2019.1海淀高三上学期期末数学(理科)

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2019.1本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1、双曲线22122x y -=的左焦点坐标为A ．(2,0)-B ．(C ．(1,0)-D ． (4,0)-答案：A考点：双曲线的性质。

解析：a b ==c =2，所以，左焦点为（－2,0），选A 。

2、已知向量,a b 满足=(20(t =)，，1)a ,b ， 且a ⋅=a b ，则,a b 的夹角大小为 A ．6πB ．4πC ．3πD ．512π答案：B考点：平面向量的数量积，三角函数。

解析：由a ⋅=a b 得：（2,0）（t ，1）＝2，即2t ＝2，得t ＝1，由a •b ＝｜a ｜｜b ｜cos θ，得：2＝2θ，所以，cos θ＝2，夹角θ＝4π。

3、已知等差数列{}n a 满足1=2a ，公差0d ≠，且125,,a a a 成等比数列，则=d A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4答案：D考点：等差数列及等比数列的通项公式。

解析：125,,a a a 成等比数列，得2215a a a =⨯，即：2(2)2(24)d d +=⨯+，化简，得：24d d -＝0，因为0d ≠，所以，d =44、直线+1y kx =被圆222x y +=截得的弦长为2，则k 的值为A ．0B ．±12C ．±1D ．±2答案：A考点：直线与圆的位置关系。

解析：圆心坐标为（0,0），半径R 10kx y -+=，圆心到直线的距离为：d，因为直线截圆的弦长为2，所以，2221+=，化为：2111k =+，解得：k ＝0。

