2012高中数学复习讲义(通用版全套)第二章 函数B

(名师选题)全国通用版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点归纳超级精简版单选题1、已知x>0，y>0，且x+y=2，则下列结论中正确的是（）A．2x +2y有最小值4B．xy有最小值1C．2x+2y有最大值4D．√x+√y有最小值4答案：A分析：利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断即可解：x>0，y>0，且x+y=2，对于A，2x +2y=12(x+y)(2x+2y)=2+xy+yx≥2+2√xy⋅yx=4，当且仅当x=y=1时取等号，所以A正确，对于B，因为2=x+y≥2√xy，所以xy≤1，当且仅当x=y=1时取等号，即xy有最大值1，所以B错误，对于C，因为2x+2y≥2√2x⋅2y=2√2x+y=4，当且仅当x=y=1时取等号，即2x+2y有最小值4，所以C错误，对于D，因为(√x+√y)2=x+y+2√xy≤2(x+y)=4，当且仅当x=y=1时取等号，即√x+√y有最大值4，所以D错误，故选：A2、已知1a <1b<0，则下列结论正确的是（）A．a<b B．a+b<ab C．|a|>|b|D．ab>b2答案：B分析：结合不等式的性质、差比较法对选项进行分析，从而确定正确选项.因为1a <1b <0，所以b <a <0，故A 错误； 因为b <a <0，所以a +b <0,ab >0，所以a +b <ab ，故B 正确；因为b <a <0，所以|a |>|b |不成立，故C 错误；ab −b 2=b (a −b )，因为b <a <0，所以a −b >0，即ab −b 2=b (a −b )<0，所以ab <b 2成立，故D 错误.故选：B3、若x >53，则3x +43x−5的最小值为（ ）A ．7B ．4√3C ．9D ．2√3答案：C分析：利用基本不等式即可求解.解：∵ x >53，∴ 3x −5>0，则3x +43x−5=(3x −5)+43x−5+5≥2√(3x −5)⋅43x−5+5=9，当且仅当3x −5=2时，等号成立，故3x +43x−5的最小值为9，故选：C ．4、已知a,b ∈R 且满足{1≤a +b ≤3−1≤a −b ≤1，则4a +2b 的取值范围是（ ） A ．[0,12]B ．[4,10]C ．[2,10]D ．[2,8]答案：C分析：设4a +2b =A (a +b )+B (a −b )，求出A ，B 结合条件可得结果.设4a +2b =A (a +b )+B (a −b )，可得{A +B =4A −B =2， 解得{A =3B =1，4a +2b =3(a +b )+a −b ， 因为{1≤a +b ≤3−1≤a −b ≤1 可得{3≤3(a +b )≤9−1≤a −b ≤1， 所以2≤4a +2b ≤10.故选：C.5、权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a ，b ，x ，y >0，则a 2x +b 2y ≥(a+b )2x+y ，当且仅当a x =b y 时等号成立．根据权方和不等式，函数f(x)=2x +91−2x (0<x <12)的最小值为（ ）A ．16B ．25C ．36D ．49答案：B分析：将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答.因a ，b ，x ，y >0，则a 2x +b 2y ≥(a+b )2x+y ，当且仅当a x =b y 时等号成立， 又0<x <12，即1−2x >0，于是得f(x)=222x +321−2x ≥(2+3)22x+(1−2x)=25，当且仅当22x =31−2x ，即x =15时取“=”，所以函数f(x)=2x +91−2x (0<x <12)的最小值为25.故选：B6、已知两个正实数x ，y 满足x +y =2，则1x +9y+1的最小值是（ ）A ．163B ．112C ．8D ．3 答案：A分析：根据题中条件，得到1x +9y+1=13(1x +9y+1)[x +(y +1)]，展开后根据基本不等式，即可得出结果. 因为正实数x,y 满足x +y =2，则1x +9y+1=13(1x +9y+1)[x +(y +1)]=13(10+y+1x +9x y+1)≥13(10+2√y+1x ⋅9x y+1)=163， 当且仅当y+1x =9x y+1，即x =34,y =54时，等号成立. 故选：A ．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.7、在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm ，人跑开的速度为每秒4 m ，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m 以外的安全区，导火索的长度x （cm ）应满足的不等式为（ ）A ．4×x 0.5≥100B ．4×x 0.5≤100 C ．4×x 0.5>100D ．4×x 0.5<100答案：C分析：为了安全，则人跑开的路程应大于100米，路程=速度×时间，其中时间即导火索燃烧的时间. 导火索燃烧的时间x 0.5秒，人在此时间内跑的路程为4×x 0.5m ．由题意可得4×x 0.5>100．故选：C.8、下列命题中，是真命题的是（ ）A ．如果a >b ，那么ac >bcB ．如果a >b ，那么ac 2>bc 2C ．如果a >b ，那么a c >b cD ．如果a >b ，c <d ，那么a −c >b −d 答案：D分析：根据不等式的性质和特殊值法，逐项验证可得出答案.对于A ，如果c =0，那么ac =bc ，故错误；对于B ，如果c =0，那么ac 2=bc 2，故错误；对于C ，如果c <0，那么a c <b c ，故错误； 对于D ，如果c <d ，那么−c >−d ，由a >b ，则a −c >b −d ，故正确.故选：D.9、已知使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(−∞,−13)B ．(−∞,−13]C ．[−13,+∞)D ．(−13,+∞) 答案：C分析：使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集，求出两个不等式的解集，利用集合的包含关系列不等式求解. 解：由3x −1≤0得x ≤13，因为使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集， 又由x 2+(a +1)x +a ≤0得(x +a )(x +1)≤0，当a =1，x ∈{−1}⊆(−∞,13]，符合；当a <1，x ∈[−1,−a ]⊆(−∞,13]，则−a ≤13，∴1>a ≥−13，当a >1，x ∈[−a,−1]⊆(−∞,13]，符合，故实数a 的取值范围为[−13,+∞).故选：C.10、对∀x ∈R ，不等式(a −2)x 2+2(a −2)x −4<0恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．−2<a ≤2B ．−2≤a ≤2C ．a <−2或a ≥2D ．a ≤−2或a ≥2答案：A分析：对a 讨论，结合二次函数的图象与性质，解不等式即可得到a 的取值范围.不等式(a −2)x 2+2(a −2)x −4<0对一切x ∈R 恒成立，当a −2=0，即a =2时，−4<0恒成立，满足题意；当a −2≠0时，要使不等式恒成立，需{a −2<0Δ<0，即有{a <24(a −2)2+16(a −2)<0 ， 解得−2<a <2.综上可得，a 的取值范围为(−2,2].故选：A.11、设a >b >c >0，则2a 2+1ab +1a(a−b)−10ac +25c 2取得最小值时，a 的值为（ ）A ．√2B ．2C ．4D ．2√5答案：A解析：转化条件为原式=1ab +ab +1a(a−b)+a(a −b)+(a −5c)2，结合基本不等式即可得解.2a 2+1ab +1a (a −b )−10ac +25c 2 =1ab +ab +1a(a −b)+a(a −b)−ab −a(a −b)+2a 2−10ac +25c 2 =1ab +ab +1a(a −b)+a(a −b)+a 2−10ac +25c 2 =1ab +ab +1a(a −b)+a(a −b)+(a −5c)2 ≥2√1ab ⋅ab +2√1a(a−b)⋅a(a −b)+0=4，当且仅当{ab=1a(a−b)=1a=5c，即a=√2，b=√22，c=√25时，等号成立.故选：A.小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.12、不等式1+x1−x≥0的解集为（）A．{x|x≥1或x≤−1}B．{x∣−1≤x≤1} C．{x|x≥1或x<−1}D．{x|−1≤x<1}答案：D分析：不等式等价于x+1x−1≤0，即(x+1)(x−1)≤0，且x−1≠0，由此求得不等式的解集．不等式等价于x+1x−1≤0，即(x+1)(x−1)≤0，且x−1≠0，解得−1≤x<1，故不等式的解集为{x|−1≤x<1}，故选：D．填空题13、已知正实数x，y满足：x2+xy+2xy =2，则3x+2y+2y的最小值为_________．答案：4√2分析：根据x2+xy+2xy =2，可得(x+y)(x+2y)=4，再令{x+y=mx+2y=4m，再利用基本不等式即可得出答案.解：因为x2+xy+2xy=2，所以x2+xy+2xy+2=4，所以x(x +y)+2y(x +y)=4， 所以(x +y)(x +2y )=4，令{x +y =m x +2y =4m，则3x +2y +2y =2(x +y)+(x +2y )=2m +4m ≥2√2m ⋅4m =2√8=4√2，当且仅当2m =4m 即m =√2时取等号，所以3x +2y +2y 的最小值为4√2.所以答案是：4√2.14、关于x 的不等式x 2−4x +4a ≥a 2在[1,6]内有解，则a 的取值范围为________．答案：[−2,6]分析：根据不等式有解可得当x ∈[1,6]时，a 2−4a ≤(x 2−4x )max ，结合二次函数的最值可求得结果. ∵x 2−4x +4a ≥a 2在[1,6]内有解，∴a 2−4a ≤(x 2−4x )max ，其中x ∈[1,6]；设y =x 2−4x (1≤x ≤6)，则当x =6时，y max =36−24=12，∴a 2−4a ≤12，解得：−2≤a ≤6，∴a 的取值范围为[−2,6].所以答案是：[−2,6].15、设a >0，b >0，且5ab +b 2=1，则a +b 的最小值为___________.答案：45分析：由5ab +b 2=1得到a ，再将a +b 化为积为定值的形式，根据基本不等式可求得结果.因为5ab +b 2=1，所以a =1−b 25b =15b −b 5， 所以a +b =15b −b 5+b =15b +4b 5 ≥2√15b ⋅4b 5=45，当且仅当a =310，b =12时，等号成立， 所以a +b 的最小值为45.所以答案是：45小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.16、若对任意x>0，x3+5x2+4x≥ax2恒成立，则实数a的取值范围是___________.答案：(−∞,9]分析：先分离参数a，再运用基本不等式可求解.因为对任意x>0，x3+5x2+4x≥ax2⇔x2+5x+4x ≥a恒成立，只需满足a≤(x2+5x+4x)min，因为x>0，所以x 2+5x+4x=x+4x+5≥2√x⋅4x+5=9，当且仅当x=4x，即x=2时取等号.故实数a的取值范围是(−∞,9].所以答案是：(−∞,9]17、设x∈R，使不等式3x2+x−2<0成立的x的取值范围为__________.