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28.1锐角三角函数-正弦

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初中数学 九年级下册 28-1 锐角三角函数(教学课件)

初中数学 九年级下册 28-1 锐角三角函数(教学课件)

∵ ∠C=90°，∠A=45°∴ BC=AC=2
由勾股定理得AB=
+ =2 ∴cos A=


=


=



变式2-2 Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝6cm，那么BC等于_____．
在 △ 中，∵ =
∴
，

=





A．
B．
C．

D．
【详解】作AB⊥x轴交x轴于点B，
∵A（3，4），∴AB=4，BO=3，∴AO= AB 2 + BO2 = 42 + 32 =5，
B
AB 4
= .故选C.
AO 5
∴sinα =
变式1-2 把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（）
A．不变
B．缩小为原来的
在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，
不管三角形的大小如何，它的对边与斜边的比是一个固定值.
′′
与
’
′′
01
锐角三角函数-正弦
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作：sinA.
即 sin A=
∠所对的边
斜边
=
B


斜边
c
a 对边
∠所邻的边
斜边
B
=


斜边
c
A
正弦和余弦的注意事项：
b
邻边
a 对边
C
1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。
2.sinA、cosA是一个比值（数值，无单位）。

人教版九年级数学下册第二十八章《28.1 锐角三角函数1 正弦、余弦》优课件(共18张PPT)

人教版九年级数学下册第二十八章《28.1 锐角三角函数1 正弦、余弦》优课件(共18张PPT)

sin 60°= 3 2
cos 60°=
1 2
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
B
∠A+ ∠B ＝90°
sinA = BC
┌
AB
cosB = BC AB
A
C
(1) sinA = cos(90 °－A）= cosB =
BC
(2) 0＜sinA＜1， 0＜cosB＜1
AB
(3) sin2A=( BC )2 AB
等于1吗？为什么？
可以大于1吗？
┌ 不同大小的两个锐角的正弦值
A
C 可能相等吗？
对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一的确定的 值与它对应，所以sinA是A的函数。
已知sinA＝ 3 ，那么锐角A等于___6_0_°__。 2
锐角A满足2sin（A－15 °）＝1，那么∠A＝_4_5_°_.
想一想比一比
新人教版九年级数学(下册)第二十八章
§28.1 锐角三角函数（1）
——正弦、余弦
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
B
角：∠A+ ∠B ＝90°
勾股定理
┌
A
C 边：AC2 + BC2 = AB2
在直角三角形中，边与角之间有什么关系呢？
实践与探索
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， BC＝35，求AB。 根据：“在直角三角形中， 30°角所对的边等于斜
一个固定值；
2
一般地，当∠ A取其它一定度数的锐角时，它的对边 与斜边的比是否也是一个固定值呢？
这也就是说，
在直角三角形中， 当锐角A的度数一 定时，不管三角形 的大小如何，∠A 的对边与斜边的比 是一个固定值。

