高中数学苏教版选修1-1学业分层测评：第3章 导数及其应用 3.2.2含解析

学业分层测评(二十)　导数在实际生活中的应用(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的距离为s ＝t 3－2t 2，那么43速度为24的时刻是________秒末.【解析】　由题意可得t ≥0，且s ′＝4t 2－4t ，令s ′＝24，解得t ＝3(t ＝－2舍去).【答案】　32.已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－x 3＋81x －234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为13________万件.【解析】　令y ′＝－x 2＋81＝0，解得x ＝9或x ＝－9(舍去).f (x )在区间(0,9)内是增函数，在区间(9，＋∞)上是减函数， ∴f (x )在x ＝9处取最大值.【答案】　93.已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少________米.【解析】　设广场的长为x 米，则宽为米，于是其周长为y ＝240000x(x ＞0)，(x ＋40000x)所以y ′＝2，令y ′＝0，(1－40000x 2)解得x ＝200(x ＝－200舍去)，这时y ＝800.当0＜x ＜200时，y ′＜0；当x ＞200时，y ′＞0.所以当x ＝200时，y 取得最小值，故其周长至少为800米.【答案】　8004.要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm.要使其体积最大，则高为________.【解析】　设圆锥的高为h cm(0＜h ＜20)，则圆锥的底面半径r ＝ 202－h 2(cm)，400－h 2V ＝V (h )＝πr 2h ＝π(400－h 2)h ＝π(400h －h 3)，∴V ′＝π(400－3h 2)，13131313令V ′＝π(400－3h 2)＝0，13解得h ＝.2033由题意知V 一定有最大值，而函数只有一个极值点，所以此极值点就是最大值点.【答案】　cm335.要做一个底面为长方形的带盖的盒子，其体积为72 cm 3，其底面两邻边边长之比为1∶2，则它的长为________、宽为________、高为________时，可使表面积最小.【解析】　设底面的长为2x cm ，宽为x cm ，则高为 cm ，表面积S ＝2×2x ·x ＋2×x ·＋2×2x ·＝4x 2＋(x ＞0)，36x 236x 236x 2216x S ′＝8x －，由S ′＝0，得x ＝3，x ∈(0,3)时，S ′＜0，x ∈(3，＋∞)时，216x 2S ′＞0，∴x ＝3时，S 最小.此时，长为6 cm ，宽为3 cm ，高为4 cm.【答案】　6 cm 3 cm 4 cm6.(2016·四川高考改编)设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝Error!图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是________.【导学号：24830092】【解析】由图象易知P 1，P 2位于f (x )图象的两段上，不妨设P 1(x 1，－ln x 1)(0<x 1<1)，P 2(x 2，ln x 2)(x 2>1)，则函数f (x )的图象在P 1处的切线l 1的方程为y ＋ln x 1＝－(x －x 1)，1x 1即y ＝－＋1－ln x 1.①xx 1则函数f (x )的图象在P 2处的切线l 2的方程为y －ln x 2＝(x －x 2)，即1x 2y ＝－1＋ln x 2.②xx 2由l 1⊥l 2，得－×＝－1，1x 11x 2∴x 1x 2＝1.由切线方程可求得A (0,1－ln x 1)，B (0，ln x 2－1)，由①②知l 1与l 2交点的横坐标x P ＝＝.2－ln x 1－ln x 21x 1＋1x 22x 1＋x 2∴S △PAB ＝×(1－ln x 1－ln x 2＋1)×122x 1＋x 2＝＝.2x 1＋x 22x 1＋1x 1又∵x 1∈(0,1)，∴x 1＋>2，1x 1∴0<<1，2x 1＋1x 1即0<S △PAB <1.【答案】　(0,1)7.内接于半径为R 的球且体积最大的圆柱体的高为________.【解析】　设圆柱的高为2h ，则底面圆的半径为，R 2－h 2 则圆柱的体积为V ＝π(R 2－h 2)·2h ＝2πR 2h －2πh 3，∴V ′＝2πR 2－6πh 2.令V ′＝0，解得h ＝R .∵h ∈时，V 单调递增，h ∈时，33(0，33R)(33R ，R)V 单调递减，故当h ＝R 时，即2h ＝R 时，圆柱体的体积最大.33233【答案】　R338.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q ，则销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8300－170p －p 2.则最大毛利润(毛利润＝销售收入－进货支出)为________.