电磁感应双滑轨问题

12018届高三 电磁感应“双杆”问题1、双杆所在轨道宽度相同例1、两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L 。

导轨上面横放着两根导体棒ab 和cd ，构成矩形回路，如图所示．两根导体棒的质量皆为m ，电阻皆为R ，回路中其余部分的电阻可不计．在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B ．设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行．开始时，棒cd 静止，棒ab 有指向棒cd 的初速度v 0．若两导体棒在运动中始终不接触，求：（1）在运动中产生的焦耳热最多是多少．（2）当ab 棒的速度变为初速度的3/4时，cd 棒的加速度是多少？例2、如图所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度B =0.50T 的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。

导轨间的距离l=0.20m 。

两根质量均为m=0.10kg 的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R =0.50Ω。

在t =0时刻，两杆都处于静止状态。

现有一与导轨平行、大小为0.20N 的恒力F 作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。

经过t =5.0s ，金属杆甲的加速度为a =1.37m/s 2，问此时两金属杆的速度各为多少？例3、两金属杆ab 和cd 长均为l ，电阻均为R ，质量分别为M 和m ，M >m ，用两根质量和电阻均可忽略的不可伸长的柔软导线将它们连成闭合回路，并悬挂在水平光滑不导电的圆棒两侧，两金属杆处在水平位置，如图4所示，整个装置处在一与回路平面相垂直的匀强磁场中，磁感强度为B ，若金属杆ab 正好匀速向下运动，求运动速度。

2、双杆所在轨道宽度不同 例4、如图所示，光滑导轨、等高平行放置，间宽度为间宽度的3倍，导轨右侧水平且处于竖直向上的匀强磁场中，左侧呈弧形升高。

、是质量均为的金属棒，现让从离水平轨道高处由静止下滑，设导轨足够长。

电磁感应中的双杆运动问题有关“电磁感应”问题，是物理的综合题，是高考的重点、热点和难点，往往为物理卷的压轴题。

电磁感应中的“轨道”问题，较多见诸杂志，而电磁感应中的“双杆运动”问题的专门研究文章，在物理教学研究类杂志还很咸见，兹举例说明如下。

例1.2006年高考重庆卷第21题21.两根相距为L 的足够长的金属直角导轨如题21图所示放置，它们各有一边在同一水平内，另一边垂直于水平面。

质量均为m 的金属细杆ab 、cd 与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与导轨之间的动摩擦因数均为μ，导轨电阻不计，回路总电阻为2R 。

整个装置处于磁感应强度大小为B ,方向竖直向上的匀强磁场中。

当ab 杆在平行于水平导轨的拉力F 作用下以速度V 1沿导轨匀速运动时，cd 杆也正好以速度V 2向下匀速运动。

重力加速度为g 。

以下说法正确的是A.ab 杆所受拉力F 的大小为μmg +RV L B 2122 B.cd 杆所受摩擦力为零C.回路中的电流强度为RV V BL 2)(21 D.μ与V 1大小的关系为μ=1222V L B Rmg 例2. 2004年高考全国I 卷第24题24.（18分）图中a 1b 1c 1d 1和a 2b 2c 2d 2为在同一竖直平面内的金属导轨，处在磁感强度B 的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨所在平面（纸面）向里。

导轨的a 1b 1段与a 2b 2段是竖直的，距离为l 1；c 1d 1段与c 2d 2段也是竖直的，距离为l 2。

x 1y 1与x 2y 2为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为m 1、m 2，它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触。

两杆与导轨构成的回路的总电阻为R 。

F 为作用于金属杆x 1y 1上竖直向上的恒力。

已知两杆运动到图示位置时，已匀速向上运动，求此时作用于两杆的重力的功率的大小和回路电阻上的热功率。

例3. 2004年高考广东卷第15题15．(15分)如图，在水平面上有两条平行导电导轨MN 、PQ,导轨间距离为l ，匀强磁场垂直于导轨所在的平面（纸面）向里，磁感应强度的大小为B ，两根金属杆1、2摆在导轨上，与导轨垂直，它们的质量和电阻分别为12m m 、和1R 2、R ,两杆与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为μ，已知：杆1被外力拖动，以恒定的速度0v 沿导轨运动；达到稳定状态时，杆2也以恒定速度沿导轨运动，导轨的电阻可忽略，求此时杆2克服摩擦力做功的功率。

