中考数学复习之全等三角形的性质与判定,考点过关与基础练习题

中考数学专题练习全等三⾓形的判定与性质（含解析）.docx2019中考数学专题练习-全等三⾓形的判定与性质（含解析）⼀、单选题1.如图：在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF 于点O，有下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③△BEH≌△HDF；④BC﹣CF=2EH；⑤AB=FH．其中正确的结论有（）A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个2.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化过程中，下列结论：①△DFE是等腰直⾓三⾓形；②四边形CDFE不可能为正⽅形；③△CDE与△DAF 不可能全等；④四边形CDFE的⾯积保持不变；⑤△CDE⾯积的最⼤值为8．其中正确的结论是（）A. ①②③B. ①③④C. ③④⑤D. ①④⑤3.如图，已知∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于点D，AD=2.5 cm，DE=1.7 cm，则BE=（）A. 1cmB. 0.8cmC. 4.2cmD. 1.5 cm4.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是⾼AD和BE的交点，则BF的长是（）A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 9cm5.如图所⽰，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（）A. AC=BC+CEB. ∠A=∠2C. △ABC≌△CEDD. ∠A 与∠D互余6.如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF,则下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③CD=DN；④△ACN≌△ABM，其中正确的有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个7.如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠AEC等于（）A. 60°B. 50°C. 45°D. 30°8.如图，点P是AB上任意⼀点，∠ABC=∠ABD，还应补充⼀个条件，才能推出△APC≌△APD．从下列条件中补充⼀个条件，不⼀定能推出△APC≌△APD的是（）A. BC=BDB. AC=ADC. ∠ACB=∠ADBD. ∠CAB=∠DAB9.下列判断不正确的是（）形B. 能够完全重合的两个三⾓形全等C. 全等图形的形状和⼤⼩都相同 D. 全等三⾓形的对应⾓相等10.如图，已知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE．下列结论不正确的是（）A. ∠BAD=∠CAEB. △ABD≌△ACEC. AB=BCD. BD=CE11.⽤直尺和圆规作⼀个⾓的平分线的⽰意图如图所⽰，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（）A. SSSB. ASAC. AASD. ⾓平分线上的点到⾓两边距离相等12.如图所⽰，两个完全相同的含30°⾓的Rt△ABC和Rt△AED叠放在⼀起，BC 交DE于点O，AB交DE于点G，BC交AE于点F，且∠DAB=30°，以下三个结论：①AF⊥BC；②△ADG≌△ACF；③O为BC的中点；④AG=BG．其中正确的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 413.如图，点A，D，C，E在同⼀条直线上，AB∥EF，AB=EF，∠B=∠F，AE=10，AC=7，则CD的长为（）A. 5.5B. 4C. 4.5D. 314.已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（）B.过点P作PC⊥AB于点C且AC=BCC.取AB中点C，连接PCD.过点P作PC⊥AB，垂⾜为C⼆、填空题15.如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，下列结论：①EM=FN，②CD=DN，③∠FAN=∠EAM．④△ACN≌△ABM．其中正确的有________．16.如图，已知△ABC三个内⾓的平分线交于点O，延长BA到点D，使AD=AO，连接DO，若BD=BC，∠ABC=54°，则∠BCA 的度数为________°．17.如图，已知AB＝AC，∠1＝∠2，∠B＝∠C，则BD＝CE．请说明理由：解：∵∠1＝∠2∴∠1＋∠BAC＝∠2＋________．即________＝∠DAB．在△ABD和△ACE中，∠B＝________(已知)∵AB＝________ (已知)∠EAC＝________(已证)∴△ABD≌△ACE(________)∴BD＝CE(________ )18.如图，AC是矩形ABCD的对⾓线，AB=2，BC= ，点E，F分别是线段AB，AD上的点，连接CE，CF，当∠BCE=∠ACF，且CE=CF时，AE+AF=________.19.如图，以Rt△ABC的斜边AB为⼀边在△ABC同侧作正⽅形ABEF．点O为AE 与BF的交点，连接CO．若CA=2，CO=，那么CB的长为________.20.如图，在等腰直⾓△ACB中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直⾓边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P．有下列结论：①∠DEO=45°；②△AOD≌△COE；③S四边形CDOE=S△ABC；④OD2=OP?OC．其中正确的结论序号为________ ．（把你认为正确的都写上）21.如图，已知点C是∠AOB平分线上⼀点，点E，F分别在边OA，OB上，如果要得到OE=OF，需要添加以下条件中的某⼀个即可，请你写出所有可能结果的序号为________①∠OCE=∠OCF；②∠OEC=∠OFC；③EC=FC；④EF⊥OC．三、解答题23.已知：如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E.求证：BC＝ED.24.如图，点E、F分别在正⽅形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂⾜为G，且AG ＝AB，则∠EAF为多少度．25.已知如图，D、E分别在AB和AC上，CD、BE交于O，AD=AE，BD=CE．求证：OB=OC．26.如图，△ABC中，∠ACB=90°，延长AC到D，使得CD=CB，过点D作DE⊥AB于点E，交BC于F．求证：AB=DF．27.已知：如图，点E是正⽅形ABCD的边CD上⼀点，点F是CB的延长线上⼀点，且EA⊥AF．求证：DE＝BF．28.如图，在△ABF与△CDE中，AB=CD，BF=DE，点A，E，F，C在同⼀条直线上，AE=CF，求证：AB∥CD．29.已知：如图，AD=BC，AB=DC，求证：∠A=∠C．答案解析部分⼀、单选题1.如图：在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF 于点O，有下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③△BEH≌△HDF；④BC﹣CF=2EH；⑤AB=FH．其中正确的结论有（）A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个【答案】B【考点】全等三⾓形的判定与性质【解析】【解答】；解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=DC，AD∥BC，∴∠ADE=∠CED，∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠BAE=∠DAH=45°，∴△ABE和△ADH是等腰直⾓三⾓形，∴AE=AB，AD=AH，∴AD=AE，AB=AH=DH=DC，∴∠ADE=∠AED，∴∠AED=∠CED，∴①正确；∵∠DAH=∠ADH=45°，∴∠ADE=∠AED=67.5°，∵∠BAE=45°，∴∠AHB=∠ABH=67.5°，∴∠OHE=67.5°，∴∠OHE=∠AED，∴OE=OH，同理：OD=OH，∴OE=OD，∴②正确；∵∠ABH=∠AHB=67.5°，∴∠HBE=∠FHD，在△BEH和△HDF中，，∴△BEH≌△HDF（ASA），∴③正确；BC﹣CF=2HE正确，过H作HK⊥BC于K，可知KC=BC，HK=KE，由上知HE=EC，∴BC=KE⼗Ec，⼜KE=HK=FC，HE=EC，故BC=HK+HE，BC=2HK+2HE=FC+2HE∴④正确；⑤不正确；故选：B．【分析】先证明△ABE和△ADH等腰直⾓三⾓形，得出AD=AE，AB=AH=DH=DC，得出∠ADE=∠AED，即可得出①正确；先证出OE=OH，同理：OD=OH，得出OE=OD，②正确；由ASA证出△BEH≌△HDF，得出③正确；过H作HK⊥BC于K，可知KC=BC，HK=KE，得出BC=HK+HE，BC=2HK+2HE=FC+2HE，得出④正确．2.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化过程中，下列结论：①△DFE是等腰直⾓三⾓形；②四边形CDFE不可能为正⽅形；③△CDE与△DAF 不可能全等；④四边形CDFE的⾯积保持不其中正确的结论是（）A. ①②③B. ①③④C. ③④⑤D. ①④⑤【答案】D【考点】全等三⾓形的判定与性质【解析】【解答】解：连接CF；∵△ABC是等腰直⾓三⾓形，∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；∵AD=CE，∴△ADF≌△CEF；∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；∵∠AFD+∠CFD=90°，∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，∴△EDF是等腰直⾓三⾓形．当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正⽅形．∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF∴S四边形CEFD=S△AFC ．由于△DEF是等腰直⾓三⾓形，因此当DE最⼩时，DF也最⼩；即当DF⊥AC时，DE最⼩，此时DF=BC=4．∴DE=DF=4；当△CEF⾯积最⼤时，此时△DEF的⾯积最⼩．此时S△CEF=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8．则结论正确的是①④⑤．故选D【分析】作常规辅助线连接CF，由SAS定理可证△CFE和△ADF全等，从⽽可证∠DFE=90°，DF=EF．所以△DEF是等腰直⾓三⾓形；由割补法可知四边形CDFE 的⾯积保持不变；△DEF是等腰直⾓三⾓形DE=DF，当DF与BC垂直，即DF最⼩时，DE取最⼩值4，△CDE最⼤的⾯积等于四边形CDEF的⾯积减去△DEF的最⼩⾯积．3.如图，已知∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于点D，AD=2.5 cm，DE=1.7 cm，则BE=（）A. 1cmcmC. 4.2cmD. 1.5 cm【答案】B【考点】全等三⾓形的判定与性质【解析】【分析】根据BE⊥CE，AD⊥CE得∠E=∠ADC，则∠CAD+∠ACD=90°，再由∠ACB=90°，得∠BCE+∠ACD=90°，则∠BCE=∠CAD，从⽽证出△BCE≌△CAD，进⽽得出BE的长．【解答】∵AD⊥CE，∴∠E=∠ADC=90°，即∠CAD+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠BCE=∠CAD，⼜∵AC=BC，∴△BCE≌△CAD（AAS），∴CE=AD，BE=CD，∵AD=2.5cm，DE=1.7cm，∴BE=CD=CE-DE=2.5-1.7=0.8cm．故选B．【点评】本题考查了全等三⾓形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握．4.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是⾼AD和BE的交点，则BF的长是（）A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 9cm【答案】C【考点】全等三⾓形的判定与性质【解析】【分析】∵F是⾼AD和BE的交点，∴∠ADC=∠ADB=∠AEF=90°，∴∠CAD+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，∵∠AFE=∠BFD，∴∠CAD=∠FBD，∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，∴∠BAD=45°=∠ABD。