【解析】　设毛利润为L (p )，由题意知L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20)＝(8300－170p －p 2)(p －20)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000，所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11700.令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去).因为在p ＝30附近的左侧L ′(p )＞0，右侧L ′(p )＜0，所以L (30)是极大值，根据实际问题的意义知，L (30)是最大值，此时，L (30)＝23 000.即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元.【答案】　23 000元二、解答题9.设有一个容积V 一定的铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，则如何设计可使总造价最少？【解】　设圆柱体的高为h ，底面半径为r ，设单位面积铁的造价为m ，桶的总造价为y ，则y ＝3m πr 2＋m (πr 2＋2πrh ).由V ＝πr 2h ，得h ＝，∴y ＝4m πr 2＋(r ＞0)，Vπr 22mVr ∴y ′＝8m πr －.令y ′＝0，得r ＝.此时h ＝＝4.2mVr 2(V 4π)13Vπr 2(V 4π)13该函数在(0，＋∞)内连续可导，且只有一个使函数的导数为零的点，问题中总造价的最小值显然存在.∴当r ＝时，y 有最小值，即h ∶r ＝4∶1时，总(V 4π)13造价最少.10.(2016·南京高二检测)某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x (0＜x ＜1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y (元).(1)写出y 与x 的函数关系式；(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.【解】　(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x )，月平均销售量为a (1－x 2)件，则月平均利润y ＝a (1－x 2)20(1＋x )－15]元，所以y 与x 的函数关系式为y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0＜x ＜1).(2)由y ′＝5a (4－2x －12x 2)＝0得x 1＝或x 2＝－(舍)，当0＜x ＜时，122312y ′＞0；当＜x ＜1时，y ′＜0，所以函数y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0＜x ＜1)在x ＝12处取得最大值.12故改进工艺后，产品的销售价为20＝30(元)时，旅游部门销售该纪念(1＋12)品的月平均利润最大.能力提升]1.用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为________.【解析】　设四角截去的正方形边长为x .∴铁盒容积V ＝4(24－x )2x ，所以V ′＝4(24－x )2－8(24－x )x ＝4(24－x )(24－3x )，令V ′＝0，得x ＝8，即为极大值点也是最大值点，所以在四角截去的正方形的边长为8 cm.【答案】　8 cm2.某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k ＞0).已知贷款的利率为0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为x ，x ∈(0,0.0486)，若使银行获得最大收益，则x 的取值为________.【解析】　依题意，存款量是kx 2，银行支付的利息是kx 3，获得的贷款利息是0.0486kx 2，其中x ∈(0，0.0486).所以银行的收益是y ＝0.0486kx 2－kx 3(0＜x ＜0.0486)，则y ′＝0.0972kx －3kx 2. 令y ′＝0，得x ＝0.0324或x ＝0(舍去).当0＜x ＜0.0324时，y ′＞0；当0.0324＜x ＜0.0486时，y ′＜0.所以当x ＝0.0324时，y 取得最大值，即当存款利率为0.0324时，银行获得最大收益.【答案】　0.03243.如图3­4­2，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A ，B 在抛物线上运动，C ，D 在x 轴上运动，则此矩形的面积最大值是________.图3­4­2【解析】　设CD ＝x ，则点C 的坐标为，点B 的坐标为.(x2，0)(x2，1－(x2)2)∴矩形ABCD 的面积 S ＝f (x )＝x ·＝－＋x (x ∈(0,2)).[1－(x2)2]x 34由f ′(x )＝－x 2＋1＝0，得x 1＝－(舍去)，x 2＝，∴当x ∈时，342323(0，23)f ′(x )＞0，f (x )是递增的，当x ∈时，f ′(x )＜0，f (x )是递减的，(23，2)∴当x ＝时，f (x )取最大值.23439【答案】　394.甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失，并获得一定净收入.