初中数学 全等三角形复习 教师版

数学八年级上册《全等三角形》复习课教案
本课时学习目标1、掌握三角形全等的“角边角”“边角边”条件．能运用全等三角形的条件，解决推理证明问题
2．积极讨论，体验探索成功的快乐。

．
本课时重难点及学习建议重点：灵活运用三角形全等条件证明．难点：灵活运用三角形全等条件证明．
本课时教学
资源使用
多媒体
学习过程学习要求或学法指导一、复习巩固
判别三角形全等的条件
二、巩固练习：
例题1、 AC=BD,∠1＝∠2，
求证：△ABC≌△BAD
例题2 AB=AD,B,D 分别是AC,AE的中点，求证：△A DC≌△ABE 例题3. C是 AE 的中点，AB//CD 且 BC//DE ,求证：AB=CD
例题4 AB=AC,BE 、CD是中线，
求证： BE=CD
理解记忆
已经学过的两个判定方
法
学生讲解
如何证明
找两个学生讲解
一定要会
培养学生语言表达能力
让学生养成一种定势告诉这个条件立刻想到
什么
回顾中线的定义
例题5 AB//CD,AE=FD,BE//CF,求证：BE=CF
例题5已知：△AED≌△BEC
求证：△AEC≌△BED 告诉平行，想到角相等
告诉两个三角形全等能得到很多东西
看你具体需要什么条件
课后反思与经验总结板书设计。

初中数学全等三角形综合复习讲义-全面完整版初中数学全等三角形综合复讲义——全面完整版一、基础知识1.全等图形的有关概念1)全等图形的定义：两个图形能够完全重合，就是全等图形。

例如，图13-1和图13-2就是全等图形。

2)全等多边形的定义：两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。

例如，图13-3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。

3)全等多边形的对应顶点、对应角、对应边：两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。

4)全等多边形的表示：例如，图13-5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE≌五边形A’B’C’D’E’（这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”）。

表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。

5)全等多边形的性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等。

6)全等多边形的识别：对边形相等、对应角相等的两个多边形全等。

2.全等三角形的识别1)根据定义：若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。

2)根据SSS：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

相似三角形的识别法中有一个与（SSS）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，就成为全等三角形。

3)根据SAS：如果两个三角形有两边及夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全等三角形。

4)根据ASA：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

5)根据AAS：如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

3.直角三角形全等的识别1)根据HL：如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。

2)SSS、SAS、ASA、AAS对于直角三角形同样适用。

全等三角形复习完整版课件一、教学内容本节课将复习全等三角形的相关知识。

教学内容主要基于教材第十二章第三节“全等三角形的判定与应用”，详细内容包括：全等三角形的定义、判定条件（SSS、SAS、ASA、AAS）、实际应用问题及全等三角形的性质。

二、教学目标1. 理解并掌握全等三角形的定义和判定条件，能够运用这些条件判断两个三角形是否全等。

2. 学会运用全等三角形的性质解决实际问题，提高解决问题的能力。

3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

三、教学难点与重点教学难点：全等三角形的判定条件的运用。

教学重点：全等三角形的定义、判定条件及性质。

四、教具与学具准备1. 教具：三角板、量角器、直尺、多媒体课件。

2. 学具：三角板、量角器、直尺、练习本。

五、教学过程1. 实践情景引入通过展示生活中的全等三角形实例，引导学生关注全等三角形的特点，激发学生学习兴趣。

2. 例题讲解讲解教材例题，分析全等三角形的判定方法，引导学生运用判定条件解决问题。

（1）运用SSS判定全等三角形（2）运用SAS判定全等三角形（3）运用ASA判定全等三角形（4）运用AAS判定全等三角形3. 随堂练习（1）判断题：给出四个选项，让学生判断哪些选项是全等三角形。

（2）选择题：给出四个选项，让学生选择正确的全等三角形判定条件。

（3）解答题：运用全等三角形的判定条件，求解实际问题。

4. 小组讨论组织学生进行小组讨论，分享解题心得，互相学习。

六、板书设计1. 全等三角形的定义2. 全等三角形的判定条件（SSS、SAS、ASA、AAS）3. 全等三角形的性质4. 例题及解答步骤七、作业设计1. 作业题目① 两个三角形的三个角分别相等，那么这两个三角形全等。

② 两个三角形的一边和两个角分别相等，那么这两个三角形全等。

（2）已知：在三角形ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E是AC的中点。

求证：三角形ABD和三角形EBC全等。

2. 答案（1）① 错误。

第11章《全等三角形》复习教案教学目标：1．了解图形的全等，经历探索三角形全等条件及性质的学习过程，掌握两个三角形全等的条件与性质。

2．能用三角形的全等和角平分线性质解决实际问题 3．培养逻辑思维能力，发展基本的创新意识和能力 教学重点难点：1．重点：掌握全等三角形的性质与判定方法 2．难点：对全等三角形性质及判定方法的运用 教学过程： 一.全等三角形：⒈什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变化可以得到它的全等形？⒉全等三角形有哪些性质？⑴全等三角形的对应边相等、对应角相等。

⑵全等三角形的周长相等、面积相等。

⑶全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

例1.已知如图（1），ABC ∆≌DCB ∆,其中的对应边:____与____,____与____,____与____,对应角:______与_______,______与_______,______与_______. 例2.如图（2），若BOD ∆≌C B COE ∠=∠∆,.指出这两个全等三角形的对应边；若ADO ∆≌AEO ∆,指出这两个三角形的对应角。