电磁感应中的双导轨问题电磁感应中的双导轨问题等间距导轨一、无外力F作用1.如图所示，两根足够长的固定平行金属导轨位于同一水平面内，导轨间的距离为L，导轨上横放着两根导体棒ab和cd，它们与两金属导轨组成闭合回路．已知两根导体棒的质量均为m，导体棒ab在导轨之间的电阻为2R，导体棒cd在导轨之间的电阻为R，导轨光滑且电阻可忽略不计，在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感强度为B．开始时，导体棒cd静止，导体棒ab具有水平向右的初速度v0，此后的运动过程中，两导体始终与金属导轨垂直且接触良好．求：（1）闭合回路中电流的最大值；（2）两导体棒运动的整个过程中回路中产生的焦耳热；（3）当导体棒ab的速度大小变为v0时，导体棒ab发热的功率及其加速度大小。

【分析】当导体棒ab刚开始运动时，闭合回路中的磁通量变化率最大，感应电动势最大，所以电流最大，根据闭合电路欧姆定律列式求解即可；随着右边棒速度增加，必然有安培力的产生，右边棒收到的安培力向左做减速运动，左边棒受到的安培力向右做加速运动，随着速度减少，两棒的加速度也在减少，当二者速度一样时候，回路的电动势为零，没有电流也就没有安培力，两个棒稳定运动，解：（1）当导体棒ab刚开始运动时，闭合回路中的磁通量变化率最大，感应电动势最大，所以电流最大，最大电动势为E m＝BLv0由闭合电路欧姆定律得：最大电流为：（2）运动过程中，两导体棒沿水平方向不受外力，动量守恒设共同速度为v，则：mv0＝2mv解得：整个过程中两导体棒组成系统损失的动能全部转化为焦耳热，根据能量守恒定律得：（3）设ab棒的速度变为时，cd棒的速度为v'，则由动量守恒可得：解得注意：由于两个棒都在切割产生感应电动势，方向相冲，所以产生的感应电动势要相减。

此时回路中的电动势为此时回路中的电流为导体棒的发热功率为：此时ab棒所受的安培力为由牛顿第二定律可得，ab棒的加速度为：答：（1）闭合回路中电流的最大值为；（2）两导体棒运动的整个过程中回路中产生的焦耳热为；（3）当导体棒ab 的速度大小变为v 0时，导体棒ab 发热的功率为，其加速度大小为2. 如图所示，平行金属导轨MN 、M ′N ′和平行金属导轨PQR 、P ′Q ′R ′固定在高度差为h(数值未知)的两水平台面上。

电磁感应中的“双杆问题”电磁感应中“双杆问题”是学科内部综合的问题，涉及到电磁感应、安培力、牛顿运动定律和动量定理、动量守恒定律及能量守恒定律等。

要求学生综合上述知识，认识题目所给的物理情景，找出物理量之间的关系，因此是较难的一类问题，也是近几年高考考察的热点。

下面对“双杆”类问题进行分类例析1.“双杆”向相反方向做匀速运动当两杆分别向相反方向运动时，相当于两个电池正向串联。

[例5] 两根相距d=0.20m的平行金属长导轨固定在同一水平面内，并处于竖直方向的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B=0.2T，导轨上面横放着两条金属细杆，构成矩形回路，每条金属细杆的电阻为r=0.25Ω，回路中其余部分的电阻可不计。

已知两金属细杆在平行于导轨的拉力的作用下沿导轨朝相反方向匀速平移，速度大小都是v=5.0m/s，如图所示，不计导轨上的摩擦。

（1）求作用于每条金属细杆的拉力的大小。

（2）求两金属细杆在间距增加0.40m的滑动过程中共产生的热量。

解析：（1）当两金属杆都以速度v匀速滑动时，每条金属杆中产生的感应电动势分别为：E1=E2=Bdv由闭合电路的欧姆定律，回路中的电流强度大小为：因拉力与安培力平衡，作用于每根金属杆的拉力的大小为F1=F2=IBd。

