测试题五(相似矩阵与二次型)

−ab ac ae (3) bd −cd de ;
bf cf −ef
a 1 00 (4) −1 b 1 0 .
0 −1 c 1 0 0 −1 d
解: (1)
4 124
1 202
1202
1 2 0 2 ==r1=↔=r=2= − 4 1 2 4 ==r=2−=4=r=1= − 0 −7 2 −4
10 5 2 0
(2) ay + bz az + bx ax + by = (a3 + b3) y z x ;
az + bx ax + by ay + bz
zxy
4
第一章 行列式
证明: ax + by ay + bz az + bx
x ay + bz az + bx
y ay + bz az + bx
ay + bz az + bx ax + by ==按=第==1=列== a y az + bx ax + by + b z az + bx ax + by
xyz
yzx
=再==次=a3 y z x + b3 z x y
裂开
zxy
xyz
xyz
xyz
xyz
=a3 y z x + b3(−1)2 y z x = (a3 + b3) y z x .
zxyzxyzxy源自此题有一个 “经典” 的解法:
ax + by ay + bz az + bx
ax ay az
by bz bx
ay + bz az + bx ax + by = ay az ax + bz bx by

第三章 行列式及其应用§3-1 行列式的定义一、填空题。

1、行列式a b c d=__ad bc -___;112213141---=____-24____. 2、行列式1111121212000000a a a a b b c c d d =______0_____.3、已知行列式1111111111111111D -=-----,则32M =___4__;32A =___-4__.4、已知排列2145697m n 为奇排列，则m =__8_;n =__3_.5、4阶行列式中含1331a a 且符号为负的项是____13223144a a a a -____.二、选择题。

1、方程0110001x x x=的实根为__C___.（A ）0; （B ）1; （C ）-1; （D ）2.2、若n 阶行列式中零元素的个数大于2n n -，则此行列式的值为__A__.（A ）0; （B ）1; （C ）-1; （D ）2. 3、排列396721584的逆序数为__C__.（A ）18; （B ）19; （C ）20; （D ）214、n 阶行列式00102000D n =的值为__D ___.（A ）!n ; （B ）!n -; （C ）(1)!nn -; （D ）(1)2(1)!n n n --.5、行列式312111321111x xx x x--中4x 的系数为__A____.(A ）-1; （B ）1; （C ）2; （D ）3.三、计算下列行列式1、12110001-解：3331212110(1)(1)111001r +--=-按展开2、1010120012301234解：44432101010112004(1)12012301231234101412024003r r +--=按c 展开3、11321011230112--解：4141132113010111013223012303102101300133033c c --------=--按r 展开四、设排列12n a a a 的逆序数为k ，证明排列11n n a a a - 的逆序数为(1)2n n k --. 证明：设i a 在排列12n a a a 的逆序数为i k ，则12n k k k k +++= ，且i a 在排列11n n a a a - 的逆序数为i t ，则i i i k t n a +=-， 所以，i i i t n a k =--，所以，排列11n n a a a - 的逆序数为12112122122(1)()()2n n n n n n a k n n n t t t n a k n a k a a k k a k k ---=--+++=--+--++++++++=-（另解：因为12n a a a 中的任两个不同的元素,i j a a 必在排列12n a a a或排列11n n a a a - 中构成逆序且只能在其中一个中构成逆序，所以 排列12n a a a 和11n n a a a - 的逆序数之和等于从n 个元素中任取两个 不同数的组合数kn C ，即11n n a a a - 的逆序数为(1)2n n k --.）§3-2 行列式的性质与计算一、填空题。

线性代数（A 卷）一﹑选择题（每小题3分，共15分)1。

设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ） （A ）AB BA = （B)222()AB A B = （C)222()2A B A AB B +=++ (D ）A B B A +=+2。

如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量，那么矩阵A 的秩为( ）(A) n (B) s (C ） n s - （D) 以上答案都不正确 3。

如果三阶方阵33()ij A a ⨯=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于（ ) (A) 10, 8 （B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8--4。

设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的矩阵为A ,那么( ）(A) 2331A ⎛⎫=⎪-⎝⎭ （B) 2241A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ （C) 2121A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（D) 1001A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A ） A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B ）A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C ） A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D ）A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题（每小题3分,共30分)1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ；2。

设100210341A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ; 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解，若λαμβ+也是它的解， 那么λμ+= ; 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5。

