09年高考数学解题方法专练：函数与方程

09级高三数学总复习讲义——函数与方程知识清单：1．函数的最值的定义：函数y=f (y )，定义域为A ，若存在y 0∈A ，使得对任意的y ∈A ，恒有)()(0x f x f ≥))()((0x f x f ≤成立，则称)(0x f 为函数的最小（大）值。

2.求函数最值的方法（求最值与求值域一般相同,最值问题更具综合性和灵活性）（1）配方法：用于二次函数，或可通过换元法转化为二次函数的最值问题；（2）判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y 的最值,但必须检验这个最值在定义域内有相应的x 的值；（3）不等式法：利用平均不等式求最值,注意一正二定三等；（4）换元法:通过变量代换,化繁为简,化难为易,化未知为已知,其中三角代换是重要方法。

换元后须注意新变量的取值范围；（5）数形结合法(图象法)：当一个函数图象可作时，通过图象可求其最值；（6）单调性法：利用函数的单调性求最值；（7）求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值.3．解应用题的一般程序(1)审题：阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,理顺数量关系,这一关是基础.(2)建模：将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型,正确进行建“模”是关键的一关。

(3)求解：求解数学模型，得到数学结论，要充分注重数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程。

(4)作答：将数学结论还原给实际问题的过程。

4．常见函数模型(1)二次函数型。

(2) “对钩函数”a y x x =+型 (3) 分段函数模型。

(4) y=N (1+p)y 型及数列型课前预习1.函数f （y ）=)1(11x x --的最大值是 ( ) A .54B .45C .43D .342．如果0<a <1,0<x ≤y<1，且lo g a x ·lo g a y=1，则x y （ ）A ．有最大值，也有最小值B ．无最大值，但有最小值C ．有最大值，但无最小值D ．无最大值也无最小值3．如果实数x 、y 满足(x －2)2+y 2=3，那么x y 的最大值是 （ ） A ．21B ．33C ．23 D ．3 4.东方旅社有100张普通客床，每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出，若每床每夜收费提高2元，便减少10张床租出，再提高2元，又再减少10张床租出，依此变化下去，为了投资少而获利大，每床每夜应提高租金（ ）A ．4元B 、6元C 、4元或6元D 、8元5．设不等式2x －1>m (x 2－1)对满足|m |≤2的一切实数m 的取值都成立。

2009年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(03函数的性质及其应用)、选择题1 . (2009北京文、理)为了得到函数y的图像，只需把函数 10A .向左平移3个单位长度，再向上平移B .向右平移3个单位长度，再向上平移C .向左平移3个单位长度，再向下平移 1个单位长度D .向右平移3个单位长度，再向下平移 1个单位长度 1.【解析】本题主要考查函数图象的平移变换 .属于基础知识、基本运算的考查A y =lg x 3 1 =lg10 x 3 ,B . y =lg x 「3iT=lg10 x -3C .x +3 y -lg x 3 -1 一 lg 10D.x —3y =lg x -3 -1 =lg故应选C.12. (2009福建文)下列函数中，与函数 y有相同定义域的是J x1XA .f(x)=lnxB. f (x)C. f(x)=|x|D. f (x)二 ex112.解析 解析 由y可得定义域是x • 0. f (x) =ln x 的定义域x 0 ； f (x) 的定义域是xV x x丰0; f (x) =| x |的定义域是 x R ；f(x)=e x 定义域是R 。

故选A.3. (2009福建文)定义在R 上的偶函数f x 的部分图像如右图所示，则在-2,0上，下列函数中与f x 的单调性不同的是2A . y =x 1 B. y =| x | 12x 1,x — 0e x ,x _oC. y =3D . y x[x 3+1,x v 0[e ,xv03.解析解析根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反， 故可知求在-2,0上单调递减，注意到要与f x 的单调性不同， 故所求的函数在 -2,0上应单调递增。

而函数 y =x 2，1在(-°°,1】上递减；函数y = x +1在(—°°,0】时单调递减；函数 y =递减，理由如下y'=3x 2>0(x<0),故函数单调递增，显然符合题意；而函数y =lg x 的图像上所有的点1个单位长度一1个单位长度 N+1,xA 0，有在―,0］上单调y'=-e"x<0(x<0),故其在(-°°,0]上单调递减，不符合题意，综上选C。