由以上各式并代入数据得N（2）设两金属杆之间增加的距离为△L，则两金属杆共产生的热量为，代入数据得Q=1.28×10-2J。

2.“双杆”同向运动，但一杆加速另一杆减速当两杆分别沿相同方向运动时，相当于两个电池反向串联。

[例6] 两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L。

导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图所示。

两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计。

在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。

设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行。

开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度v0。

电磁感应中的双导轨问题等间距导轨一、无外力F作用1.如图所示，两根足够长的固定平行金属导轨位于同一水平面内，导轨间的距离为L，导轨上横放着两根导体棒ab和cd，它们与两金属导轨组成闭合回路．已知两根导体棒的质量均为m，导体棒ab在导轨之间的电阻为2R，导体棒cd在导轨之间的电阻为R，导轨光滑且电阻可忽略不计，在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感强度为B．开始时，导体棒cd静止，导体棒ab具有水平向右的初速度v0，此后的运动过程中，两导体始终与金属导轨垂直且接触良好．求：（1）闭合回路中电流的最大值；（2）两导体棒运动的整个过程中回路中产生的焦耳热；（3）当导体棒ab的速度大小变为v0时，导体棒ab发热的功率及其加速度大小。

【分析】当导体棒ab刚开始运动时，闭合回路中的磁通量变化率最大，感应电动势最大，所以电流最大，根据闭合电路欧姆定律列式求解即可；随着右边棒速度增加，必然有安培力的产生，右边棒收到的安培力向左做减速运动，左边棒受到的安培力向右做加速运动，随着速度减少，两棒的加速度也在减少，当二者速度一样时候，回路的电动势为零，没有电流也就没有安培力，两个棒稳定运动，解：（1）当导体棒ab刚开始运动时，闭合回路中的磁通量变化率最大，感应电动势最大，所以电流最大，最大电动势为E m＝BLv0由闭合电路欧姆定律得：最大电流为：（2）运动过程中，两导体棒沿水平方向不受外力，动量守恒设共同速度为v，则：mv0＝2mv解得：整个过程中两导体棒组成系统损失的动能全部转化为焦耳热，根据能量守恒定律得：（3）设ab棒的速度变为时，cd棒的速度为v'，则由动量守恒可得：解得注意：由于两个棒都在切割产生感应电动势，方向相冲，所以产生的感应电动势要相减。

此时回路中的电动势为此时回路中的电流为导体棒的发热功率为：此时ab棒所受的安培力为由牛顿第二定律可得，ab棒的加速度为：答：（1）闭合回路中电流的最大值为；（2）两导体棒运动的整个过程中回路中产生的焦耳热为；（3）当导体棒ab的速度大小变为v0时，导体棒ab发热的功率为，其加速度大小为2. 如图所示，平行金属导轨MN 、M ′N ′和平行金属导轨PQR 、P ′Q ′R ′固定在高度差为h(数值未知)的两水平台面上。

.动态分析导体棒与导轨问题1、一根导体棒在导轨上滑动（单导体问题）类“电—动—电”型“动—电—动”型型示M b意P图NaQ棒 ab 长为 L ，质量为 m，电阻为 R，棒 ab 长为 L ，质量为 m，电阻为 R，导轨光滑，电阻不计。

导轨光滑，电阻不计。

分开关闭合后，棒 ab 受安培力 F=BLE/R ，棒 ab 释放后下滑，此时a=gsin α，棒 ab 的析此时， a=BLE/mR, 棒 ab 的速度增加—速度 v增加——感应电动势E=BLv 增加感应电动势 BLv 增加—安培力 F=BIL 减——感应电流增加——安培力 F 增加——小—加速度 a 减小，当安培力 F=0 （ a=0）加速度 a 减小，当安培力F=mgsinα时， v 时， v 最大最大。

2、两根导体棒在导轨上滑动（双导体问题）初速度不为零，不受其他水平外力作用NQNQ V 0V 0示MP MP意图质量 =m 1=m 2电阻 =r1 =r2质量 =m 1=m 2电阻 =r1=r 2长度 =L 1=L 2长度 =L 1=L 2分杆 MN 做边减速运动，杆 PQ 做变稳定时，两杆的加速度为零，两杆的速度析加速运动，稳定时，两杆的加速度之比为 1： 2为零，以相等的速度匀速运动。

初速度为零，受其他水平外力的作用.N QNQ示F F意MP MP图质量 =m 1=m 2电阻 =r1=r2摩擦力 f 1=f 2，质量 =m 1=m 2长度 =L 1=L 2电阻 =r1=r2长度 =L 1=L 2分开始时，两杆做变加速运动；稳定时，稳定时，若 F≤2f，则 PQ 先变加速后匀析两杆以相同的加速度做匀变速直线运速运动；若 F>2f ，则 PQ 先变加速，之动。

