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九年级数学上册第二十二章二次函数知识点总结归纳完整版单选题1、已知实数a ，b 满足b −a =1，则代数式a 2+2b −6a +7的最小值等于（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2答案：A分析：由已知得b =a +1，代入代数式即得a 2-4a +9变形为(a -2)2+5，再根据二次函数性质求解． 解：∵b -a =1，∴b =a +1，∴a 2+2b -6a +7=a 2+2(a +1)-6a +7=a 2-4a +9=(a -2)2+5，∵(a -2)2≥0，∴当a =2时，代数式a 2+2b -6a +7有最小值，最小值为5，故选：A ．小提示：本题考查二次函数的最值，通过变形将代数式化成(a -2)2+5是解题的关键．2、点A （m -1，y 1），B （m ，y 2）都在二次函数y =（x -1）2+n 的图象上．若y 1＜y 2，则m 的取值范围为（）A ．m >2B ．m >32C ．m <1D ．32<m <2答案：B分析：根据y 1＜y 2列出关于m 的不等式即可解得答案．解：∵点A （m -1，y 1），B （m ，y 2）都在二次函数y =（x -1）2+n 的图象上，∴y 1=（m -1-1）2+n =（m -2）2+n ，y 2=（m -1）2+n ，∵y 1＜y 2，∴（m -2）2+n ＜（m -1）2+n ，∴（m-2）2-（m-1）2＜0，即-2m+3＜0，∴m＞3，2故选：B．小提示：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式．3、抛物线y=x2−x−1经过点（m，3），则代数式m2−m−1的值为（）A．0B．1C．2D．3答案：D分析：将点（m，3）代入代数式中即可得到结果．解：将点（m，3）代入m2−m−1中得，m2−m−1=3，故代数式m2−m−1的值为3，故选：D．小提示：本题考查代数式的值，根据函数图象经过的点求函数解析式，能够掌握属性结合思想是解决本题的关键．4、小明在研究抛物线y=−(x−ℎ)2−ℎ+1（h为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（）A．无论x取何实数，y的值都小于0B．该抛物线的顶点始终在直线y=x−1上C．当−1<x<2时，y随x的增大而增大，则ℎ≥2D．该抛物线上有两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，若x1<x2，x1+x2<2ℎ，则y1>y2答案：C分析：根据二次函数的对称轴、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，判断即可．解：A．∵y=−(x−ℎ)2−ℎ+1，∴当x=ℎ时，y max=−ℎ+1，当ℎ<1时，y max=−ℎ+1>0，故错误；B．∵抛物线y=−(x−ℎ)2−ℎ+1的顶点坐标为(ℎ，−ℎ+1)，当x=ℎ时，y=−ℎ−1≠−ℎ+1，故错误；C．∵抛物线开口向下，当−1<x<2时，y随x的增大而增大，∴ℎ≥2，故正确；D．∵抛物线上有两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，若x1<x2，x1+x2<2ℎ，∴x1+x2<ℎ，∴点A到对称轴的距离大2于点B到对称轴的距离，∴y1<y2，故错误．故选C．小提示：本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5、根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x 的范围是（）C．1＜x＜1.5D．1.5＜x＜2答案：B分析：利用二次函数和一元二次方程的性质．解：观察表格可知：当x=0.5时，y=-0.5；当x=1时，y=1，∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1．故选：B．小提示：本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．6、某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每件获利润8元，每提高一个档次，每件产品利润增加2元，用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件．如果用相同的工时生产，总获利润最大的产品是第k档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），那么k等于（）A．5B．8C．9D．10答案：C分析：第k档次产品比最低档次产品提高了(k−1)个档次，则数量在60的基础上减少了3(k−1)，每件产品利润在8的基础上增加2(k−1)，据此可求出总利润关系，求出最值即可．解：设总利润为y元，∵第k档次产品比最低档次产品提高了(k−1)个档次，∴每天利润为y=[60−3(k−1)][8+2(k−1)]=−6(k−9)2+864，∴当k=9时，产品利润最大，每天获利864元，故选C．小提示：本题考查了二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是本题的关键．7、已知抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点之间的距离为6，对称轴为x=3，则抛物线的顶点P关于x轴对称的点P′的坐标是（）A．(3,9)B．(3,−9)C．(−3,9)D．(−3,−9)答案：A分析：根据抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6．对称轴为直线x＝3，可以得到b、c的值，然后即可得到该抛物线的解析式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到点P的坐标，然后根据关于x轴对称的点的特点横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到点P关于x轴的对称点的坐标．