正弦

正弦

第二十八章锐角三角函数28.1 锐角三角函数第1课时正弦1.了解直角三角形中一个锐角固定，它的对边与斜边的比也随之固定的规律.2.理解并掌握锐角的正弦的定义.3.能初步运用锐角的正弦的定义在直角三角形中求一个锐角的正弦值.阅读教材P61-63页，自学两个“思考”、“探究”及“例1”.自学反馈学生独立完成后集体订正①在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c;∠A的对边与斜边的比叫做∠A 的，即sinA= .②在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a=3、b=4，则sinB= .③在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则sinA=()()= .④在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，则sinA=()()= .⑤在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，则sinA=()()= .正弦值的讨论前提是在直角三角形中，当锐角度数一定时，它的对边与斜边的比是一个定值.活动1 小组讨论例1如图，求sinA和sinB的值.解:在Rt△ABC中，22AC BC+2253+34∴sinA=BCAB34334.∴sinB=ACAB=534=53434.正弦值是锐角的对边与斜边的比，所以应该先用勾股定理求出斜边，再求正弦值.活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=2BC，则sinA的值是.2.在Rt△ABC中，各边的长度都扩大为原来的3倍，那么锐角A的正弦值.3.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2,sinA=23,则求AC的长.第2小题可以在方格内构造直角三角形，体会在直角三角形内，锐角度数一定时，其对边与斜边的比也是定值，即是此锐角的正弦值；第5小题连结OA，构造直角三角形.活动1 小组内讨论交流并展示解题思路和解题要点例2 在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且a∶b∶c=3∶4∶5，求证:sinA+sinB=7 5 .证明:设a=3k,b=4k,c=5k，∵a2+b2=(3k)2+(4k)2=25k2，c2=(5k)2=25k2，∴a2+b2=c2.∴∠C=90°.∴sinA=ac=35kk=35,sinB=bc=45kk=45.∴sinA+sinB=35+45=75.此题并没有直角，所以不能直接用正弦来做，需要先用勾股定理的逆定理证得直角，再用正弦的知识来做.活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上，则A、B间距离为多少？2.若长5米的梯子靠在墙上，使A、B间距为2.5米，则倾斜角∠CAB为多少度？3.点P(2，4)与x轴的夹角为α，则sinα= .4.在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，∠C是直角，求证:sin2A+sin2B=1.活动3 课堂小结1.求一个锐角的正弦值一定要放到直角三角形前提中去，若没有直角三角形，可通过作垂线构造直角三角形.2.互余的两个锐角的正弦值的平方和等于1.3.在直角三角形中，可根据锐角度数求出直角边与斜边的比值，也可以通过直角边与斜边的比值求出直角边所对的角的度数.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.【预习导学】自学反馈①正弦a c②4 5③BCAB12④BCAB32⑤BCAB22【合作探究1】活动2 跟踪训练1.5 52.不变5【合作探究2】活动2 跟踪训练1.5·sin50°米2.60°254.提示：∵sin2A+sin2B=222a bc,a2+b2=c2，∴sin2A+sin2B=1。

28.1 第1课时 正弦函数

28.1 第1课时 正弦函数
解：如图，作PA垂直于x轴于点A，则A（3，0）且P（3，4） ∴OA＝3，PA＝4 在Rt△APO中，∠OAP＝90°
∴ OP OA2 AP2 32 42 5.
∴ sin AP 4 .
A
OP 5
归纳 结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点 向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解.
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第1课时 正弦函数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形的锐角固定时， 它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）(重点)
2.能根据正弦概念正确进行计算．(重点、难点)
导入新课 情境引入
学案37页新课导入
当堂练习
学案39页反馈
7.在 Rt△ABC中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100 倍，sinA
的值 ( C ) A.扩大100倍
B.缩小
1 100
C.不变
D.不能确定
8.在 Rt△ABC 中，∠C = 90 °，若 sinA =
2 2
，则∠A＝
45°，
∠B＝ 45° .
二 已知锐角的正弦值求直角三角形的边长 学案39页反馈9
典例精析
例3 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A 1 ，BC=3，求 3
sinB及Rt△ABC的面积.
解析：已知sinA 及∠A的对边BC的
B
长度，可以求出斜边AB的长.然后
再利用勾股定理，求出BC的长度， A 进而求出sinB及Rt△ABC的面积.
AB 5
AB 5
如图②，在Rt△ABC中， ∠C=90°

正弦 (专题讲解)精品课件

正弦 (专题讲解)精品课件

15．(10 分)在 Rt△ABC 中，有两条边 5，12，求两锐角的正弦值．
解：①当 5，12 为直角边时，则斜边为 13. 12 5 两锐角的正弦值分别为13，13. ②当 5 为直角边，12 为斜边时，则另一直角边为 119， 5 119 两锐角的正弦值分别为12， 12
16．(10 分)如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 BC 边上的点，AE＝BC， DF⊥AE，垂足为 F，连接 DE. (1)求证：△ABE≌△DFA； (2)如果 AD＝10，AB＝6，求 sin∠EDF 的值．
解：(1)证明：在矩形 ABCD 中，BC＝AD，AD∥BC，∠B＝90°，∴∠ DAF＝∠AEB，∵DF⊥AE，AE＝BC，∴∠AFD＝90°＝∠B，AE＝AD，∴ △ABE≌△DFA (2) 由 (1) 知 △ABE≌△DFA ， ∴ AB ＝ DF ＝ 6 ， 在 Rt △ ADF 中 ， AF ＝ AD2－DF2＝ 102－62＝8，∴EF＝AE－AF＝AD－AF＝2，在 Rt△DFE 中， EF 2 10 DE＝ DF ＋EF ＝ 6 ＋2 ＝2 10，∴sin∠EDF＝DE＝ ＝ 2 10 10
2 2 2 2
【综合运用】 17．(12 分)网格中的每个小正方形的边长都是 1，△ABC 每个顶点在网格 的交点处，求 sinA 的值．
解：作 AD⊥BC 于 D，CE⊥AB 于 E，由勾股定理得 AB＝AC ＝2 5，BC＝2 2，AD＝3 2，由 BC·AD＝AB·CE， 6 5 2 2×3 2 6 5 5 CE 3 得 CE＝ ＝ 5 ，sinA＝AC＝ ＝5 2 5 2 5
3 7．(3 分)在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝6，sinA＝5，则 AB＝( C ) A．8 B．9 C．10 D．12

