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结构动力学2

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结构动力学第二章

结构动力学第二章

∂T ∂V d ∂T ( )− + = Pncj (t ), & dt ∂u j ∂u j ∂u j
其中： T —— 体系的动能；
j = 1,2,L , N
V —— 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能； Pncj ——与 uj 相应的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）。
– 红色部分为引入动力自由度概念的目的，蓝色部分为实 现此目的的手段。 – 概念中的“全部”、“独立”两个条件非常关键。
• 严格来说，所以结构体系质量都是连续分布的，为无限自 由度体系，研究比较困难。但许多情况下，可以作一定的 简化，变为有限自由度体系。 • 简化并确定结构动力自由度最典型的方法：集中质量法
动能
1 & mu 2 转动质量 2
T =
1 &2 Jθ 2
1 2 V = ku 转动弹簧 2
1 &2 V = kθ θ 2
位能
1 1 & & &j T = ∑ ∑ mij u i u j = ∑ m j u 2 2 i j 2 j
V =
1 ∑ ∑ kij ui u j 2 i j
∫
1 体系的动能：T = mu 2 & 2
粘滞(性)阻尼力可表示为：
& f D = -cu
D — 表示阻尼（damping） c — 阻尼系数（Damping coefficient）
k c
u m
f S(t) m f D(t) f I (t)
& u — 质点的运动速度
阻尼系数 c 的确定：
• 不能像结构刚度 k 那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸等 来获得，因为 c 是反映了多种耗能因素综合影响的系数， 阻尼系数一般是通过结构原型振动试验的方法得到。 • 粘性（滞）阻尼理论仅是多种阻尼中最为简单的一种。 • 其它常用的阻尼：

结构力学13动力学2

结构力学13动力学2

1 lh 2h lh2 = = EI 2 3 3EI
w=
1 m 11
=
3EI m lh2
例6、求图示结构的自振频率。 解：求 k k11 k
3 EI l3
3EI l3
k11 m k
EI
3EI k11 = k + 3 l
1
l
w=
k11 = m
+k
m
•对于静定结构一般计算柔度系数方便。 •如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点 都不能发生转动（如横梁刚度为∞刚架)计算刚度系数方便。 两端刚结的杆的侧移刚度为： 一端铰结的杆的侧移刚度为：
工程中常用此 方法测定阻尼
例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集 中在横梁处共计为m ，加一水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm， 然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s 及一 个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比ξ和阻尼系数c。
解： = 1 ln yk = 1 ln 0.5 = 0.0335 2 yk +1 2 0.4
1)ξ<1（低阻尼）情况
l = w iw r
w t
特征方程为：l2 + 2wl +w 2 = 0
l =w ( ± 2 1)
低阻尼体系的自振圆频率
其中 w r =w 1 2
y = e w t C1 cosw r t + C2 sinw r t
y =e
y0 cosw r t +
结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。
h
例5、求图示结构的自振圆频率。 解法1：求 k θ=1/h 1 EI 3EI k A m MBA=kh = MBC = 3 = l lh

结构动力学(2)

结构动力学(2)

4. 对称性的利用 振动体系的对称性是指：结构对称、质量分布对称，强迫振
动时荷载对称或反对称。
多自由度和无限自由度对称体系的主振型不是对称就是反对称， 可分别取半边结构进行计算。
对称荷载作用下，振动形式为对称的；反对称荷载作用下， 振动形式为反对称的，可分别取半边结构进行计算。一般荷载可 分解为对称荷载和反对称荷载两组，分别计算再叠加。
(A( j ) )（T K ωi2 M)A( i ) 0
(A( i ) )（T K ω2j M)A( j ) 0
(1)
(A( i ) )（T K T ωi2 M T )( A( j ) ) 0
(2)
又: K T K MT M
(1)式-(2)式得:
( i22 j)(源自A( i ))TM
A(
3. 动内力幅值计算 位移、惯性力、动荷载频率相同。对于无阻尼体系三者同时
达到幅值。于是可将荷载幅值和惯性力幅值加在结构上，按静力 学方法求解，即得到体系的最大动内力和最大动位移。
多自由度体系不仅位移动力系数和内力动力系数不同，而且 不同截面上的位移动力系数和内力动力系数也各不相同，不能采 用统一动力系数计算动力反应。
由式(14-38)可知，此时式（14-47）得到位移为无穷大。所以， 一般情况下，n个自由度体系有n个共振点。
对于两个自由度体系，稳态振动时的位移幅值方程为
(11m1
1
2
)
y10
12 m2
y20
1P
2
0
21m1 y10 (22m2
1
2
)
y20
2P
2
0
D m1 11 2 1 12m2 2 21m1 2 m2 22 2 1