（图1） （图2） （ 图3）例3．如图（3）, ABC ∆≌ADE ∆，BC 的延长线交DA 于F ，交DE 于G, 105=∠=∠AED ACB , 25,10=∠=∠=∠D B CAD ,求DFB ∠、DGB ∠的度数.⒊全等三角形的判定方法边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS ”) 边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS ”)角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA ”)角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS ”)斜边.直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL ”)⑴三边对应相等的两个三角形全等 ( SSS )例1．如图，在ABC ∆中, 90=∠C ，D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且AD=BD,AE=BC,DE=DC.求证：DE ⊥AB 。

课案（教师用）全等三角形（复习课）【理论支持】九年义务教育阶段的数学课程应该突出体现基础性、普及性、和发展性，使数学教育面向全体学生。

《数学新课程标准》中指出：对学生数学学习的评价，既要关注学生的在学习过程中的变化和发展，也要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学实践活动中所表现出来的情感和态度。

《三角形全等复习课内容》选用义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级上册第十一章的内容，三角形全等是初中数学中重要的学习内容之一。

本套教材把三角形全等看作是几何证明的重要基础，同时三角形全等的概念，三角形全等的判别方法，与命题与证明，尺规作图几部分内容相互联系紧密，尤其是尺规作图中作法的合理性和正确性的解释依赖于全等知识。

本章中三角形全等的识别方法的给出都通过学生画图、讨论、交流、比较得出，注重学生实际操作能力，为培养学生参与意识和创新意识提供了机会。

针对教材内容和初二学生的实际情况，组织学生通过摆拼全等三角形和探求全等三角形的活动，让学生感悟到图形全等与平移、旋转、对称之间的关系，并通过学生动手操作，让学生掌握全等三角形的一些基本形式，在探求全等三角形的过程中，做到有的放矢。

然后利用角平分线为对称轴来画全等三角形的方法来解决实际问题，从而达到会辨、会找、会用全等三角形知识的目的。

教学目标：1、通过全等三角形的概念和识别方法的复习，让学生体会辨别、探寻、运用全等三角形的一般方法，体会主动实验，探究新知的方法。

2、培养学生观察和理解能力，几何语言的叙述能力及运用全等知识解决实际问题的能力。

3、在学生操作过程中，激发学生学习的兴趣，培养学生主动探索，敢于实践的精神，培养学生之间合作交流的习惯。

教学重难点：重点：运用全等三角形的识别方法来探寻三角形以及运用全等三角形的知识解决实际问题。

难点：运用全等三角形知识来解决实际问题。

课时安排一课时【教学设计】课前延伸1、______________三角形是全等三角形，________________是对应角，____________是对应边，________________是对应顶点。

全等三角形一、知识网络⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪→⇒⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理二、基础知识梳理 （一）基本概念 1、“全等”的理解全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。

同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2、全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等； （2）全等三角形对应角相等； （3）全等三角形周长、面积相等。

3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 （二）灵活运用定理证明两个三角形全等，必须根据已知条件与结论，认真分析图形，准确无误的确定对应边及对应角；去分析已具有的条件和还缺少的条件，并会将其他一些条件转化为所需的条件，从而使问题得到解决。

运用定理证明三角形全等时要注意以下几点。

1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。

2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。

（1）已知条件中有两角对应相等，可找： ①夹边相等（ASA ）②任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找 ①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS) （3）已知条件中有一边一角对应相等，可找①任一组角相等(AAS 或 ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS) （三）疑点、易错点 1、对全等三角形书写的错误在书写全等三角形时一定要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。

1全等三角形专题复习1、全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等，对应的高线、中线相等，对应的面积相等 2、全等三角形：题型一 全等三角形的性质1.如图，点E ，F 在线段BC 上，△ABF 与△DCE 全等，点A 与点D ，点B 与点C 是对应顶点，AF 与DE 交于点M ，则∠DCE=（ ）判定方法 条件注意⑴边边边公理（SSS ） 三边对应相等三边对应相等⑵边角边公理(SAS)两边和它们的夹角对应相等 （“两边夹一角”）必须是两边夹一角，不能是两边对一角⑶角边角公理(ASA) 两角和它们的夹边对应相等 （“两角夹一边”）不能理解为两角及任意一边⑷角角边公理(AAS) 两角和其中一角的对边对应相等 （5）HL （直角三角形） 一条直角边、一条斜边必须在直角三角形中知识梳理A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB2.如图，AB∥ED，CD=BF，若△ABC≌△EDF，则还需要补充的条件可以是（）A．AC=EF B．BC=DF C．AB=DE D．∠B=∠E3.如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACA′=30°，则∠BCB′的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°4.已知四边形ABCD各边长如图所示，且四边形OPEF≌四边形ABCD．则PE的长为（）A．3B．5C．6D．105.如图，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，则对于结论①AC=AF，②∠FAB=∠EAB，③EF=BC，④∠EAB=∠FAC，其中正确结论的个数是（）经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。

2A．1个B．2个C．3个D．4个6.如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，在△ADE≌△BDE≌△BDC，则∠A 的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．30°7.如图，△ABC≌△AEF，那么与∠EAC相等的角是（）A．∠ACB B．∠BAF C．∠CAF D．∠AFE8.如图，已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的一点，若△ADE≌△CFE，则下列结论中不正确的是（）A．AD=CF B．AB∥CF C．AC⊥DF D．E是AC的中点9.如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B=．经过大海的一番磨砺,卵石才变得更加美丽光滑。