锐角三角函数教案

锐角三角函数教案

∠A 的对边与临边的比呢？引入新课：锐角三角函数
（2） 二、出示目标： 今天的学习目标是什么呢？ 学习目标 1.理解当直角三角形的锐角固定时，它的临边与斜边、对 边与临边的比值都是固定的(即余弦值与正切值不变)。 2.能根据余弦和正切的概念熟练的进行计算。 三、自学指导： 师：怎样才能达到今天的学习目标呢？上节课我们有 了学习正弦的基本方法，相信大家本节课一定能学的更好， 请同学们认真看自学指导： 自学指导 认真看课本（P77-P78 练习前）注意: 1、余弦是直角三角形的哪两个边的比值，它与正弦的 区别与联系是什么？ 2、正切是哪两个边的比值？ 3、正弦值、余弦值、正切值有单位吗？为什么？ 4、仔细琢磨：sinA 为什么是 A 的函数？cosA、tanA 呢？ 5、 锐角 A 的锐角三角函数是怎样定义的？
6、思考讨论：根据正弦、余弦的定义，请你说一下它 们的取值范围，正切的范围和正弦、余弦的范围一 样吗？为什么？ 8 分钟后，比谁能准确的回答上述问题，然后创造 性地做出例题和与例题类似的习题。 四、先学。 1、学生看书，教师巡视，师督促每一位学生认真的自 学，关注每位学生自学的情况。 2、检测：师：同学们，请停止自学。对自学指导的 问题都会了的请举手。 若都举手，则教师表扬。若有人不举手，则提问：哪 道题不会？请会的同学帮助， 能讲的举手。 让学生说，
（1） 指名回答上述“思考”中的问题； （2） 举手板演“探究”中的问题。 （3） 指名回答“正弦”的定义。 （4）演板 P76 五、后教。 （一）引导学生回答锐角三角函数的表示方法：三个字母 表示角如∠AOB，一个字母表示角如∠A，,具体的角度如 19° 分别表示为：sin∠AOB, sin∠A, sin19° （二）自由更正 请同学们仔细看一看黑板上的板演，发现错误并能 更正的同学请举手。 （三）讨论、归纳。 （1） 求一个角的正弦值时， 必须把这个角放在直角三角形中， 并且求出这个角的对边与斜边。 （2） 当一个锐角固定时，它的正弦值也是固定的。即：某 例 1， P77 练习

28.1锐角三角函数-正弦(教案)

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“正弦函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
28 .1锐角三角函数-正弦（教案）
一、教学内容
本节课选自教材《数学》八年级下册第28章“锐角三角函数”中的第1节“正弦”。教学内容主要包括以下几部分：
1.锐角三角函数的定义：介绍锐角三角函数的概念，以直角三角形为载体，让学生理解正弦函数的定义。
2.正弦函数的表达式：推导并讲解正弦函数的表达式，即正弦函数等于锐角三角形中对边与斜边的比值。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了正弦函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对正活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解正弦函数的基本概念。正弦函数是指在直角三角形中，锐角的对边与斜边的比值。它是解决三角形相关问题的重要工具，尤其在测量和工程领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过测量一个物体在地面上的影子长度，我们可以使用正弦函数计算出物体的高度。这个案例展示了正弦函数在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.正弦函数的性质：讲解正弦函数在0°~90°锐角范围内的变化规律，了解正弦函数的单调递增性。

