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2.1 掷一枚硬币定义一个随机过程：cos ()2t X t tπ⎧=⎨⎩出现正面出现反面 设“出现正面”和“出现反面”的概率相等。
试求：（1）()X t 的一维分布函数(,12)X F x ，(,1)X F x ；（2）()X t 的二维分布函数12(,;12,1)X F x x ；（3）画出上述分布函数的图形。
2.3 解：（1）一维分布为: ()()(;0.5)0.50.51X F x u x u x =+-()()(;1)0.510.52X F x u x u x =++-(2) cos ()2t X t t π⎧=⎨⎩出现正面出现反面{}{}(0.5)0,(1)1,0.5(0.5)1,(1)2,0.5X X X X ==-==依概率发生依概率发生 二维分布函数为()()121212(,;0.5,1)0.5,10.51,2F x x u x x u x x =++--2.2 假定二进制数据序列{B(n), n=1, 2, 3,….}是伯努利随机序列，其每一位数据对应随机变量B(n)，并有概率P[B(n)=0]=0.2和 P[B(n)=1]=0.8。
试问，（1）连续4位构成的串为{1011}的概率是多少？（2）连续4位构成的串的平均串是什么？（3）连续4位构成的串中，概率最大的是什么？（4）该序列是可预测的吗？如果见到10111后，下一位可能是什么？2.4解：解：（1）{}()()()()101111021310.80.20.80.80.1024P P B n P B n P B n P B n ⎡⎤⎣⎦==⋅+=⋅+=⋅+=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦=⨯⨯⨯=（2）设连续4位数据构成的串为B(n)，B(n+1)，B(n+2)，B(n+3)，n=1, 2, 3,…. 其中B(n)为离散随机变量，由题意可知，它们是相互独立，而且同分布的。
所以有：串（4bit 数据）为：∑=+=30)(2)(k k k n B n X ，其矩特性为：因为随机变量)(n B 的矩为：均值：8.08.012.00)]([=⨯+⨯=n B E方差：[]()(){}222222()00.210.80.80.80.80.16Var B n B n B n ⎡⎤=E -E ⎡⎤⎣⎦⎣⎦=⨯+⨯-=-=所以随机变量)(n X 的矩为：均值：[]303300[()]2()2()20.812k k k kk k E X n E B n k E B n k ===⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=+=⨯=∑∑∑方差：()[]3033200[()]2()2()40.1613.6k k k k k k D X n D B n k D B n k ===⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=+=⨯=∑∑∑如果将4bit 串看作是一个随机向量，则随机向量的均值和方差为：串平均：()()()(){}{},1,2,30.8,0.8,0.8,0.8B n B n B n B n ⎡⎤E +++=⎣⎦串方差：()()()(){}{},1,2,30.16,0.16,0.16,0.16Var B n B n B n B n ⎡⎤+++⎣⎦= （3）概率达到最大的串为{}1,1,1,1（4）该序列是不可预测的,因为此数据序列各个数据之间相互独立，下一位数据是0或1，与前面的序列没有任何关系。
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……一、随机变量X 具有下列特征函数，求其概率密度函数、均值和均方值。
1、2424()0.20.30.20.20.1j vj v j v j v X v ee e e --Φ=++++概率密度函数()Zf z 。
2、sin 5()5X vv vΦ=。
解：1、()()()()()()0.20.320.240.220.14f x x x x x x δδδδδ=+-+-++++()()()(0)/20.340.220.240.10.6E X j φ'==⨯+⨯+-⨯+-⨯=()()()22222(0)20.340.220.240.1 6.8E X φ''=-=⨯+⨯+-⨯+-⨯=2、sin 512sin 5()510v vv v vφ==⨯，利用傅里叶变换公式，可知这是均匀分布， ()1,55100,x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他()0E X =, ()21025123Var X ==,()()()22253E X Var X E X =+=。
二、设质点运动的位置如直线过程()X t Kt A =+，其中(0,1)K N 与(0,2)A N ，并彼此独立。
试问： 1、t 时刻随机变量的一维概率密度函数、均值与方差？。