第三讲 全等三角形综合复习一、教学目标：1.了解全等形及全等三角形的概念。

2.理解全等三角形的性质。

3.掌握全等三角形的判定。

4.灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理，证明简单的全等三角形问题。

5.掌握角平分线的性质与判定以及综合运用。

6、总结构造全等的辅助线添加方法；7、能用尺规进行一些基本作图．能用三角形全等和角平分线的性质进行证明二、重点难点重点：1、应用全等三角形的性质、判定和角平分线的性质证明有关问题； 2、全等三角形的综合应用 难点：1、总结构造全等的辅助线添加方法； 2、加强应用型与探究型题型训练三、知识回顾1、本章知识结构梳理三角形⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧判定：（性质：（角的平分线直角三角形一般三角形）判定方法（）性质：（）定义：（全等三角形定义)2)1321 2、基本作图(1) 已知三边作三角形；(2) 已知两边和它们的夹角作三角形； (3) 已知两角和它们的夹边作三角形； (4) 已知斜边和一条直角边作直角三角形； (5) 作一个角等于已知角； (6) 作角的平分线. 3、方法指引证明两个三角形全等的基本思路：(1)已知两边__________)(____________)(__________)⎧⎪⎨⎪⎩找第三边（找夹角看是否是直角三角形 (2)已知一边一角(_____)(_____)(_____)(_____)(_____)⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩找这边的另一邻角已知一边与邻角找这个角的另一边找这边的对角找一角已知一边与对角已知是直角，找一边MF E C BA(3)已知两角______________)(______________)⎧⎪⎨⎪⎩找夹边（找夹边外任意一边 三角形全等是证明线段相等、角相等最基本、最常用的方法。

4、添加辅助线构造全等三角形的方法(1) 连接公共边构造全等.（见例7） (2) 利用中点中线，通过旋转180°构造全等.（见例8） (3) 利用角平分线的轴对称性构造全等.（见例9、10、11）(4) 根据题意和图形中现有的边、角关系为基础，以一些相关边、角所在三角形为模型， 构造一个与之全等的三角形.（见例11）四、例题解析例题1、如图：AB=AC ，ME ⊥AB ，MF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，ME=MF 。

课案（教师用）第十课全等三角形复习(复习课)【理论支持】以瑞士儿童心理学家皮亚杰为代表的建构主义学习理论认为，学习者的知识是在一定情境下，借助于他人的帮助，如人与人之间的协作、交流、利用必要的信息等等，通过意义的建构而获得的。

因此，学习是一个积极主动的建构过程；知识是个人经验的合理化，而不是说明世界的真理；知识是商谈出来的；学习者的建构是多元化的。

因此，建构主义学习理论强调教学必须以学生为中心，强调学生对知识的主动探索、主动发现和对所学知识在原有经验基础上的意义生成，要求教师由知识的传授者、灌输者转变成为学生主动建构知识的帮助者、促进者，学生学习的合作者。

根据《数学课程标准》，课堂上设置三个环节“学、导、练”。

①学。

学生根据学案上教师设计的问题、创设的情景或导读提纲进行自主学习，当堂掌握基础知识和基本内容。

对自主学习过程中的疑点、难点、重点问题做好记录，为提交学习小组合作探究报告打下基础。

学生把自主学习中遇到的疑点、难点、重点问题提交给学习小组，小组成员针对这些问题进行讨论探究，共同找出解决问题的方法与思路。

学习小组也可依托学案上教师预设的问题讨论解决，把小组合作探究的成果进行交流展示。

教师汇总学生交流展示中出现的问题，准确把握各小组在合作学习中遇到的疑点、难点、重点问题，为精讲点拨做好准备。

②导。

教师根据学生自主学习、小组合作探究中发现的问题，对重点、难点、易错点进行重点讲解，帮助学生解难答疑，总结规律，点拨方法与思路。

精讲点拨准确有效的前提是教师应具备准确把握课标、教材的能力，能够准确地了解学生的学习情况，力求做到我们一直倡导的“三讲三不讲”原则。

③练。

针对本节课所学内容，精选精编题目，进行当堂达标测试并要求学生限时限量完成。

可通过教师抽检、小组长批阅、同桌互批等方式了解学生的答题情况，及时对错题进行讲评点拨，确保训练的有效性。

【教学目标】1．知识技能复习全等三角形的概念、性质和判定方法，能够利用三角形全等进行证明，巩固综合法证明的格式。

全等三角形的复习【教学目标】：(1)知识与技能目标：通过对典型例题评析，使学生进一步熟悉三角形全等的判定、性质及其综合应用，提高学生的逻辑推理能力和逻辑表达能力；学生通过参与开放性变式题的练习、分析，培养思维的发散性、探究性、发展性、创新性，进一步深化学生对全等三角形的认识。

(2)过程与方法目标：利用相关的知识和例题，通过学生的观察、思考、论证，培养学生的观察能力、逻辑推理能力、发散思维能力；通过同桌间的合作交流，培养学生的合作探究意识；通过学生的猜想，培养学生敢于发表见解的勇气。