5、以正六边形的6个顶点中的3个作为顶点的三角形中，等腰三角形的个数为A ．6B ．7C ．8D ．12答案：C考点：正多边形的性质。

海淀区高三年级第一学期理科数学期末测试一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．已知=-=αα2cos ,53cos 则 （ ）A ．257 B ．257-C ．2524 D ．2524- 2．已知抛物线的方程为y 2=4x ，则此抛物线的焦点坐标为（ ）A ．（－1，0）B ．（0，－1）C ．（1，0）D ．（0，1）3．设集合1,,},4,3,2,1{22=+∈=ny m x A n m A 则方程表示焦点位于x 轴上的椭圆有（ ）A ．6个B ．8个C ．12个D ．16个4．已知三条不同直线m 、n 、l ，两个不同平面βα,，有下列命题： ①βαββαα////,//,,⇒⊂⊂n m n m②ααα⊥⇒⊥⊥⊂⊂l n l m l n m ,,, ③αββαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥n m n n m ,,, ④αα//,//m n n m ⇒⊂ 其中正确的命题是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②④D ．③5．某台机器上安装甲乙两个元件，这两个元件的使用寿命互不影响.已知甲元件的使用寿命超过1年的概率为，要使两个元件中至少有一个的使用寿命超过1年的概率至少为，则乙元件的使用寿命超过1年的概率至少为 （ ）A ．B ．C ．D ．6．已知函数),20,0)(sin(πϕωϕω≤<>+=x y且此函数的图象如图所示，则点P （),ϕω的坐 标是 （ ） A ．)2,2(πB ．)4,2(πC ．)2,4(πD ．)4,4(π7．已知向量),sin 3,cos 3(),sin ,cos 2(ββαα==b a 若向量a 与b 的夹角为60°，则直线 21)sin ()cos (021sin cos 22=++-=+-ββααy x y x 与圆的位置关系是 （ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交且过圆心8．动点P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上异于椭圆顶点（±a ，0）的一点，F 1、F 2为椭圆的两个焦点，动圆C 与线段F 1、P 、F 1F 2的延长线及线段PF 2相切，则圆心C 的轨迹为除去坐标轴上的点的（ ）A ．一条直线B ．双曲线的右支C ．抛物线D ．椭圆二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．已知双曲线1422=-x y ，则其渐近线方程是 ，离心率e= . 10．在复平面内，复数i z i z 32,121+=+=对应的点分别为A 、B 、O 为坐标原点，OB OA OP λ+=.若点P 在第四象限内，则实数λ的取值范围是 .11．等差数列{a n }的公差为3，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2= . 12．已知正四棱锥P —ABCD 中，PA=2，AB=2，M 是侧棱PC 的中点，则异面直线PA 与BM 所成角大小为 .13．动点P 在平面区域|)||(|2:221y x y x C +≤+内，动点Q 在曲线1)4()4(:222=-+-y x C上，则平面区域C 1的面积为 ，|PQ|的最小值为 . 14．已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∠BAD=60°， 长为2的线段MN 的一个端点M 在 DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动.则MN 中点P 的轨迹与直平行 六面体表面所围成的几何体中较小体积值 为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题共13分）在三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若B c a C b cos )2(cos -=. （Ⅰ）求∠B 的大小； （Ⅱ）若,4,7=+=c a b 求三角形ABC 的面积.16．（本小题共13分）已知圆C 的方程为：.422=+y x（Ⅰ）直线l 过点P （1，2），且与圆C 交于A 、B 两点，若,32||=AB 求直线l 的方程； （Ⅱ）过圆C 上一动点M 作平行与x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量 ON OM OQ +=，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.17．（本小题共13分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，,6,3,1,901===︒=∠AA CA CB ACB M 为侧棱CC 1上一点，AM ⊥BA 1 （Ⅰ）求证：AM ⊥平面A 1BC ； （Ⅱ）求二面角B —AM —C 的大小； （Ⅲ）求点C 到平面ABM 的距离.18．（本小题共14分）设函数)1ln(2)1()(2x x x f +-+=. （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）当0＜a ＜2时，求函数]30[1)()(2，在区间---=ax x x f x g 的最小值.19．（本小题共14分）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦点分别为F 1（－1，0）、F 2（1，0），右准线l 交x轴于点A ，且.221AF AF = （Ⅰ）试求椭圆的方程；（Ⅱ）过F 1、F 2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D 、E 、M 、N 四点（如图所示），试求四边形DMEN 面积的最大值和最小值.20．（本小题共13分）已知函数f （x ）的定义域为[0，1]，且满足下列条件： ①对于任意;4)1(,3)(],1,0[=≥∈f x f x ，且总有②若.3)()()(,1,0,021212121-+≥+≤+≥≥x f x f x x f x x x x 则有 （Ⅰ）求f （0）的值； （Ⅱ）求证：4)(≤x f ； （Ⅲ）当33)(,...)3,2,1](31,31(1+<=∈-x x f n x n n时，试证明：.参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9．x y 2±=，（缺一扣1分）25 10．3121-<<-λ 11．－9 12．4π 13．π48+，122- 14． 92π三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共13分）解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得sin B cos C = 2sin A cos B －cos B sin C …………………………………………………2分 ∴2sin A cos B = sin B cos C +cos B sin C = sin(B +C )又在三角形ABC 中，sin (B +C ) = sin A ≠0 ………………………………………3分 ∴2sinAcosB = sinA ，即在△ABC 中，cosB=21，………………………………5分3π=B ………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）B ac c a b cos 27222-+==Θac c a -+=∴227………………………………………………………………8分又ac c a c a 216)(222++==+Θ3=∴ac …………………………………………………………………………10分 B ac S ABC sin 21=∴∆ 43323321=⨯⨯=∴∆ABC S …………………………………………………13分 16．（共13分）解：（Ⅰ）①直线l 垂直于x 轴时，直线方程为x =1，l 与圆的两个交点坐标为（1，3）和（1，－3），其距离为32 满足题意………………………………………1分 ②若直线l 不垂直于x 轴，设其方和为)1(2-=-x k y ，即02=+--k y kx …………………………………………………………2分 设圆心到此直线的距离为d ，则24232d -=，得d =1…………………3分 1|2|12++-=∴k k ，43=k ，………………………………………………………4分 故所求直线方程为0543=+-y x ………………………………………………5分 综上所述，所求直线方程为0543=+-y x 或x =1……………………………6分（Ⅱ）设点M 的坐标为)0)(,(000≠y y x ，Q 点坐标为（x ，y ）则N 点坐标是),0(0y …7分,+=Θ2,)2,(),(0000yy x x y x y x ===∴即………………………………………………9分又)0(44,4222020≠=+∴=+y y x y x Θ……………………………………………11分 ∴Q 点的轨迹方程是)0(,116422≠=+y y x …………………………………………12分 轨迹是一个焦点在y 轴上的椭圆，除去短轴端点. …………………………………13分 注：多端点时，合计扣1分. 17．（共13分）证明：（Ⅰ）在直三棱柱111C B A ABC -中，易知面⊥11A ACC 面ABC ， ︒=∠90ACB Θ，11A ACC BC 面⊥∴，……………………………………………………………2分 11A ACC AM 面⊆Θ AM BC ⊥∴B BA BC BA AM =⊥11I Θ，且BC A AM 1平面⊥∴……………………………………………………………4分解：（Ⅱ）设AM 与A 1C 的交点为O ，连结BO ，由（Ⅰ）可知AM ⊥OB ，且AM ⊥OC ，所以∠BOC 为二面角 B －AM －C 的平面角，…………………………5分在Rt △ACM 和Rt △A 1AC 中，∠OAC+∠ACO=90°， ∴∠AA 1C=∠MAC ∴Rt △ACM~ Rt △A 1AC ∴AC 2= MC ·AA 1 ∴26=MC ……………………………………7分 ∴在Rt △ACM 中，223=AMCO AM MC AC ⋅=⋅2121Θ1=∴CO∴在Rt △BCO 中，1tan ==COBCBOC . ︒=∠∴45BOC ，故所求二面角的大小 为45°………………………………9分 （Ⅲ）设点C 到平面ABM 的距离为h ，易知2=BO ，可知2322232121=⨯⨯=⋅⋅=∆BO AM S ABM ……………………………10分 ABC M ABM C V V --=Θ………………………………………………………………11分 ABC ABM S MC hS ∆∆⋅=∴313122232326=⨯=⋅=∴∆∆ABMABCS S MC h ∴点C 到平面ABM 的距离为22………………………………………………13分 解法二：（Ⅰ）同解法一…………………………4分 （Ⅱ）如图以C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 则)0,1,0(),6,0,3(),0,0,3(1B A A ，设 M （0，0，z 1）1BA AM ⊥Θ.01=⋅∴BA AM 即06031=++-z ，故261=z ，所以)26,0,0(M …………………6分 设向量m =（x ，y ，z ）为平面AMB 的法向量，则m ⊥AM ，m ⊥AB ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00m m 即,030263⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-y x z x 令x =1，平面AMB 的一个法向量为 m =)2,3,1(，……………………………………………………………………8分显然向量CB 是平面AMC 的一个法向量22||||,cos =⋅⋅>=<CB m m m 易知，m 与CB 所夹的角等于二面角B －AM －C 的大小，故所求二面角的大小为 45°. ………………………………………………………………………………9分2263== 即点C 到平面ABM 的距离为22………………………………………………13分 18．（共14分）解：（Ⅰ）.1)2(212)1(2)('++=+-+=x x x x x x f Θ…………………………2分 由0)('>x f 得012>-<<-x x 或；由0)('<x f ，得.012<<--<x x 或 又)(x f Θ定义域为（－1，+∞）∴所以函数f (x )的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（－1，0）…5分 （Ⅱ）)1(212)(x n ax x x g +--=，定义域为（－1，+∞）1)2(122)('+--=+--=x ax a x a x g ……………………………………………7分 0202,20>->-∴<<aaa a 且Θ由0)('>x g 得a a x ->2，即)(x g 在⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,2a a 上单调递增； 由0)('<x g 得a a x -<<-21，即)(x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛--a a 2,1上单调递减…………8分①时 )(,320x g a a <-<在⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 2,0上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛-3,2a a 上单调递增； ∴在区间[0，3]上，ana a a g x g --=-=2221)2()(min ； (23)0<<a …10分 ②当)(,32,223x g aaa ≥-<≤时在（0，3）上单调递减， ∴在区间[0，3]上，42136)3()(min n a g x g --==…………………………13分 综上可知，当230<<a 时，在区间[0，3]上，an a a a g x g --=-=2221)2()(min ；当223<≤a 时，在区间[0，3]上42136)3()(min n a g x g --==.…14分 19．（共14分）解：（Ⅰ）由题意，),0,(,22||221a A C F F ∴==…………………………………2分212AF AF =Θ 2F ∴为AF 1的中点……………………………………………3分2,322==∴b a即：椭圆方程为.12322=+y x ……………………………………………………5分 （Ⅱ）当直线DE 与x 轴垂直时，342||2==a b DE ， 此时322||==a MN ，四边形DMEN 的面积为42||||=⋅MN DE .同理当MN 与x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面积为42||||=⋅MN DE .…7 分 当直线DE ，MN 均与x 轴不垂直时，设DE ∶)1(+=x k y ，代入椭圆方程，消去 y 得：.0)63(6)32(2222=-+++k x k x k设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+,3263,326),,(),,(222122212211k k x x kk x x y x E y x D 则…………………………………8分所以，231344)(||222122121++⋅=-+=-k k x x x x x x ，所以，2221232)1(34||1||k k x x k DE ++=-+=，同理，.32)11(34)1(32)1)1((34||2222kk k k MN ++=-++-=………………………………10分 所以，四边形的面积222232)11(3432)1(34212||||kk kk MN DE S ++⋅++⋅=⋅= 13)1(6)21(242222++++=kk k k ，…………………………………12分 令u u u S kk u 61344613)2(24,122+-=++=+=得 因为,2122≥+=kk u当2596,2,1==±=S u k 时，且S 是以u 为自变量的增函数，所以42596<≤S .综上可知，四边形DMEN 面积的最大值为4，最小值为2596.…………………14分20．（共13分）解：（Ⅰ）令021==x x ，由①对于任意]1,0[∈x ，总有3)0(,3)(≥∴≥f x f ……………………………1分 又由②得 3)0(,3)0(2)0(≤-≥f f f 即；……………………………………2分.3)0(=∴f …………………………………………………………………………3分证明：（Ⅱ）任取2121]1,0[,x x x x <∈且设，则3)()()]([)(1211212--+≥-+=x x f x f x x x f x f ， 因为1012≤-<x x ，所以03)(,3)(1212≥--≥-x x f x x f 即，).()(21x f x f ≤∴………………………………………………………………5分 .4)1()(,]1,0[=≤∈∴f x f x 时当……………………………………………7分（Ⅲ）先用数学归纳法证明：)(331)31(*11N n f n n ∈+≤--（1）当n =1时，331314)1()31(0+=+===f f ，不等式成立； （2）假设当n=k 时，)(331)31(*11N k f k k ∈+≤--由6)31()31()31(3)3131()31()]3131(31[)31(1-++≥-++≥++=-k k k k k k k k k k f f f f f f f 得≤)31(3k f 9316)31(11+≤+--k k f 331)31(+≤∴k k f即当n=k+1时，不等式成立.由（1）（2）可知，不等式331)31(+≤∴kk f 对一切正整数都成立. 于是，当)31(331331333,...)3,2,1](31,31(111---≥+=+⨯>+=∈n n n n n f x n x 时，，而x ∈[0，1]，f （x ）单调递增)31()31(1-<∴n n f f 所以33)31()31(1+<<∴-x f f n n ……………………………………13分。

北京市海淀区高三上学期期末考试理科数学试卷一 . 选择题（本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分。

