高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.1指数与指数函数3.1.1有理指数幂及其运算同步测控新人教B版必修

第三章 基本初等函数（Ⅰ）3.1 指数与指数函数3.1.1 有理指数幂及其运算【目标要求】1． 理解根式的概念。

2． 理解分数指数的概念，掌握根式与分数指数幂的关系。

3． 掌握有理数幂的运算性质并注意灵活运用。

4． 掌握用计算器计算有理指数幂的值。

【巩固教材——稳扎马步】 1．下列说法中正确的是( )A.-2是16的四次方根B.正数的 次方根有两个C. 的 次方根就是D.2．下列等式一定成立的是( )A ．2331a a ⋅=a B ．2121a a⋅-=0 C ．（a 3）2=a 9 D.613121a a a =÷3. 431681-⎪⎭⎫⎝⎛的值是（ ） A.278 B.278- C.23 D.23- 4.将322-化为分数指数幂的形式为( )A ．212-B ．312- C ．212--D.652-【重难突破——重拳出击】 5. 下列各式中，正确的是 （ ）A ．100= B ．1)1(1=-- C ．74471aa=-D ．53531aa=-6.设b ≠0,化简式子()()()61531222133ab baba ⋅⋅--的结果是 （ ）A.aB.()1-ab C.1-ab D.1-a。

• MATHEMATICS n数学第三章基本初等函数（I）3. 1指数与指数函数3. 1.1实数指数幕及其运算【课标要求】1.理解有理指数幕的含义，会用幕的运算法则进行有关运算.2.了解实数指数幕的意义.【核心扫描】1-根式与分数指数幕的互化.（重点）2.根式的性质.（易混点）3.有理指数幕运算性质的应用.（难点）KEQIANTANJIUXUEXI》课前探究学习挑战自我［点点落实自学导引1."次方根的概念（1）如果存在实数兀，使得心,则X叫做。

的〃次方根.（2）当紡有意义的时候，式子黑叫做根式,这里"叫做根指数,a叫做被开方数.2.根式的性质（1）（般）"=丄（卅＞1 且〃UN+）；（卅为奇数且〃＞1, 〃WN+）（〃为偶数且卅＞1, 〃UN+）\a\3.分数指数幕的定义:(1)规定正数的正分数指数幕的意义是：in _Q 去二(Q〉() 9 "、m w N 9 且刃〉1 )；(2)规定正数的负分数指数幕的意义是(°〉()山、m. e N * ,且几 > 1)；(3)0的正分数指数幕为(),0的负分数指数幕4.有理数指数幕的运算性质(l}aa=ar+s(a>0,厂、泻Q)；(2)@丫= _(a>0,厂、$WQ)；(3YabY=arbr(a>0, b>0,胆Q)・试一试：分数指数幕血及（乙（nN,且叫"互质）的底数有何取值范围？提不（帀='Q,当m为奇数时，底数a e R,当m为偶数时,dM（）;_2l_ ["〃‘二石亍当尬为奇数时，HO且＜/ e R，当肌为偶数时，a > 0.想一想：防（〃WN+）与（裁）"（”WN+）对任意实数a都有意义吗？提示式子勺刁（“WN+）对任意实数a都有意义；而式子（第）"（〃WN+）,当n为奇数时，对任意实数a都有意义；当n 为偶数时，对负数a没有意义.名师点睛1.根式紡的符号：根式紡的符号由根指数〃的奇偶性及被开方数Q的符号共同确定；当〃为偶数时，。