答案：(−1,23)分析：通过因式分解，解不等式．3x2+x−2<0，即(x+1)(3x−2)<0，即−1<x<23，故x的取值范围是(−1,23)．小提示：解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．解答题18、已知关于x的不等式ax2−x−2<0的解集为{x|−1<x<b}．(1)求a，b的值；(2)当x>0,y>0，且满足ax +by=1时，有2x+y≥k2+k+2恒成立，求k的取值范围．答案：(1)a=1，b=2(2)−3≤k≤2分析：（1）首先根据题意得到x1=−1，x2=b为方程ax2−x−2=0的根，且a>0，再利用根系关系求解即可.（2）首先根据题意得到k2+k+2≤(2x+y)min，再利用基本不等式求出2x+y的最小值即可.（1）因为关于x的不等式ax2−x−2<0的解集为{x|−1<x<b}，所以x1=−1，x2=b为方程ax2−x−2=0的根，且a>0.所以{−1+b=1a−1×b=−2a，解得a=1，b=2. （2）因为2x+y≥k2+k+2恒成立，所以k2+k+2≤(2x+y)min即可.因为1x +2y=1，所以2x+y=(2x+y)(1x+2y)=4+4xy+yx≥2√4+4=8，当且仅当4xy =yx，即x=1,y=2时取等号.所以k2+k+2≤8，解得−3≤k≤2.19、已知函数f(x)=−x2+mx−m．（1）若函数f(x)的最大值为0，求实数m的值．（2）若函数f(x)在[−1,0]上单调递减，求实数m的取值范围．（3）是否存在实数m ，使得f (x )在[2,3]上的值域恰好是[2,3]？若存在，求出实数m 的值；若不存在，说明理由．答案：（1）m =0或m =4；（2）m ⩽−2；（3）存在，m =6分析：（1）配方后得最大值，由最大值为0可解得m 的值；（2）由对称轴在区间的左侧可得；（3）分类讨论求函数f(x)在[2,3]上的最大值和最小值，由最大值为3最小值为2求解m 的值．（1）f(x)=−(x −m 2)2−m +m 24，则最大值−m +m 24=0，即m 2−4m =0，解得m =0或m =4． （2）函数f(x)图象的对称轴是x =m 2，要使f(x)在[−1,0]上单调递减，应满足m 2⩽−1，解得m ⩽−2．（3）①当m 2⩽2，即m ⩽4时，f(x)在[2,3]上递减，若存在实数m ，使f(x)在[2,3]上的值域是[2,3]，则{f(2)=3，f(3)=2，即{−4+2m −m =3，−9+3m −m =2，，此时m 无解． ②当m 2⩾3，即m ⩾6时，f(x)在[2,3]上递增，则{f(2)=2,f(3)=3,即{−4+2m −m =2,−9+3m −m =3, 解得m =6． ③当2<m 2<3，即4<m <6时，f(x)在[2,3]上先递增，再递减，所以f(x)在x =m 2处取得最大值，则f (m 2)=−(m 2)2+m ⋅m 2−m =3，解得m =−2或6，舍去．综上可得，存在实数m =6，使得f(x)在[2,3]上的值域恰好是[2,3]．小提示：本题考查二次函数的性质，考查二次函数的最值，对称轴，单调性等性质，掌握二次函数的图象与性质是解题关键．20、一批救灾物资随51辆汽车从某市以v km/h 的速度匀速直达灾区．已知两地公路线长400km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于v 2800km ，那么这批物资全部到达灾区最少需要多长时间？答案：最少需要10小时．分析：计算出全程所需时间，利用基本不等式可求得结果.当最后一辆车子出发时，第一辆车子走了50⋅v 2800v =v 16小时， 最后一辆车走完全程共需要400v 小时， 所以一共需要v 16+400v 小时，由基本不等式v 16+400v ≥2√v 16⋅400v =10，当且仅当v 16=400v ，即v =80时等号成立，故最少需要10小时．。

(名师选题)全国通用版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式经典知识题库单选题1、已知0<x<2，则y=x√4−x2的最大值为（）A．2B．4C．5D．6答案：A分析：由基本不等式求解即可因为0<x<2，所以可得4−x2>0，则y=x√4−x2=√x2⋅(4−x2)≤x2+(4−x2)2=2，当且仅当x2=4−x2，即x=√2时，上式取得等号，y=x√4−x2的最大值为2．故选：A．2、已知a,b为正实数，且a+b=6+1a +9b，则a+b的最小值为（）A．6B．8C．9D．12答案：B分析：根据题意，化简得到(a+b)2=(6+1a +9b)(a+b)=6(a+b)+10+ba+9ab，结合基本不等式，即可求解.由题意，可得(a+b)2=(6+1a +9b)(a+b)=6(a+b)+10+ba+9ab≥6(a+b)+16，则有(a+b)2−6(a+b)−16≥0，解得a+b≥8，当且仅当a =2，b =6取到最小值8. 故选：B.3、若“﹣2<x <3”是“x 2+mx ﹣2m 2<0（m >0）”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≥1B ．m ≥2C ．m ≥3D ．m ≥4 答案：C分析：x 2+mx ﹣2m 2<0（m >0），解得﹣2m <x <m .根据“﹣2<x <3”是“x 2+mx ﹣2m 2<0（m >0）”的充分不必要条件，可得﹣2m ≤﹣2，3≤m ，m >0.解出即可得出. 解：x 2+mx ﹣2m 2<0（m >0），解得﹣2m <x <m .∵“﹣2<x <3”是“x 2+mx ﹣2m 2<0（m >0）”的充分不必要条件，∴﹣2m ≤﹣2，3≤m ，(两个等号不同时取)m >0. 解得m ≥3.则实数m 的取值范围是[3，+∞）. 故选：C.4、已知a,b 为正实数且a +b =2，则ba +2b 的最小值为（ ） A ．32B ．√2+1C ．52D ．3 答案：D分析：由题知ba +2b =2(1a +1b )−1，再结合基本不等式求解即可.解：因为a,b 为正实数且a +b =2， 所以b =2−a ， 所以，ba +2b =2−a a +2b =2a +2b −1=2(1a +1b )−1因为2a +2b =2(1a +1b )=(a +b )(1a +1b )=2+ba +ab ≥2+2=4，当且仅当a =b =1时等号成立；所以ba +2b =2−a a+2b =2a +2b −1≥3，当且仅当a =b =1时等号成立；5、若对任意实数x >0,y >0，不等式x +√xy ≤a(x +y)恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．√2−12B ．√2−1C ．√2+1D ．√2+12答案：D分析：分离变量将问题转化为a ≥x+√xy x+y对于任意实数x >0,y >0恒成立，进而求出x+√xy x+y的最大值，设√yx=t(t >0)及1+t =m(m >1)，然后通过基本不等式求得答案.由题意可得，a ≥x+√xy x+y对于任意实数x >0,y >0恒成立，则只需求x+√xy x+y的最大值即可，x+√xy x+y=1+√y x 1+y x，设√yx =t(t >0)，则1+√y x 1+y x=1+t1+t 2，再设1+t =m(m >1)，则1+√y x 1+y x=1+t 1+t 2=m 1+(m−1)2= m m 2−2m+2=1m+2m−2≤2√m⋅2m−2=2√2−2=√2+12，当且仅当m =2m⇒√y x=√2−1时取得“=”.所以a ≥√2+12，即实数a 的最小值为√2+12. 故选：D.6、若不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}，则ax +b >0的解集为（ ） A ．(−∞,−16)B ．(−∞,16)C ．(−16,+∞)D ．(16,+∞) 答案：A分析：利用根于系数的关系先求出a,b ，再解不等式即可. 不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}则根据对应方程的韦达定理得到：{(−12)+13=−ba(−12)⋅13=2a ， 解得{a =−12b =−2，则−12x −2>0的解集为(−∞,−16)7、若正数a,b 满足a +b =ab ，则a +2b 的最小值为（ ） A ．6B ．4√2C ．3+2√2D ．2+2√2 答案：C分析：由a +b =ab ，可得1a +1b =1，则a +2b =(a +2b)(1a +1b )，化简后利用基本不等式可求得其最小值 因为正数a,b 满足a +b =ab ， 所以1a +1b =1，所以a +2b =(a +2b)(1a +1b )=3+a b +2b a≥3+2√a b ⋅2b a=3+2√2，当且仅当ab =2ba，即a =√2+1,b =2+√22时取等号，故选：C8、若x >1，则x +1x−1的最小值等于（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D分析：将x +1x−1变形为x −1+1x−1+1，即可利用均值不等式求最小值. 因为x >1，所以x −1>0，因此x +1x−1=x −1+1x−1+1≥2√(x −1)⋅1x−1+1=3,当且仅当x −1=1x−1，即x =2时，等号成立，所以x +1x−1的最小值等于3.故选：D.9、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a （元/个）的取值范围应是（ ）A ．90<a <100B ．90<a <110C ．100<a <110D ．80<a <100 答案：A分析：首先设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，结合条件列式，根据y >0，求x 的取值范围，即可得到a 的取值范围.设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，则a =x +90,y =(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x 2+200x .要使商家利润有所增加，则必须使y >0，即x 2−10x <0，得0<x <10,∴90<x +90<100，所以a 的取值为90<a <100. 故选：A10、不等式1+5x −6x 2>0的解集为（ ）A ．{x|x >1或x <−16}B ．{x |−16<x <1 }C ．{x|x >1或x <−3}D ．{x |−3<x <2 } 答案：B分析：解一元二次不等式，首先确保二次项系数为正，两边同时乘−1，再利用十字相乘法，可得答案， 法一：原不等式即为6x 2−5x −1<0，即(6x +1)(x −1)<0，解得−16<x <1，故原不等式的解集为{x |−16<x <1 }．法二：当x =2时，不等式不成立，排除A ，C ；当x =1时，不等式不成立，排除D ． 故选：B ．11、已知a >b >0，下列不等式中正确的是（ ） A ．ca >cb B ．ab <b 2C ．a −b +1a−b ≥2D ．1a−1<1b−1 答案：C分析：由a >b >0，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论.解：对于选项A ，因为a >b >0,0<1a<1b，而c 的正负不确定，故A 错误；对于选项B ，因为a >b >0，所以ab >b 2，故B 错误；对于选项C ，依题意a >b >0，所以a −b >0,1a−b >0，所以a −b +1a−b ≥2√(a −b )×1a−b =2，故C 正确； 对于选项D ，因为a >b >0,a −1>b −1>−1,1a−1与1b−1正负不确定，故大小不确定，故D 错误；故选：C.12、已知x ∈R ，则“(x −2)(x −3)≤0成立”是“|x −2|+|x −3|=1成立”的（ ）条件． A ．