在每题给出的四个选项中，选出切合题目要求的一项）（ 1）已知 sin1，那么 cos 的值为（）2A .1 B.1C.3 D.3 2222（2）过点 A （ 4， a ）和点 B （ 5，b ）的直线与直线 y ＝ x ＋m 平行，则 |AB| 的值为（ ）A . 6B.2C. 2D. 不可以确立（ 3）函数 f ( x) 3cos2x4 sin x cosx 的最小正周期为（）A .B. 2C.D. 24（ 4）已知 |a| 1， |b| 2， c a b ， c ⊥ a ，则 a 与 b 夹角大小为（）A .B.5C.D.2663 3（5）已知 m 、 n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，给出以下四个命 题①若 m ⊥ ， m ⊥ ，则 ∥②若 m， n ， m ∥ n ，则 ∥③若 m ∥ n ， m ⊥ ，则 n ⊥④若 m ⊥ ， m，则 ⊥此中正确命题的个数为（ ）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个（ 6）将函数 ysin x3 cosx 的图象沿 x 轴向右平移 a 个单位（ a 0），所得图象对于 y 轴对称，则 a 的最小值为（） A .7B.C.D.6 263（ 7 ）一个三棱锥 S — ABC 的三条侧棱 SA 、 SB 、 SC 两两相互垂直，且长度分别为 1、 6、 3。

已知该三棱锥的四个极点都在一个球面上，则这个球的表面积为（ ）A.16B. 32C. 36D. 641 1（8）已知曲线 C： x 2 y 2 1，给出以下四个命题：①曲线 C与两坐标轴围成的图形面积不大于12②曲线 C上的点到原点的距离的最小值为24③曲线 C对于点（1，1）中心对称44④当 x 0， 1时，曲线 C上全部点处的切线斜率为负值此中正确命题个数为（）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个二 . 填空题（本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分。