有理指数幂及其运算同步测控我夯基,我达标1.把根式52)(2---b a 改写成分数指数幂的形式为( ) A.-2(a-b)52- B.-2(a-b)52-C.-2(a52--b52-)D.-2(a52--b52-)解析：原式可化为-2（a-b ）52-.答案：A2.下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是…( ) A.x -=(-x)21(x≠0)B.x31-=3x -C.(yx )43-=43)(x y (xy≠0)D.62y =y 31(y<0)解析：根据根式、分数指数幂的意义，可得选项C 正确. 答案：C3.当a 、b∈R ，下列各式总能成立的是( )A.)(66b a -=a-bB.8822)(b a +=a 2+b 2C.4444b a -=a-bD.1010)(b a +=a+b解析：取a=0,b=1,A 不成立;取a=0,b=-1,C 不成立;取a=-1,b=-1,D 不成立;因为a 2+b 2≥0, 所以B 正确. 答案：B4.下列说法中正确的命题个数是( ) (1)-2是16的四次方根 (2)正数的n 次方根有两个 (3)a 的n 次方根就是n a (4)n n a =a(a≥0) A.1B.2C.3D.4解析：从n 次方根和n 次根式的概念入手，认清各概念与各符号之间的关系.此题主要目的是分清n 次方根是什么和有几个，进一步明确根式进行简单运算的依据. (1)是正确的,由(-2)4=16可验证. (2)不正确，要对n 分奇偶讨论.(3)不正确，a 的n 次方根可能有一个值，可能有两个值，而n a 只表示一个确定的值,它叫根式.(4)正确，根据根式运算的依据，当n 为奇数时，n n a =a 是正确的，当n 为偶数时，若a≥0，则有n n a =a ，综上，当a≥0时，无论n 为何值均有n n a =a 成立. 答案：B5.若a m=2，a n=3，则a 23n m -=__________.解析：先求ma3，nm a-3,n m aa 3=38，∴a 23nm -=38=362. 答案：362 6.化简107532aa a a ••（a ＞0）＝________.解析：先将根式化成分数指数幂再运算.原式＝57107532107212a a aa a ==••-+--.答案：57a 7.计算：（1）3253--(22710)32-+0.5-2；（2）1.531-×(67-)0+80.25×42+(323⨯)632)32(--. 分析:指数为小数时化为分数的形式，底数为根式时，化为指数式，并根据运算法则的顺序进行计算.解：（1）原式=(25)53--(2764)32-+(21)-2 =2-3-［(43)3］32+22=16981-+4 =1657. （2）原式=(32)31×1+(23)41×241+(231)6×(321)6-［(32)32］21=(32)31+(23×2)41+22×33-(32)31=2+4×27=110.我综合,我发展8.设α、β是方程5x 2+10x+1=0的两个根.则2α·2β=____________,(2α)β=_________. 解析：利用一元二次方程根与系数的关系得α+β,αβ.由题意得α+β=-2,αβ=51,则2α·2β=2α+β＝2-2=41,(2α)β=2αβ=251.答案：412519.已知x 31+x31-=4，求（1）x+x -1，（2）x 21+x21-的值.分析:题中（1）x+x -1是(x 31)3+(x31-)3可以用立方和公式求解，同时知道x 值是正数.求出x+x-1后再反用完全平方公式就能找到求x 21+x 21-的途径.解：（1）∵x 31+x 31-=4,∴x+x -1=(x 31+x 31-)(x 32-1+x32-)=(x 31+x31-)［(x 31+x31-)2-3］=4(42-3) =52.（2）∵x>0,∴x 21+x 21->0.∵x+x -1=52, ∴x 21+x21-=22121)(-+xx =12-++x x =6354252==+.10.已知a<b<0，n>1,n∈N *,化简n n b a )(-+n n b a )(-.分析:由a 的n 次方根的概念，对于根指数n ，要区分它为正偶数和正奇数的情况，增强分类讨论的意识.特别是正偶数的情况，开方以后的结果要带有绝对值符号，再根据已知条件去掉绝对值符号.解：当n 是奇数时，原式=(a-b)+(a+b)=2a;当n 是偶数时，原式=|a-b|+|a+b|=(b-a)+(-a-b)=-2a. 所以n n b a )(-+n n b a )(- =⎩⎨⎧-.,2,,2为偶数为奇数n a n a11.已知x 21+x 21-=3，求23222323-+-+--x x x x 的值. 分析:已知条件x 21+x21-=3较为复杂，需要整理后再使用，同时注意对平方差（和）、立方差（和）等常用公式的识别. 解：∵x 21+x 21-=3，∴(x 21+x 21-)2=9,即x+x -1=7.∵x 23+x 23-=(x 21+x 21-)(x-1+x -1),∴x 23+x23-=3×(7-1)=18.∵x 2+x -2=(x+x -1)2-2=47, ∴原式=314515247318==--.我创新,我超越12.如图3-1-1，P 1是一块半径为1的半圆形纸板，在P 1的左下端剪出一个半径为21的半圆形纸板P 2，然后依次剪出一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）形纸板P 3，P 4，…，P n ，则P n 的半径r n 是__________.图3-1-1解析：由已知可得r 1=（21）0，r 2=（21）1，r 3=（21）2，r 4=（21）3，依次类推r n =（21）n-1.答案：（21）n-113.化简: （1）246-; （2）154-.分析:（1）题中246-的小根号前是-4，化为-2得826-，容易找到4+2=6,4×2=8；（2）中154-小的根号前没有2，变出2得154-=21528-，而5+3=8,5×3=15. 解：（1）原式＝22)2(2222+•⨯- =22|22|)22(2-=-=-.（2）原式＝21528- =2)3(352)5(22+••-=2)35(- =2|35|-=235-=2610-.14.已知2x=a 21+a21-(a ＞1),求1122---x x x 的值.分析:思路一是直接代入求值,比较烦琐,思路二是注意观察研究规律:(x+12-x )(12--x x )=1,先从化简表达式入手.在分数指数幂的运算中,还要注意公式的变式使用,如a 21+b 21=2121ba b a --,a+b=(a 31+b 31)(a 32-a 31b 31+b 32)等.解法一:∵(2x)2=(a 21+a 21-)2=a+2+a -1,∴x 2=41a+21+41a -1. ∴x 2-1=41a 21-+41a -1=41(a 21-a 21-)2.∴1-x 2=21(a 21-a 21-).∴原式=)(21)(21)(21212121212121-----+-a a a a a a =212212121-=---a aa a . 解法二:)1)(1()1(111222222-+---+-=---x x x x x x x x x x=1)1(122-+-x x x=21×21(a 21+a 21-)(a 21-a 21-)+41a 21-+41a -1=41(a-a -1)+41a 21-+41a -1 =21-a .。

