第16讲 揭秘平面向量中几类有趣的三角形问题

平面向量的应用三角形问题在数学中，平面向量是一种代表大小和方向的量，它广泛应用于解决各种三角形问题。

平面向量的应用可以帮助我们更好地理解和分析三角形的性质和关系。

本文将介绍平面向量在三角形问题中的应用，包括向量的表示、向量的运算以及向量在解决三角形问题中的具体应用。

一、向量的表示和运算在讨论向量的应用之前，我们首先需要了解向量的表示和运算。

平面向量通常用有序数对表示，比如向量$\textbf{a}=(a_x,a_y)$，其中$a_x$表示向量在$x$轴上的分量，$a_y$表示向量在$y$轴上的分量。

向量的大小可以用向量的模来衡量，记作$||\textbf{a}||$，其计算公式为$||\textbf{a}||=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$。

向量的方向可以用它的单位向量来表示，单位向量的计算公式为$\textbf{u}=\frac{\textbf{a}}{||\textbf{a}||}$。

向量的运算包括加法和减法。

向量的加法定义为$\textbf{a}+\textbf{b}=(a_x+b_x,a_y+b_y)$，向量的减法定义为$\textbf{a}-\textbf{b}=(a_x-b_x,a_y-b_y)$。

此外，向量还可以与标量进行乘法运算，即$\lambda\cdot\textbf{a}=(\lambda\cdot a_x,\lambda\cdot a_y)$，其中$\lambda$为实数。

二、向量在三角形问题中的应用1. 三角形的形状和面积使用向量表示三角形的顶点坐标可以方便地计算三角形的形状和面积。

设三角形的顶点为$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$C(x_3,y_3)$，则根据向量的定义，我们可以得到向量$\textbf{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$和向量$\textbf{AC}=(x_3-x_1,y_3-y_1)$。

利用向量的模可以得到三角形的边长，分别为$AB=||\textbf{AB}||$，$AC=||\textbf{AC}||$。

数学向量解三角形一、向量的基础性质向量是一种既有大小又有方向的量，具有许多重要的性质。

其中，向量的模长表示向量的大小，向量的夹角表示两个向量之间的角度。

向量的平行和垂直是向量运算中的重要概念，平行向量之间可以进行加法、数乘等运算，垂直向量之间可以进行数量积、向量积和叉积等运算。

二、向量的运算规则向量的运算包括加法、数乘、向量的模长、向量的数量积、向量的向量积和向量的叉积等。

向量的加法遵循平行四边形法则或三角形法则，数乘运算和向量的模长运算比较简单，向量的数量积表示两个向量的夹角和模长的乘积，向量的向量积表示两个向量正交的乘积，向量的叉积表示两个向量垂直的乘积。

