【含名校开学考6份试卷合集】江苏省苏州区学校七校联考2019年高二数学上学期开学考试试卷

新高二开学摸底考试卷（江苏专用，苏教版2019）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试范围：苏教版2019必修第一册、第二册以及选修必修第一册直线与方程4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合,M N ，则“M N M ⋂=”是“M N N ⋃=”的（）条件．A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分又不必要【答案】C【分析】根据集合的基本关系以及充分必要条件的判断即可得解.【详解】因为M N M ⋂=，所以M N ⊆，因为M N N ⋃=，所以M N ⊆，所以“”M N M ⋂=是“”M N N ⋃=的充要条件,故选：C.2．若复数z 满足1i z=，则z 等于（）A.12B.22C.D.23．某射击运动员射击6次，命中的环数如下：7，9，6，9，10，7，则关于这组数据的说法正确的是（）A.极差为10B.中位数为7.5C.平均数为8.5D.标准差为4．已知向量(1,a =，向量b 在a 上的投影向量为12a -，则ab ⋅=（）A.-2 B.-1C.1D.2关于点对称，则实数的值为（）A.2B.6C.2- D.6-【答案】A【分析】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可.【详解】由于直线230x y +-=与直线40ax y b ++=关于点(1,0)A 对称，所以两直线平行，故24a =，则2a =，由于点(3,0)在直线230x y +-=上，(3,0)关于点(1,0)A 的对称点为(1,0)-，故(1,0)-在40ax y b ++=上，代入可得0a b -+=，故2b a ==，6．已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//l m ，//l α，//m β，则//αβB.若l m ⊥，l α⊥，//m β，则//αβC.若//αβ，l ⊂α，m β⊂，则//l mD.若l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥A.223B.223-C.13-D.53是定义域为R 的奇函数，且2f x f x +=-，11f =，则下列说法不正确的是（）A ．()31f =-B ．()f x 的图象关于点()2,0中心对称C ．()f x 的图象关于直线1x =对称D ．()()()()()123202320241f f f f f +++⋅⋅⋅++=【答案】D【分析】对于A ：根据()()2f x f x +=-，赋值令1x =，即可得结果；对于C ：根据()()2f x f x +=-结合奇函数定义可得()()2f x f x +=-，即可得结果；对于B ：根据选项B 中结论分析可得()()220f x f x ++-+=，即可得结果；对于D ：分析可知：4为()f x 的周期，结合周期性分析求解.【详解】因为()()2f x f x +=-，()11f =，对于选项A ：令1x =，可得()()311f f =-=-，故A 正确；对于选项C ：因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，则()()f x f x =--，则()()()2f x f x f x +=-=-，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确；对于选项B ：因为()()2f x f x +=-，可得()()2f x f x -+=，则()()()()22f x f x f x f x +=-=-=--+，即()()220f x f x ++-+=，所以()f x 的图象关于点()2,0中心对称，故B 正确；对于选项D ：因为()()220f x f x ++-+=，令0x =，可得()()()220,200f f f ===，令1x =，可得()()310f f +=，又因为()()2f x f x +=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，可知4为()f x 的周期，可得()()240f f +=，即()()()()12340f f f f +++=，因为20244506=⨯，所以()()()()()123202320240f f f f f +++⋅⋅⋅++=，故D 错误；故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．盒子里有3个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件A =“两个球颜色相同”，B =“第1次取出的是红球”，C =“第2次取出的是红球”，D =“两个球颜色不同”．则（）A.A 与D 互为对立事件B.B 与C 互斥C.A 与B 相互独立D.3()5P C =【答案】AD【分析】依次列出样本空间，事件A 、B 、C 、D 包含的基本事件，由事件的基本关系及概率公式一一判定选项即可.【详解】依题意可设3个红球为1a ，2a ，3a ，2个白球为1b ，2b ，则样本空间为：()()()()()()()()()()()(){121311122123212231323132Ω,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a a a a a b a b a a a a a b a b =，，，，，，，，A.()f x 的最小正周期为2πB.()2f x ≥-C.()f x 的图象关于直线π6x =对称 D.()f x 在区间π,04⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增则（）A.1//AA 平面1BDC B.二面角1C BD C --的大小为60 C.该四棱台外接球的体积为 D.1EA EA +的最小值为又面1111//A B C D 面ABCD ，而面AA 故11//A C AC ，即112//AC AO ；由2AB =，12AA =，111A B =，得112AC =，211222AO AC ==⨯所以四边形112AAC O 是平行四边形，故在等腰梯形11AA C C 中，易得12O O =为方便计算，不妨设12,O O a O O ==即()2222222a b ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，得2a故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．直线(1)(21)3()-+-=-∈R m x m y m m 恒过定点______.【答案】(5,2)--ACD【分析】整理直线方程，可化为(21)30+-+--=m x y x y ，当210x y +-=且30--=x y 时，无论m 取何值，方程恒成立，解方程组即可解得定点，即可判断正误；【详解】因为直线(1)(21)3()-+-=-∈R m x m y m m ，即(21)30+---+=m x y x y ，令21030x y x y +-=⎧⎨--+=⎩，解得52x y =⎧⎨=-⎩，即直线(1)(21)3()-+-=-∈R m x m y m m 恒过定点(5,2)-，故答案为：(5,2)-13．已知ABC 是边长为1的正三角形，1,3AN NC P = 是BN 上一点且29AP m AB AC =+，则APAB ⋅=_________14．古希腊数学家托勒密于公元形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知平面凸四边形ABCD 外接圆半径为1，sin :sin :sin 3:5:7ABD ADB BAD ∠∠∠=．则（1）BD =__________；（2）2AC BC CD⋅的最小值为__________．四、解答题：本题共15．2024年5月15日是第社区，走进群众，开展主题为“与民同心，为您守护”的宣传活动，为了让宣传更加全面有效，某个分队随机选择了200位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如图：（1）请估计这200位市民的平均年龄（同组数据用组中值代替）；（2）现用分层抽样的方法从年龄在区间[)20,30和[)70,80两组市民中一共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率.AB AC ⊥，E 为PD 中点，F 为PB 中点，M 为CE 中点．（1）求证：平面ACE ⊥平面PAB ；（2）求证：//AF 平面BDM ．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）证明出,PA AC ⊥AB AC ⊥即可证明出CA ⊥平面PAB 从而证明出平面ACE ⊥平面PAB ．（2）先证明平面//AEF 平面BDM ．再利用面面平行的性质证明即可..【详解】（1）PA ⊥ 底面ABCD ．AC ⊂平面ABCD ，PA AC ∴⊥．又AB AC ⊥，PA AB A = ，,PA AB ⊂平面PAB CA ∴⊥平面PAB ．AC ⊂ 平面ACE ，∴平面ACE ⊥平面PAB ．（2）连接EF 、AE ，连接AC 交BD 于点O ，连接OM ．在ACE △中，M ，O 分别为CE ，AC 中点，//AE OM ∴．又AE ⊂平面BDM ，OM ⊂平面BDM ，//AE ∴平面BDM ：在PBD △中，E ，F 分别为PD ，PB 中点，//EF BD ∴．又EF ⊂平面BDM ，BD ⊂平面BDM ．//EF ∴平面BDM ；又AE ，EF ⊂平面AEF ，AE EF E ⋂=，∴平面//AEF 平面BDM ．又AF ⊂平面AEF ，所以//AF 平面BDM ．17．已知ABC 的顶点(0,4)A ，(4,0)B -，(2,0)C .（1）若直线l 过顶点C ，且顶点A ，B 到直线l 的距离相等，求直线l 的方程；（2）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出：三角形的外心、重心、垂心共线，这条直线称为欧拉线.求ABC 的欧拉线方程.18．在ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()223sinsin 222B A ab a b a b c +=++．（1）求角C 的大小；（2）若ABC 为锐角三角形，求a b c +的取值范围．19．如图，在四棱柱1111中，已知侧面11为矩形，，3AB =，2AD =，1BC =，1AA =，12EA AE =，2AF FB = .（1）求证：平面DEF 平面1A BC ；（2）求证：平面11ADD A ⊥平面ABCD ；（3）若三棱锥1E A BC -的体积为3，求平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.EF平面由（1）可知//。

“七校联盟”2018-2019学年度第一学期期中联合测试高二数学试题（盐城卷）一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1.命题“，”的否定是___________.【答案】【解析】【分析】由命题的否定即可得出.【详解】由非命题的意义可得：命题“，”的否定是“”，正确. 【点睛】命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．2.抛物线的焦点坐标为_______．【答案】【解析】试题分析：由抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，即可得到抛物线的焦点坐标．解：抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，∴∴抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）故答案为：（0，1）考点：抛物线的简单性质．3.已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差_______________.【答案】【解析】4.已知 ,则“成立”是“成立”的_________条件．（请在“充分不必要.必要不充分.充分必要”中选择一个合适的填空）．【答案】必要不充分【解析】【分析】分别求解绝对值不等式与分式不等式，再由充分必要条件的判定方法得答案．【详解】由|x﹣1|＜2，得﹣2＜x﹣1＜2，∴﹣1＜x＜3，由，得0＜x＜3．∴由|x﹣1|＜2，可得，反之，由，不能得到|x﹣1|＜2．∴“|x﹣1|＜2成立”是“成立”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．【点睛】本题考查充分必要条件的判定方法，考查绝对值不等式与分式不等式的解法，是基础题．5.下图给出的伪代码运行结果是_________ .【答案】16【解析】【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的x，i的值，当i=10时不满足条件，退出循环，输出x的值为16．【详解】模拟程序的运行，可得i=1，x=4满足条件i＜10，执行循环体，x=5，i=4满足条件i＜10，执行循环体，x=9，i=7满足条件i＜10，执行循环体，x=16，i=10此时，不满足条件i＜10，退出循环，输出x的值为16．故答案为：16．【点睛】本题主要考查了程序代码和循环结构，依次写出每次循环得到的x，i的值是解题的关键，属于基本知识的考查．6.椭圆的焦距是2，则m的值是________.【答案】3或5【解析】试题分析：当焦点在x轴时，当焦点在y轴时5或3考点：椭圆方程与性质点评：求解本题要注意分焦点在x轴y轴两种情况，当焦点在x轴时方程为，当焦点在y轴时方程为7.某学校要从A，B，C，D这四名老师中等可能的选择两名去新疆支教，则A，B两名老师都被选中的概率是___________．【答案】【解析】【分析】基本事件总数n==6，A，B两名老师都被选中包含的基本事件个数m=，由此能求出A，B两名老师都被选中的概率．【详解】某学校要从A，B，C，D这四名老师中等可能的选择两名去新疆支教，基本事件总数n==6，A，B两名老师都被选中包含的基本事件个数m=，∴A，B两名老师都被选中的概率是p=．故答案为：．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8.设z＝2x+y，其中x，y满足条件，则z的最大值为__________．【答案】6【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最值即可．【详解】作出可行域，如图，作出直线y=﹣2x，并平移，当直线经过点A时z取最大值，解方程组，得A（3，0），此时最大值z=2×3+0=6，故答案为：6．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．9.若正实数a，b满足，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】由题意可得=≥2=2，由不等式的性质变形可得．【详解】∵正实数a，b满足，∴=≥2=2，∴ab≥2当且仅当=即a=且b=2时取等号．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式求最值，涉及不等式的性质，属基础题．10.记函数的定义域为．在区间上随机取一个数，则的概率是_______________．【答案】【答案】【解析】由6+x-x2≥0,即x2-x-6≤0得-2≤x≤3,所以D=[-2,3]⊆[-4,5],由几何概型的概率公式得x∈D的概率P=,答案为.点睛：本题考查的是几何概型.对于几何概型的计算，首先要确定所法事件的类型为几何概型并确定其几何区域是长度（角度、面积、体积或时间等），其次是计算基本事件区域的几何度量（长度、角度、面积、体积或时间等）和事件A区域的几何度量（长度、角度、面积、体积或时间等），最后计算.11.经过点且与双曲线有公共渐近线的双曲线方程为_________．【答案】【解析】【分析】根据渐近线相同，利用待定系数法设出双曲线方程进行求解即可．【详解】与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线的方程可设为线﹣y2=λ，（λ≠0），∵双曲线过点（2，-2），∴λ=，即﹣y2=﹣2，即，故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线方程的求解，利用待定系数法是解决本题的关键．比较基础．12.在平面直角坐标系xOy中，椭圆(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，P是椭圆上一点，为左准线，，垂足为Q.若四边形PQFA为平行四边形，则椭圆的离心率e的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】设P（x，y），根据PQ⊥l且四边形PQFA为平行四边形，得|PQ|=x+=a+c，可得x=a+c﹣．利用点P的横坐标满足x∈（﹣a，a），建立关于a、c的不等式组，再化成关于离心率的一元二次不等式，解之即可得到椭圆的离心率e的取值范围．【详解】设P（x，y），则∵PQ⊥l，四边形PQFA为平行四边形，∴|PQ|=x+=a+c，可得x=a+c﹣∵椭圆上点P的横坐标满足x∈[﹣a，a]，且P、Q、F、A不在一条直线上∴﹣a＜a+c﹣＜a，即2a+c﹣＞0且c﹣＜0化简得2+e﹣＞0，即e2+2e﹣1＞0解之得e或e＞∵椭圆的离心率e∈（0，1）∴椭圆的离心率e的取值范围是（，1）故答案为：（，1）【点睛】本题给出椭圆上一点P在左准线上的射影点为Q，P、Q与左焦点F和右顶点A构成平行四边形，求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的定义与简单几何性质等知识，属于基础题．13.若方程有实根，则实数的取值范围是 _________．【答案】【解析】【分析】利用数形结合来求解，方程的解，可看作函数y=与y=x+m的图象的交点的横坐标，在同一坐标系中，做出函数y=与y=x+m的图象，判断x取何值时，两函数图象有交点即可．【详解】的解可看作函数y=与y=x+m的图象的交点的横坐标，∵函数y=的图象为椭圆在x轴上方的部分，函数y=x+m的图象为斜率是1的直线∴借助图象可知，直线与椭圆有交点时，如图m的取值范围是故答案为.【点睛】本题主要考查了利用直线与圆的位置关系判断方程的解的情况．14.已知不等式xy≤ax2＋2y2，若对任意x∈[1，2]，且y∈[2，3]，该不等式恒成立，则实数a的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】将a分离出来得a≥﹣2（）2，然后根据x∈[1，2]，y∈[2，3]求出的范围，令t=，则a≥t ﹣2t2在[1，3]上恒成立，利用二次函数的性质求出t﹣2t2的最大值，即可求出a的范围．【详解】由题意可知：不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，即：a≥﹣2（）2，对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，令t=，根据下图可知则1≤t≤3，∴a≥t﹣2t2在[1，3]上恒成立，∵y=﹣2t2+t=﹣2（t﹣）2+，1≤t≤3，∴y max=﹣1，∴a≥﹣1故答案为：．【点睛】本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了分离参数的方法、恒成立的思想以及整体代换的技巧．值得同学们体会与反思．属于中档题．二.解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明.证明过程或演算步骤．15.已知中心在坐标原点的椭圆C，F1，F2分别为椭圆的左.