北京市海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.（1）已知全集U ，A B ⊆，那么下列结论中可能不成立的是（ ）（A ）AB A = （B ）A B B =（C ）()U A B ≠∅ð （D ）()U B A =∅ð（2）抛物线22y x =的准线方程为（ ） （A ）18y =-（B ）14y =- （C ）12y =- （D ）1y =- （3）将函数cos 2y x =的图象按向量(,1)4a π=平移后得到函数()f x 的图象，那么（ ）（A ）()sin 21f x x =-+ （B ）()sin 21f x x =+ （C ）()sin 21f x x =-- （D ）()sin 21f x x =- （4）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果a c 3=，30B =?，那么角C 等于（ ）（A ）120° （B ）105° （C ）90° （D ）75° （5）位于北纬x 度的A 、B 两地经度相差90︒，且A 、B 两地间的球面距离为3R π（R 为地球半径），那么x 等于（ ）（A ）30 （B ） 45 （C ） 60 （D ）75 （6）已知定义域为R 的函数()f x ，对任意的R x Î都有1(1)()22f x f x +=-+恒成立，且1()12f =，则(62)f 等于 （ ） （A ）1 （B ） 62 （C ） 64 （D ）83（7）已知{},1,2,3,4,5αβÎ，那么使得sin cos 0αβ?的数对(),αβ共有（ ）(A) 9个 (B) 11个 (C) 12个 (D) 13个（8）如果对于空间任意()2n n ³条直线总存在一个平面α，使得这n 条直线与平面α所成的角均相等，那么这样的n （ ）（A ）最大值为3 （B ）最大值为4 （C ）最大值为5 （D ）不存在最大值 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上. （9）22462limnnn ++++= .（10）如果()1,10,1x f x x ì£ïï=íï>ïî，， 那么()2f f 轾=臌 ；不等式()1212f x -?的解集是 .（11）已知点1F 、2F 分别是双曲线的两个焦点， P 为该双曲线上一点，若12PF F ∆为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为_____________.（12）若实数x 、y 满足20,,,x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩且2z x y =+的最小值为3，则实数b 的值为 .（13）已知直线0=++m y x 与圆222x y +=交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，||||OA OB AB +?，那么实数m 的取值范围是 .（14）已知：对于给定的*q N Î及映射*:,N f AB B．若集合C A Í，且C 中所有元素对应的象之和大于或等于q ，则称C 为集合A 的好子集． ① 对于2q =，{},,A a b c =，映射:1,f x x A ，那么集合A 的所有好子集的个数为 ；② 对于给定的q ，{}1,2,3,4,5,6,A π=，映射:f A B ®的对应关系如下表：x12 3 4 5 6π()f x1 1 1 1 1yz若当且仅当C 中含有π和至少A 中2个整数或者C 中至少含有A 中5个整数时，C 为集合A 的好子集．写出所有满足条件的数组(),,q y z ： ． 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. (15)（本小题共12分）已知函数22()sin )cos()cos 44f x x x x x ππ=++---. （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）求函数)(x f 在25,1236ππ轾犏-犏臌上的最大值和最小值并指出此时相应的x 的值. （16）（本小题共12分）已知函数)(x g 是2()(0)f x x x =>的反函数，点),(00y x M 、),(00x y N 分别是)(x f 、)(x g 图象上的点，1l 、2l 分别是函数)(x f 、)(x g 的图象在N M ,两点处的切线，且1l ∥2l ． （Ⅰ）求M 、N 两点的坐标；（Ⅱ）求经过原点O 及M 、N 的圆的方程． （17）（本小题共14分）已知正三棱柱111C B A ABC -中，点D 是棱AB的中点，11,BC AA ==.（Ⅰ）求证：//1BC 平面DC A 1； （Ⅱ）求1C 到平面1A DC 的距离； （Ⅲ）求二面角1D AC A --的大小.（18）（本小题共14分）某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间T （单位：年）有关. 若1≤T ，则销售利润为0元；若31≤<T ，则销售利润为100元；若3>T ，则销售利润为200元. 设每台该种电器的无故障使用时间1≤T ，31≤<T 及3>T 这三种情况发生的概率分别为321,,p p p ，又知21,p p 是方程015252=+-a x x 的两个根，且32p p =.（Ⅰ）求321,,p p p 的值；（Ⅱ）记ξ表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求ξ的分布列； （Ⅲ）求销售两台这种家用电器的销售利润总和的平均值. （19）（本小题共14分）已知点()0,1A 、()0,1B -，P 是一个动点，且直线PA 、PB 的斜率之积为12-. （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设()2,0Q ，过点()1,0-的直线l 交C 于M 、N 两点，QMN ∆的面积记为S ，若对满足条件的任意直线l ，不等式tan S MQN λ≤恒成立，求λ的最小值. （20）（本小题共14分）如果正数数列{}n a 满足：对任意的正数M ，都存在正整数0n ，使得0n a M >，则称数列{}n a 是一个无界正数列．（Ⅰ）若()32s i n ()1,2,3,n a n n =+=， 1, 1,3,5,,1, 2,4,6,,2n n nb n n ⎧=⎪⎪=⎨+⎪=⎪⎩分别判断数列{}n a 、{}n b 是D C 1B 1A 1CBA否为无界正数列，并说明理由；（Ⅱ）若2n a n =+，是否存在正整数k ，使得对于一切n k ≥，有1223112n n a a a n a a a ++++<-成立； （Ⅲ）若数列{}n a 是单调递增的无界正数列，求证：存在正整数m ，使得122312009mm m a a a a a a +-+++<． 海淀区高三年级第一学期期末练习 数学（理科）参考答案及评分标准 2009.01一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）CABAB DDA二、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分） （9）1 （10）1，[0,1] （111（12）94（13）(2,[2,2)- （14） 4，(5,1,3) 三、解答题（本大题共6小题,共80分） (15)（本小题共12分）解：（Ⅰ）22()sin )cos()cos 44f x x x x x ππ=++-- 2sin(2)6x π=- ………………………………………………4分所以22T ππ==. ………………………………………………5分 由()3222262Z k x k k πππππ+???得所以函数)(x f 的最小正周期为π，单调递减区间为5[,]36k k ππππ++()k ∈Z .………………………………………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）有()2sin(2)6f x x π=-.因为25,1236x ππ轾犏?犏臌， 所以112,639x πππ轾犏-?犏臌. 因为411sin()sin sin 339πππ-=<，所以当12x π=-时，函数)(x f取得最小值-3x π=时，函数)(x f 取得最大值2.………………………………………………12分（16）（本小题共12分） 解：（Ⅰ）因为2()(0)f x x x =>，所以()0)g x x =>.从而,2)(x x f ='()g x ¢=. ………………………………………………3分所以切线21,l l 的斜率分别为,2)(001x x f k ='=00221)(y y g k ='=.又2000(0)y x x =>，所以2012k x =. ………………………………………………4分 因为两切线21,l l 平行，所以21k k =. ………………………………………………5分从而20(2)1x =.因为00x >， 所以012x =. 所以N M ,两点的坐标分别为)21,41(),41,21(. ………………………………………7分 （Ⅱ）设过O 、M 、N 三点的圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=.因为圆过原点，所以0F =.因为M 、N 关于直线y x =对称，所以圆心在直线y x =上. 所以D E =.又因为11(,)24M 在圆上， 所以512D E ==-. 所以过O 、M 、N 三点的圆的方程为：225501212x y x y +--=. ………………12分 （17）（本小题共14分）（Ⅰ）证明：连结1AC 交1A C 于点G ，连结DG .在正三棱柱111C B A ABC -中，四边形11ACC A 是平行四边形， ∴DG ∥1BC . ………………………………………2分∵DG ⊂平面1A DC ，1BC ⊄平面1A DC ，∴1BC ∥平面1A DC .