B.-C .-D. 3中考数学知识点过关培优训练卷:全等三角形的性质与判定•选择题 1.如图，△EDC 都是等边三角形， 连接AE BE 若AB= BE / CAE= 20°,则/ BCD2•在等腰直角△ ABC 中, AB= AC / BAC= 90°, BE 平分/ ABC 交 AC 于 E,过 C 作 CDL BE 于D,过A 作AT T BE 于T 点，有下列结论：①△ AET ^A CDE ②BC= ABAE ③/ ADB=45°,④严AT+TE，其中正确的有（3.已知△ ABC 中，/ ABC= 45°, AB= 7「，BC= 17,以 AC 为斜边在厶 ABC 外作等腰 Rt △ACD 连接BD 则BD 的长为（ ）A.25「BC.：D. ' _v4 224.如图，△ ABC 是等边三角形，点 D E 分别为边BC AC 上的点，且 CD= AE 点F 是BE 和AD 的交点，BGL AD 于 G 点，已知/ BEC= 75°, FG= 1,贝U AB 的长为（）的度数是（B. 2 0C. 15D. 10 B. 3个 C. 2个D. 1个A. 4个A. 75.如图，△ ABM^A CDM是两个全等的等边三角形，MALMD有下列四个结论：①/ MBC= 25°;②/ ADC/ ABC= 180 ° ;③直线MB平分/ DMC④直线MB垂直平分线段CD其中正确结论的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 46.如图，/ BAC=/ ACD= 90°,/ ABC=/ ADC CEL AD 且BE平分/ ABC 则下列结论：①AD= CB ②/ ACE=/ ABC ③/ ECD/ EBC=/ BEC ④/ CE B / CFE 其中正确的是7•如图，在△ ABC中,/ ACB= 90°, AC= BC过点B作BEL AB于B, D为AB边上一点且AD= BE连接CD DE若CD= 2近，则DE的长为（）&如图，△ PAB与△ PC［均为等腰直角三角形，点C在PB上,若厶ABC与△ BCD勺面积之和A.①②B.①③④C.①②④D.①②③④C. 4D. 6A. 5B. 10C. I 5D. 209•已知，如图等边三角形 ABC 中, D, E 分别为AB BC 边上的点，且 AD= BE AE 与CD 交D. -_3A, A,…，A 分别是正方.填空题 12 .如图，等边△ ABC 边长为10, P 在AB 上, Q 在BC 延长线,点E ,过点P 作PF// BQ 交AC 边于点F ,连接PQ 交AC 于点D,则DE 的长为 ________________________________________________________________________于点F. A 劭CD 于 G,则」值是（C.：2D. 1 : 210.如图，△DCE 都是边长为8的等边三角形，点 B, C, E 在同一条直线上接BD11.'将n 个边长都为 )cm 2.CQ= PA 过点 P 作PEI AC 1cm 的正方形按如图所示的方法摆放，点13•如图，△ ABC 是边长为9的等边三角形，AD 为BC 边上的高，以 AD 为边作等边三角形15•如图，已知l i // I ?// I 3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ ABC 的三个顶点分别在这三条平行直线上， 斜边AC 与丨3所夹的锐角为a,则tan a 的值等于 ___________16•等腰三角形 ABC 中, AB= AC BD >^ABC 的角平分线，点 E 在射线BA 上, DB= DE 若BC= 6, AE= 2，线段AD 的长度为 _______四边形 ABCD^，已知 AB= AD, / BAD= 60°,/ BCD= 120。

专题06 全等三角形的判定与性质知识回顾1.三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

三角形的三边一旦确定，这三角形就固定了，这是三角形具有稳定性。

2.三角形的内角和定理：三角形的三个内角之和等于180°。

3.三角形的外角定理：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和。

大于它不相邻的任意一个内角。

4.全等三角形的性质：若两个三角形全等，则他们的对应边相等；对应角相等；对应边上的中线相等，高线相等，角平分线也相等；且这两个三角形的周长和面积均相等。

5.全等三角形的判定：①边边边（SSS）：三条边分别对应性相等的两个三角形全等。

②边角边（SAS）：两边及其这两边的夹角对应相等的两个三角形全等。

③角边角（ASA）：两角及其这两角的夹边对应相等的两个三角形全等。

④角角边（AAS）：两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

⑤直角三角形判定（HL）：直角三角形中斜边与其中任意一直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。

全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件。

在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形。

微专题1．已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AB＝AD．2．如图，△ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且BE＝CD，连接BD，CE．求证：BD＝CE．3．如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．4．如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．（1）求证：△ABC≌△ADC；（2）若AB＝4，CD＝3，求四边形ABCD的面积．5．如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD＝AB，DE∥AB，∠DCE＝∠A．求证：DE＝BC．6．如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．（1）求证：MP＝NP；（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．7．如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；（2）利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．8．在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC．（1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．9．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，且点D在线段BC上，连CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠EAC＝60°，求∠CED的度数．10．如图，在△ABC中（AB＜BC），过点C作CD∥AB，在CD上截取CD＝CB，CB上截取CE＝AB，连接DE、DB．（1）求证：△ABC≌△ECD；（2）若∠A＝90°，AB＝3，BD＝2，求△BCD的面积．11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一点，以AD为直角边作等腰Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠BAD＝22.5°时，求BD的长．12．如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），将△ACB沿AC对折到△ACE的位置，AE和CD交于点F．（1）求证：△CEF≌△ADF；（2）求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．13．如图，△ABC和△DEF，点E，F在直线BC上，AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F．如图①，易证：BC+BE ＝BF．请解答下列问题：（1）如图②，如图③，请猜想BC，BE，BF之间的数量关系，并直接写出猜想结论；（2）请选择（1）中任意一种结论进行证明；（3）若AB＝6，CE＝2，∠F＝60°，S△ABC＝123，则BC＝，BF＝．14．△ABC和△ADE都是等边三角形．（1）将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有P A+PB＝PC（或P A+PC＝PB）成立（不需证明）；（2）将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接P A，猜想线段P A、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；（3）将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接P A，猜想线段P A、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．15．【情境再现】甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接AG，BH，如图③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．请你证明：AG＝BH．【迁移应用】延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．【拓展延伸】小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接HB，AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．。