充分不必要B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要 答案：C分析：先证充分性，由（x −2）(x −3）≤0 求出x 的取值范围，再根据x 的取值范围化简|x −2|+|x −3|即可，再证必要性，若|x −2|+|x −3|=1，即|x −2|+|x −3|=|（x −2）−（x −3）|，再根据绝对值的性质可知（x −2）(x −3）≤0．充分性：若（x −2）(x −3）≤0，则2≤x ≤3， ∴|x −2|+|x −3|=x −2+3−x =1，必要性：若|x −2|+|x −3|=1，又∵|（x −2）−（x −3）|=1， ∴|x −2|+|x −3|=|（x −2）−（x −3）|， 由绝对值的性质：若ab ≤0，则|a |+|b |=|a −b|， ∴（x −2）(x −3）≤0，所以“（x −2）(x −3）≤0成立”是“|x −2|+|x −3|=1成立”的充要条件， 故选：C ． 填空题13、若不等式x 2−2>mx 对满足|m |≤1的一切实数m 都成立，则x 的取值范围是___________答案：x <−2或x >2分析：令f (m )=mx −x 2+2，依题意可得−1≤m ≤1时f (m )<0恒成立，则{f (1)<0f (−1)<0，即可得到关于x的一元二次不等式组，解得即可；解：因为x 2−2>mx ，所以mx −x 2+2<0令f (m )=mx −x 2+2，即f (m )<0在|m |≤1恒成立，即−1≤m ≤1时f (m )<0恒成立，所以{f (1)<0f (−1)<0，即{x −x 2+2<0−x −x 2+2<0，解x −x 2+2<0得x >2或x <−1；解−x −x 2+2<0得x >1或x <−2，所以原不等式组的解集为x ∈(−∞,−2)∪(2,+∞) 所以答案是：(−∞,−2)∪(2,+∞)14、已知x >54，则函数y =4x +14x−5的最小值为_______. 答案：7分析：由x >54，得4x −5>0，构造导数关系，利用基本不等式即可得到.法一：∵x >54，∴4x −5>0， y =4x +14x−5=(4x −5)+14x−5+5≥2+5=7，当且仅当4x −5=14x−5，即x =32时等号成立，所以答案是：7.法二：∵x >54，令y ′=4−4(4x−5)2=0得x =1或x =32， 当54<x <32时y′<0函数单调递减，当x >32时y′>0函数单调递增，所以当x =32时函数取得最小值为：4×32+14×32−5=7，所以答案是：7.【点晴】此题考基本不等式，属于简单题.15、若对任意x >0，x 3+5x 2+4x ≥ax 2恒成立，则实数a 的取值范围是___________. 答案：(−∞,9]分析：先分离参数a ，再运用基本不等式可求解. 因为对任意x >0，x 3+5x 2+4x ≥ax 2⇔x 2+5x+4x≥a 恒成立，只需满足a ≤(x 2+5x+4x)min，因为x >0，所以x 2+5x+4x=x +4x +5≥2√x ⋅4x +5=9，当且仅当x =4x ，即x =2时取等号.故实数a 的取值范围是(−∞,9]. 所以答案是：(−∞,9]16、已知实数x 、y 满足−2≤x +2y ≤3，−2≤2x −y ≤0，则3x −4y 的取值范围为______． 答案：[−7,2]分析：设3x −4y =m(x +2y)+n(2x −y)，利用待定系数法求出m,n 的值，然后根据不等式的性质即可求解. 解：设3x −4y =m(x +2y)+n(2x −y)，则{m +2n =32m −n =−4 ，解得{m =−1n =2，所以3x −4y =−(x +2y)+ 2(2x −y)， 因为−2≤x +2y ≤3，−2≤2x −y ≤0， 所以−3≤−(x +2y)≤2，−4≤2(2x −y)≤0， 所以−7≤3x −4y ≤2， 所以答案是：[−7,2].17、若函数f (x )=12x 2−x +a 的定义域和值域均为[1,b ](b >1)，则a +b 的值为____.答案：92分析：根据二次函数的性质，结合定义域和值域均为[1,b ](b >1)，列出相应方程组，求出a ，b 的值即可. 解：由函数f (x )=12x 2−x +a ，可得对称轴为x =1， 故函数在[1,b ]上是增函数.∵函数f (x )=12x 2−x +a 的定义域和值域均为[1,b ](b >1)，∴{f(1)=1f(b)=b，即{12−1+a=112b2−b+a=b.解得a=32，b=1或b=3.∵b>1，∴b=3.∴a+b=32+3=92.所以答案是：92.解答题18、若0<a<b，则下列不等式哪些是成立的？若成立，给予证明；若不成立，请举出反例.（1）a+1b <b+1a；（2）a2+1a2≥a+1a；（3）a 2b +b2a>a+b.答案：（1）正确，证明见解析；（2）正确，证明见解析；（3）正确，证明见解析. 解析：(1)作差分解因式，即可得出答案；(2)作差分解因式，即可得出答案；(3)用基本不等式，即可得出答案.（1）正确a+1b −b−1a=(a−b)(1+1ab)<0（2）正确a2+1a2−(a+1a)=(a+1a)2−(a+1a)−2=(a+1a−2)(a+1a+1)≥0（3）正确a 2b +b>2a,b2a+a>2b∴a2b+b2a+a+b>2a+2b∴a2b+b2a>a+b小提示：本题考查证明不等式，一般采用作差法、作商法、基本不等式，属于容易题.19、已知不等式ax2+(1−a)x+a−1<0．(1)若不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围；(2)若不等式对a∈[0,12]恒成立，求实数x的取值范围．答案：(1)(−∞，−13)；(2)(−1−√52，−1+√52)．分析：（1）根据一元二次不等式的解集为全体实数的条件可得Δ<0，a<0，从而解出a的范围即可．（2）化简整理为关于a的一次函数再分析．构造函数g(a)利用{g(0)<0g(12)<0，解不等式组．（1）当a=0时，不等式为x−1<0，解得x<1，显然不符合题意；当a≠0时，由已知，得{a<0(1−a)2−4a(a−1)<0即{a<03a2−2a−1>0，解得a<−13,综上，实数a的取值范围为(−∞，−13)．（2）原不等式可化为(x2−x+1)a+x−1<0，设g（a）=(x2−x+1)a+x−1，由题意，当a∈[0，12]，g(a)<0恒成立，所以{g(0)<0g(12)<0，即{x−1<012(x2−x+1)+x−1<0 ,解得−1−√52<x<−1+√52，所以实数x的取值范围为(−1−√52，−1+√52)．20、已知a>0，b>0.（1）求证：a2+3b2≥2b(a+b)；（2）若a+b=2ab，求ab的最小值.答案：（1）证明见解析；（2）1.分析：（1）对不等式两边式子作差，分解因式，判断作差的结果的符号，可得证.（2）根据a+b=2ab，可得2ab=a+b≥2√ab，从而得到√ab≥1，进而求得ab≥1，注意等号成立的条件，得到结果.证明：（1）∵a2+3b2−2b(a+b)=a2−2ab+b2=(a−b)2≥0，∴a2+3b2≥2b(a+b).（2）∵a>0，b>0，∴2ab=a+b≥2√ab，即2ab≥2√ab，∴√ab≥1，∴ab≥1.当且仅当a=b=1时取等号，此时ab取最小值1.小提示：该题主要是考查不等式的证明和运用基本不等式求最值，在证明不等式时，可以运用综合法也可以运用分析法，一般的比较大小的最重要的方法就是作差法，然后结合综合法和分析法来一起证明，属于中档题.。

(名师选题)全国通用版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点归纳总结(精华版)单选题1、在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm ，人跑开的速度为每秒4 m ，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m 以外的安全区，导火索的长度x （cm ）应满足的不等式为（ ）A ．4×x 0.5≥100B ．4×x 0.5≤100 C ．4×x 0.5>100D ．4×x 0.5<100答案：C分析：为了安全，则人跑开的路程应大于100米，路程=速度×时间，其中时间即导火索燃烧的时间. 导火索燃烧的时间x 0.5秒，人在此时间内跑的路程为4×x 0.5m ．由题意可得4×x 0.5>100．故选：C.2、若对任意x >0,a ≥2x x 2+x+1恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[−1,+∞)B ．[3,+∞)C ．[23,+∞)D ．(−∞,1] 答案：C分析：依题意a ≥(2x x 2+x+1)max ，利用基本不等式求出2x x 2+x+1的最大值，即可得解； 解：因为x >0，所以2x x 2+x+1=2x+1x +1≤2√x⋅1x +1=23，当且仅当x =1x 即x =1时取等号，因为a ≥2x x 2+x+1恒成立，所以a ≥23，即a ∈[23,+∞)；故选：C3、不等式−x2+3x+18<0的解集为（）A．{x|x>6或x<−3}B．{x|−3<x<6}C．{x|x>3或x<−6}D．{x|−6<x<3}答案：A分析：根据二次不等式的解法求解即可.−x2+3x+18<0可化为x2−3x−18>0，即(x−6)(x+3)>0，即x>6或x<−3．所以不等式的解集为{x|x>6或x<−3}.故选：A4、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c>0的解集是（）A．{x|−2<x<1}B．{x|x<−2或x>1}C．{x|−2≤x≤1}D．{x|x≤−2或x≥1}答案：A分析：由二次函数与一元二次不等式关系，结合函数图象确定不等式解集.由二次函数图象知：ax2+bx+c>0有−2<x<1.故选：A5、下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥−2abC．a+b≥−2√|ab|D．a+b≤2√|ab|答案：B分析：由基本不等式，可判定A 不正确；由a 2+b 2+2ab =(a +b)2≥0，可判定B 正确；根据特例，可判定C 、D 不正确；由基本不等式可知a 2+b 2≥2ab ，故A 不正确；由a 2+b 2≥−2ab ，可得a 2+b 2+2ab ≥0，即(a +b )2≥0恒成立，故B 正确；当a =−1,b =−1时，不等式不成立，故C 不正确；当a =0,b =1时，不等式不成立，故D 不正确.故选：B.6、不等式3x 2−x −2≥0的解集是（ ）A ．{x |−23≤x ≤1 }B ．{x |−1≤x ≤23} C ．{x |x ≤−23 或x ≥1}D ．{x |x ≤−1 或x ≥23}答案：C分析：利用一元二次不等式的解法求解即可．解：3x 2−x −2=(3x +2)(x −1)≥0解得：x ≤−23或x ≥1. 故选：C.7、已知函数y =ax 2+2bx −c(a >0)的图象与x 轴交于A (2,0)、B (6,0)两点，则不等式cx 2+2bx −a <0 的解集为（ ）A ．(−6,−2)B ．(−∞,16)∪(12,+∞) C ．(−12,−16)D ．(−∞,−12)∪(−16,+∞)答案：D解析：利用函数图象与x 的交点，可知ax 2+2bx −c =0(a >0)的两个根分别为x 1=2或x 2=6，再利用根与系数的关系，转化为b =−4a ，c =−12a ，最后代入不等式cx 2+2bx −a <0，求解集.