第三节函数极限的定义02686
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第三章函数极限
分析 注意函数在x1是没有定义的 但这与函数在该点 是否有极限并无关系
x2 1 2| 当 x1 时 |f(x)A| | |x1| x 1
>0 要使|f(x)A|< 只要|x1|
例8
证明 : 当x0 0时, lim x
x x0
x0 .
x 0
例如,
x0 x0
y 1 x
y
1
y x2 1
o
x
分x 0和x 0两种情况分别讨论
二、当自变量x无限地接近于x0时，f(x)的变化趋势
即x x0时, f ( x )的极限
问题:函数 y f ( x ) 在 x 的过程中, 对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.
通过上面演示实验的观察: sin x 当 x 无限增大时, f ( x ) 无限接近于 0. x 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.
f ( x ) A 表示 f ( x ) A 任意小; x X 表示x 的过程.
1、定义：
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在着正数 X,使得对于适合不等式 x X 的一切
x,所对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式 f ( x) A ,
注
在利用定义来验证函数极限时，也可考虑对 |f(x) －A|进行放大，放大的原则与数列时的情形 完全相同。此外还须注意此时是在x=x0的附近 考察问题的，对于“附近”应如何理解，请揣 摩一下。
3.单侧极限:
1 x, 设 f ( x) 2 x 1, 证明lim f ( x ) 1.
证 f ( x) A
x x0
x x0 x x0 , x0 x x0
x2 1 2| 当 x1 时 |f(x)A| | |x1| x 1
>0 要使|f(x)A|< 只要|x1|
例8
证明 : 当x0 0时, lim x
x x0
x0 .
x 0
例如,
x0 x0
y 1 x
y
1
y x2 1
o
x
分x 0和x 0两种情况分别讨论
二、当自变量x无限地接近于x0时，f(x)的变化趋势
即x x0时, f ( x )的极限
问题:函数 y f ( x ) 在 x 的过程中, 对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.
通过上面演示实验的观察: sin x 当 x 无限增大时, f ( x ) 无限接近于 0. x 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.
f ( x ) A 表示 f ( x ) A 任意小; x X 表示x 的过程.
1、定义：
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在着正数 X,使得对于适合不等式 x X 的一切
x,所对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式 f ( x) A ,
注
在利用定义来验证函数极限时，也可考虑对 |f(x) －A|进行放大，放大的原则与数列时的情形 完全相同。此外还须注意此时是在x=x0的附近 考察问题的，对于“附近”应如何理解，请揣 摩一下。
3.单侧极限:
1 x, 设 f ( x) 2 x 1, 证明lim f ( x ) 1.
证 f ( x) A
x x0
x x0 x x0 , x0 x x0
函数极限的定义
x0的某个空心邻域内，使得在该邻域中有：f x 0.
证 设 lim f (x) A ，由定义，对 A , 存在 0,
xx0
2
当x U (x0, ) 时，有
y
y f x
f (x) A A
3A 2
2
A
f x A A 0.
2
A 2
O x0 x0 x0
x
定理2’
x
例7 证明 lim 1 0.
x x
证 因 f (x) A 1 0 1
x
x
所以, 0 , 取 X 1 ，当 x X时 ，使得
f (x) A 1 ,
x
所以
lim 1 0. x x
例8 证明 lim arctan x .
x
2
证 因 f (x) A arctan x arctan x
2
2,
x2 1 x2 1 x
所以, 0 , 取 X 2 ，当 x X时 ，使得
f (x) A x2 1 x2 1 ,
所以
lim x2 1 x2 1 0.
x
例10 证明 lim x 1 1 . x 2x 1 2
证 因 f x A x 1 1 1 ,
2x 1 2 2 2x 1
x 1 2 2 x 1 2(x 1)
取 x 1 1, 即 0 x 2, 所以
2x 1 1 3 1,
2x 2
2x 2
所以, 0 , 取 min{1, } ，当 0 x 1 时 ，
f (x) A
x2 2 3
x 1 ,
x 1 2
所以
lim x2 2 3 . x1 x 1 2
lim x 0.
x0
定理3(函数极限与数列极限的关系)
证 设 lim f (x) A ，由定义，对 A , 存在 0,
xx0
2
当x U (x0, ) 时，有
y
y f x
f (x) A A
3A 2
2
A
f x A A 0.