结构动力学第二章 单自由度系统的振动2

结构动力学第二章 单自由度系统的振动2

0.39 0.66 0.73 1.00 1.05 1.20 1.42 1.55 1.69 1.76 2.00
23
24
解: 水塔的自振频率和周期分别为
k 29.4106 N / m 31.305rad / s
m
30103 kg
T 2 0.2007s
取微小时段 0.01s ，约相当于水塔自振
同理，积分项 B(t) 可用相同的方法进行计算。
16
因此，无阻尼体系动力响应的数值解： y(t) A(t) sin t B(t) cost
同理，也可求得有阻尼体系动力响应。 注：数值积分解答的精确度与计算中选择和微 小时段 有关，一般可取小于系统自振周期 的十分之一，便可得到较好的结果。
17
A yst
1
2
t1
2
( 1 cost1
) 2
t1
1/ 2
sint1
t1 T
0.371
动力系数只与 t1 有关，即只与 t1 T 有关
下表列出不同 t1 T 值时的动力系数。
表 不同 t1 T 值时的动力系数表
t1/T 0.125 0.20 0.25 0.371 0.40 0.50 0.75 1.00 1.50 2.00
用下式进行计算。
无阻尼：
( 0)
y(t) 1 t p( ) sin (t )d
m 0
有阻尼： y(t) 1
( 0)
md
t 0
p(
)e (t )
sin d
(t
)d
2）对于许多实际情况，如果荷载的变化规律是 用一系列离散数据表示（如试验数据），此时 的响应计算就必须借助于数值分析方法。
11