利用“归纳小结”这一环节，培养学生自我反思的习惯及归纳概括能力。

(3)情感与态度目标：利用图形的变换，对学生进行所谓“形变质不变，万变不离其宗”的数学思想渗透；让学生知道数学内容中普遍存在着的运动、变化、相互联系和相互转化的规律，体会事物之问相互联系相互转化的辩证唯物主义观点；通过展示多彩的几何变换图形，激发学生的学习动机，拓宽学生的信息量、思维角度，激发学生的探索欲望；通过对几个变式问题的探究分析，培养学生多角度探究问题的习惯。

【教学重点】：常握全等三角形的性质与判定方法【教学难点】：对全等三角形性质及判定方法的运用【教学突破点】：学生通过在探究问题时的合作交流与对结论的探求猜想、教师对例题及学生回答的评析，培养学生的观察能力、发现问题能力、探究问题的兴趣、发散思维能力、归纳概括能力。

【教法、学法设计】：合作探究式分层次教学，讲授、练习相结合。

【课前准备】：课件、三角板【教学弓程设计】：教学环节教学活动~设计意图已知一边一角(边与角相邻)：找夹这个角的另一边 —AD=CB(SAS)找夹这条边的另一角—a zACD=zCA«ASA)，找边的对角 —► zD=zB(AAS)思路引导9 促 进 发展 1、如图，已知△ ABC 和ADCB 屮，AB 二DC,请补充一个条 件 ______________________ ,使AABC 竺 ADCBo 找夹角一► ZABC=ZDCB (SAS)培养学生结合 题目中的已知 条件、图形中 的隐含条件， 分析和寻找全 等三角形证明 的所须条件， 训练学生的解 题思路和解题 技巧。

1.八年级第十一章全等三角形复习教案第一篇：1.八年级第十一章全等三角形复习教案第十一章全等三角形一、知识点：本章主要内容：全等三角形的性质；三角形全等的判定；角的平分线的性质.本章重点：探究三角形全等的条件和角的平分线的性质.难点：三角形全等的判定方法及应用；角的平分线的性质及应用.基础知识梳理教材知识全扫描1．全等三角形：1.⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫全等形。

⑵全等三角形的有关概念：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。

表示：△ABC≌△DEF教材P3一句话：2.三角形全等的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。

全等三角形对应边上的中线、高、对应角平分线相等。

全等三角形的周长、面积相等。

3.全等三角形的判定：SAS，ASA，AAS，SSS，HL（直角三角形）特别提醒: “有两个角和一边分别相等的两个三角形全等”这句话正确吗?由于没有“对应”二字，结论不一定正确，这是因为：假设这条边是两角的夹边，则根据角边角可知正确；假设一个三角形的一边是两角的夹边，而与另一个三角形相等的边是其中一等角的对边，则两个三角形不一定全等.SSA不能判定两三角形全等的例子在教材P10.4.尺规作图：（1）作一个角等于已知角（教材P7_8）：步骤（2）作已知角的平分线（教材P19）：步骤3．角平分线的性质：⑴角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等。

⑵角平分线的判定：教的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。

⑶三角形三个内角平分线的性质：三角形三条内角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。

3．角的平分线是射线，三角形的角平分线是线段。

4．证明线段相等的方法：（1）中点定义；（2）等式的性质；（3）全等三角形的对应边相等；（4）借助中间线段（即要证a=b,只需证a=c,c=b即可）。

随着知识深化，今后还有其它方法。

一、全等三角形注: ① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；② 全等三角形面积相等. 2. 证题的思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS例1: 如图, 在△ABE 中, AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC.DE 交于点O.求证: （1） △ABC ≌△AED ； （2） OB ＝OE .例2: 如图所示, 已知正方形ABCD 的边BC.CD 上分别有点E 、点F, 且BE ＋DF ＝EF, 试求∠EAF 的度数.AD F例3.在△ABC中, ∠ACB=90°,AC=BC, AE是BC的中线, 过点C作CF⊥AE于F,过B作BD⊥CB 交CF的延长线于点D。

(1)求证：AE=CD, （2)若BD=5㎝,求AC的长。

例4:如图, △ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB.AC边翻折180°形成的, 若∠1: ∠2: ∠3=28: 5: 3, 则∠a的度数为例5: 如图: 在△ABC中, ∠ACB=90°, AC=BC, D是AB上一点, AE⊥CD于E, BF⊥CD交CD的延长线于F.求证: AE=EF+BF。

练习:1.已知: 如图5—129, △ABC 的∠B.∠C 的平分线相交于点D, 过D 作MN ∥BC 交AB.AC 分别于点M 、N, 求证:BM ＋CN ＝MN2.如图（13):已知AB ⊥BD, ED ⊥BD, AB=CD , BC=DE ,请你判断AC 垂直于CE 吗？ 并说明理由。

3.如图(14）,已知AB=DC , DE=BF, ∠B=∠D , 试说明（1)DE ∥BF (2)AE=CFFDCABE(14)4.如图: 在△ABC中, ∠BAC=90°,∠ABD= ∠ABC, DF⊥BC, 垂足为F, AF交BD于E。

浩展教育学科教师辅导教案组长审核：知识导图一、基本概念1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2.全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等.要点诠释：全等三角形的周长、面积相等；对应的高线，中线，角平分线相等.3.全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等(SSS)；（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)；（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).【题干】已知：点B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF【答案】见解析。