2
A 2
O x0 x0 x0
x
定理2’
x
例7 证明 lim 1 0.
x x
证 因 f (x) A 1 0 1
x
x
所以, 0 , 取 X 1 ，当 x X时 ，使得
f (x) A 1 ,
x
所以
lim 1 0. x x
例8 证明 lim arctan x .
x
2
证 因 f (x) A arctan x arctan x
2
2,
x2 1 x2 1 x
所以, 0 , 取 X 2 ，当 x X时 ，使得
f (x) A x2 1 x2 1 ,
所以
lim x2 1 x2 1 0.
x
例10 证明 lim x 1 1 . x 2x 1 2
证 因 f x A x 1 1 1 ,
2x 1 2 2 2x 1
x 1 2 2 x 1 2(x 1)
取 x 1 1, 即 0 x 2, 所以
2x 1 1 3 1,
2x 2
2x 2
所以, 0 , 取 min{1, } ，当 0 x 1 时 ，
f (x) A
x2 2 3
x 1 ,
x 1 2
所以
lim x2 2 3 . x1 x 1 2
lim x 0.
x0
定理3(函数极限与数列极限的关系)
《高数13函数的极限》PPT课件
若当xx0时 f(x)无限接近于某常数A 则常数A叫
做函数f(x)当xx0时的左极限 记为
•精确定义
lim
x x0
f (x) A 或f(x0)A
.
lim
x x0
f
(x)
Ae
0
d
0
当x0dxx0
有|f(x)A|<e
注: xx0 有时也记为 x x0 ,
xx0+ 有时也记为x+x0.
x0
x0
x0 x
当x0dxx0
有|f(x)A|<e
类似地可定义右极限:
lim
x x0
f (x)
A或f ( x0 )
A.
•结论
lim f (x) A lim f (x) A 且 lim f (x) A
x x0
x x0
x x0
14
下页
lim f (x) A lim f (x) A 且 lim f (x) A
1
sin
lim n
1 n 1,
n
同理
lim
n
n sin
1 1, n
lim
n
n2 n
1
sin
n n2
1
1
27
注: 1. 可利用函数的极限,求数列的极限;
2. 由 子 列 极 限 不 存 在 或 不相 等 函数极限不存在.
例10 证明 limsin 1 不存在.
x0
x
分析:
limsin 1 a
二、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
播放
17
问题:函数 y f ( x) 在x 的过程中, 对应 函数值 f ( x)无限趋近于确定值 A.
3.1函数极限概念华师大版数学分析第三章函数的极限ppt
注：
4、定义2中的不等式0<|x- x0|<δ等价于x∈U⁰(x0;δ)， 而不等式|f(x)-A|<ε等价于f(x)∈U(A;ε). 所以， ε-δ定义可以写成：任给ε>0，存在δ>0， 使得对一切x∈U⁰(x0;δ)，有f(x)∈U(A;ε). 或任给ε>0，存在δ>0，使得f(U⁰(x0;δ))⊂U(A;ε).
又 f(x)=A，则∀ε>0，∃δ2>0，使得
当x0-δ2< x< x0，即0<x0-x<δ2时，就有|f(x)-A|<ε；
∴对∀ε>0，δ=min{δ1,δ2}，则当0<|x-x0|<δ时，有
0<x-x0≤|x-x0|<δ≤δ1或0<x0-x≤|x-x0|<δ≤δ2，且
有|f(x)-A|<ε；∴ f(x)=A.
三、函数的极限
1.函数极限的概念
1：设f为定义在[a,+∞)上的函数，A为定数. 若对任给的ε>0，存在正数M(≥a)，使得当x>M时， 有|f(x)-A|<ε，则称函数f当x趋于+∞时以A为极限， 记作： f(x)=A或f(x)→A(x→+∞).
几何意义如图： 正数ε越小时，一般M越大； f(x)的图象右边落在x=M与 y=A+ε和y=A-ε围成的带形区域里.
<ε.
∴只要取δ= ，则当0<1-x<δ，即1-δ<x<1时，
就有
<ε.∴
=0. 同理，
1-x2≤2(1+x),∀ε>0,当2(1+x)<ε2时，就有
<ε.
