],x at x at -+（图2.1()a ）.给定x 轴上的区间[]12,x x ，过点1(,0)x 作直线1x x at =+，过点2(,0)x 作直线2x x at =-，它们和x 轴构成了一个三角形区域（图2.1()b ）.由于该区域内任一点的依赖区间都落在区间[]12,x x 内，因此，解在此三角形区域内的值完全由区间[]12,x x 上的初始值决定，而与此区间外的初始值无关，故称此三角形区域为区间[]12,x x 的决定区域. 同理，过点1(,0)x 作直线1x x at =-，过点2(,0)x 作直线2x x at =+，它们和x 轴构成一个梯形区域（图2.1()c ），该区域称为区间[]12,x x 的影响区域，它表示区间[]12,x x 上初始扰动对弦线振动的作用范围.t (x , t ) t t决定区域 影响区域x x x 0 x at - x a t + 0 1x 2x 0 1x 2x(a ) (b ) (c )图2.1由上面分析可得,波以常速a 沿两族直线x at c ±=向左﹑右两个方向传播，这是波动现象的一个基本特征. 直线x at c ±= 称为一维波动方程的特征线，它们在一维波动问题的研究中起着重要作用.当0f =时，对公式（2.14）和（2.22）进行分析，便可得到和上面类似的结论.对二维波动方程，一点(,,)x y t 的依赖区域是以(,)x y 为心，at 为半径的圆域；而对三维波动方程，一点(,,,)x y z t 的依赖区域是以(,,)x y z 为心，at 为半径的球面，而不是球形区域. 反映在波的传播过程中，平面波有前阵面而无后阵面，正像把一块石子扔在湖中，在湖面上激起层层浪花，这种现象称为波的弥漫现象；而空间波既有前阵面又有后阵面，正像人们听到声音，一会儿就消失了，这种现象称为空间波传播的无后效现象,此即Huygens 原理.§4⋅3 积分变换法举例在前二节中，利用Fourier 变换求出了热传导方程和波动方程Cauchy 问题的解. 下面再进一步举例，说明积分变换法在求解偏微分方程定解问题中的作用.例3.1 求解如下定解问题(,), , 0 (3.1)(,0)(), . (3.2)t x u au f x t x t u x x x ϕ+=-∞<<∞>⎧⎨=-∞<<∞⎩其中a 为实数.解 对（3.1）—（3.2）关于空间变量x 作Fourier 变换得ˆ(,)ˆˆ(,)(,), 0ˆˆ(,0)().du t ai u t f t t dtuωωωωωϕω⎧+=>⎪⎨⎪=⎩ 解之可得()0ˆˆˆ(,)()(,)tait ai t ut e f e d ωτωωϕωωττ---=+⎰ （3.3） 由于(())()ait F x at e ωδω--= ()((()))()ai t F x a t e τωδτω----=故（3.3）可表示为ˆˆˆˆˆ(,)()()()(,)(())()t u t x at f x a t d ωϕωδωωτδτωτ=-+--⎰对上式取Fourier 逆变换得0(,)()()(,)(()tu x t x x at f x x a t d ϕδτδττ=*-+*--⎰()()(,)(())t x at d d f x a t d ϕξδξξτξτδξτξ∞∞-∞-∞=--+---⎰⎰⎰()((),).t x at f x a t d ϕτττ=-+--⎰ 例3.2 求半平面上调和方程边值问题的有界解(,0)(), . (3.5)xx yy u x f x x ⎨=-∞<<∞⎩ 解 对（3.4）—（3.5）关于变量x 作Fourier 变换得222ˆ(,)ˆ()(,)0, 0ˆˆ(,0)().d u y i u y t dy u f ωωωωω⎧+=>⎪⎨⎪=⎩ 解之可得12ˆ(,)y y uy C e C e ωωω-=+ 由于u 有界，故20 .C =结合初始条件可得ˆˆ(,)() y u t f e ωωω-= （3.6） 直接求yeω-的Fourier 逆变换得11()()2y y ix F e x ee d ωωωωπ∞----∞=⎰1cos()y e x d ωωωπ∞-=⎰2201sin()cos()y x x y x e x y ωωωπ∞--=+ 221(,)yg x y x y π==+故（3.6）可表示为ˆˆˆ(,)() g(,)uy f y ωωω= 对上式取Fourier 逆变换得)))(,(*)((),(x y g f y x u ⋅⋅=() g(,)f x y d ξξξ∞-∞=-⎰221().()yf d x y ξξπξ∞-∞=-+⎰ 例3.3* 设有一单位长度均匀杆，侧面绝热，两端温度为零度.若初始温度为sin 2x π，求杆内的温度分布.解 设(,)u x t 为杆内温度分布，则u 满足如下定解问题(0,)(1,)0, 0 (3.8)(,0)sin 2, 0 1. (t xx u t u t t u x x x π==≥=≤≤ 3.9)⎪⎨⎪⎩对（3.7）—（3.9）关于时间变量t 作Laplace 变换,并记(,)u x t 的像函数为(,)u x s 可得222(,)(,)(,0)0(0,)(1,)0.d u x s su x s u x a dx u s u s ⎧--=⎪⎨⎪==⎩即2222(,)1(,)sin 2 (3.10) (0,)(1,)0 (3.11)d u x s s u x s x dx a a u s u s π⎧-=-⎪⎨⎪==⎩（3.10）是常系数二阶线性常微分方程，非齐次项为三角函数. 