江苏省扬州市2020届中考数学一轮复习第36课时新定义型问题导学案

新定义问题所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．解决“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其解决问题的思想方法；二是根据问题情境的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．类型1 新法则、新运算型例1 我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝p ×q (p ，q 是正整数，且p ≤q )．在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称p ×q 是n 的最佳分解．并规定：F (n )＝pq.例如2可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1＞6－2＞4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F (12)＝34.(1)如果一个正整数m 是另外一个正整数n 的平方，我们称正整数m 是完全平方数，求证：对任意一个完全平方数m ，总有F (m )＝1；(2)如果一个两位正整数t ，t ＝10x ＋y (1≤x ≤y ≤9，x ，y 为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t 为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；(3)在(2)所得的“吉祥数”中，求F (t )的最大值．例题分层分析(1)对任意一个完全平方数m ，设m ＝n 2(n 为正整数)，找出m 的最佳分解为________，所以F(m)＝________＝________；(2)设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝________，根据“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式为________，进而求出所求即可；(3)利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F(t)的最大值即可．对应练习：对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b＝2a－b.例如：5⊗2＝2×5－2＝8，(－3)⊗4＝2×(－3)－4＝－10.(1)若3⊗x＝－2011，求x的值；(2)若x⊗3<5，求x的取值范围．解题方法点析此类问题在于读懂新定义，然后仿照范例进行运算，细心研读定义，细致观察范例是解题的关键．类型2 新定义几何概念型例2 如图，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．(1)将▱ABCD 纸片按图①的方式折叠成一个叠合矩形AEFG ，则操作形成的折痕分别是线段________，________；S 矩形AEFG ∶S ▱ABCD ＝________．(2)▱ABCD 纸片还可以按图②的方式折叠成一个叠合矩形EFGH ，若EF ＝5，EH ＝12，求AD 的长．(3)如图③，四边形ABCD 纸片满足AD ∥BC ，AD <BC ，AB ⊥BC ，AB ＝8，CD ＝10.小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．．．．请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD ，BC 的长．例题分层分析(1)观察图形直接得到操作形成的折痕，根据矩形和平行四边形的面积公式与折叠的轴对称性质可得S 矩形AEFG ∶S ▱ABCD ＝________；(2)由矩形的性质和勾股定理可求得FH ＝________，再由折叠的轴对称性质可知HD ＝________，FC ＝______，∠AHE ＝12______，∠CFG ＝12________，从而可得∠________＝∠________，再证得△AEH ≌△CGF ，可得________，进而求得AD 的长；(3)根据叠合矩形定义，画出叠合正方形，然后再求AD ，BC 的长． 对应练习：定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形． (1)如图①，等腰直角四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°. ①若AB ＝CD ＝1，AB ∥CD ，求对角线BD 的长． ②若AC ⊥BD ，求证：AD ＝CD .(2)如图②，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝9，点P 是对角线BD 上一点，且BP ＝2PD ，过点P 作直线分别交边AD ，BC 于点E ，F ，使四边形ABFE 是等腰直角四边形．求AE 的长．解题方法点析解决此类问题的关键在于仔细研读几何新概念，将新的几何问题转化为已知的三角形、四边形或圆的问题，从而解决问题．