右焦点，长轴长为6，离心率为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P在椭圆C 上，且PF1=4，求点P到右准线的距离．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知可得a，再由离心率求得c，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）由题意定义结合已知求得PF2，再由椭圆的第二定义可得点P到右准线的距离．【详解】（1）根据题意：，解得，∴b2=a2﹣c2=4，∴椭圆C的标准方程为；（2）由椭圆的定义得：PF1+PF2=6，可得PF2=2，设点P到右准线的距离为d，根据第二定义，得，解得：．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆定义的应用，是基础题．16.某校从高二年级学生中随机抽取100名学生，将他们某次考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如图所示），（1）求分数在[70，80）中的人数；（2）若用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，该5 人中成绩在[40，50）的有几人？（3）在（2）中抽取的5人中，随机选取2 人，求分数在[40，50）和[50，60）各1 人的概率．【答案】（1）30；（2）2；（3）【解析】【分析】（1）由频率分布直方图先求出分数在[70，80）内的概率，由此能求出分数在[70，80）中的人数．（2）分数在[40，50）的学生有10人，分数在[50，60）的学生有15人，由此能求出用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，抽取的5人中分数在[40，50）的人数．（3）用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，抽取的5人中分数在[40，50）的有2人分数在[50，60）的有3人，由此利用等可能事件概率计算公式能求出分数在[40，50）和[50，60）各1 人的概率．【详解】（1）由频率分布直方图知小长方形面积为对应区间概率，所有小长方形面积和为1，因此分数在[70，80）内的概率为：1﹣（0.005+0.010+0.015×2+0.025）×10=0.3，∴分数在[70，80）中的人数为：0.3×100=30人．（2）分数在[40，50）的学生有：0.010×10×100=10人，分数在[50，60）的学生有：0.015×10×100=15人，用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，抽取的5人中分数在[40，50）的人有：（3）分数在[40，50）的学生有10人，分数在[50，60）的学生有15人，用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，抽取的5人中分数在[40，50）的有2人，设为，分数在[50，60）的有3人，设为，，5人中随机抽取2 人共有n=10种可能，它们是：，，，，，，，，，分别在不同区间上有m=6种可能．，，，，，所以分数在[40，50）和[50，60）各1 人的概率P==．【点睛】本题考查频率分布直方图、分层抽样的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．17.已知命题：二次函数在区间是增函数；命题：双曲线的离心率的范围是.（1）分别求命题“” .命题“”均为真命题时m的取值范围.（2）若“p且q” 是假命题，“p或q”是真命题，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）对于p：求出二次函数f（x）=x2﹣7x+6的对称轴为，由题意知，若p真，求出m的取值范围，对于q：由是双曲线，可得（4﹣m）（m﹣1）＞0，得1＜m＜4，由，得m＞3，若q真，取交集即可求出m的取值范围；（2）由题意知：p，q一真一假，若p真q假，则m∈[4，+∞）；若p假q真，则，从而可求出实数m的取值范围．【详解】(1)对于：因为二次函数的对称轴为，由题意知，若真，则；对于：∵双曲线，∴（4-m）(m-1)>0,得∴得，故，即若真，则(2)由题意知：，一真一假，若真假，则；若假真，则；综合得实数的取值范围为【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查二次函数的单调性以及双曲线的性质，属于中档题．18.设函数（1）若不等式的解集为(-1,3),求a,b的值；（2）若求的最小值．(3)若,求不等式的解集.【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据二次不等式与二次方程的关系可求a，b；（2）由已知可得，a+b=1，然后根据基本不等式的应用条件进行配凑后，进行1的代换即可求解；（3）把已知条件代入，然后进行分类讨论进行求解．【详解】（1）由不等式f(x)>0的解集为(-1,3)可得：方程的两根为且由根与系数的关系可得：（2）若，则，，所以的最小值为（当且仅当时式中等号成立）(3) 当，不等式即即①，不等式可化为，原不等式的解集为② ，原不等式可化为∴当时，原不等式的解集为当时，原不等式的解集为当时，原不等式的解集为【点睛】本题主要考查了二次不等式与二次方程的关系，一元二次不等式的解法及分类讨论思想的应用．19.如图，在C城周边有两条互相垂直的公路，在点O处交汇，且它们的夹角为90°.已知OC＝4 km，OC与公路夹角为60°.现规划在公路上分别选择A，B两处作为交汇点(异于点O)直接新建一条公路通过C城，设OA＝x km，OB＝y km.(1) 求出y关于x的函数关系式并指出它的定义域；(2) 试确定点A，B的位置，使△AOB的面积最小．【答案】（1）见解析；（2）【解析】面积相等法，建立的关系式，，根据得；，分子分母的x的次数不等，要转化为x的次数相等，然后用均值定理。

“七校联盟”2018-2019学年度第一学期期中联合测试高二数学试题（盐城卷）（考试时间：120分钟，总分160分）注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、班级、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．参考公式：样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅L 的方差s 2=n121)(x x ni i-∑=，其中x =n 1∑=ni ix1一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1、命题“0x ∀≥，20x ≥”的否定是 ▲ . 2、抛物线24x y =的焦点坐标为 ▲ ．3、已知某人连续5次投掷飞镖所得环数依次是8,9,10,10,8，则该组数据的方差为 ▲ ．4、已知x R ∈ ,则“2|1|<-x 成立”是“03xx <-成立”的 ▲ 条件．（请在“充分不必要、必要不充分、充分必要”中选择一个合适的填空）．5、右图给出的伪代码运行结果x 是 ▲ .6、焦点在x 轴上的椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是 ▲ .7、某学校要从A ，B ，C ，D 这四名老师中等可能的选择两名去新疆支教，则A ，B 两名老师都被选中的概率是 ▲ ．8、设z ＝2x+y ，其中x ，y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥03010y x y x y ，则z 的最大值为 ▲ ．9、若正实数a ，b 满足12ab a b+=ab 的最小值为 ▲ ． 10、记函数2()6f x x x =+-的定义域为D ，在区间[]5,4-上随机取一个数x ，则x ∈ D 的概率是 ▲11、经过点(2,2)A -且与双曲线2212x y -=有公共渐近线的双曲线方程为 ▲ ． 12、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，P是椭圆上一点，l 为左准线，PQ l ⊥，垂足为Q.若四边形PQFA 为平行四边形，则椭圆的离心率e 的取值范围是▲ ．13x m =+有实根，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 14、已知不等式xy≤ax 2＋2y 2，若对任意x∈[1，2]，且y∈[2，3]，该不等式恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、（本小题满分14分）已知中心在坐标原点的椭圆C ，F 1，F 2 分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 在椭圆C 上，且PF 1=4，求点P 到右准线的距离．16、（本小题满分14分）某校从高二年级学生中随机抽取100名学生，将他们某次考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如图所示）， （1）求分数在[70，80）中的人数；（2）若用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，该5 人中成绩在[40，50）的有几人？（3）在（2）中抽取的5人中，随机选取2 人，求分数在[40，50）和[50，60）各1 人的概率．17、（本小题满分14分）已知命题p ：二次函数2()76f x x x =-+在区间[,)m +∞是增函数；命题q ：双曲线22141x y m m -=--的离心率的范围是)+∞.（1）分别求命题“p ” 、命题“q ”均为真命题时m 的取值范围. （2）若“p 且q ” 是假命题，“p 或q ”是真命题，求实数m 的取值范围．18、(本题满分16分)设函数()=f x 2(2)30)ax b x a +-+≠，(（1）若不等式()0f x >的解集为(-1,3),求a,b 的值； （2）若(1)2,0,-1,f a b =>>求14+1a b +的最小值． (3)若b a =-,求不等式()1f x ≤的解集.19、(本题满分16分）如图，在C 城周边有两条互相垂直的公路12l l 、，在点O 处交汇，且它们的夹角为90°.已知OC ＝4 km ，OC 与公路1l 夹角为60°.现规划在公路12l l 、上分别选择A ，B 两处作为交汇点(异于点O)直接新建一条公路通过C 城，设OA ＝x km ，OB ＝y km. (1) 求出y 关于x 的函数关系式并指出它的定义域； (2) 试确定点A ，B 的位置，使△AOB 的面积最小．20、(本小题满分16分)已知直线220x y -+=经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 为椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线,AS BS 与直线10:3l x =分别交于,M N 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）求证：直线AS 与BS 的斜率的乘积为定值； （3）求线段MN 的长度的最小值七校联盟2018-2019学年度第一学期期中联合测试高二数学试题参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，） 1、命题“0x ∀≥，20x ≥”的否定是 200x x ∃≥<，. 2、抛物线24x y =的焦点坐标为 (0,1) ．3、已知某人连续5次投掷飞镖所得环数依次是8,9,10,10,8，则该组数据的方差为454、已知x R ∈ ,则“2|1|<-x 成立”是“03xx <-成立”的 必要不充分 条件．（请在“充分必要、充分不必要、必要不充分”中选一个合适的填空）．5、 右图给出的伪代码运行结果x 是 16 ．6、焦点在x 轴上的椭圆x 2m ＋y24＝1的焦距是2，则m 的值是___5_____． 7、某学校要从A ，B ，C ，D 这四名老师中等可能的选择两名去新疆支教， 则A ，B 两名老师都被选中的概率是16． 8、设z ＝2x+y ，其中x ，y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥03010y x y x y ，则z 的最大值为 6 ．9、若正实数a ，b 满足ab ba =+21，则ab 的最小值为22 10、记函数2()6f x x x =+-的定义域为D ，在区间[]5,4-上随机取一个数x ，则x ∈ D 的概率是5911、经过点(2,2)A -且与双曲线2212x y -=有公共渐近线的双曲线方程为22124y x -= 12、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，P 是椭圆上一点，l 为左准线，PQ l ⊥，垂足为Q.若四边形PQFA 为平行四边形，则椭圆的离心率e 的取值范围是1i ←4x ←While i <10 x x i ←+3i i ←+End WhilePrint x-（1）．13x m =+有实根，则实数m 的取值范围是 ． 14、已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2，若对任意x ∈[1，2]，且y ∈[2，3]，该不等式恒成立， 则实数a 的取值范围是 [－1，＋∞)．解析：由题意得，当x∈[1，2]，且y∈[2，3]时，不等式xy≤ax 2＋2y 2，即a≥xy －2y 2x 2＝y x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x －142＋18.在坐标平面内画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x≤2，2≤y ≤3表示的平面区域，注意到y x 可设为该区域内的点(x ，y)与原点连线的斜率，结合图形可知，y x 的取值范围是[1，3]，此时－2(y x －14)2＋18的最大值是－1，因此实数a 的取值范围是a≥－1.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、（本小题满分14分）已知中心在坐标原点的椭圆C ，F 1，F 2 分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 在椭圆C 上，且PF 1=4，求点P 到右准线的距离．解：（1）根据题意：，解得，.............4分∴b 2=a 2﹣c 2=4， .............6分∴椭圆C 的标准方程为； .............7分（2）由椭圆的定义得：PF 1+PF 2=6，可得PF 2=2， .............10分设点P 到右准线的距离为d ，根据第二定义，得， .............13分解得：． ..............14分16、（本小题满分14分）某校从高二年级学生中随机抽取100名学生，将他们某次考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如图所示）， （1）求分数在[70，80）中的人数；（2）若用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，该5 人中成绩在[40，50）的有几人；（3）在（2）中抽取的5人中，随机选取2 人，求分数在[40，50）和[50，60）各1 人的概率．解：（1）由频率分布直方图知小长方形面积为对应区间概率， 所有小长方形面积和为1，因此分数在[70，80）内的概率为： 1﹣（0.005+0.010+0.015×2+0.025）×10=0.3，∴分数在[70，80）中的人数为：0.3×100=30人． ……………4分 （2）分数在[40，50）的学生有：0.010×10×100=10人， 分数在[50，60）的学生有：0.015×10×100=15人，用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人， 抽取的5人中分数在[40，50）的人有：10=210+155 人 ……………8分 （3）分数在[40，50）的学生有10人，分数在[50，60）的学生有15人， 用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人， 抽取的5人中分数在[40，50）的有2人，设为1a ，2a分数在[50，60）的有3人，设为1b ，2b ，3b5人中随机抽取2 人共有n=10种可能，它们是：),(21a a ，),(11b a ，),(21b a ，),(31b a ，),(12b a ，),(22b a ，),(32b a ，),(21b b ， ),(31b b ，),(32b b分别在不同区间上有m=6种可能．),(11b a ，),(21b a ，),(31b a ，),(12b a ，),(22b a ，),(32b a所以分数在[40，50）和[50，60）各1 人的概率． …………… 14分．17、（本小题满分14分）已知命题p ：二次函数2()76f x x x =-+在区间[,)m +∞是增函数；命题q ：双曲线22141x y m m -=--的离心率的取值范围是(3,)+∞， （1）分别求命题“p ” 、命题“q ”均为真命题时m 的取值范围. （2）若“p 且q ” 是假命题，“p 或q ”是真命题，求实数m 的取值范围． 解：(1)对于p ：因为二次函数2()76f x x x =-+的对称轴为72x =，由题意知72m ≥， 若p 真，则7[,)2m ∈+∞； …………4分对于q ：∵22141x y m m -=--双曲线，∴（4-m ）(m-1)>0,得14m <<∴2413344m m e m m-+-==>--得3m >，故34m <<，即若q 真，则(3,4)m ∈ ………………8分 (2)由题意知：p ，q 一真一假， ………………10分 若p 真q 假，则[4,)m ∈+∞； 若p 假q 真，则7(3,)2m ∈； 综合得实数m 的取值范围为7(3,)[4,)2+∞ ………………14分18、（本小题满分16分）设函数()=f x 2(2)30)ax b x a +-+≠，(（1）若不等式()0f x >的解集为(-1,3),求a,b 的值； （2）若(1)2,0,-1,f a b =>>求14+1a b +的最小值． (3)若b a =-,求不等式()1f x ≤的解集.解 （1）由不等式f(x)>0的解集为(-1,3)可得：方程2(2)30ax b x +-+=的两根为1,3-且0a < .............2分由根与系数的关系可得：⎩⎨⎧=-=41b a .............4分（2）若(1)2,00f a b =>>、，则1a b +=， .............5分+12a b +=（）， 1[+112a b +=（）] 所以141141+149[+1)]()[5]+12+12+12b a a b a b a b a b +=++=++≥（ ………………8分的最小值为92（当且仅当14-,33a b ==时式中等号成立）…………9分(3) 当b a =- ，不等式()1f x ≤即2(2)200)ax a x a -++≤≠，(即(2)(1)00)ax x a --≤≠，( ……………………… 10分①0a <时，不等式可化为2()()0x x a≥－1－， 原不等式的解集为2{|1}x x x a≤≥或 …………………… 12分② 0a >时，原不等式可化为2()()0x x a≤－1－ ∴当02a <<时，原不等式的解集为2{|1}x x a≤≤………………………………… 14分当2a =时，原不等式的解集为{|1}x x =………………………………………… 15分 当2a >时，原不等式的解集为2{|1}x x a≤≤…………………………………… 16分 19、(本题满分16分）如图，在C 城周边有两条互相垂直的公路12l l 、，在点O 处交汇，且它们的夹角为90°. 已知OC ＝4 km ，OC 与公路1l 夹角为60°.