中考专题复习全等三角形(含答案)中考专题复：全等三角形知识点总结：一、全等图形和全等三角形1.全等图形：两个图形完全相同即为全等图形。

2.全等图形的性质：全等多边形的对应边和对应角分别相等。

3.全等三角形：对应边和对应角分别相等的三角形为全等三角形。

全等三角形对应边上的高、中线相等，对应角的平分线也相等。

全等三角形的周长和面积也相等。

注意：周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等。

二、全等三角形的判定1.一般三角形全等的判定：三边对应相等的两个三角形全等（“边边边”或“BBB”）。

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（“边角边”或“BAB”）。

两个角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等（“角边角”或“AAS”）。

有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（“角角边”或“ASA”）。

2.直角三角形全等的判定：利用一般三角形全等的判定可以证明直角三角形全等。

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（“斜边、直角边”或“HL”）。

注意：两边一对角(SSA)和三角(AAA)对应相等的两个三角形不一定全等。

三、全等三角形的性质1.对应角相等，对应边相等。

2.对应边上的高相等。

3.对应角的平分线相等。

4.对应中线相等。

5.面积相等。

6.周长相等。

四、角平分线的性质及判定性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等。

判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上。

五、证明两三角形全等或利用它证明线段或角相等的基本方法步骤1.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）；2.回顾三角形判定公理，搞清还需要什么；3.正确地书写证明格式（顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题）。

综合复：例 1.如图，A、F、E、B四点共线，AC⊥CE，BD⊥DF，AE=BF，AC=BD。

求证：△ACF≅△BDE。

删除明显有问题的段落）题目中给出了AE=BF，AC=BD，以及两个直角三角形△ACF和△BDE。

中考数学复习----《全等三角形之性质与判定》知识点总结与专项练习题（含答案解）知识点总结1.全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

其中重合的点叫做对应点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

用“≌”符号表示。

注意：在书写全等三角形时，对应点写在对应的位置。

2.全等三角形的性质：若两个三角形全等，则他们的对应边相等；对应角相等；对应边上的中线相等，高线相等，角平分线也相等；且这两个三角形的周长和面积均相等。

3.全等三角形的判定：①边边边（SSS）：三条边分别对应性相等的两个三角形全等。

②边角边（SAS）：两边及其这两边的夹角对应相等的两个三角形全等。

③角边角（ASA）：两角及其这两角的夹边对应相等的两个三角形全等。

④角角边（AAS）：两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

⑤直角三角形判定（HL）：直角三角形中斜边与其中任意一直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。

练习题1、（2022•云南）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF．若添加下列条件中的某一个，就能使△DOE≌△FOE．你认为要添加的那个条件是（）A．OD＝OE B．OE＝OF C．∠ODE＝∠OED D．∠ODE＝∠OFE 【分析】由OB平分∠AOC，得∠DOE＝∠FOE，由OE＝OE，可知∠ODE＝∠OFE，即可根据AAS得△DOE≌△FOE，可得答案．【解答】解：∵OB平分∠AOC，∴∠DOE＝∠FOE，又OE＝OE，若∠ODE＝∠OFE，则根据AAS可得△DOE≌△FOE，故选项D符合题意，而增加OD＝OE不能得到△DOE≌△FOE，故选项A不符合题意，增加OE＝OF不能得到△DOE≌△FOE，故选项B不符合题意，增加∠ODE＝∠OED不能得到△DOE≌△FOE，故选项C不符合题意，故选：D．2、（2022•金华）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL【分析】根据题目中的条件和全等三角形的判定方法，可以得到判定△ABO≌△DCO的依据．【解答】解：在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（SAS），故选：B．3、（2022•成都）如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是（）A．BC＝DE B．AE＝DB C．∠A＝∠DEF D．∠ABC＝∠D 【分析】先根据平行线的性质得到∠A＝∠D，加上AC＝DF，则可根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．【解答】解：∵AC∥DF，∴∠A＝∠D，∵AC＝DF，∴当添加∠C＝∠F时，可根据“ASA”判定△ABC≌△DEF；当添加∠ABC＝∠DEF时，可根据“AAS”判定△ABC≌△DEF；当添加AB＝DE时，即AE＝BD，可根据“SAS”判定△ABC≌△DEF．故选：B．4、（2022•宁夏）如图，AC，BD相交于点O，OB＝OD，要使△AOB≌△COD，添加一个条件是.（只写一个）【分析】根据全等三角形的判定方法，即可解答．【解答】解：∵OB＝OD，∠AOB＝∠COD，OA＝OC，∴△AOB≌△COD（SAS），∴要使△AOB≌△COD，添加一个条件是OA＝OC，故答案为：OA＝OC（答案不唯一）．5、（2022•南通）如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，要使△ABC≌△DEF，只需添加一个条件，则这个条件可以是．【分析】根据平行线的性质可得∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，然后再利用全等三角形的判定方法即可解答．【解答】解：∵AB∥ED，∴∠B＝∠E，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，∵AB＝DE，∴△ABC≌△DEF（AAS），故答案为：AB＝DE（答案不唯一）．6、（2022•牡丹江）如图，CA＝CD，∠ACD＝∠BCE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEC．【分析】根据等式的性质可得∠DCE＝∠ACB，然后再利用全等三角形的判定方法SAS，ASA或AAS即可解答．【解答】解：∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE，∴∠DCE＝∠ACB，∵CA＝CD，CB＝CE，∴△ABC≌△DEC（SAS），故答案为：CB＝CE（答案不唯一）．7、（2022•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（）A．24B．22C．20D．18【分析】通过证明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四边形ACGH的周长即为AB+AC+GH，进而可确定当MH⊥AB时，四边形ACGH的周长有最小值，通过证明四边形ACGH为矩形可得HG的长，进而可求解．【解答】解：∵CG∥AB，∴∠B＝∠MCG，∵M是BC的中点，∴BM＝CM，在△BMH和△CMG中，，∴△BMH≌△CMG（ASA），∴HM＝GM，BH＝CG，∵AB＝6，AC＝8，∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值，∵∠A＝90°，MH⊥AB，∴GH∥AC，∴四边形ACGH为矩形，∴GH＝8，∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22，故选：B．8、（2022•梧州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（）A．∠ADC＝90°B．DE＝DF C．AD＝BC D．BD＝CD【分析】由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，BD＝CD，∠B＝∠C，由“AAS”可证△BDE ≌△CDF，可得DE＝DF．【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，BD＝CD，∠B＝∠C，∴∠ADC＝90°，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（AAS），∴DE＝DF，故选：C．9、（2022•株洲）如图所示，点O在一块直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM＝ON，则∠ABO＝度．【分析】方法一：根据OM⊥AB，ON⊥BC，可知∠OMB＝∠ONB＝90°，从而可证Rt △OMB≌Rt△ONB（HL），根据全等三角形的性质可得∠OBM＝∠OBN，即可求出∠ABO 的度数．方法二：根据角平分线的判定定理求解即可．【解答】解：方法一：∵OM⊥AB，ON⊥BC，∴∠OMB＝∠ONB＝90°，在Rt△OMB和Rt△ONB中，，∴Rt△OMB≌Rt△ONB（HL），∴∠OBM＝∠OBN，∵∠ABC＝30°，∴∠ABO＝15°．方法二：∵OM⊥AB，ON⊥BC，又∵OM＝ON，∴OB平分∠ABC，∴∠OBM＝∠OBN，∵∠ABC＝30°，∴∠ABO＝15°．故答案为：15．10、（2022•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，D为AB边上一点，且BD＝BC，连接CD，以点D为圆心，DC的长为半径作弧，交BC于点E（异于点C），连接DE，则BE的长为．【分析】利用等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，同圆的半径相等，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，∴AB＝AC＝3，∠A＝∠B＝45°，∵BD＝BC＝3，AC＝BC，∴BD＝AC，AD＝3﹣3．∵DC＝DE，∴∠DCE＝∠DEC．∵BD＝BC，∴∠DCE＝∠CDB，∴∠CED＝∠CDB，∵∠CDB＝∠CDE+∠EDB，∠CED＝∠B+∠EDB，∴∠CDE＝∠B＝45°．∴∠ADC+∠EDB＝180°﹣∠CDE＝135°．∵∠ADC+∠ACD＝180°﹣∠A＝135°，∴∠ACD＝∠EDB．在△ADC和△BED中，，∴△ADC≌△BED（SAS）．∴BE＝AD＝3﹣3．故答案为：3﹣3．。

(完整版)全等三角形的判定常考典型例题及练习-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN全等三角形的判定一、知识点复习 ①“边角边”定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（SAS ）图形分析：书写格式： 在△ABC 和△DEF 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=EFBC E B DEAB∴△ABC ≌△DEF （SAS ）②“角边角”定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（ASA)图形分析：书写格式： 在△ABC 和△DEF 中 ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠FC EF BC EB∴△ABC ≌△DEF(ASA)③“角角边”定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