在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x (元)与年产量t (吨)满足的函数关系是x ＝2000，乙方t 每年产一吨产品必须赔付甲方s 元(以下称s 为赔付价格).(1)将乙方的年利润W (元)表示为年产量t (吨)的函数，并求出乙方获得最大利润时的年产量；(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y ＝0.002t 2，在乙方按照获得最大利润的年产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少？【解】　(1)由题意，得W ＝2000－st ＝－s2＋(t ＞0)，t (t －103s)106s ∴当＝，即t ＝时，W 取得最大值，为，t 103s 106S 2106s 2∴乙方获得最大利润时的年产量为吨.106s 2(2)设在乙方按照获得最大利润的年产量进行生产的前提下，甲方在索赔中获得的净收入为V 元.∵t ＝，∴V ＝st －0.002t 2＝－.106s 2106s 22×109s 4V ′＝－＋， 令V ′＝0，得s ＝20，当s ＞20时，V ′＜0，106s 28×109s 5∴V 在(20，＋∞)上单调递减；当S ＜20时，V ′＞0，∴V 在(0,20)上单调递增.∴当s ＝20时，V 取得极大值，也就是最大值，∴在乙方按照获得最大利润的年产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S 是20元.。

学业分层测评(三) 简单的逻辑联结词(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.命题“三角形ABC 是等腰直角三角形”是________形式的命题.(填“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”)【解析】 “三角形ABC 是等腰直角三角形”的意思是三角形ABC 是等腰三角形并且是直角三角形，所以该命题是“p ∧q ”形式的命题.【答案】 p ∧q2.给出命题p ：3≥3；q ：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x≥0，－1，x<0，在R 上的值域为[－1,1].在下列三个命题：“p∧q ”“p ∨q ”“綈p ”中，真命题的个数为________.【解析】 p 为真命题.对于q ，∵f (x )对应的函数值只有两个，即1或－1，所以f (x )的值域为{1，－1}，∴q 为假命题，∴p ∧q 假，p ∨q 真，綈p 假，所以只有一个真命题.【答案】 13.已知p ：1x －3<0，q ：x 2－4x －5<0，若p 且q 为假命题，则x 的取值范围是________.【解析】 p ：x <3；q ：－1<x <5.∵p 且q 为假命题，∴p ，q 中至少有一个为假，∴x ≥3或x ≤－1.【答案】 (－∞，－1]∪[3，＋∞)4.命题p ：函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx＋π3(x ∈R )的最大值为2，命题q ：函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx＋π3(ω>0)的最小正周期为2.若p ∧q 是真命题，则ω＝________.【解析】 p ∧q 为真命题，p 为真命题，q 也为真命题，∴2πω＝2，∴ω＝π. 【答案】 π5.给定四个结论：(1)一个命题的逆命题为真，其否命题一定为真.(2)若p∨q为假命题，则p，q均为假命题 .(3)x>1的一个充分不必要条件是x>2.(4)若命题p为“A中的队员都是北京人”，则綈p为“A中的队员都不是北京人”.其中正确命题的序号是________.【解析】(1)一个命题的逆命题与其否命题互为逆否命题，真假相同，正确.(2)若p∨q为假命题，则p，q均为假命题，正确.(3)由于x>2⇒x>1，其逆命题为假，故x>1的一个充分不必要条件是x>2，正确.(4)“都是”的否定为“不都是”，若命题p为“A中的队员都是北京人”，则綈p为“A 中的队员不都是北京人”，错误.【答案】(1)(2)(3)6.已知全集为R，命题p：0∈N，q：{0}⊆∁R Q，则下述判断：①p∧q为真；②p∨q为真；③綈p为真；④綈q为假，其中正确的序号为________.【解析】由于N表示自然数集，∁R Q表示无理数集，于是p：0∈N为真，q：{0}⊆∁RQ为假，所以p∧q为假，①错误；p∨q为真，②正确；綈p为假，③错误；綈q为真，④错误.【答案】②7.已知p：函数y＝2|x－1|的图象关于直线x＝1对称；q：函数y＝x＋1 x在(0，＋∞)上是增函数.由它们组成的新命题“p且q”“p或q”“綈p”中，真命题有________个.【解析】命题p是真命题.y＝x＋1x在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，故q为假命题.∴p且q为假，p或q为真，綈p为假.【答案】 18.已知命题p：x2－x＋6≤0或x2－x－6≥0，q：x∈Z，若“綈q”与“p∧q”都是假命题，则x＝________.【解析】∵“綈q”为假，∴q为真，又“p∧q”为假，从而知p为假命题.。

极大值与极小值
.理解函数极值的概念.(难点)
)
.掌握利用导数求函数极值的方法.(重点
[基础·初探]
教材整理函数的极值
阅读教材例以上部分，完成下列问题.