∴只要取δ= ，则当0<1+x<δ，即-1<x<-1+δ时，
函数极限的定义
第三节函数极限的定义本节要点一、函数在有限点处的极限二、函数在无穷大处的极限三、有极限函数的基本性质一、函数在有限点处的极限函数在有限点处的极限的描述性定义211()x f x x 例如函数-=-x12yo21()1x f x x -=- 从图形中可以看出：尽管函数在 点 处没有定义，但当 不等于1而无限趋近于1时，相应的函数值无限接近于2.1x =x设函数 在点 的某个去心邻域 内有定义，如果在变量 ( ) 的过程中，对应的函数值无限接近于确定的常数 ，就说当时函数的极限为 ，并记作 .这种类型的极限称为函数在有限点处的极限.() y f x =0x A A 0lim ()→=x x f x A 0x x ≠0x x →()f x 0x x →“不论你要求f x ()与A 多么接近，只要x 与x 0充分靠近以后(但x x ≠0)，就能使f x ()与A 变得那么接近”，换句话说，就是“不论你要求f x A ()-多么小，只要x x -0足够小以后(但x x ≠0)，f x A ()-就能变得那么小”. 这最后一句话是可以用数学式子来精确刻划的.这个描述性定义是说：于是就得到函数在有限点处极限的精确定义 （ 语言）.δε-(),f x A ε-<()f x 0x ε00x x δ<-<定义 设函数 在点 的某个去心邻域中有定义， 如果存在常数 ，使得对于任意给定的正数 ，总存在 正数 ， 只要当 满足 时 ，都有 A δx 0lim ().x xf x A →=或 ()0 ().f x A x x →→那么常数 就称作函数 当 时的极限，记 为 A ()f x 0x x →().,||,,εδδε<-<-<>∃>∀A x f x x 有时当0000即()defx x A x f ⇔=→0lim 函数的极限定义也称函数极限的ε —δ 定义xyf (x )x A的几何解释 )(lim A x f x x =0→δ-0x δ+0x ,0>∀ε,0>∃δ时,||00δx x <-<当.)(ε<-A x f 恒有该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.函数的极限∀A 的ε邻域, ∃ x 0的去心δ 邻域, A +εA –εAxyx ε+A ε-A δ-0x δ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.f (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的去心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时,||00δx x <-<Axyx δ-0x δ+0x ε+A ε-A ε+A ε-A ε+A ε-A ε+A ε-A ε函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.f (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的去心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时, ||00δx x <-<A xyx ε+A ε-A δ-0x δ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.εf (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的空心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时,||00δx x <-<A xyx ε+A ε-A δ-0x δ+0x δ-0x δ+0x δ-0x δ+0x δδ-0xδ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.εf (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的空心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时,||00δx x <-<Axyx ε+A ε-A δεδ-0x δ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.f (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当∃ x 0的去心δ 邻域, 时,||00δx x <-<Axyx δε+A ε-A εε-A εεεδ-0x δ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.f (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当∃ x 0的去心δ 邻域, 时,||00δx x <-<Axyx εεδδ-0x δ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.εf (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的去心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时,||00δx x <-<Axyx εεδ-0x δ+0x δ-x δ+x δ函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.εf (x )该邻域内所有点 x 对应的 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的去心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时,||00δx x <-<例如 设函数211().1 0 1x x f x x x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩x1 2yo 21()1x f x x -=-1δ-1δ+注：函数 在点 处的极限与函数在这一点是否有定义没有关系，它所反映的是在该点附近的变化趋势. ()f x 0x 则，()1lim 2,x f x →=()f x 可见，极限与的取值没有关系. ()10f =(1) lim x x C→0(2) lim x x x→0(4) lim cos x x x→2(3) lim(21)x x →+0(6) lim x x x →0(7) lim xx x e→12214(5) lim 21x x x →--+练习：写出下列函数在指定点处的极限。