三、向量在三角形中的应用向量在三角形中有广泛的应用，可以用来解决三角形中的各种问题。

例如，可以利用向量计算三角形的面积，也可以利用向量解决三角形中的边角关系问题。

此外，向量还可以用来解决三角形中的几何问题，如三角形的重心、外心、内心等性质。

四、向量在解三角形中的重要性在解三角形中，向量扮演着重要的角色。

通过向量的运算和性质，可以方便地解决三角形中的各种问题。

例如，可以利用向量的数量积和向量积来计算三角形的面积和边长，也可以利用向量的叉积来解决三角形中的几何问题。

因此，掌握向量的基本性质和运算规则对于解决三角形问题非常重要。

五、向量在三角形中的表示方法在三角形中，可以用三个顶点和对应的边来表示向量。

例如，以三角形的三个顶点A、B、C为起点和终点，可以表示三个向量AB、BC和CA。

这三个向量两两相交，且它们的夹角就是三角形对应的角度。

同时，这些向量的模长也与三角形的边长相等。

六、向量在三角形中的计算方法利用向量的运算规则和性质，可以方便地解决三角形中的各种问题。

例如，可以利用向量的数量积和向量积来计算三角形的面积和边长。

具体来说，三角形的面积可以通过向量的数量积的绝对值来计算；三角形的边长可以通过向量的模长来计算；三角形的角度可以通过向量的夹角来计算。

微专题平面向量痛点问题之三角形“四心”问题【题型归纳目录】题型一：重心定理题型二：内心定理题型三：外心定理题型四：垂心定理【知识点梳理】一、四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等．(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．二、三角形四心与推论：(1)O 是△ABC 的重心：S △BOC :S △COA :S △A 0B =1:1:1⇔OA +OB +OC =0．(2)O 是△ABC 的内心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =a :b :c ⇔aOA +bOB +cOC =0．(3)O 是△ABC 的外心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =sin2A :sin2B :sin2C ⇔sin2AOA +sin2BOB +sin2COC =0．(4)O 是△ABC 的垂心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =tan A :tan B :tan C ⇔tan AOA +tan BOB +tan COC =0．【方法技巧与总结】(1)内心：三角形的内心在向量AB AB +ACAC所在的直线上.AB ⋅PC +BC ⋅PC+CA ⋅PB =0 ⇔P 为△ABC 的内心.(2)外心：PA =PB=PC ⇔P 为△ABC 的外心.(3)垂心：PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA⇔P 为△ABC 的垂心.(4)重心：PA +PB +PC =0⇔P 为△ABC 的重心.公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公【典型例题】题型一：重心定理例1.(2023春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习)已知点G 是三角形ABC 所在平面内一点，满足GA +GB +GC =0 ，则G 点是三角形ABC 的( )A.垂心B.内心C.外心D.重心例2.(2023春·山东·高一阶段练习)已知G 是△ABC 的重心，点D 满足BD=DC ，若GD =xAB +yAC ，则x +y 为( )A.13B.12C.23D.1例3.(2023春·上海金山·高一上海市金山中学校考期末)记△ABC 内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，点G 是△ABC 的重心，若BG ⊥CG ,5b =6c 则cos A 的取值是( )A.5975B.5775C.1115D.6175题型二：内心定理例4.(2023春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末)已知点P 为△ABC 的内心，∠BAC =23π,AB =1,AC =2，若AP =λAB +μAC，则λ+μ=______．例5.(2023春·陕西西安·高一陕西师大附中校考期中)已知O 是平面上的一个定点，A ､B ､C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP =OA +λAB AB +ACACλ∈R ，则点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心例6.(2023·全国·高一假期作业)已知I 为△ABC 所在平面上的一点，且AB =c ,AC =b ,BC =a .若aIA+bIB+cIC =0 ，则I 是△ABC 的( )A.重心B.内心C.外心D.垂心例7.(2023春·四川成都·高一树德中学校考竞赛)在△ABC 中，cos A =34，O 为△ABC 的内心，若AO =xAB +yACx ,y ∈R ，则x +y 的最大值为( )A.23B.6-65C.7-76D.8-227题型三：外心定理例8.(2023春·湖北武汉·高一校联考期末)在△ABC 中，AB =2,AC =3,N 是边BC 上的点，且BN=公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公NC,O 为△ABC 的外心，则AN ⋅AO =( )A.3B.134C.92D.94例9.(2023春·河南许昌·高一统考期末)已知P 在△ABC 所在平面内，满足PA =PB=PC ，则P 是△ABC 的( )A.外心B.内心C.垂心D.重心例10.(2023春·四川自贡·高一统考期末)直角△ABC 中，∠C =90∘,AB =4,O 为△ABC 的外心，OA⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA=( )A.4B.-4C.2D.-2例11.(2023春·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考阶段练习)已知O 为△ABC 的外心，若AB =1，则AB ⋅AO=( )A.-12B.12C.-1D.23题型四：垂心定理例12.(2023春·河南南阳·高一统考期中)若H 为△ABC 所在平面内一点，且HA 2+BC 2=HB 2+CA 2=HC 2+AB 2则点H 是△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心例13.(多选题)(2023春·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期中)已知O ，N ，P ，I 在△ABC 所在的平面内，则下列说法正确的是( )A.若OA =OB =OC，则O 是△ABC 的外心B.若PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ，则P 是△ABC 的垂心C.若NA +NB +NC=0，则N 是△ABC 的重心D.若CB ⋅IA =AC ⋅IB =BA ⋅IC=0，则I 是△ABC 的垂心例14.(2023春·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考阶段练习)设H 是△ABC 的垂心，且4HA+5HB+6HC =0 ，则cos ∠AHB =_____．【同步练习】一、单选题1.(2023·四川泸州·泸县五中校考二模)已知△ABC 的重心为O ，则向量BO=( )A.23AB +13ACB.13AB +23ACC.-23AB +13ACD.-13AB +23AC公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公2.(2023·全国·高三专题练习)对于给定的△ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论不正确的是( )A.AO ⋅AB =12AB2B.OA ⋅OB =OA ⋅OC =OB ⋅OCC.过点G 的直线l 交AB 、AC 于E 、F ，若AE =λAB ，AF =μAC ，则1λ+1μ=3D.AH 与AB AB cos B +ACACcos C 共线3.(2023·四川·校联考模拟预测)在平行四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，AG =xAB +yAD，则3x +y =( )A.73B.2C.83D.34.(2023秋·河南信阳·高三校考阶段练习)过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD =xAB ，AE =yAC ，且xy ≠0，则1x +1y=( )A.4B.3C.2D.15.(2023秋·上海·高二专题练习)O 是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的3个点，一动点P 满足：OP =OA+λ(AB +AC ),λ>0，则直线AP 一定通过△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心6.(2023秋·湖北·高二校联考期中)O 是△ABC 的外心，AB =6,AC =10，AO =xAB +yAC,2x +10y=5，则cos ∠BAC =( )A.12B.13C.35D.13或357.(2023·湖南·高考真题)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA，则P 是△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心8.(2023·全国·高一专题练习)已知点O ,P 在△ABC 所在平面内，满OA +OB +OC =0 ，PA =PB=PC ，则点O ,P 依次是△ABC 的( )A.重心，外心B.内心，外心C.重心，内心D.垂心，外心9.(2023·全国·高一专题练习)已知O ,A ,B ,C 是平面上的4个定点，A ,B ,C 不共线，若点P 满足OP=公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公OA +λAB +AC ，其中λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心10.(2023春·安徽安庆·高一安庆一中校考阶段练习)在△ABC 中，设O 是△ABC 的外心，且AO =13AB +13AC，则∠BAC 等于( )A.30° B.45° C.60° D.90°11.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中,AB =2,∠ACB =45°,O 是△ABC 的外心,则AC ⋅BC+OC ⋅AB的最大值为( )A.1B.32C.3D.7212.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，O 为△ABC 的内心，若AO =λAB +μBC ，则λ+μ=( )A.23B.34C.56D.3513.(2023秋·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考开学考试)若O ，M ，N 在△ABC 所在平面内，满足|OA |=|OB |=|OC |,MA ⋅MB =MB ⋅MC=MC ⋅MA ，且NA +NB +NC =0 ，则点O ，M ，N 依次为△ABC 的( )A.重心，外心，垂心B.重心，外心，内心C.外心，重心，垂心D.外心，垂心，重心14.(2023春·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知点O ，P 在△ABC 所在平面内，且OA =OB=OC ，PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA，则点O ，P 依次是△ABC 的( )A.重心，垂心 B.重心，内心 C.外心，垂心 D.外心，内心二、多选题15.(2023春·河南·高一校联考期中)已知△ABC 的重心为O ，边AB ,BC ,CA 的中点分别为D ,E ,F ，则下列说法不正确的是( )A.OA +OB =2ODB.若△ABC 为正三角形，则OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA=0C.若AO ⋅AB -AC=0，则OA ⊥BCD.OD +OE +OF =016.(2023·全国·高三专题练习)如图，M 是△ABC 所在平面内任意一点，O 是△ABC 的重心，则( )公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公A.AD +BE =CFB.MA +MB +MC=3MOC.MA +MB +MC =MD +ME +MFD.BC ⋅AD+CA ⋅BE +AB ⋅CF =017.(2023秋·重庆渝北·高二重庆市两江育才中学校校考阶段练习)设O 为△ABC 的外心，且满足2OA+3OB +4OC =0 ，OA=1，则下列结论中正确的是( )A.OB ⋅OC =-78 B.AB =62C.∠A =2∠CD.sin ∠A =1418.(2023春·安徽淮北·高一淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习)生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．”这就是著名的欧拉线定理．在△ABC 中，O ，H ，G 分别是外心、垂心和重心，D 为BC 边的中点，下列四个选项中正确的是( )A.GH =2OGB.GA +GB +GC =0C.AH =2ODD.S △ABG =S △BCG =S △ACG19.(2023·全国·模拟预测)在△ABC 中，点D ，E 分别是BC ，AC 的中点，点O 为△ABC 内的一点，则下列结论正确的是( )A.若AO =OD ，则AO =12OB +OCB.若AO =2OD ，则OB =2EOC.若AO =3OD ，则OB =58AB +38ACD.若点O 为△ABC 的外心，BC =4，则OB ⋅BC=-420.(2023春·河北石家庄·高一统考期末)著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC 的外心为O ，垂心为H ，重心为G ，且AB =3，AC =4，下列说法正确的是( )A.AH ⋅BC=0 B.AG ⋅BC =-73C.AO ⋅BC =72D.OH =OA +OB +OC三、填空题公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公21.(2023秋·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中)已知△ABC 的顶点坐标A -6,2 、B 6,4 ，设G 2,0 是△ABC 的重心，则顶点C 的坐标为_________.22.(2023秋·山西吕梁·高三统考阶段练习)设O 为△ABC 的外心，且满足2OA +3OB +4OC =0，OA =1，下列结论中正确的序号为______．①OB ⋅OC =-78；②AB =2；③∠A =2∠C ．23.(2023·河北·模拟预测)已知O 为△ABC 的外心，AC =3，BC =4，则OC ⋅AB =___________．24.