后两杆匀加速运动。

一、“动—电—动”型1．（2007 山东济南）如图所示，水平放置的光滑平行金属导轨上有一质量为m 的金属棒 ab.导轨地一端连接电阻R，其他电阻均不计，磁感应强度为 B 的匀强磁场垂直于导轨平面向下，金属棒ab 在一水平恒力 F 作用下由静止起向右运动．则（）A ．随着 ab 运动速度的增大，其加速度也增大B ．外力 F 对 ab 做的功等于电路中产生的电能C．当 ab 做匀速运动时，外力 F 做功的功率等于电路中的电功率D ．无论 ab 做何种运动，它克服安培力做的功一定等于电路中产生的电能2、如图所示，有两根和水平方向成角的光滑平行的金属轨道，上端接有可变电阻 R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感强度为B，一根质量为 m 的金属杆从轨道上由静止滑下．经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度v m，则（）A ．如果B 增大， v m将变大 B ．如果变大， v m将变大C．如果 R 变大， v 将变大D．如果 m 变小， v将变大m m3．如图所示，一光滑平行金属轨道平面与水平面成θ角，两导轨上端用一电阻 R 相连，该装置处于匀强磁场中，磁场方向垂直轨道平面向上。

（二）双杆模型：两导体棒都垂直导轨且垂直匀强磁场做切割磁感线运动（不计一切摩擦） 1、动量守恒定律的应用。

如图所示，固定平行金属导轨MN 、PQ 水平放置，在导轨 上垂直导轨放置两金属杆ab 和 cd ，匀强磁场垂直于导轨平面， 不计一切摩擦，让ab 以初速度v 0水平向右运动，设ab 、cd 的质量分别为m ab 和m cd ，轨道足够长。

运动过程：ab 杆：作初速度为v 0，加速度减小的减速运动。

cd 杆：作初速度为零，加速度减小的加速运动。

当二者速度相等时，系统总电动势为零，则回路中电流为零，两导体棒都不受安培力，加速度都为零，以后两棒以相同的速度匀速运动。

最终速度（收尾速度）：两导体棒在运动过程中，受安培力大小相等方向相反，系统受合外力为零，由系统动量守恒定律有：cdab ab cd ab ab m m v m v v m m v m +⇒00)(＝＋＝.2、动量定理的应用。

如图所示，MNPQ 和M′N′P′Q′为宽度不同的两水平固定的平行导轨，设PQ 与P′Q′之间的距离为L ，MN 与M′N′之间的距离为2L ，在两段轨道上分别垂直轨道放置导体棒ab 、cd ，整个轨道平面有垂直于轨道平面的匀强磁场，设ab 、cd 的质量 分别为m ab 、m cd ，轨道都 足够长，不计一切摩擦，让ab 以水平初速度v 0向右开始运动。

运动过程：ab 杆：作初速度为v 0，加速度减小的减速运动。

cd 杆：作初速为零，加速度减小的加速运动，最终回路中没有电流，二者以各自的速度作匀速运动。

由于导体棒长度不同，所受安培力大小不同，系统受合外力不为零，则动量不守恒，但二者所受安培力大小关系不变，运动时间相等。

可以应用动量定理分别列式，联立求解。

最终速度：要使导体棒最终都匀速运动，两导体棒都不受安培力作用，则ab 、cd 各自切割磁感线产生的感应电动势大小相等，设ab 、cd 的速度分别为v ab 、v cd ，则有：E ab ＝BL v ab ＝E cd ＝2BL v cd 解得v ab ＝2v cd 。

电磁感应中的双动式导轨问题一、等间距水平导轨，无水平外力作用（安培力除外，下同）两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为。

导轨上例1，构成矩形回路，如图所示。

两根导体棒的质量皆为，电面横放着两根导体棒和，回路中其余部分的电阻可不计。

在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，阻皆为磁感应强度为。

设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，开始时，棒有指静止，棒的初速度向棒。

若两导体棒在运动中始终不接触，求：（1）在运动中产生的焦耳热最多是多少？时，棒的加速度是多少？2 ）当棒的速度变为初速度的（棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量变小，于是产生感应棒向解读棒则在安培力的作用下向棒受到与其运动方向相反的安培力而做减速运动，电流。