设A 为正交矩阵,则A = ；6。

设,,a b c 是互不相同的三个数,则行列式222111ab c a b c = ； 7。

相似矩阵与二次型作业
一、填空题
1. 已知三阶矩阵A 的三个特征值为3,2,1-，则=A ，1-A 的特征值为 .
2. 若矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=100320201A ，则E A 22+的特征值为 . 3. 若矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--=163020104a a A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b 00010001B 相似，则A 的全部特征值为 . 4. 若二次型22212312
31223(,,)2346f x x x x kx x x x x x =++++是正定二次型，则k 的取值为 .
二、选择题
1. 若A 为正交矩阵，下列命题正确的是（ ）. (A) 1=A (B) 1-=A (C) A 为对称矩阵 (D) 1-=A A T
2. n 阶矩阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（ ）.
（A ）充分必要条件 （B ）充分而非必要条件
（C ）必要而非充分条件 （D ）既非充分也非必要条件
3. 若二次型232221321)1()1(),,(x x x x x x f +++-=λλλ 是正定二次型，则（ ）
（A ）1->λ （B ）0>λ （C ）1>λ （D ）1≥λ
三、计算题
求矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=100243332A 的特征值与特征向量，并判断A 能否对角化？。

1T 1 1 1 A T ,则3 应满足齐次线性方程组 Ax 2 1 2 1
0 ,即
x1 1 x1 x3 所以同解方程组为 x c 2 1 0 x 0 2 ,通解为 1 x 3 x x 3 3
1 ,取 3 0 即可 1
5.1.4正交化方法(施密特（Schimidt）正交化过程 ) 设 1 , 2 ,, m 为一线性无关向量组 （1）正交化 取
1 1
3 , 1 3 , 2 2 , 1 1 2 2 2 1 3 3 1, 1 2 , 2 1, 1
b1 b2 bn
令
, a1b1 a2b2 anbn

的内积
称为向量 与
向量的内积具有下列性质
, , k , k , , k , , , , 0 0
依次类推,一般的,有
j , 1 j , 2 j , j 1 j j 1 2 j 1 , 1 , 1 2 , 2 j 1 j 1
( j 1, 2,, m)
可以证明, 1 , 2 ,, m 两两正交,且与1 , 2 ,, m 等价 （2）单位化 令
ej
j j
( j 1, 2,, m)
则 e1, e2 ,, em 为单位正交向量组,且 1 , 2 ,, m 等价
例 已知
解 2 , 3 应该满足 1 , x 0, 即 其同解方程组为
k1e1 k2e2 kmem

第五章 相似矩阵及二次型5.4.1 基础练习 1. (1223),(3151),(,)αβαβ==∠求.2. 若λ＝２为可逆阵Ａ的特征值，则1213A -⎛⎫⎪⎝⎭的一个特征值为 .3. 试证ｎ阶方阵Ａ的满足2A A =，则Ａ的特征值为0或者1.4.已知三维向量空间中，12(111),(121)TTαα==-正交，试求3123,,αααα，使得是三维向量空间的一个正交基.5. 已知向量1(111)T α=，求3R 的一个标准正交基.6. 已知122224242A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，问A 能否化为对角阵？若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使1P AP -为对角阵.7. 将二次型222123121323171414448f x x x x x x x x x =++---，通过正交变换x Py =化成标准型.8. 判别二次型()222123123121323,,55484f x x x x x x x x x x x x =+++--是否正定？5.4.2 提高练习1. 设n 阶实对称矩阵A 满足2A A =，且A 的秩为r ，试求行列式det(2E －A).2. 设460350361A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，问A 能否对角化？若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使得-1P AP 为对角阵.3. 已知实对称矩阵220212020A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，分别求出正交矩阵P ，使1P AP -为对角阵. 4. 化二次型()123121323,,f x x x x x x x x x =++为标准形，并求所作的可逆线性变换.5. 设A，B分别为m阶，n阶正定矩阵，试判定分块矩阵ACB⎛⎫= ⎪⎝⎭是否为正定矩阵？6. 判别二次型22256444f x y z xy xz=---++的正定性.7. 判断下列两矩阵A，B是否相似11100111100,111100nA B⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第五章 参考答案5.4.1 基础练习 1.[,]cos ||||||||4αβπθθαβ===∴=2.34. 3.略.4. 设3123()0Tx x x α=≠，则[][]1223,0,,0αααα==，即 12313312321002001x x x x x x x x x α-⎛⎫++==-⎧⎧ ⎪⇒⇒=⎨⎨ ⎪-+==⎩⎩ ⎪⎝⎭5. 设非零向量23,αα都与2α正交，即满足方程11230,0T x x x x α=++=或者，其基础解 系为： 12100,111ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 令 121321101,0,1111ααξαξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭1）正交化令 121122121111[,]1,0,[,]11βαβαβαβαββ⎛⎫⎛⎫⎪⎪===-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1323233312321122221[,][,][,]12[,][,][,]21βαβαβαβαββαβββββββ-⎛⎫⎪=--=-= ⎪ ⎪-⎝⎭2）标准化令1||||i i i ςββ=，则1231111,0,2111ςςς-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪===⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⎭⎭⎭6. 由2122224(2)(7)242A E λλλλλλ---=---=--+--得，1232,7λλλ===-将12λ=λ=2代入()1A-λE x=0，得方程组 12312312322024402440x x x x x x x x x --+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩解值得基础解系 12200,111αα⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 同理，对3λ=-7，由()3A-λE x=0，求得基础解系()31,2,2Tα=，由于201120112≠，所以123,,ααα线性无关，即A 有3个线性无关得特征向量，因而A 可对角化，可逆矩阵为：123201(,,)012112P ααα⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭7. 第一步，写出对应得二次型矩阵，并求其特征值 172221442414A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎪--⎝⎭， ()()2172221441892414A E λλλλλλ---⎛⎫⎪-=---=-- ⎪⎪---⎝⎭，从而A 的全部特征值为1239,18λλλ===。