(2023秋·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中)已知A ､B ､C 为△ABC 的三个内角，有如下命题：①若△ABC 是钝角三角形，则tan A +tan B +tan C <0；②若△ABC 是锐角三角形，则cos A +cos B <sin A +sin B ；③若G ､H 分别为△ABC 的外心和垂心，且AB =1,AC =3，则HG ⋅BC =4；④在△ABC 中，若sin B =25,tan C =34，则A >C >B ，其中正确命题的序号是___________.25.(2023秋·天津南开·高三南开大学附属中学校考开学考试)在△ABC 中，AB =3，AC =5，点N 满足BN=2NC ，点O 为△ABC 的外心，则AN ⋅AO 的值为__________.26.(2023·全国·高三专题练习)已知G 为△ABC 的内心，且cos A ⋅GA +cos B ⋅GB +cos C ⋅GC =0，则∠A =___________．27.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，cos ∠BAC =13，若O 为内心，且满足AO =xAB +yAC ，则x +y 的最大值为______．28.(2023·全国·高三专题练习)设I 为△ABC 的内心，若AB =2，BC =23，AC =4，则AI ⋅BC=___________公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公微专题平面向量痛点问题之三角形“四心”问题【题型归纳目录】题型一：重心定理题型二：内心定理题型三：外心定理题型四：垂心定理【知识点梳理】一、四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等．(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．二、三角形四心与推论：(1)O 是△ABC 的重心：S △BOC :S △COA :S △A 0B =1:1:1⇔OA +OB +OC =0．(2)O 是△ABC 的内心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =a :b :c ⇔aOA +bOB +cOC =0．(3)O 是△ABC 的外心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =sin2A :sin2B :sin2C ⇔sin2AOA +sin2BOB +sin2COC =0．(4)O 是△ABC 的垂心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =tan A :tan B :tan C ⇔tan AOA +tan BOB +tan COC =0．【方法技巧与总结】(1)内心：三角形的内心在向量AB AB +ACAC所在的直线上.AB ⋅PC +BC ⋅PC+CA ⋅PB =0 ⇔P 为△ABC 的内心.(2)外心：PA =PB=PC ⇔P 为△ABC 的外心.(3)垂心：PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA⇔P 为△ABC 的垂心.(4)重心：PA +PB +PC =0⇔P 为△ABC 的重心.公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公【典型例题】题型一：重心定理例1.(2023春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习)已知点G 是三角形ABC 所在平面内一点，满足GA +GB +GC =0 ，则G 点是三角形ABC 的( )A.垂心B.内心C.外心D.重心【答案】D【解析】因为GA +GB +GC =0 ，所以GA +GB =-GC =CG .以GA 、GB 为邻边作平行四边形GADB ，连接GD 交AB 于点O .如图所示:则CG =GD ，所以GO =13CO ，CO 是AB 边上的中线，所以G 点是△ABC的重心.故选：D例2.(2023春·山东·高一阶段练习)已知G 是△ABC 的重心，点D 满足BD=DC ，若GD =xAB +yAC ，则x +y 为( )A.13B.12C.23D.1【答案】A【解析】因为BD =DC，所以D 为BC 中点，又因为G 是△ABC 的重心，所以GD =13AD，又因为D 为BC 中点，所以AD =12AB +12AC ，所以GD =1312AB +12AC =16AB +16AC，所以x =y =16，所以x +y =13.故选：A例3.(2023春·上海金山·高一上海市金山中学校考期末)记△ABC 内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，点G 是△ABC 的重心，若BG ⊥CG ,5b =6c 则cos A 的取值是( )A.5975B.5775C.1115D.6175【答案】D公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公【解析】依题意，作出图形，因为点G 是△ABC 的重心，所以M 是BC 的中点，故AM =12AB +AC，由已知得BC=a ,AC =b ,AB =c ，因为BG ⊥CG ，所以GM =12BC =12a ，又因为点G 是△ABC 的重心，所以GM =12GA ，则AM =12a +a =32a ，又因为AM 2=14AB +AC 2，所以94a 2=14c 2+b 2+2bc cos A ，则9a 2=c 2+b 2+2bc cos A ，又由余弦定理得a 2=c 2+b 2-2bc cos A ，所以9c 2+b 2-2bc cos A =c 2+b 2+2bc cos A ，整理得2c 2+2b 2-5bc cos A =0，因为5b =6c ，令b =6k k >0 ，则c =5k ，所以2×5k 2+2×6k 2-5×6k ×5k cos A =0，则cos A =122150=6175.故选：D .题型二：内心定理例4.(2023春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末)已知点P 为△ABC 的内心，∠BAC =23π,AB =1,AC =2，若AP =λAB +μAC，则λ+μ=______．【答案】9-372【解析】在△ABC ，由余弦定理得BC =AC 2+AB 2-2AC ⋅AB cos ∠BAC =7,设O ,Q ,N 分别是边AB ,BC ,AC 上的切点，设AN =AO =x ，则NC =QC =2-x ,BO =BQ =1-x ，所以BC =BQ +QC =1-x +2-x =7⇒x =3-72，由AP =λAB +μAC 得，AP ⋅AB =λAB +μAC ⋅AB ，即AO ⋅AB =λAB 2+μAC ⋅AB⇒AO =λ-μ，①同理由AP ⋅AC =λAB +μAC ⋅AC⇒2AN =-λ+4μ,②联立①②以及AN =AO =x 即可解得：λ+μ=3x =3×3-72=9-372，故答案为：9-372例5.(2023春·陕西西安·高一陕西师大附中校考期中)已知O 是平面上的一个定点，A ､B ､C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP =OA +λAB AB +ACACλ∈R ，则点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】C【解析】因为AB AB 为AB 方向上的单位向量，ACAC为AC 方向上的单位向量，则AB |AB |+AC |AC |的方向与∠BAC 的角平分线一致，由OP =OA +λAB AB +AC AC ，可得OP -OA =λAB AB +ACAC，即AP =λAB AB +ACAC，所以点P 的轨迹为∠BAC 的角平分线所在直线，故点P 的轨迹一定经过△ABC 的内心.故选：C .例6.(2023·全国·高一假期作业)已知I 为△ABC 所在平面上的一点，且AB =c ,AC =b ,BC =a .若aIA+bIB+cIC =0 ，则I 是△ABC 的( )A.重心B.内心C.外心D.垂心【答案】B【解析】因为IB =IA+AB ,IC =IA +AC ，所以aIA +bIB+cIC =aIA +b IA +AB +c IA +AC =a +b +c IA +bAB +cAC =0 ，所以(a +b +c )IA =-(b ⋅AB +c ⋅AC)，所以IA =-(b ⋅AB +c ⋅AC)a +b +c =-b a +b +c ⋅AB +c a +b +cAC =-1a +b +c b ⋅AB +c ⋅AC =-bca +b +c AB c +AC b=-bca +b +c AB AB +AC AC，所以IA在角A 的平分线上，故点I 在∠BAC 的平分线上，同理可得，点I 在∠BCA 的平分线上，故点I 在△ABC 的内心，故选：B .例7.(2023春·四川成都·高一树德中学校考竞赛)在△ABC 中，cos A =34，O 为△ABC 的内心，若AO =xAB +yACx ,y ∈R ，则x +y 的最大值为( )公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公A.23B.6-65C.7-76D.8-227【答案】D【解析】如图：圆O 在边AB ,BC 上的切点分别为E ,F ，连接OE ,OF ，延长AO 交BC 于点D设∠OAB =θ，则cos A =cos2θ=1-2sin 2θ=34，则sin θ=24设AD =λAO =λxAB +λyAC∵B ,D ,C 三点共线，则λx +λy =1，即x +y =1λ1λ=AO AD =AO AO +OD ≤AO AO +OF =11+OF AO =11+OE AO=11+sin θ=11+24=8-227即x +y ≤8-227故选：D ．题型三：外心定理例8.(2023春·湖北武汉·高一校联考期末)在△ABC 中，AB =2,AC =3,N 是边BC 上的点，且BN=NC,O 为△ABC 的外心，则AN ⋅AO =( )A.3B.134C.92D.94【答案】B【解析】因为BN =NC，则N 是BC 的中点，所以AN =12AB +12AC ，设外接圆的半径为r ，所以AO ⋅AN =AO ⋅12AC +12AB =12AO ⋅AC +12AO ⋅AB =12r ×3×cos ∠OAC +12r ×2×cos ∠OAB =12×3×32+12×2×1=134．故选：B ．例9.(2023春·河南许昌·高一统考期末)已知P 在△ABC 所在平面内，满足PA =PB =PC ，则P 是△ABC 的( )A.外心B.内心C.垂心D.重心【答案】A【解析】PA =PB=PC 表示P 到A ,B ,C 三点距离相等，P 为外心．公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公故选：A ．例10.(2023春·四川自贡·高一统考期末)直角△ABC 中，∠C =90∘,AB =4,O 为△ABC 的外心，OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA=( )A.4B.-4C.2D.-2【答案】B【解析】∵直角△ABC 中，∠C =90°，AB =4，O 为△ABC 的外心，∴O 为AB 的中点，即OA =OB =2，∴OA +OB =0 且OA ⋅OB =|OA |⋅|OB|⋅cos180°=-4，∴OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA =-4+OC ⋅(OA+OB )=-4+0=-4，故选：B ．例11.(2023春·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考阶段练习)已知O 为△ABC 的外心，若AB =1，则AB ⋅AO=( )A.-12B.12C.-1D.23【答案】B【解析】因为点O 为△ABC 的外心，设AB 的中点为D ，连接OD ，则OD ⊥AB ，如图所以AB ⋅AO =AB ⋅(AD +DO )=AB ⋅AD +AB ⋅DO =12AB 2+0=12×12=12.故选：B .题型四：垂心定理例12.(2023春·河南南阳·高一统考期中)若H 为△ABC 所在平面内一点，且HA 2+BC 2=HB 2+CA 2=HC 2+AB 2则点H 是△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】D【解析】HA 2+BC 2=HB 2+CA 2⇒HA 2+BH +HC 2=HB 2+CH +HA2，得BH ⋅HC=CH ⋅HA ⇒HC ⋅BA =0，即HC ⊥BA ；HA 2+BC 2=HC 2+AB 2⇒HA 2+BH +HC 2=HC2+AH +HB 2，得BH ⋅HC =AH ⋅HB ⇒BH ⋅AC =0，即BH⊥AC ；HB 2+CA 2=HC 2+AB 2⇒HB 2+CH +HA 2=HC 2+AH +HB 2，CH ⋅HA =AH ⋅HB ⇒HA ⋅CB =0，即HA ⊥CB，所以H 为△ABC 的垂心.故选：D .例13.(多选题)(2023春·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期中)已知O ，N ，P ，I 在△ABC 所在的平公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公面内，则下列说法正确的是( )A.若OA =OB =OC，则O 是△ABC 的外心B.若PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ，则P 是△ABC 的垂心C.若NA +NB +NC=0，则N 是△ABC 的重心D.若CB ⋅IA =AC ⋅IB =BA ⋅IC=0，则I 是△ABC 的垂心【答案】ABCD【解析】对A ，根据外心的定义，易知A 正确；对B ，PB ⋅PA -PC =PB ⋅CA =0⇒PB ⊥CA ，同理可得：PA ⊥CB ,PC ⊥AB ，所以P 是垂心，故B正确；对C ，记AB 、BC 、CA 的中点为D 、E 、F ，由题意NA +NB =2ND =-NC ，则|NC |=2|ND |，同理可得：|NA |=2|NE |,|NB |=2|NF |，则N 是重心，故C 正确；对D ，由题意，CB ⊥IA ,AC ⊥IB ,BA ⊥IC ，则I 是垂心，故D 正确故选：ABCD .例14.(2023春·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考阶段练习)设H 是△ABC 的垂心，且4HA+5HB+6HC =0 ，则cos ∠AHB =_____．【答案】-2211【解析】∵H 是△ABC 的垂心，∴HA ⊥BC ，HA ⋅BC =HA ⋅HC -HB =0，∴HA ⋅HB =HC ⋅HA ，同理可得，HB ⋅HC =HC ⋅HA ，故HA ⋅HB =HB ⋅HC =HC ⋅HA ，∵4HA +5HB+6HC =0 ，∴4HA 2+5HA ⋅HB +6HA ⋅HC=0，∴HA ⋅HB =-411HA 2，同理可求得HA ⋅HB =-12HB 2，∴cos ∠AHB =HB ⋅HA HB HA =-411HA 2HB HA ，cos ∠AHB =HB ⋅HA HB HA =-12HB 2HB HA，∴cos 2∠AHB =211，即cos ∠AHB =-2211.故答案为：-2211．【同步练习】一、单选题1.(2023·四川泸州·泸县五中校考二模)已知△ABC 的重心为O ，则向量BO=( )公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公A.23AB +13ACB.13AB +23ACC.-23AB +13ACD.-13AB +23AC【答案】C【解析】设E ,F ,D 分别是AC ,AB ,BC 的中点，由于O 是三角形ABC 的重心，所以BO =23BE =23×AE -AB =23×12AC -AB =-23AB +13AC.