（AAS ）图形分析：书写格式：在△ABC 和△DEF 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠EFBC F C EB∴△ABC ≌△DEF(AAS)④“边边边”定理：三边对应相等的两个三角形全等。

（SSS ）图形分析：书写格式： 在△ABC 和△DEF 中 ⎪⎩⎪⎨⎧===EF BC DF AC DE AB∴△ABC ≌△DEF(AAS)⑤“斜边、直角边”定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

（HL ）图形分析：书写格式：在△ABC 和△DEF 中 ⎩⎨⎧==DF AC DE AB ∴△ABC ≌△DEF （HL ）一个三角形共有三条边与三个角，你是否想到这样一问题了：除了上述四种识别法，还有其他的三角形全等识别法吗比如说“SSA ”、“AAA ”能成为判定两个三角形全等的条件吗两个三角形中对应相等的元素 两个三角形是否全等反例 SSA⨯AAA⨯二、常考典型例题分析第一部分：基础巩固1.下列条件，不能使两个三角形全等的是（ ）A．两边一角对应相等 B．两角一边对应相等 C．直角边和一个锐角对应相等 D．三边对应相等2.如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A.∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD3.下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙4.如图，E，B，F，C四点在一条直线上，EB=CF，∠A=∠D，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是（）A．AB=DE B．DF∥AC C．∠E=∠ABC D．AB∥DE5.如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A=∠D B．AB=DC C．∠ACB=∠DBC D．AC=BD6.如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线OC，作法用得的三角形全等的判定方法是（）A．SAS B．SSS C．ASA D．HL第二部分：考点讲解考点1：利用“SAS ”判定两个三角形全等1.如图，A 、D 、F 、B 在同一直线上，AD=BF ，AE=BC ，且AE ∥BC ．求证：△AEF ≌△BCD ．2.如图，AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE ．求证：△ABD ≌△ACE ．考点2：利用“SAS ”的判定方法解与全等三角形性质有关的综合问题3.已知：如图，A 、F 、C 、D 四点在一直线上，AF=CD ，AB ∥DE ，且AB=DE ，求证：FEC CBF ∠=∠考点3:利用“SAS ”判定三角形全等解决实际问题 4.有一座小山，现要在小山A 、B 的两端开一条隧道，施工队要知道A 、B 两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达A 和B 的点C ，连接AC 并延长到D ，使CD=CA ，连接BC 并延长到E ，使CE=CB ，连接DE ，那么量出DE 的长，就是A 、B 的距离，你能说说其中的道理吗?考点4：利用“ASA”判定两个三角形全等5.如图，已知AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2，求证：△AEC≌△ADE．6.如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O．求证：△AEC≌△BED；考点6：利用“ASA”与全等三角形的性质解决问题:7.如图，已知EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E；求证：BC=DC考点7：利用“SSS”证明两个三角形全等8.如图，A、D、B、E四点顺次在同一条直线上，AC=DF，BC=EF，AD=BE，求证：△ABC≌△EDF．考点8：利用全等三角形证明线段（或角）相等9.如图，AE=DF，AC=DB，CE=BF．求证：∠A=∠D．考点9：利用“AAS”证明两个三角形全等10.如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，求证：△ABD≌△ACE.考点10：利用“AAS”与全等三角形的性质求证边相等11.（2017秋?娄星区期末）已知：如图所示，△ABC中，∠ABC=45°，高AE与高BD交于点M，BE=4，EM=3．（1）求证：BM=AC；（2）求△ABC的面积．考点11：利用“HL”证明两三角形全等12.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE=DF。

2024年中考数学《全等三角形》专题练习附带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________知识重点1、全等三角形的概念：（1）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

（2）把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

3、三角形全等的判定：(1)边边边(SSS)：三边分别相等的两个三角形全等。

(2)边角边(SAS)：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。

(3)角边角(ASA)：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。

(4)角角边(AAS)：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。

(5)斜边、直角边(HL)：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。

一、选择题1．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（）A．B．C．D．2．如图，△ABC≌△EDC，AC=3cm，DC=5cm，则BE=（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm3．如图，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．30°C．35°D．25°4．小亮设计了如下测量一池塘两端AB的距离的方案：先取一个可直接到达点A，B的点O，连接AO，BO，延长AO至点P，延长BO至点Q，使得OP=AO，OQ=BO再测出PQ的长度，即可知道A，B之间的距离．他设计方案的理由是（）A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS5．如图，点F，E在AC上AD=CB，∠D=∠B添加一个条件，不一定能证明△ADE≌△CBF的是（）A．AD∥BC B．DE∥FB C．DE=BF D．AE=CF6．如图所示∠E=∠D，CD⊥AC于点C，BE⊥AB于点B，AE交BC于点F，且BE=CD，则下列结论不一定正确的是（）A．AB=AC B．BF=EF C．AE=AD D．∠BAE=∠CAD 7．如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE=5 F是射线OB上的任意一点，则DF的长度不可能是（）A．4 B．5 C．5.5 D．68．如图，AD是△BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=32，DE=4，AB=9，则AC的长是（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题9．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平长度DF 相等，那么判定△ABC与△DEF全等的依据是．10．若△ABC≌△DEF，A与D，B与E分别是对应顶点∠A=50°，∠B=60°则∠F=. 11．如图，△ABC的面积为25cm2，BP平分∠ABC，过点A作AP⊥BP于点P，则△PBC的面积为；12．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，已知BC=8，DE=2则△BCE 的面积等于．13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=7cm，CE=5cm，则DE= cm．三、解答题14．如图，点B，C，E，F在同一直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF．求证：AB∥DF．15．如图，在Rt△ABC中∠B=90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE=AB.求证：△CED≅△ABC.16．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，AE平分∠DAB．求证：CD+AB＝AD．17．已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：（1）OD=OE；（2）OB=OC．18．如图，在△ABC中AC>AB，射线AD平分∠BAC，交BC于点E，点F在边AB的延长线上AF=AC，连接EF．（1）求证：△AEC≌△AEF．（2）若∠AEB=50°，求∠BEF的度数．19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB．（1）求∠AOE得度数；（2）求证：AC=AE+CD．参考答案1．A2．B3．C4．A5．D6．B7．A8．C9．HL10．70°11．12.5cm212．813．1214．解：∵ BE＝CF∴BE−CE=CF−CE∴BC=FE∵ AB＝DF，AC＝DE∴△ABC≌△DFE(SSS)∴∠B＝∠F∴AB∥DF．15．证明：∵DE⊥AC，∠DEC=90°又∵∠B=90°∴∠DEC=∠B=90°∵CD∥AB，∴∠A=∠DCE在△CED和△ABC中{∠DCE=∠A CE=AB∠DEC=∠B∴△CED≅△ABC(ASA).16．证明：如图，过点E作EF⊥AD于F∵∠B＝90°，AE平分∠DAB∴BE＝EF在Rt△EFA和Rt△EBA中{EF=EBAE=AE∴Rt△EFA和≌Rt△EBA（HL）．∴AF＝AB∵E是BC的中点∴BE＝CE＝EF在Rt△EFD和Rt△ECD中{EF=ECDE=DE∴Rt△EFD和≌Rt△ECD（HL）．∴DF＝CD∴CD+AB＝DF+AF＝AD∴CD+AB＝AD．17．（1）证明：∵AO平分∠BAC，CD⊥AB，BE⊥AC ∴OD=OE（2）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC∴∠BDO=∠CEO=90°在△BDO和△CEO中{∠BDO=∠CEO DO=CO∠BOD=∠COE∴△BDO≌△CEO（ASA）∴OB=OC18．（1）证明：射线AD平分∠BAC∴∠CAE=∠FAE 在△AEC和△AEF中{AC=AF∠CAE=∠FAE AE=AE∴△AEC≌△AEF(SAS)；（2）解：∵△AEC≌△AEF(SAS)∴∠AEC=∠AEF∵∠AEB=50°∴∠AEC=180°−∠AEB=180°−50°=130°∴∠AEF=∠AEC=130°∴∠BEF=∠AEF−∠AEB=80°∴∠BEF为80°．19.18．（1）解：∵∠BAC=90°，∠ABC=60°∴∠ACB=30°∵AD平分∠BAC，CE平分∠BAC∴∠CAD=12∠BAC=45°，∠ACE=12∠ACB=15°∵∠AOE是△AOC的外角∴∠AOE=∠CAD+∠ACE=60°；（2）证明：在AC上截取CF=CD，连接OF∵CE平分∠ACB∴∠DCO=∠FCO在△DCO和△FCO中{CD=CF∠DCO=∠FCOOC=OC∴△DCO≌△FCO(SAS)∴∠COD=∠COF∵∠AOE=60°∴∠COD=∠COF=60°∴∠AOF=180°−∠AOE−∠COF==60°∴∠AOE=∠AOF∵AD平分∠BAC∴∠EAO=∠FAO在△EAO和△FAO中{∠EAO=∠FAO AO=AO∠AOE=∠AOF∴△EAO≌△FAO(ASA)∴AE=AF∵AC=AF+CF∴AC=AE+CD．。