数学20分钟专题突破27函数与方程的思想.选择题3.,动点P 在正方体ABCD -ABGD^!的对角线BD 1 上 .过点P 作垂直于平面 BB 1D 1D 的 直线，与正方体表面相交于 M , N .设BP 二x , MN 二y ，则函数y 二f (x)的图象大致二.填空题1. 设a a 1，若仅有一个常数c 使得对于任意的 x E la,2a 】，都有 泸［a, a 21满足方程log a x log a c ，这时，a 的取值的集合为 ____________________________ 。

12. a 乏R ，若关于x 的方程x 2+x + a — + a =0有实根，贝U a 的取值范围是 ____________ .43•当x • (-1,2)时，不等式x 2 2mx 6 - 0恒成立，则m 的取值范围是 __________________ 三.解答题2 x23.、F 2分别是椭圆y 2=1的左、右焦点4(I)若P 是该椭圆上的一个动点，求 PF 1 PF 2的最大值和最小值；(H)设过定点 M 1 , 2的直线l 与椭圆交于两不同的点 A 、B ，且• AOB 为锐角(其中0为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围.1.若函数f(x),g(x)分别是R 上的奇函数、A . f( 2) ::: f (3) < g (0)C. f(2) ::: g(0b ：: f (3)偶函数,且满足f (x) 一 g(x) = e x ,则有(B. g(0)：：： f (3) ：：： f(2)D g(0) ：：： f (2厂：f (3)2.于x 的方程x 2 + 2kx- 1 = 0的两根为、x 2 满足-1 ? x !<0<x 2 2，贝U k 的取值范围是A. (-,0)4B. (- 3,0]4叽)答案： 一.择题题1.解：因为 f(x)-g(x)=e x ，用 _x 替换 x 得:f (-x) - g(-X )= 因为函数 f(x), g(x)分别是R 上的奇函数、偶函数，所以 f(x) g(x) - 又f (x) -g(x)二e x解得：e xe 」 e 」+e xf(x)= 2 gx(" 2，而f(x)单调递增且 f (°)=°，f 3 . f 2 .大于等于0,而g(0) - -1，故选D 。

《新课标》必修Ⅰ复习 第八讲 函数与方程2008年7月一．课标要求：1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

二．命题走向函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。

从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。

高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。

预计2009年高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。

（1）题型可为选择、填空和解答； （2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。

三．要点精讲1．方程的根与函数的零点 （1）函数零点概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。

二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点：１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点；２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。