故选：C .2.(2023·全国·高三专题练习)对于给定的△ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论不正确的是( )A.AO ⋅AB =12AB2B.OA ⋅OB =OA ⋅OC =OB ⋅OCC.过点G 的直线l 交AB 、AC 于E 、F ，若AE =λAB ，AF =μAC ，则1λ+1μ=3D.AH 与AB AB cos B +ACACcos C 共线【答案】B【解析】如图，设AB 中点为M ，则OM ⊥AB ，∴AO cos ∠OAM =AM ，∴AO ·AB =AO AB cos ∠OAB =AB AO cos ∠OAB =AB ⋅AB2=12AB 2，故A 正确；OA ·OB =OA ·OC 等价于OA ·OB -OC=0等价于OA ·CB =0，即OA ⊥BC ，对于一般三角形而言，O 是外心，OA 不一定与BC 垂直，比如直角三角形ABC 中，若B 为直角顶点，则O 为斜边AC 的中点，OA 与BC 不垂直，故B 错误；设BC 的中点为D ，则AG =23AD =13AB +AC =131λAE +1μAF=13λAE +13μAF，∵E ，F ，G 三点共线，∴13λ+13μ=1，即1λ+1μ=3，故C 正确；AB ABcos B +AC AC cos C ⋅BC =AB ⋅BC AB cos B +AC ⋅BCAC cos C =AB BC cos π-B AB cos B +AC BC cos C ACcos C =-BC +BC =0，∴AB AB cos B +ACACcos C 与BC 垂直，又∵AH ⊥BC ，公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公∴AB AB cos B +ACACcos C与AH 共线，故D 正确.故选：B .3.(2023·四川·校联考模拟预测)在平行四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，AG =xAB +yAD，则3x +y =( )A.73B.2C.83D.3【答案】C【解析】如图，设AC 与BD 相交于点O ，由G 为△BCD 的重心，可得O 为BD 的中点，CG =2GO ，则AG =AO +OG =AO +13OC =43AO =43×12AB +AD =23AB +23AD，可得x =y =23，故3x +y =83.故选：C .4.(2023秋·河南信阳·高三校考阶段练习)过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD =xAB ，AE =yAC ，且xy ≠0，则1x +1y=( )A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】设△ABC 的重心为点G ，延长AG 交BC 于点M ，则M 为线段BC 的中点，因为D 、G 、E 三点共线，设DG =λDE，即AG -AD =λAE -AD ，所以，AG =1-λ AD +λAE =1-λ xAB +λyAC ，因为M 为BC 的中点，则AM =AB +BM =AB +12BC =AB+12AC -AB =12AB +12AC ，因为G 为△ABC 的重心，则AG =23AM =13AB +13AC，所以，1-λ x =λy =13，所以，1x +1y=31-λ +3λ=3.故选：B .5.(2023秋·上海·高二专题练习)O 是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的3个点，一动点P 满足：OP =OA+λ(AB +AC ),λ>0，则直线AP 一定通过△ABC 的( )A.外心 B.内心C.重心D.垂心【答案】C公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公【解析】取线段BC 的中点E ，则AB +AC =2AE ．动点P 满足：OP =OA+λ(AB +AC )，λ>0，则OP -OA=2λAE 则AP =2λAE .则直线AP 一定通过△ABC 的重心．故选：C ．6.(2023秋·湖北·高二校联考期中)O 是△ABC 的外心，AB =6,AC =10，AO =xAB +yAC,2x +10y=5，则cos ∠BAC =( )A.12B.13C.35D.13或35【答案】D【解析】当O 在AC 上，则O 为AC 的中点，x =0,y =12满足2x +10y =5，符合题意，∴AB ⊥BC ，则cos ∠BAC =AB AC=35；当O 不在AC 上，取AB ,AC 的中点D ,E ，连接OD ,OE ，则OD ⊥AB ,OE ⊥AC ，则AB ⋅AO =AB AO cos ∠OAD =AB ×AO ×ADAO =12AB 2=18，同理可得：AC ⋅AO =12AC 2=50∵AB ⋅AO =AB ⋅xAB +yAC =xAB 2+yAB ⋅AC=36x +60y cos ∠BAC =18，AC ⋅AO =AC ⋅xAB +yAC =xAC ⋅AB +yAC 2=60x cos ∠BAC +100y =50，联立可得36x +60y cos ∠BAC =1860x cos ∠BAC +100y =502x +10y =5，解得x =14y =920cos ∠BAC =13，故选：D .7.(2023·湖南·高考真题)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA，则P 是△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心【答案】D【解析】因为PA ⋅PB=PB ⋅PC ，则PB ⋅PC -PA =PB ⋅AC=0，所以，PB ⊥AC ，同理可得PA ⊥BC ，PC ⊥AB ，故P 是△ABC 的垂心.故选：D .公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公8.(2023·全国·高一专题练习)已知点O ,P 在△ABC 所在平面内，满OA +OB +OC =0 ，PA =PB=PC ，则点O ,P 依次是△ABC 的( )A.重心，外心B.内心，外心C.重心，内心D.垂心，外心【答案】A【解析】设AB 中点为D ，因为OA +OB +OC =0，所以OA +OB +OC =2OD +OC =0 ，即-2OD =OC ，因为OD ,OC有公共点O ，所以，O ,D ,C 三点共线，即O 在△ABC 的中线CD ，同理可得O 在△ABC 的三条中线上，即为△ABC 的重心；因为PA =PB=PC ，所以，点P 为△ABC 的外接圆圆心，即为△ABC 的外心综上，点O ,P 依次是△ABC 的重心，外心.故选：A9.(2023·全国·高一专题练习)已知O ,A ,B ,C 是平面上的4个定点，A ,B ,C 不共线，若点P 满足OP=OA +λAB +AC ，其中λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】A【解析】根据题意，设BC 边的中点为D ，则AB +AC =2AD，因为点P 满足OP =OA+λAB +AC ，其中λ∈R所以，OP -OA=AP =λAB +AC =2λAD ，即AP =2λAD ，所以，点P 的轨迹为△ABC 的中线AD ，所以，点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心.故选：A10.(2023春·安徽安庆·高一安庆一中校考阶段练习)在△ABC 中，设O 是△ABC 的外心，且AO=13AB +13AC，则∠BAC 等于( )A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】依题意，因为AO =13AB +13AC ，所以O 也是△ABC 的重心，又因为O 是△ABC 的外心，所以△ABC 是等边三角形，所以∠BAC =60°.公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公故选：C .11.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中,AB =2,∠ACB =45°,O 是△ABC 的外心,则AC ⋅BC+OC ⋅AB的最大值为( )A.1B.32C.3D.72【答案】C【解析】解:由题知,记△ABC 的三边为a ,b ,c ,因为O 是△ABC 的外心,记AB 中点为D ,则有OD ⊥AB ,所以OD ⋅AB =0且CD =12CA +CB ,所以AC ⋅BC +OC ⋅AB =CA ⋅CB +OD +DC ⋅AB =CA ⋅CB +OD ⋅AB +DC ⋅AB =CA ⋅CB -12CA +CB ⋅AB=CA ⋅CB -12CA +CB ⋅CB -CA=CA ⋅CB +12CA 2-CB 2=b ⋅a ⋅cos ∠ACB +12b 2-a 2=122ab +b 2-a 2 ①,在△ABC 中,由余弦定理得:cos ∠ACB =a 2+b 2-c 22ab=22,即a 2+b 2-c 2=2ab ,即a 2+b 2-2=2ab ,代入①中可得:AC ⋅BC +OC ⋅AB=b 2-1,在△ABC 中,由正弦定理得:a sin A=b sin B =csin C =222=2,所以b =2sin B ≤2,所以AC ⋅BC +OC ⋅AB=b 2-1≤3,当b =2,a =c =2,A =C =45∘,B =90∘时取等,故AC ⋅BC +OC ⋅AB的最大值为3.公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公故选:C12.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，O 为△ABC 的内心，若AO=λAB +μBC ，则λ+μ=( )A.23B.34C.56D.35【答案】C【解析】由AO =λAB +μBC 得AO =λOB -OA +μOC -OB，则1-λ OA +λ-μ OB +μOC =0，因为O 为△ABC 的内心，所以BC OA +AC OB +AB OC =0，从而1-λ :λ-μ :μ=5:4:3，解得λ=712，μ=14，所以λ+μ=56.故选：C .13.(2023秋·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考开学考试)若O ，M ，N 在△ABC 所在平面内，满足|OA |=|OB |=|OC |,MA ⋅MB =MB ⋅MC=MC ⋅MA ，且NA +NB +NC =0 ，则点O ，M ，N 依次为△ABC 的( )A.重心，外心，垂心B.重心，外心，内心C.外心，重心，垂心D.外心，垂心，重心【答案】D【解析】因为|OA |=|OB |=|OC |，所以OA =OB =OC ，所以O 为△ABC 的外心；因为MA ⋅MB =MB ⋅MC=MC ⋅MA ，所以MB ⋅(MA-MC )=0，即MB ⋅CA=0，所以MB ⊥AC ，同理可得：MA ⊥BC ，MC ⊥AB ，所以M 为△ABC 的垂心；因为NA +NB +NC =0 ，所以NA +NB =-NC ，设AB 的中点D ，则NA +NB =2ND，所以-NC =2ND，所以C ，N ，D 三点共线，即N 为△ABC 的中线CD 上的点，且NC =2ND ，所以N 为△ABC 的重心．故选：D ．公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公14.(2023春·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知点O ，P 在△ABC 所在平面内，且OA =OB =OC ，PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ，则点O ，P 依次是△ABC 的( )A.重心，垂心 B.重心，内心C.外心，垂心D.外心，内心【答案】C【解析】由于OA =OB =OC ，所以O 是三角形ABC 的外心.由于PA ⋅PB =PB ⋅PC ，所以PA -PC ⋅PB =0,CA ⋅PB=0⇒CA ⊥PB ，同理可证得AB ⊥PC ,BC ⊥PA ，所以P 是三角形ABC 的垂心.故选：C二、多选题15.(2023春·河南·高一校联考期中)已知△ABC 的重心为O ，边AB ,BC ,CA 的中点分别为D ,E ,F ，则下列说法不正确的是( )A.OA +OB =2ODB.若△ABC 为正三角形，则OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA=0C.若AO ⋅AB -AC=0，则OA ⊥BCD.OD +OE +OF =0【答案】BD【解析】对于A ，在△OAB 中，因为D 为AB 的中点，所以OD =12(OA +OB )，所以OA +OB =2OD ，所以A 正确，对于B ，因为△ABC 为正三角形，O 为△ABC 的重心，所以OA =OB =OC ，∠AOB =∠BOC =∠AOC =120°，设OA =OB =OC =a ，则OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA =OA ⋅OB cos ∠AOB +OB ⋅OC cos ∠BOC +OC ⋅OAcos ∠AOC=a 2cos120°+a 2cos120°+a 2cos120°=-32a 2≠0，所以B 错误，对于C ，因为AO ⋅AB -AC =0，所以AO ⋅CB =0，所以AO ⊥CB，所以OA ⊥BC ，所以C 正确，对于D ，因为边AB ,BC ,CA 的中点分别为D ,E ,F ，公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公所以OD =12(OA +OB )，OE =12(OB +OC )，OF =12(OA +OC )，因为O 为△ABC 的重心，所以CO =2OD ，所以2OD =-OC，所以OD +OE +OF =12(OA +OB )+12(OC +OB )+12(OA+OC )=OA +OB +OC=2OD +OC=-OC +OC =0 ，所以D 错误，故选：BD16.(2023·全国·高三专题练习)如图，M 是△ABC 所在平面内任意一点，O 是△ABC 的重心，则( )A.AD +BE =CFB.MA +MB +MC=3MOC.MA +MB +MC =MD +ME +MFD.BC ⋅AD+CA ⋅BE +AB ⋅CF =0【答案】BCD【解析】对于A 选项，由题意可知，D 、E 、F 分别为BC 、AC 、AB 的中点，所以，AD =AB +12BC =AB +12AC -AB =12AB +AC ，同理可得BE =12BA +BC ，CF =12CA +CB，所以，AD +BE =12AB +AC +12BA +BC =12AC +BC =-CF ，A 错；对于B 选项，由重心的性质可知AD =32AO ，BE =32BO ，CF =32CO，由A 选项可知，AD +BE +CF =32AO +BO +CO =0，所以，MA +MB +MC =MO +OA +MO +OB +MO +OC =3MO -AO +BO +CO =3MO ，B 对；对于C 选项，由重心的性质可知OD =12AO，OE =12BO ，OF =12CO ，所以，MD +ME +MF=MO +OD +MO +OE +MO +OF =3MO +12AO +BO +CO=3MO ，C 对；对于D 选项，BC ⋅AD =12AC -AB ⋅AC +AB =12AC 2-AB 2，同理可得CA ⋅BE =12BA 2-BC 2 ，AB ⋅CF =12CB 2-CA 2，公众号　数学有得聊得聊数学有得聊公众号　数学有得聊学有得聊公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公众号公众号　数学有得聊公众号　数学有得聊公。