解：设抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点坐标为（x1，0），（x2，0），∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6，对称轴为直线x＝3，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝36，−b=3，2×1∴（﹣b）2﹣4×c＝36，b＝﹣6，解得：c＝0，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9，∴顶点P的坐标为（3，﹣9），∴点P关于x轴的对称点的坐标是（3，9），故选：A．小提示：本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、关于x轴对称的点的坐标特点，解答本题的关键是求出点P的坐标，利用二次函数的性质解答．8、已知a是不为0的常数，函数y＝ax和函数y＝﹣ax2+a在同一平面直角坐标系内的图象可以是（）A．B．C．D．答案：C分析：根据题意分a>0,a<0两种情况讨论，结合函数图象即可求解．解：A.正比例函数中a<0，二次函数开口向上，−a>0，与y轴的交点在y轴正半轴，则a>0，矛盾，故A 不正确；B.正比例函数中a>0，二次函数开口向上，−a>0，与y轴的交点在y轴正半轴，则a>0，矛盾，故B不正确；C.正比例函数中a>0，二次函数开口向下，−a<0，与y轴的交点在y轴正半轴，则a>0，故C正确；D. .正比例函数中a<0，二次函数开口向下，−a<0，与y轴的交点在y轴正半轴，则a>0，矛盾，故D不正确；故选C小提示：本题考查了正比例函数与二次函数的图象的性质，掌握正比例函数与二次函数的图象的性质是解题的关键．9、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况描述正确的是（）A．有两个相等的实数根B．有两个异号的实数根C．有两个同号的实数根D．有两个无法确定符号的实数根答案：B分析：根据二次函数的图像判断与x轴有两个交点，且在原点两侧，故关于x的一元二次方程ax2+bx+c= 0有两个异号的实数根．解：∵二次函数的图像与x轴有两个交点，且在原点两侧，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个异号的实数根，故选：B．小提示：本题考查二次函数图像与一元二次方程根的关系，掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x 轴有交点的横坐标即为关一元二次方程ax2+bx+c=0的根是解答本题的关键．10、已知抛物线y=2(x−3)2−5，其对称轴是（）A．直线x=−3B．直线x=3C．直线x=−5D．直线x=5答案：B分析：直接根据抛物线的顶点式进行解答即可．解：∵y=2(x−3)2−5，∴抛物线对称轴为直线x=3．故选：B．小提示：本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系．填空题11、已知二次函数y=(x−1)2+3，当x＝_______时，y取得最小值．答案：1分析：根据抛物线的顶点坐标和开口方向即可得出答案．解：∵y=(x−1)2+3，∴该抛物线的顶点坐标为(1,3)，且开口方向向上，∴当x=1时，y取得最小值，所以答案是：1．小提示：本题考查二次函数的最值，求二次函数最大值或最小值有三种方法：第一种可有图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．12、如图，过点D（1，3）的抛物线y=-x2+k的顶点为A，与x轴交于B、C两点，若点P是y轴上一点，则PC+PD的最小值为____．答案：3√2分析：由两点之间线段最短可知，当D、P、B在同一直线上时就可使PC+PD的值最小，解答即可．解：连接PB，对于抛物线y=-x2+k，对称轴是y轴，∴PC=PB，∴当D、P、B在同一直线上时，PC+PD的值最小，最小值为BD的长，∵抛物线y=-x2+k过点D（1，3），∴把x=1，y=3代入y=-x2+k，解得：k=4，把y=0代入y=-x2+4，解得：x=2或x=-2，所以点B的坐标为（-2，0），所以BD=√(−2−1)2+32=3√2，所以答案是：3√2．小提示：本题考查了抛物线与x轴的交点，轴对称－最短路线问题，找到P点是本题的关键．13、已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________．答案：6分析：根据a－b2＝4得出b2=a−4，代入代数式a2－3b2＋a－14中，通过计算即可得到答案．∵a－b2＝4∴b2=a−4将b2=a−4代入a2－3b2＋a－14中得：a2－3b2＋a－14=a2−3(a−4)+a−14=a2−2a−2a2−2a−2=a2−2a+1−3=(a−1)2−3∵b2=a−4≥0∴a≥4当a=4时，(a−1)2−3取得最小值为6∴a2−2a−2的最小值为6∵a2－3b2＋a－14=a2−2a−2∴a2－3b2＋a－14的最小值6所以答案是：6．小提示：本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解．14、已知二次函数y =−x 2−2x +3，当a ⩽x ⩽12时，函数值y 的最小值为1，则a 的值为_______． 答案：−1−√3##−√3−1分析：先把函数解析式化为顶点式可得当x <−1时，y 随x 的增大而增大，当x >−1时，y 随x 的增大而减小，然后分两种情况讨论：若a ≥−1；若a <−1，即可求解．解：y =−x 2−2x +3=−(x +1)2+4，∴当x <−1时，y 随x 的增大而增大，当x >−1时，y 随x 的增大而减小，若a ≥−1，当a ⩽x ⩽12时，y 随x 的增大而减小， 此时当x =12时，函数值y 最小，最小值为74，不合题意，若a <−1，当x =a 时，函数值y 最小，最小值为1，∴−a 2−2a +3=1，解得：a =−1−√3或−1+√3（舍去）；综上所述，a 的值为−1−√3．