.函数极值的定义
解方程′()＝，当′()＝时：
()如果在附近的左侧′()＞，右侧′()＜，那么()是极大值；
()如果在附近的左侧′()＜，右侧′()＞，那么()是极小值.
.判断正误：
()函数()＝有极值.( )
()函数的极大值一定大于极小值.( )
()若′()＝，则一定是函数()的极值点.( )【解析】()×()＝在(－∞，)，(，＋∞)上是减函数，故无极值.
()×.反例，如图所示的函数的极大值小于其极小值.
()×.反例，()＝，′()＝，且′()＝，但＝不是极值点.
【答案】()×()×()×
.函数＝＋的极大值为.
【导学号：】【解析】′＝－，令′＝得＝，＝±.
当∈(－∞，－)时，′>.当∈(－)时，′<.
∴＝＋在＝－处取得极大值＝－.
【答案】－
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
疑问：。

学业分层测评(十五) 常见函数的导数(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1.若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝________. 【解析】∴f ′(1)＝13. 【答案】 132.下列命题中，正确命题的个数为________. ①若f (x )＝x ，则f ′(0)＝0； ②(log a x )′＝x ln a ；③加速度是动点位移函数S (t )对时间t 的导数； ④曲线y ＝x 2在(0,0)处没有切线.【解析】 ①因为f (x )＝x ，当x 趋向于0时不存在极限，所以f (x )在0处不存在导数，故错误；②(log a x )′＝1x ln a ，故错误；③瞬时速度是位移S (t )对时间t 的导数，故错误；④y ＝x 2在(0,0)处的切线为y ＝0，故错误.【答案】 03.曲线y ＝sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处切线的斜率为________.【导学号：24830074】【解析】 ∵y ′＝cos x ，∴曲线y ＝sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处切线的斜率为cos π6＝32.【答案】 324.设f (x )＝x 4，若f ′(x 0)＝4，则x 0＝________.【解析】 ∵f ′(x )＝4x 3，∴f ′(x 0)＝4x 30＝4，∴x 30＝1，则x 0＝1.【答案】 15.已知函数f (x )＝log 2x ，则f ′(log 2e)＝________. 【解析】 f ′(x )＝1x ln 2，∴f ′(log 2e)＝1log 2e·ln 2＝1.【答案】 16.曲线f (x )＝1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12处切线的方程为________.【解析】 ∵f ′(x )＝－1x 2，∴k ＝f ′(2)＝－14，则切线方程为y －12＝－14(x －2)，即x ＋4y －4＝0.【答案】 x ＋4y －4＝07.若曲线y ＝x在点(a ，a)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________.【答案】 648.设直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值为________. 【解析】 设切点为(x 0，y 0)， 则y ′＝1x ，∴1x 0＝12，∴x 0＝2，∴y 0＝ln 2，∴切点为(2，ln 2)，∵切点在切线上，∴ln 2＝12×2＋b ，∴b ＝ln 2－1. 【答案】 ln 2－1 二、解答题9.求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝4x ；(3)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2；(4)y ＝e 2.【导学号：24830074】【解】 (1)y ′＝(x 8)′＝8x 8－1＝8x 7. (2)y ′＝(4x )′＝4x ln 4. (3)∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x . (4)y ′＝(e 2)′＝0.10.求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离.【解】 方法一：依题意知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最小，设切点为(x 0，x 20)，∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12， ∴切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，∴所求的最短距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.方法二：设点(x ，x 2)是抛物线y ＝x 2上任意一点，则该点到直线x －y －2＝0的距离d ＝|x －x 2－2|2＝|x 2－x ＋2|2＝22|x 2－x ＋2|＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋728，当x ＝12时，d 有最小值728，即所求的最短距离为728.能力提升]1.