新课标人教版数学B ·必修（1）第三章基本初等函数(Ⅰ) 3．1指数与指数函数 3．1．1有理指数幂及其运算教学目标：根式、分数指数幂的概念以及利用分数指数的运算性质进行指数的运算． 教学重点：分数指数幂的概念和分数指数的运算性质．本小节的难点是根式的概念和分数指数幂的概念．关键是理解分数指数幂和根式的意义． 教学过程：（1）指数概念的扩充：指数的概念是由乘方概念推广而来的。

相同因数相乘个n a aaa ⋅⋅⋅=n a 导出乘方，这里的n 为正整数。

从复习初中内容开始，首先将n 推广为全体整数；然后把乘方、开方统一起来，推广为有理指数；最后，在实数范围内建立起指数概念.（2）分数指数幂是根式的另一种表示，根式的运算可利用分数指数幂与根式之间的关系转化为分数指数幂的运算．对于问题计算化简的结果，不强求统一用何种形式来表示．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．（3）随着指数范围的扩充，幂的运算性质逐步合并且简化．正整数指数幂的运算性质如下： ①； ②；③；④；⑤．当指数的范围扩大到整数集之后，幂的运算性质可由5条合并为3条，即：①； ②； ③．这3条性质都要遵守零指数幂、负整数指数幂的底数不能等于0的规定． 当指数的范围扩充到有理数集以至实数集后，幂的运算性质仍然是上述3条，但要遵守负实数指数幂的底数不能等于0的规定．（4）例1:先化简再用计算机求值（1）4.1213.2)549(+- （2）11(22--+-+m m m m （其中3.8=m ）例2：已知：22121=+-aa 求下列各式的值（1）22-+a a ；（2）33-+a a ；（3）44-+a a .例3：化简：332ba ab b a 课堂练习：第97页练习A,练习B小结：本节学习了根式、分数指数幂的概念以及利用分数指数的运算性质进行指数的运算．课后作业：第100页习题3-1A 第1题3．1．2指数函数（1）教学目标：1.使学生掌握指数函数的概念,图象和性质.(1)能根据定义判断形如什么样的函数是指数函数,了解对底数的限制条件的合理性,明确指数函数的定义域.(2)能在基本性质的指导下,用列表描点法画出指数函数的图象,能从数形两方面认识指数函数的性质.2. 通过对指数函数的概念图象性质的学习,培养学生观察,分析归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法.教学重点：指数函数的图象、性质。