所以答案是：−1−√3小提示：本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．15、已知二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图像的顶点为(2,−2)，与x 轴交于点(1,0)、(3,0)，根据图像回答下列问题：当x _______时，y 随x 的增大而减小：方程ax 2+bx +c =0的两个根是___________．答案： x ＜2 x 1=1，x 2=3分析：利用开口向上和对称轴以及二次函数与一元二次方程的联系即可得到答案．解（1）∵二次函数图像与x轴的两个交点坐标为（1，0）、（3，0），∴二次函数的对称轴为直线x=2，∵抛物线的开口向上，∴当x＜2时，y随x的增大而减小；（2）∵二次函数图像与x轴的两个交点坐标为（1，0）、（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=1，x2=3．小提示：本题考查了二次函数的图像与性质以及二次函数与一元二次方程的联系，属于常考题型．解答题16、在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面70cm处．小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）、运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表．y与运动时间t之间成二次函数关系．(1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）(2)当黑球减速后运动距离为64cm时，求它此时的运动速度；(3)若白球一直．．以2cm/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．答案：(1)v=−12t+10，y=−14t2+10t(2)6cm/s(3)黑、白两球的最小距离为6cm，大于0，黑球不会碰到白球分析：（1）根据黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，设表达式为v=kt+b，代入两组数值求解即可；根据运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系，设表达式为y=at2+bt+c，代入三组数值求解即可；（2）当黑球减速后运动距离为64cm时，代入（1）式中y关于t的函数解析式求出时间t，再将t代入v关于t的函数解析式，求得速度v即可；（3）设黑白两球的距离为w cm，得到w=70+2t−y=14t2−8t+70，化简即可求出最小值，于是得到结论．（1）根据黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，设表达式为v=kt+b，代入（0，10），（1，9.5）得，{10=b 9.5=k+b ，解得{k=−12b=10，∴v=−12t+10，根据运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系，设表达式为y=at2+bt+c，代入（0，0），（1，9.75），（2，19）得{0=c9.75=a+b19=4a+2b，解得{a=−14b=10c=0，∴y=−14t2+10t;（2）依题意，得−14t2+10t=64，∴t2−40t+256=0，解得，t1=8，t2=32；当t1=8时，v=6；当t2=32时，v=−6（舍）；答：黑球减速后运动64cm时的速度为6cm/s．（3）设黑白两球的距离为w cm，w=70+2t−y=14t2−8t+70=14(t−16)2+6，∵14>0，∴当t=16时，w的值最小为6，∴黑、白两球的最小距离为6cm，大于0，黑球不会碰到白球．小提示：本题考查一次函数和二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，解决本题的关键是明确题意求出函数表达式．17、已知抛物线y=ax2−4ax+3(a≠0)的图象经过点A(−2,0)，过点A作直线l交抛物线于点B(4,m)．(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．(2)将抛物线向下平移n(n>0)个单位，使顶点落在直线l上，求m，n的值．答案：(1)y=−14x2+x+3；(2,4)(2)3；2分析：（1）把点A(−2,0)代入y=ax2−4ax+3(a≠0)，求出a的值即可；再运用顶点坐标公式求出顶点坐标即可；（2）把C(4,m)代入y=−14x2+x+3可求出m的值；再运用待定系数法求出直线AB的解析式，从而可求出平移后押物线的顶点坐标，进一步可得结论．（1）将A(−2,0)代入y=ax2−4ax+3得：0=4a+8a+3，解得a=−14，∴抛物线的函数表达式为y=−14x2+x+3，∵−b2a =−12×(−14)=2，4ac−b24a=4×(−14)×3−124×(−14)=4，∴顶点坐标为(2,4)；（2）把C(4,m)代入y=−14x2+x+3得，m =−4+4+3=3，设直线AB 的解析式为y =kx +b ，将A (−2,0)，B (4,3)代入y =kx +b 得{0=−2k +b 3=4k +b， 解得{k =12b =1， ∴直线AB 的解析式为y =12x +1， ∵顶点的横坐标为2，∴把x =2代入y =12x +1得：y =2，∴n =4−2=2．小提示：本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式以及二次函数图象的平移，正确理解题意是解答本题的关键．18、戴口罩是阻断呼吸道病毒传播的重要措施之一，某商家对一款成本价为每盒50元的医用口罩进行销售，如果按每盒70元销售，每天可卖出20盒．通过市场调查发现，每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒(1)若每盒售价降低x 元，则日销量可表示为_______盒，每盒口罩的利润为______元．