结构动力学_克拉夫(第二版)课后习题

结构动力学_克拉夫(第二版)课后习题

例题E2-1 如图E2-1所示，一个单层建筑理想化为刚性大梁支承在无重的柱子上。

为了计算此结构的动力特性，对这个体系进行了自由振动试验。

试验中用液压千斤顶在体系的顶部（也即刚性大梁处）使其产生侧向位移，然后突然释放使结构产生振动。

在千斤顶工作时观察到，为了使大梁产生0.20in[0.508cm]位移需要施加20 kips[9 072 kgf]。

在产生初位移后突然释放，第一个往复摆动的最大位移仅为0.16 in[0. 406 cm]，而位移循环的周期为1.4 s。

从这些数据可以确定以下一些动力特性：（1）大梁的有效重量；（2）无阻尼振动频率；（3）阻尼特性；（4）六周后的振幅。

2- 1图E2-1所示建筑物的重量W为200 kips，从位移为1.2 in（t=0时）处突然释放，使其产生自由振动。

如果t=0. 64 s时往复摆动的最大位移为0.86 in，试求(a)侧移刚度k；(b)阻尼比ξ；(c)阻尼系数c。

2-2 假设图2- la 所示结构的质量和刚度为：m= kips ·s 2/in ，k=40 kips/in 。

如果体系在初始条件in 7.0)0(=υ、in/s 6.5)0(=υ&时产生自由振动，试求t=1.0s 时的位移及速度。

假设：(a) c=0（无阻尼体系）； (b) c=2.8 kips ·s/in 。

2-3 假设图2- 1a 所示结构的质量和刚度为：m=5 kips ·s 2/in ，k= 20 kips/in ，且不考虑阻尼。

如果初始条件in 8.1)0(=υ，而t=1.2 s 时的位移仍然为1.8 in ，试求：(a) t=2.4 s 时的位移； (b)自由振动的振幅ρ。

例题E3-1 一种便携式谐振荷载激振器，为在现场测量结构的动力特性提供了一种有效的手段。

用此激振器对结构施以两种不同频率的荷载，并分别测出每种情况下结构反应的幅值与相位。

由此可以确定单自由度体系的质量、刚度和阻尼比。

结构动力学_2

结构动力学_2

初相位
4、振幅C和初相位
x0 C sin
x0 Ccos
C
x02
x02
2
arctan x0
x0
——振幅 ——初相位
第2章 单自由度系统
x
3
x02
x02
2
sin(t
)
x
x02 2
x02
T 2
x0 0
t
图2.7 无阻尼系统自由振动位移曲线
-3
0
3
第2章 单自由度系统
x x02 x022 cos(t )
mx cx kx 0
设：
x Aept
第2章 单自由度系统
mp2 cp k 0
p1,2 c
c2 4mk 2m
c2 4mk
1、过阻尼系统
0 x A1e p1t A2e p2t
第2章 单自由度系统
2、临界阻尼系统
0
c2 4mk 0
cc 2 mk 2m
x
e
c 2m
t
第2章 单自由度系统
3、解的形式
x Asint x Bcost x Asint Bcost
x A2 B2 ( A sint B cost)
A2 B2
A2 B2
A2 B2 (cos sint sincost)
C sin(t )
第2章 单自由度系统
x C sin(t )
振幅
剪切变形
第2章 单自由度系统
3EI
ml 3
——弯曲频率
2 3EI
ml 3
——剪切频率
第2章 单自由度系统
图2.5 框架的剪切变形
第2章 单自由度系统
③摆问题

结构动力学(克拉夫) 第二章 分析动力学基础

第二章 分析动力学基础2.1 基本概念 2.1.1 约束• 定义：对非自由系各质点的位置和速度所加的几何或 运动学的限制。

N 个质点的约束方程： → → 为mi 的位置向量及速度 **弹簧支座不是约束。

• 约束的分类：*稳定（不含t → 左图） 与非稳定（含t → 右图）* 完整（不含 → ）几何约束（有限约束） 与非完整（含 → ）运动约束（微分约束） • 约束条件：zc=a （水平面绝对光滑）一个完整约束 *水平面粗糙，仅滚动无滑动，A 点速度为零 。

两个完整约束*若为刚性圆球，三个约束（A点两个水平方向速度为零，可证明约束微分方程不能积分成有限形式）非完整约束单向（约束方程为不等式）：柔索 与双向（约束方程为等式）：刚杆 工程力学中研究对象：稳定的、完整的、双 向约束• 质点系约束方程：→ （N ：质点数；M 约束数） 2.1.2 自由度与广义坐标 广义坐标定义：能决定体系几何位置的、彼此独立的量广义坐标个数→空间质点系:n=3N-k;平面质点系: n=2N-k0),,,,,,(11=⋅⋅⋅⋅⋅⋅N N r r r r t f 0),,(=i i r r t f i i r r ,0),(=i i rr f 0),,(=i i rr t f Ai r0),(=i r t f i r 0),,(=i i rr t f ϕϕa x a x v C C A =⇒=−=)(0积分 lr ≤l r =0),,(1=⋅⋅⋅N k r r f )~1;~1(0)(M k N i r f i k ===x双连刚杆双质点系的约束方程：广义坐标数：广义坐标：独立参数→角度→ 振型等（见下页） 梁的挠度曲线用三角级数表示： 广义坐标→*自由度定义：在固定时刻，约束许可条件下能自由变更的 独立的坐标数目（对完整约束=广义坐标数）• 自由度数→空间质点系：n=3N-k 平面质点系：n=2N-k （N ：质点数；k: 约束数） 非完整约束：（广义坐标数>系统自由度数）2.1.3 功的定义元功：A →B 过程中力作的功：对摩擦传动轮的例，由于力未移动，位移=？ • 功的新定义：(传动齿轮)• 功率：2.1.4 有势力和体系的势能有势力：（1）大小和方向只决定于体系质点的位置（2）体系从位置A 移动到位置B ，力作功只决定于位置而与路径无关取体系的任意位置为“零位置O ”，从位置A 移动到零位置O 各力作的功为体系在位置A 时的势能UA(位能)。

