2019北京一模导数文汇编 (1)

一、单选2024北京高三一模数学题目（含答案）利用导数研究函数的性质题1．（2024北京朝阳高三一模）已知n 个大于2的实数12,,,n x x x ⋅⋅⋅，对任意()1,2,,i x i n =⋅⋅⋅，存在2i y ≥满足i i y x <，且i i y xi i x y =，则使得12115n n x x x x -++⋅⋅⋅+≤成立的最大正整数n 为（）A ．14B ．16C ．21D ．232．（2024北京海淀高三一模）函数()f x 是定义在(4,4)-上的偶函数，其图象如图所示，(3)0f =.设()f x '是()f x 的导函数，则关于x 的不等式(1)()0f x f x '+⋅≥的解集是（）A ．[0,2]B ．[3,0][3,4)-C ．(5,0][2,4)-D ．(4,0][2,3)- 3．（2024北京海淀高三一模）已知()()3,0lg 1,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，函数()f x 的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的条数为n ，则,m n 的值分别为（）A ．1,1B ．1,2C ．2,1D ．2,24．（2024北京房山高三一模）若函数(]()ln ln(1),,0()1,0,exx x x x ∞∞⎧-∈-⎪=⎨∈+⎪⎩，则函数()()g x f x x c =++零点的个数为（）A ．1B ．2C ．1或2D ．1或35．（2024北京延庆高三一模）已知函数()321x f x x =--，则不等式()0f x <的解集是（）A ．()0,1B ．()0,∞+C ．(),0∞-D ．()(),01,∞∞-⋃+二、填空题6．（2024北京顺义·二模）已知函数()()213f x kx b x =-++，给出下列四个结论：①当0k =时，对任意b ∈R ，()f x 有1个极值点；②当18k >时，存在b ∈R ，使得()f x 存在极值点；③当0b =时，对任意k ∈R ，()f x 有一个零点；④当103b <<时，存在k ∈R ，使得()f x 有3个零点.其中所有正确结论的序号是.7．（2024北京海淀高三一模）已知函数()f x =①函数()f x 是奇函数；②R k ∀∈，且0k ≠，关于x 的方程0()f x kx -=恰有两个不相等的实数根；③已知P 是曲线()y f x =上任意一点，1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则12AP ≥；④设()11,M x y 为曲线()y f x =上一点，()22,N x y 为曲线()y f x =-上一点.若121x x +=，则1MN ≥.其中所有正确结论的序号是.8．（2024北京石景山高三一模）黎曼函数在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：[]0,1x ∈时，()()*1,,N ,0,0,10,1p p x p q q q q R x x ⎧⎛⎫=∈⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩为既约真分数和内的无理数．若数列*1,n n a R n n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，给出下列四个结论：①1n a n =；②21n n a a ++<；③1112n i i i a a +=<∑；④11ln 2ni i n a =+≥∑．其中所有正确结论的序号是．9．（2024北京石景山高三一模）设函数()323,13,1x ax x f x x a x ⎧+≤=⎨+>⎩，①若()f x 有两个零点，则实数a 的一个取值可以是；②若()f x 是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是．10．（2024北京延庆高三一模）已知函数()221ln 1.x ax x f x a x x x⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，，，给出下列四个结论：①存在实数a ，使得函数()f x 的最小值为0；②存在实数0a <，使得函数()f x 的最小值为1-；③存在实数a ，使得函数()f x 恰有2个零点；④存在实数a ，使得函数()f x 恰有4个零点．其中所有正确结论的序号是．三、解答题11．（2024北京东城高三一模）已知函数()()ln 1f x x x =-.(1)求曲线()y f x =在2x =处的切线方程；(2)设()()g x f x '=，求函数()g x 的最小值；(3)若()2f x x a>-，求实数a 的值.12．（2024北京朝阳高三一模）已知函数()()()1e R xf x ax a =-∈.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若关于x 的不等式()()1f x a x >-无整数解，求a 的取值范围.13．（2024北京顺义·二模）设函数()e cos xf x a x =+，a ∈R .曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为2y x =+.(1)求a 的值；(2)求证：方程()2f x =仅有一个实根；(3)对任意()0,x ∈+∞，有()sin 2f x k x >+，求正数k 的取值范围.14．（2024北京房山高三一模）已知函数1()e axf x x=+．(1)当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)设2()()g x f x x '=⋅，求函数()g x 的极大值；(3)若e a <-，求函数()f x 的零点个数．15．（2024北京西城高三一模）已知函数()()1ln e xf x x ax x a=++．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的斜率；(2)当1a =-时，讨论()f x 的单调性；(3)若集合(){}1xf x ≥-∣有且只有一个元素，求a 的值．16．（2024北京海淀高三一模）已知函数12()e a x f x x -=.(1)求()f x 的单调区间；(2)若函数2()()e ,(0,)g x f x a x -=+∈+∞存在最大值，求a 的取值范围.17．（2024北京门头沟高三一模）已知函数()()21ln 12f x ax x x a x =-+-．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点())1,1f 处的切线方程；(2)当a<0时，求()f x 的极值；(3)当112a ≤≤时，判断()f x 零点个数，并说明理由．18．（2024北京石景山高三一模）已知函数()()e 0axf x x a =>．(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)求()f x 在区间[]1,1-上的最大值与最小值；(3)当1a =时，求证：()ln 1f x x x ≥++．19．（2024北京丰台高三一模）已知函数()()e ln 1xf x x x =++-，曲线():C y f x =在点()()00,x f x 处的切线为():l yg x =，记()()()h x f x g x =-．(1)当00x =时，求切线l 的方程；(2)在（1）的条件下，求函数()h x 的零点并证明()0xh x ≥；(3)当00x ≠时，直接写出函数()h x 的零点个数．（结论不要求证明）20．（2024北京延庆高三一模）已知函数()()ln 22f x x a x =-++-.(1)若曲线()y f x =的一条切线方程为1y x =-，求a 的值；(2)若函数()f x 在区间()1,2上为增函数，求a 的取值范围；(3)若21,e x ∀∈+∞⎛⎫⎪⎝⎭，()f x 无零点，求a 的取值范围．参考答案1．D【分析】构造函数()()ln 2xf x x x=≥，结合函数单调性可得e 4ix <≤，则有()1211e 154n n x x x x n -++⋅≥⋅-⋅≥+，即可得解.【详解】由i i y xi i x y =，且2i y ≥，2i x >，故ln ln i i i i y x x y =，即ln ln i ii ix y x y =，令()()ln 2xf x x x=≥，()21ln x f x x -'=，故当()2,e x ∈时，()0f x ¢>，当()e,+x ∈∞时，()0f x '<，即()f x 在()2,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，由ln ln i ii ix y x y =，即()()i i f x f y =，故e i x >，2e i y ≤<，又()()ln 2ln 42424f f ===，故4i x ≤，即e 4i x <≤，若12115n n x x x x -++⋅⋅⋅+≤，则有()1211e154n n x x x x n -++⋅≥⋅-⋅≥+，即601en ≤+，由e 2.72≈，故60122.06123.07e +≈+=.故最大正整数n 为23.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助函数()ln xf x x=的性质，结合其单调性得到2e i y ≤<，从而得到e 4i x <≤，则有()1211e154n n x x x x n -++⋅≥⋅-⋅≥+，即可得解.2．D【分析】借助函数图象与导数的关系计算即可得.【详解】由(3)0f =，且()f x 为偶函数，故(3)0f -=，由导数性质结合图象可得当()4,0x ∈-时，()0f x '<，当()0,4x ∈时，()0f x '>，当0x =时，即()00f '=，则由(1)()0f x f x '+⋅≥，有41444x x -<+<⎧⎨-<<⎩，解得43x -<<，亦可得()()100f x f x ⎧+>>'⎪⎨⎪⎩，或()()100f x f x ⎧+<<'⎪⎨⎪⎩，或()10f x +=，或()0f x '=，由()()100f x f x ⎧+>>'⎪⎨⎪⎩可得41304x x -<+<-⎧⎨<<⎩或31404x x <+<⎧⎨<<⎩，即23x <<，由()()100f x f x ⎧+<<'⎪⎨⎪⎩可得31340x x -<+<⎧⎨-<<⎩，即40x -<<，由()10f x +=，可得13x +=±，即2x =或4x =-（舍去，不在定义域内），由()0f x '=，可得0x =，综上所述，关于x 的不等式(1)()0f x f x '+⋅≥的解集为(4,0][2,3)- .故选：D.3．B【分析】借助分段函数性质计算可得m ，借助导数的几何意义及零点的存在性定理可得n .【详解】令()0f x =，即0x ≤时，30x =，解得0x =，0x >时，()lg 10x +=，无解，故1m =，设过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的切点为()00,x y ，当0x <时，()23f x x '=，则有()320003y x x x x -=-，有()3200023x x x -=-，整理可得301x =-，即01x =-，即当00x <时，有一条切线，当0x >时，()lg e1f x x '=+，则有()()000lg 1e lg 1y x x x x -=-++，有()()000l 2g elg 11x x x -+=-+，整理可得()()()000221lg 10lg e x x x ++-++=，令()()()()()2l 0g 2l 1e 1g g x x x x x =++-++>，则()()2lg 1g x x '=-+，令()0g x '=，可得99x =，故当()0,99x ∈时，()0g x '>，即()g x 在()0,99上单调递增，当()99,x ∈+∞时，()0g x '<，即()g x 在()99,∞+上单调递减，由()()992lg e 99220099lg e 0g =+⨯+-=>，()02020g =-=>，故()g x 在()0,99x ∈上没有零点，又()()9992lg e 999210003999lg e 10000g =+⨯+-⨯=-<，故()g x 在()99,999上必有唯一零点，即当00x >时，亦可有一条切线符合要求，故2n =.故选：B.4．A【分析】令()()0g x f x x c =++=，则()f x x c +=-，则函数()g x 零点的个数即为函数(),y f x x y c =+=-图象交点的个数，构造函数()()h x f x x =+，利用导数求出函数()h x 的单调区间，作出其大致图象，结合图象即可得解.【详解】(]()(]()[)ln ln(1),,0ln(1),,0(),0,11,0,1e ,1,x x x x x f x x x x x x∞∞∞∞⎧⎪-∈-⎧-∈-⎪⎪==∈⎨⎨∈+⎪⎪⎩⎪∈+⎩，令()()0g x f x x c =++=，则()f x x c +=-，则函数()g x 零点的个数即为函数(),y f x x y c =+=-图象交点的个数，令()()(]()[)ln(1),,02,0,11,1,x x x h x f x x x x x x x∞∞⎧⎪-+∈-⎪=+=∈⎨⎪⎪+∈+⎩，当(],0x ∈-∞时，()()ln 1h x x x =-+，则()11011x h x x x =+=-'≥-，所以函数()h x 在(],0-∞上单调递增，且()00h =，当()0,1x ∈时，()()20,2h x x =∈，当[)1,x ∞∈+时，()1h x x x =+，则()2221110x h x x x-=='-+≥，所以函数()h x 在[)1,+∞上单调递增，且()12h =，又当x →-∞时()h x ∞→-，当x →时，()h x ∞→+，作出函数()h x的大致图象如图所示，由图可知函数(),y f x x y c =+=-的图象有且仅有一个交点，所以函数()()g x f x x c =++零点的个数为1个.故选：A.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.5．A【分析】利用导数及导函数的单调性判断极小值点在001x <<，再由函数的单调性及(0)(1)0f f ==可得不等式的解集.【详解】因为()32ln 3x f x '=-单调递增，且(0)ln 320f '=-<，(1)3ln 320f '=->，所以存在唯一0(0,1)x ∈，使得0()0f x '=，所以当0x x <时，()0f x '<，当0x x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，又(0)(1)0f f ==，且001x <<，所以由()0f x <可得01x <<，故选：A 6．①④【分析】对①：借助导数研究函数的单调性即可得极值点个数；对②：借助导函数的导函数研究导函数可得导函数无零点，故函数不存在极值点；对③：举出反例即可得；对④：将零点个数转化为直线y kx b =+与曲线213y x =+的交点个数，从而可通过研究过()0,b 的曲线213y x =+的切线，结合零点的存在性定理得到直线y kx b =+与曲线213y x =+的关系.【详解】对①：当0k =时，()213f x b x =，()()2232x f x x -'=+，则(),0x ∈-∞时，()0f x ¢>，当()0,x ∈+∞时，()0f x '<，故()f x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，故对任意b ∈R ，()f x 有1个极大值点0x =，故①正确；对②：当18k >时，()()2232f x k x x +-'=-，若()f x 存在极值点，则()f x '有变号零点，则()2232xk x -=+必须有解，令()()2232xx g x -=+，则()()()()()()()()2222224332222611238386333x x x x x x g x x x x x +'+=--+++-=++-+=，故当()(),11,x ∈-∞-⋃+∞时，()0g x '>，当()1,1x ∈-时，()0g x '<，故()g x 在(),1-∞-、()1,+∞上单调递增，在()1,1-上单调递减，又0x ≥时，()0g x ≤，()()()28211131g =+-⨯--=，即()18g x ≤恒成立，故当18k >时，()2232x k x -=+无解，故②错误；对③：当0b =时，()213f x kx x =-+，当0k =时，()2103f x x =>+，此时函数()f x 无零点，故③错误；对④：当103b <<时，若存在k ∈R ，使得()f x 有3个零点，则直线y kx b =+与曲线213y x =+有三个不同交点，由直线y kx b =+过点()0,b ，曲线213y x =+过点10,3⎛⎫⎪⎝⎭，又103b <<，213y x =+是偶函数，且在()0,∞+上单调递减，故当0k <时，直线y kx b =+与曲线213y x =+在第二象限必有一交点，同理，当0k >时，直线y kx b =+与曲线213y x =+在第一象限必有一交点，过点()0,b 作曲线213y x =+0201,3x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，则切线方程为()()00020222133x y x x x x --+-=+，即()()00020222133x b x x x --+⨯-=+，则()()22020313x b x +=+，由103b <<，则()()0220231133x x +<+，即()()2220011540x x +-++>，即()()()22220000141130x x x x +-+-=->，即203x ≥，故当103b <<时，存在()0,x ∈-∞+∞ ，使曲线213y x =+有过点()0,b 的切线，且切点为021,3x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，当0x >时，切线斜率为()22230x x +<-，则当()02022,03x k x ⎛⎫- ⎪∈ ⎪+⎝⎭时，有()00f x <，又()1030b f =->，则存在()100,x x ∈，使()10f x =，此时函数y kx b =+单调递减，而2103y x =>+恒成立，故存在()20,x x ∈+∞，使()20f x =，即当0x >时，存在()02022,03x k x ⎛⎫- ⎪∈ ⎪+⎝⎭，使得()f x 有3个零点，同理可得，当0x <()02020,23x k x ⎛⎫- ∈ ⎪+⎝⎭，使得()f x 有3个零点，故④正确.