【解析】证明：（1）∵AC∥DF∴∠ACB＝∠F在△ABC与△DEF中∴△ABC≌△DEF【题干】如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE．写出图中全等的三角形，并选择其中一对进行证明．【答案】见解析。

【解析】（1）△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB；（2）∵AB∥CD，∴∠1=∠2，∵AF=CE，∴AF+EF=CE+EF，即AE=FC，在△ABE和△CDF中，∴△ABE ≌△CDF （AAS ）．【题干】已知：如图，点B 、F 、E 、C 在同一条直线上，AB ∥CD ，且AB=CD ，BF=CE ．求证：∠AEB=∠DFC ． 证明：∵AB ∥CD （已知），∴∠B=∠C （ ）． ∵BF=CE （已知），∴BF+______=CE+______，即BE=CF ． 在△ABE 和△DCF 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧____,______________,______________,__________∴△ABE ≌△DCF （ ）． ∴∠AEB=∠DFC ． 【答案】见解析.【解析】证明：∵AB ∥CD （已知），∴∠B=∠C （两直线平行，内错角相等）． ∵BF=CE （已知），∴BF+ EF =CE+EF ，即BE=CF ． 在△ABE 和△DCF 中， ∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CF BE C B CDAB∴△ABE≌△DCF（SAS）．∴∠AEB=∠DFC．【典型例题】类型一、全等三角形1．如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB．求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ．【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题．【答案与解析】证明：（1）∵BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，∴∠1+∠CAE=90°，∠2+∠CAE=90°．∴∠1=∠2,∵在△AQC和△PAB中，∴△AQC≌△PAB．∴ AP=AQ.(2)∵ AP=AQ，∠QAC=∠P，∵∠PAD+∠P=90°，∴∠PAD+∠QAC=90°，即∠PAQ=90°．∴AP⊥AQ．【总结升华】在确定全等条件时，注意隐含条件的寻找.举一反三：【高清课堂：全等三角形 】【变式】如图，已知中，，是高和的交点，，则线段的长度为（ ）. A ． B ． 4 C ．D ．【答案】B.考点二、灵活运用定理三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来． 应用三角形全等的判别方法注意以下几点： 1. 条件充足时直接应用判定定理要点诠释：在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．2. 条件不足，会增加条件用判定定理要点诠释：此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．3. 条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理要点诠释：在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等． 常见的几种辅助线添加：①遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”； ②遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”； ③遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；④过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；⑤截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目．类型二、灵活运用定理2．如图，已知AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE ＋CF ＞EF.ABC △45ABC ∠=F AD BE 4CD =DF 223242【思路点拨】将所求的线段转移到同一个或相关联的三角形中进行求解．【答案与解析】证明：延长ED至M，使DM=DE，连接 CM，MF,在△BDE和△CDM中，∴△BDE≌△CDM（SAS）．∴BE=CM.又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4 ，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴∠3＋∠2=90°，即∠EDF＝90°，∴∠FDM＝∠EDF ＝90°．在△EDF和△MDF中∴△EDF≌△MDF（SAS）,∴EF＝MF （全等三角形对应边相等）,∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形两边之和大于第三边）,∴BE＋CF＞EF.【总结升华】当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中.举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证：AC=BF.【答案】证明：延长AD到H，使得DH=AD，连结BH，∵ D为BC中点，∴ BD=DC，在△ADC和△HDB中，∴△ADC≌△HDB(SAS)，∴ AC=BH, ∠H=∠HAC，∵ EA=EF，∴∠HAE=∠AFE，又∵∠BFH=∠AFE，∴ BH=BF，∴ BF=AC．3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，试判断AB-AD与CD-CB的大小关系，并证明你的结论．【思路点拨】解答本题的关键是熟练运用三角形中大边对应大角的关系．【答案与解析】AB-AD＞CD-CB；证明：在AB上取一点E，使得AE=AD，连结CE．∵AC平分∠BAD，∴∠1=∠2．∵在△ACE和△ACD中，∴△ACE≌△ACD．∴CD=CE．∵在△BCE中，BE＞CE-CB，即AB-AE＞CE-CB，∴AB-AD＞CD-CB．【总结升华】本题也可以延长AD到E，使得AE=AB，连结CE．涉及几条线段的大小关系时，用“截长补短”法构造全等三角形是常用的方法．举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．【答案】证明：∵AB＞AC，在AB上截取AE＝AC，连接ME．在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）．在△AMC和△AME中，∴△AMC≌△AME（SAS）．∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）．又∵BE＝AB－AE，∴BE＝AB－AC，∴MB－MC＜AB－AC．4．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD．【思路点拨】在AC上取AF=AE，连接OF，即可证得△AEO≌△AFO，得∠AOE=∠AOF；再证得∠COF=∠COD，则根据全等三角形的判定方法AAS即可证△FOC≌△DOC，可得DC=FC，即可得结论．