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高考微点四数学素养与数学文化牢记“大师经典”，避免卡壳1.数列、算法中的数学文化(1)抽象数列模型；(2)算法中数学文化，关键在于读懂程序框图.2.几何与三角中的数学文化(1)熟悉传统文化经典；(2)感恩数学文化先贤.3.概率统计与推理证明中融合的数学文化.提升“数学核心素养”，快速抢分1.直观想象、数学运算2.数学抽象、逻辑推理3.数学建模、数据分析高效微点训练，完美升级1.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位.现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田.若在邪田内随机种植一株茶树，该株茶树恰好种在圭田内的概率为()A.215 B.25C.415 D.15解析由题意可得邪田的面积S＝12×(10＋20)×10＝150，圭田的面积S1＝12×8×5＝20，则所求的概率p＝S1S＝20150＝215.答案 A2.我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是( ) A.3步 B.6步 C.4步D.8步解析 由于该直角三角形的两直角边长分别是8和15，则得其斜边长为17， 设其内切圆半径为r ，则有12×(8＋15＋17)r ＝12×8×15(等积法). 解得r ＝3，故其直径为6步. 答案 B3.(2019·郑州模拟)数列{F n }：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记数列{F n }的前n 项和为S n ，则下列结论正确的是( ) A.S 2 019＝F 2 021－1 B.S 2 019＝F 2 021＋2 C.S 2 019＝F 2 020－1D.S 2 019＝F 2 020＋2解析 根据题意有F n ＝F n －1＋F n －2(n ≥3)，所以S 3＝F 1＋F 2＋F 3＝1＋F 1＋F 2＋F 3－1＝F 3＋F 2＋F 3－1＝F 4＋F 3－1＝F 5－1， S 4＝F 4＋S 3＝F 4＋F 5－1＝F 6－1， S 5＝F 5＋S 4＝F 5＋F 6－1＝F 7－1，…， 所以S 2 019＝F 2 021－1. 答案 A4.古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为2，记过圆锥轴的平面ABCD 为平面α(α与两个圆锥侧面的交线为AC ，BD )，用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线Γ的一部分，且双曲线Γ的两条渐近线分别平行于AC ，BD ，则双曲线Γ的离心率为( )A.233B. 2C. 3D.2解析 设与平面α平行的平面为β，以AC ，BD 的交点在平面β内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面β内的射影为x 轴，在平面β内与x 轴垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系.根据题意可设双曲线Γ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0).由题意可得双曲线Γ的渐近线方程为y ＝±33x ，即b a ＝33，所以离心率e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝233. 答案 A5.《庄子·天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”反映这个命题本质的式子是( ) A.1＋12＋122＋…＋12n ＝2－12n B.1＋12＋122＋…＋12n ＋…<2 C.12＋122＋…＋12n ＝1 D.12＋122＋…＋12n ＋…<1解析 抽象出等比数列求和，且无穷项之和小于1，则12＋122＋123＋…＋12n ＋…<1. 答案 D6.(2019·石家庄调研)宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的n 等于( )A.2B.3C.4D.5解析当n＝1时，a＝152，b＝4，满足进行循环的条件，当n＝2时，a＝454，b＝8，满足进行循环的条件，当n＝3时，a＝1358，b＝16，满足进行循环的条件，当n＝4时，a＝40516，b＝32，不满足进行循环的条件，退出循环.故输出的n值为4.答案 C7.