函数极限的知识点总结
函数极限的知识点总结一、函数极限的定义在介绍函数极限的定义之前，我们先来了解一下“极限”的概念。
在数学中，极限是指当自变量趋于某一特定的值时，函数的取值趋于的值。
如果函数f(x)在x趋于a的过程中，它的取值趋于一个确定的常数L，那么我们就称L是函数f(x)在点x=a处的极限，记作lim （x→a）f(x)=L。
这个定义可以用符号来表示为：对于任意的ε>0，存在一个δ>0，当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，那么我们就称lim（x→a）f(x)=L。
根据极限的定义，我们可以得到一些结论：1. 如果一个函数在点x=a处的极限存在，那么它只有一个极限值。
2. 如果一个函数在点x=a处的极限不存在，那么它没有极限值。
3. 如果一个函数在点x=a处的极限存在且等于L，那么在点x=a的邻域内，函数的取值都趋于L。
函数极限的定义为我们提供了计算函数在某一点处的极限的依据，下面我们将介绍一些常见的计算方法。
二、函数极限的计算方法1. 代入法代入法是最直接的计算函数极限的方法，当函数的极限存在时，我们可以直接将自变量的值代入函数中计算即可。
例如，计算lim（x→2）（3x+1），我们只需要将x=2代入函数中得到lim（x→2）（3x+1）=3*2+1=7。
2. 分式的极限对于分式函数的极限计算，我们通常采用有理化或者分子分母同除等方法，将分式转化为更简单的形式进行计算。
例如，计算lim（x→1）（x^2-1）/（x+1），我们可以将分式有理化为（x-1）（x+1）/（x+1），然后可以进行约分化简得到lim（x→1）（x-1）=0。
3. 夹逼定理夹逼定理也是一种常见的计算函数极限的方法，它适用于一些复杂函数的极限计算。
夹逼定理的原理是，如果函数f(x)在x=a的邻域内被另外两个函数g(x)和h(x)夹在中间，并且lim（x→a）g(x)=lim（x→a）h(x)=L，那么函数f(x)在x=a处的极限也存在且等于L。
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无穷小是函数极限的必要条件，即如果函数在某点的极限存在，那么函数在该点的值必定是无穷小。
无穷小与函数极限的关系是相互依存的，无穷小是函数极限的一种表现形式，而函数极限又是无穷小的 一种表现形式。
无穷小在求极限中的应用
利用无穷小的性质，可以将复杂的函数极限转化为简单的无穷小量，从而 简化计算过程。
在求函数极限时，可以利用等价无穷小替换，将复杂的函数表达式替换为 简单的无穷小量，从而得到更易处理的极限表达式。
利用极限的四则运算法则，消去零因子，化 简函数形式，再求极限。
利用两个重要极限求解
利用重要极限$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$求解：当函数 形式为$frac{sin x}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
利用重要极限$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$求解：当函数 形式为$frac{1}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
考研高数总复习函数的极限(讲义 )ppt课件
contents
目录
• 函数极限的基本概念 • 函数极限的求解方法 • 函数极限的应用 • 函数极限的深入理解 • 总结与展望
01 函数极限的基本概念
函数极限的定义
1 2
函数极限的定义
当自变量趋近某一特定值时，函数值的变化趋势。
函数极限的表示方法
lim f(x) = A，表示当x趋近于某个值时，f(x)趋 近于A。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
在物理学中，函数极限被用来描述物体运动的速度、加速度等概念；在 工程中，函数极限被用来描述信号的变化趋势；在经济中，函数极限被
用来描述市场的变化趋势。
通过对函数极限的学习，我们可以更好地理解和应用这些概念，为未来 的学习和工作打下坚实的基础。
无穷小与函数极限的关系是相互依存的，无穷小是函数极限的一种表现形式，而函数极限又是无穷小的 一种表现形式。
无穷小在求极限中的应用
利用无穷小的性质，可以将复杂的函数极限转化为简单的无穷小量，从而 简化计算过程。
在求函数极限时，可以利用等价无穷小替换，将复杂的函数表达式替换为 简单的无穷小量，从而得到更易处理的极限表达式。
利用极限的四则运算法则，消去零因子，化 简函数形式，再求极限。
利用两个重要极限求解
利用重要极限$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$求解：当函数 形式为$frac{sin x}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
利用重要极限$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$求解：当函数 形式为$frac{1}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
考研高数总复习函数的极限(讲义 )ppt课件
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目录