现规划在公路12l l 、上分别选择A ，B 两处作为交汇点(异于点O)直接新建一条公路通过C 城，设OA ＝x km ，OB ＝y km. (1) 求出y 关于x 的函数关系式并指出它的定义域； (2) 试确定点A ，B 的位置，使△AOB 的面积最小．解：(1) ∵ S △AOC ＋S △BOC ＝S △AOB ，∴ 12x·4sin60°＋12y ·4sin30°＝12xy ， …………………4分整理得y ＝23x x －2，…………………6分过C 作OB 平行线与OA 交于D ，OA>OD ，故x>2.定义域为{x|x>2}．…………………7分(2) S △AOB ＝12xy ＝3x2x －2，(x>2)，S △AOB ＝3x 2x －2＝3（x －2）2＋4（x －2）＋4x －2＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －2）＋4x －2＋4.∵ x －2>0，∴ x －2＋4x －2≥4，当且仅当()x －22＝4即x ＝4时取等号．所以当x ＝4时，S △AOB 有最小值为8 3.…………………15分答：当OA ＝4 km ，OB ＝4 3 km 时，使△AOB 的面积最小．…………………16分20、(本小题满分16分)已知直线220x y -+=经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 为椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线,AS BS 与直线10:3l x =分别交于,M N 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）求证：直线AS 与BS 的斜率的乘积为定值；（3）求线段MN 的长度的最小值解：（I ）由已知得，椭圆C 的左顶点为(2,0),A -上顶点为(0,1),2,1D a b ∴==故椭圆C 的方程为2214x y +=…………………4分 （Ⅱ）设2222000000(,),1144x x S x y y y +=∴=-得 2000200012244SA SB y y y k k x x x ⋅=⋅==-+--故……………………9分 （Ⅲ）（常规方法，函数思想）直线AS 的斜率k 显然存在，且0k >，故可设直线AS 的方程为(2)y k x =+，从而1016(,)33k M ………………11分 由22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)16164k x k x k +++-=0 设11(,),S x y 则212164(2),14k x k --=+得2122814k x k -=+，从而12414k y k=+ 即222284(,),1414k k S k k -++又(2,0)B 由1(2)4103y x k x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得10313x y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩101(,)33N k ∴-……13分 故161||33k MN k=+又16116180,||33333k k k MN k k >∴=+≥⋅= 当且仅当16133k k =，即14k =时等号成立14k ∴=时，线段MN 的长度取最小值83………16分 （Ⅲ）方法二：利用第2问结论设1010(,),(,),0,033M N M N M y N y y y ><则 9116,()101064492233N M N M SA SDM N y y y y k k y y ⋅=⋅==-∴⋅-=+-则………13分故8,3M NMN y y=+≥=当且仅当4()3M Ny y=-=时等号成立即M,N的长度的最小值为83……………16分。

江苏省苏州市2018-2019学年高二上学期期末考试数学试卷（解析版）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.命题：∃x∈R，x2−x+1=0的否定是______．【答案】∀x∈R，x2−x+1≠0【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以∃x∈R，x2−x+1=0的否定是：∀x∈R，x2−x+1≠0．故答案为：∀x∈R，x2−x+1≠0．利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．本题考查特称命题与全称命题的否定关系，考查基本知识的应用．2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=8x的焦点坐标为______．【答案】(2,0)【解析】解：抛物线y2=8x的开口向右，P=4，所以抛物线的焦点坐标(2,0)．故答案为：(2,0)．直接利用抛物线的标准方程，求解抛物线的焦点坐标．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．3.在平面直角坐标系xOy中，三点A(1,0)，B(a,3)，C(0,2)共线，则实数a的值为______．【答案】−12【解析】解：由题意得：3−0 a−1=2−00−1，解得：a=−12，故答案为：−12．根据斜率的公式以及三点共线得到关于a的方程，解出即可．本题考查了三点共线问题，考查直线的斜率问题，是一道常规题．4.在平面直角坐标系xOy中，方程x22−k +y2k−1=1表示的曲线是双曲线，则实数k的取值范围是______．【答案】(−∞,1)∪(2,+∞)【解析】解：若方程x22−k +y2k−1=1表示的曲线为双曲线，则(2−k)(k−1)<0，即(k−2)(k−1)>0，解得k<1，或k>2，即k∈(−∞,1)∪(2,+∞)，故答案为：(−∞,1)∪(2,+∞)．由双曲线方程的特点可得(2−k)(k−1)<0，解之可得k的范围．本题考查双曲线的简单性质，得出(25−k)(16+k)<0是解决问题的关键，属基础题．5.在平面直角坐标系xOy中，点P(x,y)在直线x+y−4=0上，则OP的最小值为______．【答案】2√2【解析】解：∵在平面直角坐标系xOy中，点P(x,y)在直线x+y−4=0上，∴OP的最小值为点O(0,0)到直线x+y−4=0的距离：d=√2=2√2．故答案为：2√2．OP的最小值为点O(0,0)到直线x+y−4=0的距离．本题考查两点间的距离的最小值的求法，考查点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.在平面直角坐标系xOy中，A(−2,0)，B(2,2)，则以线段AB为直径的圆的标准方程为______．【答案】x2+(y−1)2=5【解析】解：A(−2,0)，B(2,2)，则以线段AB为直径的圆的圆心为C(0,1)，半径为r=12|AB|=12×√(2+2)2+(2−0)2=√5，∴所求的圆的标准方程为x2+(y−1)2=5．故答案为：x2+(y−1)2=5．求出线段AB的中点为圆心，半径为12|AB|，再写出圆的标准方程．本题考查了圆的标准方程与应用问题，是基础题．7.函数f(x)=e x−x的单调递增区间为______．【答案】(0,+∞)【解析】解：函数f(x)=e x−x的导数为f′(x)=e x−1，由f′(x)>0，即e x−1>0，e x>1=e0，解得x>0，故答案为：(0,+∞)．求出函数的导数，由导数大于0，结合指数函数的单调性，解不等式即可得到所求增区间．本题考查导数的运用：求单调区间，考查运算能力，属于基础题．8.已知直线l，m及平面α，l⊄α，m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”的______条件.(请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空)【答案】必要不充分【解析】解：由“l⊥α“则直线l垂直平面α中的任意直线，又m⊂α，则“l⊥m”，即“l⊥m”是“l⊥α”的必要条件，由“l⊥m”，则直线l不一定垂直平面α，即“l⊥m”是“l⊥α”的不充分条件，即“l⊥m”是“l⊥α”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分条件由线面垂直的性质定理可知：若“l⊥α“则直线l垂直平面α中的任意直线，又l⊄α，m⊂α，得：“l⊥m”是“l⊥α”的必要条件，由线面垂直的判定定理可知：若“l⊥m”，则直线l不一定垂直平面α，本题考查了直线与平面垂直的判定，充分、必要条件，属简单题9.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如：“堑堵”指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；“阳马”指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在“堑堵”ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，若“阳马”B−A1ACC1的体积为20cm3，则“堑堵”ABC−A1B1C1的体积为______cm3．【答案】30【解析】解：如图，连接A1C，根据等底等高，易得：V B−AA1C =V B−A1C1C=V A1−BCC1=V A1−BC1B1，∵B−A1ACC1的体积为20cm3，∴ABC−A1B1C1的体积为30cm3，故答案为：30．连接A1，C，把三棱柱分为体积相等的三个三棱锥，问题得解．此题考查了三棱柱，三棱锥的体积，难度不大．10.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，F分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点和右焦点，点B，C分别是椭圆的上、下顶点.若AB⊥CF，则该椭圆离心率为______．【答案】√5−12【解析】解：在平面直角坐标系xOy中，点A，F分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点和右焦点，点B，C分别是椭圆的上、下顶点.若AB⊥CF，可得：−ba ⋅bc=−1，可得b2=ac=a2−c2，可得e2+e−1=0，e∈(0,1)，解得e=√5−12．故答案为：√5−12．利用已知条件AB⊥CF，推出方程求出椭圆的离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．11.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.下列命题中：①若m//α，n//α，则m//n；②若m⊥α，m⊥n，则n//α；③若m⊂β，α//β，则m//α．正确命题的序号是______．【答案】③【解析】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在①中，若m//α，n//α，则m与n相交、平行或异面，故①错误；在②中，若m⊥α，m⊥n，则n//α或n⊂α，故②错误；在③中，若m⊂β，α//β，则由面面平行的性质定理得m//α，故③正确．故答案为：③．在①中，m与n相交、平行或异面；在②中，n//α或n⊂α；在③中，由面面平行的性质定理得m//α．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.已知y=kx+b是函数f(x)=lnx+x的切线，则2k+b的最小值为______．【答案】ln2+2【解析】解：根据题意，直线y=kx+b与函数f(x)=lnx+x相切，设切点为(m,lnm+m)，函数f(x)=lnx+x，其导数f′(x)=1x +1，则f′(m)=1m+1，则切线的方程为：y−(lnm+m)=(1m +1)(x−m)，变形可得y=(1m+1)x+lnm−1，又由切线的方程为y=kx+b，则k=1m+1，b=lnm−1，则2k+b=2m +2+lnm−1=lnm+2m+1，设g(m)=lnm+2m +1，其导数g′(m)=1m−2m2=m−2m2，在区间(0,2)上，g′(m)<0，则g(m)=lnm+2m+1为减函数，在(2,+∞)上，g′(m)>0，则g(m)=lnm+2m+1为增函数，则g(m)min=g(2)=ln2+2，即2k+b的最小值为ln2+2；故答案为：ln2+2．根据题意，设切线的坐标为(m,lnm+m)，求出函数f(x)的导数，由导数的几何意义可得切线的方程为：y−(lnm+m)=(1m +1)(x−m)，变形可得y=(1m+1)x+lnm−1，分析可得k=1m+1，b=lnm−1，进而可得2k+b=2m +2+lnm−1=lnm+2m+1，设g(m)=lnm+2m+1，求出g′(m)，利用函数的导数与单调性的关系，分析可得g(m)的最小值，即可得答案．本题考查利用导数分析切线的方程以及函数的单调性与最值，关键是掌握导数的几何意义．13.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x−3)2+(y−4)2=r2和点A(0,−√3)，B(0,√3)，若在圆C上存在点P，使得∠APB=60∘，则半径r的取值范围是______．【答案】[2√5−2,4√2+2]【解析】解：在平面直角坐标系xOy 中，点A(0,−√3)，B(0,√3)，使得∠APB =60∘， 可知P 在以AB 为弦的一个圆上，圆的圆心在AB 的中垂线上，半径为：12×2√3sin60∘=2，则P 的方程为：(x −1)2+y 2=22， 或：(x +1)2+y 2=22，已知圆C ：(x −3)2+(y −4)2=r 2，若在圆C 上存在点P 和，使得∠APB =60∘，就是两个圆有公共点，可得：√(3−1)2+42≤r +2，并且r −2≤√(3+1)2+42解得r ∈[2√5−2,4√2+2]． 故答案为：[2√5−2,4√2+2]．点A(0,−√3)，B(0,√3)，求出点P 的轨迹方程，使得∠APB =60∘，通过两个圆的位置关系转化求解半径r 的取值范围．本题考查直线与圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力，中档题．14. 若函数f(x)=(x −1)(x −a)2−a +1有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是______． 【答案】(−∞,1−3√32)∪(1+3√32,+∞) 【解析】解：f(x)=(x −1)(x −a)2−a +1，∴f′(x)=(x −a)(3x −a −2)令f′(x)=0，解得x =a 或x =a+23，∵f(x)=(x −1)(x −a)2−a +1有三个不同的零点， ∴f(x)极大值f(x)极小值<0， ∴f(a)f(a+23)<0，即(−a +1)[(a+23−1)(a+23−a)2−a +1]<0，整理可得(a−1)2(4(a−1)2−2727)>0，即4(a −1)2−27>0， 解得a <1−3√32或a >1+3√32故答案为：(−∞,1−3√32)∪(1+3√32,+∞) 求出导函数，利用函数的极值的符号，列出不等式组求解即可．本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用.函数的导数的应用，极值的求法，考查分析问题解决问题的能力．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知等腰梯形ABCD ，AB//DC ，AD =BC =4，AB =8，DC =6.以A ，B 为焦点的双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)过C ，D 两点．(1)求双曲线的方程；(2)写出该双曲线的离心率和渐近线方程．【答案】解：(1)等腰梯形ABCD，AB//DC，AD=BC=4，AB=8，DC=6，等腰梯形的高为√42−12=√15，可得A(−4,0)，B(4,0)，C(3,√15)，D(−3,√15)，则CA=√72+15=8，CB=√12+15=4，由2a=CA−CB=4，即a=2，又AB=8，即c=4，b=√c2−a2=2√3，则双曲线的方程为x24−y212=1；(2)双曲线的离心率e=ca=2；渐近线方程为y=±√3x.【解析】(1)由勾股定理求得等腰梯形的高，求出A，B，C，D的坐标，可得CA，CB的距离，由双曲线的定义可得a，再由a，b，c的关系可得b，即可得到双曲线的方程；(2)由离心率公式和渐近线方程即可得到所求．本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查待定系数法和方程思想，以及运算能力，属于基础题．16.如图，AC，DF分别为正方形ABCD和正方形CDEF的对角线，M，N分别是线段AC，DF上的点，且AM=12MC，DN=12NF．(1)证明：MN//平面BCF；(2)证明：MN⊥DC．【答案】解：PC，(1)证明：取DC的三等分点P，使DP=12∵AM=1MC，2∴MP//AD，∴MP//BC，∴MP//平面FBC，NF，∵DN=12∴NP//FC，∴NP//平面FBC，∴平面MNP//平面FBC，∴MN//平面FBC；(2)∵CD⊥CB，CD⊥CF，∴CD⊥平面FBC，∴CD⊥平面MNP，∴CD⊥MN，即MN⊥DC【解析】(1)取DC的三等分点P，通过平面MNP平行平面FCB可得线面平行；(2)利用DC垂直平面FBC，易证．此题考查了线面平行，线面垂直等，难度不大．17.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2+2x−4y+3=0．(1)若圆C的切线l在x轴和y轴上的截距相等，且截距不为零，求切线l的方程；(2)已知点P(x1,y1)为直线y=2x−6上一点，由点P向圆C引一条切线，切点为M，若PM=√2PO，求点P的坐标．【答案】解：(1)根据题意，圆C切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零，则设切线方程为x+y=a(a≠0)，又圆C：(x+1)2+(y−2)2=2，其圆心C(−1,2)，半径r=√2，=√2，则有√1+1解可得：a=−1或a=3，故所求切线方程为x+y+1=0或x+y−3=0；(2)根据题意，由于PM为切线且M为切点，则PM2=PC2−MC2，又由PM=√2PO，则2PO2=PC2−MC2，若点P(x1,y1)，O(0,0)，MC=r=√2，则(x1+2)2+(y1−2)2−2=2(x12+y12)，变形可得：x12+y12−2x1+4y1−3=0，①，点P(x1,y1)为直线y=2x−6上一点，则y1=2x1−6，②联立①②可得：{y1=2x1−6x12+y12−2x1+4y1−3=0，变形可得：5x12−18x1+9=0，解可得x1=35或x1=3；当x1=35时，y1=−245，此时P的坐标为(35,−245)，当x1=3时，y1=0，此时P的坐标为(3,0)则P的坐标为(35,−245)或(3,0)．【解析】(1)根据题意，利用待定系数法给出切线的截距式方程，然后再利用圆心到切线的距离等于半径列方程求系数即可；(2)根据题意，由直线与圆的位置关系可得PM2=PC2−MC2，又由PM=√2PO，则2PO2=PC2−MC2，代入点的坐标可得(x1+2)2+(y1−2)2−2=2(x12+y12)，变形可得：x12+y12−2x1+4y1−3=0，①，又由点P(x1,y1)为直线y=2x−6上一点，则y1=2x1−6，②，联立①②，解可得x1的值，进而计算可得y1的值，即可得答案．本题考查直线与圆的方程以及应用，涉及直线与圆的位置关系，直线与圆相切的性质，属于基础题．18.光对物体的照度与光的强度成正比，比例系数为k1，与光源距离的平方成反比，比例系数为k2(k1,k2均为正常数).如图，强度分别为8，1的两个光源A，B之间的距离为10，物体P在连结两光源的线段AB上(不含A，B).若物体P到光源A的距离为x．(1)试将物体P受到A，B两光源的总照度y表示为x的函数，并指明其定义域；(2)当物体P在线段AB上何处时，可使物体P受到A，B两光源的总照度最小？