2、它是可预测的随机信号吗？ 解：(1)独立高斯分布的线性组合依然是高斯分布[()][][][]0E X t E Kt A tE K E A =+=+=22[()][][][]2D X t D Kt A t D K D A t =+=+=+所以它的一维概率密度函数为:22(;)}2(2)X x f x t t =-+(2) 此信号是可预测随机信号221212121212(,)[()()][()()][]()[][]X R t t E X t X t E Kt A Kt A E K t t t t E KA E A ==++=+++124t t =+，12121112(,)(,)[()][()]4X X C t t R t t E X t E X t t t =-=+，故此信号是可预测随机信号。
1.设随机过程21)(cos )(2-Θ+=t t X ω，Θ 是随机变量，其特征函数为)(υφΘ。
证明：)(t X 是广义平稳随机过程的充要条件是0)4()2(==ΘΘφφ。
证明：（1）)(t X 的均值为：()21()[()][cos ()]2111[1cos 2()][cos(22)]22211cos(2)[cos(2)]sin(2)[sin(2)]22X m t E X t E t E t E t t E t E ωωωωω==+Θ-=++Θ-=+Θ=Θ-Θ由上式可知，当且仅当0)]2sin()2[cos(][)2(2=Θ+Θ==ΘΘj E e E j φ时，()0X m t =，才与t 无关。
（2）)(t X 的相关函数为：22(,)[()()]11[(cos ())(cos ())]2211[cos(222)cos(22)]22[cos(2)][cos(424)]811cos(2)cos(42)[cos(4)]881sin(42)][sin(4)]8X R t t E X t X t E t t E t t E E t t E t E ττωωτωωωτωωτωωτωτωωτωωτ+=+=++Θ-+Θ-=++Θ⨯+Θ+++Θ==++Θ-+Θ同理可得，当且仅当0)]4sin()4[cos(][)4(4=Θ+Θ==ΘΘj E eE j φ时，)cos(21),(ωττ=+t t R X 与t 无关。
2.设随机过程)sin()(0Θ+Ω=t A t X ，其中0A 为常数，ΘΩ和为相互独立的随机变量，Ω在]2010[ππ内均匀分布，Θ在]20[π内均匀分布。
证明：（1） )(t X 是广义平稳随机信号；（2） )(t X 的均值是各态历经的。
解： （1）00000[()][sin()][sin()cos()cos()sin())][sin()][cos()][cos()][sin())]0E X t E A t E A t A t A E t E A E t E =Ω+Θ=ΩΘ+ΩΘ=ΩΘ+ΩΘ= 202020(,)[()()][sin()sin()]cos()cos(22)2cos()2X R t t E X t X t A E t t t A E A E ττττττ+=+=Ω+Ω+ΘΩ+ΘΩ-Ω+Ω+Θ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦Ω⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所以)(t X 是广义平稳随机信号 （2）[]00000001[()][sin()]lim sin()lim sin()lim cos()|0TT T T T T A X t A A t A t dtT A A t d t t T T →+∞→+∞→+∞=Ω+Θ=Ω+Θ=Ω+ΘΩ=-Ω+Θ=ΩΩ⎰⎰时间平均等于统计平均，所以)(t X 的均值是各态历经的。
一、 设相互独立的 随机变量,X Y 的概率密度函数分别()()1212(),()x y X Y f x e U x f y e U y λλλλ--==，（1） 求Z=X +Y 的特征函数；（2）求X+Y 的均值？（10分） 解：（1）因为XY 相互独立，所以()()()Z X Y u u u φφφ=110()()xjuxjuxX x x f x e dx ee dx λφλ∞∞--∞==⎰⎰11101x juxe e dx juλλλλ∞-==-⎰，()Y y φ=22202xjuxee dx juλλλλ∞-==-⎰1212()Z u ju juλλφλλ=-- （1分）（2） E （X+Y ）=EX+EY 121200xyxedx yedy λλλλ∞∞--=+⎰⎰1211λλ=+二、（10分）随机信号X(t)的均值()10cos(/40)X m t t π=，相关函数()[],50cos((2)/40)cos(/40)X R t t t ττπτπ+=++。
现有随机信号()()Y t X t =-Θ，Θ均匀分布于[0，80]区间。