故答案为：①④.【点睛】关键点点睛：第④个结论关键点在于将零点个数转化为直线y kx b =+与曲线213y x =+的交点个数，从而可通过研究过()0,b 的曲线213y x=+的切线，结合零点的存在性定理去得到直线y kx b =+与曲线213y x =+的关系.7．②③④【分析】对①：计算定义域即可得；对②：对0k >与0k <分类讨论，结合二次函数求根公式计算即可得；对③：借助两点间的距离公式与导数求取最值计算即可得；对④：结合函数性质与③中所得结论即可得.【详解】对①：令30x x -≥，即有()()110x x x +-≥，即[][]1,01,x ∞∈-⋃+，故函数()f x 不是奇函数，故①错误；对②：0()f x kx kx -==kx =，当0x =00-=，故0是该方程的一个根；当0x ≠，0k >kx =，故0x >，结合定义域可得[]1,x ∞∈+，有322x x k x -=，即()2210x x k x --=，令2210x k x --=，440k ∆=+>，有22k x =或22k x =（负值舍去），则20122k x +=，故2210x k x --=必有一个大于1的正根，即0()f x kx -=必有一个大于1的正根；当0x ≠，0k <kx =，故0x <，结合定义域有[)1,0∈-x ，有322x x k x -=，即()2210x x k x --=，令2210x k x --=，440k ∆=+>，有22k k x =或22k k x =（正值舍去），令244k t +=>，即24k t =-，则2221171174242412222k t x ⎫⎛⎫--⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭==>=-，即1x =-，故2210x k x --=在定义域内亦必有一根，综上所述，R k ∀∈，且0k ≠，关于x 的方程0()f x kx -=恰有两个不相等的实数根，故②正确；对③：令(),P x y，则有y =222321124AP x x x⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，令()3214g x x x =++，[][]1,01,x ∞∈-⋃+，()()23232g x x x x x =='++，当()21,1,3x ∞⎛⎫∈--⋃+ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，当2,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，故()g x 在21,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭、()1,∞+上单调递增，在2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，又()1111144g -=-++=，()110044g =+=，故()14g x ≥恒成立，即214AP ≥，故12AP ≥，故③正确；对④：当12x x =时，由[][]1,01,x ∞∈-⋃+，121x x +=，故1212x x ==-，此时，124y y =-==，则12MN =≥，当12x x ≠时，由()y f x =与()y f x =-关于x 轴对称，不妨设12x x <，则有1210x x -≤<≤或121012x x -≤≤<≤≤，当121012x x -≤≤<≤≤时，由2121x x x -≥≥，有121MN x x =≥-≥，故成立；当1210x x -≤<≤时，即有211x x =-，由③知，点M 与点N 在圆2211:24A x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭上或圆外，设点()1,M x m '与点()2,N x n '在圆上且位于x 轴两侧，则1M N ''=,故1MN M N ''≥=；综上所述，1MN ≥恒成立，故④正确.故答案为：②③④.【点睛】关键点点睛：结论④中的关键点在于借助结论③，结合函数的对称性，从而得到当1x 、2x 都小于零时，MN 的情况.8．②③④【分析】根据黎曼函数的定义和性质逐项分析.【详解】对于①，N ,1n n +∈∴= 时，()11001a R ==≠，故①错误；对于②，111n a n +=+，212n a n +=+，+12n n a a +∴>，故②正确；对于③，11223341111111123341ni i n n i a a a a a a a a a a n n ++==++++=⨯+⨯++⋅+∑ 11111111123341212n n n =-+-++--<++ ，故③正确；对于④，123111123ni n i a a a a a n==++++=+++∑ ，()2n ≥，构造函数()e 1xg x x =--，()0x >，则()e 10xg x ='->，()g x 单调递增，()(0)0g x g ∴>=，即当0x >时e 1x x >+，11132111e 1,e 1,,e 123n n>+>+>+ ，11123345111111eln 2342232nn n n n n +++++⎛⎫>⨯⨯⨯⨯=∴+++> ⎪⎝⎭，当1n =时，110ni i a a ===∑，11ln 02+=，11ln 2ni i n a =+⎛⎫∴≥ ⎪⎝⎭∑，故④正确.故选：②③④.【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．9．1-（13a <-内的值都可以）01a ≤≤或2a ≥【分析】①分析函数的性质，确定零点所在的区间，通过解方程的方法，即可求解；②根据分段函数的形式，确定两段函数都是单调递增，并根据分界点处函数值的关系不等式，即可求解.【详解】①函数()23f x x a =+在()1,+∞上单调递增，()2130f a =+>，所以函数()f x 在区间()1,+∞上无零点，则函数()33f x x ax =+在(],1-∞上有2个零点，即330x ax +=，()230x x a +=，则0x =，或x =或x =，a<0，1>，解得：13a <-，所以a 的一个值是1-；②函数()23f x x a =+在()1,+∞上单调递增，则在(],1-∞上，()33f x x ax =+也单调递增，且321331a a +≤⨯+，若函数在()33f x x ax =+在区间(],1-∞单调递增，则()2330f x x a '=+≥，即2≥-a x 在区间(],1-∞上恒成立，即()2maxa x≥-，即0a ≥，不等式321331a a +≤⨯+，解得：2a ≥或1a ≤，综上可知，01a ≤≤或2a ≥.故答案为：1-（13a <-内的值都可以）；01a ≤≤或2a ≥10．①③【分析】取特殊值判断①，当0a <时，分别分析分段函数两部分的最值判断②，根据分段函数每部分的零点确定函数的零点可判断③④.【详解】当0a =时，()210 1.x x f x x ⎧<=⎨≥⎩，，，，显然函数的最小值为0，故①正确；当0a <时，ln ()(1)a xf x x x =≥，()21ln ()a x f x x-'=，当1e x <<时，()0f x '<，当e x <时，()0f x '>，所以()f x 在[)1,e 上单调递减，在[)e,+∞上单调递增，所以e x =时，()f x 有最小值(e)eaf =，由1e a =-可得a e =-，此时，1x <时，2()2e f x x x =-，()f x 在(,1)-∞上单调递减，所以()(1)12e f x f >=-，与最小值为1-矛盾，若1x <时，2()2f x x ax =+的对称轴方程为0x a =->，当1x a =-<时，即1a >-时，2min ()()f x f a a =-=-，若21a -=-，则1a =-与1a >-矛盾，当1x a =-≥时，()f x 在(,1)-∞上单调递减，无最小值，综上，当0a <时，函数()f x 的最小值不为1-，故②错误；由②知，1a <-时，1x <时，()f x 单调递减且(0)0f =，当1x ≥时，()0f x ≤且(1)0f =，所以函数恰有2个零点，故③正确；当0a >时，ln ()0(1)a xf x x x=≥≥且仅有(1)0f =，即ln ()(1)a x f x x x =≥有且只有1个零点，当0a <时，ln ()0(1)a xf x x x=≤≥且仅有(1)0f =，即ln ()(1)a x f x x x =≥有且只有1个零点，综上0a ≠时，ln ()(1)a xf x x x=≥有且只有1个零点，而2()2(2)f x x ax x x a =+=+在1x <上至多有2个零点，所以0a ≠时，函数没有4个零点，当0a =时，函数有无数个零点，故④错误.故答案为：①③【点睛】关键点点睛：本题的关键是对a 分类讨论，利用导数研究[)1,+∞上的函数性质，结合二次函数性质研究另一段函数.11．(1)24y x =-(2)2(3)2a =【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）利用导数求出函数()g x 的单调区间，进而可求出最小值；（3）分1a ≤和1a >两种情况讨论，在1a >时，再分x a >和1x a <<两种情况讨论，分离参数，构造函数并求出其最值，即可得解.【详解】（1）()()()ln 111xf x x x x '=-+>-，则()()22,20f f '==，所以曲线()y f x =在2x =处的切线方程为()22y x =-，即24y x =-；（2）()()()()ln 111xg x f x x x x '==-+>-，()()()22112111x x x g x x x x ---'=+=---，当12x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，所以()()min 22g x g ==；（3）函数()f x 的定义域为()1,+∞，当1a ≤时，0x a ->，则()2f x x a>-，即()()2f x x a >-，即()22a f x x -<-，由（2）得()2f x '≥，令()()2h x f x x =-，则()()()201h x f x x ''=-≥>，所以()h x 在()1,+∞上单调递增，又当1x →时，()h x →-∞，因为1a ≤，所以22a -≥-，此时()22a f x x -<-不恒成立，故1a ≤不符题意；当1a >时，若x a >，则0x a ->，则()2f x x a>-，即()()2f x x a >-，即()22a f x x -<-，由上可知函数()()2h x f x x =-在(),a +∞上单调递增，所以()()()()ln 12h x h a a a a x a >=-->，所以()2ln 12a a a a -≤--，解得2a ≥①，若1x a <<，则()2f x x a>-，即()()2f x x a <-，即()22a f x x ->-，由上可知函数()()2h x f x x =-在()1,a 上单调递增，所以()()()()ln 1211h x h a a a a a <=--<<，所以()2ln 12a a a a -≥--，解得2a ≤②，由①②可得2a =，综上所述，2a =.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．12．(1)答案见解析(2)1a ≥【分析】（1）首先求函数的导数，再分0,0,0a a a ><=三种情况讨论()f x 的单调性；（2）不等式转化为11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，设函数()1e x x h x x -=-，利用导数求函数的取值范围，再结合不等式，讨论a 的取值，即可求解.【详解】（1）()()1e xf x a ax '=--，当()0f x '=，得1ax a-=，当0a >时，1,a x a -⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，1,-⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭a x a 时，()0f x '<，()f x 单调递减，当0a <时，1,a x a -⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，1,-⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭a x a 时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当0a =时，()e xf x =，函数()f x 在R 上单调递增，综上可知，0a >时，函数()f x 的单调递增区间是1,a a -⎛⎫-∞ ⎝⎭，单调递减区间是1,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭，0a <时，函数()f x 的单调递减区间是1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭，0a =时，函数()f x 的增区间是(),-∞+∞，无减区间.（2）不等式()()1e 1xax a x ->-，即11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，设()1e x x h x x -=-，()2e 21e ex x xx x h x -+-'=-=，设()e 2xt x x =+-，()e 10x t x '=+>，所以()t x 单调递增，且()01t =-，()1e 20t =->，所以存在()00,1x ∈，使()00t x =，即()00h x '=，当()0,x x ∈-∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()00000e 1e x x x x h x h x -+≥=，因为e 1xx ≥+，所以()()()00002000000011e 110e e e x x x x x x x x x x h x h x +-+-++≥=≥=>，当0x ≤时，()()01h x h ≥=，当1x ≥时，()()11h x h ≥=，不等式()()1e 1xax a x ->-无整数解，即11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭无整数解，若0a ≤时，不等式恒成立，有无穷多个整数解，不符合题意，若1a ≥时，即11a≤，因为函数()h x 在(],0-∞上单调递减，在[)1,+∞上单调递增，所以Z x ∈时，()()(){}1min 0,11h x h h a ≥=≥，所以()1h x a<无整数解，符合题意，当01a <<时，因为()()1011h h a==<，显然0,1是()1a h x ⋅<的两个整数解，不符合题意，综上可知，1a ≥.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键1是不等式的变形11e x x a x -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，第二个关键是确定函数()1ex x h x x -=-的单调性，以及确定()()011h h ==.13．(1)1a =；(2)证明见解析；(3)01k <≤.【分析】（1）根据切点在曲线和切线上可得；（2）分0x >，0x =，0x <，利用导数讨论单调性，通过单调性讨论即可得证；（3）令()e cos sin 2xF x x k x =+--，分01k <≤，1k >两种情况，利用导数讨论最值即可得解.【详解】（1）解：因为()e cos x f x a x =+，所以()00e 1f a a =+=+，又点()()0,0f 在切线2y x =+上，所以()02f =，所以12a +=，即1a =.（2）证明：欲证方程()2f x =仅有一个实根，只需证明e cos 20x x +-=仅有一个零点，令()e cos 2x g x x =+-，则()e sin xg x x '=-，令()()e sin xh x g x x =-'=，则()e cos x h x x '=-，讨论：（1）当0x >时，()0e cos e cos 1cos 0x h x x x x =->-=-≥'，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，所以()()01h x h >=，即()e sin 10xg x x =>'->，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，()()00g x g >=，即此时无零点；（2）当0x =时，()00g =，即此时有一个零点；（3）当0x <时，()0e cos 2e cos 21cos 0x g x x x x =+-<+-=-+≤所以，当0x <时，()0g x <，即此时无零点综上可得，()e cos 2xg x x =+-仅有一个零点，得证.（3）当()0,x ∞∈+时，e cos sin 2x x k x +>+，即e cos sin 20x x k x +-->恒成立，令()e cos sin 2xF x x k x =+--，则()e sin cos xF x x k x =-'-，由（Ⅱ）可知，()0,x ∞∈+时e sin 1x x ->，所以()e sin cos 1cos xF x x k x k x '=-->-，讨论：（1）当01k <≤时，因为1cos 1x -≤≤，所以cos k k x k -≤≤，即11cos 1k k x k -≤-≤+，所以()1cos 10F x k x k >≥'--≥，即当01k <≤时，()0F x '>，所以()e cos sin 2xF x x k x =+--在()0,x ∞∈+时单调递增，所以()()00F x F >=恒成立，即满足条件e cos sin 20x x k x +-->，（2）当1k >时，由()e sin cos xF x x k x =-'-可知()010F k ='-<，又()ππe 0F k '=+>，所以存在()00,πx ∈，使得()00F x '=，所以，当()00,x x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减，当()0,x x ∞∈+时，()0F x '>，()F x 单调递增，所以()()000F x F <=，即不能保证e cos sin 20x x k x +-->恒成立，综上可知，正数k 的取值范围是01k <≤.