《结构力学》结构动力学(2)


为最大的动力位移与静力位移之比，称为位移动力系数。
简谐荷载作用下， 与 之间关系曲线分析。
1、无阻尼条件
（1） 0 时， 5.0
1, ymax ( t ) yst。
4.0
（2）0 1 0 时，
随着 增加 增大，
3.0
0
FP ( t ) FP sint。 y( t ) yst sint。
（3）当ξ=1时的阻尼称为临界阻尼；相应的 值称为
临界阻尼系数，用cr 表示，则
cr 2mk 2m ，
k 2mk 2m cr
阻尼比 即为阻尼系数 与临界阻尼系数 cr 之比。
§14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
当干扰力 F(t) 直接作用在质点上，质点的受力将如图14-10所示，
且 y( t )与FP ( t ) 同步。
2.0
（3） 1 时， 1.0
, ymax ( t ) , 共振。
（4）1 时，
1.0 2 2.0
3.0
随着 增加 减小，且 y( t )与 FP ( t ) 反向。
（5） 时， 0, 在静平衡位置附近作微小
振动 。
y0
cos 't
y0
ky0
'
sin
't
y bekt sin( 't ')
其中
b
y02
(ห้องสมุดไป่ตู้
y0
ky0
'
)2
tan ' ' y0
/ 为有阻尼自振频率。
y0 ky0
令 k ，称为阻尼比。
' 2 k2 1 ( k )2 1 2
通常当ξ<0.1时，则 ' 和 的差别很小。

于开平-结构动力学第二讲


(2) 阻尼力的功：
Wd A cos t dt c 2 / 1 cos 2 t cA2 2 dt 0 2 1 2 1 2 2 2 / cA2 2 cA cos 2 t dt 0 2 2
5 稳态响应振幅和相位
5.2 初始相位角 根据初相位角表达式
2 tg 1 2
可以画出初相位角随频率比的变化曲线，简称相频曲线：
在共振点，不管阻尼比多大，初相位角均为90度。
6 稳态响应复数解法及频响函数
之前将外载荷假设为正弦形式，其运动控制方程为：
������������ሷ 1 + ������������ሶ 1 + ������������1 = ������0 sin������������ 简谐激励的另一种典型形式为余弦形式，其运动控制方程写作： ������������ሷ 2 + ������ ������ሶ 2 + ������������2 = ������0 cos������������ （2） （1）
o o o
o
1 2 Fo A sin Fo A sin 2
6 稳态响应复数解法及频响函数
令方程特解为������ ������ = ������������ ������ ������������������ ，代入运动控制方程得： (−������2 ������������������ + ������������������������������ + ������������������ )������ ������������������ = ������0 ������ ������������������ 方程对任意时刻t恒等，则方程两边指数函数������ ������������������ 前系数相等，由此可得： ������������ = ������0 ������ − ������������ 2 + ������������������

高等结构动力学2_模态综合法(动态子结构方法)