对于几何新概念弄清楚条件和结论是至关重要的． 课后练习：1．定义[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.4]＝－2，[－3]＝－3.函数y ＝[x ]的图象如图Z 3－3所示，则方程[x ]＝12x 2的解为( )A ．0或 2B ．0或2C ．1或－ 2D .2或－ 22．对于实数a ，b ，定义符号min{a ，b }，其意义为：当a ≥b 时，min{a ，b }＝b ：当a ＜b 时，min{a ，b }＝a .例如min{2，－1}＝－1.若关于x 的函数y ＝min{2x －1，－x ＋3}，则该函数的最大值为( )A.23 B ．1 C.43 D .533．在平面直角坐标系xOy 中，对于不在坐标轴上的任意一点P (x ，y )，我们把点P ′(1x，1y)称为点P 的“倒影点”．直线y ＝－x ＋1上有两点A ，B ，它们的倒影点A ′，B ′均在反比例函数y ＝kx的图象上．若AB ＝2 2，则k ＝________．4．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD 是△ABC 的“和谐分割线”，△ACD 为等腰三角形，△CBD 和△ABC 相似，∠A ＝46°，则∠ACB 的度数为________．5．有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．(1)如图①，在半对角四边形ABCD 中，∠B ＝12∠D ，∠C ＝12∠A ，求∠B 与∠C 的度数之和；(2)如图②，锐角三角形ABC 内接于⊙O ，若边AB 上存在一点D ，使得BD ＝BO ，∠OBA 的平分线交OA 于点E ，连结DE 并延长交AC 于点F ，∠AFE ＝2∠EAF ，求证：四边形DBCF 是半对角四边形；(3)如图③，在(2)的条件下，过点D 作DG ⊥OB 于点H ，交BC 于点G ，当DH ＝BG 时，求△BGH 与△ABC 的面积之比．答案与解析【例1】【解答】解：（1）证明：对任意一个完全平方数m，设m＝n2（n为正整数），∵|n﹣n|＝0，∴n×n是m的最佳分解，∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）＝＝1；（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10y+x，∵t是“吉祥数”，∴t′﹣t＝（10y+x）﹣（10x+y）＝9（y﹣x）＝36，∴y＝x+4，∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；（3）F（15）＝，F（26）＝，F（37）＝，F（48）＝＝，F（59）＝，∵＞＞＞＞，∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为．【对应练习】【解答】解：（1）根据题意，得：2×3﹣x＝﹣2011，解得：x＝2017；（2）根据题意，得：2x﹣3＜5，解得：x＜4．【例2】【解答】解：（1）根据题意得：操作形成的折痕分别是线段AE、GF；由折叠的性质得：△ABE≌△AHE，四边形AHFG≌四边形DCFG，∴△ABE的面积＝△AHE的面积，四边形AHFG的面积＝四边形DCFG的面积，∴S矩形AEFG＝S▱ABCD，∴S矩形AEFG：S▱ABCD＝1：2；故答案为：AE，GF，1：2；（2）∵四边形EFGH是矩形，∴∠HEF＝90°，∴FH＝＝13，由折叠的性质得：AD＝FH＝13；（3）有3种折法，如图4、图5、图6所示：①折法1中，如图4所示：由折叠的性质得：AD＝BG，AE＝BE＝AB＝4，CF＝DF＝CD＝5，GM＝CM，∠FMC＝90°，∵四边形EFMB是叠合正方形，∴BM＝FM＝4，∴GM＝CM＝＝＝3，∴AD＝BG＝BM﹣GM＝1，BC＝BM+CM＝7；②折法2中，如图5所示：由折叠的性质得：四边形EMHG的面积＝梯形ABCD的面积，AE＝BE＝AB＝4，DG＝NG，NH＝CH，BM＝FM，MN＝MC，∴GH＝CD＝5，∵四边形EMHG是叠合正方形，∴EM＝GH＝5，正方形EMHG的面积＝52＝25，∵∠B＝90°，∴FM＝BM＝＝3，设AD＝x，则MN＝FM+FN＝3+x，∵梯形ABCD的面积＝（AD+BC）×8＝2×25，∴AD+BC＝，∴BC＝﹣x，∴MC＝BC﹣BM＝﹣x﹣3，∵MN＝MC，∴3+x＝﹣x﹣3，解得：x＝，∴AD＝，BC＝﹣＝；③折法3中，如图6所示，作GM⊥BC于M，则E、G分别为AB、CD的中点，则AH＝AE＝BE＝BF＝4，CG＝CD＝5，正方形的边长EF＝GF＝4，GM＝FM＝4，CM＝＝3，∴BC＝BF+FM+CM＝11，FN＝CF＝7，DH＝NH＝8﹣7＝1，∴AD＝5．【对应练习】【解答】解：（1）①∵AB＝CD＝1，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∴BD＝AC＝＝．②如图1中，连接AC、BD．∵AB＝BC，AC⊥BD，∴∠ABD＝∠CBD，∵BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD＝CD．