《张邱建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织布的尺数为()A.12 B.1629C.1631 D.815解析依题意设每天多织d尺，依题意得S30＝30×5＋30×292d＝390，解得d＝1629.答案 B8.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( ) A.134石 B.169石 C.338石D.1 365石解析 由系统抽样的含义，该批米内夹谷约为28254×1 534≈169(石). 答案 B9.(2019·百校联盟TOP20联考)中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他活动的民间艺术，在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分.在如图所示的古代正八边形窗花矢量图片中，AB BC ＝22，则向正八边形窗花矢量图片中任投一点，落在正方形DEFG 中的概率为( )A.22－12B.22－14C.2－12D.2－14解析 设AB ＝1，则BC ＝2，根据对称性可知，落在正方形DEFG 中的概率为1（2＋1）2－12×2×2＝2－12.答案 C10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为( )A.128π平方尺B.138π平方尺C.140π平方尺D.142π平方尺解析 由题意构造一个长方体，其长、宽、高分别为7尺、5尺、8尺， 则这个四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球， 所以这个四棱锥的外接球的半径 R ＝72＋52＋822＝1382(尺)，所以这个四棱锥的外接球的表面积为4πr 2＝138π(平方尺). 答案 B11.(2019·西安模拟)数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343，12 521等，两位数的回文数有11，22，33，…，99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是( ) A.19 B.49 C.110D.910解析 三位数的回文数为ABA ，A 共有1到9共9种可能，即1B 1，2B 2，3B 3，…， B 共有0到9共10种可能，即A 0A ，A 1A ，A 2A ，A 3A ，…， 共有9×10＝90(个).其中偶数为A 是偶数，共4种可能，即2B 2，4B 4，6B 6，8B 8， B 共有0到9共10种可能，即A 0A ，A 1A ，A 2A ，A 3A ，…， 共有4×10＝40(个)，∴三位数的回文数中，偶数的概率p ＝4090＝49. 答案 B12.(2019·成都诊断)图(1)为陕西历史博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细工的典范之作.该杯型几何体的主体部分可近似看作是双曲线C ：x 23－y 29＝1的右支与直线x ＝0，y ＝4，y ＝－2围成的曲边四边形MABQ 绕y 轴旋转一周得到的几何体，如图(2).N ，P 分别为C 的渐近线与y ＝4，y ＝－2的交点，曲边五边形MNOPQ 绕y 轴旋转一周得到的几何体的体积可由祖暅原理(祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是，如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等)求得.据此，可求得该金杯的容积是________(杯壁厚度忽略不计).解析 由题意得双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x .令y ＝m (－2≤m ≤4)， 如图，记直线y ＝m 与y 轴、渐近线、双曲线C 的右支的交点分别为D ，E ，F ，线段EF 绕y 轴旋转一周得一圆环.由⎩⎨⎧y ＝m y ＝3x ，得x ＝3m 3， ∴|DE |2＝m 23.由⎩⎪⎨⎪⎧x 23－y 29＝1，y ＝m 得x 2＝3＋m 23，∴|DF |2＝3＋m 23， ∴|DF |2－|DE |2＝3， ∴所得圆环的面积为3π.由祖暅原理知曲边五边形MNOPQ 旋转一周所得几何体的体积等于底面积为3π，高为6的圆柱的体积，即18π. 由⎩⎨⎧y ＝4y ＝3x ，得x ＝433，∴|AN |＝433. 由⎩⎨⎧y ＝－2y ＝－3x ，得x ＝233，∴|BP |＝233. ∴Rt △OAN 绕y 轴旋转一周所得圆锥的体积为13π×⎝⎛⎭⎪⎫4332×4＝64π9， Rt △OBP 绕y 轴旋转一周所得圆锥的体积为13π×⎝⎛⎭⎪⎫2332×2＝8π9.