由条件可知ax 2+2bx −c =0(a >0)的两个根分别为x 1=2或x 2=6，则2+6=−2b a ，2×6=−c a ，得b =−4a ，c =−12a ， ∴cx 2+2bx −a <0⇔−12ax 2−8ax −a <0，整理为：12x 2+8x +1>0⇔(2x +1)(6x +1)>0，解得：x >−16或x <−12，所以不等式的解集是(−∞,−12)∪(−16,+∞). 故选：D小提示：思路点睛：本题的关键是利用根与系数的关系表示b =−4a ，c =−12a ，再代入不等式cx 2+2bx −a <0化简后就容易求解.8、关于x 的方程x 2+(m −2)x +2m −1=0恰有一根在区间(0,1)内，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[12,32]B ．(12,23]C ．[12,2)D ．(12,23]∪{6−2√7} 答案：D分析：把方程的根转化为二次函数的零点问题，恰有一个零点属于(0,1)，分为三种情况，即可得解. 方程x 2+(m -2)x +2m -1=0对应的二次函数设为：f (x )=x 2+(m -2)x +2m -1因为方程x 2+(m -2)x +2m -1=0恰有一根属于(0,1)，则需要满足：①f (0)⋅f (1)<0，(2m -1)(3m -2)<0，解得：12<m <23；②函数f (x )刚好经过点(0,0)或者(1,0)，另一个零点属于(0,1)，把点(0,0)代入f (x )=x 2+(m -2)x +2m -1，解得：m =12，此时方程为x 2-32x =0，两根为0，32，而32⋅(0,1)，不合题意，舍去 把点(1,0)代入f (x )=x 2+(m -2)x +2m -1，解得：m =23，此时方程为3x 2-4x +1=0，两根为1，13，而13⋅(0,1)，故符合题意；③函数与x 轴只有一个交点，Δ=(m -2)2-8m +4=0，解得m =6±2√7，经检验，当m =6-2√7时满足方程恰有一根在区间 (0,1) 内;综上：实数m 的取值范围为(12,23]⋅{6-2√7}故选：D9、已知正实数a ，b 满足a +1b =2，则2ab +1a 的最小值是（ ）A ．52B ．3C ．92D ．2√2+1答案：A分析：由已知得， a =2−1b 代入得2ab +1a =2(2b −1)+b 2b−1，令2b −1=t ，根据基本不等式可求得答案. 解：因为a +1b =2，所以a =2−1b >0，所以0<b <2 ，所以2ab +1a =2(2−1b )b +b 2b−1=2(2b −1)+b 2b−1， 令2b −1=t ，则b =t +12，且−1<t <3 ， 所以2ab +1a =2t +t +12t =2t +12t +12≥2√2t ⋅12t +12=52，当且仅当2t =12t ，即t =12，b =34,a =23时，取等号， 所以2ab +1a 的最小值是52.故选：A.10、设O 为坐标原点，直线x =a 与双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线分别交于D,E 两点，若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32答案：B分析：因为C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，可得双曲线的渐近线方程是y =±b a x ，与直线x =a 联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得|ED|，根据△ODE 的面积为8，可得ab 值，根据2c =2√a 2+b 2，结合均值不等式，即可求得答案.∵ C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)∴双曲线的渐近线方程是y =±b a x∵直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点不妨设D为在第一象限，E在第四象限联立{x=ay=ba x，解得{x=ay=b故D(a,b)联立{x=ay=−ba x，解得{x=ay=−b故E(a,−b)∴|ED|=2b∴△ODE面积为：S△ODE=12a×2b=ab=8∵双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)∴其焦距为2c=2√a2+b2≥2√2ab=2√16=8当且仅当a=b=2√2取等号∴C的焦距的最小值：8故选：B.小提示：本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 11、若a>0，b>0，则下面结论正确的有（）A．2(a2+b2)≤(a+b)2B．若1a +4b=2，则a+b≥92C．若ab+b2=2，则a+b≥4D．若a+b=1，则ab有最大值12答案：B分析：对于选项ABD利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项C取特值即可判断即可. 对于选项A：若a>0，b>0，由基本不等式得a2+b2≥2ab，即2(a2+b2)≥(a+b)2，当且仅当a =b 时取等号；所以选项A 不正确；对于选项B ：若a >0，b >0，12×(1a +4b )=1， a +b =12×(1a +4b )(a +b )=12(5+b a +4a b ) ≥12(5+2√b a ⋅4a b )=92， 当且仅当1a +4b =2且b a =4a b ， 即a =32,b =3时取等号，所以选项B 正确；对于选项C ：由a >0，b >0，ab +b 2=b (a +b )=2，即a +b =2b ， 如b =2时，a +b =22=1<4，所以选项C 不正确；对于选项D ：ab ≤(a+b 2)2=14，当且仅当a =b =12时取等 则ab 有最大值14，所以选项D 不正确；故选：B12、若不等式ax 2+bx −2<0的解集为{x|−2<x <1}，则a +b =（ ）A ．−2B ．0C ．1D ．2答案：D分析：根据一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理列方程组，可解出答案．不等式ax 2+bx −2<0的解集为{x|−2<x <1}，则方程ax 2+bx −2=0根为−2、1，则{−b a =−2+1−2a =−2×1，解得a =1,b =1，∴a +b =2， 故选：D填空题13、已知a ，b ∈R ，若对任意x ≤0，不等式(ax +2)(x 2+2bx −1)≤0恒成立，则a +b 的最小值为___________．答案：√3分析：考虑两个函数g(x)=ax +2，f(x)=x 2+2bx −1，由此确定a >0，x <0时，f(x)，g(x)有相同的零点，得出a,b 的关系，检验此时f(x)也满足题意，然后计算出a +b （用a 表示），然后由基本不等式得最小值．设g(x)=ax +2，f(x)=x 2+2bx −1，f(x)图象是开口向上的抛物线，因此由x ≤0时，f(x)g(x)≤0恒成立得a >0，g(x)=0时，x =−2a ，x <−2a 时，g(x)<0，−2a <x ≤0时，g(x)>0， 因此x <−2a 时，f(x)>0，−2a <x ≤0时，f(x)<0，f(−2a )=0，所以4a 2−4b a −1=0①，−b >−2a ②，由①得b =1a −a 4，代入②得a 4−1a >−2a，因为a >0，此式显然成立． a +b =1a +3a 4≥2√1a ×3a 4=√3，当且仅当1a =3a 4，即a =2√33时等号成立， 所以a +b 的最小值是√3．所以答案是：√3．小提示：关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，考查基本不等式求最值．解题关键是引入两个函数f(x)和g(x)，把三次函数转化为二次函数与一次函数，降低了难度．由两个函数的关系得出参数a,b 的关系，从而可求得a +b 的最小值．14、已知实数x 、y 满足−2≤x +2y ≤3，−2≤2x −y ≤0，则3x −4y 的取值范围为______．答案：[−7,2]分析：设3x −4y =m(x +2y)+n(2x −y)，利用待定系数法求出m,n 的值，然后根据不等式的性质即可求解.解：设3x −4y =m(x +2y)+n(2x −y)，则{m +2n =32m −n =−4 ，解得{m =−1n =2， 所以3x −4y =−(x +2y)+ 2(2x −y)，因为−2≤x+2y≤3，−2≤2x−y≤0，所以−3≤−(x+2y)≤2，−4≤2(2x−y)≤0，所以−7≤3x−4y≤2，所以答案是：[−7,2].15、若函数f(x)=12x2−x+a的定义域和值域均为[1,b](b>1)，则a+b的值为____.答案：92分析：根据二次函数的性质，结合定义域和值域均为[1,b](b>1)，列出相应方程组，求出a，b的值即可.解：由函数f(x)=12x2−x+a，可得对称轴为x=1，故函数在[1,b]上是增函数.∵函数f(x)=12x2−x+a的定义域和值域均为[1,b](b>1)，∴{f(1)=1f(b)=b，即{12−1+a=112b2−b+a=b.解得a=32，b=1或b=3.∵b>1，∴b=3.∴a+b=32+3=92.所以答案是：92.16、a>b>c，n∈N∗，且1a−b +1b−c≥na−c恒成立，则n的最大值为__．答案：4分析：将不等式变形分离出n，不等式恒成立即n大于等于右边的最小值；由于a−c=a−b+b−c，凑出两个正数的积是常数，利用基本不等式求最值．解：由于1a−b +1b−c≥na−c恒成立，且a>c即n≤a−ca−b +a−cb−c恒成立只要n≤a−ca−b +a−cb−c的最小值即可∵ a−c a−b +a−c b−c =a−b+b−c a−b +a−b+b−c b−c=2+b −c a −b +a −b b −c ∵a >b >c∴a −b >0，b −c >0，故(a−c a−b +a−c b−c )≥4，因此n ≤4所以答案是：4．17、x −y ≤0，x +y −1≥0，则z =x +2y 的最小值是___________. 答案：32##1.5分析：分析可得x +2y =32(x +y )−12(x −y )，利用不等式的基本性质可求得z =x +2y 的最小值.设x +2y =m (x +y )+n (x −y )=(m +n )x +(m −n )y ，则{m +n =1m −n =2 ，解得{m =32n =−12 ， 所以，z =x +2y =32(x +y )−12(x −y )≥32， 因此，z =x +2y 的最小值是32.所以答案是：32.解答题18、已知关于x 的不等式kx 2−2x +6k <0(k ≠0).（1）若不等式的解集是{x |x <−3 或x >−2}，求k 的值；（2）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围；（3）若不等式的解集为∅，求k 的取值范围．答案：（1）k =−25；（2）(−∞,−√66)；（3）[√66,+∞). 分析：（1）由题意可知不等式kx 2−2x +6k =0的两根分别为−3、−2，利用韦达定理可求得实数k 的值；（2）由题意得出{k <0Δ<0 ，由此可解得实数k 的取值范围；（3）由题意得出{k>0Δ≤0，由此可解得实数k的取值范围.（1）因为不等式kx2−2x+6k<0(k≠0)的解集是{x|x<−3或x>−2}，所以，−3和−2是方程kx2−2x+6k=0的两个实数根，且k<0，由韦达定理得(−3)+(−2)=2k ，所以k=−25；（2）由于不等式kx2−2x+6k<0(k≠0)的解集是R，所以{k<0Δ=4−24k2<0，解得k<−√66，因此，实数k的取值范围是(−∞,−√66)；（3）由于不等式kx2−2x+6k<0(k≠0)的解集为∅，则不等式kx2−2x+6k≥0(k≠0)对任意的x∈R恒成立，所以{k>0Δ=4−24k2≤0，解得k≥√6 6 .