设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x n 等于________.【解析】 y ′＝(n ＋1)x n ，曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1).令y ＝0得x n ＝n n ＋1. 【答案】n n ＋12.函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，k为正整数，a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________.【解析】 y ′＝2x ，切线斜率k ＝2a k ，切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )， 令y ＝0，－a 2k ＝2a k ·x －2a 2k ，∴a k ＋1＝12a k ， 若a 1＝16，∴a 3＝4，a 5＝1， ∴a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21. 【答案】 213.抛物线y ＝x 2上到直线x ＋2y ＋4＝0距离最短的点的坐标为________. 【解析】 当切线平行于直线x ＋2y ＋4＝0时，切点为所求， 令y ′＝2x ＝－12，得x ＝－14，所以距离最短的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，116.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，1164.已知两条曲线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.【解】 不存在.理由如下：设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)， 所以两条曲线在P (x 0，y 0)处的切线斜率分别为k 1＝cos x 0，k 2＝－sin x 0. 若使两条切线互相垂直，必须有cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即cos x 0·sin x 0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直.。

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第三章导数及其应用(时间:120分钟；满分:160分)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)1．如果质点按规律s（t）＝t2－t（距离单位：m，时间单位：s)运动,则质点在3 s时的瞬时速度为________．解析：质点在3 s时的瞬时速度即s′（3）＝5 m/s。

答案：5 m/s2．设f(x)＝x ln x，若f′（x0)＝2,则x0＝________。

解析：∵f(x）＝x ln x，∴f′（x）＝ln x＋x·错误!＝ln x＋1,∴由f′(x0)＝2得ln x0＋1＝2，∴x0＝e。

答案：e3．若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域内的一个子区间（k－1，k＋1)内不单调，则实数k的取值范围是________．解析：∵f（x）＝2x2－ln x的定义域为(0，＋∞）,f′（x)＝4x－错误!，由f′(x）＝0得x＝错误!.由题意知错误!，解得1≤k<错误!.答案:1≤k<错误!4.函数f(x)＝（x－1）2（x－2）2的极大值是________．，解析:∵f（x）＝（x－1)2（x －2）2,，∴f′（x）＝2（x－1）（2x－3)（x－2)；,令f′（x)＝0,得可能的极值点x1＝1，x2＝x(－∞,1）1错误!错误!错误!2(2,＋∞）f′(x)－0＋0－0＋f(x)极小值极大值极小值∴f错误!＝错误!是函数的极大值．答案：错误!5.若直线y＝kx－3与曲线y＝2ln x相切，则实数k＝________。

章末综合测评(三)导数及其应用(时间分钟，满分分)一、填空题(本大题共小题，每小题分，共分.请把答案填写在题中横线上.).质点运动规律＝＋，则在时间(＋Δ)中，质点的平均速度等于.【解析】平均速度为＝＝＋Δ.【答案】＋Δ.若′()＝－，则当→时，趋于常数.【解析】＝×.∵′()＝－，∴当→时，趋于－，故当→时，趋于－.【答案】.已知函数()＝，∈(，＋∞)，其中为实数，′()为()的导函数.若′()＝，则的值为.【解析】′()＝＋·()))＝(＋).由于′()＝(＋)＝，又′()＝，所以＝.【答案】.已知曲线()＝＋－在点处的切线与轴平行，则点的坐标是.【解析】∵′()＝＋，由′()＝得＝－，又(－)＝－－＝－，∴点的坐标为(－，－).【答案】(－，－).函数＝在其极值点处的切线方程为.【解析】由题知′＝＋，令′＝，解得＝－，代入函数解析式可得极值点的坐标为，又极值点处的切线为平行于轴的直线，故方程为＝－.【答案】＝－.下列结论①( )′＝－；②′＝；③()′＝)；④()′＝；⑤′＝，其中正确的有(填序号).【解析】由于( )′＝，故①错误；由于′＝－，故②错误；由于()′＝)，故③错误；由于＝，故④错误；由于′＝－＝，所以⑤正确.【答案】⑤.函数＝＋在(π，π)内的单调增区间是.【解析】∵＝＋，∴′＝，令′＝＞，且∈(π，π)，∴＞，且∈(π，π)，∴∈，∴函数＝＋在(π，π)内的单调增区间是.