【答案】解：(1)若物体P到光源A的距离为x，则物体P到光源B的距离为10−x，∵P在线段AB上且不与A，B重合，故0<x<10，∵光对物体的照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比，故P点受A光源的照度为：8k1k2x2，P点受B光源的照度为：k1k2(10−x)2，故问题P收到A，B两光源的总照度y=8k1k2x2+k1k2(10−x)2，x∈(0,10)；(2)∵f(x)=8k1k2x2+k1k2(10−x)2，x∈(0,10)，∴f′(x)=2k1k2(3x−20)(3x2−60x+400)x3(10−x)3，令f′(x)=0，解得：x=203，当0<x <203时，f′(x)<0，故f(x)在(0,203)递减， 当203<x <10时，f′(x)>0， 故f(x)在(203,10)递增， 故当x =203时，f(x)取极小值，且是最小值，故在线段AB 上距光源A 为203处，物体P 受到A ，B 两光源的总照度最小． 【解析】(1)反比求出P 点受A 光源的照度，P 点受B 光源的照度，求和即可；(2)求出函数的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．本题考查了求函数的解析式问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．19. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，右准线方程为x =4√33． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知斜率存在且不为0的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且点A 在第三象限内.M 为椭圆C 的上顶点，记直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2．①若直线l 经过原点，且k 1−k 2=54，求点A 的坐标；②若直线l 过点(−2,−1)，试探究k 1+k 2是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】解：(1)∵椭圆的离心率为√32，右准线方程为x =4√33， ∴{ca=√32a 2c=4√33，解得{a =2c =√3． 又∵b =√a 2−c 2=1， ∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1；(2)①设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，M 为椭圆的上顶点，则M(0,1)， ∵直线l 经过原点，由椭圆对称性可知，B(−x 1,−y 1)， ∵点A(x 1,y 1)在椭圆上，∴x 124+y 12=1，即y 12−1=−x 124．∵k 1=y 1−1x 1，k 2=y 2−1x 2=y 1+1x 1．∴k 1k 2=y 1−1x 1⋅y 1+1x 1=y 12−1x 12=−14．∴{k 1−k 2=54k 1k 2=−14，解得{k 1=1k 2=−14或{k 1=14k 2=−1．∵点A 在第三象限角，∴k 1>12，则k 1=1． 则直线MA 的方程为y =x +1．联立{x 24+y 2=1y =x +1，解得{y 1=1x 1=0或{x 2=−85y 2=−35，∴A(−85,−35). ②直线l 过点(−2,−1)，设其方程为y +1=k(x +2)．联立方程组{x 24+y 2=1y =kx +2k −1，消去y 可得(4k 2+1)x 2+8k(2k −1)x +16k(k −1)=0．当△>0时，由韦达定理可知，x 1+x 2=−8k(2k−1)4k 2+1，x 1x 2=16k(k−1)4k 2+1．∴k 1+k 2=y 1−1x 1+y 2−1x 2=x 1y 2+x 2y 1−(x 1+x 2)x 1x 2=2k +2(k −1)(x 1+x 2)x 1x 2=2k +2(k−1)×[−8k(2k−1)]16k(k−1)=2k +(1−2k)=1．【解析】(1)由已知列关于a ，c 的方程组，求解可得a ，c 的值，再由隐含条件求得b ，则椭圆C 的标准方程可求；(2)①设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，M 为椭圆的上顶点，则M(0,1)，由椭圆对称性可知B(−x 1,−y 1)，由点A(x 1,y 1)在椭圆上，得到y 12−1=−x 124，求出k 1⋅k 2，结合k 1−k 2=54，可得k 1=1，则直线MA 的方程可求，再与椭圆方程联立即可求得A 的坐标；②直线l 过点(−2,−1)，设其方程为y +1=k(x +2)，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系即可得到k 1+k 2是定值．本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．20. 已知函数f(x)=alnx +b(x −1)(x −2)，其中a ，b ∈R ．(1)当b =1时，若f(x)在x =2处取得极小值，求a 的值； (2)当a =1时．①若函数f(x)在区间(1,2)上单调递增，求b 的取值范围； ②若存在实数x 0>1，使得f(x 0)<0，求b 的取值范围． 【答案】解：(1)当b =1时，f(x)=alnx +(x −1)(x −2)， f′(x)=ax +2x −3，∵f(x)在x =2处取极小值，故f′(2)=0，解得：a =−2， 此时，f′(x)=(2x+1)(x−2)x，当x ∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)递减， 当x ∈(2,+∞)时，f′(x)>0，f(x)递增， 故f(x)在x =2处取极小值， 故a =−2符合题意；(2)当a =1时，∵f(x)=lnx +b(x −1)(x −2)， ∴f′(x)=2bx 2−3bx+1x，令g(x)=2bx2−3bx+1，①∵f(x)在(1,2)递增，∴f′(x)≥0在(1,2)恒成立，即g(x)≥0在(1,2)恒成立，1∘当b=0时，则g(x)=1，满足题意，2∘当b≠0时，g(x)的对称轴是x=34<1，故{g(2)≥0g(1)≥0，解得：−12≤b<0或0<b≤1，综上，实数b的范围是[−12,1]；②1∘当b=0时，f(x)=lnx，与题意不符，2∘当b<0时，取x0=3−1b，则x0>1，令ℎ(x)=lnx−x+1，则ℎ′(x)=1x−1，当x∈(0,1)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)递增，当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)递减，故ℎ(x)≤ℎ(1)=0，即lnx≤x−1，故f(x0)=lnx0+b(x0−1)(x0−2)≤(x0−1)+b(x0−1)(x0−2)=2b−1<0，故b<0符合题意；3∘当0<b≤1时，∵g(x)=2bx2−3bx+1在(1,+∞)递增且g(1)=1−b≥0，故f′(x)=g(x)x≥0在(1,+∞)恒成立，故f(x)在(1,+∞)递增，故f(x)≥f(1)=0恒成立，与题意不符；4∘当b>1时，∵g(1)=1−b<0，g(2)=2b+1>0，由零点存在性原理可知，存在x1∈(1,2)，使得g(x1)=0，故当x∈(1,x1)时，f′(x)<0，f(x)递减，取x0=x1>1，则f(x0)<f(1)=0，符合题意，综上，实数b的范围是(−∞,0)∪(1,+∞)．【解析】(1)代入b的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值点，从而求出a的值即可；(2)代入a的值，①求出函数的导数，通过讨论b的范围求出函数的单调区间，从而确定b的范围即可；②通过讨论b的范围，求出函数的导数，结合函数的单调性确定b的范围即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查分类讨论思想，转化思想以及函数恒成立问题，是一道综合题，。

2019高二开学检测数学（文）试题一、选择题1. 在△ABC中，若a=2b sin A,则B为A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】，，则或，选C.2. 在△ABC中，，则S△ABC= （）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】,选C3. 边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和的（）A. 90°B. 120°C. 135°D. 150°【答案】B解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°﹣θ，有余弦定理可得，cosθ==，易得θ=60°，则最大角与最小角的和是180°﹣θ=120°，故选B．考点：余弦定理．4. 等差数列{a n}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为 ( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B...............5. 已知△ABC的周长为9，且，则cosC的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，不妨设，,则，选A.6. 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（）A. 米B. 米C. 200米D. 200米【答案】A【解析】如图,易知,在中，，在中，，由正弦定理，得，即；故选A.7. 已知△ABC中，a＝4，b＝4，∠A＝30°，则∠B等于( )A. 30°B. 30°或150°C. 60°D. 60°或120°【答案】D【解析】试题分析：，；，，或，选D.考点：正弦定理、解三角形8. 已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为( )A. 9B. 18C. 9D. 18【答案】C【解析】试题分析：∠A＝30°，∠B＝120°所以∠C＝30°考点：解三角形9. 某人朝正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好km，那么x的值为（）A. B. 2 C. 2或 D. 3【答案】C【解析】试题分析：依题意，由余弦定理得，解得或.考点：余弦定理的应用10. 在中,则=（）A. 或B.C. D. 以上都不对【答案】C【解析】试题分析：由得考点：正弦定理11. 在三角形ABC中,已知A,b=1,其面积为,则为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意得，三角形的面积，所以，又，所以，又由余弦定理，可得，所以，则，故选B．考点：解三角形．【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理和余弦定理、三角形的面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中利用比例式的性质，得到是解答的关键，属于中档试题．12. 在△ABC中，若，则等于（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】，则，，，，，，选C.13. 在△ABC中，若，则A等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】 ,，则或，选D.14. 在△ABC中，若，则其面积等于（）A. 12B.C. 28D.【答案】D【解析】，，，选D.15. 在△ABC中，若，则∠A=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】即：则，，，选C.16. 在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A. 直角三角形B. 等腰或直角三角形C. 不能确定D. 等腰三角形【答案】B【解析】由正弦定理，得，所以，，又因为，所以或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故选A.【方法点睛】本题主要考查利用正弦定理、二倍角的正弦公式及三角形内角和定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.17. 在△ABC中，若则A=( )A. B. C. D.【答案】B【解析】, , ,,则，选B .18. 在△ABC中，若，则最大角的余弦是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，最大角为，，选C.19. 在△ABC中，若，则与的大小关系为（）A. B. C. ≥ D. 、的大小关系不能确定【答案】A【解析】解：因为在中，，利用正弦定理，则可知a>b，那么再利用大边对大角，因此选A20. 在△ABC中，，则等于A. 1B. 2C.D. 3【答案】B【解析】根据正弦定理，，，，则，则，，选B 。

2024~2025学年第一学期高二期中调研试卷数学（答案在最后）注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）､多项选择题（第9题~第11题）､填空题（第12题~第14题）､解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请务必将自己的学校、班级、姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区城内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.清注意字体工整，笔迹清楚.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知经过点()()1,2,,4A B m 的直线l 的斜率为2，则m 的值为（）A.1-B.0C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据直线的斜率公式计算可得答案.【详解】因为经过点()()1,2,,4A B m 的直线l 的斜率为2，所以1m ≠，且4221-=-m ，解得2m =.故选：D.2.等差数列{}n a 中，1352,10a a a =+=，则6a 的值为（）A.7B.8C.9D.10【答案】A 【解析】【分析】首先由等差数列的通项公式求出公差d ，则6a 可求.【详解】设等差数列的公差为d ，则3512610a a a d +=+=，因为12a =，所以1d =，所以615257a a d =+=+=，故选：A.3.已知动点M 与两定点()()0,0,0,3O A 的距离之比为12，则动点M 的轨迹方程为（）A .228120x y x +-+= B.228120x y y +-+=C.22230x y x ++-= D.22230x y y ++-=【答案】D 【解析】【分析】设s ，然后根据题意建立等式化简即可.【详解】设s ，由题可知()222222123043x y x y y x y +=⇒++-=+-故选：D4.在2和8之间插入3个实数,,a x b 使得2,,,,8a x b 成等比数列，则x 的值为（）A.4-B.4-或4C.4D.5【答案】C 【解析】【分析】根据等比中项求解即可.【详解】由x 为等比中项可知，22816x =⨯=，又22a x =可知0x >，所以4x =，故选：C5.若两直线()12:220,:3110l x ay l a x ay ++=---=平行，则实数a 的取值集合是（）A.10,6⎧⎫⎨⎬⎩⎭B.{}0 C.16⎧⎫⎨⎬⎩⎭D.1,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】B 【解析】【分析】根据两直线平行得到方程和不等式，求出0a =.【详解】由题意得()2310a a a -+=且()12310a ---≠，解得0a =.故选：B6.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11S 为定值时272k a a a ++也是定值，则k 的值为（）A.9B.11C.13D.不能确定【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的性质可得15a d +为定值，结合基本量法可求k 的值.【详解】因为11S 为定值且11611S a =，故6a 为定值，故15a d +为定值，其中d 为公差.而()2711242614(7)k a a a a d d k d a k d ++=+++-=++，故当且仅当720k +=即13k =时，272k a a a ++为定值.故选：C.7.已知直线1:20l x y -=与2:30l x y +-=，过点()3,2P 的直线l 被12,l l 截得的线段恰好被点P 平分，则这三条直线12,,l l l 围成的三角形面积为（）A.163B. C.8D.323【答案】A 【解析】【分析】设直线l 与直线12,l l 的两个交点为,A B ，设(,2)A a a ，则(6,42)B a a --，代入直线2:30l x y +-=，即可得点A ，进而可得到直线l 的方程，再求12,l l 交点到l 的距离，利用面积公式计算即可.【详解】设直线l 与直线12,l l 的两个交点为,A B ，且设(,2)A a a ，则由题意可知，点(,2)A a a 关于点()3,2P 的对称点(6,42)B a a --在2l 上，所以64230a a -+--=，解得73a =，所以714(,)33A ，112(,)33B -，所以3AB ==,因为直线l 过点()3,2P ，714(,)33A ，所以直线l 的斜率14234733k -==--，所以直线l 的方程为：()243y x -=--，即4140x y +-=，联立12,l l ：2030x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得12,l l 的交点坐标为()1,2，所以()1,2到直线:l 4140x y +-=的距离为17d ==，所以这三条直线12,,l l l 围成的三角形面积为1316172312S AB d =⨯⨯=⋅=.故选：A.8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11222,,1,,,n n n a n n a a a n n ++-⎧==⎨-⎩为奇数为偶数则18S 的值为（）A.1023B.1461C.1533D.1955【答案】B 【解析】【分析】先判断数列{}2n a 为等比数列，求出其通项公式，再求数列{}21n a -的通项公式，分组求和，可得问题答案.【详解】由题意：2122122a a =+⨯-=，()22122212n n a a n -=+--21244n a n -=+-()2222244n a n n -=--+-⎡⎤⎣⎦222n a -=.所以{}2n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以22nn a =，所以()1212222222n n n a a n n ---=--=-+.所以1317a a a +++= ()()018222212929+++-++++⨯ 92124518=--⨯+439=，2418a a a +++= 129222+++ 10221022=-=.所以1843910221461S =+=.故选：B【点睛】方法点睛：类似这种数列问题，一般是有规律的，可以先求出数列的前几项，观察数列的规律，再想办法证明即可.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不答得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.9.已知数列是等差数列，是等比数列，*,,,m n p q ∈N .（）A.