故金杯的容积为64π9＋8π9＋18π＝26π. 答案 26π13.(2019·重庆调研)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长l 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136l 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈7264l 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为________.解析 设圆锥的底面半径为r ，则 V ＝13πr 2h ≈7264l 2h ＝7264(2πr )2h ，得π≈227. 答案 22714.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1p ，当x ＝q p （p ，q 为整数，q p 为既约真分数），0，当x ＝0，1或[0，1]上的无理数.若f (x )是定义在R 上且最小正周期为1的函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝R (x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫173＋f (lg 20)＝________.解析 由函数的最小正周期为1可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫173＋f (lg 20)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋23＋f (lg 2＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋f (lg 2)＝13＋0＝13. 答案 1315.刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”.所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O ，圆O 的半径为2，现随机向圆O 内投放a 粒豆子，其中有b 粒豆子落在正十二边形内(a ，b ∈N *，b <a )，则圆周率的近似值为________.解析依题意可得360°12＝30°，则正十二边形的面积为12×12×2×2×sin 30°＝12.又圆的半径为2，所以圆的面积为4π，现向圆内随机投放a粒豆子，有b粒豆子落在正十二边形内，根据几何概型可得124π＝ba，则π＝3ab.答案3a b16.(2019·广州调研)中国诗词大会第三季总决赛如期举行，依据规则，本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手中的一位有机会夺冠，某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测，爸爸：冠军是甲或丙；妈妈：冠军一定不是乙和丙；孩子：冠军是丁或戊. 比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是________.解析若甲是冠军，则爸爸，妈妈的猜想都正确，不合题意.若乙是冠军，则三人猜想都是错误的，与已知矛盾.若丙是冠军，则只有爸爸猜想正确，符合题意.若丁(或戊)是冠军，则妈妈与孩子的猜想均正确，不合题意.因此，冠军只能是丙.答案丙。
将数学文化融入《概率论与数理统计》课程教学的案例(àn lì)研究与设计一、将数学(shùxué)文化融入《概率论与数理统计》课程教学的重要性在《概率论与数理统计》的教学中，融入数学文化具有重要的意义。
首先，数学文化作为文化的一种表现形式，将数学文化融入《概率论与数理统计》教学过程中去，使得数学研究和学习的范围更加广泛，领域(lǐnɡ yù)更加多样，这不仅仅丰富了数学知识，还实现了概率统计教学的结构调整和优化。
其次，数学文化融入《概率论与数理统计》教学过程中，将有利于实现数学文化修养的塑造，极好地规避了大学数学传统教学理论的教学方式，使得学生能够对于概率统计教学知识有更加全面的理解和判断，为学生创造力的发展打下基础。
最后，将数学文化融入《概率论与数理统计》教学过程中去，将有利于树立大学生正确的数学观念，养成良好的数学素养，能够以数学严谨的态度去探析问题，解决问题。
二、教学案例(àn lì)研究与设计（一）概率论基本概念教学(jiāo xué)在概率统计课堂教学中，给数学多一点儿人文色彩，激发学生灵感，将数学背景资料，如概率统计发展中的若干重要事件，重要人物或重要成果等融入教学内容中，帮助学生认识概率统计概念、思想方法发展过程，让学生对整门课程有一个清晰、连贯的认识，这也是体现数学文化价值的一种有效途径。