a J
Φ
a p b Φ J b {0} p

[C ]{ p} {0}
d行
(n1+n2)个 p a
所以，有：
[C dd ]1[C dI ] { p} { p I } [ S ]{q} [I ]
独立的模态坐标
(n1+n2-d)个
[ M ]* [ S ]T [ M ][ S ], [ K ]* [ S ]T [ K ][ S ]
对于一般的动力学分析问题，也可以得到缩聚方程为：
} [C ]*{q } [ K ]*{q} {R}* [ M ]*{q
[C ]* [ S ]T [C ][ S ], {R}* [ S ]T {R}
动态子结构方法的基本思想：
按照工程的观点或结构的几何轮廓，遵循某些原则要求，把完整的大型复 杂结构人为地抽象成若干个子结构。首先对自由度少得多的各个子结构进 行动态分析，然后经由各种方案，把它们的主要模态信息予以保留，以综 合总体结构的动态特性 总系统（n个自由度） 子结构1 dd ]1[C dI ] [S ] [ I ]
uJ uI
uI
a b u u a b I I {u } a , {u } b u J u J {u a } [Φ ]a { p a }, {u b } [Φ ]b { p b }
{ p} b p d个 pd 设{p}中独立广义坐标为{pI}，非独立广义坐标为{pd}： { p} p I (n1+n2-d)个 pd { pd } [C dd ]1[C dI ]{ p I } 可写为： [C dd ] [C dI ] {0} pI
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………..(3)
………..(4)
(3)(4)的左边是一标量，转置后不变。
A
j T
k A
i

A
j T
k A
i

T
A
i T
T j k A A k A i T
Tk
线性组合，即
y1 t A1 1 sin 1t 1 A1 2 sin 2t 2 y2 t A2 1 sin 1t 1 A2 2 sin 2t 2
第一振型分量 第二振型分量
刚度法
k11 y1 k12 y2 m1 y1 0 k21 y1 k22 y2 m2 y2 0
结构力学
2019/1/19
3
双自由度体系作为多自由度体系的特例。
1、方程： 柔度法 刚度法
y1 11 (m1 y1 ) 12 (m2 y2 ) y2 21 (m1 y1 ) 22 (m2 y2 ) k11 y1 k12 y2 m1 y1 0 k21 y1 k22 y2 m2 y2 0
可见，任一时刻的位移包含两个分 量：第一振型分量和第二振型分量
2 （或A2 1 、 2 ）由4个初始条件确定。 1 、 1 、 A1 2 、 A2 2 、 通解中的4个待定系数A1 1 、
当各自由度上的初速度、初位移与某一振型具有同样的比例关系时，体系即按该振型振动。 其它振型不出现。
y A sin i t i
y
j
A
i
j
sin j t j
体系按某一振型振动时，该振型的能
i i
t时刻 A 振型对应的惯性力为
FI M y i2 M A sin i t i
k M A 0
由 A 0 ，得
2 频率方程 k M 0
双自由度体系作为多自由度体系的特例。
1、方程： 柔度法
y1 11 (m1 y1 ) 12 (m2 y2 ) y2 21 (m1 y1 ) 22 (m2 y2 )
∵频率和振型满足
(1)(2)分别左乘 A
j T i
j T
和 A
i T
j T i
A k A i 2 A M A i T j i T j A k A j 2 A M A
i i i
0
振型第二正交性
体系按某一振型振动时，弹性力不会在其它振型的位移上做功。——第二正交性的物理含义
2019/1/19 结构力学
8
§10-8 多自由度体系的强迫振动
一、简谐荷载作用下的无阻尼强迫振动
1.位移幅值计算
y P sin t y 振动微分方程为 M
§10-6 多自由度体系的自由振动
用柔度法可建立n个自由度体系的运动方程如下 y1 m1 y111 m2 y212 mn yn1n y2 m1 y1 21 m2 y2 22 mn yn 2 n yn m1 y1 n1 m2 y2 n 2 mn yn nn 写成矩阵形式
(1)柔度法： (1)
P 是简谐荷载幅值引 和M 分别为体系的柔度矩阵和质量矩阵； 其中， 1P 2P nP T 。 ＝ 起的静位移向量， P
频率方程是关于
1

2
I
振型方程
0
频率方程（或特征方程）
1
小到大排列，称为频率谱。
2
的n次代数方程，由此可求的n个 的正实根，即为结构的n个自振频率，通常由
将求得的 1 回代入(2)，由于系数行列式等于零，n个方程是相关的，只 能由其中的n-1个方程解得各自由度动位移之间的比值。可见，体系按某一频 率振动的形状是不变的，称之为振型。 T i Ani 振型向量 A A1i A2i T i ni 振型向量常用表述方法一：令某自由度位移为1，例 A 1 2i i T i 振型向量常用表述方法二：标准化（向量的模等于1），令 A M A 1
2
运动方程 y M y
A2
An 是振幅向量。
T
(1)
单位矩阵
A 2 M A 0
即 M