9、答案内容： 1
第四章 向量组的线性相关性
n 元齐次线性方程组 Ax 0 与 Bx 0 同解是 R A R B的 ___________条件.
9、答案内容： 充分
第五章 相似矩阵及二次型
若 n 元实二次型 f xT Ax 正定，则其秩 r ，正惯性指数 p 与 n 满足关系____________ . 9、答案内容： p n
第四章 向量组的线性相关性
设向量1,2 线性无关， 21 b, 22 b 线性相关，则 b 用1,2 线性表示的表示式为
____________ .
9、答案内容： 1 2 2
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
A 为一个四阶方阵，若 R A 3 ，则其伴随矩阵 A* 的秩 R A* ____________ .
x Py 可化为标准形 f 6 y12 ，则 a ____________ .
9、答案内容： 2
第二章 矩阵及其运算
设矩阵
A
1 2
1
3
，
B
A2
3A
2E
，则
B 1
____________
.
1 0 1
9、答案内容：
2
2
2
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
设向量组1 a, 0, cT ,2 b, c, 0T ,3 0, a,bT 线性无关，则 a,b, c 必满足关系式
____________ .
9、答案内容： 3
第五章 相似矩阵及二次型
若二次型 f x1, x2 , x3 2x12 x22 x32 2x2 x1 tx2 x3 是正定的，则 t 的取值范围是
____________ .
9、答案内容： t 2, 2

13 设 A、B 都是 n 阶矩阵 且 A 可逆 证明 AB 与 BA 相
似
证明 取 PA 则 即 AB 与 BA 相似
P1ABPA1ABABA
14
设矩阵 A432
0 1 0
15x 可相似对角化
求 x
解由
2 0 1 | AE| 3 1 x ( 1)2( 6)
022
x1 x2 x3


0

得特征向量(1 2 2)T
单位化得
p1

(1, 3
2, 3
2)T 3
对于21, 解方程(AE)x0 即

1 2 0
2 0
2
201
x1 x2 x3


0

得特征向量(2 1 2)T
特征值341 的线性无关特征值向量
6 设 A 为 n 阶矩阵 证明 AT 与 A 的特征值相同 证明 因为
|ATE||(AE)T||AE|T|AE| 所以 AT 与 A 的特征多项式相同 从而 AT 与 A 的特征值相同
7 设 n 阶矩阵 A、B 满足 R(A)R(B)n 证明 A 与 B 有公共的特征值 有公 共的特征向量
b1


011

b3

a3

[[bb11,,ab13]]b1

[[bb22,,ab23]]b2

1 3

211

(2) (a1,
a2,
a3)


1 0 1 1
1 1 0
1
11 01

解 根据施密特正交化方法
1
b1

a1

--线性代数期中温习答案一、选择题（1）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题： ① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)； ② 若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； ④ 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的是(A) ① ②. (B) ① ③.(C) ② ④. (D) ③ ④. [ B ] 【分析】 本题也可找反例用排除法进行分析，但① ②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③ 与 ④，迅速排除不正确的选项.【详解】 若Ax=0与Bx=0同解，则n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题③成立，可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)， 则不能推出Ax=0与Bx=0同解，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000B ，则秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题④不成立，排除(D),故正确选项为(B).(2) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 bAx =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.[ B ]【分析】 要肯定基础解系含向量的个数, 实际上只要肯定未知数的个数和系数矩阵的秩.【详解】 因为基础解系含向量的个数=)(A r n -, 而且⎪⎩⎪⎨⎧-<-===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r按照已知条件,0*≠A 于是)(A r 等于n 或1-n . 又b Ax =有互不相等的解, 即解不惟一, 故1)(-=n A r . 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).（3）设A 是3阶方阵，将A 的第1列与第2列互换得B,再把B 的第2列加到第3列得C, 则知足AQ=C 的可逆矩阵Q 为(A) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010. (B) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010. (C) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010. (D) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110. [ D ]【分析】 本题考查初等矩阵的的概念与性质，对A 作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，而Q 即为此两个初等矩阵的乘积。