函数与方程及函数的实际应用——练习一、选择题（每小题6分，共36分）1. 若函数f(x)=x 3+x 2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：那么方程x 3+x 2-2x-2=0的一个近似根（精确度0.1)为( )(A)1.25 (B)1.375 (C)1.437 5 (D)1.52．对于函数f(x)=x 2+mx+n,若f(a)>0,f(b)>0,则函数f(x)在区间（a,b)内( )(A)一定有零点 (B)一定没有零点 (C)可能有两个零点 (D)至多有一个零点3．如图，A 、B 、C 、D 是某煤矿的四个采煤点，l 为公路，图中所示线段为道路，ABQP ，BCRQ ，CDSR 近似于正方形，已知A ，B ，C ，D 四个采煤点每天的采煤量之比约为3∶2∶1∶5,运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比.现要从P ，Q ，R ，S 中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在( )(A)P (B)Q (C)R (D)S4． 已知函数 若方程f(x)=x+a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是( )(A)（-∞，0］ (B)(-∞,1) (C)［0,1］ (D)［0,+∞)5．若x 1满足2x+2x =5,x 2满足2x+2log 2(x-1)=5,则x 1+x 2=( )（A ） （B ）3 （C ） （D ）4 6．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙（如图所示）.那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )210(),(1)(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩5272(A)在t1时刻，甲车在乙车前面 (B)t1时刻后，甲车在乙车后面(C)在t0时刻，两车的位置相同 (D)t0时刻后，乙车在甲车前面二、填空题(每小题6分，共18分)7.为缓解南方部分地区电力用煤紧张的局面，某运输公司提出五种运输方案，据预测，这五种方案均能在规定时间T完成预期的运输任务Q0，各种方案的运煤总量Q与时间t的函数关系如下图所示.在这五种方案中，运煤效率（单位时间的运煤量）逐步提高的是_________.（填写所有正确的图象的编号）8.在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为______.9.关于x的方程cos2x-sinx+a=0在(0, ］上有解，则a的取值范围为_____.三、解答题(10、11题每题15分，12题16分，共46分)10.已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且只有一个零点，求实数m的取值范围，并求出零点.11.某电脑生产企业生产一品牌笔记本电脑的投入成本是4 500元/台.当笔记本电脑销售价为6 000元/台时，月销售量为a台;根据市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为x(0<x<1)，那么月销售量减少的百分率为x2.记销售价提高的百分率为x时，电脑企业的月利润是y(元).（1）写出月利润y(元)与x的函数关系式；（2）试确定笔记本电脑的销售价，使得电脑企业的月利润最大.12.已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5),且f(x)在区间［-1,4］上的最大值是12.（1）求f(x)的解析式；（2）是否存在自然数m，使得方程f(x)+ =0在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.参考答案1．【解析】选C.根据题意知函数的零点在1.406 25至1.437 5之间，因为此时|1.437 5-1.406 25|=0.031 25<0.1，故方程的一个近似根可以是1.437 5. 2．【解析】选C.由于f(a)>0,f(b)>0，且抛物线开口向上，所以可能有两个零点. 3．【解析】选C.设正方形边长为a，采煤量比例系数为x，费用比例系数为k,对于A，中转站选在P点时，费用y1=3kxa+4kxa+3kxa+20kxa=30kxa;对于B，中转站选在Q点时，费用y2=6kxa+2kxa+2kxa+15kxa=25kxa;对于C，中转站选在R点时，费用y3=9kxa+4kxa+kxa+10kxa=24kxa;对于D，中转站选在S点时，费用y4=12kxa+6kxa+2kxa+5kxa=25kxa.而24kxa<25kxa< 30kxa，故选C.4．【解析】选B.在同一坐标系内画出函数y=f(x)和y=x+a的图象.由图可知a<1.5．【解析】选C.∵2x+2x=5 2x=5-2x,2x+2log 2(x-1)=5 2log 2(x-1)=5-2x.∴可抽象出三个函数y=2x ,y=2log 2(x-1),y=5-2x, 在同一坐标系中分别作出它们的图象（如图所示）.观察知：6．【解析】选A.由图象可知，速度图象与t 轴围成的面积表示汽车行驶的位移，在t 0时刻，甲车的位移大于乙车的位移，故在t 0时刻甲车应在乙车的前面，且t 0时刻两车速度相同，故C 、D 不对，t 1时刻甲车的位移大于乙车的位移，故A 对.7．【解析】由于要求运煤效率逐步提高，因此反映到图象上各点处的切线的斜率即导数应逐渐增大，而只有②符合.答案：②8．【解析】令f(x)=x 3-2x-1,显然f(1)＜0,f(2)＞0,1212351,2,2234,.x x x x C <<<<∴<+<故选又 答案：(,2)9．【解析】原方程可化为a=sin 2x+sinx-1，方程有解当且仅当a 属于函数y=sin 2x+sinx-1的值域时，而y=sin 2x+sinx-1=(sinx+)2-,∵x ∈(0,]，∴sinx ∈(0,1］.可求得值域为(-1,1］,即a 的取值范围是(-1,1］.答案：(-1,1］10．【解析】由题知：方程4x +m ·2x +1=0只有一个零点. 令2x =t(t>0),∴方程t 2+m ·t+1=0只有一个正根，∴由图象可知， 当m=-2时t=1,∴x=0.∴函数的零点为x=0.11．【解析】（1）依题意，销售价提高后为6 000(1+x)元/台，月销售量为a(1-x 2)台， 则y=a(1-x 2)［6 000(1+x)-4 500］即y=1 500a(-4x 3-x 2+4x+1)(0<x<1).（2)y ′= 1500a(-12x 2-2x+4)，令y ′=0,得6x 2+x-2=0,解得，x=1/2,x=-2/3(舍去). 当0<x<1/2时，y ’>0;当1/2＜x ＜1时，y ’＜0.当x=1/2时，y 取得最大值。