【点睛】思路点睛：根据不等式恒成立求参数范围常用方法：（1）参变分离，将问题转化为函数最值问题；（2）根据参数分类讨论，利用导数求函数最值即可求解.14．(1)3y x =-+(2)答案见解析(3)1【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）求导，分0a =，0a >和a<0三种情况讨论，再结合极大值的定义即可得解；（3）令1()e 0ax f x x =+=，则1e ax x =-，再分x 的正负讨论，当0x <时，分离参数可得()ln x a x-=-，则函数()f x 零点的个数即为函数()ln ,x y a y x -==-图象交点的个数，构造函数()()()ln 0x h x x x-=-<，利用导数求出其单调区间和极值，作出函数的大致图象，结合图象即可得解.【详解】（1）当0a =时，1()1f x x=+，()21f x x '=-，则()()11,12f f =-'=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()21y x -=--，即3y x =-+；（2）21()e ax f x a x'=-，则()22()()e 10ax g x f x x ax x =⋅=-≠'，则()()()222e e 2e 0ax ax axg x ax a x ax ax x =+=+≠'，当0a =时，()1g x =-，此时函数()g x 无极值；当0a >时，令()0g x '<，则0x >或2x a <-，令()0g x '<，则20x a -<<，所以函数()g x 在(2,,0,a ∞∞⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，所以()g x 的极大值为2241eg a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；当a<0时，令()0g x '<，则0x <或2x a>-，令()0g x '<，则20x a <<-，所以函数()g x 在()2,0,,a ∞∞⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，而函数()g x 的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，所以此时函数()g x 无极值.综上所述，当0a ≤时，函数()g x 无极大值；当0a >时，()g x 的极大值为241ea -；（3）令1()e 0axf x x =+=，则1e ax x =-，当0x >时，1e ,00axx>-<，所以0x >时，函数()f x 无零点；当0x <时，由1e axx =-，得1ln ax x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()ln x a x-=-，则0x <时，函数()f x 零点的个数即为函数()ln ,x y a y x-==-图象交点的个数，令()()()ln 0x h x x x -=-<，则()()2ln 1x h x x --'=，当e x <-时，()0h x '>，当e 0x -<<时，()0h x '<，所以函数()h x 在(),e ∞--上单调递增，在()e,0-上单调递减，所以()()max 1e eh x h =-=，又当x →-∞时，()0h x >且()0h x →，当0x →时，()h x ∞→-，如图，作出函数()h x 的大致图象，又e a <-，由图可知，所以函数()()ln ,x y a h x x-==-的图象只有1个交点，即当0x <时，函数()f x 只有1个零点；综上所述，若e a <-，函数()f x 有1个零点．【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.15．(1)2e 2+(2)单调递增区间为(),1-∞-；单调递减区间为()1,0-(3)1a e=-【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，即可求出结果；（2）对函数求导得到()()11e x f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭'，由函数()f x 定义域知1e 0x x -<，再利用导数与函数单调性间的关系，即可求出结果；（3）对函数求导得到()()1e 1x f x x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭'，再分0a >和a<0两种情况讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出函数的单调区间，结合条件，即可求出结果.【详解】（1）当1a =时，()ln e xf x x x x =++，所以()()111e x f x x x=+++',得到()12e 2f '=+，所以曲线()y f x =在点()(1,)1f 处切线的斜率为2e 2+．（2）当1a =-时，()()ln e xf x x x x =+--，易知()f x 的定义域为(),0∞-，又()()()1111e 1e x x f x x x x x ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭'，因为(),0x ∈-∞，所以1e 0xx-<，所以(),1x ∈-∞-时，()0f x ¢>，()1,0x ∈-时，()0f x '<所以()f x 的单调递增区间为(),1-∞-；单调递减区间为()1,0-．（3）因为()()1ln e xf x x ax x a =++，所以()()1e 1x f x x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭'，易知0a ≠，当0a >时，()f x 的定义域为()0,∞+，所以()0f x ¢>恒成立，故()f x 在)∞+上单调递增，又12111e 0af a a a⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以0a >不合题意，当0a <时，()f x 的定义域为(),0∞-，此时1e0xx a+<，所以(),1x ∈-∞-时，()0f x ¢>，()1,0x ∈-时，()0f x '<，故()f x 的单调递增区间为(),1-∞-，单调递减区间为()1,0-，所以()()max 1()11ln ef x f a a =-=-+--．设()()11ln (0)e g x x x x=-+--<，则()2211e 1e e x g x x x x +=+='，当1,e x ∞⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，1,0e x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '>，所以()g x 的单调递减区间为1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；单调递增区间为1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以min 1()1e g x g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以集合(){}1xf x ≥-∣有且只有一个元素时1a e=-．【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法：一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.16．(1)()f x 的增区间为(),2∞-，减区间为(2,)+∞(2)1a ≥-【分析】（1）对函数求导，得到121(1))e 2(a x f x x -=-'，再求出()0f x '>和()0f x '<对应的x 取值，即可求出结果；（2）令2()()e h x f x a -=+，对()h x 求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出()h x 的单调区间，进而得出()h x 在(0,)+∞上取值范围，从而将问题转化成1222e e e a a a ---+≥成立，构造函数12()e e x m x x --=+，再利用()m x 的单调性，即可求出结果.【详解】（1）易知定义域为R ，因为12()ea x f x x -=，所以11122211(1)()e2e e 2a x a x a x x x x f ----=-'=，由()0f x '=，得到2x =，当2x <时，()0f x '>，当2x >时，()0f x '<，所以，函数()f x (),2∞，单调递减区间为()2,∞+.（2）令2()()e h x f x a -=+，则()()h x f x ''=，由（1）知，函数()f x 的单调递增区间为(),2∞-，单调递减区间为()2,∞+，所以()h x 在2x =时取得最大值12(2)2e e a h a --=+，所以当2x >时，1222()e e e (0)a x h x x a a h ---=+>=，当02x <<时，()(0)h x h >，即当,()0x ∈+∞时，(]()(0),(2)h x h h ∈，所以函数122()ee a x g x x a --=+在(0,)+∞存在最大值的充要条件是1222e e e a a a ---+≥，即122122e e e e +e 02a a a a a -----++=≥，令12()e e x m x x --=+，则12()e e 0x m x --'=+>恒成立，所以12()e e x m x x --=+是增函数，又因为22(1)e e 0m ---=-=，所以12()e e 0a m a a --=+≥的充要条件是1a ≥-，所以a 的取值范围为[)1,-+∞.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，构造函数122()e e a x h x x a --=+，利用函数单调性得到,()0x ∈+∞时，(]()(0),(2)h x h h ∈，从而将问题转化成1222e e e a a a ---+≥，构造函数12()e e x m x x --=+，再利用()m x 的单调性来解决问题.17．(1)12y =-(2)()12f x a =-极大值，无极小值(3)当12a =时()f x 有一个零点，当112a <≤时()f x 无零点【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程；（2）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出极值；（3）依题意可得()1ln 102a x x a -+-=，令()()1ln 12F x a x x a =-+-，则判断()f x 的零点个数，即判断()F x 的零点个数，利用导数说明()F x 的单调性，求出()()max ln 221F x a a a =-+，再令()ln 12xH x x x =-+，[]1,2x ∈，利用导数说明()H x 的单调性，即可求出()max H x ，从而得解.【详解】（1）当1a =时()21ln 2f x x x x =-，则()112f =-，()ln 1f x x x '=+-，所以()10f '=，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为12y =-.（2）函数()f x 的定义域为(0,∞+，且()()ln 1ln 1f x a x a x a a x x '=+-+-=-+，令()()ln 1g x f x a x x '==-+，则()1a a xg x x x-'=-=，因为a<0，所以()0g x '<恒成立，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，即()f x '在()0,∞+上单调递减，又()10f '=，所以当01x <<时()0f x ¢>，当1x >时()0f x '<，则()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()f x 在1x =处取得极大值()12f x a =-极大值，无极小值.（3）令()0f x =，即()21ln 102ax x x a x -+-=，因为0x >，所以()1ln 102a x x a -+-=，令()()1ln 12F x a x x a =-+-，所以判断()f x 的零点个数，即判断()F x 的零点个数，又()1222a a x F x x x -'=-=，112a ≤≤，所以当02x a <<时()0F x '>，当2x a >时()0F x '<，所以()F x 在()0,2a 上单调递增，在()2,a +∞上单调递减，所以()()()max 2ln 221F x F a a a a ==-+，令()ln 12xH x x x =-+，[]1,2x ∈，则()11ln 22H x x '=-，因为[]1,2x ∈，所以()()111ln 2ln 210222H x '≤-=-<，所以()H x 在[]1,2上单调递减，所以()()10H x H ≤=，所以()20F a ≤，当且仅当12a =时等号成立，所以当12a =时()F x 有一个零点，即()f x 有一个零点，当112a <≤时()F x 无零点，即()f x 无零点，综上可得当12a =时()f x 有一个零点，当112a <≤时()f x 无零点.【点睛】关键点点睛：第三问的关键是首先将问题转化为()1ln 102a x x a -+-=，利用导数求出()()max ln 221F x a a a =-+，再构造函数()ln 12xH x x x =-+，[]1,2x ∈.18．(1)y x =(2)见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据导数的几何意义，求切线方程；（2）首先求函数的导数，再讨论01a <≤和1a >两种情况求函数的单调性，求函数的最值；（3）首先根据不等式构造函数()e ln 1xg x x x x =---，再利用导数求函数的最小值，即可证明.【详解】（1）()()1e axf x ax '=+，()01f '=，()00f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y x =；（2）()()1e axf x ax '=+，0a >当01a <≤时，()0f x '≥在区间[]1,1-上恒成立，()f x 在区间[]1,1-上单调递增，所以函数()f x 的最小值为()1e axf --=-，最大值为()1e a f =，当1a >时，()0f x '=，得()11,0x a=-∈-，()f x '在区间11,a ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭小于0，函数()f x 单调递减，()f x '在区间1,1a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦大于0，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 的最小值为11e f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()1e ax f --=-，()1e a f =，显然()()11f f >-，所以函数()f x 的最大值为()1e a f =，综上可知，当01a <≤时，函数()f x 的最小值为()1e ax f --=-，最大值为()1e af =，当1a >时，函数()f x 的最小值为11e f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，最大值为()1e af =；（3）当1a =时，()e xf x x =，即证明不等式e ln 1x x x x ≥++，设()e ln 1xg x x x x =---，0x >，()()11e ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭x g x x x ，设()1e xh x x =-，0x >，()21e 0xh x x'=+>，所以()h x 在()0,∞+单调递增，并且1202h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()1e 10h =->，所以函数()h x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一零点0x ，使()0001e 0x h x x =-=，即()00g x '=，则在区间()00,x ，()0x '<，()g x 单调递减，在区间()0,x +∞，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()g x 的最小值为()00000e ln 1xg x x x x =---，由()0001e 0xh x x =-=，得001x x e =，且00ln x x =-，所以()00g x =，所以()e ln 10xg x x x x =---≥，即()ln 1f x x x ≥++.19．(1)1y x =+(2)函数()h x 有唯一零点0x =，证明过程见解析(3)2【分析】（1）只需分别求出()()0,0f f '即可得解；（2）首先有()()e ln 121xh x x x =++--，()()1e 211x x x h x x +--'=+，令()()()1e 21,1x m x x x x =+-->-，我们可以通过构造导数来说明()0m x >，即()0h x '>，这表明了()h x 单调递增，注意到()00h =，由此即可进一步得证；（3）首先我们可以连续求导说明函数()f x '在(]1,0-上递减，在[)0,∞+上递增.其次()()()()()000h x f x f x x x f x =---'，故()()()0h x f x f x ''-'=.进一步有()()000h x h x '==，然后分000,10x x >-<<两种情况分类讨论即可求解.【详解】（1）当00x =时，()()001f x f ==，而()1e 11x f x x =+-+'，所以()01f '=，从而切线方程为10y x -=-，也就是1y x =+.（2）由题意()()()()()()e ln 11e ln 121x xh x f x h x x x x x x =-=++--+=++--，所以()()1e 211e 211x xx x h x x x +--=+-='++，令()()1e 21x m x x x =+--，则()()2e 2xm x x =+-'，当10x -<<时，122x <+<，0e 1x <<，所以()2e 2e 212x xx +<<⨯=，即()0m x '<，所以当10x -<<时，()m x 单调递减，()()00m x m >=，当0x >时，22x +>，e 1x >，所以()2e 2e 212x xx +>>⨯=，即()0m x '>，所以当0x >时，()m x 单调递增，()()00m x m >=，综上，()0m x ≥恒成立，也就是()0h x '≥恒成立，所以()h x 在()1,∞-+又因为()00h =，故函数()h x 有唯一零点0x =，且当10x -<<时，()0h x <，当0x >时，()0h x >；因此当10x -<<时，()0xh x >，当0x >时，()0xh x >，故()0xh x ≥；（3）对n 个实数12,,...,n a a a ，定义()12max ,,...,n a a a 和()12min ,,...,n a a a 分别为12,,...,n a a a 中最大的一个和最小的一个.现在，()()e ln 1x f x x x =++-，故()1e 11xf x x =+-+'，令()()f x x ϕ'=，再对()x ϕ求导一次得到()()21e 1xx x ϕ=-+'.当10x -<<时，()()()02211e e 110101xx x ϕ=-<-='-=++，()x ϕ单调递减；当0x >时，()()()02211e e 110101xx x ϕ=->-='-=++，()x ϕ单调递增.。