一、单项选择题（共20题）1.下列矩阵中不是二次型的矩阵的是（）【正确答案】C【您的答案】A【答案解析】2.n元实二次型正定的充分必要条件是（）A.该二次型的秩＝nB.该二次型的负惯性指数＝nC.该二次型的正惯性指数＝它的秩D.该二次型的正惯性指数＝n【正确答案】D【您的答案】A【答案解析】二次型正定的充分必要条件是二次型的正惯性指数＝n3.下列条件不能保证n阶实对称阵A为正定的是()A.A-1正定B.A没有负的特征值C.A的正惯性指数等于nD.A合同于单位阵【正确答案】B【您的答案】A【答案解析】A-1正定表明存在可逆矩阵C使C T A-1C=I n，两边求逆得到C-1A（C T）-1= C-1A（C -1）T=I n即A合同于I n，A正定，因此不应选A。

C是A正定的定义，也不是正确的选择。

D表明A的正惯性指数等于n，故A是正定阵，于是只能B。

事实上，一个矩阵没有负的特征值，但可能有零特征值，而正定阵的特征值必须全是正数。

4.矩阵的特征值为()A.1，1B.2，2C.1，2D.0，0【正确答案】A【您的答案】A【答案正确】【答案解析】得到特征值是1，1。

5.已知相似，则有（）【正确答案】D【您的答案】A【答案解析】6.设矩阵相似.则下列结论错误的是（）【正确答案】B【您的答案】A【答案解析】根据相似矩阵的性质判断B错误.7.设A为3阶矩阵，且已知，则A必有一个特征值为（）【正确答案】B【您的答案】A【答案解析】8.已知3阶矩阵A的特征值为1，2，3，则|A-4E|=()A.2B.-6C.6D.24【正确答案】B【您的答案】A【答案解析】∵3阶矩阵A的特征值为1,2,3∴|λE - A | 展开式含有三个因子乘积：（λ-1）（λ-2）（λ-3）∵|λE -A | 展开式λ3项系数为1∴|λE - A |=（λ-1）（λ-2）（λ-3）∵A为3阶矩阵∴| A-λE |=（-1）3|λE - A |=（-1）3（λ-1）（λ-2）（λ-3）将4代入上式得到-6。

k1a1k2a2 knranrl1b1l2b2 lnrbnr0 记 k1a1k2a2 knranr(l1b1l2b2 lnrbnr) 则k1 k2 knr不全为0 否则l1 l2 lnt不全为0 而
l1b1l2b2 lnrbnr0 与b1 b2 bnt线性无关相矛盾
因此 0 是A的也是B的关于0的特征向量 所以A与B有公共的特征值 有 公共的特征向量
8 设A23A2EO 证明A的特征值只能取1或2 证明 设是A的任意一个特征值 x是A的对应于的特征向量 则
(A23A2E)x2x3x2x(232)x0 因为x0 所以2320 即是方程2320的根 也就是说1或2
9 设A为正交阵 且|A|1 证明1是A的特征值 证明 因为A为正交矩阵 所以A的特征值为1或1 （需要说明） 因为|A|等于所有特征值之积 又|A|1 所以必有奇数个特征值为1 即1 是A的特征值
10 设0是m阶矩阵AmnBnm的特征值 证明也是n阶矩阵BA的特征值 证明 设x是AB的对应于0的特征向量 则有
(AB)xx 于是 B(AB)xB(x) 或 BA(B x)(Bx) 从而是BA的特征值 且Bx是BA的对应于的特征向量
11 已知3阶矩阵A的特征值为1 2 3 求|A35A27A| 解 令()3527 则(1)3 (2)2 (3)3是(A)的特征值 故
|A35A27A||(A)|(1)(2)(3)32318
12 已知3阶矩阵A的特征值为1 2 3 求|A*3A2E| 解 因为|A|12(3)60 所以A可逆 故
A*|A|A16A1 A*3A2E6A13A2E 令()6132 则(1)1 (2)5 (3)5是(A)的特征值 故 |A*3A2E||6A13A2E||(A)|
6 设A为n阶矩阵 证明AT与A的特征值相同 证明 因为

第一章 行列式一 填空题1. n 阶行列式ij a 的展开式中含有11a 的项数为 （n-1）！2.行列式12n λλλ=(1)212(1)n n n λλλ--3. 行列式1112131422232433344400a a a a a a a a a a 的值11223344a a a a4.在n 阶行列式A =|ij a |中,若j i <时, ij a =0(j i ,=1,2,…,n),则A =1122nna a a解: A 其实为下三角形行列式. 5. 排列134782695的逆序数为 10 . 解：0+0+0+0+0+4+2+0+4=106. 已知排列9561274j i 为偶排列，则=),(j i (8,3) . 解：127435689的逆序数为5，127485639的逆序数为107. 四阶行列式中带有负号且包含a 12和a 21的项为 -a 12a 21a 33a 44 . 解：四阶行列式中包含a 12和a 21的项只有-a 12a 21a 33a 44和a 12a 21a 43a 348.在函数xx xx x x f 21112)(---=中,3x 的系数为 -2 解: 行列式展开式中只有对角线展开项为3x 项.9. 行 列 式xx x x x 2213212113215 含 4x 的项410x解：含4x 的 项 应 为4443322111025x x x x x a a a a =⋅⋅⋅=.10. 若n 阶行列式ij a 每行元素之和均为零，则ij a = 0解：利用行列式性质：把行列式的某一行的各元素乘以同一数然后加到另一行对应的元素上去，行列式不变11. =5678901201140010302001000 120 .解：将最后一行一次与其前一行互换的到三角行列式12.行列式ccb ba a ------1111111的值是 1 。