广东省2009届高考数学试题分类汇编——函数解答题1、（2009广州六中）已知二次函数2()163f x x x q =-++： ⑴若函数在区间[]1,1-上存在零点，求实数q 的取值范围；⑵问：是否存在常数(0)t t ≥，当[],10x t ∈时，()f x 的值域为区间D ，且D 的长度为12t -。

解：⑴ ∵二次函数2()163f x x x q =-++的对称轴是8x = ∴函数()f x 在区间[]1,1-上单调递减∴要函数()f x 在区间[]1,1-上存在零点须满足(1)(1)0f f -⋅≤ 即 (1163)(1163)0q q +++⋅-++≤ 解得 2012q -≤≤⑵ 当881080t t t <⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩时，即06t ≤≤时，()f x 的值域为：[](8),()f f t ，即 261,163q t t q ⎡⎤--++⎣⎦∴22163(61)166412t t q q t t t -++--=-+=-∴215520t t -+=∴t =t = 当881080t t t <⎧⎪-<-⎨⎪≥⎩时，即68t ≤<时，()f x 的值域为：[](8),(10)f f ，即 []61,57q q -- ∴57(61)412q q t ---==- ∴8t = 经检验8t =不合题意，舍去当8t ≥时，()f x 的值域为：[](),(10)f t f ，即 2163,57t t q q ⎡⎤-++-⎣⎦∴2257(163)166012q t t q t t t ---++=-+-=-∴217720t t -+= ∴8t =或9t =经检验8t =或9t =满足题意，所以存在常数(0)t t ≥，当[],10x t ∈时，()f x 的值域为区间D ，且D 的长度为12t -。

2、2、2、（2009执信）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．(Ⅰ) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P =()t f ； 写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q =()t g ；(Ⅱ) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？ (注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg ，时间单位：天) 解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为f (t )=⎩⎨⎧≤<-≤≤-;300200,3002,2000300t t t t ，由图二可得种植成本与时间的函数关系为g (t )=2001(t －150)2＋100，0≤t ≤300． (Ⅱ)设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意得h (t )=f (t )－g (t )即h (t )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-3002002102527200120002175********t t t t t t ，，当0≤t ≤200时，配方整理得h (t )=－2001(t －50)2＋100， 所以，当t =50时，h (t )取得区间[0，200]上的最大值100；当200<t ≤300时，配方整理得h (t )=－2001(t －350)2＋100 所以，当t =300时，h (t )取得区间[200，300]上的最大值87.5．综上，由100>87.5可知，h (t )在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t =50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．3、（2009广东五校）通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f (t )表示学生注意力随时间t （分钟）的变化规律（f (t )越大，表明学生注意力越集中），经过实验分析得知：⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<≤<++-=)4020(3807)2010(240)100(10024)(2t t t t t t t f(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？解：（1）当时100≤<t ，244)12(10024)(22+--=++-=t t t t f 是增函数…1分，且240)10(=f …………2分；时当4020≤<t ，3807)(+-t t f 是减函数，且240)20(=f …………4分.所以，讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟…………5分.（2）205)25(,195)5(==f f …………7分， 故讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中…………9分. （3）当100≤<t 时，4,18010024)(2==++-=t t t t f 则…………11分；当4020≤<t ，令2()7380180,28.57f t t t =-+=≈则…………12分，则学生注意力在180以上所持续的时间28.57－4=24.57＞24…………13分，所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题…………14分.4、（2009实验中学）若函数()2lg 34y x x =-+的定义域为M 。