第三章基本初等函数(Ⅰ)本章概览内容提要1.本章是在上一章学习函数及其性质的基础上,具体研究指数函数、对数函数、幂函数这三个高中阶段重要的函数.这是高中函数学习的第二个阶段,目的是在这一阶段获得较为系统的函数知识,并逐步培养函数应用意识,为今后的学习打下坚实的基础,同时使学生对函数的认识由感性上升到理性.可以说这一章起到了承上启下的作用,本章所涉及的一些重要思想方法,对掌握基础的数学语言,学好高中数学起着重要的作用.2.本章共包括四个单元.第一单元为“指数与指数函数”,包含有理指数幂及其运算.从初中学过的整数指数幂概念及运算推广到分数指数幂和无理指数幂及其运算.通过具体实例,引出指数函数,并进一步研究指数函数的图象、性质和应用.第二单元为“对数与对数函数”,包含对数式的基本运算,对数函数的图象、性质及应用.讲解了指数函数与对数函数的关系,通过指数函数与对数函数的对比,指出了它们在定义域、值域等方面的异同,引出了原函数与反函数的关系.第三单元为“幂函数”,给出了幂函数的图象、性质及应用.第四单元为“函数的应用(Ⅱ)”,主要是将实际问题转化成数学问题,建立数学模型.此外,通过实习作业,进一步感受基本初等函数模型的应用.3.重点和难点:幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质的应用是本章的重点.要结合图象记忆性质,通过类比观察异同,通过训练提高能力.函数的实际应用是本章的难点,从问题中观察规律,抽象出数学模型实现突破.4.本章主要体现的数学思想方法有:数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想、转化与化归思想、有理数逼近无理数思想、理论与实践结合思想,在学习过程中要逐步体会、把握,形成自己的数学思维习惯.学法指导1.在指数与对数的运算过程中，不但要熟悉指数与对数的运算法则，而且还要注意:(1)进行指数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数进行运算,可以达到化繁为简的目的.(2)指数式对数化、对数式指数化是解决指数式或对数式有关问题的重要手段.(3)利用对数的换底公式可把不同底数的对数化成同底数的对数,这是解决对数问题的基本思想方法.2.利用指数函数与对数函数的单调性可以求函数的最值,还可以比较两个实数的大小以及解不等式,这里要注意有字母的要讨论,特别是在研究对数函数有关的问题时要注意函数的定义域.3.指数函数、对数函数的图象和性质是考查的重点,应熟练掌握图象的画法及形状,记熟性质,特别注意底对图象和性质的影响,并注意数形结合思想及化归思想的应用.4.学习本章要注意:(1)从实际出发,由感性认识上升到理性认识.(2)运用对比的方法区别记忆.(3)通过函数的图象观察其性质,注意区别底数的不同范围带来的变化.(4)通过训练,加强对知识的理解和识记,提高解决问题的能力.3.1 指数与指数函数3.1.1 有理指数幂及其运算课前导引情境导入世界第一高峰——珠穆朗玛峰,海拔8 844.43米.在数学课堂上老师说:“别看一张白纸只有0.01 cm 厚,但将它对折30次后,此时纸的厚度就会远远超过珠穆朗玛峰的高度!”大多数同学不相信,而你认为这是事实吗?知识预览1.幂的指数是正整数,这样的幂叫做正整数指数幂.2.正整数指数幂的运算法则是a m ·a n =a m+n ;(a m )n =a mn ;n ma a =a m-n (m>n,a≠0);(ab)m =a mb m . 3.规定零的指数幂和负整数指数幂a 0=1(a≠0);a -n =n a 1(a≠0,n∈N *). 4.若x n =a(a∈R ,n>1,n∈N *),则x 叫做a 的n 次方根;求a 的n 次方根称作开方运算;正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根,n a 叫根式,n 叫根指数.5.根式的性质(1)(n a )n =a(n>1且n∈N *); (2)n n a =⎩⎨⎧.|,|,,为偶数为奇数n a n a6.正分数指数幂可定义为a n 1=n a (a>0),a n m =(n a )m (a>0,m 、n∈N *,且nm 为既约分数). 7.负分数指数幂可定义为a n m-=nma 1(a>0,m 、n∈N *,且n m 为既约分数). 8.有理数指数幂的运算法则a α·a β=a α+β;(a α)β=a αβ;(ab)α=a αb α. ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧性质定义分数指数幂要式的定义方根的定义分数指数幂负整数指数零指数性质定义整数指数幂有理指数幂。

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3.1.1 实数指数幂及其运算教学建议1。

讲授新课时可先复习初中学过的整数指数幂的概念及运算.对于指数幂a n ，当指数n 扩大到有理数时,要注意底数a 的变化范围。

如当n=0时，底数a≠0，当n 为负整数指数时,底数a≠0;当n 为分数时,底数a>0。

同时注意使学生通过练习掌握根式的运算顺序,先把根式化成分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算.注意符号的确定和检验。

遵循以下原则:在实数范围内,正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，零的奇次方根是0；在实数范围内,正数的偶次方根是两个绝对值相等且符号相反的数,零的偶次方根是0，负数的偶次方根无意义.2。