………………………………………4分解法一：（Ⅱ）连结1DC ，设1C 到平面1A DC 的距离为h .∵四边形11ACC A 是平行四边形，∴1118C A CD V -=. ………………………………………6分在等边三角形ABC 中，D 为AB 的中点， ∵AD 是1A D 在平面ABC 内的射影，∴1CD A D ^. ………………………………………8分∴111313C A DC A DCV h S -∆==. ………………………………………9分 （Ⅲ）过点D 作DE AC ⊥交AC 于E ，过点D 作1DF A C ⊥交1A C 于F ，连结EF .∵平面ABC ⊥平面11ACC A ，DE ⊂平面ABC ，平面ABC平面11ACC A AC =，∴DE ⊥平面11ACC A .∴EF 是DF 在平面11ACC A 内的射影.∴DFE Ð是二面角1D AC A --的平面角. ………………………………………12分 在直角三角形ADC中，AD DC DE AC ×==同理可求：118A D DC DF AC ×==.∴DFE ?………………………………………14分解法二：过点A 作AO BC ⊥交BC 于O ，过点O 作F ED C 1B 1A 1CBAOE BC ⊥交11B C 于E .因为平面ABC ⊥平面11CBB C ，所以AO ⊥平面11CBB C .分别以,,CB OE OA 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.因为11,BC AA ==，ABC ∆是等边三角形，所以O 为BC 的中点.则()0,0,0O ，A ⎛ ⎝⎭，1,0,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1A ⎛ ⎝⎭，1(4D ，112C ⎛⎫- ⎪⎝⎭. ………………………………………6分 （Ⅱ）设平面1A DC 的法向量为(),,n x y z =，则取x =1A DC 的一个法向量为()3,1,3n =-. ………………………………………8分∴1C 到平面1A DC 的距离为：13913CC n n⋅=………………………………………10分 (Ⅲ)解：同（Ⅱ）可求平面1ACA 的一个法向量为()13,0,1n =-. …………………………12分设二面角1D AC A --的大小为θ，则1cos cos ,n n θ=<>=∴θ=. ………………………………………14分 （18）（本小题共14分）解：（Ⅰ）由已知得1321=++p p p .21,p p 是方程015252=+-a x x 的两个根, ∴511=p ,5232==p p . ………………………………………3分 （Ⅱ）ξ的可能取值为0，100，200，300，400. ………………………………………4分()400=ξP =2545252=⨯. ………………………………………9分随机变量ξ的分布列为：ξ 0 100 200 300 400P251 254 258 258 254………………………………………11分 （Ⅲ）销售利润总和的平均值为E ξ=2544002583002582002541002510⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=240. ∴销售两台这种家用电器的利润总和的平均值为240元.………………………………………14分注：只求出E ξ，没有说明平均值为240元，扣1分. （19）（本小题共14分）解：（Ⅰ）设动点P 的坐标为(),x y ，则直线,PA PB 的斜率分别是11,y y x x-+. 由条件得1112y y x x-+?-. 即()22102x y x +=?. 所以动点P 的轨迹C 的方程为()22102x y x +=?. ………………………………………5分 注：无0x ¹扣1分. （Ⅱ）设点,M N 的坐标分别是()()1122,,,x y x y .当直线l 垂直于x 轴时，21212111,,2x x y y y ==-=-=. 所以()()()1122112,,2,2,QM x y QN x y x y =-=-=--. 所以()22111722QM QNx y ?--=. ………………………………………7分 当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为()1y k x =+,由221,2(1)x y y k x ìïï+=ïíïï=+ïî得()2222124220k x k x k +++-=. 所以 2122, 21422212221k k x x k k x x +-=+-=+. ………………………………………9分 所以()()()12121212122224QM QNx x y y x x x x y y ?--+=-+++.因为()()11221,1y k x y k x =+=+， 所以()()()()2221212217131712422212QM QNk x x k x x k k ?++-+++=-<+.综上所述⋅的最大值是217. ………………………………………11分 因为tan S MQN λ≤恒成立,即1sin ||||sin 2cos MQN QM QN MQN MQNλ⋅≤恒成立. 由于()2171302212QM QNk ?->+. 所以cos 0MQN >.所以2QM QN λ⋅≤恒成立. ………………………………………13分 所以λ的最小值为174. ………………………………………14分 注：没有判断MQN Ð为锐角，扣1分. （20）（本小题共14分）解：（Ⅰ）{}n a 不是无界正数列．理由如下：取M = 5，显然32sin()5n a n =+≤，不存在正整数0n 满足05n a >；{}n b 是无界正数列．理由如下：对任意的正数M ，取0n 为大于2M 的一个偶数，有0012122n n M b M ++=>>，所以{}n b 是无界正数列． ………………………………………4分（Ⅱ）存在满足题意的正整数k .理由如下： 当3n ³时， 因为12231n n a a a n a a a +⎛⎫-+++⎪⎝⎭32121231n nn a a a a a a a a a ++---=+++即取3k =，对于一切n k ≥，有1223112n n a a a n a a a ++++<-成立. ……………………9分 注：k 为大于或等于3的整数即可.（Ⅲ）证明：因为数列{}n a 是单调递增的正数列，所以12231n n a a a n a a a +⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭32121231n nn a a a a a a a a a ++---=+++即12123111n n n a a a a n a a a a +++++<-+. 因为{}n a 是无界正数列，取12M a =，由定义知存在正整数1n ，使1112n a a +>. 所以1112123112n n a a a n a a a ++++<-.由定义可知{}n a 是无穷数列，考察数列11n a +，12n a +，13n a +，…，显然这仍是一个单调递增的无界正数列，同上理由可知存在正整数2n ，使得()112112122123112n n n n n n a a a n n a a a ++++++++<--.重复上述操作，直到确定相应的正整数4018n .则401840181212140184017231111222n n a a a n n n n n a a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<-+--++-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即存在正整数4018m n =，使得122312009mm m a a a a a a +-+++<成立. ………………………………………14分。

2020. 01本试卷共 4 页，150 分。

考试时长120 分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共10 小题，每小题4 分，共40 分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。

1,2,3, 4,5, 6 ， ，是U1,3,5, 6} 1,3,5} （A ） （B ） （C ）（2）抛物线 y24x 的焦点坐标为(0,1)（A ） （B ）（C ）（3）下列直线与圆( 1)( 1) 2 相切的是 x 2 y 2 （A ） （B ）（C ）（4）已知a,b Î R ，且 a，则1 11 1 （A ）Dab2 2331(x )3 的展开式中， x 的系数为5 x （A ）（6）已知平面向量a, b , c满足，则a b 的值为| || || |1，且 a b c 1 13 3 （B ）（D ）2222=m ，= （7）已知 , n ，则“ m n ”是“”∥ 的（B ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）已知等边△， A D B D C D的是S cos BADs in BAD（A ）（C ）2 （D ）2Sx（9）声音的等级 ( )（单位：dB ）与声音强度 （单位：W/m 2）满 足 f .x f x么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的681012（10）若点 N 为点 在平面 上的正投影，则记 Na.M - A B C D1 1 1 1A B C D 为 b ，平 面 AB C D 为g ，点 P 是棱C C 上一动点（与1 11= f [ f (P)] Q = f [ f (P)] ， .给出下C1gb2bg列三个结论：1 2①线段 P Q 长度的取值范围是[ , ) ；2 22 ②存在点 P 使得 P Q ∥平面 ；b 1 ^ P Q .1（C ）①③（D ）①②第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。