解ccb ba a------1111111=1011111a b b cc----=101111a b cc--=1010101abc =113. 行 列 式210000121000002100001200000121012-------- 的 值是 27 。

第一章 行列式测试题一、填空题1. 排列134782695的逆序数为 .2. 已知2413201xx的代数余子式012=A ，则代数余子式=21A . 3、________9124943332212441002700001300=--；4、设方程0111111211122221121112=-------n n n n n n n a a a a a a a a a xxx，其中()1,,2,1-=n i a i 互不相等，则方程的全部解为________；5、设3256411222245233355554321=D 则________333231=++A A A ；________3534=+A A ； ________3534333231=++++A A A A A ；二、选择题1、 n 阶行列式D 非零的充要条件是________；（a ）D 的所有元素非零； （c ）D 的任意两列元素之间不成比例 （b ）D 至少有n 个元素非零；（d ）以D 为系数行列式线性方程组有唯一解；2.已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++c z y x b z y x az y x 有唯一解,且1=x ,那么=--111111cb a （ ）. （a ） 0 （b ） 1 （c ） -4 （d ） 4 3、 ______=xyyy x yyy x； （a ）()3y x - ； （b ）()()22y x y x ++； （c ）()()22y x y x -+ ； （d ）()()22y x y x +-4、若111213212223313233a a a D a a a a a a =，1112131212223313233222222222a a a D a a a a a a =，则1D =（ ）. （a ）2D ； （b ）-2D ； （C ）8D ； （d ）-8D三. 计算行列式1、6003003013952001992041001032、6142302151032121----3、yy x x -+-+1111111111111111 4、aa a a a a a a a ---------1111000110001100015、11111111111121+++n a a a，021≠n a a a四、证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∑=ni i n n a a a a a a a a a D 102121010100101111；五.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=+-=-+-=+-+44637232232432143243214321x x x x x x x x x x x x x x x六、问λ、μ取何值时，齐次线性方程组1231231230,0,20x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解？第二章 矩阵与向量测试题一. 填空题:1.设n 维向量321,,ααα线性无关，则向量组133221,,αααααα--- 的秩=r .2.向量组γβα,,线性相关的充分必要条件为 .3.设21,αα线性无关，而321,,ααα线性相关，则向量组3213,2,ααα 的极大无关组为 .4.已知)8,,6,2(),4,2,3,1(21k ==αα线性相关,则=k .5.已知向量组γβα,,线性相关，而向量组,,γβδ线性无关，则向量组γβα,,的秩为 .二. 判断题1.如果向量组,,αβγ只有一个极大无关组，则,,αβγ一定线性无关. ( )2.设,αβ线性相关，0γ≠，则α+γ与β+γ也线性相关. ( )3.如果20α-β+γ≠,则,,αβγ线性无关. ( )4.向量组的秩就是它的极大线性无关组的个数. ( )5.如果向量组12(,),(,)a b c d α=α=线性无关，那么向量组1(,)a c β=,2β=(,)b d 一定线性无关. ( )三. 设向量(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0),α=β=γ=求α-β及32α+β-γ.四.判断下列向量组的线性相关性:1.)7,4,2(1=α,)5,2,0(2=α,)1,1,1(3=α2.),,(1z y x =β, ),,(2y z x =β,),,(3x z y =β,),,(4y x z =β五. c 取何值时，向量组111111(,,),(,,),(,,)222222c c c ------线性相关?六.求下列向量组的秩及一个最大无关组，并把剩余向量用最大无关组线性表示：1.1(1,2,1,4)=-α，2(9,100,10,4)=α，3(2,4,2,8)=---α2.123(1,2,1,3),(4,1,5,6),(1,3,4,7)==---=---βββ七. .已知向量组123(1,2,3),(3,0,1),(9,6,7)'''α=-α=α=-与向量组1(0,1,1)'β=- ，23(,2,1),(,1,0)a b ''β=β=具有相同的秩，且3β可由123,,ααα线性表示，求,a b 的值.八. 已知321ααα,,是3R 的一组基,证明,21αα+,32αα+13αα+线性无关.九. 求矩阵310211211344⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的秩.十.对于λ的不同取值，矩阵11221511061Aλ-⎡⎤⎢⎥=-λ⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的秩为多少？第三章 矩阵的运算测试题一． 判断题1．2222)(B AB A B A ++=+ （ ） 2．22))((B A B A B A -=-+ （ ） 3．若A A =2，则E A =或0=A （ ） 4．若AY AX =，且A 可逆，则Y X = （ ）二．填空题1．n 阶方阵A 可逆的充要条件是 _______________________________。