例如，在进行概率论的基础概念教学时，首先通过历史故事作为切入点，吸引学生的注意力。
概率论起源于有关赌博问题的研究，在17世纪中期的法国，贵族梅累曾经发现一个十分有趣的“分赌注”现象，同时与数学兼物理学学者帕斯卡进行分享。
这个著名的“分赌注”问题是这样的：梅累喜爱赌博，曾经与赌友比赛掷骰子，而每人的赌注为32枚金币，同时制定规则，梅累首先掷出三次六点或者赌友先掷三次四点，则判定为赢，赌局结束。
而在赌局开始没多久，梅累就已经完成了两次掷出六点，而赌友仅仅完成一次掷出四点，而这时梅累突然接到国王召见，所以赌局只能被迫停止，那么问题是两人对于共计64枚金币的分配问题产生了分歧，问如何划分才是科学的？而帕斯卡对于这个奇妙现象也是百思不得其解，通过长达三年的研究，直到165年，才有了点眉目，发现了其中的规律，于是他写信给他的好友费马，和他进行探讨，两人讨论并取得了一致的意见。
素养考知识点总结数学数学是一门研究数量、结构、变化以及空间关系等概念的科学。
在素养考中，数学是一个重要的知识点，也是考生们需要掌握的基础学科。
本文将针对素养考中的数学知识点进行总结，希望能够帮助考生们更好地备考。
一、数的性质1.自然数：自然数是最简单的数，是从1起一直数下去，用N表示。
2.整数：整数包括自然数以及它的相反数，用Z表示。
3.有理数：有理数包括整数以及可以化为整数分数的数，用Q表示。
4.无理数：无理数是不能化为整数分数的数，用I表示。
5.实数：实数包括有理数以及无理数，用R表示。
二、代数运算1.加法：加法是将两个数相加得到另一个数的运算。
2.减法：减法是将一个数从另一个数中减去得到另一个数的运算。
3.乘法：乘法是将两个数相乘得到另一个数的运算。
4.除法：除法是将一个数除以另一个数得到另一个数的运算。
三、方程与不等式1.一元一次方程：形如ax+b=0的方程称为一元一次方程，其中a，b分别是已知数。
2.一元二次方程：形如ax^2+bx+c=0的方程称为一元二次方程，其中a，b，c分别是已知数。
3.一元不等式：形如ax+b<0的不等式称为一元不等式，其中a，b分别是已知数。
4.多元方程和不等式：涉及两个或两个以上未知数的方程和不等式。
四、空间与图形1.平面几何：研究平面内的点、线、角、三角形、四边形、多边形等。
2.立体几何：研究空间内的点、线、面、多面体等。
3.图形的性质：研究各种图形的性质，如圆的性质、三角形的性质等。
五、数列与函数1.数列：按照一定的顺序排列的一组数。
2.等差数列：相邻的两项之差相等的数列。
3.等比数列：相邻的两项之比相等的数列。
4.函数：自变量和因变量之间的依赖关系。
六、概率与统计1.概率：描述随机事件发生可能性的数学工具。
2.频数分布：通过统计数据的出现频率来描述数据的分布情况。
3.概率分布：描述随机变量不同取值的概率。
以上就是素养考中的数学知识点总结，希望考生们能够在备考中重点关注这些知识点，提高数学素养，取得更好的成绩。
将数学文化融入概率论与数理统计的教学研究概率论与数理统计是现代数学中的一门重要学科，其应用领域涉及经济、生物、医学、工程等众多领域。
同时，概率论与数理统计也是数学文化的重要组成部分之一。
将数学文化融入概率论与数理统计的教学研究，不仅有助于提高学生的学习兴趣和学科素养，更有助于激发学生探究数学本质的热情。
概率论与数理统计作为数学中的重要学科，其内涵丰富，具有数学文化代表性。
概率论是一门研究随机现象发生的规律性数学学科，具有较强的应用性和展示性。
它涉及到概率基本概念、概率分布、随机变量、随机过程等；而数理统计则是研究如何采用一定的方法从大量数据中提取有关事物的信息的科学。
数理统计一般分为描述性统计、推断性统计和实验设计三个主要的部分。
从数学文化的角度来看，概率论与数理统计中蕴含了许多数学思想、方法和文化成果。
这些包括计数原理、排列组合、数列极限、随机过程、数学统计等等，涵盖了数学、物理、经济学、计算机科学、工程学等多个领域。
1.强化数学思想培养概率论与数理统计中的数学思想是学生深入理解和掌握该学科重要的前提。
在教学过程中，可以通过引入数学思想，如归纳法、递推公式、证明方法等，帮助学生提高数学思维能力。
同时，课堂中可以进行一些关于历史人物和历史事件的探究，如泊松、马尔可夫等人的理论研究以及他们在实际工程中的应用，有助于提高学生综合素质和学科素养。
2.贯彻数学文化内涵教师要在教学中寓教于乐，将数学文化内涵融入概率论与数理统计中。
教师可以以数学文化为载体，教授概率分布、离散型随机变量、连续型随机变量等内容，同时让学生感受到其中的历史渊源和文化魅力。