【答案与解析】在AC上取AF=AE，连接OF，∵AD 平分∠BAC 、 ∴∠EAO=∠FAO ， 在△AEO 与△AFO 中，∵AE AF EAO FAO AO AO =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△AEO ≌△AFO （SAS ）， ∴∠AOE=∠AOF ；∵AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ， ∴∠ECA+∠DAC=12（180°-∠B ）=60° 则∠AOC=180°-∠ECA-∠DAC=120°；∴∠AOC=∠DOE=120°，∠AOE=∠COD=∠AOF=60°，（对顶角相等） 则∠COF=60°， ∴∠COD=∠COF ，又∵∠FCO=∠DCO ，CO=CO ， ∴△FOC ≌△DOC （ASA ）， ∴DC=FC ， ∵AC=AF+FC ， ∴AC=AE+CD ．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 类型三、综合运用5 .已知△ABC ，分别以AB 、BC 、CA 为边向形外作等边三角形ABD 、等边三角形BCE 、等边三角形ACF ． (1)如图1，当△ABC 是等边三角形时，请你写出满足图中条件的四个正确的结论；(2)如图2，当△ABC 中只有∠ACB=60°时，请你证明：ABCABDBCEACFS SSS+=+【思路点拨】（1）由等边三角形的性质可写出结论．（2）要证明以上结论，需创造一些条件，首先可从△ABC 中分出一部分使得与△ACF 的面积相等，则过A 作AM ∥FC 交BC 于M ，连接DM 、EM ，就可创造出这样的条件，然后再证其它的面积也相等即可． 【答案与解析】解：（1）DE=EF ；DF=EF ；∠D=∠E=∠F ；A 、B 、C 分别为DF 、DE 、EF 的中点． （2）证明：过A 作AM ∥FC 交BC 于M ，连接DM 、EM ， ∵∠ACB=60°，∠CAF=60°， ∴∠ACB=∠CAF ， ∴AF ∥MC ，∴四边形AMCF 是平行四边形，即ACMACFS S=,又∵FA=FC ，∴四边形AMCF 是菱形，∴AC=CM=AM ，且∠MAC=60°， ∵在△BAC 与△EMC 中，CA=CM ，∠ACB=∠MCE ，CB=CE ， ∴△BAC ≌△EMC ，∵∠DAM=∠DAB+∠BAM=60°+∠BAM ∠BAC=∠MAC+∠BAM=60°+∠BAM ∴∠BAC=∠DAM 在△ABC 和△ADM 中AB=AD ，∠BAC=∠DAM ，AC=AM ∴△ABC ≌△ADM （SAS ）．故△ABC ≌△MEC ≌△ADM ，DM EM S S =△A △C ， ∴AB=ME=AD=DB ，DM=EC=BE ． ∴四边形DBEM 是平行四边形， 则BDM BEM S S =△△， ∴M M M M M S S S S S S ++=++△A C △A D △B D △A C F △C E △B E即ABCABDBCEACFSS SS+=+．【总结升华】本题主要考查等边三角形的性质及平行四边形的判定和全等三角形的判定，难度很大，有利于培养学生钻研和探索问题的精神．举一反三：【高清课堂：全等三角形 例9】【变式】如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°,四边形ACDE 是平行四边形，连结CE 交AD 于点F ，连结BD 交CE 于点G ，连结BE. 下列结论中：① CE=BD ； ② △ADC 是等腰直角三角形；③ ∠ADB=∠AEB ； ④ CD·AE=EF·CG；一定正确的结论有( ) ． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个A BCDEFG【答案】D.6．如图，已知△ABC.（1）请你在BC边上分别取两点D、E(BC的中点除外)，连结AD、AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使(1)成立的相应条件，证明AB+AC＞AD+AE．【思路点拨】考查了三角形面积的求法，全等三角形的判定以及三角形三边的关系．本题（2）中通过构建全等三角形将已知和所求条件转化到相关的三角形中是解题的关键．【答案与解析】（1）令BD=CE≠DE,有△ABD和△ACE，△ABE和△ACD面积相等.（2）取DE的中点O，连结AO并延长到F点，使得FO=AO，连结EF，CF．在△AD0和△FEO中，又∠AOD=∠FOE，DO=EO,可证△ADO≌△FEO．所以AD=FE．因为BD=CE，DO=EO，所以BO=CO.同理可证△ABD≌△FCO，所以AB=FC.延长AE交CF于G点,在△ACG中，AC+CG＞AE+EG，在△EFG中，EG+FG＞EF,可推得AC+CG+EG+FG＞AE+EG+EF,即AC+CF＞AE+EF,所以AB+AC＞AD+AE.【总结升华】正确构造全等和利用三角形的任意两边之和大于第三边的结论是关键.举一反三：【变式】在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】(1)证明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE．又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD=BE，AD=CE．∴DE=CE+CD=AD+BE．（2）证明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE．又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD=BE，AD=CE．∴DE=AD-BE．（3）证明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE．又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD=BE，AD=CE．∴DE=BE-AD．全等三角形—巩固练习【巩固练习】一、选择题1．如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点画位置不同的三角形，使所画的三角形与△ABC 全等，这样的三角形最多可画出( ) .A.2个B.4个C.6个D.8个2．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为AC的中点，AE⊥BD交BC于E，若∠BDE=，∠ADB的大小是（）．A．B．C． D．3．如图，△ABC中，∠C为钝角，CF为AB上的中线，BE为AC上的高，若CF=BE，则∠ACF的大小是（）.A．45° B．60° C．30° D．不确定4．如图，△ABC中，∠BAC=90° AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=2∠C，∠DAE的度数是( ) .A. 45°B. 20°C. 30°D. 15°5．如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（）.A．△ABD和△CDB的面积相等B．△ABD和△CDB的周长相等C．∠A+∠ABD＝∠C+∠CBD D．AD∥BC，且AD＝BC6. 如图，AB⊥BC，BE⊥AC，∠1＝∠2，AD＝AB，则（）.A．∠1＝∠EFD B．BE＝EC C．BF＝DF＝CD D．FD∥BC二、填空题7．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的。