全等三角形【命题趋势】在中考中.全等三角形在中考主要以选择题、填空题和解答题的简单类型为主。

常结合常考的5种全等模型常结合四边形考查。

【中考考查重点】一、全等三角形常考5种模型二、全等三角形性质考点一：全等三角形的概念及性质1．（2021秋•中山区期末）如图.△ABC≌△DEC.点E在AB边上.∠ACD＝40°.则∠B 的度数为（）A．40°B．65°C．70°D．80°【答案】C【解答】解：∵△ABC≌△DEC.∴∠ACB＝∠DCE.CE＝CB.∴∠BCE＝∠DCA＝40°．∴∠B＝∠CEB＝（180°﹣40°）＝70°.故选：C．2．（2021秋•青田县期末）如图.已知△ABC≌△DEF.B.E.C.F在同一条直线上．若BF 概念两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．性质1.两全等三角形的对应边相等.对应角相等．2.全等三角形的对应边上的高相等.对应边上的中线相等.对应角的平分线相等．3.全等三角形的周长、面积相等．＝8cm.BE＝2cm.则CE的长度（）cm．A．5B．4C．3D．2【答案】B【解答】解：∵△ABC≌△DEF.∴BC＝EF.∴BC﹣CE＝EF﹣CE.∴BE＝CF.∵BE＝2cm.∴CF＝BE＝2cm.∵BF＝8cm.∴CE＝BF﹣BE﹣CF＝8﹣2﹣2＝4（cm）.故选：B．3．（2021秋•武汉期末）如图.△ABC≌△ADE.若∠B＝80°.∠E＝30°.则∠C的度数为（）A．80°B．35°C．70°D．30°【答案】D【解答】解：∵△ABC≌△ADE.∴∠C＝∠E＝30°.故选：D．考点二：全等三角形的判定模型一：平移型模型分析：此模型特征是有一组边共线或部分重合.另两组边分别平行.常要在移动的方向上加（减）公共线段.构造线段相等.或利用平行线性质找到对应角相等.模型示例4．（2021秋•余干县期中）已知：如图.点A、B、C、D在一条直线上.EA∥FB.EA＝FB.AB ＝CD．（1）求证：△ACE≌△BDF.（2）若∠A＝40°.∠D＝80°.求∠E的度数．【答案】（1）略（2）∠E的度数为60°【解答】证明：（1）∵EA∥FB.∴∠A＝∠FBD.∵AB＝CD.∴AB+BC＝CD+BC.在△EAC与△FBD中..∴△EAC≌△FBD（SAS）.（2）∵△EAC≌△FBD.∴∠ECA＝∠D＝80°.∵∠A＝40°.∴∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°.答：∠E的度数为60°．模型二：轴对称模型模型分析:所给图形可沿某一直线折叠.直线两旁的部分能完全重合.重合的顶点就是全等三角形的对应顶点.解题时要注意隐含条件.即公共边或公共角相等.5．（2021•长沙模拟）如图.在△ABC中.∠B＝∠C.过BC的中点D作DE⊥AB.DF⊥AC.垂足分别为点E、F．（1）求证：DE＝DF.（2）若∠B＝50°.求∠BAC的度数．【答案】（1）略（2）80°【解答】（1）证明：∵DE⊥AB.DF⊥AC.∴∠BED＝∠CFD＝90°.∵D是BC的中点.在△BED与△CFD中..∴△BED≌△CFD（AAS）.∴DE＝DF.（2）解：∵∠B＝50°.∴∠C＝∠B＝50°.∴∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°．6．（2021•江阳区一模）已知.在如图所示的“风筝”图案中.AB＝AD.AC＝AE.∠BAE＝∠DAC．求证：BC＝DE．【答案】略【解答】证明：∵∠BAE＝∠DAC.∴∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC．即：∠BAC＝∠EAD．在△ABC和△ADE中..∴△ABC≌△ADE（SAS）．∴BC＝DE．模型三：旋转型模型解读：将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后.两个三角形能够完全重合.则称这两个三角形为旋转型三角形．旋转后的图形与原图形存在两种情况：①无重叠：两个三角形有公共顶点.无重叠部分.一般有一对隐含的等角②有重叠：两个三角形含有一部分公共角.运用角的和差可得到等角.7．（2012春•张家港市期末）如图.点A、F、C、D在同一直线上.点B和点E分别在直线AD的两侧.且AB＝DE.∠A＝∠D.AF＝DC．求证：（1）△ABC≌△DEF.（2）BC∥EF．【答案】（1）略（2）略【解答】证明：（1）∵AF＝DC.∴AF+CF＝DC+CF.∴AC＝DF.∵在△ABC和△DEF中.∴△ABC≌△DEF（SAS）.（2）∵由（1）知△ABC≌△DEF.∴∠BCA＝∠EFD.∴BC∥EF．8．（2021•长安区一模）如图.△ABC和△EBD都是等边三角形.连接AE.CD．求证：AE ＝CD．【答案】略【解答】证明：∵△ABC和△EBD都是等边三角形.∴AB＝CB.BE＝BD.∴∠ABC＝∠DBE＝60°.∴∠ABC﹣∠ABD＝∠DBE﹣∠ABD.即∠ABE＝∠CBD.在△ABE和△CBD中..∴△ABE≌△CBD（SAS）.∴AE＝CD．模型四：一线三垂直型模型解读：一线：经过直角顶点的直线.三垂直：直角两边互相垂直.过直角的两边向直线作垂直.利用“同角的余角相等”转化找等角99．（2020秋•溧水区期中）如图.在△ABC中.AB＝AC.点P、D分别是BC、AC边上的点.且BP＝CD.∠APD＝∠B．（1）求证：AB＝CP.（2）若∠BAC＝120°.则∠ADP＝°．【答案】（1）略（2）75【解答】（1）证明：∵AB＝AC.∴∠B＝∠C.∵∠APC＝∠B+∠BAP＝∠APD+∠CPD.且∠APD＝∠B.∴∠CPD＝∠BAP.在△ABP和△PCD中..∴△ABP≌△PCD（AAS）.∴AB＝CP.（2）解：∵∠BAC＝120°.∠B＝∠C.∵AB＝AC.AB＝PC.∴PC＝AC.∴∠CAP＝∠APC＝＝75°.由（1）知：△ABP≌△PCD.∴AP＝PD.∴∠ADP＝∠CAP＝75°.故答案为：75．10．（2020春•海淀区校级期末）如图.在△ABC中.∠ACB＝90°.AC＝BC.点E是∠ACB 内部一点.连接CE.作AD⊥CE.BE⊥CE.垂足分别为点D.E．（1）求证：△BCE≌△CAD.（2）请直接写出AD.BE.DE之间的数量关系：．【答案】（1）略（2）AD＝BE+DE【解答】证明：（1）∵BE⊥CE.AD⊥CE.∴∠E＝∠ADC＝90°.∴∠EBC+∠BCE＝90°．∵∠BCE+∠ACD＝90°.∴∠EBC＝∠DCA.在△BCE和△CAD中..∴△BCE≌△CAD（AAS）.（2）∵△BCE≌△CAD.∴AD＝CE＝CD+DE＝BE+DE.故答案为：AD＝BE+DE．模型五：半角模型1、等边角形半角作辅助线：延长FC到G.使得CG=BE.连接DG结论：▲DEF≌▲DGF.EF=BE+CF2、正方形含半角作辅助线：延长CB到G.使得CG=DF.连接AG结论：▲AEF≌▲AGE.EF=BE+DF11．（2021春•开州区期末）已知：如图四边形ABCD是正方形.∠EAF＝45°．（1）如图1.若点E.F分别在边BC、CD上.延长线段CB至G.使得BG＝DF.若BE＝4.BG＝3.求EF的长.（2）如图2.若点E.F分别在边CB、DC延长线上时.求证：EF＝DF﹣BE.（3）如图3.如果四边形ABCD不是正方形.但满足AB＝AD.∠BAD＝∠BCD＝90°.∠EAF＝45°.且BC＝8.DC＝12.CF＝6.请你直接写出BE的长．