专题03导数及其应用1. [2019年高考全国III 卷理数】已知曲线y = ae x +xlnx 在点(1, ae)处的切线方程为y=2x+b,贝9 A. a = e, b = —1 B. a=e, b=l C. a — e _1, b = lD. a = e"1 > b = -\【答案】D【解析】T y' = ae* + lnx+l,切线的斜率 k = y' |Y=1= ae+1 = 2,a = e _1， 将(1,1)代入 y = 2x + b,得 2 + b = l,b = -l. 故选D.【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a, b 的等式，从而求解，属于常考题 型.了2 O XTTV 2d V* V 12. [2019年高考天津理数】已知tzeR ，设函数/(%)=' _ '若关于X 的不等式/(x)>0在R 上x-alnx, x>l.恒成立，则a 的取值范围为A. [0,1]B. [0,2]C. [0,e]D. [l,e]【答案】C【解析】当兀=1时，/(1) = 1 —2a + 2a = l>0恒成立;当 x<l 时，/(%) = x 2-2ajc + 2a>0^ 2a>^-恒成立,x-1令g(x) =—7x-1(1 —兀―1)2_ (1—兀)2—2(1 —兀)+ 1 1 — X 1 — X当1 —兀=丄，即x = 0时取等号,1-X贝0g(x) = ——1-X2a= 0,则a>0.Y当 x 〉l 时，f(x) = x-a\nx>0,即a< ---------------- 11 成立,lnx当x>e 时,h'(x) >0,函数〃(x)单调递增, 当0<x<e 时，h'(x) <0,函数力(x)单调递减, 则x = e 时，〃(x)取得最小值A(e) = e,•■- a<h(x)nin =e,综上可知，a 的取值范围是［0,e ］. 故选C.【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成 立问题.x,x<03. (2019浙江)已知a,bwR ，函数/(%) = < 1 1 2.若函数f(x)-ax-b 恰有3个零点, —X ——(Q + 1)兀 + ax, X > 0 13 2A. a<-\, b<0 C. tz>—1, Z?<0D. a>—1, Z?>0【答案】C【解析】当 x<0 时，y=f (x) -ax - b=x - ax - b= (1 - a) x - b=0,得 x= 丿丿 l-a则y=f (x) -ax-b 最多有一个零点；当 x>0 时，y=f (兀)-ax - b= -x 3—- (a+1) x^+ax - ax - b= -x 3—- (a+1) x 2 - b, —)J3 2 3 2y = x 2-(€l + l)x,当 a+lwo,即來-1 时，y>0, y=f (x) -ax-b 在［0, +oo)上单调递增， 则y =f -ax-b 最多有一个零点，不合题意；当a+l>0,即°>-1时，令y'>0得兀丘@+1, +oo),此时函数单调递增， 令WVO 得用［0, d+1),此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y=f (x) -ax-b 恰有3个零点o 函数y=f (x) - ax - b 在(-oo, 0)上有一个零点，在［0, +oo)令〃(x)=—, lnx则 h\x)=lnx-1(In x)2 B. a<-l, b>0上有2个零点,如图：b—b>01-a (a + l)3 - j (a + l)(a + l)2- b<0解得b<0, 1 - a>0, b> -- (a+1) 3,6则a>-l, b<0.故选C・【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当兀V0时，y=f (x) -ax - b=x - ax - b= (l-°) x~ b最多有一个零点；当空0时，y=/(x) -ax-b=^-\ (a+1) - b,利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解.4.[2019年高考全国I卷理数】曲线y = 3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为_________________ .【答案】3x-y-0【解析】y = 3(2x+l)e A + 3(x2 + x)e r = 3(x2 +3x+l)e r,所以切线的斜率k = y' |x=0=3,则曲线y = 3(x2 + x)^在点(0,0)处的切线方程为y = 3x,即3x — y = 0 .【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误•求导要“慢”, 计算要准，是解答此类问题的基本要求._ 45.[2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y = x + —(无>0)上的一个动点，则点P到直线x+ y = 0的距离的最小值是一▲•【答案】44 4【解析】由y = x （x〉0）,得丁' = 1 ——,X X4 4设斜率为一1的直线与曲线_y = x + -（x>0）切于（x0,x0+—）,x 勺由1一一 =一1得x0 = A/2（x0=-A/2舍去），x o曲线y = x + -（x>o）±,点P（V2,3A/2）到直线x+y = o的距离最小，最小值为故答案为4 .【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到己知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.6.[2019年高考江苏】在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnr上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e, -l）（e 为自然对数的底数），则点A的坐标是▲.【答案】（e, 1）【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.设点A（x0,y0）,则y Q =lnx0.又# =丄，X则曲线y = InX在点A处的切线为y - ％=丄（X —勺），即yin”。

2023北京高三一模数学汇编 第四道解答题（第19题）1．（2023·北京西城·统考一模）已知函数()e cos x f x x =−． (1)求曲线()y f x =在点(,())00f 处的切线方程；(2)设()()()g x x f x f x '=−，证明：()g x 在(0,)+∞上单调递增； (3)判断133f ⎛⎫ ⎪⎝⎭与144f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系，并加以证明．2．（2023·北京东城·统考一模）已知函数2()ln f x ax x x =−. (1)当0a =时，求()f x 的单调递增区间； (2)设直线l 为曲线()y f x =的切线，当e2a ≥时，记直线l 的斜率的最小值为()g a ，求()g a 的最小值； (3)当0a >时，设()13,,24M y y f x x a a ⎧⎫⎛⎫==∈⎨⎬ ⎪⎭⎩'⎝⎭，()11,,42N y y f x x a a ⎧⎫⎛⎫==∈⎨⎬ ⎪⎭⎩'⎝⎭，求证：M N .3．（2023·北京朝阳·统考一模）已知函数()()2e 1R xf x ax a =−−∈．(1)求()f x 的单调区间；(2)若()0f x >对()0,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围；(3)证明：若()f x 在区间()0,∞+上存在唯一零点0x ，则02x a <−．4．（2023·北京丰台·统考一模）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的一个顶点为()0,1A ，焦距为2．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点()2,0P 的直线与椭圆E 交于B ，C 两点，过点B ，C 分别作直线:l x t =的垂线（点B ，C 在直线l 的两侧）．垂足分别为M ，N ，记BMP ，MNP △，CNP 的面积分别为1S ，2S ，3S ，试问：是否存在常数t ，使得1S ，212S ，3S 总成等比数列？若存在，求出t 的值．若不存在，请说明理由．5．（2023·北京石景山·统考一模）已知椭圆C :()222210x y a b a b+=>>过点(，且离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()1,1P −且互相垂直的直线1l ,2l 分别交椭圆C 于M ,N 两点及,S T 两点.求PM PN PS PT的取值范围.6．（2023·北京房山·统考一模）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点(0,1)B ，且离心率为2 (1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线l 与椭圆E 相切，过点(1,0)M 作直线l 的垂线，垂足为N ，O 为坐标原点，证明：||ON 为定值.7．（2023·北京顺义·统考一模）已知函数2()(2)e (1),2x a f x x x a =−−−∈R ．(1)当2a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (2)求函数()f x 的单调区间．8．（2023·北京平谷·统考一模）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过3(2,0),1,2A B ⎛⎫−− ⎪⎝⎭两点，设过点(2,1)P −的直线椭圆交E 于M ，N 两点，过M 且平行于y 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．(1)求椭圆E 的方程： (2)证明：直线HN 过定点．参考答案1．(1)y x = (2)证明见解析(3)113434f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，证明见解析【分析】（1）求导得切点处的斜率，即可求解直线方程， （2）求导，利用导数的正负即可确定函数的单调性， （3）构造函数()(),(0,)f x h x x x=∈+∞，利用导数确定单调性，结合（2）的结论即可求解. 【详解】（1）()e sin x f x x =+',所以(0)0f =，(0)1f '=． 所以曲线()y f x =在点(,())00f 处的切线方程为y x =．（2）由题设，()(e sin )(e cos )x x g x x x x =+−−(1)e sin cos x x x x x =−++． 所以()(e cos )x g x x x '=+．当0x >时，因为0e cos e cos 1cos 0x x x x +>+=+≥，所以()0g x '>． 所以()g x 在(0,)+∞上单调递增． （3）113434f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．证明如下： 设()(),(0,)f x h x x x=∈+∞． 则22()()()()x f x f x g x h x x x'−'==．由（2）知()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0g x g >=． 所以()0h x '>，即()h x 在(0,)+∞上单调递增． 所以1134h h ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即113434f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．2．(1)1(0,)e(2)1(3)证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，令导数大于0，即可求得答案；（2）求出函数的导数，判断导数正负，确定函数单调性，即可求得函数最值；（3）根据（2）的结论，判断函数在给定区间上的单调性，即可求得,M N ，比较端点处的值的大小关系，即可证明结论.【详解】（1）当0a =时，()ln ,(0)f x x x x =−>，故()ln 1f x x '=−−， 令()ln 10f x x '=−−>，则10ex <<，即()f x 的单调递增区间为1(0,)e.（2）由2()ln ,(0)f x ax x x x =−>，可得()2ln 1f x ax x '=−−， 即直线l 的斜率为()2ln 1f x ax x '=−−， 设()2ln 1h x ax x =−−，则121()2ax h x a x x−'=−=， 因为e2a ≥，故1102e a <≤， 当102x a <<时，()0h x '<，()h x 在1(0,)2a上递减， 当12x a >时，()0h x '>，()h x 在1(,)2a+∞上递增， 故min 1()()ln 22h x h a a ==，即min 1()()ln 22f x h a a'==， 即()ln 2g a a =，而e2a ≥，故()g a 的最小值为e ln 212⨯=.（3）由已知0a >，由（2）可知13,24x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x '为单调增函数，由11()ln ln 222f a a a'=−=，3131()lnln 4ln 34242f a a a '=−=+−， 则()131,,(ln 2,ln 4ln 3)242M y y f x x a a a a ⎧⎫⎛⎫==∈=+−⎨⎬ ⎝⎭⎭'⎪⎩，又11,42x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x '为单调减函数，1111()ln 1ln 44242f a a a '=−−=−+， 故()111,,(ln 2,ln 4)422N y y f x x a a a a ⎧⎫⎛⎫==∈=−+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭'，由于ln 31>，即11ln 322−<−，故11ln 4ln 3ln 422a a +−<−+，故M N .【点睛】关键点睛：证明M N 时，要根据导数判断函数的单调性，求出M ，N 表示的集合，关键要进行端点处值的大小比较，从而证明结论. 3．(1)答案见解析 (2)2a ≤ (3)证明见解析【分析】（1）讨论0a ≤、0a >，结合导数的符号确定单调区间；（2）由2()2e x f x a '=−，讨论2a ≤、2a >研究导数符号判断()f x 单调性，进而判断题设不等式是否恒成立，即可得参数范围；（3）根据（2）结论及零点存在性确定2a >时()f x 在1(ln ,)22a∞+上存在唯一零点，由零点性质及区间单调性，应用分析法将问题转化为证(2)0f a −>在2a >上恒成立，即可证结论. 【详解】（1）由题设2()2e x f x a '=−， 当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在R 上递增； 当0a >时，令()0f x '=，则1ln 22a x =，若1ln 22ax <，则()0f x '<，()f x 在1(,ln )22a ∞−上递减；若1ln 22ax >，则()0f x '>，()f x 在1(ln ,)22a ∞+上递增；综上，0a ≤时()f x 的递增区间为R ，无递减区间；0a >时()f x 的递减区间为1(,ln )22a ∞−，递增区间为1(ln ,)22a∞+.