北京市海淀区2017-2019学年第一学期期末练习高三数学（理科）学校： 班级： 姓名：一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.（1）设集合{|12},{|}.A x x B x x a ==≤≤≥若A B ⊆，则a 的范围是 ( )（A ）1a < （B ）1a ≤ （C ）2a <（D ）2a ≤（2）函数⎪⎭⎫⎝⎛+=34cos πx y 图象的两条相邻对称轴间的距离为 （ ）（A ）8π （B ） 4π （C ）2π（D ）π （3的正三角形ABC 中，设,,,AB BC CA ===c a b 则⋅⋅⋅a b+b c +c a 等于（ ）(A) 3- (B) 0(C)1 (D) 3（4）设i为虚数单位，则()41i +展开式中的第三项为（ ）（A ）4 i （B ）4i - (C) 6(D) 6-（5）设m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：① 若//,//,αβαγ 则//βγ ②若αβ⊥，//m α，则m β⊥③ 若,//m m αβ⊥，则αβ⊥ ④若//,m n n α⊂，则//m α其中真命题的序号是（ ）(A) ①④ (B) ②③ (C) ②④ (D) ①③（6）已知点()0,A b ，B 为椭圆22x a +22y b=1()0a b >>的左准线与x 轴的交点，若线段AB的中点C在椭圆上，则该椭圆的离心率为( )（A（B ）（C ）（D（7）已知函数)()1f x x =≥，()1f x -为()f x 的反函数，则函数y x =与（A ） （B ） （C ） （D ）(8) 已知函数()y f x =是定义在[,]a b 上的增函数，其中,0.a b b a ∈<<-R,且设函数22()[()][()]F x f x f x =--，且()F x 不恒等于0，则对于()F x 有如下说法：①定义域为[,]b b - ②是奇函数 ③最小值为0 ④在定义域内单调递增 其中正确说法的个数有（ ）（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.（9）双曲线22194x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离是 .（10）在ABC ∆中， 2A C B +=，5,BC =且ABC ∆的面积为B = ；AB = .（11）已知函数2|1|(0),()1(0),x x f x x x -+⎧=⎨->⎩≤ 那么不等式()0f x <的解集为 .（12）设不等式组||203022x y x y -⎧⎪-⎨⎪-⎩≤≤≤所表示的平面区域为S ,则S 的面积为 ；若A ，B 为S 内的两个点， 则||AB 的最大值为 .（13）已知,,,P A B C 是以O 为球心的球面上的四个点，,,PA PB PC 两两垂直，且2PA PB PC ===，则球O 的半径为 ；球心O 到平面ABC 的距离为（14）在100，101，102，…，999这些数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排列的数的个数是 个. 把符合条件的所有数按从小到大的顺序排列，则321是第____个数. （用数字作答）三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. (15)（本小题共12分）已知向量(cos 2sin ,sin ),(cos sin ,2cos ),x x x x x x =+=-a b 设函数()f x =⋅a b . (I) 求函数)(x f 的单调递增区间；(II) 求函数)(x f 的最大值及取得最大值时x 的集合. （16）（本小题共14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，SA AB =, 点M 是SD 的中点， AN SC ⊥，且交SC 于点N .（I ） 求证： //SB 平面ACM ； （II ） 求二面角D AC M --的大小； （III ）求证：平面SAC ⊥平面AMN .SNMDCB A（17）（本小题共12分）某城市有30﹪的家庭订阅了A 报，有60﹪的家庭订阅了B 报，有20﹪的家庭同时订阅了A 报和B 报，从该城市中任取4个家庭.（Ⅰ）求这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A 报的概率； （Ⅱ）求这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B 报的概率； （Ⅲ）求这4个家庭中恰好有2个家庭A,B 报都没有订阅的概率.（18）（本小题共14分）已知抛物线S 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，ABC ∆的三个顶点都在抛物线上，且ABC ∆的重心为抛物线的焦点，若BC 所在直线l 的方程为4200.x y +-= （I ）求抛物线S 的方程；（II ）若O 是坐标原点，P 、Q 是抛物线S 上的两动点，且满足PO OQ ⊥.试说明动直线PQ 是否过一个定点.（19）（本小题共14分）设1x 、2x )(21x x ≠是函数)0()(223>-+=a x a bx ax x f 的两个极值点. （I ）若2,121=-=x x ，求函数)(x f 的解析式； （II ）若22||||21=+x x ，求b 的最大值;（III ）设函数)()(')(1x x a x f x g --=，12(,)x x x ∈，当a x =2时，求证：21()(32)12g x a a +≤.（20）（本小题共14分）已知定义在R 上的函数()f x 满足：，5(1)2f =，且对于任意实数,x y ，总有 ()()()()f x f y f x y f x y =++-成立.（I ）求(0)f 的值，并证明函数()f x 为偶函数； （II ）定义数列{}n a ：2(1)()(1,2,3,)n a f n f n n =+-=，求证：{}n a 为等比数列；（III ）若对于任意非零实数y ，总有()2f y >.设有理数12,x x 满足12||||x x <，判断1()f x 和2()f x 的大小关系，并证明你的结论.北京市海淀区2017-2019学年第一学期期末练习高三数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分.）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）（9）2 （10）3π，8 （11）(,1)(1,1)-∞-- （12）16（13 （14） 204 ，53三、解答题（本大题共6小题,共80分.） (15) （共12分） 解: (I)由已知可得xx x x x x x f cos sin 2)sin )(cos sin 2(cos )(+-+=1分x x x x x x x x cos sin 2sin 2cos sin 2cos sin cos 22+-+-= x x x x 22sin 2cos sin 3cos -+= )12(cos 2sin 23)2cos 1(21-+++=x x x 21)42sin(22321)2cos 2(sin 23-+=-+=πx x x 6分由224222πππππ+<+<-k x k 得：883ππππ+<<-k x k 8分即函数)(x f 的单调递增区间为)8,83(ππππ+-k k ()k ∈Z . 9分 (II) 由(I) 有21)42sin(223)(-+=πx x f ， ∴2123)(max -=x f . 10分所求x 的集合为{|,}8x x k k ππ=+∈Z . 12分(16) （共14分）方法一：（Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于E ，连结ME . 1分 ABCD 是正方形，∴ E 是BD 的中点. M 是SD 的中点，∴ME 是DSB ∆的中位线.∴//ME SB.2分又∵ME ⊂平面ACM ， SB ⊄平面ACM ， 3分∴SB //平面A.4分（Ⅱ）解：取AD 中点F ，则MF //SA .作FQ AC ⊥于Q ，连结MQ . 5分∵SA ⊥底面ABCD ，∴MF ⊥底面ABCD . ∴FQ 为MQ 在平面ABCD 内的射影.∵FQ AC ⊥,∴MQ ⊥AC . ∴FQM∠为二面角D A C --的平面角.7分设SA AB a ==，在Rt MFQ ∆中，11,2224a MF SA FQ DE a ====，∴tan aFQM ==∴ 二面角D AC M--的大小为.9分（III ）证明：由条件有,,DC SA DC DA ⊥⊥∴ DC ⊥平面SAD ，∴.AM DC ⊥ 10分又∵ ,SA AD M =是SD 的中点，∴.AM SD ⊥ ∴AM ⊥平面.S D11分∴.SC AM ⊥由已知,SC MN ⊥ ∴SC ⊥平面.AMN 又SC ⊂平面,S A C∴平面SAC ⊥平面.A M N14分方法二：解：（II ）如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -， 5分由SA AB =故设1AB AD AS ===，则11(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(,0,)22A B C D S M .SA ⊥底面ABCD ，∴AS 是平面ABCD 的法向量，AS (0,0,1)=． 设平面ACM 的法向量为(,,)x y z =n ,11(1,1,0),(,0,)22AC AM ==,7分则0,0.AC AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即00,1100.22x y x z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩ ∴ ,.y x z x =-⎧⎨=-⎩令1x =,则(1,1,1)=--n .8分∴cos ,||||AS AS AS ⋅<>===⋅n n n ∴二面角D A--的大小为ar c c o s 3． 9分 （III）11,0,22AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,1,1CS =--，10分11022AM CS ∴⋅=-+=AM CS∴⊥12分 又SC AN ⊥且AN AM A =.SC AMN ∴⊥平面. 又SC ⊂平面,SAC∴平面SAC⊥平面A.14分（17）（共12分）解：（Ⅰ）设“这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A 报”的事件为A ， 1分334()(0.3)(0.7)0.0756P A C ==4分答：这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A 报的概率为0.0756.（Ⅱ）设“这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B 报”的事件为B ， 5分8704.01296.01)6.0(1)(4=-=-=B P8分答：这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B 报的概率为0.8704.（III ） 设“这4个家庭中恰好有2个家庭A ,B 报都没有订阅”的事件为C ， 9分因为有30﹪的家庭订阅了A 报，有60﹪的家庭订阅了B 报，有20﹪的家庭同时订阅了A 报和B 报.所以两份报纸都没有订阅的家庭有30﹪. 所以()()2224()0.30.70.2646P C C ==12分答：这4个家庭中恰好有2个家庭A ,B 报都没有订阅的概率为0.2646.注：第三问若写出两份报纸都没有订阅的家庭有30﹪，后面计算有误，给到10分.（18）（共14分）解：(I)设抛物线S的方程为22.y px =1分由24200,2,x y y px +-=⎧⎨=⎩ 可得2220y p y +-=3分由0∆>，有0p >，或160.p <- 设1122(,),(,),B x y C x y 则12,2py y +=-121212(5)(5)1010.4448y y y y p x x +∴+=-+-=-=+5分设33(,)A x y ，由ABC ∆的重心为(,0),2p F 则123123,0323x x x y y y p ++++==， 331110,.82p px y ∴=-=6分∵点A 在抛物线S上，∴2112(10),28p p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴8.p =7分∴抛物线S 的方程为216.y x =8分（II ）当动直线PQ 的斜率存在时，设动直线PQ方程为y k x =+，显然0,k b ≠≠9分∵PO OQ ⊥，∴ 1.OP OQ k k ⋅=- 设(,)(,)P P Q Q P x y Q x y ∴1,QP P Qy y x x ⋅=- ∴0.P Q P Q x x y y +=10分将y kx b =+代入抛物线方程，得216160,ky y b -+=∴16.P Q by y k= 从而22222,16P Q P Q y y b x x k ⋅==∴22160.b b k k+= ∵0,0k b ≠≠，∴16,b k =-∴动直线方程为16(16)y kx k k x =-=-， 此时动直线PQ过定点(16,0).12分当PQ 的斜率不存在时，显然PQ x ⊥轴，又PO OQ ⊥，∴POQ 为等腰直角三角形.由216,,y x y x ⎧=⎨=⎩ 216,,y x y x ⎧=⎨=-⎩得到(16,16),(16,16)P Q -， 此时直线PQ 亦过点(16,0).13分综上所述，动直线PQ 过定点(16M .14分（19）（共14分）解（I ）∵)0()(223>-+=a x a bx ax x f ，∴)0(23)(22>-+='a a bx ax x f1分 依题意有⎩⎨⎧='=-'0)2(0)1(f f ，∴)0(041202322>⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--a a b a a b a .2分解得⎩⎨⎧-==96b a ，∴x x x x f 3696)(23-+=. . 4分（II ）∵)0(23)(22>-+='a a bx ax x f ,依题意，12,x x 是方程()0f x '=的两个根，且22||||21=+x x ，∴8||22)(2121221=+-+x x x x x x . ∴8|3|2)3(2)32(2=-+-⋅--aa ab ，∴)6(322a a b -=. ∵20b ≥，∴06a <≤.6分设2()3(6)p a a a =-，则2()936p a a a '=-+.由()0p a '>得40<<a ，由()0p a '<得4>a .即：函数()p a 在区间(0,4]上是增函数，在区间[4,6]上是减函数， ∴当4=a 时，()p a 有极大值为96，∴()p a 在]6,0(上的最大值是96， ∴b的最大值为64.9分（III ） 证明：∵21,x x 是方程0)('=x f 的两根，∴))((3)('21x x x x a x f --=.10分∵321a x x -=⋅，a x =2，∴311-=x . ∴|]1)(3)[31(||)31())(31(3||)(|--+=+--+=a x x a x a a x x a x g ∵21x x x <<，即1.3x a -<< ∴)133)(31(|)(|++-+=a x x a x g12分∴|()|g x )313)(31(3+-+-=a x x a a a a a x a 3143)2(3232+++--= 323143a a a++≤12)23(2+=a a .14分∴|()|g x 2(32)12aa +≤成立. （20）（共14分）解：(I) 令1,0x y ==()()()()1011f f f f ∴⋅=+5(1)2f =，()02f ∴=.1分令0x =，∴(0)()()()f f y f y f y =+-即2()()()f y f y f y =+-∴()()f y f y =-，对任意的实数y 总成立。