5类平面向量解题技巧（“爪子定理”、系数和（等和线）、极化恒等式、奔驰定理与三角形四心问题、范围与最值问题）技法01“爪子定理”的应用及解题技巧技法02系数和（等和线）的应用及解题技巧技法03极化恒等式的应用及解题技巧技法04奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧技法05范围与最值的应用及解题技巧技法01“爪子定理”的应用及解题技巧“爪子定理”是平面向量基本定理的拓展，用“爪子定理”能更快速求解，需同学们重点学习掌握知识迁移形如AD xAB y AC =+条件的应用（“爪子定理”）“爪”字型图及性质：（1）已知,AB AC 为不共线的两个向量，则对于向量AD，必存在,x y ，使得AD xAB y AC =+。

则,,B C D 三点共线⇔1x y +=当01x y <+<，则D 与A 位于BC 同侧，且D 位于A 与BC 之间当1x y +>，则D 与A 位于BC 两侧1x y +=时，当0,0x y >>，则D 在线段BC 上；当0xy <，则D 在线段BC 延长线上（2）已知D 在线段BC 上，且::BD CD m n =，则n m AD AB AC m n m n=+++A例1-1．（全国·高考真题）设D 为ABC 所在平面内一点，且3BC CD =，则（）A.1433AD AB AC=-+B.1433AD AB AC=-C.4133AD AB AC=+ D.4133AD AB AC=- 例1-2．如图，在ABC 中，13AN NC = ，P 是BN 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（）A.911 B.511C.311D.2111．（2022·全国·统考高考真题）在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n == ，，则CB=（）A ．32m n- B ．23m n -+ C ．32m n + D ．23m n+2.（全国·高考真题）在ABC 中，AB c = ，AC b = ．若点D 满足2BD DC = ，则AD =（）A ．2133b c+ B ．5233c b-C ．2133b c-D ．1233b c+3.（2020·新高考全国1卷·统考高考真题）已知平行四边形ABCD ，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点（如图所示），设AB a =，AD b = ，则EF 等于（）A ．()12a b +B ．()12a b - C ．()12b a - D ．12a b+ 4．（全国·高考真题）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC-B ．1344AB AC-C ．3144+AB ACD ．1344+AB AC5．（江苏·高考真题）设D 、E 分别是ABC ∆的边AB ，BC 上的点，12AD AB =，23BE BC =.若12DE AB AC λλ=+（12,λλ为实数），则12λλ+的值是技法02系数和（等和线）的应用及解题技巧近年，高考、模考中有关“系数和（等和线）定理”背景的试题层出不穷，学生在解决此类问题时，往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高，而向量三点共线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数形结合思想得到了有效体现，同时也为相关问题的解决提供了新的思路，大家可以学以致用知识迁移如图，P 为AOB ∆所在平面上一点，过O 作直线//l AB ，由平面向量基本定理知：存在,x y R ∈，使得OP xOA yOB=+ 下面根据点P 的位置分几种情况来考虑系数和x y +的值①若P l ∈时，则射线OP 与l 无交点，由//l AB 知，存在实数λ，使得OP AB λ=而AB OB OA =- ，所以OP OB OA λλ=-，于是=-=0x y λλ+②若P l ∉时，（i ）如图1，当P 在l 右侧时，过P 作//CD AB ，交射线OA OB ，于,C D 两点，则OCD OAB ∆~∆，不妨设OCD ∆与OAB ∆的相似比为k由,P C D ，三点共线可知：存在R λ∈使得：(1)(1)OP OC OD k OA k OBλλλλ=+-=+- 所以(1-)x y k k kλλ+=+=（ii ）当P 在l 左侧时，射线OP 的反向延长线与AB 有交点，如图1作P 关于O 的对称点P '，由（i ）的分析知：存在存在R λ∈使得：(1)(1)OP OC OD k OA OB λλλλ'=+-=+- 所以--(1)OP k OA OBλλ'=+- 于是--(1-)-x y k k kλλ+=+=综合上面的讨论可知：图中OP 用,OA OB线性表示时，其系数和x y +只与两三角形的相似比有关。