求：1． [(168)],[(166)(161)]E X E X X2． [(168)],[(171)(161)]E Y E Y Y ,讨论()Y t 的平稳性解:1. [(168)](168)10cos(168/40)X E X m π==[(166)(161)]50[cos(327/40)cos(5/40)]E X X ππ=+2.因为Y (t ) 是周期平稳信号X(t)在一个周期内的均匀滑动,根据定理,它是一个广义平稳信号，且80801[(168)](168)()80110cos(/40)080Y X E Y m m t dtt dt π====⎰⎰ ()[]808001[(171)(161)],80150cos((2)/40)cos(/40)8050cos(/40)X E Y Y R t t dtt dt ττπτπτπ=+=++==⎰⎰三、 若随机信号()cos X t A t ω=，其中A 是一个贝努里型的随机变量，且满足1[1][1]2P A P A ===-=，ω为常数。
电子科技大学2013年通信原理期末考题A卷及答案电子科技大学2013-2014学年第 1 学期期 末 考试 A 卷课程名称： 通信原理 考试形式： 一页纸开卷 考试日期： 20 14 年 1 月 11 日 考试时长：_120__分钟 课程成绩构成：平时 10 %， 期中 10 %， 实验 10 %， 期末 70 % 本试卷试题由_____部分构成，共_____页。
一、某信源的符号集由A 、B 、C 和D 组成，这4个符号是相互独立的。
每秒钟内A 、B 、C 、D 出现的次数分别为500、125、125、250，求信源的符号速率和信息速率。
(共10分)解：信源的符号速率为()5001251252501000/s R symbol s =+++= (4分)每个符号出现的概率为()()()()1111,,,2884P A P B P C P D ====(2分) 信源熵2111113()log 13321/28844Mi i i H X P P bit symbol ==-=⨯+⨯+⨯++⨯=∑(2分)信源的信息速率为7()10001750/4bs R R H X bit s ==⨯=(2分)二、对模拟信号()2cos(2000)4cos(4000)m t t t ππ=+进行线性PCM 传输，量化器设计范围为[-10,10]，PCM 码字字长为16位。
求：(共10分)1．无失真恢复()m t 允许的最大采样时间间隔是多少？(5分) 2．量化信噪比是多少？(5分)解： 1．()mt 的带宽2000B Hz =，最小采样频率min 24000s f B Hz== 最大采样时间间隔是max min 1/0.00025s s T f s == (5分)2．()m t 的功率4161022m P =+=(2分)均匀量化信噪比22106.02 4.7710log 6.02 4.7710log 106.0216 4.7710(12)91.09qS n D n N dB⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭=⨯++-=(3分)三、 已知某模拟基带信号m (t )的带宽为5kHz ，发送端发送功率为P t ，接收功率比发送功率低50dB 。
随机信号分析期末试卷(A 卷)班级：__________姓名：__________学号：__________分数：__________（注意：本卷中的τ＝t 2-t 1）一 单选题（写在答题框内，每小题2分，共20分）1 若)()()]()([t m t m t Y t X E Y X =，则随机过程X(t)与Y(t) 一定____________A 独立B 正交C 不相关D 联合平稳2 若联合宽平稳随机过程X(t)与Y(t)的互功率谱密度0)(=ωXY S ，则X(t)与Y(t) ____________A 不相关B 正交C 独立D 联合平稳3 以下关于高斯随机过程的叙述，哪句是不正确的？____________A 高斯过程严平稳与宽平稳等价。
B 高斯过程宽平稳与各态历经性等价。
C 高斯过程独立与不相关等价。
D 高斯过程的不相关和正交等价。
4 若随机变量∑==ni i X Y 12满足2λ分布，则Y R =满足____________A 广义瑞利分布B 2λ分布C 莱斯分布D 瑞利分布 5 白噪声通过理想低通系统后，____________A 平均功率与系统带宽成正比，相关时间与系统带宽成反比。
B 相关性由相关变为不相关。
C 平均功率与相关时间都不发生变化。
D 平均功率与系统带宽成反比，相关时间与系统带宽成正比。
6 白噪声通过理想带通系统后，相关时间____________A 与带通的中心频率0ω有关。
B 与自相关函数的包络有关。
C 因随机过程的起伏增大而减小。
D 与系统的增益系数有关。
7 数学期望为零的实平稳窄带随机过程t t A t t A t t t A t X S C 000sin )(cos )()](cos[)()(ωωω+=Φ+=则____________A)()()(t A t A t A S C += B )()()(22t A t A t A S C += C2)]()([)(t A t A t A S C += D )()()(22t A t A t A S C += 8 各态历经的随机过程____________A 必定是宽平稳B 是非平稳C 不一定平稳D 必定严平稳9 以下关于随机过程的叙述，哪句是不正确的？____________A 随机实验样本空间内所有的样本对应的一族时间函数称为随机过程。