1

I A 0 2
(2)
因为 A 0 ，所以 M
i
量不会转移到其它振型上，故，各振 型可单独出现。
dt时间内 A
j
振型对应的位移为
dy
j
y
j
dt j A
i
j
cos j t j dt
j
dt时间内， A 振型的惯性力在 A
i
振型的位移上做的功为
i
dW dy
频率和振型是结构的固有特征
2、频率和振型：
y1 A1 sin t 设 ，代入方程，可建立振幅方程如下： y A sin t 2 2
1 m 1 11 2 A1 m212 A2 0 k11 2 m1 A1 k12 A2 0 柔度法 刚度法 k21 A1 k22 2 m2 A2 0 m A m 1 A 0 1 21 1 2 2 22 2 A2不全为零，建立频率方程： 由 A 1 、 1 m111 2 m212 k11 2 m1 k12 0 柔度法 0 刚度法 2 1 k k m 21 22 2 m1 21 m2 22 2 T y1 A1 1 sin 1t 1 A2 1 1 , 第一振型向量 1 1 。 对应于 1 ，有 ， y2 A2 1 sin 1t 1 A1 1
例题：P.153习题10-26(d) P.154习题10-27(d)
板书讲解
2019/1/19
结构力学
5
§10-7 振型的正交性
2 是其两个自振频率，两频率对应的振型如下： 设一n个自由度体系，1、
Akj A2 j
第j振型
A1i
A2i
A1i
Aki
第i振型
Ani
A1 j
Anj
i振型向量 A
2


2019/1/19
结构力学
2
上述自振频率和振型的计算步骤和方法同样适用于刚度法。
动力平衡方程
k11 y1 k12 y2 k21 y1 k22 y2 kn1 y1 kn 2 y2
k1n yn m1 y1 0 k2 n yn m2 y2 0 knn yn mn yn 0
j T
FI i2 j A
j T
M A sin it i cos j t j dt 0
振型第一正交性
体系按某一振型振动时，惯性力不会在其它振型的位移上做功。——第一正交性的物理含义 t时刻 A 振型对应的弹性力为
j T i i T j M 也是对称矩阵，同理，有 A M A A M A i T j 2 2 (3)-(4)，有 i j A M A 0 i T j 因为 i j ，所以 A M A 0 i j
T y1 A1 2 sin 2t 2 A2 2 2 , 第一振型向量1 2 。 对应于2 ，有 ， y2 A2 2 sin 2t 2 A1 2
2019/1/19 结构力学
4
双自由度体系作为多自由度体系的特例。
i
A2i
Aki
Ani
T
j振型向量 A
j
A1 j
A2 j
Akj
Anj
T
k A 2 M A i i 2 ∴ k A i M A ………..(1) j j k A j 2 M A ………..(2)
………..(3) ………..(4)
2019/1/19
结构力学
6
A k A i 2 A M A i T j i T j A k A j 2 A M A
j T i j T i
i

Fs k y k A sin it i i j dt时间内， A 振型的弹性力在 A 振型的位移上做的功为 i j T i j T dW dy Fs j A k A sin it i cos j t j dt
振型第一正交性：多自由度体系任意两个不同振型关于质量矩阵正交。
从而 ， A
i T
k A
j
0
i j
振型第二正交性：多自由度体系任意两个不同振型关于刚度矩阵正交。
2019/1/19
结构力学
7
振型正交的物理含义
设 A
i
i
、 A
i
j
是某多自由度体系的两个振型。则两振型的振动位移分别为
方程的物理含义：
与位移法方程类似。 体系在自由度位移和惯性力共同作 用下，自由度方向上附加约束的约 束力等于零。 相当于自由度方向上力的平衡。
写成矩阵形式
M y k y 0
2
设 y A sin t ，代入上述动力平衡方程，得 振型方程
3、任意初始条件下体系的自由振动方程：