2、下列说法错误的有134 。

△只有两个三角形才能完全重合；△如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同；△两个正方形一定是全等图形；△边数相同的图形一定能互相重合．3、如上图，△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若△BAC=150°，则△θ的度数是60 。

4、等腰△ABC的周长为18cm，BC=8cm，若△ABC△△A′B′C′，则△A′B′C′中一定有一条边等于（D）A、7cmB、2cm或7cmC、5cmD、2cm或5cm5、如下图在△ABC中，△A：△B：△C=3：5：10，△MNC△△ABC，则△BCM：△BCN= 1:4 。

知识点二：三角形全等的判定【方法1】两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”)【例2-1】如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC△△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是．并证明结论．AC＝BC．【方法2】两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)【例2-2】如图，已知CA＝CD，CB＝CE，△ACB＝△DCE，试说明△ACE△△DCB的理由．由已知条件可知△ACE＝△DCB，则根据SAS可证全等．【方法3】两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”)【例2-3】如图，已知AB＝AC，△ABE＝△ACD，BE与CD相交于O，求证：△ABE△△ACD．由条件AB＝AC，△ABE＝△ACD，再加上公共角△A＝△A，直接利用ASA定理判定△ABE△△ACD即可．【方法4】三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)【例2-4】如图，AB＝CD，AE＝CF，E、F是BD上两点，且BF＝DE．求证：△ABE△△CDF．只要证明，BE＝DF，即可根据SSS证明两个三角形全等．【方法5】对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）【例2-5】如图，在四边形ABCD中，AD△BD，AC△CB，BD＝AC．求证：△ABD△△BAC；根据AD△BD，AC△CB，可得△ADB＝△BCA＝90°，而AB＝BA，BD＝AC，利用HL可证Rt△ADB△Rt△BCA．举一反三：1.如图，在四边形ABCD中，点E在AD上，其中△BAE＝△BCE＝△ACD＝90°，且BC＝CE，求证：△ABC△△DEC．根据同角的余角相等可得到△3＝△5，结合条件可得到△1＝△D，再加上BC＝CE，可证得结论．2.如图，已知点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB△BE，垂足为B，DE△BE，垂足为E，且AB＝DE，BF＝CE，说明△ABC与△DEF全等的理由．根据垂直定义可得△B＝△E＝90°，根据等式的性质可得BC＝EF，然后可利用SAS判定△ABC△△DEF即可．3.如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中△BAE＝△BCE＝△ACD＝90°，且BC＝CE，求证：△ABC△△DEC．由△BAE＝△BCE＝△ACD＝90°，可求得△DCE＝△ACB，且△B+△CEA＝△CEA+△DEC＝180°，可求得△DEC＝△ABC，再结合条件可证明△ABC△△DEC．4.如图，在△ABC中，△C＝90°，D、E分别为AC、AB上的点，且AD＝BD，AE＝BC，DE＝DC，求证：DE△AB．由SSS可得△ADE△△BDC（SSS），得出△C＝△AED＝90°，即可得出结论．5.如图，Rt△ABC中，△C＝90°，BC＝2，一条直线MN＝AB，M、N分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AP上运动．问点M运动到什么位置，才能使△ABC和△AMN全等？并证明你的结论．由条件可知△C ＝△MAN ＝90°，且AB ＝MN ，故要使△ABC 和△AMN 全等则有AM 与CA 对应或AM 和BC 对应，从而可确定出M 的位置．当点C 和点M 重合或AM ＝2时两个三角形全等．知识点三：全等三角形的判定与性质综合【例3-1】在△ABC 中，90BAC ∠=︒，AB = AC ，MN 是经过点A 的直线，BD MN ⊥于D ，CE MN ⊥于E ．（1）求证：BD = AE ．（2）若将MN 绕点A 旋转，使MN 与BC 相交于点G (如图2)，其他条件不变，求证：BD = AE ．（3）在(2)的情况下，若CE 的延长线过AB 的中点F （如图3），连接GF ，（1）首先证明△1=△2，再证明△ADB△△CEA ，然后根据全等三角形的性质可得BD=AE ； （2）首先证明△BAD=△ACE ，再证明△ABD△△ACE ，根据全等三角形对应边相等可得BD=AE ； （3）首先证明△ACF△△ABP ，然后再证明△BFG△△BPG ，再根据全等三角形对应角相等可得△BPG=△BFG ，再根据等量代换可得结论△BFG=△AFE ．【例3-2】如图1，点C 是线段AB 上一点，分别以AC ，BC 为边在AB 的同侧作等边△ACM 和△CBN ，连接AN ，BM ．分别取BM ，AN 的中点E ，F ，连接CE ，CF ，EF ．观察并猜想△CEF 的形状，并说明理由．若将（1）中的“以AC ，BC 为边作等边△ACM 和△CBN”改为“以AC ，BC 为腰在AB 的同侧作等腰△AC M 和△CBN ，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．（1）先求证△ACN△△MCB ，得出AN=BM ，△ANC=△MBA ，再证△NFC△△BEC ，得出CE=CF ，△BCE=△NCF ，利用等边三角形的角度60，得出△ECF=60°，证得结论成立；（2）证明过程如上（1）中的结论只有CE=CF ，而△ECF 只等于等腰三角形的顶角≠60°，得出结论不成立．【例3-3】如图，在ABC △中，，的平分线交于点．（3种方法） 求证：△截长、△补短、△过点D 作AB 、AC 的垂线段【例3-4】如图，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD ＝CD ，BD 平分△ABC ，求证：△A ＋△C ＝180°.2B C ∠=∠BAC ∠AD BC D AB BD AC +=在线段BC上截取BE=BA，连接DE，由角平分线的定义可得出△ABD=△EBD，结合AB=EB、BD=BD即可证出△ABD△△EBD（SAS），根据全等三角形的性质可得出AD=ED、△A=△BED，由AD=CD可得出ED=CD，进而可得出△DEC=△C，再根据邻补角互补即可得出△BED+△DEC=180°，进而可证出△A+△C=180°．举一反三:1.（1）已知，如图△，在△ABC中，△BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD△直线m，CE△直线m，垂足分别为点D、E，求证：DE＝BD+CE．（2）如图△，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有△BDA ＝△AEC＝△BAC＝α，其中α为任意钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？若成立，请你给出证明：若不成立，请说明理由．（1）根据BD△直线m，CE△直线m得△BDA=△CEA=90°，而△BAC=90°，根据等角的余角相等得△CAE=△ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB△△CEA，则AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；（2）利用△BDA=△BAC=α，则△DBA+△BAD=△BAD+△CAE=180°-α，得出△CAE=△ABD，进而得出△ADB△△CEA即可得出答案．2.如图，△ACB＝90°，AC＝BC，AD△CE，BE△CE，垂足分别为D，E，若AD＝a，DE＝b，（1）如图1，求BE的长，写出求解过程；（用含a，b的式子表示）a+b（2）如图2，点D在△ABC内部时，直接写出BE的长a-b．（用含a，b的式子表示）（1）根据同角的余角相等可得△ACD=△CBE，根据“AAS”可证△ACD△△CBE，可得CE=AD=a，即可求DE的长；（2）根据同角的余角相等可得△ACD=△CBE，根据“AAS”可证△ACD△△CBE，可得CE=AD=a，即可求DE的长．3.如图，四边形ABCD中，△ABC＝△BCD＝90°，点E在BC边上，△AED＝90°（1）求证：△BAE＝△CED；（2）若AB+CD＝DE，求证：AE+BE＝CE；（3）在（2）的条件下，若△CDE与△ABE的面积的差为18，CD＝6，求BE的长．（1）由△AEB+△CED=180°-90°=90°，△BAE+△AEB=90°，即可得出结论；（2）在ED上截取EF=AB，过点F作FG△DE交BC于G，连接DG，证出△BAE=△FEG，由ASA证得△ABE△△EFG得出AE=EG，BE=FG，由AB+CD=DE，EF+DF=DE，得出DF=CD，由HL证得Rt△DFG△Rt△DCG得出FG=CG，则BE=CG，即可得出结论；（3）由△ABE△△EFG，Rt△DFG△Rt△DCG，得出S△ABE=S△EFG，S△DFG=S△DCG，则S△CDE-S△ABE=2S△CDG=18，得出S△CDG=9，即可得出结果3．4、正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上， EAF=45°，求证：EF=DE+BF．延长CB到G，使BG=DF，连接AG，证明△ABG△△ADF，即可证得AG=AF，△DAF=△BAG，再证明△AEG△△AEF，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论．5、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM +DN，求证：△△MAN=45°；△△CMN的周长=2AB；△AM、AN分别平分△BMN和△DNM。