一、已知随机变量X 服从11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦区间的均匀分布，Y 是取值为(-1,1)的二值随机变量，且满足1[1][1]2P Y P Y =-===。
若X 和Y 彼此统计独立，求随机变量Z X Y =+的： 1、概率密度函数()Z f z 。
2、特征函数()Z v Φ。
解：1、随机变量X 均服从11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦区间的均匀分布，111,()()220,X x f x rect x otherwise ⎧-≤≤⎪==⎨⎪⎩11()(1)(1)22Y f y x x δδ=++-由于X 和Y 彼此统计独立，所以11()()()(1)22Z X Y f z f z f z rect z rect=*=++131/2,220,z otherwise ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩2、()2rect z Sa ω⎛⎫⇔ ⎪⎝⎭且 ()()FTz z f z v Φ-所以()1()cos 222j j z v Sa e e Sa ωωωωω-⎛⎫⎛⎫Φ=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、取值()0,1，等概分布的独立半随机二进制传输信号()X t ，时隙长度为0T ，问：1、信号的均值函数()E X t ⎡⎤⎣⎦。
2、信号的自相关函数(),X R t t τ+。
3、()X t 的一维概率分布函数();X F x t 和二维概率分布函数()1212,;,X F x x t t 。
解：1、()00.510.50.5X t E =⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦2、当,t t τ+在同一个时隙时：[]222(,)()()[()]00.510.50.5X R t t E X t X t E X t ττ+=+==⨯+⨯=当,t t τ+不在同一个时隙时：[][][](,)()()()()0.50.50.25X R t t E X t X t E X t E X t τττ+=+=+=⨯= 1、 一维分布：()()();0.50.51X F x t u x u x =+-二维分布：当12,t t 在同一个时隙时 ()[][12121212,;,0.5,0.51,X F x x t t u x x u x x =+--当12,t t 不在同一个时隙时：()121211221112,;,[(),()][()][()]X F x x t t P X t x X t x P X t x P X t x =≤≤=≤≤()()()1212120.25,0.251,0.25,10u x x u x x u x x =+-+-+三、广义平稳高斯随机信号X (t )、Y(t )具有均值各态历经性，其功率谱如下图所示。
电子科技大学2014-2015学年第 2 学期期 末 考试 A 卷
一、设有正弦随机信号()cos X t V t ω=，其中0t ≤<∞，ω为常数，V 是[0,1)均匀分布的随机变量。
（ 共10分）
1．画出该过程两条样本函数。
(2分)
2．确定02t πω=，134t πω=时随机信号()X t 的一
维概率密度函数，并画出其图形。
(5分)
3．随机信号()X t 是否广义平稳和严格平
稳？(3分)
解：1.随机信号()X t 的任意两条样本函数如题解图(a)所示：
2.当02t πω=时，()02X πω=，()012P X πω⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，
此时概率密度函数为：
(;)()2X f x x πδω= 当34t πω=
时，
3()42X πω=-，随机过程的一维
概率密度函数为：
3. ()[]1cos cos 2E X t E V t t ωω==⎡⎤⎣⎦ 均值不平稳，所以()X t 非广义平稳，非严格平稳。
二、设随机信号()()sin 2X n n πφ=+与()()cos 2Y n n πφ=+，其中φ为0~π上均匀分布随机变量。
（ 共10分）
1．求两个随机信号的互相关函数
12(,)XY R n n 。
(2分)
2．讨论两个随机信号的正交性、互不相关性与统计独立性。
(4分)
3．两个随机信号联合平稳吗？(4分) 解：1.两个随机信号的互相关函数 其中()12sin 2220E n n ππφ++=⎡⎤⎣⎦
2. 对任意的n 1、n 2 ,都有12(,)0XY R n n =，故两个随机信号正交。
又
故两个随机信号互不相关，
又因为
故两个随机信号不独立。
3.