讲授本节内容要结合对比法，揭示其内涵与外延及其与旧概念的联系.运用有理指数幂运算性质进行化简、求值.要掌握解题技巧,如凑完全平方、录求同底幂等方法.让学生注意幂的运算性质的掌握,切实理解和熟练掌握并明确区分公式：n n a )(=a(n∈N *且n>1);与n n a =⎩⎨⎧.|,|,,为偶数为奇数n a n a 备用习题1。

由实数x ，—x ，｜x ｜,2x ，-33x 所组成的集合，最多有个________元素。

3.1.1 有理指数幂及其运算课堂导学三点剖析一、有理指数幂的计算【例1】计算:(972)0.5+0.1-2+(27102)32--3π0+4837, 解析：原式=(925)21+21.01+(2764)32--3+4837=35+100+169-3+4837=100. 温馨提示利用分数指数幂的运算性质进行运算,需先化简,直至计算出最简结果,要在记准、记熟运算性质的基础上,结合具体问题灵活地运用. 二、有理指数幂运算法则的应用【例2】化简:323131323134248ab a b b a a ++-÷(321ab-)×3a . 解析：原式=313131313231313231224)8(a ab a ab a b b a a ⨯-÷++-=313131313231313232313132313131224)42)(2(a ba aab a b b a b a b a a ∙-⨯++++-=a a a a =∙∙313131.温馨提示(1)本题化简的关键是a-8b=(a 31)3-(2b 31)3=(a 31-2b 31)×(a 32+2a 31b 31+4b 32).(2)在指数式运算中,根式的化简,一般先化为分数指数幂,利用幂的运算法则进行运算与化简,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式. 三、有理指数幂运算法则的综合应用 【例3】(1)比较5,311,6123的大小;(2)已知a 21+a 21-=3,求21212323----aa a a 的值.思路分析：(1)因根指数都不相同,应化成统一的根指数,再进行比较. (2)将所求式子化简,便可找到所求与条件的联系. 解:(1)∵5=635=6125,311=6211=6121,又∵121<123<125,∴6121<6123<6125. ∴5>6123>311. (2)∵21a +a21-=3,∴平方得a+a -1=7.∴21212323----aa a a =212112121)1)((----++-aa a a a a =a+a -1+1=8.温馨提示(1)根式比较大小,当根指数相同时,只需比较被开方数的大小,被开方数大的根式的值大;当根指数不尽相同时,应先化成同次根式,再比较它们的大小. (2)分析所求与条件的关系,抓联系,消差异,促转化. 各个击破 类题演练1计算:(1)33)8(-;(2)2)10(-;(3)44)(b a -(a>b);(4)(0.02732)-1.5. 解析：(1)33)8(-=-8;(2)2)10(-=10;(3)44)(b a -=|a-b|=a-b(a>b);(4)(0.02732)-1.5=0.0923-=2309.01=271000. 变式提升1计算:(0.064)31--(87-)0+［(-2)3］34-+16-0.75+0.0121.解析：原式=31064.01-1+(-2)-4+43161+0.1=4.01-1+161+81+0.1=25-1+161+81+101=80143.类题演练2 化简:31313131yx y x yx y x ++---.解析：原式=31313231313231313131323131323131))(())((yx y y x x y x yx y y x x y x ++-+--++-=(x 32+x 31y 31+y 32)-(x 32-x 31y 31+y 32) =2x 31y 31. 变式提升2 化简:313315383327----÷÷a a a a a a.解析：原式=3212353832327----∙÷∙÷∙aa a aa a=323732-÷÷a a a=a 32÷a 67-÷a 32-=a6732-÷a32-=a21-÷a32-=a3221+-=a 61.类题演练3 已知x 21+x21-=3,求23222323-+-+--x x x 的值. 解析：由x 21+x 21-=3,两边平方得x+x -1=7,再平方得x 2+x -2=47.又x23-+x23-=(x 21+x21-)(x-1+x -1)=3×6=18, 故23222323-+-+--x x x x =247318--=31.变式提升3已知a 、b 是方程x 2-6x+4=0的两根,且a>b>0,求ba b a +-的值.解析：∵a、b 是方程x 2-6x+4=0的两根,∴⎩⎨⎧==+ 4.ab 6,b a∵a>b>0, ∴b a >,(b a b a +-)2=abb a ab b a 22++-+=426426+-=51.∴ba b a +-=51=55.最新中小学教案、试题、试卷。