【答案】.函数()＝( ＋ )在区间上的值域为.【解析】′()＝( ＋)＋( －)＝，当≤≤时，′()≥，∴()故上单调递增.∴()的最大值在＝处取得，＝，()的最小值在＝处取得，()＝.∴函数值域为.【答案】.若()＝－＋(＋)在(－，＋∞)上是减函数，则的取值范围是.【解析】由题意可知′()＝－＋＜，在∈(－，＋∞)上恒成立，即＜(＋)在∈(－，＋∞)上恒成立，由于＝(＋)在(－，＋∞)上是增函数且(－)＝－，所以≤－.【答案】(－∞，－].如图，是＝()的导函数的图象，现有四种说法：①()在(－，－)上是增函数；②＝－是()的极小值点；③()在(－)上是增函数；④＝是()的极小值点.以上说法正确的序号是(填序号).图【解析】由函数的图象可知：′(－)＜，′(－)＝，()在(－，－)上是减函数，①不正确；＝－时′()＝，函数在(－，－)递减，在(－)单调递增，所以＝－是()的极小值点，所以②正确；()在(－)上′()＞，所以函数在(－)上是增函数，所以。

学业分层测评(十四) 瞬时变化率—导数(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.若f′(x0)＝1，则当k→0时，f(x0－k)－f(x0)2k趋于常数________.【解析】由题意，当k→0时，f(x0－k)－f(x0)－k→1，所以f(x0－k)－f(x0)2k＝－12·f(x0－k)－f(x0)－k→－12.【答案】－1 22.已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线x－y＋2＝0平行，则f′(2)等于________.【导学号：24830068】【解析】由题意知k＝1，∴f′(2)等于1.【答案】 13.函数y＝3x＋2在x＝－1处的导数为________.【解析】ΔyΔx＝3(－1＋Δx)＋2－3×(－1)－2Δx＝3.当Δx→0时，ΔyΔx→3.【答案】 34.函数y＝4x2在x＝x0处的导数为________.【解析】∵Δy＝4(x0＋Δx)2－4x20＝－4Δx(2x0＋Δx)x20(x0＋Δx)2，∴ΔyΔx＝－4×2x0＋Δxx20(x0＋Δx)2，当Δx→0时，ΔyΔx→－8x30，即函数y＝4x2在x＝x0处的导数为－8x30.【答案】－8 x305.一辆汽车按规律s＝3t2＋1做直线运动(s，单位：m，t，单位：s)，则这辆车在t＝3 s时的瞬时速度为________.【解析】 这辆汽车从3 s 到(3＋Δt )s 这段时间内的位移增量为Δs ＝3(3＋Δt )2＋1－28＝3(Δt )2＋18Δt .Δs Δt ＝3(Δt )2＋18Δt Δt＝3Δt ＋18，当Δt →0时，3Δt ＋18→18. ∴t ＝3 s 时瞬时速度为18 m/s.【答案】 18 m/s6.如果某物体的运动的速度为v (t )＝2(1－t 2)，那么其在1.2 s 末的加速度为________.【解析】 Δv Δt ＝v (1.2＋Δt )－v (1.2)Δt＝2×1.22－2(1.2＋Δt )2Δt＝－4.8－2Δt ，当Δt →0时，Δv Δt →－4.8.【答案】 －4.87.曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________.【解析】 Δy ＝[(1＋Δx )3－(1＋Δx )＋3]－3＝2Δx ＋3(Δx )2＋(Δx )3，则Δy Δx ＝2Δx ＋3(Δx )2＋(Δx )3Δx ＝2＋3Δx ＋(Δx )2，当Δx →0时，Δy Δx →2，即k ＝2.故切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.【答案】 2x －y ＋1＝08.设曲线y ＝x 2在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为________.【解析】 设点P 的坐标为(x 0，y 0)∵(x 0＋Δx )2－x 20Δx ＝2x 0Δx ＋(Δx )2Δx＝2x 0＋Δx . 当Δx →0时，k ＝f ′(x 0)＝2x 0＝3.∴x 0＝32，将x 0＝32代入y ＝x 2得y 0＝94，∴P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94 二、解答题。

学业分层测评(二十)　导数在实际生活中的应用(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的距离为s ＝t 3－2t 2，那么43速度为24的时刻是________秒末.【解析】　由题意可得t ≥0，且s ′＝4t 2－4t ，令s ′＝24，解得t ＝3(t ＝－2舍去).【答案】　32.已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－x 3＋81x －234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为13________万件.【解析】　令y ′＝－x 2＋81＝0，解得x ＝9或x ＝－9(舍去).f (x )在区间(0,9)内是增函数，在区间(9，＋∞)上是减函数， ∴f (x )在x ＝9处取最大值.【答案】　93.已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少________米.【解析】　设广场的长为x 米，则宽为米，于是其周长为y ＝240000x(x ＞0)，(x ＋40000x)所以y ′＝2，令y ′＝0，(1－40000x 2)解得x ＝200(x ＝－200舍去)，这时y ＝800.