因此，实数k的取值范围是[√66,+∞).小提示：本题考查利用一元二次不等式的解求参数，同时也考查了一元二次不等式恒成立，考查计算能力，属于中等题.19、设f(x)=x2−(a−1)x+a−2.（1）若不等式f(x)≥−2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式f(x)<0(a∈R).答案：（1）3−2√2≤a≤3+2√2；（2）答案见解析.解析：（1）一元二次不等式恒成立问题，由判别式可得参数范围．（2）不等式变形为[x−(a−2)](x−1)<0，根据a−2和1的大小分类讨论得解集．解：（1）由题意，不等式f(x)≥−2对于一切实数x恒成立，等价于x2−(a−1)x+a≥0对于一切实数x恒成立.所以Δ≤0⇔(a−1)2−4a≤0⇔3−2√2≤a≤3+2√2.（2）不等式f(x)<0等价于x2−(a−1)x+a−2<0⇔[x−(a−2)](x−1)<0.当a−2>1即a>3时，不等式可化为1<x<a−2，不等式的解集为{x|1<x<a−2}；当a−2=1即a=3时，不等式可化为(x−1)2<0，不等式的解集为∅；当a−2<1即a<3时，不等式可化为a−2<x<1，此时{x|a−2<x<1}.综上所述：当a<3时，不等式的解集为{x|a−2<x<1}；当a=3时，不等式的解集为∅；当a>3时，不等式的解集为{x|1<x<a−2}.小提示：本题考查解一元二次不等式．掌握三个二次伯关系是解题关键．对含参数的一元二次不等式求解时需分类讨论，分类讨论一般有三个层次：一是二次项系数是否为0，不为0时二次项系数的正负，二是一元二次方程的判别式，三是在判别式大于0时，方程两根的大小．注意灵活分类．20、已知关于x一元二次不等式x2+2mx+m+2≥0的解集为R.(1)求函数f(m)=m+3m+2的最小值；(2)求关于x的一元二次不等式x2+(m−3)x−3m>0的解集.答案：(1)2√3−2(2)(−∞,−m)∪(3,+∞)分析：（1）由题意可得Δ≤0，解不等式求出m的取值范围，再利用基本不等式求f(m)的最小值；（2）不等式化为(x+m)(x−3)>0，比较−m和3的大小，即可得出不等式的解集.(1)因为关于x一元二次不等式x2+2mx+m+2≥0的解集为R，所以Δ=4m2−4(m+2)≤0，化简可得：m2−m−2≤0，解得：−1≤m≤2，所以1≤m+2≤4，所以f(m)=m+3m+2=m+2+3m+2−2≥2√(m+2)⋅3m+2−2=2√3−2，当且仅当m+2=3m+2即m=√3−2，f(m)的最小值为2√3−2.(2)不等式x2+(m−3)x−3m>0，可化为(x+m)(x−3)>0，因为−1≤m≤2，所以−2≤−m≤1<3，所以该不等式的解集为(−∞,−m)∪(3,+∞).。

高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳完整版单选题1、已知x,y,z都是正实数，若xyz=1，则(x+y)(y+z)(z+x)的最小值为（）A．2B．4C．6D．8答案：D分析：均值定理连续使用中要注意等号是否同时成立.由x>0,y>0,z>0可知x+y≥2√xy>0（当且仅当x=y时等号成立）y+z≥2√yz>0（当且仅当y=z时等号成立）x+z≥2√xz>0（当且仅当x=z时等号成立）以上三个不等式两边同时相乘，可得(x+y)(y+z)(z+x)≥8√x2y2z2=8（当且仅当x=y=z=1时等号成立）故选：D2、已知2<a<3，−2<b<−1，则2a−b的范围是（）A．(6,7)B．(5,8)C．(2,5)D．(6,8)答案：B分析：由不等式的性质求解即可.2<a<3,−2<b<−1，故4<2a<6，1<−b<2，得5<2a−b<8故选：B3、下列命题中，是真命题的是（）A．如果a>b，那么ac>bc B．如果a>b，那么ac2>bc2C．如果a>b，那么ac >bcD．如果a>b，c<d，那么a−c>b−d答案：D分析：根据不等式的性质和特殊值法，逐项验证可得出答案.对于A ，如果c =0，那么ac =bc ，故错误； 对于B ，如果c =0，那么ac 2=bc 2，故错误； 对于C ，如果c <0，那么ac <bc ，故错误；对于D ，如果c <d ，那么−c >−d ，由a >b ，则a −c >b −d ，故正确. 故选：D.4、y =x +4x (x ≥1)的最小值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C分析：利用均值不等式求解即可.因为y =x +4x(x ≥1)，所以x +4x≥2√x ×4x=4，当且仅当x =4x即x =2时等号成立.所以当x =2时，函数y =x +4x 有最小值4. 故选：C.5、已知使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(−∞,−13)B ．(−∞,−13] C ．[−13,+∞)D ．(−13,+∞) 答案：C分析：使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集，求出两个不等式的解集，利用集合的包含关系列不等式求解.解：由3x −1≤0得x ≤13，因为使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0 则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集， 又由x 2+(a +1)x +a ≤0得(x +a )(x +1)≤0， 当a =1，x ∈{−1}⊆(−∞,13]，符合；当a <1，x ∈[−1,−a ]⊆(−∞,13]，则−a ≤13，∴1>a ≥−13， 当a >1，x ∈[−a,−1]⊆(−∞,13]，符合， 故实数a 的取值范围为[−13,+∞). 故选：C.6、已知x ∈R ，则“(x −2)(x −3)≤0成立”是“|x −2|+|x −3|=1成立”的（ ）条件． A ．充分不必要B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要 答案：C分析：先证充分性，由（x −2）(x −3）≤0 求出x 的取值范围，再根据x 的取值范围化简|x −2|+|x −3|即可，再证必要性，若|x −2|+|x −3|=1，即|x −2|+|x −3|=|（x −2）−（x −3）|，再根据绝对值的性质可知（x −2）(x −3）≤0．充分性：若（x −2）(x −3）≤0，则2≤x ≤3， ∴|x −2|+|x −3|=x −2+3−x =1，必要性：若|x −2|+|x −3|=1，又∵|（x −2）−（x −3）|=1， ∴|x −2|+|x −3|=|（x −2）−（x −3）|， 由绝对值的性质：若ab ≤0，则|a |+|b |=|a −b|， ∴（x −2）(x −3）≤0，所以“（x −2）(x −3）≤0成立”是“|x −2|+|x −3|=1成立”的充要条件， 故选：C ．7、若非零实数a ，b 满足a <b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．ab <1B ．ba +ab >2C ．1ab 2<1a 2b D ．a 2+a <b 2+b 答案：C分析：举出符合条件的特例即可判断选项A ，B ，D ，对于C ，作出不等式两边的差即可判断作答.取a=−2,b=−1，满足a<b，而ab=2>1，A不成立；取a=−2,b=1，满足a<b，而ba +ab=−12+(−2)=−52<2，B不成立；因1ab2−1a2b=a−ba2b2<0，即有1ab2<1a2b，C成立；取a=−2,b=−1，满足a<b，而a2+a=2,b2+b=0，即a2+a>b2+b，D不成立．故选：C8、若a，b，c为实数，且a<b，c>0，则下列不等关系一定成立的是（）A．a+c<b+c B．1a <1bC．ac>bc D．b−a>c答案：A分析：由不等式的基本性质和特值法即可求解.对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则a<b⇒a+c<b+c，A选项正确；对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若a=−2，b=−1，则1a >1b，B选项错误；对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，c>0，0<a<b⇒ac<bc，C选项错误；对于D选项，因为a<b⇒b−a>0，c>0，所以无法判断b−a与c大小，D选项错误.多选题9、若−1<a<b<0，则（）A．a2+b2>2ab B．1a <1bC．a+b>2√ab D．a+1a>b+1b答案：AD分析：应用作差法判断B、D，根据重要不等式判断A，由不等式性质判断C.A：由重要不等式知：a2+b2≥2ab，而−1<a<b<0，故a2+b2>2ab，正确；B：由−1<a<b<0，则1a −1b=b−aab>0，故1a>1b，错误；C：由−1<a<b<0，则a+b<0<2√ab，错误；D ：(a +1a )−(b +1b )=a −b +1a −1b =a −b +b−a ab=(a −b)(ab−1ab)>0，故a +1a >b +1b ，正确.故选：AD10、设a >0，b >0，给出下列不等式恒成立的是（ ） A ．a 2+1>a B ．a 2+9>6aC ．(a +b )(1a +1b )≥4D ．(a +1a )(b +1b )≥4 答案：ACD分析：选项A ，B 可用作差法比较大小；选项C ，D 可用基本不等式求范围. 由(a 2+1)−a =(a −12)2+34>0可得a 2+1>a ，故A 正确；由(a 2+9)−6a =(a −3)2≥0可得a 2+9≥6a ，故B 错误；由(a +b )(1a +1b )=2+ab +ba ≥2+2√ab ⋅ba =4，当且仅当a =b 时取等号，故C 正确； 由(a +1a )(b +1b )=(ab +1ab )+(ab +ba )≥2√ab ⋅1ab +2√ab ⋅ba =4， 当且仅当{ab =1ab a b =b a ，即a =b =1时取等号，故D 正确. 故选：ACD.11、十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a 、b 、c ∈R ，则下列命题正确的是（ ）A ．若a >b >0，则ac 2>bc 2B ．若a <b <0，则a +1b <b +1a C ．若a <b <c <0，则ba <b+ca+c D ．若a >0，b >0，则b 2a +a 2b≥a +b答案：BCD解析：取c =0可判断A 选项的正误；利用作差法可判断BCD 选项的正误. 对于A 选项，当c =0时，则ac 2=bc 2，A 选项错误；对于B 选项， (a +1b )−(b +1a )=(a −b )+(1b −1a )=(a −b )+a−b ab=(a −b )(1+1ab )，∵a <b <0，a −b <0，ab >0，∴1+1ab >0，则(a +1b )−(b +1a )<0，B 选项正确； 对于C 选项，ba −b+ca+c =b (a+c )−a (b+c )a (a+c )=c (b−a )a (a+c )，∵a <b <c <0，则b −a >0，a +c <0，则ba −b+ca+c <0，C 选项正确； 对于D 选项，(b 2a +a 2b)−(a +b )=b 2−a 2a+a 2−b 2b=(b 2−a 2)(1a −1b )=(b 2−a 2)(b−a )ab=(b+a )(b−a )2ab，∵a >0，b >0，则(b 2a +a 2b)−(a +b )=(b+a )(b−a )2ab≥0，D 选项正确.故选：BCD.小提示：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便． 