【答案】（1）7 （2）EF＝DF﹣BE （3）BE＝【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形.∴AB＝AD＝BC＝CD.∠D＝∠ABC＝90°.∵AB＝AD.∠D＝∠ABG.BG＝DF.∴△ABG≌△ADF（SAS）.∴AG＝AF.∠DAF＝∠BAG.∵∠EAF＝45°.∴∠DAF+∠BAE＝45°.∴∠BAG+∠BAE＝45°＝∠GAE.∴∠GAE＝∠EAF.又∵AG＝AF.AE＝AE.∴△GAE≌△F AE（SAS）.∴EF＝GE.∴EF＝GE＝BE+BG＝4+3＝7.（2）如图2.在DF上截取DM＝BE.∵AD＝AB.∠ABE＝∠ADM＝90°.DM＝BE.∴△ABE≌△ADM（SAS）.∴AE＝AM.∠EAB＝∠DAM.∵∠EAF＝45°.且∠EAB＝∠DAM.∴∠BAF+∠DAM＝45°.∴∠MAF＝45°＝∠EAF.又∵AE＝AM.AF＝AF.∴△AEF≌△AMF（SAS）.∵DF＝DM+FM.∴DF＝BE+EF.∴EF＝DF﹣BE.（3）如图.在DF上截取DM＝BE.同（2）可证EF＝DF﹣BE.∴DF＝BE+EF＝CF+DC＝18.∵EF2＝CF2+CE2.∴（18﹣BE）2＝62+（8+BE）2.∴BE＝．12．已知如图.在菱形ABCD中.∠B＝60°.点E、F分别在AB、AD上.且BE＝AF．求证：△ECF是等边三角形．【答案】略【解答】解：连接AC.∵四边形ABCD是菱形.∴AB＝BC＝AD＝CD.∵∠B＝60°.∴∠D＝∠B＝60°.∠BCD＝120°.△ABC是等边三角形.∴∠BAC＝60°.AC＝AB.∴AC＝CD.∴AE＝DF.在△ACE与△DCF中..∴△ACE≌△DCF（SAS）.∴EC＝FC．∠ACE＝∠DCF.∵∠DCF+∠ACF＝60°.∴∠ACE+∠ACF＝60°.即∠ECF＝60°.∴△ECF是等边三角形．1．（2020•雨花区校级三模）如图.AB∥ED.CD＝BF.若△ABC≌△EDF.则还需要补充的条件可以是（）A．AC＝EF B．BC＝DF C．AB＝DE D．∠B＝∠E【答案】C【解答】解：∵AB∥ED.∵∠B＝∠D.∵CD＝BF.CF＝FC.∴BC＝DF．在△ABC和△DEF中BC＝DF.∠B＝∠D.AB＝DE.∴△ABC≌△DEF．2．（2021春•秦淮区期中）如图.在四边形ABCD中.∠A＝∠B＝90°.AB＝BC＝4.AD＝3.E是边AB上一点.且∠DCE＝45°.则DE的长度是（）A．3.2B．3.4C．3.6D．4【答案】B【解答】解：如图.过C作CG⊥AD于G.并延长DG至F.使GF＝BE.∵∠A＝∠B＝∠CGA＝90°.AB＝BC.∴四边形ABCG为正方形.∴AG＝BC＝4.∠BCG＝90°.BC＝CG.∵AD＝3.∴DG＝4﹣3＝1.∵BC＝CG.∠B＝∠CGF.BE＝FG.∴△EBC≌△FGC（SAS）.∴CE＝CF.∠ECB＝∠FCG.∵∠DCE＝45°.∴∠BCE+∠DCG＝∠DCG+∠FCG＝45°.∴∠DCE＝∠DCF.∵CE＝CF.∠DCF＝∠DCE.DC＝DC.∴△ECD≌△FCD（SAS）.∴ED＝DF.设ED＝x.则EB＝FG＝x﹣1.∴AE＝4﹣（x﹣1）＝5﹣x.Rt△AED中.AE2+AD2＝DE2.∴（5﹣x）2+32＝x2.解得：x＝3.4.∴DE＝3.4．故选：B．3．（2021•凤山县模拟）如图.△ABC≌△DEC.∠ACD＝28°.则∠BCE＝°．【答案】28【解答】证明：∵△ABC≌△DEC.∴∠ACB＝∠DCE.∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE.即∠ACD＝∠BCE＝28°．故答案是：28．4．（2021秋•余干县期中）已知：如图.点A、B、C、D在一条直线上.EA∥FB.EA＝FB.AB ＝CD．（1）求证：△ACE≌△BDF.（2）若∠A＝40°.∠D＝80°.求∠E的度数．【答案】（1）略（2）60°【解答】证明：（1）∵EA∥FB.∴∠A＝∠FBD.∵AB＝CD.∴AB+BC＝CD+BC.即AC＝BD.在△EAC与△FBD中..（2）∵△EAC≌△FBD.∴∠ECA＝∠D＝80°.∵∠A＝40°.∴∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°.答：∠E的度数为60°．5．（2021秋•庐江县期末）如图.AB与CD交于点E.点E是AB的中点.∠A＝∠B．试说明：AC＝BD．【答案】略【解答】证明：∵E是AB的中点.∴AE＝BE.在△AEC和△BED中..∴△AEC≌△BED（ASA）.∴AC＝BD．6．（2021秋•伊通县期末）已知：如图.线段BE、DC交于点O.点D在线段AB上.点E 在线段AC上.AB＝AC.AD＝AE．求证：∠B＝∠C．【答案】略【解答】证明：在△ABE和△ACD中..∴∠B＝∠C．7．（2021秋•连云港期末）如图.点B、C、E、F在同一直线上.点A、D在BC的异侧.AB ＝CD.BF＝CE.∠B＝∠C．（1）求证：△ABE≌△DCF.（2）若∠A+∠D＝144°.∠C＝30°.求∠AEC的度数．【答案】（1）略（2）∠AEC＝102°【解答】（1）证明：∵BF＝CE.∴BE＝CF.在△ABE与△DCF中..∴△ABE≌△DCF（SAS）.（2）解：由（1）知.△ABE≌△DCF.∴∠AEB＝∠DFC.∠A＝∠D.∴∠AEC＝∠DFB.∵∠A+∠D＝144°.∴∠D＝72°.又∵∠C＝30°.∴∠DFB＝∠C+∠D＝102°.∴∠AEC＝102°．8．（2021•广东模拟）如图.△ABC与△ADE是以点A为公共顶点的两个三角形.且AD ＝AE.AB＝AC.∠DAE＝∠CAB＝90°.且线段BD、CE交于F．（1）求证：△AEC≌△ADB．（2）求∠BFC的度数．【答案】（1）略（2）∠BFC＝90°【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE.∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD.即∠BAD＝∠CAE.在△BAD与△CAE中..∴△BAD≌△CAE（SAS）.（2）解：由（1）知.△BAD≌△CAE.∴∠ABD＝∠ACE.BD＝CE.∵∠BAC＝90°.∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC+∠ACB＝90°.∴∠BFC＝90°．9．（2021•蓬安县模拟）如图.在△ABC和△DCB中.∠A＝∠D＝90°.AC＝BD.AC与BD 相交于点O．（1）求证：△ABC≌△DCB.（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．【答案】（1）略（2）△OBC是等腰三角形【解答】证明：（1）在△ABC和△DCB中.∠A＝∠D＝90°AC＝BD.BC为公共边.∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）.（2）△OBC是等腰三角形.∵Rt△ABC≌Rt△DCB.∴∠ACB＝∠DBC.∴OB＝OC.∴△OBC是等腰三角形．10．（2021秋•汝阳县期中）如图：∠ACB＝90°.AC＝BC.BE⊥CE.AD⊥CE.垂足分别为E.D.AD＝25.DE＝17．（1）求证：△ACD≌△CBE.（2）求线段BE的长．【答案】（1）略（2）BE＝8．