（2）由2()2e x f x a '=−，当2a ≤时，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，故()f x 在(0,)+∞上递增，则()(0)0f x f >=，满足要求；当2a >时，由（1）知：()f x 在1(,ln )22a ∞−上递减，在1(ln ,)22a ∞+上递增，而1ln 022a>，所以()f x 在1(0,ln )22a上递减，在1(ln ,)22a ∞+上递增，要使()0f x >对()0,x ∈+∞恒成立，所以，只需1(ln )ln 1022222a a a af =−−>，令()ln 1g x x x x =−−且1x >，则()ln 0g x x '=−<，即()g x 递减， 所以()(1)0g x g <=，故在()0,x ∈+∞上()0f x >不存在2a >； 综上，2a ≤（3）由（2）知：2a ≤时，在(0,)+∞恒有()0f x >，故不可能有零点； 2a >时，()f x 在1(0,ln )22a上递减，在1(ln ,)22a ∞+上递增，且(0)0f =，所以1(0,ln )22a上()0f x <，无零点，即1(ln )022a f <，且x 趋向于正无穷时()f x 趋向正无穷，所以，在1(ln ,)22a ∞+上存在唯一0x ，使0200()e 10xf x ax =−−=，要证02x a <−，只需2(2)(2)e (2)10a f a a a −−=−−−>在2a >上恒成立即可， 令20t a =−>，若2()e (2)1t h t t t =−+−，则2()2(e 1)t h t t =−−'，令2()e 1t p t t =−−，则2()2e 10t p t =−'>，即()p t 在(0,)+∞上递增，故()(0)0p t p >=， 所以()0h t '>，即()h t 在(0,)+∞上递增，故()(0)0h t h >=， 所以2(2)(2)e (2)10a f a a a −−=−−−>在2a >上恒成立，得证；故02x a <−，得证.【点睛】关键点点睛：第三问，通过讨论确定()f x 在某一单调区间上存在唯一零点的a 的范围后，应用分析法证(2)0f a −>恒成立即可.4．(1)2212x y +=(2)存在1t =，使得1S ，212S ，3S 总成等比数列.【分析】(1)根据,,a b c 的关系求解；(2)表示BMP ，MNP △，CNP 的面积，利用韦达定理表示出21231,4S S S ⋅即可求出常数t 的值.【详解】（1）根据已知可得1,22b c ==， 所以2221,1,2b c a b c ===+=，所以椭圆E 的方程为2212x y +=.（2）由已知得，BC 的斜率存在，且,B C 在x 轴的同侧，设直线BC 的方程为(2)y k x =−，1122(,),(,)B x y C x y ，不妨设12x x <， 则12120,,y y x t x ><<由22(2)12y k x x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8820,k x k x k +−+−= 所以2221212228828(12)0,,,1212k k k x x x x k k −∆=−>+=⋅=++因为111221322111()||,(2)||,()||222S t x y S t y y S x t y =−=−−=−， 所以132112211211()()||()()44S S x t t x y y x t t x y y ⋅=−−=−− 221121()()(2)(2)4k x t t x x x =−−−− []22121212121()2()44k t x x x x t x x x x ⎡⎤=+−⋅−⋅⋅−++⎣⎦ 2222222222188282164412121212k t k k k k t k k k k ⎛⎫⎛⎫−−=−−⋅−+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭222222122(2)24(12)k k t t k ⎡⎤=−−−+⎣⎦+， 22222222121121611(2)())16(()4S t y y k t x x =−−=−− 22221121(2)()416k t x x x x ⎡⎤=−+−⎣⎦222222218328(2)()121216k k k t k k ⎡⎤−=−−⎢⎥++⎣⎦222222122(2)(2)4(12)k k t t k ⎡⎤=⋅−−+−⎣⎦+， 要使1S ，212S ，3S 总成等比数列，则应有222(2)t t −+=−解得1t =，所以存在1t =，使得1S ，212S ，3S 总成等比数列.5．(1)22143x y +=(2)3443⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【分析】（1）根据椭圆过点(，且离心率为12列方程组求得,,a b c 的值，即可得椭圆C 的方程； （2）讨论直线1l 的斜率不存在时，直线2l 的斜率不存在时，求各交点坐标即可得PM PN PS PT的取值，再讨论直线1l ,2l 的斜率均存在，不妨设直线1l 的方程为()11y k x =++，则直线2l 的方程为()111y x k=−++，()()()()11223344,,,,,,,M x y N x y S x y T x y ，联立直线与椭圆得交点坐标关系，利用弦长公式即可求得PM PN PS PT的范围，综合可得答案.【详解】（1）椭圆C :()222210x y a b a b+=>>过点(，且离心率为12所以22212b c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得12b c a ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程为22143x y +=； （2）当直线1l 的斜率不存在时，则直线1l ：=1x −，代入椭圆方程得32y =±，所以331,,1,22M N ⎛⎫⎛⎫−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；直线2l ：1y =，代入椭圆方程得3x =±，所以,S N ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以34PM PNPS PT==；当直线2l 的斜率不存在时，同理可得43PM PN PS PT=； 当直线1l ,2l 的斜率均存在，不妨设直线1l 的方程为()11y k x =++，则直线2l 的方程为()111y x k=−++，()()()()11223344,,,,,,,M x y N x y S x y T x y ，则()2211143y k x x y ⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()()222348141120k x k k x k +++++−=，0∆>恒成立，所以()()2121222814112,3434k k k x x x x kk++−+=−=++，所以()()21212121111PM PN k x x x x =++=++++()()()()2222224112815111343434k k k k k k k k +−−+=+++=+⋅+++；同理可得，将k 换成1k −可得2222215151134134k PS PT k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+−⋅=+⋅⎢⎥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎢⎥⎣⎦+− ⎪⎝⎭所以()()()22222222225371433437343444,153434443434134k k PM PN k kk PS PTk k k k k +⋅+++⎛⎫+====+∈ ⎪++⎛⎫+⎝⎭+⋅ ⎪+⎝⎭， 综上所述，PM PNPS PT 的取值范围是34,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦.6．(1)2212x y +=【分析】（1）利用椭圆过点(0,1)B ，得到1b =，再由椭圆的离心率为2，求出a 的值，从而求到椭圆E 的标准方程；（2）对直线l 的斜率为0、斜率不存在及斜率存在且不为0三种情况讨论，从而求出ON . 【详解】（1）因为椭圆过点(0,1)B ，所以1b =，又e =222a b c =+，所以c a ===a = 所以椭圆E 的标准方程为2212x y +=.（2）当直线斜率l 存在且不为0时，设直线l 的方程为(0)y kx m k =+≠，联立直线l 和椭圆E 的方程得2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理，得222(21)4220k x kmx m +++−=， 因为直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点，所以方程有两个相等的根， 2222164(21)(22)0k m k m ∆=−+−=，化简整理得2221m k =+因为直线MN 与l 垂直，所以直线MN 的方程为1(1)y x k=−−，联立得1(1)y x k y kx m ⎧=−−⎪⎨⎪=+⎩，解得22111km x k k m y k −⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， 221(,)11km k m N k k −+∴++， 所以()()()()()()()22222222222222222111111111k m km k m k m k m mONk k k k ++−++++++====++++ 把2221m k =+代入上式得，222(22)2(1)k ON k +==+，所以ON = 当直线l 斜率为0时，直线:1l y ，过点(1,0)M 作直线l 的垂线，则垂线方程为1x =，此时(1,1)N 或(1,1)−N，ON当直线l斜率不存在时，直线:l x =(1,0)M 作直线l 的垂线，则垂线方程为0y =，此时(N或N，ON =综上所述，ON =. 7．(1)3y x =− (2)答案见解析【分析】(1)当2a =时，求出函数()f x 的导函数()f x '，利用导数的几何意义求出0x =处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程；(2)对a 进行分类讨论，由此求得()f x 的单调区间． 【详解】（1）当2a =时，2()(2)e (1)x f x x x =−−， 所以()(1)e 2(1)x f x x x '=−−−又因为02(0)(02)e (01)=3f =−−−−，0(0)(01)e 2(01)=1k f '==−−−， 所以()f x 在(0(0))f ，处的切线方程为30y x +=−，即3y x =− （2）由题意知，()f x 的定义域为R ()(1)e (1)(1)(e )x x f x x a x x a '=−−−=−−①当0a ≤时，e 0x a −>，则当1x <时()0f x '<，当1x >时()0f x '>， 所以()f x 在(,1)−∞上单调递减，在()1,∞+上单调递增； ②当0a >时，由()0f x '=得=1x 或=ln x a ，（i ）若e a =，则()(1)(e e)0x f x x '=−−≥，所以()f x 在R 上单调递增， （ii ）若0<e a <，则ln 1a <，所以当<ln x a 或>1x 时()0f x '>，当ln 1a x <<时()0f x '<， 所以()f x 在(ln ,1)a 上单调递减，在(,ln )a −∞和()1,∞+上单调递增， （iii ）若e a >，则ln 1a >，所以当<1x 或>ln x a 时()0f x '>，当1ln x a <<时()0f x '<， 所以()f x 在()1,ln a 上单调递减，在(,1)−∞和()ln ,a ∞+上单调递增，综上所述，当0a ≤时，()f x 的单调递减区间是(,1)−∞，单调递增区间是()1,∞+； 当0<e a <时，()f x 的单调递减区间是(ln ,1)a ，单调递增区间是(,ln )a −∞和()1,∞+； 当e a =时，()f x 的单调递增区间是(),−∞+∞，无单调递减区间；当e a >时，()f x 的单调递减区间是()1,ln a ，单调递增区间是(,1)−∞和()ln ,a ∞+．8．(1)22143x y +=(2)直线HN 过定点(2,0)−，证明见解析.【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）先根据两条特殊直线的交点，判断定点的坐标，再设过点P 的一般方程，联立椭圆方程，得到韦达定理，求得直线TN 的方程，并代入定点坐标，验证是否成立，即可判断是否过定点.【详解】（1）解：因为椭圆E 的方程为2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过3(2,0),1,2A B ⎛⎫−− ⎪⎝⎭两点，则222411914a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，23b =， 所以椭圆E 的方程为：22143x y +=.（2）因为3(2,0),1,2A B ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，所以()3:22AB y x =+，①假设过点(2,1)P −的直线过原点，则2x y =−，代入22143x y +=，可得(M，N ，代入AB 方程()322y x =+，可得()3(2)2T ，由MT TH =得到(6)H .求得HN 方程：)2y x =+，过点(2,0)−. ②分析知过点(2,1)P −的直线斜率一定存在，设1122210,(,),(,)kx y k M x y N x y −++=. 联立22210,143kx y k x y −++=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)(168)4(443)0k x k k x k k +++++−=， 可得21222122168434(442)43k k x x k k k x x k ⎧++=−⎪⎪+⎨+−⎪=⎪+⎩，第11页/共11页 所以()121221264243k y y k x x k k ++=+++=+， ()()()()2221212121223122121244143k y y kx k kx k k x x k k x x k k k +=++++=+++++=+， 且()()()()1221122112122242121221(*)43k x y x y x kx k x kx k kx x k x x k −+=+++++=++=+ 因为点H 满足MT TH =，所以T 为MH 的中点， 联立()1,322x x y x =⎧⎪⎨=+⎪⎩可得()()111113(,2),(,32).2T x x H x x y ++− 可求得此时112221236:()x y y HN y y x x x x +−−−=−−， 假设直线HN 过定点(2,0)−，将(2,0)−，代入整理得12121221126()2()3120x x y y x y x y x x −+++++−−=， 将(*)代入，得222964824122448482448360,k k k k k k k +++−−−+−−= 显然成立，综上，可得直线HN 过定点(2,0)−.。

第01讲导数的概念及运算 (精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：导数的概念高频考点二：导数的运算高频考点三：导数的几何意义①求切线方程（在型）②求切线方程（过型）③已知切线方程（或斜率）求参数④导数与函数图象⑤共切点的公切线问题⑥不同切点的公切线问题⑦与切线有关的转化问题第四部分：高考真题感悟第五部分：第01讲导数的概念及运算（精练）1、平均变化率（1）变化率事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。

如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值. （2）平均变化率一般地，函数()f x 在区间[]21,x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --.（3）如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法：①作差：求出21()()y f x f x ∆=-和21x x x ∆=-②作商：对所求得的差作商，即2121()()f x f x y x x x -∆=∆-. 2、导数的概念（1）定义：函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是()()xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000limlim，我们称它为函数()x f y =在0x x =处的导数,记作()　或0x f '即　0x x y ='()()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000limlim ＝. （2）定义法求导数步骤：① 求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-； ② 求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③ 求极限，得导数：00000()()'()limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆.3、导数的几何意义函数()y f x =在点0x x =处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线的斜率k ，即0()k f x '=.4、基本初等函数的导数公式5若()f x '，()g x '存在，则有 （1）[()()]()()f x g x f x g x '''±=±（2）[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=⋅+⋅ （3）2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ''⋅-⋅'= 6、复合函数求导复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．7、曲线的切线问题（1）在型求切线方程已知：函数)(x f 的解析式.计算：函数)(x f 在0x x =或者))(,(00x f x 处的切线方程.步骤：第一步：计算切点的纵坐标)(0x f （方法：把0x x =代入原函数)(x f 中），切点))(,(00x f x . 第二步：计算切线斜率'()k f x =.第三步：计算切线方程.切线过切点))(,(00x f x ，切线斜率)('0x f k =。