平面向量及其应用（解三角形篇）典型例题讲解一、基本概念回归1、正弦定理①asin A=bsin B=csin C=2R（为外接圆半径）②边角互化：；；③比值：④应用：；；2、余弦定理3、余弦定理变形：4、三角形面积公式（为内切圆半径）5、三角形中常用角的变换注意这两个公式的正向，逆向应用6、三角形中，中线问题核心技巧①：向量形式，进一步可通过两边平方法求解核心技巧②：7、三角形中角平分线常用结论①倍角：②内角平分线定理：或③面积关系式：高频考点一：利用正余弦定理解三角形角度1：利用正弦定理解三角形1．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）在中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，若，则（）A．B．或C．D．或2．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）在中，内角所对的边分别是，已知，，，则的大小为（）A．B．C．或D．或3．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则（）A．B．C．D．4．（2023春·湖南湘潭·高二统考期末）在中，，则______.5．（2023春·北京海淀·高三首都师范大学附属中学校考开学考试）已知函数.(1)求函数的单调递减区间；(2)在中，角，，的对边分别为，，，且，求的面积.角度2：利用余弦定理解三角形1．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）在中，已知，，，则（）A．1B．C．2D．2．（2023秋·贵州黔东南·高二凯里一中校考期末）已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（）A．2B．C．4D．163．（2023·高三课时练习）设的内角、、所对的边分别为、、，已知，，且，则______.4．（2023春·山西晋城·高三校考阶段练习）在中，角所对的边分别为，满足.(1)求；(2)若，求面积的最小值.5．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，，．(1)求角C的大小；(2)若，求边c．高频考点二：三角形解的个数问题1．（2023·全国·高一专题练习）在中，角、、的对边分别为、、，其中有两解的是（）A．，，B．，，C．，，D．，，2．（2023秋·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期末）中，角的对边分别为，且，，，那么满足条件的三角形的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．无数个3．（2023·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别为，下列条件使有两解的是（）A．B．C．D．4．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件中，能使的形状唯一确定的有（）A．B．C．D．高频考点三：判断三角形形状1．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形2．（2023·高一课时练习）三角形两边之差为2，且这两边的夹角的余弦值为，面积为14，此三角形是（）．A．钝角三角形；B．锐角三角形；C．直角三角形；D．不能确定．3．（2023·高一课时练习）在中，是三角形的三条边，若方程有两个相等的实数根，则是（）A．锐角三角形；B．直角三角形；C．钝角三角形；D．以上都有可能．4．（2023·高一课时练习）在中，已知，则是（）A．直角三角形；B．锐角三角形；C．钝角三角形；D．等边三角形．5．（2023·全国·高三专题练习）△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC面积为，，B．则△ABC是（ ）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形高频考点四：边角互化角度1：正弦定理边角互化1．（2023·陕西西安·统考一模）已知在中，角所对边分别为，满足，且，则的取值范围为______.2．（2023春·青海西宁·高三统考开学考试）在中，角的对边分别为，若.(1)求角的大小；(2)若的面积为，，求的周长.3．（2023秋·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考期末）已知的内角，，的对边分别为，，，且.(1)求角；(2)若，且的面积为，求边长4．（2023·全国·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求证：；(2)若，，求△ABC的面积．5．（2023·广东佛山·统考一模）在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为在方向上的投影向量，且满足.(1)求的值；(2)若，，求的周长.角度2：余弦定理边角互化1．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的值为（）A．4B．5C．6D．72．（2023·全国·高三专题练习）在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则角C的大小为（）A．B．C．D．3．（多选）（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B的值为（）A．B．C．D．4．（2023·全国·模拟预测）在中，角的对边分别是，．(1)求C；(2)若，的面积是，求的周长．5．（2023秋·广东广州·高三广州市第七中学校考阶段练习）记的内角，，的对边分别为，，．已知，．(1)证明：；(2)求面积的最大值．高频考点五：三角形外接圆问题1．（2023秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）在中, 角，，所对的边分别为，，，，则的外接圆面积为（）A．B．C．D．2．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．若，则的外接圆半径为____________．3．（2023春·山东烟台·高三校考开学考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求C；(2)已知的外接圆半径为4，若有最大值，求实数m的取值范围.4．（2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）在锐角中，BC在AB上的投影长等于的外接圆半径R．(1)求的值；(2)若，且，求R．5．（2023·全国·高三专题练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角A；(2)若3a＝b+c，且△ABC外接圆的半径为1，求△ABC的面积．高频考点六：三角形周长（边长）问题角度1：三角形周长（边长）定值问题1．（2023·江西抚州·高三金溪一中校考开学考试）已知在锐角中，角所对的边分别为.(1)求；(2)若的面积为1，且__________（在下面两个条件中任选一个），求的周长.①；②.注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.2．（2023·高一课时练习）在中，所对的边为，满足．(1)求A的值；(2)若，求的周长．3．（2023秋·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）在中，角的对边长分别为，且.(1)求；(2)若，求的周长.4．（2022秋·辽宁·高三校联考期中）已知分别为的三个内角的对边，.(1)求B；(2)若的面积为4，求.角度2：三角形周长（边长）最值问题1．（2023秋·浙江宁波·高三期末）在中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知，且的面积为，则周长的最小值为（）A．B．C．D．2．（2023春·河南·高三洛阳市第三中学校联考开学考试）在中，若内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的平分线交AC于点D，且，则周长的最小值为（）A．7B．C．D．43．（2023秋·贵州贵阳·高三统考期末）已知平面四边形中，，若，的面积为．(1)求的长；(2)求四边形周长的最大值．4．（2023秋·辽宁辽阳·高三统考期末）在①，②D是边的中点且，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．(1)求A；(2)若__________，求的最大值．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．5．（2023·全国·高三专题练习）中，已知，，为上一点，，.(1)求的长度；(2)若点为外接圆上任意一点，求的最大值.6．（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．在①，② ，③ 中任选一个，(1)求角C的大小；(2)若，求周长的最大值．7．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．(1)求角A的大小；(2)若，求△ABC周长的最大值．角度3：三角形周长（边长）取值范围问题1．（2023·陕西西安·统考一模）已知在中，角所对边分别为，满足，且，则的取值范围为______.2．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）在平面四边形中，.(1)求的长；(2)若为锐角三角形，求的取值范围.3．（2023·广东茂名·统考一模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求证：.(2)求的取值范围.4．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知锐角中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若.(1)求；(2)若，求周长的取值范围.5．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角、、的对边分别为、、，且．（1）求角的大小；（2）当时，求的取值范围．6．（2023·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别为，已知．（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围．答案解析高频考点一：利用正余弦定理解三角形角度1：利用正弦定理解三角形1．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）在中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，若，则（）A．B．或C．D．或【答案】D【详解】解：在中，，由正弦定理得，所以，所以或，故选：D2．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）在中，内角所对的边分别是，已知，，，则的大小为（）A．B．C．或D．或【答案】A【详解】在中由正弦定理可得，即，解得，又因为，所以，所以，故选：A3．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则（）A．B．C．D．【答案】B【详解】因为，所以.因为，所以.故选：.4．（2023春·湖南湘潭·高二统考期末）在中，，则______.【答案】【详解】根据正弦定理可知，代入题中数据，可知，所以故答案为：5．（2023春·北京海淀·高三首都师范大学附属中学校考开学考试）已知函数.(1)求函数的单调递减区间；(2)在中，角，，的对边分别为，，，且，求的面积.【答案】(1)，(2)【详解】（1）解：，即，令，，解得，，故的单调递减区间为，．（2）解：因为，则，因为，所以，所以，即，由正弦定理得，即，解得，又，所以，故，所以．角度2：利用余弦定理解三角形1．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）在中，已知，，，则（）A．1B．C．2D．【答案】C【详解】解：在中，因为，，，由余弦定理，即，解得或（舍去）.故选：C2．（2023秋·贵州黔东南·高二凯里一中校考期末）已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（）A．2B．C．4D．16【答案】B【详解】由题意，，所以，，所以，解得或（舍去）．故选：B3．（2023·高三课时练习）设的内角、、所对的边分别为、、，已知，，且，则______.【答案】5【详解】由得,由正弦定理以及得，故由余弦定理得，故答案为：54．（2023春·山西晋城·高三校考阶段练习）在中，角所对的边分别为，满足.(1)求；(2)若，求面积的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1）由可得，由正弦定理可得，整理得，又，即可得，所以；又，所以（2）利用正弦定理由可得，即；所以的面积利用余弦定理可得，当且仅当时等号成立；解得，所以，即面积的最小值为.5．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，，．(1)求角C的大小；(2)若，求边c．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，，所以；因为，所以.（2）因为，所以；因为，所以，即；因为，所以，所以.高频考点二：三角形解的个数问题1．（2023·全国·高一专题练习）在中，角、、的对边分别为、、，其中有两解的是（）A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】C【详解】对于A项，方法1：∵，，∴，∴由正弦定理得：∴a、c值唯一确定，∴只有一解.方法2：如图所示，∴只有一解.故选项A错误；对于B项，方法1：由余弦定理得：，∴只有一解.方法2：如图所示，∴只有一解. 故选项B错误；对于C项，方法1：由正弦定理得：，解得：又∵∴角B有两个解.方法2：如图所示，∵，∴，∴角B有两个解.故选项C正确；对于D项，方法1：∵，∴，又∵，∴，∴不存在这样的三角形.方法2：如图所示，∵，∴∴此时A、B、C三点不能构成三角形.故选项D错误；故选：C.2．（2023秋·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期末）中，角的对边分别为，且，，，那么满足条件的三角形的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．无数个【答案】C【详解】因为在中，，，，由余弦定理可得：，所以，也即，解得：，所以满足条件的三角形的个数有2个，故选：.3．（2023·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别为，下列条件使有两解的是（）A．B．C．D．【答案】D【详解】选项A. 由余弦定理可得的三边分别为，所以满足条件的三角形只有一个.选项B. ，则, 由正弦定理可得所以，的三边为定值，三个角为定值，所以满足条件的三角形只有一个.选项C. 由，则由正弦定理可得所以, 由则，所以角为一确定的角，且，则角角为一确定的角，从而边也为定值，所以满足条件的三角形只有一个.选项D. 作,在的一条边上取，过点作垂直于的另一边，垂足为.