故， β 3 = ( −
1 3
1 3
1 3
1) T ⇒ γ 3 =
β3 3 = (− 6 β3
3 6
3 3
3 T ) 2
⎛ 3 2 4⎞ ⎜ ⎟ 例 5.3 计算 3 阶矩阵 A＝ 2 0 2 的全部特征值和特征向量. ⎜ ⎟ ⎜ 4 2 3⎟ ⎝ ⎠
n n
f ( x) = xT Ax ，其中 A T = A .
6．熟悉矩阵 A 合同（或相合）于 B 的定义，理解合同关系是等价关系. 7．熟练掌握化二次型 xT Ax 为平方和（标准形）或求实对称矩阵 A 的相合标准形的 3 种方法：正交变换法；配方法；和同型初等行、列变换法. 8．了解惯性定理，会求矩阵 A 的正、负惯性指数和符号差，会求二次型的规范形. 9．熟练掌握正定二次型（正定矩阵）的定义和判别方法. 10．熟悉实对称矩阵 A 正定（二次型正定）的各种等价命题（正定的充要条件）. 11．理解 A 正定的必要条件： a ii > 0( i = 1, 2, L , n ); det( A ) > 0 . 12． 会利用正交变换化二次型为标准型和极坐标平移方法判别一般二次曲线和曲面的类 型.
故 A 是正交矩阵. 例 5.2 已知向量 α 1 = (1,1, 0, 0 ) , α 2 = (1, 01, 0 ) , α 3 = ( − 1, 0, 0,1) 是线性无关向
T T T
量组，求与之等价的正交单位向量组. 解法一 先正交化，再单位化 (1) 取 β 1 =
α1
(2) 令 β 2 = k β 1 + α 2 ，使得 β2 与 β 1 正交
T −1 ∗
5.3 例题分析
例 5.1 设 a 是 n 阶列向量， E 是 n 阶单位矩阵，证明 A = E −