棒的速度，回路总有感应电流，棒继续减速，棒的速度大于右做加速运动。

只要棒继续加速，直到两棒速度相同后，回路面积保持不变，不产生感应电流，两棒以相同的速度做匀速运动。

的过程中，两棒的总动量守恒，有，根据）从开始到两棒达到相同速度（1能量守恒定律，整个过程中产生的焦耳热。

棒的速度为，则由动量守恒可知2（时，）设棒的速度变为棒所受的安培力。

，此时得。

棒的加速度由牛顿第二定律可得：二、不等间距水平导轨，无水平外力作用间宽度为间宽度的3例2等高平行放置，如图所示，光滑导轨倍，导、轨右侧水平且处于竖直向上的匀强磁场中，左侧呈弧形升高。

、的金是质量均为 (1)棒的从离水平轨道高处由静止下滑，设导轨足够长。

试求：属棒，现让、最终速度；(2)全过程中感应电流产生的焦耳热。

、各受不同的解读电路中产生感应电流，下滑进入磁场后切割磁感线，在磁场力作用而分别作变减速、变加速运动，电路中感应电流逐渐减小，当感应电流为零、不再受磁场力作用，各自以不同的速度匀速滑动。

时，自由下滑，机械能守恒：① (1)串联在同一电路中，任何时刻通过的电流总相等，金属棒有效长度、由于，故它们的磁场力为：②各作变速运动，产生的感应电动势方向相反，当在磁场力作用下，、(运动趋于稳定，此时有：)时，电路中感应电流为零，安培力为零，、③所以受安培力作用，动量均发生变化，由动量定理得：、④⑤，联立以上各式解得：根据系统的总能量守恒可得：(2)．三、等间距水平导轨，受水平外力作用两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感强度的匀强磁场与导轨例3，两根质量均为所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。

电磁感应中的双导轨问题等间距导轨一、无外力F作用1.如图所示，两根足够长的固定平行金属导轨位于同一水平面内，导轨间的距离为L，导轨上横放着两根导体棒ab和cd，它们与两金属导轨组成闭合回路．已知两根导体棒的质量均为m，导体棒ab在导轨之间的电阻为2R，导体棒cd在导轨之间的电阻为R，导轨光滑且电阻可忽略不计，在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感强度为B．开始时，导体棒cd静止，导体棒ab具有水平向右的初速度v0，此后的运动过程中，两导体始终与金属导轨垂直且接触良好．求：（1）闭合回路中电流的最大值；（2）两导体棒运动的整个过程中回路中产生的焦耳热；（3）当导体棒ab的速度大小变为v0时，导体棒ab发热的功率及其加速度大小。

【分析】当导体棒ab刚开始运动时，闭合回路中的磁通量变化率最大，感应电动势最大，所以电流最大，根据闭合电路欧姆定律列式求解即可；随着右边棒速度增加，必然有安培力的产生，右边棒收到的安培力向左做减速运动，左边棒受到的安培力向右做加速运动，随着速度减少，两棒的加速度也在减少，当二者速度一样时候，回路的电动势为零，没有电流也就没有安培力，两个棒稳定运动，解：（1）当导体棒ab刚开始运动时，闭合回路中的磁通量变化率最大，感应电动势最大，所以电流最大，最大电动势为E m＝BLv0由闭合电路欧姆定律得：最大电流为：（2）运动过程中，两导体棒沿水平方向不受外力，动量守恒设共同速度为v，则：mv0＝2mv解得：整个过程中两导体棒组成系统损失的动能全部转化为焦耳热，根据能量守恒定律得：（3）设ab棒的速度变为时，cd棒的速度为v'，则由动量守恒可得：解得注意：由于两个棒都在切割产生感应电动势，方向相冲，所以产生的感应电动势要相减。

此时回路中的电动势为此时回路中的电流为导体棒的发热功率为：此时ab棒所受的安培力为由牛顿第二定律可得，ab棒的加速度为：答：（1）闭合回路中电流的最大值为；（2）两导体棒运动的整个过程中回路中产生的焦耳热为；（3）当导体棒ab的速度大小变为v0时，导体棒ab发热的功率为，其加速度大小为2. 如图所示，平行金属导轨MN 、M ′N ′和平行金属导轨PQR 、P ′Q ′R ′固定在高度差为h(数值未知)的两水平台面上。