则,以点为圆心，4为半径画圆弧，因为，所以圆弧与的另一边有两个交点所以均满足条件，所以所以满足条件的三角形有两个.故选：D4．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件中，能使的形状唯一确定的有（）A．B．C．D．【答案】ACD【详解】对于A，由余弦定理可得，解得，故A正确；对于B，根据正弦定理：，可得，又因为，所以，所以或，故B不正确；对于C，由三角形的内角和可知，又，利用正弦定理，可知均有唯一值，故C正确；对于D，根据正弦定理：，可得，又因为，所以，所以只能是锐角，故D正确；故选：ACD高频考点三：判断三角形形状1．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】A【详解】，由正弦定理，得，即∴，可得，又，∴，则的形状为等腰三角形.故选：A.2．（2023·高一课时练习）三角形两边之差为2，且这两边的夹角的余弦值为，面积为14，此三角形是（）．A．钝角三角形；B．锐角三角形；C．直角三角形；D．不能确定．【答案】B【详解】解：设三角形两边a，b之差为2，且这两边的夹角的余弦值为，则，，，由，得，解得，由余弦定理得，则，所以，所以三角形是锐角三角形，故选：B3．（2023·高一课时练习）在中，是三角形的三条边，若方程有两个相等的实数根，则是（）A．锐角三角形；B．直角三角形；C．钝角三角形；D．以上都有可能．【答案】B【详解】由题可知, 方程有两个相等的实数根，，，再由正弦定理可得，是直角三角形.故选：B.4．（2023·高一课时练习）在中，已知，则是（）A．直角三角形；B．锐角三角形；C．钝角三角形；D．等边三角形．【答案】A【详解】解：由已知，所以，因为，所以，即三角形为直角三角形．故选：A．5．（2023·全国·高三专题练习）△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC面积为，，B．则△ABC是（ ）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】C【详解】∵△ABC面积为，b＝3，B，∴ac sin B，即，整理得：ac ＝3，①由余弦定理得：b 2＝a 2+c 22﹣ac cos B ，即9＝a 2+c 2+ac ＝（a +c ）2﹣ac ＝（a +c ）23﹣，整理得：a +c ＝2，②联立①②，解得：a ＝c ，则△ABC 为等腰三角形，故选：C ．高频考点四：边角互化角度1：正弦定理边角互化1．（2023·陕西西安·统考一模）已知在中，角所对边分别为，满足，且，则的取值范围为______.【答案】【详解】由题意在中，满足，即,即，而，故，又,则，同理，故，又,故，则，故答案为：2．（2023春·青海西宁·高三统考开学考试）在中，角的对边分别为，若.(1)求角的大小；(2)若的面积为，，求的周长.【答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理得：，，，，，则.（2），，由余弦定理得：，解得：，的周长.3．（2023秋·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考期末）已知的内角，，的对边分别为，，，且.(1)求角；(2)若，且的面积为，求边长【答案】(1)(2)或.【详解】（1），由正弦定理可得，即，因为，则，，所以，，因此，；（2）∵的面积为，则∴根据题意得，则或若，则△ABC为等边三角形，；若，则，即∴或.4．（2023·全国·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求证：；(2)若，，求△ABC的面积．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由及正弦定理可得．因为，所以，即．因为A，B为三角形的内角，所以或，得（舍去）或．故．由正弦定理可得，故．（2）由（1）得：，又，所以，，则．因为，，所以，得，则，所以△ABC的面积为．5．（2023·广东佛山·统考一模）在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为在方向上的投影向量，且满足.(1)求的值；(2)若，，求的周长.【答案】(1)(2)【详解】（1）由为在方向上的投影向量，则，即，根据正弦定理，，在锐角中，，则，即，由，则，整理可得，解得.（2）由，根据正弦定理，可得，在中，，则，，，由（1）可知，，则，由，则，解得，，根据正弦定理，可得，则，，故的周长.角度2：余弦定理边角互化1．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的值为（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【详解】由已知及正弦定理得，所以，所以＝.故选：C.2．（2023·全国·高三专题练习）在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则角C的大小为（）A．B．C．D．【答案】B【详解】因为，则，整理得，所以即，则，∵，所以.故选：B.3．（多选）（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B的值为（）A．B．C．D．【答案】BD【详解】解：根据余弦定理可知，代入，可得，即，因为，所以或，故选：BD.4．（2023·全国·模拟预测）在中，角的对边分别是，．(1)求C；(2)若，的面积是，求的周长．【答案】(1).(2).【详解】（1）由题意在中，，即，故，由于，所以.（2）由题意的面积是，，即，由，得，故的周长为.5．（2023秋·广东广州·高三广州市第七中学校考阶段练习）记的内角，，的对边分别为，，．已知，．(1)证明：；(2)求面积的最大值．【答案】(1)证明见解析(2)．【详解】（1）由正弦定理及已知可得，整理可得．由余弦定理可得，整理可得，所以．（2）由（1）可知．由余弦定理可得，化简可得．记的面积为，则．注意到，所以，等号成立当且仅当．此时回代有，可反解出，，，易知符合题意．所以面积的最大值为．高频考点五：三角形外接圆问题1．（2023秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）在中, 角，，所对的边分别为，，，，则的外接圆面积为（）A．B．C．D．【答案】D【详解】由正弦定理可知,,即，因为,，，根据正弦定理可知，得，则的外接圆面积.故选：D2．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．若，则的外接圆半径为____________．【答案】【详解】根据余弦定理由，因为，所以，由正弦定理可知的外接圆半径为，故答案为：3．（2023春·山东烟台·高三校考开学考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求C；(2)已知的外接圆半径为4，若有最大值，求实数m的取值范围.【答案】(1)；(2)．【详解】（1）中，，，由正弦定理得，即，显然，∴，，，；（2）由（1），，由正弦定理，，，，其中，又，若有最大值，则在上有解，∴，解得，∴的取值范围是．4．（2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）在锐角中，BC在AB上的投影长等于的外接圆半径R．(1)求的值；(2)若，且，求R．【答案】(1)(2)2【详解】（1）因为是锐角三角形，所以，又，所以，（2）由得，与已知条件，相加得，，即，，所以．于是，故．5．（2023·全国·高三专题练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角A；(2)若3a＝b+c，且△ABC外接圆的半径为1，求△ABC的面积．【答案】(1)(2)（1），化简得：，由正弦定理得：，因为，所以，因为，所以，所以因为所以；（2）设△ABC外接圆的半径为R，则R＝1，由正弦定理得，由余弦定理得，﹣bc，即3＝273∴bc＝8，∴△ABC的面积．高频考点六：三角形周长（边长）问题角度1：三角形周长（边长）定值问题1．（2023·江西抚州·高三金溪一中校考开学考试）已知在锐角中，角所对的边分别为.(1)求；(2)若的面积为1，且__________（在下面两个条件中任选一个），求的周长.①；②.注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)(2)【详解】（1）由及正弦定理得，整理得,因为，所以，因为在锐角中,，所以.（2）若选①：由的面积为1，得，所以，在锐角中，由，得，由余弦定理得，所以，所以，即的周长为.若选②：由的面积为1，得，所以，在锐角中，由，得，由余弦定理得，即，由,解得，所以，所以的周长为.2．（2023·高一课时练习）在中，所对的边为，满足．(1)求A的值；(2)若，求的周长．【答案】(1).(2).【详解】（1）∵，,可得∶，可得∶，,∵，.（2）在中,∵,,∴,∴由正弦定理可得：,即，所以的周长为.3．（2023秋·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）在中，角的对边长分别为，且.(1)求；(2)若，求的周长.【答案】(1)(2)【详解】（1）由条件，得，由正弦定理得：,由于，，代入上式得：，，由于，；（2）由余弦定理：，将代入得：，（舍）；的周长为；综上，，的周长为.4．（2022秋·辽宁·高三校联考期中）已知分别为的三个内角的对边，.(1)求B；(2)若的面积为4，求.【答案】(1);(2)8【详解】（1）由，得，即，由余弦定理，得，由于，所以;（2）因为的面积为，所以，即，因为，,则，所以，所以.角度2：三角形周长（边长）最值问题1．（2023秋·浙江宁波·高三期末）在中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知，且的面积为，则周长的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】因为，根据正弦定理及诱导公式得，，，，即，，则，则解得,所以，所以，所以，当且仅当时等号成立，根据余弦定理得，即，设的周长为，所以，设，则，根据复合函数单调性及增函数加增函数为增函数的结论得：在上为单调增函数，故，故，当且仅当时取等.故选：C.2．（2023春·河南·高三洛阳市第三中学校联考开学考试）在中，若内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的平分线交AC于点D，且，则周长的最小值为（）A．7B．C．D．4【答案】C【详解】由题可得，，即，又，所以，则，因为，所以，则，所以，即，又因为，，所以，整理得，所以，解得或（舍去），所以，当且仅当时，等号成立，则，故周长的最小值为.故选：C..3．（2023秋·贵州贵阳·高三统考期末）已知平面四边形中，，若，的面积为．(1)求的长；(2)求四边形周长的最大值．【答案】(1)(2)周长的最大值为【详解】（1）在中，由题意有，解得，又由余弦定理得， 所以 ．（2），，设，四边形周长设为，则，由题可知，，在中，由余弦定理得( ，则所以，即，当且仅当时等号成立，所以 ，即四边形周长的最大值为4．（2023秋·辽宁辽阳·高三统考期末）在①，②D是边的中点且，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．(1)求A；(2)若__________，求的最大值．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)(2)选①，的最大值是8；选②，的最大值是【详解】（1）因为，所以，所以，则．因为，所以．（2）选①,由余弦定理可得，即，则．因为，所以．因为，所以，当且仅当时，等号成立，则，解得，即的最大值是8．选②,因为D是边的中点，所以，所以，因为，且，所以，即．因为，所以，当且仅当时，等号成立，则，解得，即的最大值是．5．（2023·全国·高三专题练习）中，已知，，为上一点，，.(1)求的长度；(2)若点为外接圆上任意一点，求的最大值.【答案】(1)；(2).【详解】（1）设，，则.在与中，由余弦定理知：，即，，即.，，可得.，，即.解得，..（2）由（1）知：中，，，为外接圆的直径.为外接圆上任意一点，当在点时，.当在点时，.当在优弧上时，，设，则.中，由正弦定理知，.，当时，的最大值为.当在劣弧上时，，设，则.中，由正弦定理知，..当时，的最大值为.综上，的最大值为.6．（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．在①，② ，③ 中任选一个，(1)求角C的大小；(2)若，求周长的最大值．【答案】(1)(2)6(1)选①，得∴∵∴∴选②∵∴选③又所以，所以(2)由余弦定理知：由基本不等式知：所以所以：(当且仅当时，等号成立)，所以综上：△ABC的周长的最大值为6．7．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．(1)求角A的大小；(2)若，求△ABC周长的最大值．【答案】(1);(2)（1）因为所以由正弦定理可得，即，由余弦定理知，，因为， 所以.（2）由和（1）可知，则，得，即，所以（当且仅当时，取得等号），所以周长的最大值为.角度3：三角形周长（边长）取值范围问题1．（2023·陕西西安·统考一模）已知在中，角所对边分别为，满足，且，则的取值范围为______.【答案】【详解】由题意在中，满足，即,即，而，故，又,则，同理，故，又,故，则，故答案为：2．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）在平面四边形中，.(1)求的长；(2)若为锐角三角形，求的取值范围.【答案】(1)或(2)【详解】（1）在中，，由余弦定理可得，即，解得或；（2）因为，所以，因为为锐角三角形，所以，解得，在中，因为，所以，由，得，所以，所以.3．（2023·广东茂名·统考一模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求证：.(2)求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）在中，由及正弦定理得：又∵，∴即，∵，∴.∵，∴，（2）得：得，∴，∴，由题意，及正弦定理得：∵，∴，即故的取值范围为方法二：由正弦定理得：∵，∴，由（1）得：，故由（1）得：得，∴，∴，∴，即，故的取值范围为4．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知锐角中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若.(1)求；(2)若，求周长的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）由及正弦定理，得即.所以，由为锐角， 得，所以.（2）由得.∴得周长.，因为，，所以，，所以，即.所以周长的取值范围为.5．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角、、的对边分别为、、，且．（1）求角的大小；（2）当时，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【详解】解：（1）由及正弦定理得，所以，所以，所以，由，可得；（2），，所以，所以：，因为为锐角三角形，则，解得，所以，，则，所以，.6．（2023·全国·高三专题练习）在中，角所对的边分别为，已知．（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【详解】（1）∵，∴，即，∵，∴，∴．（2）由余弦定理可知，代入可得，当且仅当时取等号，∴，又，∴的取值范围是．。