2009届高考数学快速提升成绩题型训练——三个二次问题2009届高考数学快速提升成绩题型训练——三个二次问题（二次函数、不等式、方程）1. 解关于x 的不等式：(1) x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0，(2)222>++mx x ．2 设集合A={x |x 2＋3k 2≥2k (2x －1)}，B={x |x 2－(2x －1)k ＋k 2≥0}，且A ⊆B ，试求k 的取值范围．3．不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1＜0的解集为R ，求实数m 的取值范围．4．已知二次函数y ＝x 2＋px ＋q ，当y ＜0时，有－21＜x ＜31，解关于x 的不等式qx 2＋px ＋1＞0．5．若不等式012>++p qx x p的解集为{}42|<<x x ，求实数p 与q 的值．6. 设()()f x ax bx c a =++≠20，若()f 01≤，()f 11≤，()f －11≤, 试证明：对于任意-≤≤11x ，有()f x ≤54.7.（经典题型，非常值得训练） 设二次函数()()02>++=a c bx ax x f ，方程()f x x -=0的两个根x x 12,满足ax x 1021<<<. 当()1,0x x ∈时，证明()1x x f x <<.8. 已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围.(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.11.如果二次函数y =mx 2+(m －3)x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m 的取值范围.12.二次函数f (x )=px 2+qx +r 中实数p 、q 、r 满足mrm q m p ++++12=0,其中m >0,求证： (1)pf (1+m m )<0; (2)方程f (x )=0在(0，1)内恒有解.13.一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P=160－2x,生产x 件的成本R=500+30x元.(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？(2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？14. 已知a、b、c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b，当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1．(1)证明：|c|≤1；(2)证明：当－1≤x≤1时，|g(x)|≤2；15. 设二次函数()()f x a x b x c a =++>20，方程()f x x -=0的两个根x x 12,满足0112<<<x x a . 且函数()f x 的图像关于直线x x =0对称，证明：xx 012<.16. 已知二次函数)0,,(1)(2>∈++=a R b a bx axx f ，设方程xx f =)(的两个实数根为1x 和2x .（1）如果4221<<<x x，设函数)(x f 的对称轴为x x =，求证：1->x；（2）如果21<x ，212=-x x，求b 的取值范围.17. 设0232=++++=c b a .c bx ax )x (f 若,00>)(f ，01>)(f ,求证：a＜－1；(Ⅰ) a＞0且－2＜b(Ⅱ)方程0 )x(f在（0，1）内有两个实根.18.已知二次函数的图象如图所示：（1）试判断及的符号；（2）若|OA|＝|OB|，试证明。