• 函数极限的基本概念 • 函数极限的求解方法 • 函数极限的应用 • 函数极限的深入理解 • 总结与展望
01 函数极限的基本概念
函数极限的定义
1 2
函数极限的定义
当自变量趋近某一特定值时，函数值的变化趋势。
函数极限的表示方法
lim f(x) = A，表示当x趋近于某个值时，f(x)趋 近于A。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
在物理学中，函数极限被用来描述物体运动的速度、加速度等概念；在 工程中，函数极限被用来描述信号的变化趋势；在经济中，函数极限被
用来描述市场的变化趋势。
通过对函数极限的学习，我们可以更好地理解和应用这些概念，为未来 的学习和工作打下坚实的基础。
微积分（6）函数极限的概念
§2.1 函数极限的概念我们已经学习了数列的极限。
由于数列{}n a 可以看作是自变量为n 的函数，即()n a f n =，*n ∈，所以，“数列{}n a 的极限为a ”就是：当自变量n 取正整数而无限增大时（n →∞），对应的函数值()f n 无限地接近于确定的数a 。
如果把数列极限概念中的函数()f n 抽象成最一般的函数形式()f x ，把自变量n 的变化过程（n →∞）抽象成自变量x 的各种变化过程，这样我们就可以引出函数极限的一般概念：在自变量的某种变化过程中，如果对应的函数值无限地接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限。
该极限与自变量的变化过程密切相关。
由于自变量的变化过程不同，函数的极限就表现为不同的形式。
比如，当我们把数列的极限看作函数()f n 当n →∞时的极限，此时自变量的变化过程就是n →∞。
除此之外，自变量的变化过程还有其它一些类型，现一一列举如下：1.自变量0x >无限增大，或者说自变量x 趋于正无穷大，记作x →+∞；2.自变量0x <且x 无限增大，或者说自变量x 趋于负无穷大，记作x →-∞；3.自变量x 的绝对值x 无限增大，或者说自变量x 趋于无穷大，记作x →∞；4.自变量x 无限地接近于有限值0x ，或者说自变量x 趋于有限值0x ，记作0x x →；5.自变量x 从有限值0x 的左侧无限地接近于0x ，或者说自变量x 从有限值0x 的左侧趋于0x ，记作0x x -→；6.自变量x 从有限值0x 的右侧无限地接近于0x ，或者说自变量x 从有限值0x 的右侧趋于0x ，记作0x x +→。
注：1.前三种趋近方式（x →+∞、x →-∞、x →∞）统称为自变量x 趋于无穷大，后三种趋近方式（0x x →、0x x -→、0x x +→）统称为自变量x 趋于有限值；2.第一种趋近方式（x →+∞）与数列极限的趋近方式（n →∞）最相似，但仍有区别：n →∞是指自变量n 取正整数而无限增大，而x →+∞是指自变量x 取正实数而无限增大。
高等数学-函数的极限PPT课件
则A是 f (x)当 x 的极限. 记为： lim f ( x) A. x
或者记为：当 x 时，f ( x) A.
从定义中得到： x X 包含了 x X 和x X .
所以： x 包含了 x 和 x . 于是有
定理：lim f ( x) A lim f ( x) A且 lim f ( x) A.
x
x
x
则有：lim(2 1 ) 2, limarctan x 不存在.
x
x
x
.
7
注意: 证明极限存在时,关键是任意给定 0, 寻找X.
求X的方法： 由 f (x) A 解出x
几何解释:
Aε f (x) Aε
AA
X
A X
或者记为：当 x 时，f ( x) A.
则有：lim (2 1 ) 2, limarctan x π
x
x
x
2
对于 y 2 1 ，lim (2 1 ) 2,lim (2 1 ) 2,那么 lim(2 1 ) ？
x x
x
x
或者从x0的两边同时接近于x0.
.
12
函数极限的几何意义
lim f ( x) A 0, 0, 使得当
xБайду номын сангаас x0
0 x x0 时， 恒有 f ( x) A 成立.
0
当 x U ( x0 ) 时，
函数f(x)的图形完全
y
y f (x)
落在以直线y=A为中
定义：如果 0, X 0, 使当 x X 时，恒有 f (x) A ，
第三节函数的极限
lim f ( x) = A 或 f ( x) → A (当x → ∞ )
x < −X 或x > X
A − ε < f ( x) < A + ε
y = f (x)
X
几何解释:
y
A A−ε
A+ε
−X
o
x
直线 y = A 为曲线 y = f ( x) 的水平渐近线
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1 例6. 证明 lim = 0. x →∞ x 1 1 证: −0 = x x 1 1 故 ∀ ε > 0 , 欲使 − 0 < ε , 即 x > , ε x 1 1 −0 <ε 取 X = , 当 x > X 时, 就有 x ε 1 lim = 0 因此 x →∞ x 1 注: y = 0 为 y = 的水平渐近线. x
x2 −1 −2 <ε x −1
因此
x2 −1 lim =2 x →1 x − 1
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例4. 证明: 当 x0 > 0 时 lim 证:
x → x0
x=
x0 .
f ( x) − A =
x−
x0 =
1 ≤ x − x0 x0 ∀ ε > 0 , 欲使 f ( x) − A < ε , 只要 x − x0 <
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一、自变量趋于有限值时函数的极限
1. x → x0 时函数极限的定义 定义1 . 设函数 f (x) 在点 x0 的某去心邻域内有定义 , 若 ∀ε > 0 , ∃δ > 0 , 当 0 < x − x0 < δ 时, 有 f ( x) − A < ε 则称常数 A 为函数 f (x) 当 x → x0 时的极限, 记作 lim f ( x) = A 或 f ( x) → A (当x → x0 ) 即