两个随机信号的均值都平稳、相关函数都与时刻组的起点无关，故两个信号分别平稳，又其互相关函数也与时刻组的起点无关，因而二者联合平稳。
三、()W t 为独立二进制传输信号，时隙长度T 。
在时隙内的任一点()30.3P W t =+=⎡⎤⎣⎦和 ()30.7P W t =-=⎡⎤⎣⎦，试求（ 共10分） 1．()W t 的一维概率密度函数。
(3分) 2．()W t 的二维概率密度函数。
(4分)
3．()W t 是否严格平稳？(3分)
解：下面的讨论中，t 不在时隙分界点上：
1. 在时隙内的任一点上，()W t 为二进制离散随机变量，因此，随机信号的一维概率密度函数为：
2. 当1t ,2t 在同一时隙时，随机变量()1t W ,()2
t W 取值相同，此时二维概率密度函数为：
当1t ,2t 不在同一时隙时，随机变量
()1t W ,()2t W 取值独立，此时二维概率密度函
数为：
3. ()W t 不严格平稳。
四、设正弦随机信号X(t) = Acos(ωt+Θ), ω是常数，A ∽U(-1,+1) , Θ∽ U(0,π), 且
A 和Θ统计独立，令Y(t)=X 2(t)。
（ 共10分）
讨论：
1．Y(t)的均值。
(3分)
2．Y(t)的相关函数。
(4分)
3．Y(t)是否是广义平稳？。
(3分)
解：1. Y(t)的均值：
2. Y(t)的相关函数：
3. 因为Y(t)的均值和相关函数都与t无关，因此Y(t)是广义平稳随机信号。
五、高斯随机信号X(t)的自相关函数如
图所示（共10分）
1．求X(t)的一维概率密度函数。
(3分) 2．求X(t)上间隔为的任意两个采样时刻的二维密度函数。
(4分)
3．对一段时长为1秒的信号，最多能够获取多少了独立的采样点？(3分)
解：1.
（3
分）
因为：R X (∞)=m 2 ，故m = 0 σ2 = R X (0)- m 2 = 4
2. 求X(t)上间隔为τ=的任意两个采样时刻的二维密度函数；（4分） 因为：C X (τ) = R X (τ) - m 2 ，故C X = 0 高斯随机变量不相关，则其统计独立，因此任意两个间隔为的两个随机变量的二维密度函数为：
3. 对一段时长为1秒的信号，最多能够获取多少了独立的采样点？（3分） 因为不相关的最小间隔为秒，则在1秒间隔内，最多可采集的独立采样点为： 1/ + 1 = 10001 六、功率谱密度为20N 的零均值平稳高斯
白噪声通过一个理想带通滤波器，此滤
波器的增益为1，中心频率为0f ，带宽为B 2。
（ 共10分）
1．)(t n i 的同相分量)(t i 及正交分量)(t q 的自相关函数和相关系数。
(4分)
2．)(t i 的二维概率密度函数。
)21,;,(21B
t t i i f i + (3分)
3．)(t i 及)(t q 的二维联合概率密度函数。
(3分)
解：依题 1.
⎩⎨⎧≤-++==其它,00),()()()(00ωωωωωωωX X q i S S S S 2. 2,1,2,2k B k k B πτπτ=→==±±L 是()i R τ的零点
3. 因为)(t n i 的功率谱关于0f 偶对称，故
)(t i 与)(t q 处处正交、无关、独立
七、已知平稳过程{}+∞<<-∞t t X ),(的均值函数为1)(=t m ，相关函数为ττ2
cos 2)(=R ，讨论其均值各态历经性。
（ 共10分） 解：
所以{}+∞<<-∞t t X ),(具有均值各态历经性。
八、设有随机过程{}+∞<<-∞+=t t A t X ),cos()(φω，其中φ,A 是相互独立的随机变量，ω是正常数，)2,0(~),3,3(~πφU U A -，试讨论{}+∞<<-∞t t X ),(的广义平稳性和广义各态历经性。
（ 共10分）
解：
{}+∞<<-∞t t X ),(广义平稳。
{}+∞<<-∞t t X ),(均值各态历经，相关函数不具有各态历经性。
九、假设某积分电路的输入X(t)与输出
Y(t)之间满足关系：ττd X t Y t t ⎰-=4)()(，积
分时间为4秒。
（ 共10分）
1．求该积分电路的冲激响应h(t)。
(5分)
2．若输入)cos()(0θω+=t A t X ，其中
A=2，0ω为常数，θ为服从)2,
0[π 均匀分布的随机变量，求输出Y(t)的功率谱。
(5分)
解：（1）4()()t
t Y t X d ττ-=⎰
故)4()()(--=t u t u t h
（2）
故X(t)为平稳随机信号，其功率谱为 因为积分电路为LTI 系统，当输入为平稳随机信号时，输出也是平稳随机信号。
则
[]22002sin 8)()()(ωωπωωδωωδω⋅++-=Y S
十、已知平稳白噪声信号X(t)通过下图所示的低通滤波器，X(t)的均值为零，自相关函数为)()(τδτ=X R 。
（ 共10分） 求：
1．输出信号的功率谱。
(5分)
2．输出信号的平均功率。
(5分) 解：（1）求输出信号功率谱。
因为输入为平稳随机过程，故输出Y(t)也是平稳随机过程。
由图
（2）求输出信号平均功率。
由于输出信号是平稳的，则
故输出信号的平均功率为。