线性代数习题集皖西学院应用数学学院编制2012年9月第一章 行 列 式一、判断题1．行列式如果有两列元素对应成比例，则行列式等于零. ( )2. 213210124121012342=-.( ) 3. 13434121.42042=-( )4. 123213123213123213.a a a b b b b b b a a a c c c c c c =( ) 5. 123123123123123123.a a a a a a b b b b b b c c c c c c ---------=---( ) 6. n 阶行列式n D 中元素ij a 的代数余子式ij A 为1n -阶行列式. ( )7. 312143245328836256=.( ) 8. 111213212223313233a a a a a a a a a 122r r + 111213211122122313313233222+++a a a a a a a a a a a a ( ) 9．如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必等于零. ( )10. 如果方程个数与未知数个数相等，且系数行列式不为零，则方程组一定有解. ( ) 二、选择题1．若12532453r s a a a a a 是5阶行列式中带正号的一项，则,r s 的值为（ ）． A.1,1r s == B.1,4r s ==C.4,1r s ==D.4,4r s ==2.下列排列是偶排列的是（ ）A. 4312B. 51432C. 45312D. 6543213.若行列式21120312x--=-， 则x =( ). A.–2 B. 2 C. -1 D. 14.行列式000000000ab cd e f的值等于（ ）.A. abcdefB. abdf -C. abdfD. cdf5.设abc ≠0，则三阶行列式00000d c b a的值是（ ）.A ．aB ．-bC ．0D ．abc 6.设行列式2211b a b a =1，2211c a c a =2，则222111c b a c b a ++=（ ）.A ．-3B ．-1C ．1D ．37.设非齐次线性方程组123123123238223105ax x x ax x x x x bx ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解，则,a b 必须满足（ ）..0,0Aa b ≠≠ 2.,03B a b ≠≠ 23.,32C a b ≠≠ 3.0,2D a b ≠≠8. 215152521112223030223-=---是按（ ）展开的.A ．第2列B ．第2行C ．第1列D ．第1行9.设111211212ni i in n n nna a a D a a a a a a = 则下式中（ ）是正确的. 1122.0i i i i in in A a A a A a A +++= 1122.0i j i j ni nj B a A a A a A +++= 1122.i i i i in ni C a A a A a A D +++= 1122.i j i j ni nj D D a A a A a A =+++10. 349571214的23a 的代数余子式23A 的值为（ ）. A. 3 B. -3 C. 5 D. -5 三、填空题1． 排列36715284的逆序数是________.2． 四阶行列式中的一项14322341a a a a 应取的符号是_______. 3.若,0211=k 则k=___________. 4.行列式1694432111中32a 元素的代数余子式A 32=____________.5.598413111=__________. 6.行列式0001001010000100=______.7.行列式0004003002001000=__________. 8.非零元素只有1n -行的n 阶行列式的值等于__________.9. 1231231238,a a a b b b c c c =则123123123222c c c b b b a a a ---=__________. 10.n阶行列式nD 中元素ij a 的代数余子式ij A 与余子式ij M 之间的关系是ij A =__________，n D 按第j 列展开的公式是n D =__________.四、计算题1.写出五阶行列式中含1325a a 并带有正号的所有项.2.计算四阶行列式1002210002100021的值.3.求4阶行列式1111112113114111的值.4.计算行列式D =1111123414916182764的值.5. 计算行列式122224242λλλ--+---+ 6.计算n 阶行列式0111101111011110. 7. 计算n 阶行列式 0 0n a D a⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0;8. 计算n 阶行列式 n xa a a x a D aax⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅9. 计算nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112五、证明题1.33()ax byay bz az bx x y z ay bzaz bx ax by a b yz x az bxax byay bzzxy++++++=++++2.2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b cc c cd d d d ++++++=++++++六.用克拉默法则解方程1. 12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩； 2.121232343454556156056056051x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎪+=⎩. 七. 问λ取何值时, 齐次线性方程组123123123(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩有非零解？第二章 矩 阵一、判断题1.若A 是23⨯矩阵，B 是32⨯矩阵，则AB 是22⨯矩阵. ( )2.若,AB O =且,A O ≠则.=B O ( )3. 12103425X ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解110122534X -⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. ( ) 4.若A 是n 阶对称矩阵，则2A 也是n 阶对称矩阵. ( ) 5. n 阶矩阵A 为零矩阵的充分必要条件是0.A = ( ) 6. 若,AB 为同阶可逆矩阵，则11()kA kA --=. ( )7. 42042069126232110110⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭. ( )8. n 阶矩阵A 为逆矩阵的充分必要条件是0.A ≠ ( ) 9.设,A B 为同阶方阵，则 A B A B +=+. ( )10.设 ,A B 为n 阶可逆矩阵，则 111A O A O O B OB ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.( ) 二、选择题1. 若,A B 为n 阶矩阵，则下式中（ ）是正确的.22.()()A A B A B A B -+=- .(),=.-=≠B A B C O A O B C 且，必有 222.(+)+2+B A B A AB B = .D AB A B =2.若,s n n l A B ⨯⨯，则下列运算有意义的是（ ）..T T A B A .B BA .+C A B .+T D A B3.若,m n s t A B ⨯⨯，做乘积AB 则必须满足（ ）..=A m t .=B m s .=C n s .=D n t4.矩阵1111A --⎛⎫= ⎪⎝⎭的伴随矩阵*=A （ ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11115.设2阶矩阵a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭，则*=A （ ）A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b d B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b c d C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b d D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b c d 6. 矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0133的逆矩阵是（ ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3310B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3130C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-13110 D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-013117. 设2阶方阵A 可逆，且A -1=⎪⎭⎫ ⎝⎛--2173，则A=（ ）.A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--3172B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3172C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--3172D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2173 8. n 阶矩阵A 行列式为,A 则kA 的行列式为（ ）. A. k A B. nkA C. k A D. -k A9. 设,A B 为n 阶矩阵满足=,AB A 且A 可逆，则有（ ）..==A A B E .=B A E .=B B E .,D A B 互为逆矩阵10.设A 是任意阶矩阵，则（ ）是对称阵..(+)T T A A A .+T B A A .T C AA .T T D A AA三、填空题1.设矩阵120210001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100021013B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则2+=A B _____________2.设A=⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤411023，B=,010201⎢⎣⎡⎥⎦⎤则AB =___________. 3.设矩阵A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21，B=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛31，则A TB =____________. 4.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321(1，2，3)=__________. 5.n1111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=__________. 6.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0410******** ＝______________________. 7.设2阶矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛3202，则A *A =_____________.8.设矩阵A=⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，则行列式|A 2|=__________. 9.设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a ，且det(A)=ad-bc ≠0，则A -1=__________ .10. 设 ,A B 为n 阶可逆矩阵，则 1O A B O -⎛⎫= ⎪⎝⎭_______________.四、计算题1．已知110123011,124,111021A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦求()TA B +.2.计算下列乘积1).431712325701⎛⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭;2).3(123)21⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭；3).)21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛；4).13121400121134131402⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪-⎝⎭； 5).111213112312222321323333()a a a x x x x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.3.求矩阵方程.1) 25461321X -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;2) 211113210432111X -⎛⎫-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭;3) 142031121101X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭;4）010100143100001201001010120X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 4.设矩阵21=53A ⎛⎫⎪⎝⎭，13=20B ⎛⎫⎪⎝⎭，求矩阵方程=XA B 的解X .5.设321=111101A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦⎣，求-1A .6.设101=210,325A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭　求-1A 7.设101=210325A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭，求-1A .8.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2500380000120025A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2600140000540023B . 求：AB BA 和9. 设A 为3阶矩阵, , 求-1(2)-5A A *. 10.设(1,2,1),28,A diag A BA BA E *=-=- 求.B 11.设34432022O A O ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 求8A |及4A五、证明题1. 设,A B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明TB AB 也是对称矩阵. 2.设,A B 为n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB BA =. 3.设为n 阶矩阵A 满足235,A A E O --=试证A E +可逆，且()14A E A E -+=-.4. 设A 为n 阶矩阵，且2,A A =且A E ≠，证明A 是不可逆矩阵.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组一、选择题1．设n 元齐次线性方程组0AX =的系数矩阵的秩为r ，则0AX =有非零解的充分必要条件是（ B ）(A) r n = (B) r n <(C) r n ≥ (D) r n >2．设A 是m n ⨯矩阵，则线性方程组AX b =有无穷解的充要条件是（ D ）(A) ()r A m < (B) ()r A n < (C) ()()r Ab r A m =< (D) ()()r Ab r A n =<3．设A 是m n ⨯矩阵，非齐次线性方程组AX b =的导出组为0AX =，若m n <，则（C ）(A) AX b =必有无穷多解 (B) AX b =必有唯一解 (C) 0AX =必有非零解 (D) 0AX =必有唯一解4．已知12,ββ是非齐次线性方程组AX b =的两个不同的解，12,αα是导出组0AX =的基础解系，12,k k 为任意常数，则AX b =的通解是（ ） (A) 1211212()2k k ββααα-+++(B) 1211212()2k k ββααα++-+(C) 1211212()2k k ββαββ-+++ (D) 1211212()2k k ββαββ++-+5．设A 为m n ⨯矩阵，则下列结论正确的是（D ）(A) 若0AX =仅有零解 ，则AX b =有唯一解 (B) 若0AX =有非零解 ，则AX b =有无穷多解 (C) 若AX b =有无穷多解 ，则0AX =仅有零解 (D) 若AX b =有无穷多解 ，则0AX =有非零解 6．线性方程组123123123123047101x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ （ ）(A) 无解 (B) 有唯一解 (C) 有无穷多解 (D) 其导出组只有零解 二、判断题1．若,αβ是线性方程组Ax b =的两个解向量， 则αβ-是方程组0Ax =的解。