填空题 12、不等式x 2+2x−3x+1≥0的解集为__________．答案：[−3,−1)∪[1,+∞) 分析：将x 2+2x−3x+1≥0等价转化为{x 2+2x −3≥0x +1>0 或{x 2+2x −3≤0x +1<0，解不等式组可得答案.原不等式等价于{x 2+2x −3≥0x +1>0 或{x 2+2x −3≤0x +1<0，解得x ≥1 或−3≤x <−1 ， 所以答案是：[−3,−1)∪[1,+∞)13、x −y ≤0，x +y −1≥0，则z =x +2y 的最小值是___________. 答案：32##1.5分析：分析可得x +2y =32(x +y )−12(x −y )，利用不等式的基本性质可求得z =x +2y 的最小值. 设x +2y =m (x +y )+n (x −y )=(m +n )x +(m −n )y ，则{m +n =1m −n =2 ，解得{m =32n =−12， 所以，z =x +2y =32(x +y )−12(x −y )≥32， 因此，z =x +2y 的最小值是32.所以答案是：32.14、已知集合A={x|−5<−2x+3<7},B={x|x2−(3a−1)x+2a2−a<0} ,若B⊆A，则实数a的取值范围为______．答案：[−12,5 2 ]分析：分类讨论解不等式，再利用集合的包含关系列式求解作答.依题意，B={x|(x−a)(x−2a+1)<0}，当a<2a−1，即a>1时，B=(a,2a−1)，当a=2a−1，即a=1时，B=∅，当a>2a−1，即a<1时，B=(2a−1,a)，又A=(−2,4)，B⊆A，于是得{a>12a−1≤4，解得1<a≤52，或{a<12a−1≥−2，解得−12≤a<1，而∅⊆A，则a=1，综上得：−12≤a≤52，所以实数a的取值范围为[−12,52 ]．所以答案是：[−12,5 2 ]解答题15、实数a、b满足-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4.(1)求实数a、b的取值范围；(2)求3a-2b的取值范围．答案：(1)a∈[-2,3]，b∈[-72,3 2 ](2)[-4,11]分析：（1）由a=12[(a+b)+(a-b)]，b=12[(a+b)-(a-b)]根据不等式的性质计算可得；（2）求出3a-2b=12(a+b)+52(a-b)，再利用不等式的性质得解.（1）解：由-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4，则a=12[(a+b)+(a-b)]，所以-4≤(a+b)+(a-b)≤6，所以-2≤12[(a+b)+(a-b)]≤3，即-2≤a≤3，即实数a的取值范围为[-2,3]．因为b=12[(a+b)-(a-b)]，由-1≤a-b≤4，所以-4≤b -a ≤1，所以-7≤(a +b )-(a -b)≤3， 所以-72≤12[(a +b )-(a -b)]≤32，∴-72≤b ≤32，即实数b 的取值范围为[-72,32]．（2）解：设3a -2b =m (a +b )+n(a -b)=(m +n )a +(m -n)b ， 则{m +n =3m -n =-2 ，解得{m =12n =52 ，∴3a -2b =12(a +b )+52(a -b )， ∵-3≤a +b ≤2，-1≤a -b ≤4． ∴-32≤12(a +b )≤1，-52≤52(a -b )≤10， ∴-4≤3a -2b ≤11，即3a -2b 的取值范围为[-4,11]．。

(名师选题)全国通用版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结全面整理单选题1、已知正实数a ，b 满足a +1b =2，则2ab +1a 的最小值是（ ） A ．52B ．3C ．92D ．2√2+1 答案：A分析：由已知得， a =2−1b代入得2ab +1a=2(2b −1)+b2b−1，令2b −1=t ，根据基本不等式可求得答案.解：因为a +1b=2，所以a =2−1b>0，所以0<b <2 ，所以2ab +1a =2(2−1b )b +b 2b−1=2(2b −1)+b2b−1，令2b −1=t ，则b =t +12，且−1<t <3 ，所以2ab +1a =2t +t +12t=2t +12t +12≥2√2t ⋅12t +12=52，当且仅当2t =12t ，即t =12，b =34,a =23时，取等号，所以2ab +1a 的最小值是52. 故选：A.2、若不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}，则ax +b >0的解集为（ ） A ．(−∞,−16)B ．(−∞,16)C ．(−16,+∞)D ．(16,+∞) 答案：A分析：利用根于系数的关系先求出a,b ，再解不等式即可. 不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}则根据对应方程的韦达定理得到：{(−12)+13=−ba(−12)⋅13=2a ， 解得{a =−12b =−2，则−12x −2>0的解集为(−∞,−16)故选：A3、已知集合M ={x |−4<x <2 }，N ={x |x 2−x −6 <0}，则M ∩N = A ．{x |−4<x < 3}B ．{x |−4<x < −2}C ．{x |−2<x < 2}D ．{x |2<x < 3} 答案：C分析：本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．由题意得，M ={x |−4<x <2 },N ={x |−2<x <3 }，则 M ∩N ={x |−2<x <2 }．故选C ．小提示：不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 4、要使关于x 的方程x 2+(a 2−1)x +a −2=0的一根比1大且另一根比1小，则实数a 的取值范围是（ ） A ．{a |−1<a <2 }B ．{a |−2<a <1 } C ．{a |a <−2 }D ．{a |a >1 } 答案：B分析：根据二次方程根的分布可得出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围. 由题意可得1+(a 2−1)+a −2=a 2+a −2<0，解得−2<a <1. 故选：B.5、已知a >0,b >0,a +b =1，则y =1a +3b 的最小值是（ ） A ．7B ．2+√3C ．4D ．4+2√3 答案：D分析：由“1”的妙用和基本不等式可求得结果. 因为a>0,b>0,a+b=1，所以y=1a +3b=(a+b)(1a+3b)=4+ba+3ab≥4+2√ba⋅3ab=4+2√3，当且仅当ba =3ab即b=√3a时，等号成立.结合a+b=1可知，当a=√3−12,b=3−√32时，y有最小值4+2√3.故选：D.6、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a（元/个）的取值范围应是（）A．90<a<100B．90<a<110C．100<a<110D．80<a<100答案：A分析：首先设每个涨价x元，涨价后的利润与原利润之差为y元，结合条件列式，根据y>0，求x的取值范围，即可得到a的取值范围.设每个涨价x元，涨价后的利润与原利润之差为y元，则a=x+90,y=(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x2+200x.要使商家利润有所增加，则必须使y>0，即x2−10x<0，得0<x<10,∴90<x+90<100，所以a的取值为90<a<100.故选：A7、若(x−a)2<4成立的一个充分不必要条件是1+12−x≤0，则实数a的取值范围为（）A．(−∞,4]B．[1,4]C．(1,4)D．(1,4]答案：D分析：解一元二次不等式､分式不等式求得题设条件为真时对应x的范围，再根据条件的充分不必要关系求参数a的取值范围.由(x−a)2<4，可得：a−2<x<a+2；由1+12−x =3−x 2−x ≤0，则{(x −2)(x −3)≤02−x ≠0，可得2<x ≤3；∵(x −a)2<4成立的一个充分不必要条件是1+12−x≤0，∴{a −2≤2a +2>3 ，可得1<a ≤4. 故选：D.8、已知a >b >0，下列不等式中正确的是（ ） A ．ca>cb B ．ab <b 2C ．a −b +1a−b≥2D ．1a−1<1b−1答案：C分析：由a >b >0，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论. 解：对于选项A ，因为a >b >0,0<1a<1b，而c 的正负不确定，故A 错误；对于选项B ，因为a >b >0，所以ab >b 2，故B 错误；对于选项C ，依题意a >b >0，所以a −b >0,1a−b>0，所以a −b +1a−b≥2√(a −b )×1a−b=2，故C 正确；对于选项D ，因为a >b >0,a −1>b −1>−1,1a−1与1b−1正负不确定，故大小不确定，故D 错误； 故选：C.9、若不等式x 2+ax +1≥0对于一切x ∈(0,12]恒成立，则a 的最小值是（ ）A ．0B ．−2C ．−52D ．−3答案：C解析：采用分离参数将问题转化为“a ≥−(x +1x )对一切x ∈(0,12]恒成立”，再利用基本不等式求解出x +1x 的最小值，由此求解出a 的取值范围.因为不等式x 2+ax +1≥0对于一切x ∈(0,12]恒成立， 所以a ≥−(x +1x )对一切x ∈(0,12]恒成立，所以a ≥[−(x +1x )]max(x ∈(0,12])，又因为f (x )=x +1x 在(0,12]上单调递减，所以f (x )min =f (12)=52，所以a ≥−52，所以a 的最小值为−52，故选：C.小提示：本题考查利用基本不等式求解最值，涉及不等式在给定区间上的恒成立问题，难度一般.不等式在给定区间上恒成立求解参数范围的两种方法：参变分离法、分类讨论法. 10、若非零实数a ，b 满足a <b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．ab<1B ．ba+ab>2C ．1ab 2<1a 2b D ．a 2+a <b 2+b 答案：C分析：举出符合条件的特例即可判断选项A ，B ，D ，对于C ，作出不等式两边的差即可判断作答. 取a =−2,b =−1，满足a <b ，而ab =2>1，A 不成立；取a =−2,b =1，满足a <b ，而b a +a b =−12+(−2)=−52<2，B 不成立； 因1ab 2−1a 2b =a−ba 2b 2<0，即有1ab 2<1a 2b ，C 成立；取a =−2,b =−1，满足a <b ，而a 2+a =2,b 2+b =0，即a 2+a >b 2+b ，D 不成立． 故选：C11、小李从甲地到乙地的平均速度为a ，从乙地到甲地的平均速度为b(a >b >0)，他往返甲乙两地的平均速度为v ，则（ ） A ．v =a+b 2B ．v =√abC ．√ab <v <a+b 2D ．b <v <√ab答案：D分析：平均速度等于总路程除以总时间设从甲地到乙地的的路程为s ，从甲地到乙地的时间为t 1，从乙地到甲地的时间为t 2，则 t 1=sa，t 2=sb，v =2s t 1+t 2=2ss a +s b=21a +1b，∴v =21a +1b>21b +1b=b ，v =21a +1b=2ab a+b<2√ab=√ab ，故选:D.12、下列命题正确的是（ ） A ．若ac >bc ，则a >b B ．若ac =bc ，则a =b C ．若a >b ，则1a<1bD ．