当0＜x ＜200时，y ′＜0；当x ＞200时，y ′＞0.所以当x ＝200时，y 取得最小值，故其周长至少为800米.【答案】　8004.要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm.要使其体积最大，则高为________.【解析】　设圆锥的高为h cm(0＜h ＜20)，则圆锥的底面半径r ＝ 202－h 2(cm)，400－h 2V ＝V (h )＝πr 2h ＝π(400－h 2)h ＝π(400h －h 3)，∴V ′＝π(400－3h 2)，13131313令V ′＝π(400－3h 2)＝0，13解得h ＝.2033由题意知V 一定有最大值，而函数只有一个极值点，所以此极值点就是最大值点.【答案】　cm335.要做一个底面为长方形的带盖的盒子，其体积为72 cm 3，其底面两邻边边长之比为1∶2，则它的长为________、宽为________、高为________时，可使表面积最小.【解析】　设底面的长为2x cm ，宽为x cm ，则高为 cm ，表面积S ＝2×2x ·x ＋2×x ·＋2×2x ·＝4x 2＋(x ＞0)，36x 236x 236x 2216x S ′＝8x －，由S ′＝0，得x ＝3，x ∈(0,3)时，S ′＜0，x ∈(3，＋∞)时，216x 2S ′＞0，∴x ＝3时，S 最小.此时，长为6 cm ，宽为3 cm ，高为4 cm.【答案】　6 cm 3 cm 4 cm6.(2016·四川高考改编)设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝Error!图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是________.【导学号：24830092】【解析】由图象易知P 1，P 2位于f (x )图象的两段上，不妨设P 1(x 1，－ln x 1)(0<x 1<1)，P 2(x 2，ln x 2)(x 2>1)，则函数f (x )的图象在P 1处的切线l 1的方程为y ＋ln x 1＝－(x －x 1)，1x 1即y ＝－＋1－ln x 1.①xx 1则函数f (x )的图象在P 2处的切线l 2的方程为y －ln x 2＝(x －x 2)，即1x 2y ＝－1＋ln x 2.②xx 2由l 1⊥l 2，得－×＝－1，1x 11x 2∴x 1x 2＝1.由切线方程可求得A (0,1－ln x 1)，B (0，ln x 2－1)，由①②知l 1与l 2交点的横坐标x P ＝＝.2－ln x 1－ln x 21x 1＋1x 22x 1＋x 2∴S △PAB ＝×(1－ln x 1－ln x 2＋1)×122x 1＋x 2＝＝.2x 1＋x 22x 1＋1x 1又∵x 1∈(0,1)，∴x 1＋>2，1x 1∴0<<1，2x 1＋1x 1即0<S △PAB <1.【答案】　(0,1)7.内接于半径为R 的球且体积最大的圆柱体的高为________.【解析】　设圆柱的高为2h ，则底面圆的半径为，R 2－h 2 则圆柱的体积为V ＝π(R 2－h 2)·2h ＝2πR 2h －2πh 3，∴V ′＝2πR 2－6πh 2.令V ′＝0，解得h ＝R .∵h ∈时，V 单调递增，h ∈时，33(0，33R)(33R ，R)V 单调递减，故当h ＝R 时，即2h ＝R 时，圆柱体的体积最大.33233【答案】　R338.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q ，则销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8300－170p －p 2.则最大毛利润(毛利润＝销售收入－进货支出)为________.【解析】　设毛利润为L (p )，由题意知L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20)＝(8300－170p －p 2)(p －20)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000，所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11700.令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去).因为在p ＝30附近的左侧L ′(p )＞0，右侧L ′(p )＜0，所以L (30)是极大值，根据实际问题的意义知，L (30)是最大值，此时，L (30)＝23 000.即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元.【答案】　23 000元二、解答题9.设有一个容积V 一定的铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，则如何设计可使总造价最少？【解】　设圆柱体的高为h ，底面半径为r ，设单位面积铁的造价为m ，桶的总造价为y ，则y ＝3m πr 2＋m (πr 2＋2πrh ).由V ＝πr 2h ，得h ＝，∴y ＝4m πr 2＋(r ＞0)，Vπr 22mVr ∴y ′＝8m πr －.令y ′＝0，得r ＝.此时h ＝＝4.2mVr 2(V 4π)13Vπr 2(V 4π)13该函数在(0，＋∞)内连续可导，且只有一个使函数的导数为零的点，问题中总造价的最小值显然存在.