压轴题09基本初等函数、函数与方程题型/考向一：基本初等函数的图像与性质题型/考向二：函数的零点题型/考向三：函数模型及其应用○热○点○题○型一基本初等函数的图像与性质1.指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数，其图象关于y ＝x 对称，它们的图象和性质分0＜a ＜1，a ＞1两种情况，着重关注两个函数图象的异同.2.幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1，2，3，12，－1五种情况.一、单选题1．若125()3a -=，121log 5b =，3log 7c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c>>B ．b c a >>C ．c a b>>D ．c b a>>2．已知函数()2121x f x =-+，则（）A ．()f x 是偶函数且是增函数B ．()f x 是偶函数且是减函数C ．()f x 是奇函数且是增函数D ．()fx 是奇函数且是减函数3．下列函数中，既是偶函数又是区间(0,)+∞上的增函数的是（）A ．y =B ．21y x =C ．lg y x=D ．332x xy --=4．已知函数()2,0,1,0,2x x x f x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩若()()6f a f a <-，则实数a 的取值范围是（）A ．()3,-+∞B ．(),3-∞-C ．()3,+∞D ．(),3-∞5．函数()2eln 2x f x x=的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．6．指数函数x y a =的图象如图所示，则2y ax x =+图象顶点横坐标的取值范围是（）A ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭7．已知实数1a ≠，函数()4,0,2,0,x a x x f x x -⎧≥=⎨<⎩若(1)(1)f a f a -=-，则a 的值为（）A ．12B ．12-C ．14D ．14-8．函数()()()ln 1ln 1f x x x x =+--⎡⎤⎣⎦的部分图象大致是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题9．已知函数()2()e e x x f x x -=-⋅，若实数m 满足))2(1)f f m f -≤，则实数m的取值范围是____________．10．已知函数()|ln(1)||ln(1)|f x x x =--+，则函数()f x 的最小值为___________.11．已知,,1x y a ∈>R ，若2x y a a a +=，且x y +的最大值为103，则函数()()212log 2f x x ax a =-++的最小值为______12．幂函数y=xa ，当a 取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y=xa ，y=xb 的图象三等分，即有BM =MN =NA ，那么ab =______.○热○点○题○型二函数的零点判断函数零点个数的方法：(1)利用零点存在定理判断.(2)代数法：求方程f (x )＝0的实数根.(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性.一、单选题1．函数()243xf x x =+-的零点所在的区间是（）A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭2．已知函数()2cos 1f x a x x =--有且只有1个零点，则实数a 的值是（）A ．0B ．1C ．2D ．33．已知()0,2πθ∈，若函数()()2sin cos sin 2f x x x x θ=-+在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上无零点，则θ的值可能为（）A ．π6B ．π4C ．11π12D ．6π54．若函数22,0()1,0x x f x x x -⎧≤=⎨+>⎩，则函数()()2g x f x =-的零点的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知函数()2ln 1212x x x f x mx mx x +>⎧⎪=⎨-+≤⎪⎩，，，若()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是（）A ．71,4⎛⎤⎥⎝⎦B ．(]1,2C ．41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．[]1,36．()f x 是定义在R 上的奇函数，当[]1,1x ∈-时，()f x x =，()()11f x f x +=-，令()()lg g x f x x =-，则函数()g x 的零点个数为（）A ．4B ．5C ．6D ．77．已知函数()41,0141,02x x x f x x ⎧+-≤⎪=⎨⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭⎩，关于x 的方程()()()22110f x t f x t +-+-=有6个不等实数根，则实数t 的取值范围是（）A．7,5⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．7,5⎡⎫⎛⎫-∞-+∞⎪⎢ ⎪⎪⎝⎭⎣⎭C ．7,52⎛-- ⎝⎦D ．7,522⎛⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．已知()f x 是定义域为{}0x x ≠的偶函数且2ln 1()(0)ex f x x x =->，则函数()f x 零点个数是（）A ．6B ．5C ．4D ．3二、多选题9．已知偶函数()f x 满足()()()126f x f x f -+=，()11e f -=+，且当[)0,6x ∈时，()e 1x f x a -=+，则下列说法正确的有（）A ．2e a =B ．()f x 在[]18,24上为增函数C ．()320231ef -=-D ．()f x 在[]2023,0-上共有169个零点10．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()22f x f x -=+，且当[]0,2x ∈时，()2e 1,01,44,1 2.x x f x x x x ⎧-≤≤=⎨-+<≤⎩若关于x 的不等式()m x f x ≤的整数解有且仅有9个，则实数m的取值可以是（）A ．e 16-B ．e 17-C ．e 18-D ．e 19-三、填空题11．已知函数()131,0ln ,0x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若函数()()()2221g x f x af x a =-+-⎡⎤⎣⎦恰有4个不同的零点，则a 的取值范围是__________．12．已知函数11,02()2(2),28x x f x f x x ⎧--≤≤=⎨-<≤⎩，若方程()f x kx =恰好有四个实根，则实数k 的取值范围是___．○热○点○题○型三函数模型及其应用应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键：(1)一般程序：――→读题文字语言⇒――→建模数学语言⇒――→求解数学应用⇒――→反馈检验作答(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地写出相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.一、单选题1．垃圾分类，一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而变成公共资源的一系列活动的总称．已知某种垃圾的分解率ν与时间t （月）满足函数关系式t v a b =⋅（其中a ，b 为非零常数）．若经过6个月，这种垃圾的分解率为5%，经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，那么这种垃圾完全分解（分解率为100%）至少需要经过（）（参考数据lg 20.3≈）A ．20个月B ．40个月C ．28个月D ．32个月2．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：m /s ）可以表示为31log 2100Qv =，其中Q 表示鲑鱼的耗氧量的单位数.