3.加强探索性学习概率论与数理统计中需要运用多种统计方法和工具进行分析，这样的分析方式在许多行业中也得到广泛的运用。
在教学中，教师可以采用一些案例分析的方式，让学生掌握探索性学习的方法和技能，让学生在理论知识的基础上，通过具体案例的分析和讨论，灵活运用数学文化内涵的探究方法，从而更好地提高学生的学科素养。
数学文化在概率统计教学中的应用分析【摘要】本文通过分析数学文化在概率统计教学中的应用，探讨了其重要性和影响。
首先介绍了数学文化对概率统计教学的影响及研究目的和意义。
然后从概念特点、教学内容、方法应用、效果提升和学生数学素养培养等方面进行了分析。
最后结论指出数学文化在概率统计教学中的重要性和应用价值，并展望了其未来发展前景，提出了促进数学文化在教学中应用的建议。
通过对数学文化在概率统计教学中的应用分析，可以更好地促进学生对概率统计知识的学习与理解，提高教学效果和培养学生的数学素养。
【关键词】数学文化, 概率统计教学, 应用分析, 教学方法, 教学效果, 学生数学素养, 重要性, 发展前景, 建议。
1. 引言1.1 概述数学文化在概率统计教学中的重要性数学文化可以帮助学生更好地理解和欣赏概率统计知识。
通过数学文化的启蒙和引导，学生可以更加深入地了解概率统计的概念和原理，从而增强对知识的兴趣和理解，激发学习的积极性。
数学文化可以促进学生的数学思维和解决问题的能力。
数学文化注重培养学生的逻辑思维和创造性思维，这些思维方式对于学生在学习概率统计中分析问题、求解问题具有重要指导作用，使他们能够更加灵活地运用所学知识。
数学文化还可以拓展学生的数学视野和开阔思维。
在概率统计教学中，数学文化可以引导学生关注数学在不同领域的应用，帮助他们建立更为全面的数学世界观，从而更好地理解概率统计的实际意义和应用背景。
数学文化在概率统计教学中的重要性不容忽视，它不仅可以丰富教学内容、提升教学效果，更可以促进学生全面发展，培养他们的数学素养和创新意识。
深入挖掘数学文化在概率统计教学中的潜力，将为学生的数学学习和成长带来更多的机遇和挑战。
1.2 探讨数学文化对概率统计教学的影响数学文化在概率统计教学中的影响是不可忽视的。
数学文化的传承和积淀为学生在概率统计领域的学习提供了深厚的历史和理论基础，可以帮助学生更好地理解概率统计的各种概念和原理。
高三数学二轮复习微专题精选6 概率统计概率统计是高中数学中的一个重要内容，它涉及到随机事件的概率计算和统计分析。
在高三数学二轮复中，概率统计是一个需要重点复和掌握的知识点。
1. 概率计算概率计算是概率统计的基础，它涉及到事件发生的可能性大小的计算。
在复中，我们应该重点掌握以下几个内容：- 根据样本空间和事件的定义计算概率；- 利用频率定义概率；- 使用排列和组合计算概率；- 利用事件的补集计算概率。
2. 随机变量和概率分布随机变量是概率统计中的重要概念，它表示随机事件的结果。
概率分布则是随机变量取各种可能值的概率分布情况。
在复中，我们应该掌握以下几个重点：- 定义随机变量和概率分布；- 计算离散型随机变量的期望和方差；- 计算连续型随机变量的期望和方差。
3. 统计分析统计分析是概率统计的另一个重要内容，它涉及到数据的收集、整理和分析。
在复中，我们应该重点掌握以下几个内容：- 数据的收集和整理；- 数据的均值和标准差的计算；- 样本估计和参数估计的方法；- 使用统计推断进行判断和决策。
4. 解题技巧和思路在复的过程中，我们还需掌握一些解题技巧和思路：- 注意理解题目中的要求和条件；- 灵活运用概率计算的各种方法；- 注意统计分析中的常见统计指标的计算；- 理解样本和总体的关系，正确进行估计。
总之，对于高三数学二轮复微专题精选6的概率统计内容，我们应该系统性地复和掌握概率计算、随机变量和概率分布以及统计分析的相关知识。
同时，我们还应该注意解题思路和技巧的应用，提高解题效率。
通过充分理解和练，我们可以更好地应对考试中的概率统计题目，取得好成绩。
数学素养知识点总结一、数学素养知识点总结数学素养知识点主要包括数的认识和计算、代数、几何、函数、统计与概率等内容。
1. 数的认识和计算数字是数学的基础，数的认识和计算是数学素养的重要组成部分。
数的认识包括数的读法、数的大小比较、数的倍数与因数等；数的计算包括加、减、乘、除等基本运算，以及整数、分数、小数的四则运算等。
2. 代数代数是研究数字关系和数学结构的数学分支，代数知识在数学素养中占有重要地位。
代数包括代数表达式、方程式、不等式等内容，涉及到整式的加减乘除、方程的解法、二次函数的图象、复数的运算等。
3. 几何几何是研究空间和图形的形状、大小、位置关系的数学分支，几何知识在数学素养中也具有重要意义。
几何包括图形的性质、几何图形的变形、尺规作图、平面几何与立体几何等内容，涉及到图形的面积、体积、角的测量、相似、全等与相交等几何概念。