若ac 2>bc 2，则a >b 答案：D分析：由不等式性质依次判断各个选项即可. 对于A ，若c <0，由ac >bc 可得：a <b ，A 错误；对于B ，若c =0，则ac =bc =0，此时a =b 未必成立，B 错误； 对于C ，当a >0>b 时，1a >0>1b ，C 错误；对于D ，当ac 2>bc 2时，由不等式性质知：a >b ，D 正确. 故选：D. 填空题13、函数y =3x +1x−1(x >1)的最小值是_____ 答案：3+2√3分析：利用基本不等式可求得原函数的最小值. 因为x >1，则x −1>0，所以y =3(x −1)+1x−1+3≥2√3(x −1)×1x−1+3=2√3+3，当且仅当3(x −1)=1x−1，因为x >1，即当x =3+√33时，等号成立.所以函数y =3x +1x−1(x >1)的最小值是2√3+3. 所以答案是：3+2√3. 14、不等式x 2+2x−3x+1≥0的解集为__________．答案：[−3,−1)∪[1,+∞)分析：将x 2+2x−3x+1≥0等价转化为{x 2+2x −3≥0x +1>0 或{x 2+2x −3≤0x +1<0，解不等式组可得答案. 原不等式等价于{x 2+2x −3≥0x +1>0 或{x 2+2x −3≤0x +1<0， 解得x ≥1 或−3≤x <−1 ， 所以答案是：[−3,−1)∪[1,+∞)15、若x >−1，则x +3x+1的最小值是___________. 答案：2√3−1分析：由x +3x+1=x +1+3x+1−1，结合基本不等式即可. 因为x >−1，所以x +1>0， 所以x +3x+1=x +1+3x+1−1≥2√3−1，当且仅当x +1=3x+1即x =√3−1时，取等号成立.故x +3x+1的最小值为2√3−1， 所以答案是：2√3−116、已知x >54，则函数y =4x +14x−5的最小值为_______.答案：7分析：由x >54，得4x −5>0，构造导数关系，利用基本不等式即可得到. 法一：∵x >54，∴4x −5>0，y =4x +14x−5=(4x −5)+14x−5+5≥2+5=7，当且仅当4x −5=14x−5，即x =32时等号成立，所以答案是：7.法二：∵x >54，令y ′=4−4(4x−5)2=0得x =1或x =32，当54<x <32时y′<0函数单调递减， 当x >32时y′>0函数单调递增，所以当x =32时函数取得最小值为：4×32+14×32−5=7，所以答案是：7.【点晴】此题考基本不等式，属于简单题. 17、设x >0, y >0, x +2y =5，则√xy的最小值为______.答案：4√3分析：把分子展开化为2xy +6，再利用基本不等式求最值．∵(x +1)(2y +1)√xy=2xy +x +2y +1√xy,∵x >0, y >0, x +2y =5,xy >0,∴√xy≥√3√xy √xy=4√3，当且仅当xy =3，即x =3,y =1时成立， 故所求的最小值为4√3．小提示：使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立． 解答题18、已知函数f (x )=x 2+ax −2，f (x )>0的解集为{x |x <−1 或x >b }． (1)求实数a 、b 的值；(2)若x ∈(0,+∞)时，求函数g (x )=f (x )+4x的最小值．答案：(1)a =−1，b =2 (2)2√2−1分析：（1）分析可知−1、b 是方程x 2+ax −2=0的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系可求得a 、b 的值；（2）求得g (x )=x +2x −1，利用基本不等式可求得g (x )在(0,+∞)上的最小值. （1）解：因为关于x 的不等式x 2+ax −2>0的解集为{x |x <−1 或x >b }，所以，−1、b 是方程x 2+ax −2=0的两个根，所以，{1−a −2=0−1⋅b =−2 ，解得{a =−1b =2.（2）解：由题意知g (x )=f (x )+4x =x 2−x+2x=x +2x−1，因为x >0，由基本不等式可得g (x )=x +2x −1≥2√x ⋅2x −1=2√2−1， 当且仅当x =2x 时，即x =√2时，等号成立 故函数g (x )的最小值为2√2−1.19、设p ：实数x 满足x 2−2ax −3a 2<0(a >0)，q:2<x <4． (1)若a =1，且p ，q 都为真命题，求x 的取值范围； (2)若q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 答案：(1)2<x <3； (2)a ≥43．分析：（1）解不等式确定命题p ，然后求出p,q 中x 范围的交集可得； （2）求出不等式的解，根据充分不必要条件的定义列不等式组求解．（1）a =1时，x 2−2x −3<0，−1<x <3，即p:−1<x <3，又q:2<x <4，而p ，q 都为真命题，所以2<x <3；（2）a >0，x 2−2ax −3a 2<0 ⇔−a <x <3a ，q 是p 的充分不必要条件，则{−a ≤23a ≥4且等号不能同时取得，所以a ≥43．20、已知一元二次函数f(x)=ax 2+bx +c (a >0,c >0)的图像与x 轴有两个不同的公共点，其中一个公共点的坐标为(c,0)，且当0<x <c 时，恒有f(x)>0． （1）当a =1，c =12时，求出不等式f(x)<0的解； （2）求出不等式f(x)<0的解（用a,c 表示）；（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a 的取值范围； （4）若不等式m 2−2km +1+b +ac ≥0对所有k ∈[−1, 1]恒成立，求实数m 的取值范围． 答案：（1）(12,1)；（2）(c,1a )；（3）a ∈(0, 18]；（4）m ≤−2 或 m =0 或m ≥2． 分析：（1）根据根与系数的关系，求出f(x)=0的另一根，得到不等式f(x)<0的解；（2）根据根与系数的关系，求出f(x)=0另一根，并判断两根的大小，得到不等式f(x)<0的解；（3）先求出f(x)的图像与坐标轴的交点，表示出以这些点组成的三角形的面积，再将a 用c 表示出来，再求得a 的范围；（4）根据f(c)=0，得到a,b,c 的关系式，化简不等式，将k,m 分离，分离时注意讨论m 的符号，求得实数m 的范围.（1）当a =1，c =12时，f(x)=x 2+bx +12，f(x)的图像与x 轴有两个不同交点，∵f(12)=0设另一个根为x 2，则12x 2=12，∴x 2=1，则f(x)<0的解集为(12,1)．（2）f(x)的图像与x 轴有两个交点，∵f(c)=0，设另一个根为x 2， 则cx 2=ca ∴x 2=1a 又当0<x <c 时，恒有f(x)>0，则1a >c ， ∴f(x)<0的解集为(c,1a )．（3）由（2）的f(x)的图像与坐标轴的交点分别为(c,0),(1a ,0),(0,c)这三交点为顶点的三角形的面积为S=12(1a−c)c=8，∴a=c16+c2≤2√16c=18，故a∈(0, 18]．（4）∵f(c)=0，∴ac2+bc+c=0，又∵c>0，∴ac+b+1=0，要使m2−2k m≥0，对所有k∈[−1, 1]恒成立，则当m>0时，m≥(2k)max=2；当m<0时，m≤(2k)min=−2；当m=0时，02≥2k⋅0，对所有k∈[−1, 1]恒成立．从而实数m的取值范围为m≤−2 或 m=0 或m≥2．小提示：本题考查了二次函数，一元二次方程，一元二次不等式三个二次之间关系及应用，根与系数的关系，恒成立求参问题，参变分离技巧，属于中档题.。

(名师选题)全国通用版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识汇总笔记单选题1、已知关于x 的不等式mx 2−6x +3m <0在(0，2]上有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(−∞，√3)B ．(−∞，127)C ．(√3，+∞)D ．(127，+∞) 答案：A分析：分离参数，将问题转换为m <6xx 2+3在(0，2]上有解，设函数g(x)=6xx 2+3，x ∈(0，2]，求出函数g(x)=6xx 2+3的最大值，即可求得答案.由题意得，mx 2−6x +3m <0，x ∈(0，2]，即m <6xx 2+3 ， 故问题转化为m <6xx 2+3在(0，2]上有解， 设g(x)=6xx 2+3，则g(x)=6x x 2+3=6x+3x，x ∈(0，2]，对于x +3x≥2√3 ，当且仅当x =√3∈(0,2]时取等号，则g(x)max =2√3=√3，故m <√3 ， 故选：A2、前后两个不等式解集相同的有（ ） ①x+52x−1≥0与(2x −1)(x +5)≥0 ②x+52x−1>0与(2x −1)(x +5)＞0③x 2(2x −1)(x +5)≥0与(2x −1)(x +5)≥0④x2(2x−1)(x+5)＞0与(2x−1)(x+5)＞0A．①②B．②④C．①③D．③④答案：B分析：由不含参的一元二次不等式，分式不等式、高次不等式的解法解出各个不等式，对选项一一判断即可得出答案.对于①，由x+52x−1≥0可得{2x−1≠0(x+5)(2x−1)≥0，解得：x>12或x≤−5.(2x−1)(x+5)≥0的解集为：{x|x≥12或x≤−5}，故①不正确；对于②，由x+52x−1>0可得{2x−1≠0(x+5)(2x−1)>0，解得：x>12或x<−5.(2x−1)(x+5)>0的解集为：{x|x>12或x<−5}，故②正确；对于③，x2(2x−1)(x+5)≥0的解集为：{x|x=0或x≤−5或x≥12}，(2x−1)(x+5)≥0的解集为：{x|x≥12或x≤−5}，故③不正确；对于④，x2(2x−1)(x+5)>0的解集为：{x|x<−5或x>12}，(2x−1)(x+5)>0的解集为：{x|x>12或x<−5}，故④正确；故选：B.3、已知函数y=x−4+9x+1(x>−1)，当x=a时，y取得最小值b，则a+b=（）A．−3B．2C．3D．8答案：C分析：通过题意可得x+1>0，然后由基本不等式即可求得答案解：因为x>−1，所以9x+1>0,x+1>0，所以y=x−4+9x+1=x+1+9x+1−5≥2√(x+1)⋅9x+1−5=1,当且仅当x +1=9x+1即x =2时，取等号，所以y 的最小值为1，所以a =2,b =1，所以a +b =3， 故选：C4、已知a,b 为正实数且a +b =2，则ba+2b 的最小值为（ ）A ．32B ．√2+1C ．52D ．3答案：D分析：由题知ba +2b =2(1a +1b )−1，再结合基本不等式求解即可.解：因为a,b 为正实数且a +b =2， 所以b =2−a ， 所以，ba+2b=2−a a +2b =2a +2b −1=2(1a +1b)−1因为2a +2b =2(1a +1b )=(a +b )(1a +1b )=2+ba +ab ≥2+2=4，当且仅当a =b =1时等号成立；所以ba +2b =2−a a+2b =2a +2b −1≥3，当且仅当a =b =1时等号成立；故选：D5、若不等式ax 2+bx −2<0的解集为{x|−2<x <1}，则a +b =（ ） A ．−2B ．0C ．1D ．2 答案：D分析：根据一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理列方程组，可解出答案． 不等式ax 2+bx −2<0的解集为{x|−2<x <1}，则方程ax 2+bx −2=0根为−2、1， 则{−b a =−2+1−2a =−2×1 ，解得a =1,b =1，∴a +b =2， 故选：D6、对∀x ∈R ，不等式(a −2)x 2+2(a −2)x −4<0恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．