易得该方程 通解为1222sin 2(,)4s s x x aaxu x s C eC es a ππ-=+++利用边界条件（3.11）得10C =，20,C =故22sin 2(,)4xu x s s a ππ=+取Laplace 逆变换可得224(,)sin 2a tu x t e x ππ-=.例3.4* 求下面半无界弦振动问题有界的解2cos , 0, 0 (3.12) (,0)0, (,0)0, 0 (3.13)(0,)0, 0. tt xx t u a u t x t u x u x x u t t ρω-=>>==≥=≥ (3.14)⎧⎪⎨⎪⎩解 对（3.12）—（3.14）关于时间变量t 作Laplace 变换得222222(,)(,)(0,)0,d u x s s s u x s adx s u s u ρω⎧-=⎪+⎨⎪=⎩有界. 或者2222222(,)(1)(,)()(0,)0,d u x s s su x s dxa a s u s u ρω⎧--=⎪+⎨⎪=⎩有界. 解之可得1222(,)()s s x x aau x s C e C es s ρω-=+++由于u 有界，故20 .C =结合初始条件可得22(,)(1)()s x au x s es s ρω-=-+ (3.15)对（3.15）取Laplace 逆变换可得)()(),(221t s s t x u -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ωρL )()(221t s s e x a s -⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--ωρL (3.16) 由于)()(221t s s -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ωρL =)()1(2221t s s s -⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ωωρL =))(())(1(221212t s s t s --ωωρωρ+- L L 2222(1cos )sin 2tt ρρωωωω=-= (3.17) 利用Laplace 变换的延迟性质)()))(()((s f e s t u t f s τττ-=--L其中()u t 为阶跃函数. 取x aτ=得 )()(221t s s e x a s -⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ωρL =)()()(221a x t u a x t s s ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ωρL 22()2sin ()2xt x a u t aωρω-=- 22()2sin , 2 0, 0 . x t x a t a x t a ωρω⎧-⎪≥⎪=⎨⎪≤<⎪⎩(3.18)将（3.17）—（3.18）代入到（3.16）中便得222222sin sin () , 22(,)2sin , 0 . 2t x x t t a au x t t x t a ρωωωρωω⎧⎡⎤--≥⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎪≤<⎪⎩ 注1 定解问题（3.7）—（3.9）也可用分离变量法求解. 一般而言，Laplace变换方法的求解过程比较繁琐，而分离变量法已成固定模式，求解过程相对简明.习 题 四1. 用Fourier 变换求解如下定解问题（1） 20, , 0, 2(,0)0, 2.t xx u a u x t A x u x x ⎧-=-∞<<∞>⎪>⎨⎧=⎨⎪<⎩⎩（2） 40, , 0, 1(,0) 0, 1t xx u u x t h x u x x -=-∞<<∞>⎧⎪⎧<⎨⎪=⎨⎪>⎪⎩⎩2*用Fourier 变换求解如下定解问题（1） 20, , 0 , 0(,0) 0, 0.t xx x u a u x t e x u x x -⎧-=-∞<<∞>⎪⎧>⎨=⎨⎪<⎩⎩（2） 2, , 0(,0)0, . t t xx u a u e x t u x x -⎧-=-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩ 3. 用Fourier 变换求解如下定解问题（1） 2, , 0(,0)sin , .t t x u u xe x t u x x x -⎧+=-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩（2） 23, , 0(,0)(), . t x u u u x t u x x x ϕ=+-∞<<∞>⎧⎨=-∞<<∞⎩4. 