4. 函数函数是数学中的重要概念，函数知识在数学素养中也占有重要地位。
函数包括函数的定义、函数的性质、函数的图象、函数的运算等内容，涉及到函数的增减性、奇偶性、周期性、多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数类型。
5. 统计与概率统计与概率是数学中的实用部分，统计与概率知识在数学素养中起到重要的作用。
统计与概率包括数据的收集、整理、展示、描述和分析，以及概率的概念、概率的计算、事件的独立性、条件概率、统计推断等内容。
二、数学素养知识点的培养数学素养的培养是数学教育的长期目标，需要学校、家庭和社会多方面的协作。
数学素养的培养应该注重以下几个方面：1. 兴趣与激情数学素养的培养应该从学生的兴趣与激情出发，让学生在学习数学时能够感到快乐和满足。
学校和家庭应该注重培养学生对数学的兴趣，让学生乐于思考、享受发现和解决问题的过程。
2. 知识与技能数学素养的培养需要学生掌握一定的数学知识和技能。
学校应该根据学生的年龄、认知水平设计合适的数学内容和教学方式，让学生掌握基本的数学知识和技能，为进一步学习和应用打下基础。
将ｍ视为一个常数ꎬ要使上式成立ꎬ应满足５＋８ｍ＝１６ꎬ求得ｍ＝１１８ꎬＱＡң ＱＢң＝－１３５６４ꎻ②当直线ｌ斜率不存在时ꎬ可得Ａ(１ꎬ３２)ꎬＢ(１ꎬ－３２)ꎬＱ(１１８ꎬ０)ꎬＱＡң ＱＢң＝－１３５６４ꎬ所以存在点Ｑ(１１８ꎬ０)ꎬ使得ＱＡң ＱＢң为定值.３.５借助向量工具ꎬ解决空间几何问题空间几何作为学生步入高中数学学习以后才遇到的知识ꎬ通常综合考查学生抽象思维和形象思维.教师可以引导学生巧妙应用向量工具ꎬ将空间中的几何量以向量形式表示出来ꎬ利用对向量解决问题.例５㊀如图２所示ꎬ四边形ＡＢＣＤ是一个菱形ꎬ四边形ＡＣＥＦ是一个是矩形ꎬ平面ＡＣＥＦʅ平面ＡＢＣＤꎬＡＢ＝２ＡＦ＝２ꎬøＢＡＤ＝６０ʎꎬ点Ｇ为ＢＥ的中点ꎬ(１)证明:ＣＧʊ平面ＢＤＦꎻ(２)求二面角Ｅ－ＢＦ－Ｄ的余弦值大小.图２㊀例５题图分析㊀(１)证明:因为点Ｇ为ＢＥ的中点ꎬ则２ＣＧң＝ＣＢң＋ＣＥң＝ＤＡң＋ＡＦң＝ＤＦңꎬ故ＣＧʊＤＦꎬ又因为ＤＦʊ平面ＢＤＦꎬ所以ＣＧʊ平面ＢＤＦꎻ图３㊀例５第(２)问分析示意图(２)如图３所示ꎬ取ＥＦ的中点Ｎꎬ易证ＯＮʅ平面菱形ꎬ所以以Ｏ为原点ꎬＯＢꎬＯＣꎬＯＮ所在的直线分别为ｘ轴㊁ｙ轴㊁ｚ轴建立空间直角坐标系ꎬ易得ＤＢң＝(２ꎬ０ꎬ０)ꎬＢＦң＝(－１ꎬ－３ꎬ１)ꎬＥＦң＝(０ꎬ－２３ꎬ０)设平面ＢＥＦ的法向量是ｎ１ң＝(ｘ１ꎬｙ１ꎬｚ１)ꎬ平面ＢＤＦ的法向量是ｎ２ң＝(ｘ２ꎬｙ２ꎬｚ２)ꎬ由ｎ１ң ＥＦң＝０ｎ１ң ＢＦң＝０{得－２３ｙ１＝０－ｘ１－３ｙ１＋ｚ１＝０{ʑｎ１ң可取(１ꎬ０ꎬ１)ꎬ同理可取ｎ２ң(０ꎬ１ꎬ３)设二面角Ｅ－ＢＦ－Ｄ的大小为θꎬ则ｃｏｓθ＝ｃｏｓ<ｎ１ңꎬｎ２ң>＝６４.４结束语总之ꎬ向量属于解决高中数学问题的一个有力工具ꎬ有着相当重要的现实意义.突破以往图形推理的性质ꎬ显得有章可循ꎬ能够极大提高学生做题的正确性.高中数学教师在平时的解题训练中ꎬ应引导学生结合实际情况借助向量工具ꎬ并同其他解题方法配合使用ꎬ帮助其学会使用向量灵活解决各种数学问题ꎬ继而不断提高他们解决数学问题的水平.参考文献:[１]孟飞.向量法在高中数学解题中的应用[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２３(１６):８５－８７.[２]包本刚.向量在高中数学解题中的应用[Ｊ].数理天地(高中版)ꎬ２０２３(０７):４０－４２.[３]赵芳芳.向量在高中数学解题中的应用[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２３(０６):５３－５５.[４]邓让社.高中数学解题中向量法的运用[Ｊ].数理天地(高中版)ꎬ２０２３(０３):４－５.[５]陈苏平.高中数学解题中向量法的运用[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２２(０７):３６－３８.[６]潘敏.向量在高中数学解题中的有效应用[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２１(３４):４６－４７.[责任编辑:李㊀璟]高中数学培养学生核心素养的实践路径以 统计与概率 的教学为例黄秀英㊀王明艺(福建省泉州市城东中学ꎬ福建泉州３６２０００)摘㊀要:本文以高中数学 统计与概率 知识点为例ꎬ明确数学核心素养的培养要求ꎻ以高中数学教材为基础ꎬ立足教情㊁考情与学情ꎬ为学生创设真实情境ꎬ关注学生思维发展的过程.以期营造良好的教学生态ꎬ促进学生数学核心素养的发展.