若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+B.若m n p q a a a a +=+，则m n p q +=+C.若m n p q +=+，则m n p q b b b b =D.若m n p q b b b b =，则m n p q +=+【答案】AC 【解析】【分析】利用等差数列、利用等差数列的性质判断即可.【详解】设等差数列的公差为d ，当m n p q +=+时，()()1111m n a a a m d a n d+=+-++-()()()()1111222211p q a m n d a p q d a p d a q d a a =++-=++-=+-++-=+，故A 正确；当公差0d =时，是常数列，m n p q a a a a +=+，但m n +与p q +不一定相等，故B 不正确；设等比数列的公比为t ，若“m n p q +=+”，则11222211111111m n m n p q p q m n p q b b b t b t b tb t b t b t b b --+-+---=⋅===⋅=，故C 正确；当公比1t =时，是常数列，m n p q b b b b =，但m n +与p q +不一定相等，故D 不正确.故选：AC.10.已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A.点(),n n a 在同一条直线上B.点(),n n S 在同一条直线上C.点,nS n n⎛⎫⎪⎝⎭在同一条直线上D.点()()11,nk n k n S S ++-（,n k 均为正整数，且k 为常数）在同一条直线上【答案】ACD 【解析】【分析】结合等差数列的通项公式与前n 项和公式，逐一进行判断即可.【详解】对A ：因为()111n a a n d dn a d =+-=+-，0d ≠，所以点(),n n a 都在直线1y dx a d =+-上，故A 正确；对B ：因为()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，所以点(),n n S 都在二次函数2122d d y x a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭上，故B 错误；对C ：因为122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以点,n S n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭都在直线122d d y x a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭上，故C 正确；对D ：因为()()()()1111112nk n k n k n k S S n ka d ++⋅+-⎡⎤⎣⎦-=++()112nk nk nka d⋅---()()22112k k d ka k d n +=-++，所以点()()11,nk n k n S S ++-都在直线y =()2212k k d ka k dx +-+上，故D 正确.故选：ACD11.已知直线:20l kx y k --+=，圆22:4O x y +=，则（）A.l 与坐标轴的正半轴围成的三角形面积最大值是4B.若l 与圆O 相交于,A B 两点，且90AOB ∠=︒，则2k =-±C.若圆O 上恰有四个点到l 的距离为1，则34k >D.若对于两个不同的k 值，l 与圆O 分别相切于点P ，Q ，则PQ 所在直线的方程是240x y +-=【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，根据题意知直线l 的斜率0k <，然后表示出三角形的面积，利用基本不等式，即可解决；对于B ，由题意得弦长，进而得圆心到直线的距离，即可求解k 的值；对于C ，由题意得圆心到直线的距离01d ≤<，即可求解k 的范围；对于D ，将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题，即可解决.【详解】对于A ，由20kx y k --+=得()21y k x -=-，所以直线过点()1,2，又因为直线l 与坐标轴的正半轴围成的三角形，所以0k <；令0x =，得2y k =-+，令0y =，得21x k=-+，所以直线l 与两坐标轴的正半轴的交点分别为()0,2k -+，21,0k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以直线l 与坐标轴的正半轴围成的三角形面积()12212S k k ⎛⎫=⨯-+-+ ⎪⎝⎭()1442k k ⎡⎤⎛⎫=+-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1442⎡≥+=⎢⎢⎣；当且仅当4k k-=-，即2k =-时，等号成立，所以三角形面积最小值是4，故A 不正确；对于B ，因为90AOB ∠=︒，所以AB ==，所以12AB =，所以圆心()0,0到直线20kx y k --+=的距离d ==，即=，解得2k =-±B 正确；对于C ，因为圆O 上恰有四个点到l 的距离为1，所以圆心()0,0到直线20kx y k --+=的距离[)0,1d =，解得34k >，故C 正确；对于D ，因为直线20kx y k --+=恒过点()1,2C ，所以直线PQ 就是经过以()1,2C 为圆心，PC 为半径的圆C 和圆22:4O x y +=的交点所在的直线，OC ==，所以1PC ==，所以圆C 的方程为()()22121x y -+-=，所以直线PQ 的方程为240x y +-=，故D 正确.故选：BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案写在答题卡相应的位置上.12.已知()()3,4,5,6A B --两点到直线:10l ax y ++=的距离相等，则a 的值为__________.【答案】2-或54-【解析】【分析】根据点到直线的距离公式列式求解即可.=，即3357a a +=+，解得2a =-或54-.故答案为：2-或54-.13.已知等比数列{}n a 满足6117101,2a a a a +==-，则116a a +=__________.【答案】72-【解析】【分析】利用基本量法可求1a 与公比，故可求116a a +.【详解】设公比为q .因为710611a a a a =，故61161112a a a a +=⎧⎨=-⎩，解得61121a a =⎧⎨=-⎩或者61112a a =-⎧⎨=⎩，若61121a a =⎧⎨=-⎩，则512q =-且1524a q ==-，此时()151167412a a q +=-+=-，若61112a a =-⎧⎨=⎩，则52q =-且15112a q -==，此时()116171822a a +=-=-，故答案为：72-.14.如图，已知点()2,0A ，点B 为圆221:9O x y +=上的动点，若圆222:1O x y +=上存在一点M ，使得AM BM ⊥，则A 的取值范围是__________.【答案】31,31⎡⎤-⎣⎦【解析】【分析】以,MA MB 为邻边，作矩形MADB ，则AB MD =，证明出2222OA OB OM OD +=+，从而得到3OD =D 的轨迹为以O 为圆心，233131MD -≤≤，得到答案.【详解】以,MA MB 为邻边，作矩形MADB ，则AB MD =，由矩形性质可得2222OA OB OM OD +=+，证明如下：设,,AM DB m BM AD n MAO θ====∠=，过点,,M B D 分别为MQ ⊥OA ，BE ⊥OA ，DW ⊥OA ，垂足分别为,,Q E W ，过点M 作MF ⊥BE ，垂足为F ，则sin ,cos ,sin ,cos MQ EF m AQ m AW MF QE n DW BF n θθθθ========，故222222sin OM OQ MQ OQ m θ=+=+，()()222222cos sin cos OD OQ AQ AW DW OQ m n n θθθ=+++=+++2222cos 2cos 2sin 2cos sin OQ m OQm OQn mn n θθθθθ=+++++，所以2222222cos 2sin 2cos sin OM OD OQ m n OQm OQn mn θθθθ+=+++++，()()()()22222sin cos sin OB OQ QE BF EF OQ n n m θθθ=+++=+++22222222sin sin cos 2cos sin sin OQ OQn n n mn m θθθθθθ=+++++，()()222222cos 2cos cos OA OQ AQ OQ m OQ OQm m θθθ=+=+=++，所以2222222cos 2sin 2cos sin OB OA OQ m n OQm OQn mn θθθθ+=+++++，证毕，即2491OD +=+，故212,OD OD ==，点D 的轨迹为以O 为圆心，所以11OD OM MD OD OM =-≤≤+=，左边等号成立的条件为,,O M D 三点共线，且O 在,M D 之间，右边等号成立的条件为,,O M D 三点共线，且M 在,O D 之间，则A 的取值范围是1,1⎡⎤⎣⎦故答案为：1,1⎡⎤-⎣⎦【点睛】关键点点睛：作出辅助线，得到AB MD =，证明出2222OA OB OM OD +=+，从而得到OD =得到D 点轨迹，数形结合进行求解.四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应证明过程或演算步骤.15.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4234,32n n S S a a ==+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-（2）()2323nn T n =-+【解析】【分析】（1）计算出等差数列的首项和公差，从而求得n a .（2）利用错位相减求和法求得n T .【小问1详解】设等差数列的公差为d ，依题意，()()()1111464231312a d a d a n d a n d ⎧+=+⎪⎨⎡⎤+-=+-+⎪⎣⎦⎩，1121d a a d =⎧⎨=-⎩，解得11,2a d ==，所以21n a n =-.【小问2详解】由（1）得()1212n n b n -=-⋅，所以()0121123252212n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⨯ ()1232123252212n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ，两式相减得()231222212n nn T n -=++++--⨯ ()()1412121212n n n --=+--⨯-()3223n n =--，所以()2323nn T n =-+.16.已知ABC V 的三个顶点是()()()1,5,5,7,3,3A B C ---，求：（1）边BC 上的中线所在直线的方程；（2）边BC 上的高所在直线的方程；（3）ABC ∠的角平分线所在直线的方程.【答案】（1）50x y -=（2）270x y +-=（3）20x y --=【解析】【分析】（1）对于求边BC 上的中线所在直线方程：首先要找到BC 中点坐标，根据中点坐标公式，然后利用两点式求直线方程；（2）对于求边BC 上的高所在直线方程：先求BC 边的斜率，根据斜率公式2121y y k x x -=-，高与BC 垂直，两条垂直直线斜率乘积为1-，再利用点斜式求直线方程；（3）对于求ABC ∠的角平分线所在直线方程：先求AB 和BC 边的斜率，根据夹角公式，设角平分线斜率为k ，求出k ，再利用点斜式求出直线方程.【小问1详解】首先求BC 中点坐标，已知(5,7),(3,3)B C ---，根据中点坐标公式，BC 中点(1,5)D --，已知中线过(1,5)A 和(1,5)D --两点，根据两点式515511y x --=----，即51102y x --=--，化简得55(1)y x -=-，整理得50x y -=.【小问2详解】先求BC 边的斜率，已知(5,7),(3,3)B C ---，根据斜率公式37413582BC k -+===+，因为高与BC 垂直，设高的斜率为k ，则112k ⨯=-，解得2k =-，又因为高过(1,5)A 点，根据点斜式52(1)y x -=--，整理得270x y +-=.【小问3详解】先求AB 边的斜率57122156AB k +===+，BC 边的斜率12BC k =，设角平分线斜率为k ，根据夹角公式得122||||11212k k k k --=++，化简212||||122k k k k --=++交叉相乘得|(2)(2)||(12)(12)|k k k k -+=-+，继续化简22|4||41|k k -=-，即22441k k -=-或22414k k -=-，继续化简21k =-（舍去），或21k =，即1k =±，因为角平分线的斜率应该在AB k 和BC k 之间，所以1k =，又因为角平分线过(5,7)B --点，根据点斜式71(5)y x +=⨯+，整理得20x y --=.17.已知数列{}{},n n a b 满足112,224,n n n n n n a a b n b a b ++=-+⎧⎨=-++⎩且115,12a b ==-.（1）求3a ；（2）证明数列12n a n ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求n a .【答案】（1）252（2）证明见详解；1132n n a n -=++【解析】【分析】（1）已知11,a b 的值，代入递推公式得出22,a b ，再代入递推公式即可得到3a 的值.（2）由两式消元得到11244n n a b n +++=+，将1n +变为n 得到等式，代入①式消元得到132n n a a n +=-，构造出数列12n a n ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭，得到等式，即可证明数列是等比数列，由等比数列的通项公式得出n a .【小问1详解】当1n =时，21121111222243a ab b a b ⎧=-+=⎪⎨⎪=-++=-⎩，当2n =时，3222542a ab =-+=，【小问2详解】∵112224n n n n n n a a b n b a b ++=-+⎧⎨=-++⎩①②，∴2⨯+①②得到11244n n a b n +++=+，∴24n n a b n +=，则42n n b n a =-代入①得：()1422n n n a a n a n +=--+，则132n n a a n+=-∴()1111322n n a n a n +⎛⎫-+-=-- ⎪⎝⎭，且11112a --=，∴数列12n a n ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭是以1为首项，3为公比的等比数列.∴1132n n a n ---=，∴1132n n a n -=++18.已知圆22:4O x y +=内有一点()01,0P -，倾斜角为α的直线l 过点0P 且与圆O 交于,A B 两点.（1）当135α= 时，求AB 的长；（2）是否存在弦AB 被点0P 三等分？若存在，求出直线l 的斜率；若不存在，请说明理由；（3）记圆O 与x 轴的正半轴交点为M ，直线MA 的斜率为1k ，直线MB 的斜率为2k ，求证：12k k 为定值.【答案】（1（2）存在，153k =±（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意求出直线方程，利用圆的几何性质求弦长即可；（2）假设存在，求出弦心距O ，讨论直线的斜率是否存在，利用点到直线距离即可得解；（3）分类讨论直线斜率是否存在，存在时由根与系数的关系及斜率公式化简即可证明.【小问1详解】因为135α= ，所以1l k =-，直线l 的方程为10x y ++=，设圆心到直线的距离为d，则2d ==，所以AB ===【小问2详解】取AB 的中点为Q，如图，假设存在弦AB 被点0P 三等分，设OQ d =，0P Q x =，则3AQ x =，2220222194d x OP d x OA ⎧+==⎪⎨+==⎪⎩，解得4d =，当l斜率不存在时，14d =≠，故l 斜率存在，设l 斜率为k ，则l ：0kx y k -+=，4d==，解得3k=±，即存在弦AB被点0P三等分，直线l的斜率为3±.【小问3详解】由题意知，()2,0M,当直线l斜率不存在时，1A Bx x==-，()()223A By y==，不妨取A By y==，则123,0012312k k-==-==----，此时121.333k k=-=-直线l斜率存在时，设方程为()1y k x=+，代入圆的方程224x y+=可得()22221240k x k x k+++-=，设()()1222,,,A x yB x y，则22121222,2411k kx x x xk k-+=-=++，又()()12121211221100,2222k x k xy yk kx x x x++--====----，所以()()1212121122k x k xk kx x++=⋅=--2222222222242111(3)1.93422411k kkk k kkk kk k⎛⎫--+⎪++-⎝⎭==-⎛⎫---+⎪++⎝⎭综上，12k k为定值13-.19.已知点()()11,1,0,2P P-，向量()*11n nPP PP PP n+=+∈N，点,,n nO P Q在一条直线上，且满足2n nOP OQ⋅=.（1）求nOP；（2）证明nQ在同一个圆上，并求该圆的圆心M和半径r；（3）过nQ引圆M的切线，记切线与x轴的交点为nR，求证：122nOR OR OR+++<.【答案】（1）()1,1n n-+；（2）M 11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭和2r =；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）设n P 坐标，利用向量的坐标表示结合等差数列的通项公式计算即可；（2）设n Q 坐标，利用向量共线的充要条件及数量积的坐标表示消元计算即可；（3）根据直线与圆的位置关系计算切线方程得出n R 的坐标，再利用放缩法计算和即可.【小问1详解】设(),n n n P a b ，则由题意可知()()()111,11,11,1n n n n a b a b +++-=+-+，所以1111n n n n a a b b ++=+⎧⎨=+⎩，即{}{},n n a b 分别成公差为1的等差数列，由已知110,2a b ==，则()()111111n n a a n n b b n n ⎧=+-=-⎪⎨=+-=+⎪⎩，即()1,1n P n n -+，所以()1,1n OP n n =-+ ；【小问2详解】设(),n n n Q x y ，即(),N n n OQ x y = ，因为,,n n O P Q 共线，且满足2n n OP OQ ⋅= ，则有()()()()110112n n n n n x n y n x n y ⎧+--=⎪⎨-++=⎪⎩，当2n ≥时，易知11n n y n x n +=-，即n n n nx y n y x +=-，此时()()221120n n n n n n n x n y x x y y -++=⇒++-=，即22111222n n x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当1n =时，解方程组可得1101x y =⎧⎨=⎩，也满足上式，所以(),n n n Q x y 在以11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，2为半径的圆上，圆心M 11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭和半径2r =；【小问3详解】由（2）()()()()110112n n n n n x n y n x n y ⎧+--=⎪⎨-++=⎪⎩，解方程得221111n n n x n n y n -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，则2222112112112112n MQ n n n n k n n n n ---+++==++-++，所以n Q 处的切线方程斜率为222121n n n n +---，则切线方程为222212111211n n n n y x n n n n ++--⎛⎫-=- ⎪+--+⎝⎭，令0y =得2221x n n =+-，即2222,02121n n R OR n n n n ⎛⎫⇒= ⎪+-+-⎝⎭，易知()()2222112211111n n n n n n n n n ⎛⎫=≤=- ⎪+-++-++⎝⎭，则1211112121211n OR OR OR n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≤-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2221n =-<+，证毕.【点睛】方法点睛：根据向量的坐标运算结合消参法可计算轨迹方程；根据直线与圆的位置关系得出切线方程，再由放缩法证明即可.。