专题04 导数及其应用（解答题）1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数f （x ）=2sin x -x cos x -x ，f ′（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）(],0a ∈-∞.【解析】（1）设()()g x f x '=，则()cos sin 1,()cos g x x x x g x x x '=+-=.当π(0,)2x ∈时，()0g x '>；当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以()g x 在π(0,)2单调递增，在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减. 又π(0)0,0,(π)22g g g ⎛⎫=>=-⎪⎝⎭，故()g x 在(0,π)存在唯一零点. 所以()f x '在(0,π)存在唯一零点.（2）由题设知(π)π,(π)0f a f =…，可得a ≤0.由（1）知，()f x '在(0,π)只有一个零点，设为0x ，且当()00,x x ∈时，()0f x '>；当()0,πx x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()00,x 单调递增，在()0,πx 单调递减.又(0)0,(π)0f f ==，所以，当[0,π]x ∈时，()0f x …. 又当0,[0,π]a x ∈…时，ax ≤0，故()f x ax …. 因此，a 的取值范围是(,0]-∞.【名师点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数()(1)ln 1f x x x x =---．证明：（1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）()f x 的定义域为（0，+∞）.11()ln 1ln x f x x x x x-'=+-=-. 因为ln y x =单调递增，1y x=单调递减，所以()f x '单调递增，又(1)10f '=-<，1ln 41(2)ln 2022f -'=-=>，故存在唯一0(1,2)x ∈，使得()00f x '=.又当0x x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0x x >时，()0f x '>，()f x 单调递增. 因此，()f x 存在唯一的极值点.（2）由（1）知()0(1)2f x f <=-，又()22e e 30f =->，所以()0f x =在()0,x +∞内存在唯一根x α=.由01x α>>得011x α<<.又1111()1ln 10f f αααααα⎛⎫⎛⎫=---==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1α是()0f x =在()00,x 的唯一根. 综上，()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．【名师点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、极值，以及函数零点的问题，属于常考题型.3．【2019年高考天津文数】设函数()ln (1)e x f x x a x =--，其中a ∈R .（Ⅰ）若a ≤0，讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）若10ea <<， （i ）证明()f x 恰有两个零点；（ii ）设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点，且10x x >，证明0132x x ->. 【答案】（Ⅰ）()f x 在(0,)+∞内单调递增.；（Ⅱ）（i ）见解析；（ii ）见解析. 【解析】（Ⅰ）解：由已知，()f x 的定义域为(0,)+∞，且211e ()e (1)e x x xf ax x a a x x x-⎡⎤=-+-=⎣'⎦. 因此当a ≤0时，21e 0x ax ->，从而()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞内单调递增.（Ⅱ）证明：（i ）由（Ⅰ）知21e ()xax f x x-'=.令2()1e x g x ax =-，由10e a <<， 可知()g x 在(0,)+∞内单调递减，又(1)1e 0g a =->，且221111ln 1ln 1ln 0g a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故()0g x =在(0,)+∞内有唯一解，从而()0f x '=在(0,)+∞内有唯一解，不妨设为0x ，则011l n x a<<.当()00,x x ∈时，()0()()0g x g x f x x x'=>=，所以()f x 在()00,x 内单调递增；当()0,x x ∈+∞时，()0()()0g x g x f x x x'=<=，所以()f x 在()0,x +∞内单调递减，因此0x 是()f x 的唯一极值点.令()ln 1h x x x =-+，则当1x >时，1()10h'x x=-<，故()h x 在(1,)+∞内单调递减，从而当1x >时，()(1)0h x h <=，所以ln 1x x <-.从而ln 1111111ln ln ln ln 1e ln ln ln 1ln 0a f a h a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-+=< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为()0(1)0f x f >=，所以()f x 在0(,)x +∞内有唯一零点.又()f x 在()00,x 内有唯一零点1，从而，()f x 在(0,)+∞内恰有两个零点.（ii ）由题意，()()010,0,f x f x '=⎧⎪⎨=⎪⎩即()012011e 1,ln e ,1x x ax x a x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩从而1011201ln e x x x x x --=，即102011ln e 1x x x x x -=-.因为当1x >时，ln 1x x <-，又101x x >>，故()102012011e 1x x x x x x --<=-，两边取对数，得1020ln e ln x x x -<，于是()10002ln 21x x x x -<<-，整理得0132x x ->.【名师点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想、化归与转化思想.考查综合分析问题和解决问题的能力. 4．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数32()22f x x ax =-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0<a <3时，记()f x 在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围． 【答案】（1）见详解；（2）8[,2)27. 【解析】（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-． 令()0f x '=，得x =0或3ax =． 若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减．（2）当03a <<时，由（1）知，()f x 在0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在,13a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，所以()f x 在[0,1]的最小值为32327a a f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为(0)=2f 或(1)=4f a -.于是 3227a m =-+，4,02,2,2 3.a a M a -<<⎧=⎨≤<⎩所以332,02,27,2 3.27a a a M m a a ⎧-+<<⎪⎪-=⎨⎪≤<⎪⎩当02a <<时，可知3227a a -+单调递减，所以M m -的取值范围是8,227⎛⎫⎪⎝⎭． 当23a ≤<时，327a 单调递增，所以M m -的取值范围是8[,1)27．综上，M m -的取值范围是8[,2)27． 【名师点睛】这是一道常规的导数题目，难度比往年降低了不少.考查函数的单调性，最大值、最小值的计算.5．【2019年高考北京文数】已知函数321()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ），当M （a ）最小时，求a 的值．【答案】（Ⅰ）y x =与6427y x =-；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）3a =-. 【解析】（Ⅰ）由321()4f x x x x =-+得23()214f x x x '=-+．令()1f x '=，即232114x x -+=，得0x =或83x =．又(0)0f =，88()327f =，所以曲线()y f x =的斜率为1的切线方程是y x =与88273y x -=-，即y x =与6427y x =-．（Ⅱ）令()(),[2,4]g x f x x x =-∈-．由321()4g x x x =-得23()24g'x x x =-． 令()0g'x =得0x =或83x =．(),()g'x g x 的情况如下：x2-(2,0)-8(0,)3 838(,4)34()g'x+-+()g x6-6427-所以()g x 的最小值为6-，最大值为0． 故6()0g x -≤≤，即6()x f x x -≤≤． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3a <-时，()(0)|(0)|3M F g a a a ≥=-=->； 当3a >-时，()(2)|(2)|63M F a g a a ≥-=--=+>； 当3a =-时，()3M a =． 综上，当()M a 最小时，3a =-．【名师点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．【2019年高考浙江】已知实数0a ≠，设函数()=ln 1,0.f x a x x x ++>（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间； （2）对任意21[,)ex ∈+∞均有(),2x f x a ≤ 求a 的取值范围． 注：e=2.71828…为自然对数的底数．【答案】（1）()f x 的单调递增区间是()3,+∞,单调递减区间是()0,3；（2）20,4⎛⎤⎥ ⎝⎦. 【解析】（1）当34a =-时，3()ln 1,04f x x x x =-++>． 31(12)(211)()42141x x f 'x x x x x+-++=-+=++， 所以，函数()f x 的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．（2）由1(1)2f a≤，得204a <≤．当204a <≤时，()2x f x a ≤等价于2212ln 0x xx a a+--≥． 令1t a=，则22t ≥． 设2()212ln ,22g t t x t x x t =-+-≥，则211()(1)2ln xg t x t x x x+=-+--．（i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，1122x+≤，则 ()(22)84212ln g t g x x x ≥=-+-．记1()4221ln ,7p x x x x x =-+-≥，则 2212121()11x x x x p'x x x x x x +--+=--=++(1)[1(221)]1(1)(12)x x x x x x x x -++-=++++.故x171(,1)71(1,)+∞()p'x-0 +()p x1()7p 单调递减极小值(1)p单调递增所以，()(1)0p x p ≥=．因此，()(22)2()0g t g p x ≥=≥． （ii ）当211,e 7x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，12ln (1)()12x x x g t g x x ⎛⎫--++= ⎪ ⎪⎝⎭…． 令211()2ln (1),,e 7q x x x x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦ ， 则ln 2()10x q'x x+=+>， 故()q x 在211,e 7⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以1()7q x q ⎛⎫⎪⎝⎭…．由（i ）得，127127(1)07777q p p ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以，()<0q x ．因此1()()102q x g t g x x⎛⎫+=-> ⎪ ⎪⎝⎭…． 由（i ）（ii ）知对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，[22,),()0t g t ∈+∞…， 即对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2x f x a …． 综上所述，所求a 的取值范围是20,4⎛⎤⎥ ⎝⎦．【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．7．【2019年高考江苏】设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R 、()f 'x 为f （x ）的导函数． （1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<=…，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427． 【答案】（1）2a =；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-． 因为(4)8f =，所以3(4)8a -=， 解得2a =． （2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-， 从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=--⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x b =或23a bx +=．因为2,,3a ba b +都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠， 所以21,3,33a b a b +===-．此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-． 令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：x (,3)-∞-3-(3,1)-1 (1,)+∞()f 'x + 0 – 0 + ()f x极大值极小值所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>， 则()f 'x 有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得22121111,33b b b b b b x x +--+++-+==．列表如下：x 1(,)x -∞1x()12,x x2x2(,)x +∞()f 'x+ 0 – 0 + ()f x极大值极小值所以()f x 的极大值()1M f x =． 解法一：()321111(1)M f x x b x bx ==-++()221111211(1)[32(1)]3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭()()23221(1)(1)2127927b b b b b b b --+++=++-+23(1)2(1)(1)2((1)1)272727b b b b b b +-+=-+-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤． 解法二：因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-． 令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 令()0g'x =，得13x =．列表如下： x 1(0,)3131(,1)3()g'x + 0 – ()g x极大值所以当13x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭．所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤． 【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．8．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数21()exax x f x +-=． （1）求曲线()y f x =在点(0,1)-处的切线方程； （2）证明：当1a ≥时，()e 0f x +≥． 【答案】（1）210x y --=；（2）见解析.【解析】（1）2(21)2()exax a x f x -+-+'=，(0)2f '=． 因此曲线()y f x =在点(0,1)-处的切线方程是210x y --=． （2）当1a ≥时，21()e (1e )e x x f x x x +-+≥+-+．令21()1ex g x x x +=+-+，则1()21ex g x x +'=++．当1x <-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x >-时，()0g x '>，()g x 单调递增； 所以()g x (1)=0g ≥-．因此()e 0f x +≥．【名师点睛】本题考查函数与导数的综合应用，第一问由导数的几何意义可求出切线方程，第二问当1a ≥时，21()e (1e)e x x f x x x +-+≥+-+，令21()1e x g x x x +=+-+，求出()g x 的最小值即可证明.9．