平面向量与三角形的“四心”综合问题【例题精讲】例题1 已知O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|，NA ―→＋NB ―→＋NC ―→＝0，且P A ―→·PB ―→＝PB ―→·PC ―→＝PC ―→·P A ―→，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )A ．重心 外心 垂心B ．重心 外心 内心C ．外心 重心 垂心D ．外心 重心 内心【解析】由|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|知，O 为△ABC 的外心； 由NA ―→＋NB ―→＋NC ―→＝0知，N 为△ABC 的重心；因为P A ―→·PB ―→＝PB ―→·PC ―→，所以(P A ―→－PC ―→)·PB ―→＝0， 所以CA ―→·PB ―→＝0，所以CA ―→△PB ―→，即CA △PB ，同理AP △BC ，CP △AB ，所以P 为△ABC 的垂心，故选C.例题2 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP ―→＝x OB ―→＋y OC ―→，其中x ，y △[0,1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( ) A.1063B ．1463C ．4 3D ．62【解析】根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形及其内部， 其面积为△BOC 的面积的2倍．在△ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a ＝7.设△ABC 的内切圆的半径为r ，则12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263，所以S △BOC ＝12×a ×r ＝12×7×263＝763.故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝1463，故选B.【知识小结】三角形“四心”的向量表示(1)在△ABC 中，若|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|或OA ―→2＝OB ―→2＝OC ―→2，则点O 是△ABC 的外心．(2)在△ABC 中，若GA ―→＋GB ―→＋GC ―→＝0，则点G 是△ABC 的重心．(3)对于△ABC ，O ，P 为平面内的任意两点，若OP ―→－OA ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→＋12BC ―→，λ△(0，＋∞)，则直线AP 过△ABC 的重心． (4)OA ―→·OB ―→＝OB ―→·OC ―→＝OC ―→·OA ―→或者|OA ―→|2＋|OB ―→|2＝|OB ―→|2＋|OC ―→|2＝|OC ―→|2＋|OA ―→|2，则点O 为三角形的垂心．(5)|BC ―→|·OA ―→＋|AC ―→|·OB ―→＋|AB ―→|·OC ―→＝0，则点O 为三角形的内心．(6)对于△ABC ，O ，P 为平面内的任意两点，若OP ―→＝OA ―→＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB ―→|AB ―→|＋AC ―→|AC ―→|(λ>0)，则直线AP 过△ABC 的内心．【变式练习】1．已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP ―→＝OA ―→＋λ(AB ―→＋AC ―→)，λ△(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心【解析】选C 由原等式，得OP ―→－OA ―→＝λ(AB ―→＋AC ―→)，即AP ―→＝λ(AB ―→＋AC ―→)，根据平行四边形法则，知AB ―→＋AC ―→＝2AD ―→(D 为BC 的中点)，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．故选C.2．在△ABC 中，|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2，AD ―→＝12AB ―→＋34AC ―→，则直线AD 通过△ABC 的( )A ．重心B ．外心C ．垂心D ．内心解析：选D △|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2，△12|AB ―→|＝34|AC ―→|＝32.设AE ―→＝12AB ―→，AF ―→＝34AC ―→，则|AE ―→|＝|AF ―→|.△AD ―→＝12AB ―→＋34AC ―→＝AE ―→＋AF ―→，△AD 平分△EAF ，△AD 平分△BAC ，△直线AD 通过△ABC 的内心。