关键词:核心素养ꎻ高中数学ꎻ统计与概率ꎻ教学实践中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０３－００１５－０３收稿日期:２０２３－１０－２５作者简介:黄秀英(１９８０.１１－)ꎬ女ꎬ福建省泉州人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究ꎻ王明艺(１９８０.１０－)ꎬ男ꎬ福建省泉州人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀大数据时代的到来ꎬ让统计学在当前的大环境下起到了极为重要的作用ꎬ尤其是在人工智能㊁生物医学㊁智能机器人等以数据为驱动的场景.这也使人们日益深刻地认识到 统计与概率 数学知识的重要价值.新高考着力体现对学生直观想象㊁数学建模㊁数据分析㊁数学运算㊁逻辑推理等数学核心素养的考查ꎬ应用意识也成为了数学学习的最终价值体现ꎬ而概率与统计知识点恰好是考查学生数学建模㊁数学分析核心素养的重要载体.与此同时ꎬ当前教师在 概率与统计 知识点教学时重视考点归纳ꎬ简化探索过程ꎬ造成学生学习时热情不高ꎬ教师对学生数学核心素养的培养效果不佳.因此ꎬ本文立足学情㊁教情与考情ꎬ结合 统计与概率 知识点教学中的实际问题ꎬ探索一条培养学生核心素养的最佳实践路径.１明确培养学生核心素养的 一个问题核心素养教育方针的具体化ꎬ是连接教育理念与教学实践的重要环节ꎬ它作为数学教学的重要目标之一ꎬ在培养学生数学核心素养之初ꎬ首先就要明确一个核心问题:培养学生核心素养的要求有哪些?自２０１４年ꎬ教育部印发了«关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见»ꎬ提出的 学生发展核心素养 体系ꎬ到２０１７年高中数学课程标准所指出的 数学抽象㊁逻辑推理㊁数学建模㊁数学运算㊁直观想象㊁数据分析 六个维度ꎬ再到２０２２年新课标指出的 三会 ꎬ即会用数学的眼光观察现实世界㊁会用数学的思维思考现实世界㊁会用数学的语言表达现实世界.至此ꎬ数学核心素素养体系逐渐完善ꎬ并成为了数学教学的课程标准之一.与此同时ꎬ单一知识点并不能覆盖全部的核心素养维度ꎬ且不同知识点对于核心素养的培养侧重也并不相同.如 统计与概率 教学ꎬ对于学生 数据意识或数据观念 核心素养的培养ꎬ势必会大于 几何直观㊁空间观念 的核心素养.因此ꎬ教师在明确了培养学生核心素养的具体要求后ꎬ还要结合授课内容进行细致的划分ꎬ明确教学设计中每一个教学环节培养学生核心素养的侧重部分㊁培养层面以及培养程度[１].这样才能落实数学核心素养培养的关键点㊁强化点和发展点ꎬ促进学生核心素养的真正发展.２立足高中数学教学实际的 三个情况 在实现 高考胜利 共同目标下ꎬ高中教学是师生双方共同参与的动态过程ꎬ 教情 是基础ꎬ明确教师教什么㊁学生学什么ꎻ 考情 是关键ꎬ明确教师重点教什么㊁学生重点学什么ꎻ 学情 是核心ꎬ明确教师怎么教㊁学生怎么学.因此ꎬ在 数据与统计 教学中ꎬ教师要立足实际教学中 教㊁考㊁学 这三种情况.２.１立足教情钻研ꎬ精准把握教学方向高考脱离不了教学大纲的要求ꎬ考试内容也脱离不了课本教材的范围ꎬ而教情分析就是对教学大纲㊁课本教材的认真钻研.试想ꎬ一个教师如果都不知道教材中写了什么ꎬ他怎么可能知道该讲什么ꎬ不该讲什么呢?他又怎么知道这部分知识的教学目标是什么呢?他又如何通过教学来发展学生核心素养呢?由此可见ꎬ只有对教学大纲与课本教材进行深入的分析ꎬ才能明确教学方向ꎬ把握授课重点ꎬ掌控授课进程ꎬ进而落实核心素养的培养目标与要求.以 概率 知识点教学来说ꎬ这是高一数学(人教Ａ版)必修中第二册第十章的内容.这部分知识点在学生生活中的应用十分普遍ꎬ因此ꎬ教师可以选取选取贴近学生生活实际的内容ꎬ为学生创设情景ꎬ简化基本概念和原理的讲解ꎬ作为授课的总思路ꎬ这更容易使学生理解和接受知识.与此同时ꎬ此部分内容的重难点很多ꎬ如互斥事件㊁对立事件㊁独立事件的概念ꎻ古典概型㊁条件概率的概念㊁定义与公式等均是重点内容ꎬ而古典概率模型的计算是其中的难点ꎬ学生不容易理解ꎬ也容易出现计算错误.因此ꎬ强化学生的运算能力ꎬ也是此部分教学中的核心.２.２立足考情整理ꎬ明确学习重点方向考情即高考数学试题的出题情况.高考数学试题虽然每年都是新题ꎬ不断变化ꎬ但所考查的知识点与思维模型还是具有一定的延续性和借鉴意义.立足考情整理与分析ꎬ不仅可以帮助教师掌握教学规律ꎬ还能引导教师把握教材的内容和重点ꎬ加大课堂教学的重点性和针对性ꎬ为学生明确学习重点与方向.与此同时ꎬ师生通过对历年数学高考试题的研究与分析ꎬ还能够为学生提供一定的答题技巧和思维辅导ꎬ助理学生掌握与拓展更多的学习与解题方法ꎬ改善思维习惯ꎬ保证学习效率[２].如ꎬ笔者对２０２２年高考试卷 统计与概率 知识点的分值权重㊁题型结构及考查知识点进行了整理ꎬ如表１所示.