求解如下一维波动方程Cauchy 问题（1） sin , , 0(,0)0, (,0)0, . tt xx t u u t x x t u x u x x -=-∞<<∞>⎧⎨==-∞<<∞⎩（2） 22, , 0 1(,0)sin , (,0), . 1tt xx t u a u tx x t u x x u x x x ⎧-=-∞<<∞>⎪⎨==-∞<<∞⎪+⎩5*求解如下Cauchy 问题（1） 222()0, (,)R , 0(,,0), (,,0)=0, (,)R . tt xx yy t u a u u x y t u x y xy u x y x y ⎧-+=∈>⎪⎨=∈⎪⎩（2） 2222()0, (,)R , 0(,,0)0, (,,0)=, (,)R . tt xx yy t u a u u x y t u x y u x y x y x y ⎧-+=∈>⎪⎨=∈⎪⎩ （3） 2323()0, (,,)R , 0 (,,,0)0, (,,,0)=, (,,)R .tt xx yy zzt u a u u u x y z t u x y z u x y z x z x y z ⎧-++=∈>⎪⎨=∈⎪⎩6. 由三维波动方程Cauchy 问题解的公式，利用降维法求解如下问题20, , 0 (,0)0, (,0)(), .tt xx t u a u x t u x u x x x ψ⎧-=-∞<<∞>⎪⎨==-∞<<∞⎪⎩7. 考虑如下定解问题20, , 0(,0)(), (,0)(), .tt xx t u a u x t u x x u x x x ϕψ⎧-=-∞<<∞>⎪⎨==-∞<<∞⎪⎩ 设()x ϕ和()x ψ为直线R 上奇（偶，周期为T 的）函数，证明该问题的解(,)u x t 关于变量x 也是奇（偶，周期为T 的）函数. 对于一维热传导方程Cauchy 问题，类似结果是否成立？8*设()x ϕ和()x ψ在{0}x x ≥二阶连续可导，(0)(0)0ϕψ==，求解如下波动方程半无界问题20, 0, 0(0,)0, 0(,0)(), (,0)(), 0 . tt xx t u a u x t u t t u x x u x x x ϕψ⎧-=<<∞>⎪=≥⎨⎪==<<∞⎩如将该问题的边界条件换为 (0,)0, 0x u t t =≥，如何求解相应的定解问题？9．考虑如下定解问题000, , 0(), 0, .tt xx t t t u u x t u x u x ϕ==-=-∞<<∞>⎧⎪⎨==-∞<<∞⎪⎩其中初始波形为如下锯齿波1, 12()3, 230, .x x x x x ϕ-<<⎧⎪=-<<⎨⎪⎩其它（1）分别画出1,2t =时刻的(,)u x t 的波形图.（2）如果将初始位移换为1()()()x x x ϕϕϕ=--，分别画出1,2t =时刻的(,)u x t 的波形图.10． 考虑如下定解问题030, , 00, (), . tt xx t t t u u x t u u x x ψ==-=-∞<<∞>⎧⎪⎨==-∞<<∞⎪⎩其中2e , 13()0, .x x x ψ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它 试找出(,)u x t 恒为零的区域,又弦线上10x =-的点在那个时刻开始振动. 11. 考虑如下定解问题2200()0, (,), 00, (,), (,).tt xx yy t t t u u u x y R t u u x y x y R ψ==⎧-+=∈>⎪⎨==∈⎪⎩ 其中, (,)(,)0, .x y x y ψ∈Ω⎧=⎨⎩正值其它 若区域Ω为正方形{ (,) 1 1 , 1 1 }x y x y -<<-<<，试指出(,,10)u x y 恒为零的区域.12. 考虑如下定解问题3300()0, (,,), 00, (,,), (,,).tt xx yy zz t t t u u u u x y z R t u u x y z x y z R ψ==⎧-++=∈>⎪⎨==∈⎪⎩ 若(,,)x y z ψ除在球形域222{ (,,) (1) 1 }x y z x y z -++≤取正值外其它恒为零，试指出(,,,10)u x y z 恒为零的区域.13*求解下面定解问题21200, , 0(,0),0, .tt xx x t t u u u x t u x e u x -=-+=-∞<<∞>⎧⎪⎨==-∞<<∞⎪⎩ 14*考虑下面定解问题20, , 0 (,0)cos , . t xx u a u x t u x x x ⎧-=-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩求出该定解问题解的有限表达形式.[利用结果2240cos ,0]4b ax ae bxdx ea aπ-∞-=>⎰.15*考虑下面定解问题230, , 0 (,0), . t xx u a u x t u x x x ⎧-=-∞<<∞>⎪⎨=-∞<<∞⎪⎩求出该问题解的有限表达形式.16*利用误差函数求解下面定解问题20, , 0 (,0)(), . t xx u a u x t u x x x ϕ⎧-=-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩其中, 0(), 0.A x xB x ϕ>⎧=⎨<⎩。