《28.1锐角三角函数正弦》教学设计

《28.1锐角三角函数正弦》教学设计湖北省团风县贾庙中学漆金华一、教材简析：本章的主要内容是让学生初步掌握三角函数的概念和用边角关系解直角三角形的方法。

锐角三角函数概念是本章的难点，也是学习本章的关键，难点在于锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间的对应关系。

学生学习这一内容有一定的难度，需要借助实际问题来引入三角函数这一概念，并能使学生掌握运用三角函数的知识来解决实际问题的能力。

二、教学方法：（一）、运用类比教学，结合已学的基础知识，如一次函数、反比例函数、二次函数等知识内容，让学生理解三角函数的概念含义。

（二）、运用数形结合，借助直角三角形的性质，将实际问题抽象成具体的、学生容易接受的数学问题，运用三角函数和几何图形中的边角关系，使实际问题以图形形式直观形象地呈现，从而达到问题解决目的。

（三）、运用转化对象，将抽象的数学应用问题转化为数学模型，把学生难懂的问题转化为易于接受的简单的问题加以解决。

三、教学目标（一）、知识目标1、通过对实际问题的探究，使学生能正确理解三角函数定义及正弦函数的概念。

2、理解在直角三角形中，当锐角度数一定时，这个角的对边与斜边的比值是固定的值。

（二）、能力目标1、使学生能正确理解正弦函数定义，并能根据正弦函数定义正确进行相关计算。

2、结合对正弦函数定义的探究，培养学生由特殊到一般的演绎推理、分析、归纳的综合学习能力。

（三）、情感与态度目标引导学生积极主动探究数学问题，培养学生学会思考，掌握归纳数学规律的方法。

四、教学重难点（一）、重点：正确理解正弦函数的概念，会根据边长求出正弦值，或根据正弦值及一边长，求另一边的长等应用题。

（二）、难点：引导学生比较、分析并得出：在直角三角形中，任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定的事实。

五、教学设计教学内容教师活动学生活动设计意图一、情景导入大家知道我们贾庙中学教学楼有多高么？（运用多媒体演示）教师提出问题，引导学生思考。

学生通过观看多媒体的演示，思考老师提出的问题。

28.1锐角三角函数定义纯知识点

28.1 锐角三角函数知识点一、锐角三角函数的定义我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦把∠A的对边与邻边的比叫做正切注：（1）正弦、余弦、正切函数反映里直角三角形边角之间的关系，是两条线段的比值，没有单位。

锐角三角函数值只与锐角的大小有关，与三角形的边的长短无关，即与三角形的大小无关。

（2）表示某个角的三角函数时，可直接将角的名称或度数写在符号（“sin”、“cos”、“tan”）后面。

如sin∠ABC，sin∠1，sin60°等。

若角的名称是用一个大写字母或一个小写希腊字母表示的，在表示它的三角函数时，习惯省略“∠”的符号，如“sinA，sinα”等。

（3）三角函数的乘方运算，“（sinA ）n”可简写为“sin n A”（4）锐角三角函数只能在直角三角形中应用。

（5）锐角三角函数的取值范围：0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA ＞0知识点三、求锐角三角函数值的方法（1）直接利用定义求值：当已知条件为直角三角形的两边长时，利用勾股定理可求第三边长，依据三角函数的定义，直接代入求值。

（2）根据特殊角的三角函数值求值，关键要熟记30°，45°，60°角的三角函数。

（3）求等角的三角函数值：当直接用三角函数的定义求某锐角的三角函数值有困难时，可通过转化求等角的三角函数值。

（4）设参数求三角函数值：当已知某两条线段的比或某一三角函数值，可设参数求解。

知识点四、锐角三角函数的增减性当锐角的度数在0°~90°之间变化时，其正弦值、正切值随角度的增大（或减小）而增大（或减小），其余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）。