高二入学测试数学试题说明：1．试卷分第I卷和第II卷，满分150分，时间120分钟．2．将第I卷和第II卷的答案填涂在答题卡相应的答题栏内．第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知x1，x2，…，x n的平均数为10，标准差为2，则2x i -1，2x2 -1，…，2x n -1的平均数和标准差分别为( )A．19和2 B．19和4 C．20和2 D．20和42．在三棱锥的六条棱中任意选择两条，则这两条棱是一对异面直线的概率为( ) A．B．C．D．3．函数的最小正周期为π，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象( )A．关于直线x=一对称B．关于点对称C．关于点对称D．关于直线x= 对称4．满足条件a=4，b=5，A=45°的△ABC的个数为( )A． 1 B． 2 C．无数个不存在5．已知向量，向量，则的最大值与最小值的和为( )A ．4 B．4C．16 D．4+46．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别a，b，c，已知a= ，c=2，cosA= ，则b 的值为( )A．B．C．2 D．37．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且其面积则角C的度数为( )．A．B．C．D．8．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+ c2= a2+ bc. 若sinB·sinC=sin2A，则△ABC的形状是( )A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形9．已知．则的值等于( )A．B．C．D．10. tan10°tan 20°+ tan 20°tan 60° + tan 60° tan10° = ( )A, 1 B. 2 C, tan10° D. tan20°11.设，不等式8x2一(8 sin a)x+cos2a≥0对x∈R恒成立，则a的取值范围为( )A．B．C．D．12．定义向量一种运算“”如下：对任意的令，下面错误的是( )A．若与共线，则B．C．对任意的，有D．第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S={A，B，C，D，O}，向量集合T={|M，N∈S，且M，N不重合} ，则集合T中元素的个数为．14.利用随机模拟方法计算y=x2与y=4围成的面积时，先利用计算器产生两组[0，1]区间上的均匀随机数a l=RAND，b1=RAND，然后进行平移与伸缩变换a=4a1-2，b= 4b1．试验进行了100次，前98次中，落在所求面积区域内的样本点数为65,己知最后两次试验的随机数为(0.3，0.08)，(0.4，0.3)，那么本次模拟得到的面积的近似值为（保留小数点后两位）．15．己知=3，=4，与的夹角为60°，则与的夹角余弦值为．16.在△ABC中，角A，B、C所对的边分别为a，b，c，其中a=2，c=3，且满足(2a-c) cosB=bcosC，则= .三，解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.化简(1)(2)18．若点(p，q)，在|p|<3，|q|≤3中按均匀分布出现．(1)点M(x，y)横、纵坐标分别由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，则点M(x，y)落在上述区域的概率？(2)试求方程x2 +2 px - q2 +1=0有两个实数根的概率．19,某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题：(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图：(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分；(3)从成绩是[40，50)和[90，100]的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率。

2018-2019学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.直线x+y+√3=0的倾斜角为______．2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AD1与平面ABCD所成的角的大小为______．3.已知A（-1，-3），B（5，3），则以线段AB为直径的圆的方程为______．（写成标准方程）4.直线l经过点（1，1），且在两坐标轴上的截距相反，则直线l的方程是______．5.若直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，则m的值为______．6.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是______．7.圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线x+y-1=0对称的圆的方程是______．8.正三棱锥P-ABC中，若底面边长为a，侧棱长为√2a，则该正三棱锥的高为______．9.已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列命题：①若m⊂β，α∥β，则m∥α；②若m∥β，α∥β，则m∥α；③若m⊥α，β⊥α，m∥n，则n∥β；④若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n．其中正确的结论有______．（请将所有正确结论的序号都填上）10.设点A（-2，3），B（3，2）若直线ax+y+2=0与线段AB有公共点，则a的取值范围是______．11.有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为______（结果用π表示）．12.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2-2x+2y+1=0的两条切线，A，B为切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为______．13.△ABC的一个顶点是A（3，-1），∠B，∠C的平分线分别是x=0，y=x，则直线BC的方程是______．14.已知定点M（0，2），N（-2，0），直线l：kx-y-3k+2=0（k为常数），对l上任意一点P，都有∠MPN为锐角，则k的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.如图：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点（1）求证：BD1∥平面AEC（2）求证：AC⊥BD1．16.设△ABC顶点坐标A（0，a），B（-√3a，0），C（√3a，0），其中a＞0，圆M为△ABC的外接圆．（1）求圆M的方程（2）当a变化时，圆M是否过某一定点，请说明理由．17.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，BC⊥BC1，AB=BC1，E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．（1）求证：EF∥面BCC1B1；（2）求证：BE⊥平面AB1C1．18.已知直线l过点P（1，1），并与直线l1：x-y+3=0和l2：2x+y-6=0分别交于点A、B，若线段AB被点P平分．求：（1）直线l的方程；√5的圆的方程．（2）以O为圆心且被l截得的弦长为8519.已知等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC=√2，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：平面PAD⊥平面PCD．（2）在线段PB上是否存在一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分的体积之比为V多面体PDCMA：V三棱锥M-ACB=2：1？（3）在M满足（2）的条件下，判断PD是否平行于平面AMC．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3）和直线l：y=2x-4，设圆C的半径为1，圆心在直线l上．（1）若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线．①求圆C的方程；②求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．答案和解析1.【答案】135°【解析】解：直线x+y+=0的斜率为-1；所以直线的倾斜角为135°．故答案为135°．求出直线的斜率，即可得到直线的倾斜角．本题考查直线的有关概念，直线的斜率与直线的倾斜角的关系，考查计算能力．2.【答案】45°【解析】解：∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，∴D1D⊥平面ABCD，∴直线AD是直线AD1在平面ABCD内的射影，∴∠D1AD=α，就是直线AD1平面ABCD所成角，在直角三角形AD1AD中，AD1=D1D，∴∠D1AD=45°故答案为：45°在正方体ABCD-A1B1C1D1中，证明D1D⊥平面ABCD，则∠D1AD=α，就是直线AD1平面ABCD所成角，解直角三角形D1AD即可．考查直线和平面所成的角，求直线和平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属基础题3.【答案】（x-2）2+y2=18【解析】解：∵A（-1，-3），B（5，3），则以线段AB为直径的圆的圆心C（2，0），半径为AC==3，故圆的方程为（x-2）2+y2=18，故答案为：为（x-2）2+y2=18．先根据条件求出圆心坐标和半径，可得线段AB为直径的圆的方程．本题主要考查求圆的方程的方法，关键是求出圆心坐标和半径，属于基础题．4.【答案】x-y=0【解析】解：当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，故直线l的斜率为1，∴所求直线方程为y=x，即x-y=0．当直线l不过原点时，设其方程+=1，又l经过点（1，1），则可得-=0≠1，此时不存在，故所求直线l的方程为x-y=0．故答案为x-y=0当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，所求直线方程为y=x，当直线l不过原点时，此时a不存在．本题主要考查用点斜式、截距式求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．5.【答案】-7【解析】解：∵直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，∴，解得m=-7．∴m的值为-7．故答案为：-7．由直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，能求出m的值．本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】x-y+1=0【解析】解：易知点C为（-1，0），而直线与x+y=0垂直，我们设待求的直线的方程为y=x+b，将点C的坐标代入马上就能求出参数b的值为b=1，故待求的直线的方程为x-y+1=0．故答案为：x-y+1=0．先求圆心，再求斜率，可求直线方程．明确直线垂直的判定，会求圆心坐标，再求方程，是一般解题思路．7.【答案】（x+2）2+（y+1）2=1【解析】解：（x-2）2+（y-3）2=1的圆心为（2，3），半径为1点（2，3）关于直线x+y-1=0对称的点为（-2，-1）∴圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线x+y-1=0对称的圆的圆心为（-2，-1），半径为1 即圆的方程为（x+2）2+（y+1）2=1故答案为：（x+2）2+（y+1）2=1先求出圆心和半径，然后根据对称性求出圆心关于直线x+y-1=0对称的圆的圆心，而圆对称形状不变，从而半径不变，即可求得圆的方程．本题主要考查了关于直线对称的圆的方程，同时考查了对称点的求解，属于基础题．8.【答案】√15a3【解析】解：如图，取BC中点D，连接AD，并取底面中心O，则O为AD的三等分点，且OA=，PA=，在Rt△POA中，求得OP=a，即该正三棱锥的高为，故答案为：．作出底面中心O，利用直角三角形POA容易求出高．此题考查了三棱锥高的求法，属容易题．9.【答案】①④【解析】解：①是正确命题，因为两个平面平行时，一个平面中的线与另一个平面一定没有公共点，故有线面平行；②不正确，因为一条直线平行于两个平行平面中的一个平面，则它与另一个平面的位置关系是平行或者在面内，故不正确；③不正确，因为由m⊥α，m∥n可得出n⊥α，再由β⊥α，可得n∥β或n⊂β，故不正确；④是正确命题，因为两个直线分别垂直于两个互相平行的平面，一定可以得出两线平行．综上，①④是正确命题故答案为①④本题研究空间中线面平行与线线平行的问题，根据相关的定理对四个命题进行探究，得出正误，即可得到答案，①②③由线面平行的条件判断，④由线线平行的条件判断，易得答案本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握线面平行的方法与线线平行的方法是准确判断正误的关键，几何的学习，要先记牢定义与定理，再对应其几何特征进行理解培养出空间形象感知能力，方便做此类题 10.【答案】（-∞，-43]∪[52，+∞）【解析】解：∵直线ax+y+2=0恒过定点（0，-2），斜率为-a ， 如图，，，∴若直线ax+y+2=0与线段AB 有交点， 则-a≥或-a≤-．即a≤-或a≥． 故答案为：（-∞，-]∪[，+∞）． 由题意画出图形，数形结合得答案．本题考查了直线系方程的应用，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题． 11.【答案】5π【解析】解：∵圆柱型铁管的高为3π，底面半径为1，又∵铁丝在铁管上缠绕2圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形如下图示：其中每一个小矩形的宽为圆柱的周长2πcm，高为圆柱的高3π，则大矩形的对称线即为铁丝的长度最小值．此时铁丝的长度最小值为：=5π故答案为：5π．本题考查的知识点是圆柱的结构特征，数形结合思想、转化思想在空间问题中的应用，由圆柱型铁管的高为3π，底面半径为1，铁丝在铁管上缠绕2圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形，然后根据平面上求两点间距离最小值的办法，即可求解．解答本题的关键是要把空间问题转化为平面问题，另外使用数形结合的思想用图形将满足题目的几何体表示出来，能更加直观的分析问题，进而得到答案．12.【答案】2√65【解析】解：如图，直线3x+4y+8=0与圆x2+y2-2x+2y+1=0相离，化圆x2+y2-2x+2y+1=0为（x-1）2+（y+1）2=1，圆心坐标为C（1，-1），半径为1．连接CA，CB，则CA⊥PA，CB⊥PB，则四边形PACB的面积等于两个全等直角三角形PAC与PBC的面积和．∵AC 是半径，为定值1，要使三角形PAC 的面积最小，则PC 最小， |PC|=，∴|PA|=．∴四边形PACB 面积的最小值为2×．故答案为：．由题意画出图形，可知要使四边形PACB 面积最小，则P 为过圆心作直线3x+4y+8=0的垂线得垂足，由点到直线的距离公式求得PC ，再由勾股定理得弦长，代入三角形面积公式得答案．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．13.【答案】2x -y +5=0【解析】解：∵∠B 、∠C 的平分线分别是x=0，y=x ，∴AB 与BC 对于x=0对称，AC 与BC 对于y=x 对称． ∴A （3，-1）关于x=0的对称点A'（-3，-1）在直线BC 上， A 关于y=x 的对称点A''（-1，3）也在直线BC 上． 代入两点式方程可得，故所求直线BC 的方程：2x-y+5=0． 故答案为：2x-y+5=0分析题意，求出A 关于x=0，y=x ，的对称点的坐标，都在直线BC 上，利用两点式方程求解即可．本题考查点关于直线对称点的求法，直线方程的求法，属中档题．14.【答案】（-∞，4−√3014）∪（4+√3014，+∞） 【解析】解：由于对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，故以MN 为直径的圆与直线l ：kx-y-3k+2=0相离．而MN的中点，即圆心为H（-1，1），则点H到直线l：kx-y-3k+2=0的距离大于半径MN=，即＞，即（1-4k）2＞2（1+k2），解得k＜，或 k＞，故答案为：（-∞，）∪（，+∞）由题意可得，以MN为直径的圆与直线l：kx-y-2k+2=0相离，故圆心H（-1，1）到直线l：kx-y-3k+2=0的距离大于半径，即＞，由此解得k 的范围．本题主要考查点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．15.【答案】证明：（1）连接BD交AC于F，连EF．因为F为正方形ABCD对角线的交点，所长F为AC、BD的中点．在DD1B中，E、F分别为DD1、DB的中点，所以EF∥D1B．又EF⊂平面EAC，所以BD1∥平面EAC．（2）由正方形的性质可得AC⊥BD又由正方体的几何特征可得：D1D⊥平面ABCD又∵AC⊂平面ABCD∴AC⊥D1D又∵D1D∩BD=D∴AC⊥平面D1DB∵BD1⊂平面D1DB∴AC⊥BD1【解析】（1）欲证BD1∥平面EAC，只需在平面EAC内找一条直线BD1与平行，根据中位线定理可知EF∥D1B，满足线面平行的判定定理所需条件，即可得到结论；（2）根据正方形的性质及正方体的几何特征，结合线面垂直的性质，可得AC⊥BD，AC⊥D1D，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面D1DB，再由线面垂直的性质即可得到AC⊥BD1本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，熟练掌握空间线线，线面垂直及平行的判定定理，性质定理及几何特征是解答此类问题的关键．16.【答案】解：（1）△ABC是等腰三角形，对称轴为x=0．外接圆的圆心肯定在x=0上．作AC的中垂线，垂足为D，交y轴于M，M即为外接圆的圆心．AC=a．