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°.∴∠ECB+∠ACD＝90°.∵BE⊥CE.∴∠ECB+∠CBE＝90°.∴∠ACD＝∠CBE.∵AD⊥CE.BE⊥CE.∴∠ADC＝∠E＝90°.在△ACD和△CBE中..∴△ACD≌△CBE（AAS）.（2）解：∵△ACD≌△CBE.∴AD＝CE＝25.CD＝BE.∵CD＝CE﹣DE＝25﹣17＝8.∴BE＝8．11．（2020春•无锡期中）如图.菱形ABCD中.∠B＝60°.点E.F分别在AB.AD上.且BE ＝AF．（1）求证：△ECF为等边三角形.（2）连接AC.若AC将四边形AECF的面积分为1：2两部分.当AB＝6时.求△BEC 的面积．【答案】（1）略（2）3或6【解答】解：（1）证明：连接AC.∵四边形ABCD是菱形.∴BA＝BC＝AD＝DC.又∵∠B＝60°.∴△ABC和△ADC都是等边三角形.∴∠CAD＝∠ACB＝∠ACD＝60°.在△CBE和△CAF中..∴△CBE≌△CAF（SAS）.∴CE＝CF.∠BCE＝∠ACF.∴∠ECF＝60°.∴△ECF为等边三角形.（2）由（1）可知△CBE≌△CAF.∴S△CBE＝S△CAF.∴S四边形AECF＝S△ABC.作AH⊥BC交BC于点H.在△ABH中.∠B＝60°.AB＝6.∴BH＝3.∴AH＝3.∴S△ABC＝×6×3＝9.当S△CBE：S△CAE＝1：2时.S△BEC的面积＝S△ABC＝3.当S△CBE：S△CAE＝2：1时.S△BEC的面积＝S△ABC＝6.综上.△BEC的面积为3或612．（2021秋•济阳区期中）问题背景：在解决“半角模型”问题时.旋转是一种常用方法．如图1.在四边形ABCD中.AB＝AD.∠BAD＝120°.∠B＝∠ADC＝90°.点E.F分别是BC.CD上的点.且∠EAF＝60°.连接EF.探究线段BE.EF.DF之间的数量关系．（1）探究发现：小明同学的方法是将△ABE绕点A逆时针旋转120°至△ADG的位置.使得AB与AD重合.然后证明△AGF≌△AEF.从而得出结论：EF＝BE+DF.（2）拓展延伸：如图2.在正方形ABCD中.E、F分别在边BC、CD上.且∠EAF＝45°.连接EF.（1）中的结论是否仍然成立？若成立.请写出证明过程.若不成立.请说明理由．（3）尝试应用：在（2）的条件下.若BE＝3.DF＝2.求正方形ABCD的边长．【答案】（1）EF＝BE+DF（2）6【解答】解：（1）探究发现：将△ABE绕点A逆时针旋转120°至△ADG的位置.使得AB与AD重合.∴△ABE≌△ADG.∴AE＝AG.∠BAE＝∠DAG.∵∠BAD＝120°.∠EAF＝60°.∴∠BAE+∠DAF＝60°.∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝60°＝∠EAF.∵AF＝AF.∴△AEF≌△AGF（SAS）.∴EF＝FG＝DG+DF＝BE+DF.故答案为：EF＝BE+DF.（2）拓展延伸：结论仍然成立.证明：如图2.将△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG的位置.使得AB与AD重合.∴△ABE≌△ADG.∴AE＝AG.∠BAE＝∠DAG.∵∠BAD＝90°.∠EAF＝45°.∴∠BAE+∠DAF＝45°.∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝45°＝∠EAF.∵AF＝AF.∴△AEF≌△AGF（SAS）.∴EF＝FG＝DG+DF＝BE+DF.（3）尝试应用：由（1）（2）可得EF＝BE+DF＝5.设正方形ABCD的边长是x.在Rt△CEF中.EC＝x﹣3.CF＝x﹣2.EF2＝EC2+CF2.∴52＝（x﹣3）2+（x﹣2）2.解得x1＝6.x2＝﹣1（舍去）.∴正方形ABCD的边长是6．1．（2020•淄博）如图.若△ABC≌△ADE.则下列结论中一定成立的是（）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED 【答案】B【解答】解：∵△ABC≌△ADE.∴AC＝AE.AB＝AD.∠ABC＝∠ADE.∠BAC＝∠DAE.∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC.即∠BAD＝∠CAE．故A.C.D选项错误.B选项正确.故选：B．2．（2021•哈尔滨）如图.△ABC≌△DEC.点A和点D是对应顶点.点B和点E是对应顶点.过点A作AF⊥CD.垂足为点F.若∠BCE＝65°.则∠CAF的度数为（）A．30°B．25°C．35°D．65°【答案】B【解答】解：∵△ABC≌△DEC.∴∠ACB＝∠DCE.∵∠BCE＝65°.∴∠ACD＝∠BCE＝65°.∵AF⊥CD.∴∠AFC＝90°.∴∠CAF+∠ACD＝90°.∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°.故选：B．3．（2020•常州）已知：如图.点A、B、C、D在一条直线上.EA∥FB.EA＝FB.AB＝CD．（1）求证：∠E＝∠F.（2）若∠A＝40°.∠D＝80°.求∠E的度数．【答案】（1）略（2）∠E的度数为60°【解答】证明：（1）∵EA∥FB.∴∠A＝∠FBD.∵AB＝CD.∴AB+BC＝CD+BC.即AC＝BD.在△EAC与△FBD中..∴△EAC≌△FBD（SAS）.∴∠E＝∠F.（2）∵△EAC≌△FBD.∴∠ECA＝∠D＝80°.∵∠A＝40°.∴∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°.答：∠E的度数为60°．4．（2019•南充）如图.点O是线段AB的中点.OD∥BC且OD＝BC．（1）求证：△AOD≌△OBC.（2）若∠ADO＝35°.求∠DOC的度数．【答案】（1）略（2）35°【解答】（1）证明：∵点O是线段AB的中点.∴AO＝BO.∵OD∥BC.∴∠AOD＝∠OBC.在△AOD与△OBC中..∴△AOD≌△OBC（SAS）.（2）解：∵△AOD≌△OBC.∴∠ADO＝∠OCB＝35°.∵OD∥BC.∴∠DOC＝∠OCB＝35°．5．（2020•柳州）如图.已知OC平分∠MON.点A、B分别在射线OM.ON上.且OA＝OB．求证：△AOC≌△BOC．【答案】略【解答】证明：∵OC平分∠MON.∴∠AOC＝∠BOC.在△AOC和△BOC中..∴△AOC≌△BOC（SAS）．6．（2020•衡阳）如图.在△ABC中.∠B＝∠C.过BC的中点D作DE⊥AB.DF⊥AC.垂足分别为点E、F．（1）求证：DE＝DF.（2）若∠BDE＝40°.求∠BAC的度数．【答案】（1）略（2）∠BAC＝80°【解答】（1）证明：∵DE⊥AB.DF⊥AC.∴∠BED＝∠CFD＝90°.∵D是BC的中点.∴BD＝CD.在△BED与△CFD中..∴△BED≌△CFD（AAS）.∴DE＝DF.（2）解：∵∠BDE＝40°.∴∠B＝50°.∴∠C＝50°.∴∠BAC＝80°．7．（2020•百色）如图.点A.F.C.D在同一直线上.AB∥DE.BC＝EF.∠B＝∠E．求证：（1）△ABC≌△DEF．（2）AF＝DC．【答案】（1）略（2）略【解答】证明：（1）∵AB∥DE.∴∠A＝∠D.在△ABC和△DEF中..∴△ABC≌△DEF（AAS）.（2）∵△ABC≌△DEF.∴AC＝DF.∴AF＝CD．8．