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数()e ln 1xf x a x =--．（1）设2x =是()f x 的极值点，求a ，并求()f x 的单调区间； （2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥． 【答案】（1）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增；（2）见解析.【解析】（1）f （x ）的定义域为(0)+∞，，f ′（x ）=a e x –1x． 由题设知，f ′（2）=0，所以a =212e． 从而f （x ）=21e ln 12e x x --，f ′（x ）=211e 2e x x-． 当0<x <2时，f ′（x ）<0；当x >2时，f ′（x ）>0．所以f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）当a ≥1e 时，f （x ）≥e ln 1exx --．设g （x ）=e ln 1e x x --，则e 1()e x g x x'=-．当0<x <1时，g ′（x ）<0；当x >1时，g ′（x ）>0．所以x =1是g （x ）的最小值点． 故当x >0时，g （x ）≥g （1）=0． 因此，当1ea ≥时，()0f x ≥．【名师点睛】该题考查的是有关导数的应用问题，涉及的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要确定函数的定义域，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果. 10．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数()()32113f x x a x x =-++． （1）若3a =，求()f x 的单调区间；（2）证明：()f x 只有一个零点．【答案】（1）在（–∞，323-），（323+，+∞）单调递增，在（323-，323+）单调递减；（2）见解析.【解析】（1）当a =3时，f （x ）=3213333x x x ---，f ′（x ）=263x x --． 令f ′（x ）=0解得x =323-或x =323+．当x ∈（–∞，323-）∪（323+，+∞）时，f ′（x ）>0； 当x ∈（323-，323+）时，f ′（x ）<0．故f （x ）在（–∞，323-），（323+，+∞）单调递增，在（323-，323+）单调递减．（2）由于210x x ++>，所以()0f x =等价于32301x a x x -=++．设()g x =3231x a x x -++，则g ′（x ）=2222(23)(1)x x x x x ++++≥0，仅当x =0时g ′（x ）=0， 所以g （x ）在（–∞，+∞）单调递增．故g （x ）至多有一个零点，从而f （x ）至多有一个零点． 又f （3a –1）=22111626()0366a a a -+-=---<， f （3a +1）=103>，故f （x ）有一个零点． 综上，f （x ）只有一个零点．【名师点睛】（1）用导数求函数单调区间的步骤如下：①确定函数的定义域；②求导数；③由（或）解出相应的的取值范围，当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减增函数.（2）本题第二问重在考查零点存在性问题，解题的关键在于将问题转化为求证函数有唯一零点，可先证明其单调，再结合零点存在性定理进行论证.11．【2018年高考北京文数】设函数2()[(31)32]e x f x ax a x a =-+++.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线斜率为0，求a ； （Ⅱ）若()f x 在1x =处取得极小值，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）12a =；（Ⅱ）(1,)+∞. 【解析】（Ⅰ）因为2()[(31)32]e xf x ax a x a =-+++， 所以2()[(1)1]e xf x ax a x '=-++.2(2)(21)e f a '=-，由题设知(2)0f '=，即2(21)e 0a -=，解得12a =. （Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得2()[(1)1]e (1)(1)e xxf x ax a x ax x '=-++=--. 若a >1，则当1(,1)x a∈时，()0f x '<； 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>. 所以()f x 在x =1处取得极小值.若1a ≤，则当(0,1)x ∈时，110ax x -≤-<， 所以()0f x '>.所以1不是()f x 的极小值点. 综上可知，a 的取值范围是(1,)+∞.方法二：()(1)(1)e xf x ax x '=--.（1）当a =0时，令()0f x '=得x =1.(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：x(,1)-∞1 (1,)+∞()f x ' + 0 − ()f x↗极大值↘∴()f x 在x =1处取得极大值，不合题意. （2）当a >0时，令()0f x '=得121,1ax x ==. ①当12x x =，即a =1时，2()(1)e 0xf x x '=-≥， ∴()f x 在R 上单调递增， ∴()f x 无极值，不合题意.②当12x x >，即0<a <1时，(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：x(,1)-∞1 1(1,)a1a1(,)a+∞ ()f x '+ 0 − 0 + ()f x↗极大值↘极小值↗∴()f x 在x =1处取得极大值，不合题意.③当12x x <，即a >1时，(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：x1(,)a-∞1a1(,1)a1(1,)+∞()f x ' + 0 − 0 + ()f x↗极大值↘极小值↗∴()f x 在x =1处取得极小值，即a >1满足题意. （3）当a <0时，令()0f x '=得121,1ax x ==. (),()f x f x '随x 的变化情况如下表：x1(,)a-∞1a1(,1)a1(1,)+∞()f x '− 0 + 0 − ()f x↘极小值↗极大值↘∴()f x 在x =1处取得极大值，不合题意. 综上所述，a 的取值范围为(1,)+∞.【名师点睛】导数类问题是高考数学中的必考题，也是压轴题，主要考查的形式有以下四个：①考查导数的几何意义，涉及求曲线切线方程的问题；②利用导数证明函数的单调性或求单调区间问题；③利用导数求函数的极值、最值问题；④关于不等式的恒成立问题.解题时需要注意以下两个方面：①在求切线方程问题时，注意区别在某一点和过某一点解题步骤的不同；②在研究单调性及极值、最值问题时常会涉及分类讨论的思想，要做到不重不漏；③不等式的恒成立问题属于高考中的难点，要注意问题转换的等价性.12．【2018年高考天津文数】设函数123()=()()()f x x t x t x t ---，其中123,,t t t ∈R ,且123,,t t t 是公差为d 的等差数列．（I ）若20,1,t d ==求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （II ）若3d =，求()f x 的极值；（III ）若曲线()y f x =与直线2()63y x t =---有三个互异的公共点，求d 的取值范围． 【答案】（I ）x +y =0；（II ）函数f (x )的极大值为63；函数f (x )的极小值为−63；（III ）d 的取值范围为(,10)(10,)-∞-+∞.【解析】（Ⅰ）解：由已知，可得f (x )=x (x −1)(x +1)=x 3−x ，故()f x '=3x 2−1， 因此f (0)=0，(0)f '=−1，又因为曲线y =f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y −f (0)=(0)f '(x −0)， 故所求切线方程为x +y =0． （Ⅱ）解：由已知可得f (x )=(x −t 2+3)(x −t 2)(x −t 2−3)=(x −t 2)3−9(x −t 2)=x 3−3t 2x 2+(3t 22−9)x −t 23+9t 2．故()f x '=3x 2−6t 2x +3t 22−9．令()f x '=0，解得x =t 2−3，或x =t 2+3． 当x 变化时，()f x '，f (x )的变化如下表：x(−∞，t 2−3)t 2−3 (t 2−3，t 2+3)t 2+3 (t 2+3，+∞)()f x '+ 0 − 0 + f (x )↗极大值↘极小值↗所以函数f (x )的极大值为f (t 2−3)=(−3)3−9×(−3)=63；函数f (x )的极小值为f (t 2+3)=(3)3− 9×(3)=−63．（Ⅲ）解：曲线y =f (x )与直线y =−(x −t 2)−63有三个互异的公共点等价于关于x 的方程(x −t 2+d )(x −t 2)(x −t 2 −d )+(x −t 2)+ 63=0有三个互异的实数解，令u =x −t 2，可得u 3+(1−d 2)u +63=0．设函数g (x )=x 3+(1−d 2)x +63，则曲线y =f (x )与直线y =−(x −t 2)−63有三个互异的公共点等价于函数y =g (x )有三个零点．()g'x =3x 3+(1−d 2)．当d 2≤1时，()g'x ≥0，这时()g x 在R 上单调递增，不合题意．当d 2>1时，()g'x =0，解得x 1=213d --，x 2=213d -．易得，g (x )在(−∞，x 1)上单调递增，在[x 1，x 2]上单调递减，在(x 2，+∞)上单调递增． g (x )的极大值g (x 1)=g (213d --)=32223(1)639d -+>0． g (x )的极小值g (x 2)=g (213d -)=−32223(1)639d -+． 若g (x 2)≥0，由g (x )的单调性可知函数y =g (x )至多有两个零点，不合题意．若2()0,g x <即322(1)27d ->，也就是||10d >，此时2||d x >，(||)||630,g d d =+>且312||,(2||)6||2||636210630d x g d d d -<-=--+<-+<，从而由()g x 的单调性，可知函数()y g x =在区间1122(2||,),(,),(,||)d x x x x d -内各有一个零点，符合题意．所以，d 的取值范围是(,10)(10,)-∞-+∞．【名师点睛】本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想和分类讨论思想，考查综合分析问题和解决问题的能力. 13．【2018年高考浙江】已知函数f (x )=x −ln x ．（Ⅰ）若f (x )在x =x 1，x 2(x 1≠x 2)处导数相等，证明：f (x 1)+f (x 2)>8−8ln2；（Ⅱ）若a ≤3−4ln2，证明：对于任意k >0，直线y =kx +a 与曲线y =f (x )有唯一公共点． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析. 【解析】（Ⅰ）函数f （x ）的导函数11()2f x xx '=-， 由12()()f x f x ''=得1212111122x x x x -=-， 因为12x x ≠，所以121112x x +=． 由基本不等式得4121212122x x x x x x =+≥． 因为12x x ≠，所以12256x x >． 由题意得12112212121()()ln ln ln()2f x f x x x x x x x x x +=-+-=-． 设1()ln 2g x x x =-， 则1()(4)4g x x x'=-， 所以x（0，16）16 （16，+∞）()g x ' −0 +()g x2−4ln2所以g （x ）在[256，+∞）上单调递增， 故12()(256)88ln 2g x x g >=-， 即12()()88ln 2f x f x +>-． （Ⅱ）令m =()e a k -+，n =21()1a k++，则f （m ）–km –a >|a |+k –k –a ≥0， f （n ）–kn –a <1()a n k nn --≤||1()a n k n +-<0， 所以，存在x 0∈（m ，n ）使f （x 0）=kx 0+a ，所以，对于任意的a ∈R 及k ∈（0，+∞），直线y =kx +a 与曲线y =f （x ）有公共点． 由f （x ）=kx +a 得ln x x a k x--=．设l (n )x ah xx x --=，则22ln )1)((12xx ag x x x a x h '=--+--+=， 其中2(n )l xg x x -=． 由（Ⅰ）可知g （x ）≥g （16），又a ≤3–4ln2， 故–g （x ）–1+a ≤–g （16）–1+a =–3+4ln2+a ≤0，所以h ′（x ）≤0，即函数h （x ）在（0，+∞）上单调递减，因此方程f （x ）–kx –a =0至多1个实根． 综上，当a ≤3–4ln2时，对于任意k >0，直线y =kx +a 与曲线y =f （x ）有唯一公共点．【名师点睛】本题主要考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力.14．【2018年高考江苏】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【答案】（1）矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ）平方米，sinθ的取值范围是[14，1]；（2）当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【解析】（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），△CDP的面积为12×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0，则sinθ0=14，θ0∈（0，π6）．当θ∈[θ0，π2]时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范围是[14，1]．答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ）平方米，sinθ的取值范围是[14，1]．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，π2 ]．设f （θ）=sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，π2]， 则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ'=--=-+-=--+． 令()=0f θ'，得θ=π6， 当θ∈（θ0，π6）时，()0f θ'>，所以f （θ）为增函数； 当θ∈（π6，π2）时，()0f θ'<，所以f （θ）为减函数， 因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值． 答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.15．【2018年高考江苏】记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f xg x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”． （1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； （2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数2()f x x a =-+，e ()xb g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）e2；（3）见解析. 【解析】（1）函数f （x ）=x ，g （x ）=x 2+2x -2，则f ′（x ）=1，g ′（x ）=2x +2． 由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）= g ′（x ），得222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解， 因此，f （x ）与g （x ）不存在“S ”点．（2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =， 则12f x ax g x x'='=（），（）． 设x 0为f （x ）与g （x ）的“S ”点，由f （x 0）=g （x 0）且f ′（x 0）=g ′（x 0），得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，（*） 得01ln 2x =-，即120e x -=，则1221e 22(e )a -==． 当e2a =时，120e x -=满足方程组（*），即0x 为f （x ）与g （x ）的“S ”点．因此，a 的值为e 2． （3）对任意a >0，设32()3h x x x ax a =--+．因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，，且h （x ）的图象是不间断的，所以存在0x ∈（0，1），使得0()0h x =．令03002e (1)x x b x =-，则b >0．函数2e ()()xb f x x a g x x=-+=，，则2e (1)()2()x b x f x x g x x-'=-=′，． 由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）=g ′（x ），得22e e (1)2xx b x a x b x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩，（**） 此时，0x 满足方程组（**），即0x 是函数f （x ）与g （x ）在区间（0，1）内的一个“S 点”． 