因为A（0，a），C（√3a，0），故∠MAC=60°，AD=12△AMD又是一个∠MAD=60°的直角三角形．故AM=2a．所以，点M的坐标为（0，-a），圆的半径r=MA=MB=MC=2a．故圆M的方程为：x2+（y+a）2=4a2（a＞0）．（2）假设圆M过某一定点（x，y）．那么当a变化时，圆M仍然过点（x，y），此点不会随着a的变化而变化．那么，现在令a变成了b，即a≠b．有x2+（y+b）2=4b2，两式相减化简得：（2y+a+b）（a-b）=4（a+b）（a-b）．因为a≠b，即a-b≠0，所以，2y+a+b=4（a+b）．得：y=3（a+b）．2得出，y是一个根据a和b取值而变化的量．与我们之前假设的y是一个不随a变化而变化的定量矛盾，所以，圆M不过定点．【解析】（1）确定圆心与半径，即可求圆M的方程（2）利用反证法进行判断．本题考查圆的方程，考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）∵E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．∴EF是三角形AA1C1的中位线，∴EF∥AA1，又AA1∥BB1，∴EF∥BB1，∵EF⊄面BCC1B1，BB1⊂面BCC1B1，∴EF∥面BCC1B1．（2）∵AB⊥BC，BC⊥BC1，∴BC⊥面ABC1，∴BC⊥BE，同时BC∥B1C1，∵AB=BC1，E是线段AC1的中点．∴BC⊥AC1，∵AC1∩B1C1=C1，∴BE⊥平面AB1C1【解析】（1）根据线面平行的判定定理，证明EF∥BB1；从而证明EF∥面BCC1B1；（2）根据线面垂直的判定定理证明BE⊥平面AB1C1．本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的判定，要求熟练掌握线面平行和垂直的判定定理．并能灵活应用．18.【答案】解：（1）依题意可设A （m ，n ）、B （2-m ，2-n ），则{2(2−m)+(2−n)−6=0m−n+3=0，即{2m +n =0m−n=−3，解得m =-1，n =2．即A （-1，2），又l 过点P （1，1），用两点式求得AB 方程为y−12−1=x−1−1−1，即：x +2y -3=0． （2）圆心（0，0）到直线l 的距离d =|0+0−3|√1+4=3√5，设圆的半径为R ，则由R 2=d 2+(4√55)2， 求得R 2=5，故所求圆的方程为x 2+y 2=5．【解析】（1）依题意可设A （m ，n ）、B （2-m ，2-n ），分别代入直线l 1 和l 2的方程，求出m=-1，n=2，用两点式求直线的方程．（2）先求出圆心（0，0）到直线l 的距离d ，设圆的半径为R ，则由，求得R 的值，即可求出圆的方程．本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，用两点式求直线的方程，属于中档题．19.【答案】解：（1）因为PDCB 为等腰梯形，PB =3，DC =1，PA =1，则PA ⊥AD ，CD ⊥AD ．又因为面PAD ⊥面ABCD ，面PAD ∩面ABCD =AD ，CD ⊂面ABCD ，故CD ⊥面PAD ．又因为CD ⊂面PCD ，所以平面PAD ⊥平面PCD ． （2）所求的点M 即为线段PB 的中点，证明如下： 设三棱锥M -ACB 的高为h 1，四棱锥P -ABCD 的高为h 2当M 为线段PB 的中点时，ℎ1ℎ2=MB PB =12．所以V M−ACBVp−ABCD=13S MCB ℎ113S ABCD ℎ2=13所以截面AMC 把几何体分成的两部分V PDCMA ：V M -ACB =2：1．（3）当M 为线段PB 的中点时，直线PD 与面AMC 不平行．证明如下：（反证法）假设PD ∥面AMC ，连接DB 交AC 于点O ，连接MO ． 因为PD ⊂面PDB ，且面AMC ∩面PBD =MO ，所以PD ∥MO ． 因为M 为线段PB 的中点时，则O 为线段BD 的中点，即DOOB =11． 面AB ∥DC ，故DOOB =DCAB =12，故矛盾．所以假设不成立，故当M 为线段PB 的中点时，直线PD 与平面AMC 不平行． 【解析】（1）证明平面与平面垂直是要证明CD ⊥面PAD ；（2）已知V 多面体PDCMA ：V 三棱锥M-ACB 体积之比为2：1，求出V M-ACB ：V P-ABCD 体积之比，从而得出两多面体高之比，从而确定M 点位置．（3）利用反证法证明当M 为线段PB 的中点时，直线PD 与平面AMC 不平行． 本题主要考查面面垂直的判定定理、多面体体积、线面平行判定以及反证法的应用，属于中等难度题．20.【答案】解：（1）由{y =x −1y=2x−4得圆心C 为（3，2），∵圆C 的半径为1，∴圆C 的方程为：（x -3）2+（y -2）2=1，显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为y =kx +3，即kx -y +3=0， ∴√k 2+1=1∴|3k +1|=√k 2+1，∴2k （4k +3）=0∴k =0或者k =−34，∴所求圆C 的切线方程为：y =3或者y =−34x +3．即y =3或者3x +4y -12=0．（2）∵圆C 的圆心在在直线l ：y =2x -4上， 所以，设圆心C 为（a ，2a -4），则圆C 的方程为：（x -a ）2+[y -（2a -4）]2=1， 又∵MA =2MO ，∴设M 为（x ，y ）则√x 2+(y −3)2=2√x 2+y 2整理得：x 2+（y +1）2=4设为圆D ， ∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上 即：圆C 和圆D 有交点，∴1≤CD ≤3，∴|2−1|≤√a 2+[(2a −4)−(−1)]2≤|2+1|， 由5a 2-12a +8≥0得a ∈R ， 由5a 2-12a ≤0得0≤a ≤125，综上所述，a 的取值范围为：[0，125]． 【解析】（1）求出圆心C 为（3，2），圆C 的半径为1，得到圆的方程，切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为y=kx+3，即kx-y+3=0，利用圆心到直线的距离等于半径，求解k 即可得到切线方程．（2）设圆心C 为（a ，2a-4），圆C 的方程为：（x-a ）2+[y-（2a-4）]2=1，设M 为（x ，y ）列出方程得到圆D的方程，通过圆C和圆D有交点，得到1≤CD≤3，转化求解a的取值范围．本题考查直线与圆的方程的综合应用，圆心切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．。

江苏省苏州市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1. 下列不等式中成立的是（ ） A. 若a b >，则22ac bc > B. 若a b >，则22a b > C. 若0a b <<，则22a ab b << D. 若0a b <<，则11a b> 【答案】D 【解析】试题分析：A 中当0c 时不成立；B 中若0,1a b ==-不成立；C 中2,1a b =-=-不成立，所以D 正确 考点：不等式性质2.不等式()43x x -<的解集为（ ） A. {|1x x <或}3x > B. {0x x <或}4x > C. {}13x x << D. {}04x x <<【答案】A 【解析】 【分析】化成2430x x -+>即可求解.【详解】由题：等式()43x x -<化简为：2430x x -+>()()130x x -->解得：1x <或3x >. 故选：A【点睛】此题考查解一元二次不等式，关键在于准确求出二次函数的零点.3.双曲线221916y x -=离心率为（ ）A.53B.54C.3D.4【答案】A 【解析】 【分析】由题：3,4,5a b c ===，即可求得离心率.【详解】在双曲线221916y x -=中，3,4,5a b c ===所以离心率53c e a ==. 故选：A【点睛】此题考查根据双曲线方程求离心率，关键在于准确辨析基本量,,a b c 的取值. 4.椭圆的两个焦点分别为()18,0F -、()28,0F ，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的方程为A. 22136100x y +=B. 22110036x y +=C. 221400336x y +=D. 2212012x y +=【答案】B 【解析】 【分析】由焦点坐标，可知椭圆的焦点在x 轴上，且c=8，再根据椭圆的定义得到a=10，进而求得b ，即可得椭圆的方程.【详解】已知两个焦点的坐标分别是F 1（-8，0），F 2（8，0）， 可知椭圆的焦点在x 轴上，且c=8，由椭圆的定义可得：2a=20，即a=10，由a ，b ，c 的关系解得b=22a c -=6∴椭圆方程是22110036x y +=,故选B【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的定义和性质，涉及到两焦点的距离问题时，常采用定义法求椭圆的标准方程.5.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ， 22a ， 3a 成等差数列，若11a =，则4s =（ ） A. 7 B. 8C. 15D. 16【答案】C 【解析】 试题分析：由数列为等比数列，且成等差数列，所以，即，因为，所以，解得：，根据等比数列前n 项和公式．考点：1．等比数列通项公式及前n 项和公式；2．等差中项．6.已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 是CD 的中点，直线1A E 与平面1B BC 所成角的正弦值为（ ） A.12B.13C.223【答案】B 【解析】 【分析】直线1A E 与平面1B BC 所成角即直线1A E 与平面1A AD 所成角，根据定义找出线面角即可. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，平面1B BC //平面1A AD ，所以直线1A E 与平面1B BC 所成角即直线1A E 与平面1A AD 所成角， 连接11,A E A D ，CD ⊥与平面1A AD ，所以1EA D ∠就是直线1A E 与平面1A AD 所成角， 在1Rt EA D ∆中，11tan 22DE EA D A D ∠== 所以11sin 3EA D ∠=. 故选：B【点睛】此题考查求直线与平面所成角的大小，根据定义找出线面角即可.7.中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ） A. 174斤 B. 184斤C. 191斤D. 201斤【答案】B 【解析】 用128,,,a a a 表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列128,,,a a a 是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴1878179962a ⨯+⨯=， 解得165a =．∴865717184a =+⨯=．选B ．8.关于x 的不等式()221ax x -<恰有2个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A. 3443,,2332⎛⎤⎛⎤-- ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ B. 3443,,2332⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C. 3443,,2332⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D. 3443,,2332⎡⎫⎡⎫--⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】B 【解析】 【分析】二次不等式作差，利用平方差公式因式分解，分析解集的端点范围，结合不等式恰有两个整数解求另一个端点的范围. 【详解】由题：()221ax x -<()2210ax x --<()()()()11110a x a x +---<恰有2个整数解，所以()()110a a +->，即1a >或1a <-，当1a >时，不等式解为1111x a a <<+-，因为110,12a ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭，恰有两个整数解即：1,2， 所以1231a <<-，22133a a -<≤-，解得：4332a ≤<；当1a <-时，不等式解为1111x a a <<+-，因为11,012a ⎛⎫∈- ⎪-⎝⎭，恰有两个整数解即：1,2--，所以1321a -≤<-+，()()21131a a -+<≤-+，解得：3423a -<≤-， 综上所述：4332a ≤<或3423a -<≤-. 故选：B【点睛】此题考查含参数的二次不等式，根据不等式的解集特征求参数范围，关键在于准确进行分类讨论.二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9.下列判断中正确的是（ ）A. 在ABC ∆中，“60B =︒”的充要条件是“A ，B ，C 成等差数列”B. “1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件C. 命题p ：“0x ∃>，使得210x x ++<”，则p 的否定：“0x ∀≤，都有210x x ++≥”D. 若平面内一动点到定点的距离等于它到定直线的距离，则该动点的轨迹是一条抛物线 【答案】AB 【解析】 【分析】在ABC ∆中，A ，B ，C 成等差数列，即60B =︒，所以A 选项正确；2320x x -+=的解为1x =或2x =，所以B 选项正确；C 选项中p 的否定应该是：“0x ∀>，都有210x x ++≥”，所以该选项错误；D 选项中，若这个定点在这条定直线上，则动点的轨迹是一条直线，所以该选项错误. 【详解】A 选项：在ABC ∆中， “A ，B ，C 成等差数列”即2,3B AC B π=+=，等价于“60B =︒”，所以它们互为充要条件，该选项正确；B 选项：“2320x x -+=”即“1x =或2x =”，所以“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件，该选项正确；C 选项： 命题p ：“0x ∃>，使得210x x ++<”，则p 的否定是：“0x ∀>，都有210x x ++≥”，所以该选项说法错误；D 选项：若平面内一动点到定点的距离等于它到定直线的距离，当这个定点在定直线上时，该动点的轨迹是一条直线，所以该选项说法错误. 故选：AB【点睛】此题考查命题真假性的判断，涉及充分条件与必要条件和含有一个量词的命题的否定，关键在于准确判断其说法的正误.10.已知向量a b b c a c ⋅=⋅=⋅，()3,0,1b =-，()1,5,3c =--， 下列等式中正确的是（ ）A. ()a b c b c ⋅=⋅ B. ()()a b c a b c +⋅=⋅+C. ()2222a b ca b c ++=++ D. a b c a b c ++=--【答案】BCD 【解析】 【分析】根据坐标求出3030a b a c b c ⋅=⋅=⋅=-++=，根据向量的运算法则即可判定. 【详解】由题3030b c ⋅=-++=，所以0a b b c a c ⋅=⋅=⋅=()0,0a b c b c ⋅=⋅=不相等，所以A 选项错误；()()0a b c a b c a b b c a b a c +⋅-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅=，所以()()a b c a b c +⋅=⋅+，所以B 选项正确；()2222222222a b c a b c a b b c a c a b c ++=+++⋅+⋅+⋅=++，所以C 选项正确； ()2222222222a b ca b c a b b c a c a b c --=++-⋅+⋅-⋅=++，即()()22a b c a b c ++=--，a b c a b c ++=--，所以D 选项正确.故选：BCD【点睛】此题考查空间向量的运算，根据运算法则进行运算化简即可.11.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2n n S a a =-（其中a 为常数），则下列说法正确的是（ ）A. 数列{}n a 一定是等比数列 B. 数列{}n a 可能是等差数列 C. 数列{}n S 可能是等比数列 D. 数列{}n S 可能是等差数列【答案】BD 【解析】 【分析】根据()2n n S a a =-，()112,,2n n S a a n N n --=-∈≥分析出12n n a a -=，对常数a 分类讨论进行辨析.【详解】()2n n S a a =-，()112,,2n n S a a n N n --=-∈≥，两式相减：122n n n a a a -=-，12n n a a -=，2n ≥若0a =，令()111,20n a a ==-，10a =，则0n a =，此时是等差数列，不是等比数列，若0a ≠，令()111,2n a a a ==-，12a a =，则12n n a a -=，2n ≥，此时不是等差数列， 所以数列{}n a 不一定是等比数列，可能是等差数列，所以A 错B 正确；又()()122,2,n n n n S a a S S a n n N *-=-=--≥∈，得122n n S S a -=+，要使{}n S 为等比数列，必有若0a =，已求得此时令()111,20n a a ==-，10a =， 则0,0n n a S ==，此时{}n S 是一个所有项为0的常数列，所以{}n S 不可能为等比数列，所以C 错误D 正确. 故选：BD【点睛】此题考查根据数列的前n 项和n S 和通项n a 的关系辨析数列特点，采用通式通法，对参数进行分类讨论.12.已知方程22mx ny mn +=和0mx ny p ++=（其中0mn ≠且,m n R ∈，0p >），它们所表示的曲线在同一坐标系中可能出现的是（ ）A. B. C. D.【答案】AC 【解析】 【分析】将直线和曲线方程化简成m p y x n n =--，221x y n m+=，结合每个选项依次对参数的正负分析.【详解】由题：0mn ≠且,m n R ∈，0p >，方程22mx ny mn +=即221x y n m+=，0mx ny p ++=即m p y x n n =--，斜率m n -，y 轴截距p n-， A 选项根据椭圆，0n m >>，直线斜率10m n -<-<，y 轴截距0pn-<，可能； B 选项根据椭圆，0m n >>，直线斜率1m n -<-，但是y 轴截距0pn->不可能，所以B 选项不可能；C 选项根据双曲线，0,0n m ><，直线斜率0m n ->， y 轴截距0pn-<，可能； D 选项根据双曲线，0,0m n ><，直线斜率应该0mn->，与图中不一致，所以该选项不可能. 故选：AC【点睛】此题考查直线与曲线方程以及图象关系的辨析，根据图象逐一分析.三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．其中第15题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空， 每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13.已知向量()1,4,3a =，()2,,6b t =--，若//a b ，则实数t 的值为_______． 【答案】-8 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示即可求出参数的值.【详解】向量()1,4,3a =，()2,,6b t =--， //a b ， 所以存在λ使b a λ=，()()2,,61,4,3t λ--=，即2463t λλλ-=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得：28t λ=-⎧⎨=-⎩.