15动力学2

=
48EI 192EI 192EI + =
1 192EI 1 w= = = 134 . 16 s m 5m l3
2)求β
=
1 1
2
3)求ymax， Mmax
w
2
=1.552
5l 3 1.552 20103 5 4 3 3 y max = P = P = 5 . 75 10 m 5 192EI 1929010 1 1 M max = ( P)l = 1.552204 = 31.04kN.m 4 4
3 4 3 g 39.7 对于本例，采用较小的截 = 48 EIg Ql = 48 2 . 1 10 7480 980 35 400 = 57 .4 1 S 3570 w= st 面的梁既可避免共振，又 1 = 2 n 60 = 2 3 . 14 500 60 = 52 . 3 S 能获得较好的经济效益。 1 1 2）求动力系数β = = = 5.88 2 2 2 2 1 w 152.3 39.7 57.4 1.35
t
临界阻尼常数cr为ξ=1时的阻尼常数。（振与不振的分界点）
= c 2mw
cr = 2mw = 2 mk
= cc r
阻尼比。反映阻尼情况的基本参数。
3)ξ>1 强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。
§15-3 单自由度体系的受迫振动
受迫振动（强迫振动）：结构在动力荷载作用下的振动。
& y 弹性力－ky、惯性力 m& 和荷载P(t)之间的平衡方程为:
1
按自振频率振动
按荷载频率振动
过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段； 平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）
平稳阶段：
y = y st
1 1
2
w
2
sint
1 1 2 w 2
最大动位移（振幅）为：
[ y ]max = y st
[ y ]max 1 = 动力系数β为： = y st 1 2 w 2 重要的特性： 当θ/ω→0时,β→1，荷载变化 得很慢，可当作静荷载处理。 3 当0< θ/ω <1时,β>1，并且随 θ/ω的增大而增大。 2 当θ/ω →1时,β→∞。即当荷载 频率接近于自振频率时，振幅会 1 无限增大。称为“共振”。通常 w 0 1 2 3 把0.75< θ/ω <1.25称为共振区。 当θ/ω >1时,β的绝对值随θ/ω 的增大而减小。当θ很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。
1 lh 2h lh 2 = = EI 2 3 3EI
w=
1 m 11=来自3EI mlh2例6、求图示结构的自振频率。 解：求 k k11 k
3 EI l3
3EI l3
k11 m k
EI
3EI k11 = k + 3 l
1
l
k11 w= = m
+k m
•对于静定结构一般计算柔度系数方便。 •如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点 都不能发生转动（如横梁刚度为∞刚架)计算刚度系数方便。 两端刚结的杆的侧移刚度为： 一端铰结的杆的侧移刚度为：
（1）自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关，与 其中δ——是沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质 外界的干扰因素无关。干扰力只影响振幅a。 点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移。 （2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越 k——使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上 大（频率越小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越 沿振动方向施加的力。 Δst=Wδ——在质点上沿振动方向施加数值为W的荷载时质 大，周期越小（频率越大）；要改变结构的自振周期，只有 点沿振动方向所产生的位移 。 从改变结构的质量或刚度着手。 计算时可根据体系的具体情况，视δ、 k、 Δst 三参数中哪一 （ 3）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力性 个最便于计算来选用。 能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其 自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。
例4、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m， 不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。 m m m
l/2
解：1）求δ
l3 1 = 48EI
l/2
3 l/ 16
l/2
l/2
P=1
l/2
l/2
7 l 3 5 l/ 2 = 32 768EI P=1 l/ 2
l3 3 = 192EI
w1 =
特征方程为：l2 + 2wl +w 2 = 0
1)ξ<1（低阻尼）情况
l =w ( ± 2 1)
低阻尼体系的自振圆频率
l = w iw r
wt
其中 w r =w 1 2
y = e wt C1 cosw r t +C2 sinw r t
y =e
y0 cosw r t +
1 m 1
=
48EI ml3
3 1l 768 EI 1 192EI 1 l 3 l l 5 l 7 l 2 = w = = = 2 (2 = 3 w 3 ) 1= 3 ml 2 32 768 m EI 62 2 7 16 EI ml m 3
据此可得：ω1‫ ׃‬ω2 ‫ ׃‬ω3= 1 ‫ ׃‬1.512 ‫ ׃‬2
yk 2 wT ln = lne =w T =w y k +1 wr
称为振幅的对数递减率.
yk yk wr 1 wr 1 如 0 .2 则 1, = ln = ln w 2 w y k +1 2 y k +1
设yk和yk+n是相隔n个周期的两个振幅则:
yk 1 = ln 2n y k +n
m EI=∞
9.8kN
w=
2 2 = = 4.189s 1 T 1.5
P 9.8103 k= = =196104 N / m A0 0.005
c = 2mw =
2mw 2
w
=
2k
w
20.0355 196104 = = 33220 N s / m = 332.2 N s / cm 4.189
v0 +wy0
wr
sinw r t
y = e wt a sin( w r t +a )
2 a = y0 +
y
(v0 +w y0 ) 2
ae-ξωt
y0w r tga = v0 +w y0
w r2
低阻尼y- t曲线
t
①阻尼对自振频率的影响.
w r =w 1 2 w , 随 而
振动模型 有阻尼的自由振动，动平衡方程：
k
m
c y y
& + cy & + ky = 0LLL(15.14) m& y
令 w = k m , = c 2mw ( 阻尼比）
& ky cy
& m& y
& & + 2wy & + w y = 0LLL(15.16) y
2
lt = y (t ) Ce 设解为：
12EI l3 3EI l3
五、阻尼对自由振动的影响 忽略阻尼影响时所得结果
大体上 能不能
反映实际结构的振动规律。
忽略阻尼的振动规律 考虑阻尼的振动规律 结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。 简谐荷载作用下有可能出现共振。 自由振动的振幅永不衰减。 自由振动的振幅逐渐衰减。 共振时的振幅趋于无穷大。 共振时的振幅较大但为有限值。
当动荷载作用在单自由度体系的质点上时，由于体系上各 截面的内力、位移都与质点处的位移成正比，故各截面的最大 动内力和最大动位移可采用统一的动力系数，只需将干扰力幅 值乘以动力系数按静力方法来计算即可。 例：已知m=300kg，EI=90×105N.m2 ,k=48EI/l3 ,P=20kN,θ=80s-1 求梁中点的位移幅值及最大动力弯矩。 Psinθt m l3 1 1 解：1)求ω = 1 + 2 = + EI 48EI 2 2k k 2m 2m l3 l3 5l 3
F F ( = t ) AA t sin A sin+w sin sin sin t = tt m m
2
F y & &+w y = m sin t
2
2
+2 w2
A=
F
最大静位移yst（是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生 的位移）。 特解可写为：
y = y st
1
1
k m y( t )
P(t )
m
P(t )
&+ ky = P(t )L m& y L(a)
P(t ) & &+w y = y LL (15.24) m
2
单自由度体系强迫 振动的微分方程
ky m P(t )
y
一、简谐荷载：
& m& y
特解：y = Asin t
m( 2 +w 2 ) F 1 F = = y sin t y sin t yst = = F st 2 2 2 2 2 2 mw (1 w ) (1 w ) mw
y ( t ) = y0 coswt +
w
t
v0
w
sin wt
v0/ω
t
wt +a ) y ( t ) = a sin(
－v0/ω
a
T
t
α/ω
－a
自振周期计算公式：