海淀区高三年级第一学期期末练习数 学（理科） 2019.01本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）双曲线x y -=22122的左焦点的坐标为（A ）(,)-20 （B ）()0 （C ） (,)-10 （D ）(,)-40 （2）已知向量(,),(,)t ==201a b ，且||⋅=a b a ，则,a b 的夹角大小为 （A ）π6 （B ）π4 （C ）π3 （D ）5π12（3）已知等差数列{}n a 满足12a =，公差d ≠0，且125,,a a a 成等比数列，则d = （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（4）直线y kx =+1被圆x y +=222截得的弦长为2，则k 的值为（A ）0 （B ）12±（C ）1± （D ）2（5）以正六边形的6个顶点中的3个作为顶点的三角形中，等腰三角形的个数为 （A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）12 （6）已知函数()ln af x x x=+ ，则“a <0”是“函数()f x 在区间(,)+∞1 上存在零点”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）已知函数()sin cos ,()f x x x g x =-是()f x 的导函数，则下列结论中错误的是 （A ）函数()f x 的值域与()g x 的值域相同（B ）若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数g()x 的零点（C ）把函数()f x 的图象向右平移π2个单位，就可以得到函数()g x 的图象 （D ）函数()f x 和g()x 在区间ππ(,)44-上都是增函数（8）已知集合{(,)|150,150,,}A s t s t s t =≤≤≤≤∈∈N N . 若B A ⊆，且对任意的(,),(,)a b B x y B ∈∈，均有()()0a x b y --≤，则集合B 中元素个数的最大值为（A ）25 （B ）49 （C ）75 （D ）99第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2019.1本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．双曲线22122x y -=的左焦点坐标为A ．(2,0)-B ．(2,0)-C ．(1,0)-D ． (4,0)-2.已知向量,a b 满足=((t =)，，1)a 2,0b ， 且a ⋅=a b ，则,a b 的夹角大小为 A ．6π B ．4π C ．3π D ．512π3.已知等差数列{}n a 满足1=2a ，公差0d ≠，且125,,a a a 成等比数列，则=d A ． 0B ．12±C ．1±D ．22±4.直线+1y kx =被圆222x y +=截得的弦长为2，则k 的值为 A ．6π B ．4π C ．3π D ．5.已正六边形的6个顶点中的三个座位顶点的三角形中，等腰三角形的个数为A ．6B ．7C ．8D ．126.已知函数()=ln af x x x+，则“0a <”是“函数()f x 在区间(1,)+∞上存在零点”的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 7.已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中错误的是 A.函数()f x 的值域与()g x 的值域相同B.若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点C.把函数()f x 的图像向右平移2π个单位，就可以得到函数()g x 的图像 D.函数()f x 和()g x 在区间(,4π-)4π上都是增函数 8.已知集合{}(,)150,150,,A s t s t s N t N =≤≤≤≤∈∈.若B A ⊆，且对任意的(,)a b B ∈，(,)x y B ∈，均有()()0a x b y --≤，则集合B 中元素个数的最大值为A ．25B ．49C ．75D ．99二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.以抛物线24y x =的焦点F 为圆心，且与其准线相切的圆的方程为 .10.执行如下图所示的程序框图，当输入的M 值为15，n 值为4 时，输出的S 值为.11.某三棱锥的三视图如上图所示，则这个三棱锥中最长的棱与最短的棱的长度分别为 ， .12.设关于,x y 的不等式组,4,2,y x x y kx ≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域为Ω，若点A （1，-2），B （3,0），C （2，-3）中有且仅有两个点在Ω内，则k 的最大值为 .13.在∆ABC 中，3b a =，且cos2cos A B =，则cos A = .14.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点M 在线段CC 1上，动点P 在平面1111A B C D 上，且AP ⊥平面1MBD .（Ⅰ）当点M 与点C 重合时，线段AP 的长度为 ； （Ⅱ）线段AP 长度的最小值为 .三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数()s()cos22f x aco x x π=--（Ⅰ）比较()6f π和()2f π的大小；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]22ππ-的最小值.16．（本小题满分13分）为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记X 表示学生的考核成绩，并规定85X ≥为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；（Ⅱ）从图中考核成绩满足[70,79]X ∈的学生中任取3人，设Y 表示这3人重成绩满足8510X -≤的人数，求Y 的分布列和数学期望； （Ⅲ）根据以往培训数据，规定当85(1)0.510X P -≤≥时培训有效.请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由. 17．（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，AD PC ⊥且01,2,120AB AD DC DP PDC ====∠= （Ⅰ）求证：AD PDC ⊥平面；（Ⅱ）求二面角B-PD-C 的余弦值；（Ⅲ）若M 是棱PA 的中点，求证：对于棱BC 上任意一点F ，MF 与PC 都不平行.18．（本小题满分14分）椭圆2212x y +=的左焦点为F ，过点(2,0)M -的直线l 与椭圆交于不同两点A,B（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若点B 关于x 轴的对称点为B ’，求'AB 的取值范围. 19. （本小题满分14分）已知函数2()xa x f x e-=． （Ⅰ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，求证：2()f x e>-对任意(0,)x ∈+∞成立.20．（本小题满分13分）设n 为不小于3的正整数，集合{}{}12(,,...)0,1,1,2,...,n n i x x x x i n Ω=∈=，对于集合n Ω中的任意元素12(,,...,)n x x x α=，12(,,...,)n y y y β=记11112222()()...()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++- （Ⅰ）当3n =时，若(1,1,0)α=，请写出满足3αβ*=的所有元素β （Ⅱ）设n αβ∈Ω，且+n ααββ**=，求αβ*的最大值和最小值；（Ⅲ）设S 是n Ω的子集，且满足：对于S 中的任意两个不同元素αβ，，有1n αβ*≥-成立，求集合S 中元素个数的最大值.海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案数学（理科）2019.01一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.A2.B3.D4.A5.C6.C7.C8.D二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.22(1)4x y -+=10. 2411.232，12.0 13.3214.622，三、解答题: 本大题共6小题，共80分.15．解：（Ⅰ）因为π1(),622a f =- π()12f a =+ 所以ππ13()()(1)()262222a a f f a -=+--=+因为0a >，所以3022a +>，所以ππ()()26f f >（Ⅱ）因为()sin cos2f x a x x =-2sin (12sin )a x x =-- 22sin sin 1x a x =+-设sin ,t x =ππ[,]22x ∈-，所以[1,1]t ∈- 所以221y t at =+- 其对称轴为4a t =- 当14at =-<-，即4a >时，在1t =-时函数取得最小值1a - 当14a t =-≥-，即04a <≤时，在4a t =-时函数取得最小值218a --16.解：（Ⅰ）设该名学生考核成绩优秀为事件A由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀所以所求概率()P A 约为730（Ⅱ）Y 的所有可能取值为0,1,2,3 因为成绩[70,80]X∈的学生共有8人，其中满足|75|10X -≤的学生有5人所以33381(0)56C P Y C ===，21353815(1)56C C P Y C === 12353830(2)56C C P Y C ===，353810(3)56C P Y C === 随机变量Y 的分布列为Y 0123P156155630561056115301015()0123565656568E Y =⨯+⨯+⨯+⨯= （Ⅲ）根据表格中的数据，满足85110X -≤的成绩有16个 所以8516810.5103015X P ⎛-⎫≤==>⎪⎝⎭所以可以认为此次冰雪培训活动有效.17．解：（Ⅰ）在平面PCD 中过点D 作DH DC ⊥，交PC 于H 因为平面ABCD ⊥平面PCDDH ⊂平面PCD平面ABCD I 平面PCD CD = 所以DH ⊥平面ABCD 因为AD ⊂平面ABCD 所以DH AD ⊥又AD PC ⊥，且PC DH H =I 所以AD ⊥平面PCD（Ⅱ）因为AD ⊥平面PCD ，所以AD CD ⊥ 又DH CD ⊥，DH AD ⊥以D 为原点，DA DC DH ，，所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系 所以(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)D A P C B -000200013020210，因为AD ⊥平面PCD ，所以取平面PCD 的法向量为(,,)DA =200uu u r设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =r因为(,,),(,,)DP DB =-=013210uu u r uu u r ，所以n DP n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00r uu u rr uu u r所以y z x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩3020令2z = ，则23,3y x =-=- ，所以(,,)n =-3232r所以cos ,||||AD n AD n AD n ⋅<>==-=-235719219uuu r ruuu r r uuu u r r 由题知B PD C --为锐角，所以B PD C --的余弦值为5719（Ⅲ） 法一：假设棱BC 上存在点F ，使得MF PC ，显然F 与点C 不同所以,,,P M F C 四点共面于α 所以FC ⊂α，PM ⊂α 所以B FC ∈⊂α，A PM ∈⊂α所以α就是点,,A B C 确定的平面，所以P ∈α这与P ABCD -为四棱锥矛盾，所以假设错误，即问题得证 法二：假设棱BC 上存在点F ，使得MF PC连接AC ，取其中点N在PAC ∆中，因为,M N 分别为,PA CA 的中点，所以MNPC因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以MF 与MN 重合 所以点F 在线段AC 上，所以F 是AC ，BC 的交点C ，即MF 就是MC而MC 与PC 相交，矛盾，所以假设错误，问题得证 法三：假设棱BC 上存在点F ，使得MFPC ，设BF BC λ=，所以33(1,,)(2,1,0)22MF MB BF λ=+=-+-因为MFPC ，所以(0,3,3)MF PC μμ==-所以有120332332λλμμ⎧⎪-=⎪⎪+=⎨⎪⎪-=-⎪⎩，这个方程组无解所以假设错误，即问题得证 18．