锐角三角函数 正弦

问题与情境
师生行为与设计意图
活动7课后作业：
1．在Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，AB=2，AC=1，则sinB的值是.
2．在Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，AB=5，AC=4，则sinA的值是.
3．在Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，AC=6，BC=8，则sinB的值是.
4．在直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比值是（）
老师抓住∠A的对边与斜边的比，给出正弦的定义，并在黑板上板书这节课的课题。
28．1锐角三角函数——正弦
并对正弦的定义加以强调。
（1）sinA表示∠A的正弦，角的符号可省略，但用三个大写字母表示角时不可省略，例sin∠ABC
(2)sinA是在直角三角形中给出的定义，它是个比值。
（3）sinA是一种函数。并指出它的自变量和因变量。
解决问题
从特殊三角形入手，经历从发现到解决直角三角形中的一个锐角所对应的对边与斜边之间的关系过程，体会从特殊到一般的数学方法．
情感态度
在解决问题的过程中体验求索的科学精神以及严谨的科学态度。
重点
锐角的正弦的定义
难点
理解直角三角形中一个锐角与其对边及斜边比值的对应关系
教学流程安排
活动流程图
活动内容和目的
A．小于0 B．大于1 C．可以等于1 D．大于0且小于1
5．在Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，BC=2，sinA= ,则AC等于（）
A． B．3 C． D．
6．如图所示，求sinD,sinE值.
7.在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=8，求sinB的值.
8.如图所示，CD、BE是锐角三角形ABC的两条高，如果CD : BE=3 : 2，
求sin∠ABC : sin∠ACB的值。
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2
a 3 6.在 Rt△ABC中, b 3
B
c
a
1 2 则sin∠A=___.
A
b
C
想一想
1、如图, ∠C=90°CD⊥AB. sinB可以由哪两条线段之比? 若ＡC=5,CD=3,求sinB的值.
A
C
┌ D
B
求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可 以转化为求和它相等角的正弦值。
3、已知在Rt△ABC中,∠C=900,D是BC中 点,DE⊥AB,垂足为E,
4 sin∠BDE= ,AE=7,求DE的长. 5
A E
B
D
C
小结
1.锐角三角函数定义: sinA= Sin300
∠A的对边 斜边 A 斜边
B
∠A的对边 ┌ C
1 = 2
sin45°=
2 2
2＜90°），sinA都有唯 一确定的值与之对应。
2
探究
任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝
BC 90°，∠A＝∠A'＝α，那么 AB
有什么关系．你能解释一下吗？
B
B' C' 与 A' B '
B'
A
C
A'
C'
这就是说，在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何， ∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．
正 弦 函 数
，你能得出什么结论？
B
A
C
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比 值都等于
1 2
思考
如图，任意画一个Rt△ABC， 使∠C＝90°，∠A＝45°，
BC AB
A
计算∠A的对边与斜边的比 你能得出什么结论？
，
C
B
结论：即在直角三角形中，当一个锐角等于 45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这 个角的对边与斜边的比都等于 2
28.1锐角三角函数-正弦
Rt△ABC，直角∠C所对的边AB称为斜 边，一般用c表示，另两条直角边分别叫 ∠A的对边与邻边，用a、b表示.
对于∠B来说直角 边a,b又可以称作 什么呢?
直角边
a
直角边
b
如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°， ∠A＝30°，计算
BC AB
∠A的对边与斜边的比
2 sin A sin 45 2
∠C的对边记作c
例 题 示 范
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求 B sinA和sinB的值．
3
A
C
4
求sinA就是要确定∠A的对边 与斜边的比；求sinB就是要 确定∠B的对边与斜边的比。
例2.如图,在Rt △ABC中,
∠C=90°,AB=13,BC=5 求sinA和sinB的值.
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sin），记住 sinA 即
B 对边 a b C
A的对边 a sin A 斜边 c

c 斜边 A 在图中
特别的，当∠A＝30°时，我们有
1 sin A sin 30 2
当∠A＝45°时，我们有
∠A的对边记作a ∠B的对边记作b
A B 13
5
C
例3、如图，在△ABC中， AB=AC=5， A sinB=4/5， 求△ABC 的面积。
B D 5 5
C
∟
4.在平面直角平面坐标系中,已知点A(3,0) 4/5 和B(0,-4),则sin∠OAB等于____ 5.在Rt△ABC中,∠C=900,AD是BC边上的中 2 线,AC=2,BC=4,则sin∠DAC=_____.