第12讲 全等三角形综合1．如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD ≌△ACD 的条件是（ ）A ．BD ＝CDB ．AB ＝AC C ．∠B ＝∠CD ．∠BAD ＝∠CAD2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，AB 的垂直平分线交AC 于点E ，垂足为点D ，连结BE ，则∠EBC 的度数为_________．3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，则下列结论：①DA 平分∠CDE ；②∠BAC ＝∠BDE ；③DE 平分∠ADB ；④BE ＋AC ＝AB ，其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个第1题 第2题 第3、4题 第5题 第6题4．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB ，交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且AB ＝80 cm ，则△BED 的周长为( )cm cm cm cm5．如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形CDE ，连接AE ，BE ，则∠AEB 的度数为 . 6．如图，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点O ，过O 作EF ∥BC 交AB ，AC 于E ，F .若△ABC 的周长比△AEF 的周长大12cm ，O 到AB 的距离为3cm ，则△OBC 的面积为 cm 2. 7．等腰三角形一个角的度数为50°，则顶角的度数为（ ）A ．50°B ．80°C ．65°D ．50°或80°※8．（2023）16．如图，点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠ACB =90，∠CAD =∠CBD =15，E 为AD 延长线上一点，且CE =CA ，给出以下结论：①DE 平分∠BDC ； ②△BCE 是等边三角形；③∠AEB =45；④DE =AD +CD ；正确的结论有 ．（请填序号）9．作图题：（要求：不写作法，保留作图痕迹）；如图,已知△AB C. （1）作中线CD ；16－16BED（2）作高AH.（3）作△ABC的平分线BE.10．尺规作图：保留作图痕迹，不写作法；已知：在ΔABC中，找一点P，使P A=PB,且点P到两边A B、BC的距离相等。