当一条鲑鱼以3ln2m /s ln3的速度游动时，其耗氧量是静止时耗氧量的倍数为（）A ．83B ．8C ．32D ．643．0C 表示生物体内碳14的初始质量，经过t 年后碳14剩余质量01()2th C t C ⎛⎫= ⎪⎝⎭（0t >，h 为碳14半衰期）．现测得一古墓内某生物体内碳14含量为00.4C ，据此推算该生物是距今约多少年前的生物（参考数据lg 20.301≈）．正确选项是（）A ．1.36hB ．1.34hC ．1.32hD ．1.30h4．2023年1月底，由马斯克、彼得泰尔等人创立的人工智能研究公司openAI 发布的名为“ChatGTP ”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为0G G L L D=，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（）（参考数据：1g20.3010≈）A ．72B ．74C ．76D ．785．血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是95%~100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：0()e KtS t S =描述血氧饱和度()S t 随给氧时间t （单位：时）的变化规律，其中0S 为初始血氧饱和度，K 为参数.已知060%S =，给氧1小时后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（）（精确到0.1，参考数据：ln 2069ln 3110≈≈．，．）A ．0.3B ．0.5C ．0.7D ．0.96．某企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M （单位:mg /L ）与时间t （单位:h ）之间的关系为0e ktM M -=（其中0,M k 是正常数）．已知在处理过程中，该设备每小时可以清理池中残留污染物10%，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（）（参考数据：lg20.30≈，lg30.48≈）A ．6小时B ．8小时C ．10小时D ．12小时7．著名物理学家牛顿在17世纪提出了牛顿冷却定律，描述温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律．统计学家发现网络热搜度也遵循这样的规律，即随着时间的推移，热搜度会逐渐降低．假设事件的初始热搜度为()000N N >，经过t （天）时间之后的热搜度变为()0etN t N α-=，其中α为冷却系数．若设某事件的冷却系数0.3α=，则该事件的热搜度降到初始的50%以下需要的天数t 至少为（）．（ln 20.693≈，t 取整数）A ．7B ．6C ．4D ．38．针对“台独”分裂势力和外部势力勾结的情况，为捍卫国家主权和领土完整，维护中华民族整体利益和两岸同胞切身利益，解放军组织多种战机巡航台湾.已知海面上的大气压强是760mmHg ，大气压强P （单位：mmHg ）和高度h （单位：m ）之间的关系为760e hk P -=（e为自然对数的底数，k 是常数），根据实验知500m 高空处的大气压强是700mmHg ，则当歼20战机巡航高度为1000m ，歼16D 战机的巡航高度为1500m 时，歼20战机所受的大气压强是歼16D 战机所受的大气压强的（）倍.A ．0.67B ．0.92C ．1.09D ．1.5二、多选题9．如图，某池塘里浮萍的面积y （单位：2m ）与时间t （单位：月）的关系为t y a =，关于下列说法正确的是（）A ．浮萍每月的增长率为3B ．浮萍每月增加的面积都相等C ．第4个月时，浮萍面积超过280m D ．若浮萍蔓延到2224m 2m 8m 、、所经过的时间分别是123t t t 、、，则2132t t t =+10．泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数．如某一服务设施在一定时间内到达的人数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等等．其概率函数为()e !kP X k k λλλ-==，参数λ是单位时间（或单位面积）内随机事件的平均发生次数．现采用某种紫外线照射大肠杆菌，大肠杆菌的基因组平均产生3个嘧啶二体．设大肠杆菌的基因组产生的嘧啶二体个数为Y ，()P Y k =表示经该种紫外线照射后产生k 个嘧啶二体的概率．已知Y 服从泊松分布，记为()Y Pois λ~，当产生的嘧啶二体个数不小于1时，大肠杆菌就会死亡，下列说法正确的有（）（参考数据：3e 0.049-=⋅⋅⋅，恒等式0e !inxi x i ==∑）A ．大肠杆菌a 经该种紫外线照射后，存活的概率约为5%B ．设()()f k P Y k λ==，则,(1)()0,()f k f k k λ∀∈+->∈N NC ．如果()X pois λ~，那么(!)X E X λ=，X 的标准差σλ=D ．大肠杆菌a 经该种紫外线照射后，其基因组产生的嘧啶二体个数的数学期望为311．（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y (km)与时间x (min)的关系，下列结论正确的是（）A．甲同学从家出发到乙同学家走了60minB．甲从家到公园的时间是30minC．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝1 15 x12．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M，则下列说法正确的是（）A．地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级B．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍C．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍D．记地震里氏震级为n（n=1，2，···，9，10），地震释放的能量为an，则数列{an}是等比数列。

高考数学必备解题技巧：函数与方程思想的八类应用（附例题详解）函数与方程都是中学数学中最为重要的内容。

而函数与方程思想更是中学数学的一种基本思想，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应用，是历年来高考考查的重点。

1．函数的思想函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。

函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。

经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等。

2．方程的思想方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。

方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。

3．函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来龙去脉解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y=f(x)的正负区间，再如方程f(x)=g(x)的交点问题，也可以转化为函数y=f(x)-g(x)与x轴交点问题，方程f(x)=a有解，当且公当a属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要。

4．函数方程思想的几种重要形式（1）函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。

函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点；（2）函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；（3）数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要； （4）函数f(x)＝nbax)(+（n∈N*）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；（5）解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；（6）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。