−2<a ≤2B ．−2≤a ≤2C ．a <−2或a ≥2D ．a ≤−2或a ≥2 答案：A分析：对a 讨论，结合二次函数的图象与性质，解不等式即可得到a 的取值范围. 不等式(a −2)x 2+2(a −2)x −4<0对一切x ∈R 恒成立， 当a −2=0，即a =2时，−4<0恒成立，满足题意； 当a −2≠0时，要使不等式恒成立，需{a −2<0Δ<0 ，即有{a <24(a −2)2+16(a −2)<0 ， 解得−2<a <2.综上可得，a 的取值范围为(−2,2]. 故选：A.7、某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位(x +600x−30)元（试剂的总产量为x 单位，50≤x ≤200），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（ ） A ．60单位B ．70单位C ．80单位D ．90单位 答案：D分析：设生产每单位试剂的成本为y ，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出y ，然后利用基本不等式求解最值即可． 解：设每生产单位试剂的成本为y ，因为试剂总产量为x 单位，则由题意可知，原料总费用为50x 元， 职工的工资总额为7500+20x 元，后续保养总费用为x (x +600x−30)元，则y =50x+7500+20x+x 2−30x+600x=x +8100x+40≥2√x ⋅8100x+40=220，当且仅当x =8100x，即x =90时取等号，满足50≤x ≤200，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位． 故选：D ．8、关于x 的不等式ax 2−(a 2+1)x +a <0的解集为{x|x 1<x <x 2}，且x 2−x 1=1，则a 2+a −2=（ ） A ．3B ．32C ．2D ．23答案：A分析：根据一元二次不等式与解集之间的关系可得x 1+x 2=a +1a 、x 1x 2=1，结合 (x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2计算即可.由不等式ax 2−(a 2+1)x +a <0的解集为{x |x 1<x <x 2}， 得a >0，不等式对应的一元二次方程为ax 2−(a 2+1)x +a =0， 方程的解为x 1、x 2，由韦达定理，得x 1+x 2=a 2+1a=a +1a ，x 1x 2=1，因为x 2−x 1=1，所以(x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=1， 即(a +1a )2−4=1，整理，得a 2+a −2=3. 故选：A9、若x >1，则x +1x−1的最小值等于（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D 分析：将x +1x−1变形为x −1+1x−1+1，即可利用均值不等式求最小值.因为x >1，所以x −1>0，因此x +1x−1=x −1+1x−1+1≥2√(x −1)⋅1x−1+1=3,当且仅当x −1=1x−1，即x =2时，等号成立，所以x +1x−1的最小值等于3. 故选：D.10、关于x的不等式x2−(a+1)x+a<0的解集中恰有1个整数，则实数a的取值范围是（）A．(−1,0]∪[2,3) B．[−2,−1)∪(3,4]C．[−1，0)∪(2,3] D．(−2，−1)∪(3，4)答案：C分析：分类讨论一元二次不等式的解，根据解集中只有一个整数，即可求解.由x2−(a+1)x+a<0得(x−1)(x−a)<0，若a=1，则不等式无解．若a>1，则不等式的解为1<x<a，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为x=2，则2<a≤3．若a<1，则不等式的解为a<x<1，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为x=0，则−1≤a<0．综上，满足条件的a的取值范围是[−1，0)∪(2,3]故选：C．<0的解集为（）11、不等式x−1x+2A．{x|x>1}B．{x|x<−2}C．{x|−2<x<1}D．{x|x>1或x<−2}答案：C<0等价于(x−1)(x+2)<0，进而可求出不等式的解集.解析：由x−1x+2<0等价于(x−1)(x+2)<0，解得−2<x<1，由题意，x−1x+2<0的解集为{x|−2<x<1}.所以不等式x−1x+2故选：C.小提示：本题考查分式不等式的解集，考查学生的计算能力，属于基础题.12、已知使不等式x2+(a+1)x+a≤0成立的任意一个x，都满足不等式3x−1≤0，则实数a的取值范围为（ ）A ．(−∞,−13)B ．(−∞,−13]C ．[−13,+∞)D ．(−13,+∞)答案：C分析：使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集，求出两个不等式的解集，利用集合的包含关系列不等式求解.解：由3x −1≤0得x ≤13，因为使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0 则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集， 又由x 2+(a +1)x +a ≤0得(x +a )(x +1)≤0， 当a =1，x ∈{−1}⊆(−∞,13]，符合；当a <1，x ∈[−1,−a ]⊆(−∞,13]，则−a ≤13，∴1>a ≥−13， 当a >1，x ∈[−a,−1]⊆(−∞,13]，符合，故实数a 的取值范围为[−13,+∞).故选：C. 填空题13、若0<x <2，则y =√2x(2−x)的最大值为_______ 答案：√2分析：由基本不等式求最大值．∵0<x <2，∴2−x >0，∴y =√2⋅√x(2−x)≤√2⋅x+2−x 2=√2，当且仅当x =2−x 即x =1时取等号，∴当x =1时，有最大值√2.所以答案是：√2．14、不等式3x+4x−2≥4的解集是___________．答案：(2,12]分析：移项通分化简，等价转化为12−xx−2≥0，进一步等价转化为二次不等式(组),注意分母不能为零，然后求解即得.原不等式等价于3x+4x−2−4≥0，化简得12−xx−2≥0，又等价于{(12−x)(x−2)≥0x−2≠0，解得：2<x≤12，所以答案是：(2,12].15、已知a∈Z关于x的一元二次不等式x2−8x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是________(写出任何一个满足条件的值即可）.答案：13，14，15(写出任何一个值即可）分析：根据题意，先表示出关于x的一元二次不等式x2−8x+a≤0的解集，再结合数轴分析即可得到a的值.因为关于x的一元二次不等式x2−8x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，所以Δ=64−4a>0，即a<16，由x2−8x+a=0，解得x=4±√16−a，故关于x的一元二次不等式x2−8x+a≤0的解集为[4−√16−a,4+√16−a]，因关于x的一元二次不等式x2−8x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，所以1≤√16−a<2，即12<x≤15，又因a∈Z，所以a=13，14或15都满足.所以答案是：13，14，15(写出任何一个值即可）.16、已知a,b,a+m均为大于0的实数,给出下列五个论断:①a>b,②a<b,③m>0,④m<0,⑤b+ma+m >ba.以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题___________.答案：①③推出⑤(答案不唯一还可以①⑤推出③等)解析：选择两个条件根据不等式性质推出第三个条件即可，答案不唯一. 已知a,b,a+m均为大于0的实数,选择①③推出⑤.①a>b，③m>0，则b+ma+m −ba=ab+am−ab−bma(a+m)=am−bma(a+m)=(a−b)ma(a+m)>0，所以b+ma+m >ba.所以答案是：①③推出⑤小提示：此题考查根据不等式的性质比较大小，在已知条件中选择两个条件推出第三个条件，属于开放性试题，对思维能力要求比较高.17、已知x,y为正实数，则yx +16x2x+y的最小值为__________．答案：6分析：将原式变形为yx +162+yx，结合基本不等式即可求得最值.由题得yx +16x2x+y=yx+162+yx，设yx =t(t>0)，则f(t)=t+162+t=t+2+162+t−2≥2√(t+2)⋅162+t−2=8−2=6.当且仅当t=2时取等.所以yx +16x2x+y的最小值为6.所以答案是：6解答题18、已知命题p：∀x∈R,x2+2mx+3>0，命题q：∃x∈R,x2−2mx+m+2<0. （1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；（3）若命题p、q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围.答案：（1）−√3<m<√3；（2）m<−1或m>2；（3）m<√3或m>2. 解析：（1）p为真命题，可得判别式Δ<0；（2）q为真命题，可得判别式Δ>0；（3）m的范围为（1）和（2）中m的并集.（1）若命题p：∀x∈R,x2+2mx+3>0为真命题，则Δ=(2m)2−12<0，解得−√3<m<√3.（2）若命题q：∃x∈R,x2−2mx+m+2<0为真命题，则Δ=4m2−4(m+2)>0，解得m<−1或m>2.（3）若命题p、q至少有一个为真命题，则−√3<m<√3，或m<−1，或m>2，∴m<√3或m>2.19、已知实数x>0，y>0.（1）若x+y+xy=3，求2xy的最大值与x+y的最小值；（2）若x>y，求xy 2x−y +xy+1y2的最小值.答案：（1）最小值为2；（2）最小值为4.分析：（1）由已知结合基本不等式x+y⩾2√xy，及不等式的性质即可求解；（2）先进行换元t=x−y，t>0，然后把x=t+y代入所求式子，进行合理的变形后结合基本不等式可求．解：（1）因为x+y≥2√xy，又因为x+y+xy=3，所以xy+2√xy≤3，解得−3≤√xy≤1，因为0<√xy，所以0<√xy≤1，所以0<xy≤1，所以2xy≤2，当且仅当x=y=1时等号成立，所以2xy最大值为2；因为xy≤(x+y2)2，所以(x+y2)2+(x+y)≥3，当且仅当x=y=1时等号成立，所以x+y≥2，所以x+y最小值为2；（2）xy 2x−y +xy+1y2=x2yx−y+1y2，令t=x−y，t>0，所以x=t+y，x2y x−y +1y2=(t+y)2yt+1y2=ty+y3t+2y2+1y2≥2√ty⋅y3t+2y2+1y2=4y2+1y2≥2√4y2⋅1y2=4;当且仅当ty=y 3t ，且4y2=1y2，即x=√2,y=√22时等号成立，所以xy 2x−y +xy+1y2最小值为4.20、已知x>0,y>0且1x +9y=1，求使不等式x+y≥m恒成立的实数m的取值范围．答案：m⩽16.分析：要使不等式x+y≥m恒成立，只需求x+y的最小值，将x+y=(x+y)(1x +9y)展开利用基本不等式可求解.由1x +9y=1，则x+y=(x+y)(1x+9y)=10+9xy+yx⩾10+2√9xy⋅yx=16．当且仅当{x+y=169xy=yx即{x=4y=12时取到最小值16．若x+y⩾m恒成立，则m⩽16．小提示：本题考查不等式恒成立问题，考查利用基本不等式求最值问题，属于基础题.。