（2020•徐州）如图.AC⊥BC.DC⊥EC.AC＝BC.DC＝EC.AE与BD交于点F．（1）求证：AE＝BD.（2）求∠AFD的度数．【答案】（1）略（2）90°【解答】解：（1）∵AC⊥BC.DC⊥EC.∴∠ACB＝∠DCE＝90°.∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE.∴∠ACE＝∠BCD.在△ACE和△BCD中..∴△ACE≌△BCD（SAS）.∴AE＝BD.（2）设BC与AE交于点N.∵∠ACB＝90°.∴∠A+∠ANC＝90°.∵△ACE≌△BCD.∴∠A＝∠B.∵∠ANC＝∠BNF.∴∠B+∠BNF＝∠A+∠ANC＝90°.∴∠AFD＝∠B+∠BNF＝90°．1．（2021•商河县校级模拟）如图.已知△ABC≌△DAE.BC＝2.DE＝5.则CE的长为（）A．2B．2.5C．3D．3.5【答案】C【解答】解：∵△ABC≌△DAE.∴AC＝DE＝5.BC＝AE＝2.∴CE＝5﹣2＝3．故选：C．2．（2020•清苑区一模）如图.△ABC≌△EBD.∠E＝50°.∠D＝62°.则∠ABC的度数是（）A．68°B．62°C．60°D．50°【答案】A【解答】解：∵∠E＝50°.∠D＝62°.∴∠EBD＝180°﹣50°﹣62°＝68°.∵△ABC≌△EBD.∴∠ABC＝∠EBD＝68°.故选：A．3．（2020•南宁二模）如图.△ABC≌△DEC.点E在边AB上.∠DEC＝76°.则∠BCE的度数是．【答案】28°【解答】解：∵△ABC≌△DEC.∴CB＝CE.∠B＝∠DEC＝76°.∴∠BCE＝180°﹣2∠B＝28°.故答案为：28°．4．（2021•温州二模）已知：如图.点A、B、C、D在一条直线上.FB∥EA交EC于H 点.EA＝FB.AB＝CD．（1）求证：△ACE≌△BDF.（2）若CH＝BC.∠A＝50°.求∠D的度数．【答案】（1）略（2）∠D＝80°【解答】证明：（1）∵FB∥EA.∴∠A＝∠FBD.∵AB＝CD.∴AB+BC＝CD+BC.即AC＝BD.在△ACE与△BDF中..∴△ACE≌△BDF（SAS）.（2）解：∵△ACE≌△BDF.∴∠A＝∠FBD.∠D＝∠ACE.∵∠A＝50°.∴∠FBD＝50°.∵CH＝BC.∴∠FBD＝∠BHC＝50°.∴∠BCH＝180°﹣∠FBD﹣∠BHC＝80°.∴∠D＝80°．5．（2021秋•长兴县期中）如图.在△ABC中.∠B＝∠C.过BC的中点D作DE⊥AB.DF ⊥AC.垂足分别为点E、F．（1）求证：DE＝DF.（2）若AB＝5.BC＝8.求DE的长．【答案】（1）略（2）DE＝【解答】（1）证明：如图.连接AD.∵∠B＝∠C.∴AB＝AC.∵D是BC的中点.∴AD平分∠BAC.∵DE⊥AB.DF⊥AC.∴DE＝DF.（2）解：∵AB＝AC.∵D是BC的中点.∴AD⊥BC.BD＝CD＝BC＝4.∴AD＝＝＝3.∴S△ABD＝AB•DE＝BD•AD.∴5DE＝4×3.∴DE＝．6．（2019•曲靖模拟）如图.点A、F、C、D在同一直线上.点B和点E分别在直线AD 的两侧.且AB＝DE.∠A＝∠D.AF＝DC．（1）求证：△ABC≌△DEF.（2）若∠ABC＝90°.AB＝4.BC＝3.当AF为多少时.四边形BCEF是菱形．【答案】（1）略（2）AF＝时.四边形BCEF是菱形【解答】解析（1）证明：∵AF＝DC.∴AF+FC＝DC+FC.即AC＝DF.在△ABC和△DEF中..∴△ABC≌△DEF（SAS）．（2）如解图.连接BE.交CF于点G.∵△ABC≌△DEF.∴BC＝EF.∠ACB＝∠DFE.∴BC∥EF.∴四边形BCEF是平行四边形.∴当BE⊥CF时.四边形BCEF是菱形.∵∠ABC＝90°.AB＝4.BC＝3.∴AC＝＝5.∵∠BGC＝∠ABC＝90°.∠ACB＝∠BCG.∴△ABC∽△BGC.∴＝.即＝.∴CG＝.∵FG＝CG.∴FC＝2CG＝.∴AF＝AC﹣FC＝5﹣＝.∴当AF＝时.四边形BCEF是菱形．7．（2020•沈河区二模）如图.在△ABC中.∠ACB＝90°.AC＝BC.点E是∠ACB内部一点.连接CE.作AD⊥CE.BE⊥CE.垂足分别为点D.E．（1）求证：△BCE≌△CAD.（2）若BE＝5.DE＝7.则△ACD的周长是．【答案】（1）略（2）30【解答】（1）证明：∵BE⊥CE.AD⊥CE.∴∠E＝∠ADC＝90°.∴∠EBC+∠BCE＝90°．∵∠BCE+∠ACD＝90°.∴∠EBC＝∠DCA．在△BCE和△CAD中..∴△BCE≌△CAD（AAS）.（2）解：∵：△BCE≌△CAD.BE＝5.DE＝7.∴BE＝DC＝5.CE＝AD＝CD+DE＝5+7＝12．∴由勾股定理得：AC＝13.∴△ACD的周长为：5+12+13＝30.故答案为：30．8．（2021•思明区校级二模）如图.在△ABE和△CDF中.点C、E、F、B在同一直线上.BF ＝CE.若AB∥CD.∠A＝∠D．求证：AB＝CD．【答案】略【解答】证明：∵AB∥CD.∴∠B＝∠C.∵BF＝CE.∴BF+EF＝CE+EF.即CF＝BE.在△ABE与△DCF中..∴△ABE≌△DCF（AAS）.∴AB＝CD．9．（2021•五华区二模）如图所示.AC⊥BC.DC⊥EC.垂足均为点C.且AC＝BC.EC＝DC．求证：AE＝BD．【答案】略【解答】证明：∵AC⊥BC.DC⊥EC.∴∠ACB＝∠ECD＝90°.∴∠ACB+∠BCE＝∠ECD+∠BCE.∴∠ACE＝∠BCD.在△ACE和△BCD中..∴△ACE≌△BCD（SAS）.∴AE＝BD．10．（2012•许昌一模）已知.四边形ABCD是正方形.∠MAN＝45°.它的两边AM、AN 分别交CB、DC与点M、N.连接MN.作AH⊥MN.垂足为点H（1）如图1.猜想AH与AB有什么数量关系？并证明.（2）如图2.已知∠BAC＝45°.AD⊥BC于点D.且BD＝2.CD＝3.求AD的长.小萍同学通过观察图①发现.△ABM和△AHM关于AM对称.△AHN和△ADN关于AN对称.于是她巧妙运用这个发现.将图形如图③进行翻折变换.解答了此题．你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？【答案】（1）AB＝AH（2）AD的长为6【解答】（1）答：AB＝AH.证明：延长CB至E使BE＝DN.连接AE.∵四边形ABCD是正方形.∴∠ABC＝∠D＝90°.∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝90°又∵AB＝AD.∵在△ABE和△ADN中..∴△ABE≌△ADN（SAS）.∴∠1＝∠2.AE＝AN.∵∠BAD＝90°.∠MAN＝45°.∴∠2+∠3＝90°﹣∠MAN＝45°.∴∠1+∠3＝45°.即∠EAM＝45°.∵在△EAM和△NAM中..∴△EAM≌△NAM（SAS）.又∵EM和NM是对应边.∴AB＝AH（全等三角形对应边上的高相等）.（2）作△ABD关于直线AB的对称△ABE.作△ACD关于直线AC的对称△ACF.∵AD是△ABC的高.∴∠ADB＝∠ADC＝90°∴∠E＝∠F＝90°.又∵∠BAC＝45°∴∠EAF＝90°延长EB、FC交于点G.则四边形AEGF是矩形.又∵AE＝AD＝AF∴四边形AEGF是正方形.由（1）、（2）知：EB＝DB＝2.FC＝DC＝3.设AD＝x.则EG＝AE＝AD＝FG＝x.∴BG＝x﹣2.CG＝x﹣3.BC＝2+3＝5.在Rt△BGC中.（x﹣2）2+（x﹣3）2＝52解得x1＝6.x2＝﹣1.故AD的长为6．。