解：（Ⅰ）因为,a b ==2221，所以,,a b c ===211所以离心率c e a ==22（Ⅱ）法一：设1122(,),(,)A x y B x y显然直线l 存在斜率，设直线l 的方程为(2)y k x =+所以()x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩22122，所以()k x k x k +++-=222221882028160k ∆=->，所以k <212所以k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩212221228218221 因为22'(,)B x y -所以221212|'|()()AB x x y y =-++因为22212121222816()()4(21)k x x x x x x k --=+-=+12121224(2)(2)()421ky y k x k x k x x k +=+++=++=+所以22222281616|'|(21)(21)k k AB k k -=+++ 228(21)k =+22221k =+因为k ≤<2102，所以|'|(2,22]AB ∈ 法二：设1122(,),(,)A x y B x y当直线l 是x 轴时，|'|22AB =当直线l 不是x 轴时，设直线l 的方程为2x t y =-所以x y x t y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩22122，所以()t y t y ++=-222420，28160t ∆=->，所以t >22所以t y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩1221224222因为22'(,)B x y -所以221212|'|()()AB x x y y =-++因为 2222222212121212122216()()()[()4](1)(2)t x x ty ty t y y t y y y y t t -=-=-=+-=++所以|'|AB =222222168(1)(2)2t t t t t +-++ 4222222282222222(1)(2)222t t t t t t t ====-++++ 因为t >22，所以|'|(2,22)AB ∈综上，|'|AB 的取值范围是(2,22].19．解：（Ⅰ）因为()xax x f x -=e 2所以()'()xx a x af x -++=e22 当a =-1时，'()x x x f x --=e 21所以'()f -=e11，而()f -=e 21曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为21()(1)e ey x --=--化简得到11e ey x =-- （Ⅱ）法一：因为()'()xx a x af x -++=e22，令()'()x x a x a f x -++==e 220 得,a a a a x x +-++++==2212242422当a >0时，x ，'()f x ，()f x 在区间(0,)+∞的变化情况如下表:所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为(),()f f x 20中较小的值，而2(0)0ef =>-，所以只需要证明()f x >-e22因为()x a x a -++=22220，所以()x x a f x ax x x -=-=e e 22222222 设()x a x F x -=e 2，其中x >0，所以()()'()x xa x x a F x ----+==e e2222 令'()F x =0，得a x +=322，当a >0时，x ，'()F x ，()F x 在区间(0,)+∞的变化情况如下表:x(,)x 10 x 1(,)x x 12 x 2(,)x +∞2'()f x +0 -0 +()f xZ 极大值]极小值Z所以()F x 在(,)+∞0上的最小值为()a a F ++-=e 12222，而()a a F ++--=>e e 122222 注意到a a x +++=>222402，所以(())f x x F =>-e222，问题得证 法二：因为“对任意的x >0，22e e x ax x ->-”等价于“对任意的x >0，220e ex ax x -+>” 即“x >0，2+12e e()0ex x ax x +->”，故只需证“x >0，22e e()0x ax x +->” 设2()2e e()x g x ax x =+-，所以'()2e e(2)xg x a x =+-设()'()h x g x =，'()2e 2e xh x =-令'()F x =0，得x =31当a >0时，x ，'()h x ，()h x 在区间(0,)+∞的变化情况如下表:所以()h x (,)+∞0上的最小值为()h 1，而(1)2e e(2)e 0h a a =+-=>所以x >0时，'()2e e(2)0xg x a x =+->，所以()g x 在(,)+∞0上单调递增所以()(0)g x g >而(0)20g =>，所以()0g x >，问题得证 法三：“对任意的x >0，2()e f x >-”等价于“()f x 在(,)+∞0上的最小值大于2e-”x(,)x 30 x 3(,)x +∞3'()f x -0 + ()f x]极小值Zx(,)011(,)+∞1'()h x -0 + ()h x]极小值Z因为()'()x x a x af x -++=e 22，令'()f x =0得,a a a a x x +-++++==2212242422当a >0时，x ，'()f x ，()f x 在在(,)∞+0上的变化情况如下表:所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为(),()f f x 20中较小的值，而2(0)0ef =>-，所以只需要证明()f x >-e22因为()x a x a -++=22220，所以()x x x ax x x x x a f =---=>e e e22222222222 注意到a a x +++=22242和a >0，所以a a x +++=>222422设()x xF x -=e2，其中x >2 所以()()'()x xx x F x --=-=e e 2121 当x >2时，'()F x >0，所以()F x 单调递增，所以()()F x F >=-e 242 而()--=-->e e e e2242240 所以()()f x F x >->e222，问题得证法四：因为a >0，所以当x >0时，()x x ax x x f x --=>e e22设()x x F x -=e2，其中x >0所以()'()xx x F x -=e2 所以x ，'()F x ，()F x 的变化情况如下表:x(,)x 10 x 1(,)x x 12 x 2(,)x +∞2'()f x +0 -0 +()f xZ 极大值]极小值Zx(,)022(,)+∞2所以()F x 在x =2时取得最小值()F =-e 224，而()--=-->e e e e2242240 所以x >0时，2()eF x >- 所以()()f x F x >>-e220.解：(Ⅰ)满足3αβ*=的元素为(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1) （Ⅱ）记12(,,,)n x x x α=，12(,,,)n y y y β=，注意到{0,1}i x ∈，所以(1)0i i x x -=， 所以11112222()()()n n n n x x x y x x x x x x x x αα*=+-++-+++-12n x x x =+++12n y y y ββ*=+++因为n ααββ*+*=，所以1212n n x x x y y y n +++++++=所以1212,,,,,,,n n x x x y y y 中有n 个量的值为1，n 个量的值为0.显然111122220()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ≤*=+-++-+++-1122n n x y x y x y n ≤++++++=，当(1,1,,1)α=，(0,0,,0)β=时，αβ，满足n ααββ*+*=，n αβ*=.所以αβ*的最大值为n又11112222()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++-1122()n n n x y x y x y =-+++注意到只有1i i x y ==时，1i i x y =，否则0i i x y = 而1212,,,,,,,n n x x x y y y 中n 个量的值为1，n 个量的值为0所以满足1i i x y =这样的元素i 至多有2n个， 当n 为偶数时，22n n n αβ*≥-=. 当22(1,1,,1,0,0,,0)n n αβ==个个时，满足n ααββ*+*=，且2n αβ*=. 所以αβ*的最小值为2n '()F x -0 + ()F x]极小值Z当n 为奇数时，且1i i x y =，这样的元素i 至多有12n -个， 所以1122n n n αβ-+*≥-=. 当1122(1,1,,1,0,0,,0)n n α+-=个个，1122(1,1,,1,0,0,,0)n n β-+=个个时，满足n ααββ*+*=，12n αβ-*=. 所以αβ*的最小值为12n - 综上：αβ*的最大值为n ，当n 为偶数时，αβ*的最小值为2n ，当n 为奇数时，12n αβ-*=. （Ⅲ）S 中的元素个数最大值为222n n ++设集合S 是满足条件的集合中元素个数最多的一个 记1S ={}1212(,,,)|1,n n x x x x x x n S αα=+++≥-∈，{}21212(,,,)|2,n n S x x x x x x n S αα==+++≤-∈显然1212S S S S S ==∅，集合1S 中元素个数不超过1n +个，下面我们证明集合2S 中元素个数不超过2n C 个212,(,,,)n S x x x αα∀∈=，则122n x x x n +++≤-则12n x x x ，，，中至少存在两个元素0i j x x ==212,(,,,)n S y y y ββ∀∈=，βα≠因为1n αβ*≥-，所以,i j y y 不能同时为0 所以对1i j n ≤<≤中的一组数,i j 而言， 在集合2S 中至多有一个元素12(,,,)n x x x α=满足i j x x ，同时为0所以集合2S 中元素个数不超过2n C 个所以集合S 中的元素个数为至多为2211n n C n n ++=++记1T ={}1212(,,,)|1,n n n x x x x x x n αα=+++≥-∈Ω，则1T 中共1n +个元素，对于任意的1T α∈，n β∈Ω，1n αβ*≥-. 对1i j n ≤<≤，记,12(,,,),i j n x x x β=其中0i j x x ==，1t x =，,t i t j ≠≠记2,{|1}i j T i j n β=≤<≤，显然2,S αβ∀∈，αβ≠，均有1n αβ*≥-. 记12S T T =，S 中的元素个数为21n n ++，且满足,S αβ∀∈，αβ≠，均有1n αβ*≥-.综上所述，S 中的元素个数最大值为21n n ++.。