(2)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款口罩，每盒售价应定为多少元？(3)当每盒售价定为多少元时，商家可以获得最大日利润？并求出最大日利润．答案：(1)(20+2x )盒，(20-x ) 元(2)每盒售价应定为60元(3)每盒售价应定为65元时，最大日利润是450元分析：（1）根据题意列出代数式即可；（2）设每盒售价x 元，则每件的销售利润为(x −50)元，日销售量为[20+2(70−x )]件，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出x 的值，再结合商家想尽快销售完该款商品，即可求解；（3）设日利润为y ，由（2）列出函数关系式，根据二次函数的性质即可求解．（1）设每盒售价降低x 元，则日销量可表示为(20+2x )盒，每盒口罩的利润为70−50−x =20−x （元）所以答案是：(20+2x)；(20−x)（2）设每盒售价x元，则每件的销售利润为(x−50)元，日销售量为[20+2(70−x)]件，根据题意得，(x−50)[20+2(70−x)]=(70−50)×20解得x1=70,x2=60又∵商家想尽快销售完该款商品，∴x=60．答：每件售价应定为60元；（3）设日利润为y，则y=(x−50)[20+2(70−x)]=−2x2+260x−8000=−2(x−65)2+450∴x=65时，y的最大值为450，即每盒售价应定为65元时，最大日利润是450元．小提示：本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出方程和函数关系式是解题的关键．。
2024九年级数学上册“第二十二章二次函数”必背知识点一、二次函数的定义与表达式定义：一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y = ax² + bx + c（a, b, c为常数，a ≠ 0）。
这样的函数称为二次函数，其中a决定函数的开口方向，b和a共同决定对称轴的位置，c决定抛物线与y轴的交点。
三种表达式：1. 一般式：y = ax² + bx + c （a, b, c为常数，a ≠ 0）。
2. 顶点式：y = a(x - h)² + k，其中(h, k)为抛物线的顶点坐标。
3. 交点式：y = a(x - x₁)(x - x₂)，仅限于与x轴有交点A(x₁, 0)和B(x₂, 0)的抛物线。
二、二次函数的图像与性质图像：二次函数的图像是一条抛物线。
开口方向与大小：由二次项系数a决定。
当a > 0时，开口向上；当a < 0时，开口向下。
|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。
对称轴：1. 一般式：对称轴为直线x = -b/2a。
2. 顶点式：对称轴为直线x = h。
3. 交点式：对称轴为直线x = (x₁ + x₂)/2。
顶点坐标：1. 顶点式直接给出为(h, k)。
2. 一般式可通过公式计算得到(-b/2a, (4ac - b²)/4a)。
最值：1. 当a > 0时，函数有最小值，最小值为(4ac - b²)/4a，此时x = -b/2a。
2. 当a < 0时，函数有最大值，最大值为(4ac - b²)/4a，此时x = -b/2a。
三、二次函数与一元二次方程当二次函数y = ax² + bx + c中y = 0时，即转化为一元二次方程ax² + bx + c = 0。
函数图像与x轴的交点即为该方程的根。
根据判别式Δ = b² - 4ac的值，可以判断抛物线与x轴的交点个数：1. Δ > 0时，抛物线与x轴有两个交点。
人教版数学九年级上学期《二次函数》章节知识点归纳总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：（1）一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数。
（2）这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠0，而b c ，可以为零．二次函数的定义域(x)是全体实数．2. 二次函数 2y ax bx c =++ 的结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． （2）a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．3. 二次函数解析式的几种形式（1）一般式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0） （2）顶点式：y=a(x-h)2+k [抛物线的顶点P （ h ，k ）]（3）交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)[仅限于与x 轴有交点A （x 1，0）和 B （x 2，0）的抛物线]其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的两个根，a ≠0. x 1,x 2 = (-b ±ac 4b 2-)/2a在三种形式的互相转化中，有如下关系:h= -b / 2a ； k=(4ac-b 2) / 4a ； x 1,x 2 = (-b ±ac 4b 2-) / 2a说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)；(2) 当h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点；(3) 如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax2；如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax2+k4.抛物线的性质（1）.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线 x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