因此，对任意a >0，存在b >0，使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点”．【名师点睛】本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.16．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数()f x =e x (e x −a )−a 2x ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．【答案】（1）当0a =时，)(x f 在(,)-∞+∞单调递增；当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增；当0a <时，()f x 在(,ln())2a -∞-单调递减，在(ln(),)2a-+∞单调递增；（2）34[2e ,1]-．【解析】（1）函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞，22()2e e (2e )(e )xx x x f x a a a a '=--=+-，①若0a =，则2()e xf x =，在(,)-∞+∞单调递增． ②若0a >，则由()0f x '=得ln x a =．当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增．③若0a <，则由()0f x '=得ln()2a x =-．当(,ln())2a x ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln(),)2a x ∈-+∞时，()0f x '>，故()f x 在(,ln())2a -∞-单调递减，在(ln(),)2a-+∞单调递增．（2）①若0a =，则2()e xf x =，所以()0f x ≥．②若0a >，则由（1）得，当ln x a =时，()f x 取得最小值，最小值为2(ln )ln f a a a =-．从而当且仅当2ln 0a a -≥，即1a ≤时，()0f x ≥．③若0a <，则由（1）得，当ln()2a x =-时，()f x 取得最小值，最小值为23(ln())[ln()]242a a f a -=--．从而当且仅当23[ln()]042aa --≥，即342e a ≥-时()0f x ≥．综上，a 的取值范围为34[2e ,1]-．【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：（1）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出()f x '，由()f x '的正负，得出函数()f x 的单调区间；（2）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数()f x 的极值或最值．17．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】设函数2()(1)e x f x x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()1f x ax ≤+，求a 的取值范围.【答案】（1）在(,12)-∞--和(12,)-++∞单调递减，在(12,12)---+单调递增；（2）[1,)+∞. 【解析】（1）2()(12)e xf x x x '=--.令()0f x '=得121+2x x =--=-，.当(,12)x ∈-∞--时，()0f x '<；当(12,12)x ∈---+时，()0f x '>；当(12,)x ∈-++∞时，()0f x '<.所以()f x 在(,12)-∞--和(12,)-++∞单调递减，在(12,12)---+单调递增.（2）()(1+)(1)e x f x x x =-.当a ≥1时，设函数h (x )=（1−x ）e x ，h ′(x )= −x e x＜0（x ＞0），因此h (x )在[0，+∞)单调递减，而h (0)=1， 故h (x )≤1，所以f (x )=（x +1）h (x )≤x +1≤ax +1.当0＜a ＜1时，设函数g （x ）=e x −x −1，g ′（x ）=e x−1＞0（x ＞0），所以g （x ）在[0，+∞)单调递增，而g (0)=0，故e x≥x +1.当0＜x ＜1时，2()(1)(1)f x x x >-+，22(1)(1)1(1)x x ax x a x x -+--=---，取05412a x --=，则2000000(0,1),(1)(1)10,()1x x x ax f x ax ∈-+--=>+故.当0a ≤时，取051,2x -=则0(0,1),x ∈20000()(1)(1)11f x x x ax >-+=>+. 综上，a 的取值范围是[1，+∞）.【名师点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.18．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数()2(1)ln 2x ax a x f x =+++．（1）讨论()f x 的单调性； （2）当a ﹤0时，证明3()24f x a≤--．【答案】（1）当0≥a 时，)(x f 在),0(+∞单调递增；当0<a 时，)(x f 在)21,0(a-单调递增，在),21(+∞-a单调递减；（2）详见解析 【解析】（1）()f x 的定义域为（0，+），()()1211()221x a x f x a x a x x++'=+++=.若0a ≥，则当(0)x ∈+∞，时，()0f x '>，故()f x 在（0，+）单调递增. 若0a <，则当1(0,)2x a ∈-时，()0f x '>；当1()2x a ∈-+∞，时，()0f x '<.故()f x 在1(0,)2a-单调递增，在1()2a-+∞，单调递减. （2）由（1）知，当0a <时，()f x 在12x a=-取得最大值，最大值为 111()ln()1224f a a a-=---. 所以3()24f x a ≤--等价于113ln()12244a a a ---≤--，即11ln()1022a a-++≤. 设()ln 1g x x x =-+，则1()1g x x '=-.当(0,1)x ∈时，()0g x '>；当x ∈（1，+）时，()0g x '<.所以()g x 在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x =1时()g x 取得最大值，最大值为g （1）=0.所以当x ＞0时，()0g x ≤.从而当a ＜0时，11ln()1022a a -++≤，即3()24f x a≤--. 【名师点睛】利用导数证明不等式的常见类型及解题策略：（1）构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.19．【2017年高考浙江】已知函数f (x )=（x –21x -）e x -（12x ≥）． （1）求f (x )的导函数；（2）求f (x )在区间1[+)2∞，上的取值范围．【答案】（1）(1)(212)e 1()()221x x x f x x x ----'=>-；（2）121[0,e ]2-．【解析】（1）因为1(21)121x x 'x --=--，(e )e x x'--=-， 所以1()(1)e (21)e 21x xf x x x x --'=-----(1)(212)e 1()221x x x x x ----=>-．（2）由(1)(212)e ()021x x x f x x ----'==-，解得1x =或52x =．因为x12（12，1） 1 （1，52） 52（52，+∞） ()f x '–0 +–f （x ）121e 2-521e 2-又21()(211)e 02x f x x -=--≥， 所以f （x ）在区间1[,)2+∞上的取值范围是121[0,e ]2-．【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出()f'x ，由()f'x 的正负，得出函数()f x 的单调区间；（二）函数的最值（极值）的求法：由单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数()f x 的极值或最值．20．【2017年高考北京文数】已知函数()e cos x f x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值． 【答案】（Ⅰ）1y =；（Ⅱ）最大值为1；最小值为π2-. 【解析】（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1,(0)0xf x x x f ''=--=.又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =.（Ⅱ）设()e (cos sin )1xh x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin xxh x x x x x x '=---=-.当π(0,)2x ∈时，()0h x '<， 所以()h x 在区间π[0,]2上单调递减.所以对任意π(0,]2x ∈有()(0)0h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π[0,]2上单调递减.因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22f =-. 【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过()f x '不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设()()h x f x '=，再求()h x '，一般这时就可求得函数()h x '的零点，或是()0h x '>(()0h x '<)恒成立，这样就能知道函数()h x 的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断()y f x =的单调性，最后求得结果. 21．【2017年高考天津文数】设,a b ∈R ，||1a ≤．已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()e ()x g x f x =．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）已知函数()y g x =和e x y =的图象在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线，（i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；（ii ）若关于x 的不等式()e x g x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，求b 的取值范围．【答案】（Ⅰ）递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，递减区间为(),4a a -；（Ⅱ）（ⅰ）见解析，（ⅱ）[7],1-．【解析】（Ⅰ）由324()63()f x x a x x a b =--+-，可得2()3123()3()((44))f 'x x a x a a x x a -=---=--，令()0f 'x =，解得x a =或4x a =-．由||1a ≤，得4a a <-． 当x 变化时，()f 'x ，()f x 的变化情况如下表：x (,)a -∞ (),4a a - (4,)a -+∞()f 'x+-+()f x所以，()f x 的单调递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，单调递减区间为(),4a a -．（Ⅱ）（i ）因为()e (()())xx x g'f f 'x =+，由题意知000()e ()e x x x x g g'⎧=⎪⎨=⎪⎩， 所以000000()e e e (()())ex x xx f f f x 'x x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得00()1()0f 'x x f =⎧⎨=⎩． 所以，()f x 在0x x =处的导数等于0．（ii ）因为()e xg x ≤，00[11],x x x ∈-+，由e 0x >，可得()1f x ≤．又因为0()1f x =，0()0f 'x =，故0x 为()f x 的极大值点，由（Ⅰ）知0x a =． 另一方面，由于||1a ≤，故14a a +<-，由（Ⅰ）知()f x 在(,)1a a -内单调递增，在(),1a a +内单调递减， 故当0x a =时，()()1f f x a ≤=在[1,1]a a -+上恒成立，从而()e xg x ≤在00,[11]x x -+上恒成立．由32()63()14a a f a a a a b =---+=，得32261b a a =-+，11a -≤≤．令32()261t x x x =-+，[1,1]x ∈-，所以2()612t'x x x =-，令()0t'x =，解得2x =（舍去），或0x =． 因为(1)7t -=-，(1)3t =-，(0)1t =， 故()t x 的值域为[7],1-． 所以，b 的取值范围是[7],1-．【名师点睛】本题考查导数的应用，属于中档问题，第一问的关键是根据条件判断两个极值点的大小，从而避免讨论；第二问要注意切点是公共点，切点处的导数相等，求b 的取值范围的关键是得出0x a =，然后构造函数进行求解．22．【2017年高考山东文数】已知函数()3211,32f x x ax a =-∈R . （Ⅰ）当a =2时,求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；（Ⅱ）设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.【答案】（Ⅰ）390x y --=,（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）由题意2()f x x ax '=-，所以，当2a =时，(3)0f =，2()2f x x x '=-， 所以(3)3f '=，因此，曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程是3(3)y x =-， 即390x y --=.（Ⅱ）因为()()()cos sin g x f x x a x x =+--， 所以()()cos ()sin cos g x f x x x a x x ''=+---，()()sin x x a x a x =--- ()(sin )x a x x =--，令()sin h x x x =-， 则()1cos 0h x x '=-≥， 所以()h x 在R 上单调递增， 因为(0)0h =，所以，当0x >时，()0h x >；当0x <时，()0h x <. （1）当0a <时，()()(sin )g x x a x x '=--，当(,)x a ∈-∞时，0x a -<，()0g x '>，()g x 单调递增； 当(,0)x a ∈时，0x a ->，()0g x '<，()g x 单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，0x a ->，()0g x '>，()g x 单调递增. 所以当x a =时()g x 取到极大值，极大值是31()sin 6g a a a =--，当0x =时()g x 取到极小值，极小值是(0)g a =-. （2）当0a =时，()(sin )g x x x x '=-， 当(,)x ∈-∞+∞时，()0g x '≥，()g x 单调递增；所以()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，()g x 无极大值也无极小值. （3）当0a >时，()()(sin )g x x a x x '=--，当(,0)x ∈-∞时，0x a -<，()0g x '>，()g x 单调递增； 当(0,)x a ∈时，0x a -<，()0g x '<，()g x 单调递减； 当(,)x a ∈+∞时，0x a ->，()0g x '>，()g x 单调递增. 所以当0x =时()g x 取到极大值，极大值是(0)g a =-； 当x a =时()g x 取到极小值，极小值是31()sin 6g a a a =--. 综上所述：当0a <时，函数()g x 在(,)a -∞和(0,)+∞上单调递增，在(,0)a 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是31()sin 6g a a a =--，极小值是(0)g a =-； 当0a =时，函数()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值；当0a >时，函数()g x 在(,0)-∞和(,)a +∞上单调递增，在(0,)a 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是(0)g a =-，极小值是31()sin 6g a a a =--. 【名师点睛】(1)求函数f (x )极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0,求出函数定义域内的所有根；④检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f (x )在x 0处取极大值,如果左负右正,那么f (x )在x 0处取极小值．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ,b )内有极值,那么y ＝f (x )在(a ,b )内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值．23．【2017年高考江苏】已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数()'f x 的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23>b a ；（3）若()f x ，()'f x 这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．。