表１㊀２０２２年高考数学 统计与概率 统计试卷题型分值考查知识点分值占比全国甲卷选择５分排列组合㊁相互独立事件㊁概率乘法公式填空５分排列组合解答１２分数据的数字特征(平均数)㊁相关系数㊁用样本估计总体１４.７％全国乙卷选择５分数据的数字特征(平均数㊁中位数㊁标准差㊁极差)填空５分古典概型㊁排列组合(立体几何)解答１２分离散型随机变量及其分布列㊁期望㊁相互独立事件概率乘法公式１４.７％新高考Ⅰ卷填空５分二项式定理解答１２分２ˑ２列联表㊁独立性检验㊁条件概率公式１１.３％新高考２卷选择５分排列组合填空５分正态分布解答１２分数据的数字特征㊁频率分布直方图㊁条件概率１４.７％㊀㊀通过上表的制作与分析ꎬ可以看出２０２２年高考数学 统计与概率 知识点涉及的知识包括排列组合㊁古典概型㊁二项式定理等ꎬ考查全面ꎬ层次分明ꎬ难度相对往年有所降低ꎬ但对于学生灵活应变能力㊁创新创造能力㊁计算能力的考查尤为突出.这些总结也为学生指明了学习方向.２.３基于学情分析ꎬ明确教学重点内容在 生本理念 下ꎬ学生成为了课堂主体.教师通过教学前对学情的分析ꎬ能够全面了解学生的实际情况ꎬ为教学内容的取舍㊁教学方法的选择㊁教学导入的明确等指明方向ꎬ促进教学活动更符合学生的学习需要ꎬ提高教学质量.与此同时ꎬ学情的分析ꎬ还能够促使教师在教学过程中调整与改进教学内容及教学方法ꎬ在教学后进行反思与总结ꎬ为后续教学设计提供重要参考ꎬ使教学活动更具针对性与有效性ꎬ达成最佳的教学效果.３关注统计与概率教学中的 三个过程 ３.１教学中情境引入过程数学虽是抽象的数字与符号ꎬ却是源于现实世界ꎬ在大数据时代下ꎬ 统计与概率 知识与现实世界的联系更为紧密.教师在授课中联系贴近学生生活的实际ꎬ能够点燃学生的学习热情ꎬ引导学生用 数据 了解生活ꎬ亲历用 数据 解决问题的过程ꎬ拉近数学与生活的举例.不仅能够增强学生学习的主动性ꎬ还能够培养学生数学应用意识ꎬ促进其核心素养的发展[３].如ꎬ在 随机事件与概率 这节课ꎬ笔者在教学之处ꎬ引入学生常见的 微信抢红包 生活场景.笔者向学生抛出一个问题:微信红包到底是先抢还是后抢ꎬ才能抽到 手气最佳 ?学生结合自己的经验ꎬ纷纷议论说出自己的观点.在学生讨论时ꎬ笔者以学生的姓名为模拟对象ꎬ固定学生 抢红包 顺序ꎬ借助计算机模拟１００次ꎬ并与学生共同分析模拟结果ꎬ进而引出本节课的内容.教学情境的创设ꎬ不仅将学生带入了课堂ꎬ模拟数据的变化ꎬ还树立了学生数据分析意识ꎬ有效提升了课堂教学效果ꎬ培养了学生核心素养.３.２教学中学生抽象过程数学是舍弃事物一切物理属性的抽象过程ꎬ抽象也是数学的一大特点与难点.因此ꎬ教师在情境创设中ꎬ要结合 问题串 贯穿整个教学活动ꎬ有意识地设计符合学生认知㊁能够让学生 跳一跳 ㊁促进学生抽象思维发展的问题.以问题为引导ꎬ降低数学的 抽象 难度ꎻ以问题为核心ꎬ发展学生的 抽象 层次ꎻ以问题为基础ꎬ培养学生的 抽象 素养ꎬ对知识的理解过程具体化ꎬ进而充分体验数学抽象的本质ꎬ掌握抽象的方法ꎬ形成抽象的能力ꎬ使学生的抽象思维得到训练与发展[４].３.３教学中学生建模过程近年来ꎬ数学高考试题不再以 偏㊁难㊁怪 为主ꎬ而是越发的灵活多变ꎬ对学生数学建模能力的考查越来越高.因此ꎬ在 统计与概率 知识教学中ꎬ教师要树立学生的建模意识与建模观念ꎬ培养学生的建模能力.能够将文字㊁数字㊁图表等信息通过模型搭建ꎬ转化为数学语言ꎬ用模型搭起数学与生活之间的联系.如炎炎夏日ꎬ很多学生都喜欢喝冰可乐.借此情境ꎬ笔者带领学生一同探究常温可乐放置冰箱中ꎬ需要多久才能到达自己想要的冰度.笔者将学生分层若干小组ꎬ为学生提供所需的道具ꎬ记录不同时间可乐在冰箱中的温度数据ꎬ再通过数据的整理与分析ꎬ指导学生建立模型㊁分析模型㊁改进模型ꎬ最终构建时间与温度的数学模型.这不仅能够使学生掌握数学建模的方法ꎬ应用于实际生活中ꎬ感受数学在生活中的价值ꎬ还能够培养学生观察㊁探究㊁合作等多项能力.４结束语总而言之ꎬ在教学过程中发展学生核心素养已成为重要教学内容之一.但在实际教学中ꎬ学生核心素养的培养仍受多方因素的影响ꎬ既有看得见㊁可预测的问题ꎬ也有看不见㊁不可知的问题ꎬ因此ꎬ实际教学中的表现与预设会存在一定的差异.这更需要教师关注教学动态的生成过程ꎬ根据课堂反馈ꎬ及时调整教学内容与方向ꎬ满足学生的学习需求ꎬ如此才能有效落实数学核心素养的培育目标.参考文献:[１]安根堂.核心素养下高中数学问题链教学探究[Ｊ].数理天地(高中版)ꎬ２０２２(１７):４９－５１. [２]陈算荣ꎬ顾秋丹.聚焦核心素养的高中数学教师教材解读行为研究[Ｊ].教学与管理ꎬ２０２３(６):３２－３７.[３]陈建权.基于核心素养的高中数学美育教学实践研究:以 三角函数的图象与性质 为例[Ｊ].天津师范大学学报(基础教育版)ꎬ２０２２ꎬ２３(６):６７－７０.[４]邹玲.基于核心素养的高中数学深度学习能力培养[Ｊ].数理天地(高中版)ꎬ２０２２(１５):４９－５１.[责任编辑:李㊀璟]。