故答案为：8-【点睛】此题考查根据向量平行的坐标表示求参数的值，属于简单题目.14.已知正实数x ，y 满足41x y +=，则11x y+的最小值为_______．【答案】9 【解析】 【分析】对11x y+乘以4x y +，利用基本不等式求解. 【详解】由题：41,0,0x y x y +=>>，则()11114x x y y y x +=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 414x y xy=+++14≥+ 9=当且仅当4y xx y=时，取得等号， 即224y x =时，取得等号，此时2x y =，41x y += 即11,36x y ==时，取得最小值9. 故答案为：9【点睛】此题考查利用基本不等式求最值，注意利用基本不等式解题口诀“一正二定三取等”，求得最值要考虑能否取等号.15.早在一千多年之前，我国已经把溢流孔用于造桥技术，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同．根据图上尺寸，在平面直角坐标系xOy 中，桥拱所在抛物线的方程为_______，溢流孔与桥拱交点 B 的坐标为_______．【答案】 (1). 280x y =-（或2180y x =-） (2). 510,4⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】①设桥拱所在抛物线的方程22x py =-，经过()20,5-即可求解；②根据四个溢流孔轮廓线相同，从右往左设第一个抛物线()21:142C x p y '-=-，第二个抛物线()22:72C x p y '-=-，根据曲线过点()20,5A -，先求抛物线方程，再求点B 的坐标. 【详解】①设桥拱所抛物线方程22x py =-，由图，曲线经过()20,5-，代入方程()22025p =-⨯-，解得：40p =，所以桥拱所在抛物线方程280x y =-；②四个溢流孔轮廓线相同，所以从右往左看，设第一个抛物线()21:142C x p y '-=-，第二个抛物线()22:72C x p y '-=-， 由图抛物线1C 经过点()20,5A -，则()()2201425p '-=-⨯-，解得185p '=， 所以()2236:75C x y -=-， 点B 即桥拱所在抛物线280x y =-与()2236:75C x y -=-的交点坐标， 设(),,714B x y x <<由()22803675714x yx y x ⎧=-⎪⎪-=-⎨⎪<<⎪⎩，解得：1054x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以点510,4B ⎛⎫-⎪⎝⎭. 故答案为：①280x y =-（或2180y x =-）；②510,4⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】此题考查根据实际意义求抛物线方程和交点坐标，关键在于合理建立模型正确求解. 16.已知一族双曲线n E ：2221x y n n-=+（n *∈N ，且2020n ≤），设直线2x =与n E 在第一象限内的交点为n A ，由n A 向n E 的两条渐近线作垂线，垂足分别为n B ，n C ．记n n n A B C ∆的面积为n a ，则1232020a a a a +++⋅⋅⋅+=______. 【答案】5052021【解析】 【分析】设出n A 的坐标，依次表示出,n n n n A B B C 的长度，求出n n n A B C ∆的面积，即可求解. 【详解】由题：双曲线渐近线方程为y x =±，即0,0x y x y +=-=，两条渐近线互相垂直， 设()00,n A x y 是双曲线上的点，则220021x y n n-=+ ()00,n A x y 到两条渐近线的距离分别为：n n n n B C A A ==，n n n n A B A C ⊥，所以n n n A B C ∆的面积为()22002111112244n n n n n B C a A A x y n n =⋅==-=⨯+， 即11141n a n n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭所以12320201111111422320202021a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=⨯-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11142021⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭5052021=故答案为：5052021【点睛】此题考查根据双曲线上点的坐标关系表示三角形面积，结合数列裂项相消求和，综合性比较强.四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.解下列不等式： （1）24120x x --≤； （2）223x x +<-． 【答案】（1）{}|26x x -≤≤ （2）{|3x x <或}8x > 【解析】 【分析】（1）因式分解成()()620x x -+≤，即可求出解集； （2）不等式变形2203x x +-<-，整理得803x x ->-，等价于解()()830x x -->. 【详解】解：（1）由24120x x --≤，可知()()620x x -+≤， 解得26x -≤≤，所以不等式的解集为{}|26x x -≤≤.（2）由223x x +<-可知2203x x +-<-，整理得803x x -+<-，即803x x ->-， 不等式等价于()()830x x -->，解得3x <或8x >，所以不等式的解集为{|3x x <或}8x >.【点睛】此题考查解二次不等式，关键在于进行因式分解，分式不等式一定转化为与之同解的整式不等式.18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且35141350,,,S S a a a +=成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设{}nnb a 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）21n a n =+；（2）3nn T n =⋅【解析】【详解】试题分析：（1）由3550S S +=，1413,,a a a 成等比数列求出等差数列{}n a 的两个基本量1a 及公差0d ≠从而得数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 是一个等差数列与一个等比较数列之积，用错位相减法求其和． 解题时注意不要混淆公式． 试题解析：（1）依题得1121113254355022(3)(12)a d a d a d a a d ⨯⨯⎧+++=⎪⎨⎪+=+⎩ 解得13{2a d ==，1(1)32(1)21n a a n d n n ∴=+-=+-=+，即21n a n ∴=+ （2）1113,3(21)3n n n nn n n b b a n a ---==⋅=+⋅ 2135373(21)3n n T n -∴=+⋅+⋅+⋅⋅⋅++⋅①2313335373(21)3(21)3n n n T n n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅++⋅②两式相减得：2312323232323(21)3n nn T n --=+⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅-+⋅13(13)32(21)31323n nn n n --=+⋅-+⋅-=-⋅ 3n n T n ∴=⋅考点：1.等差数列的通项公式；2.等比数列的通项公式；3.数列的前项和公式；4.错位相消法19.如图1，一个铝合金窗是由一个框架和部分外推窗框组成，其中框架设计如图2，其结构为上、下两栏，下栏为两个完全相同的矩形，四周框架和中间隔栏的材料为铝合金，宽均为()8cm ，上栏和下栏的框内矩形高度（不含铝合金部分）比为1:2，此铝合金窗占用的墙面面积为()220000cm ，设该铝合金窗的宽和高分别()a cm ，()b cm ，铝合金的透光部分的面积为()2S cm（外推窗框遮挡光线部分忽略不计）．（1）试用a ，b 表示S ；（2）若要使S 最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？【答案】（1）S 6420512243a b ⎛⎫=-+⎪⎝⎭ （2）宽为4003cm ，高为150cm 【解析】 【分析】（1）根据题意设上栏框内高度为()h cm ，下栏框内高度为()2h cm ，则324h b +=，243b h -=，即可表示出透光面积； （2）根据基本不等式642051224205126400141123S a b ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭，等号成立的时刻即为所求.【详解】解：（1）铝合金窗的宽和高分别为()a cm ，()b cm ，0a >，0b >， 由已知20000ab =，①设上栏框内高度为()h cm ，下栏框内高度为()2h cm ， 则324h b +=，243b h -=，所以透光部分的面积()()()()22424241633b b S a a --=-+-6420512243a b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；（2）因为0a >，0b >，所以642464003a b +≥==， 所以642051224205126400141123S a b ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当64243a b =时等号成立，此时98b a =， 代入①式得4003a =，从而150b =，即当4003a =，150b =时，S 取得最大值.答：铝合金窗的宽度为4003cm ，高为150cm 时，可使透光部分的面积最大. 【点睛】此题考查函数模型的建立，根据函数关系利用基本不等式或勾型函数单调性求解最值.20.已知抛物线24x y =，过点()4,2P 作斜率为k 的直线l 与抛物线交于不同的两点M ，N ．（1）求k 的取值范围；（2）若OMN ∆为直角三角形，且OM ON ⊥，求k 的值．【答案】（1）2k >或2k <（2）12k =- 【解析】 【分析】（1）设直线的方程，联立直线和抛物线的方程得241680x kx k -+-=，解2420k k -+>即可；（2）结合韦达定理，计算0OM ON ⋅=的坐标表示即可. 【详解】解：（1）由题意，设直线l 方程为()24y k x -=-，联立方程组()2424x yy k x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，消去x 得241680x kx k -+-=，要使直线l 与抛物线交于不同的两点M ，N ，则()21641680k k ∆=-->，即2420k k -+>，解得2k >或2k <综上，k 的取值范围为2k >+2k <（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，由（1）可知1x ，2x 是241680x kx k -+-=的两个根， 则124x x k +=，12168x x k =-，法一：因为OMN ∆为直角三角形，且OM ON ⊥， 所以0OM ON ⋅=，即12120x x y y +=，因为()()12124242y y kx k kx k =-+⋅-+()()()2212124242k x x k k x x k =--++-()()()()22221684424242k k k k k k =---+-=-，所以有()2168420k k -+-=， 解得12k =或12k =-， 当12k =时，直线过原点，O ，M ，N 不能够构成三角形， 所以12k =-.法二：因为OMN ∆为直角三角形，且OM ON ⊥， 所以0OM ON ⋅=，即12120x x y y +=，因为()2221212124416x x x x y y =⋅=，所以()21212016x x x x +=， 因为120x x ≠，所以1216x x =-， 即16816k -=-，解得12k =-， 此时满足（1）中k 的取值范围，所以12k =-. 【点睛】此题考查直线与抛物线的位置关系，根据位置关系求解参数的范围，根据其中的几何关系结合韦达定理求解参数.21.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，2AB =，AF t =，M 是线段EF 的中点．（1）求证：//AM 平面BDE ；（2）若1t =，求二面角A DF B --的大小；（3）若线段AC 上总存在一点P ，使得PF BE ⊥，求t 的最大值． 【答案】（1）证明见解析；（2）3π；（32. 【解析】 【分析】 （1）设ACBD O =，连结AM ，EO ，通过证明OAME 为平行四边形得//AM EO ，或者建立空间直角坐标系，利用向量证明平行；（2）建立空间直角坐标系，利用向量方法分别求出两个半平面的法向量的夹角即可得到二面角的大小；（3）根据向量的坐标表示，0PF BE ⋅=得()2210t λ--+=恒有解即可求出t 的范围.【详解】解：（1）法一：设ACBD O =，连结AM ，EO ，因为矩形ACEF 中M 是线段EF 的中点，O 是线段AC 的中点， 所以//EM AO ，EM AO =，所以OAME 为平行四边形， 故//AM EO ，又AM ⊄平面BDE ，EO ⊂平面BDE ，所以//AM 平面BDE ；法二：由题意，正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直， 因为平面ABCD平面ACEF CA =，EC AC ⊥，所以EC ⊥平面ABCD ，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CE 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系， 因为2AB =，AF t =，M 是线段EF 的中点，则()2,0,0D，()2,2,0A，()0,2,0B ，()0,0,E t ，()2,2,Ft ，22,,22M t ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，从而22,,22AM t ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()2,0,DE t =-，()2,2,0BD =-，()0,2,DF t =，设平面BDE 的法向量为(),,n x y z =，则由00n DE n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可知20220x tz x y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，不妨令1x =，则1y =，2z =，从而平面BDE 的一个法向量为21,1,n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 计算可知2220AM n ⋅=--+=，又AM ⊄平面BDE ， 所以AM n ⊥，从而//AM 平面BDE .（2）若1t =，则()2,2,0BD =-，()0,2,1DF =，平面ADF 的一个法向量为()1,0,0p =，设平面BDF 的法向量为(),,q x y z =，则由00q DF q BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可知20220y z x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，不妨令1x =，则1y =，2z =-，从而平面BDF 的一个法向量为()1,1,2q =-， 设二面角A DF B --的平面角为θ， 因为θ为锐角，所以11cos cos ,122p q θ===⨯， 所以二面角A DF B --的大小为3π. （3）因为点P 在线段AC 上，而()2,2,0CA =，设CP CA λ=，其中[]0,1λ∈， 则()2,2,0CP λλ=，从而P 点坐标为()2,2,0λλ，于是()22,22,PF t λλ=--，而()0,2,BE t =-，则由PF BE ⊥可知0PF BE ⋅=，即()2210t λ--+=， 所以()2212t λ=-≤，解得2t ≤，故t 的最大值为2.【点睛】此题考查立体几何中的证明和计算问题，利用空间向量解决二面角的大小和探索性的问题，解体更加简便.22.如图，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，P 为椭圆上在第一象限内一点．（1）若1221PF F PAF PBF S S S ∆∆∆==． ①求椭圆的离心率e ；②求直线1PF 的斜率．（2）若2PAF S ∆，12PF F S ∆，1PBF S ∆成等差数列，且130F BO ∠≤︒，求直线1PF 的斜率的取值范围．【答案】（1）①13e =；②3k = ；（2k ≤<【解析】【分析】 （1）①根据122PF F PAF S S ∆∆=得122F F F A =，即2a c c -=，可得离心率；②设1PF 的直线方程，由121PF F PBF S S ∆∆=，得111122PF PF =即可求得斜率； （2）根据130F BO ∠≤︒得离心率的范围1152e <≤，根据2PAF S ∆，12PF F S ∆，1PBF S ∆成等差数列，计算化简得6b k c a=-，平方处理成关于离心率e 的函数关系，利用函数单调性求范围. 【详解】解：（1）①因为122PF F PAF S S ∆∆=，所以122F F F A =，所以2a c c -=，即3a c =，所以13e =. ②设1PF 的直线方程为()y k x c =+，因为121PF F PBF S S ∆∆=，所以111122PF PF =， 所以2b kc kc -=，则2b kc kc -=±，因为P 在第一象限，所以0b k c <<， 所以3b kc =，因3a c =，所以b =，所以3k =. （2）设12PF F S t ∆=，则22PAF a c S t c ∆-=，因为P 在第一象限，所以b k c<，1122PBF PF F S b kc S kc ∆∆-==，所以12PBF b kc S t kc∆-=⋅， 因2PAF S ∆，12PF F S ∆，1PBF S ∆成等差数列，所以222a c b kc t t t c kc--=+⋅， 所以4kc ak ck b kc =-+-，所以()6k c a b -=，所以6b k c a=-， 所以6b b c a c <-，所以115e <<，又由已知130F BO ∠≤︒，所以11sin 2F BO ∠≤， 因为1sin F BO e ∠=，所以1152e <≤， 因为2222222236123612b a c k c ac a c ac a-==-+-+()2222113612161e e e e e --==-+-， 令61m e =-，所以16m e +=， 22221113526136m k m m m +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==-- ⎪⎝⎭235111363535m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 因为1152e <≤，所以125m <≤， 所以1152m ≤<，所以232416k ≤<， 因为P 为椭圆上在第一象限内一点，所以0k >，所以4k ≤<【点睛】此题考查根据椭圆基本量的关系求离心率和直线斜率，根据直线与椭圆形成三角形面积关系，求解斜率范围，涉及函数与方程思想，转化与化归思想.。