第五章、二次型
一、选择题 1、 【答案】 D. 【解析】B E i, j AE i, j ,因 E i, j 等价,合同． 2、 【答案】 B. 【解析】因奇数阶顺序主子式为负,偶数阶顺序主子式为正,故 A 是负定的． 3、 【答案】 C. 【解析】因为 R( A) R( B) ,故 A 与 B 等价；
3
在 B. 中,由于 a33 6 ,易知 f 0, 0,1 6 即有 X 0 0, 0,1 0 ,而 X 0 AX 0 0 ,与
T
T
正定的定义不符； 在 D. 中,由于 a33 0 ,易知 f 0, 0,1 0 ,与 X 0 , X T AX 0 相矛盾； 二次型正定的充分必要条件是顺序主子式全大于零,在 A. 中,二阶主子式 因此 A.B.D. 均不是正定矩阵． 二、填空题 1、 【答案】 2
2
当 A 为正定时 ,应有 2 k 0 且 k k k 2 0 , 解此不等式组得 k 应满足的条件 为 1 k 0 ． 8、 【答案】 2 【解析】利用二次型的正惯性指数是其矩阵的正特征值的个数,

2

1 0 0 1 0 0 2 因为 A 0 0 1 , E A 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1
,
i i 1
【解析】实对称矩阵 A 必合同于对角阵 diag 1,1, 1, , 1, 0, 0 ,其中 1 的个数为
p , 1 的个数为 r p ,0 的个数为 n r ,由合同的传递性知： A 合同于 B A 、 B 的
秩及正惯性指数相等,故选 D. 20、 【答案】 C. 【解析】二次型正定的必要条件是： aii 0

二、计算题
7. 用施密特（Schimidt）正交化过程将向量= 组α1
1 = 1 ,α2 1
1 = 2 ,α3 3
1

4

规范正交化.
9
解：根据施密特正交化方法,
1
b=1
a=1

1

,
1
−1
b2
= a2 − [[bb11,,ab12
−1
=
1 2

0 1

,

b3
=
= b3 | b3 |
1
1 6

−2 1

。
三、证明题
8. 设α 是一个 n 维非零列向量，试证 A=
E
−
α
2 Tα
αα
T
是一个正交矩阵.
解：
AT
A
= E − α2Tα αα
T
T

E
−
2 αTα
αα
T

( A) λ −1 A n
(B) λ −1 A
(C ) λ A
( D) λ −1 A n−1
分析：设 Aξ = λξ ，又 A 可逆，所以 A−1ξ = 1 ξ ， | A | A−1ξ =| A | 1 ξ
λ
λ
⇒ A*ξ = | A | ξ ， λ
5. 设 3 阶矩阵 A 的特征值为1, 3, 5 ，则 A 的行列式 A 等于（ D ）.
第五章 相似矩阵及二次型
单元 12 向量的内积与正交性
一、选择题
1. 设 x, y ∈ Rn , [ x, y] 表示向量 x 与 y 的内积，则下列不正确的是（ D ）.