∴当r ＝时，y 有最小值，即h ∶r ＝4∶1时，总(V 4π)13造价最少.10.(2016·南京高二检测)某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x (0＜x ＜1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y (元).(1)写出y 与x 的函数关系式；(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.【解】　(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x )，月平均销售量为a (1－x 2)件，则月平均利润y ＝a (1－x 2)20(1＋x )－15]元，所以y 与x 的函数关系式为y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0＜x ＜1).(2)由y ′＝5a (4－2x －12x 2)＝0得x 1＝或x 2＝－(舍)，当0＜x ＜时，122312y ′＞0；当＜x ＜1时，y ′＜0，所以函数y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0＜x ＜1)在x ＝12处取得最大值.12故改进工艺后，产品的销售价为20＝30(元)时，旅游部门销售该纪念(1＋12)品的月平均利润最大.能力提升]1.用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为________.【解析】　设四角截去的正方形边长为x .∴铁盒容积V ＝4(24－x )2x ，所以V ′＝4(24－x )2－8(24－x )x ＝4(24－x )(24－3x )，令V ′＝0，得x ＝8，即为极大值点也是最大值点，所以在四角截去的正方形的边长为8 cm.【答案】　8 cm2.某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k ＞0).已知贷款的利率为0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为x ，x ∈(0,0.0486)，若使银行获得最大收益，则x 的取值为________.【解析】　依题意，存款量是kx 2，银行支付的利息是kx 3，获得的贷款利息是0.0486kx 2，其中x ∈(0，0.0486).所以银行的收益是y ＝0.0486kx 2－kx 3(0＜x ＜0.0486)，则y ′＝0.0972kx －3kx 2. 令y ′＝0，得x ＝0.0324或x ＝0(舍去).当0＜x ＜0.0324时，y ′＞0；当0.0324＜x ＜0.0486时，y ′＜0.所以当x ＝0.0324时，y 取得最大值，即当存款利率为0.0324时，银行获得最大收益.【答案】　0.03243.如图3­4­2，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A ，B 在抛物线上运动，C ，D 在x 轴上运动，则此矩形的面积最大值是________.图3­4­2【解析】　设CD ＝x ，则点C 的坐标为，点B 的坐标为.(x2，0)(x2，1－(x2)2)∴矩形ABCD 的面积 S ＝f (x )＝x ·＝－＋x (x ∈(0,2)).[1－(x2)2]x 34由f ′(x )＝－x 2＋1＝0，得x 1＝－(舍去)，x 2＝，∴当x ∈时，342323(0，23)f ′(x )＞0，f (x )是递增的，当x ∈时，f ′(x )＜0，f (x )是递减的，(23，2)∴当x ＝时，f (x )取最大值.23439【答案】　394.甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失，并获得一定净收入.在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x (元)与年产量t (吨)满足的函数关系是x ＝2000，乙方t 每年产一吨产品必须赔付甲方s 元(以下称s 为赔付价格).(1)将乙方的年利润W (元)表示为年产量t (吨)的函数，并求出乙方获得最大利润时的年产量；(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y ＝0.002t 2，在乙方按照获得最大利润的年产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少？【解】　(1)由题意，得W ＝2000－st ＝－s2＋(t ＞0)，t (t －103s)106s ∴当＝，即t ＝时，W 取得最大值，为，t 103s 106S 2106s 2∴乙方获得最大利润时的年产量为吨.106s 2(2)设在乙方按照获得最大利润的年产量进行生产的前提下，甲方在索赔中获得的净收入为V 元.∵t ＝，∴V ＝st －0.002t 2＝－.106s 2106s 22×109s 4V ′＝－＋， 令V ′＝0，得s ＝20，当s ＞20时，V ′＜0，106s 28×109s 5∴V 在(20，＋∞)上单调递减；当S ＜20时，V ′＞0，∴V 在(0,20)上单调递增.∴当s ＝20时，V 取得极大值，也就是最大值，∴在乙方按照获得最大利润的年产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S 是20元.。