（2）若EF⊥BC，则四边形ABFE是矩形，AE＝BF＝BC＝6，∵AB＝5，∴AE≠AB∴四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE＝AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴AE＝AB＝5．②当BF＝AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴BF＝AB＝5，∵DE∥BF，∴DE：BF＝PD：PB＝1：2，∴DE＝2.5，∴AE＝9﹣2.5＝6.5，综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5．【课后练习】1.A 【解答】解：当1≤x＜2时，x2＝1，解得x1＝，x2＝﹣（舍去）；当0≤x＜1时，x2＝0，解得x＝0；当﹣1≤x＜0时，x2＝﹣1，方程没有实数解；当﹣2≤x＜﹣1时，x2＝﹣2，方程没有实数解；所以方程[x]＝x2的解为0或．故选：A．2.D【解答】解：由题意得：，解得：，当2x﹣1≥﹣x+3时，x≥，∴当x≥时，y＝min{2x﹣1，﹣x+3}＝﹣x+3，由图象可知：此时该函数的最大值为；当2x﹣1≤﹣x+3时，x≤，∴当x≤时，y＝min{2x﹣1，﹣x+3}＝2x﹣1，由图象可知：此时该函数的最大值为；综上所述，y＝min{2x﹣1，﹣x+3}的最大值是当x＝所对应的y的值，如图所示，当x＝时，y＝，故选：D．3.﹣【解答】解：（方法一）设点A（a，﹣a+1），B（b，﹣b+1）（a＜b），则A′（，），B′（，），∵AB＝＝＝（b﹣a）＝2，∴b﹣a＝2，即b＝a+2．∵点A′，B′均在反比例函数y＝的图象上，∴，解得：k＝﹣．（方法二）∵直线y＝﹣x+1上有两点A、B，且AB＝2，∴设点A的坐标为（a，﹣a+1），则点B的坐标为（a+2，﹣a﹣1），点A′的坐标为（，），点B′的坐标为（，﹣）．∵点A′，B′均在反比例函数y＝的图象上，∴，解得：．故答案为：﹣．4.113°或92°【解答】解：∵△BCD∽△BAC，∴∠BCD＝∠A＝46°，∵△ACD是等腰三角形，∵∠ADC＞∠BCD，∴∠ADC＞∠A，即AC≠CD，①当AC＝AD时，∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣46°）＝67°，∴∠ACB＝67°+46°＝113°，②当DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝46°，∴∠ACB＝46°+46°＝92°，故答案为113°或92°．5.【解答】解：（1）在半对角四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠C＝∠A，∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∴3∠B+3∠C＝360°，∴∠B+∠C＝120°，即∠B与∠C的度数和为120°；（2）证明：∵在△BED和△BEO中，，∴△BED≌△BEO（SAS），∴∠BDE＝∠BOE．∵∠BCF＝∠BOE，∴∠BCF＝∠BDE，连接OC，设∠EAF＝α，则∠AFE＝2∠EAF＝2α，∴∠EFC＝180°﹣∠AFE＝180°﹣2α，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝α，∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝180°﹣2α，∴∠ABC＝∠AOC＝∠EFC，∴四边形DBCF是半对角四边形；（3）解：过点O作OM⊥BC于M，∵四边形DBCF是半对角四边形，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∵DG⊥OB，∴BH＝BG＝．在直角△BDH中，利用勾股定理得到：BD＝＝＝．∴BO＝BD＝．∴⊙O的直径是2．。

九年级数学中考复习导学案（等可能条件下的概率）教学目标：1、准确判断事件发生可能性的大小2、掌握等可能条件下的概率的求法3、掌握树状图和列表法求概率【同步知识讲解】知识点1：等可能性等可能性：一般地，设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件，每次试验有且只有其中的一个结果出现.如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这个试验的结果具有等可能性.例题1．一个不透明的盒子中装有2个红球、3个白球和2个黄球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，摸到哪种颜色的球的可能性最大（）A．红色B．白色C．黄色D．红色或黄色【分析】考察简单事件发生的可能性例题2．如图的四个转盘中，转盘3，4被分成8等分，若让转盘自由转动一次停止后，指针落在阴影区域内可能性从大到小排列为（）A．①②④③B．③②④①C．③④②①D．④③②①【分析】求出阴影部分的角度，求出事件发生的可能性大小例题3.某人要去一风景区游玩，每天某一时段开往该风景区有三辆汽车（票价相同），但是他不知道这些车的舒适程度，也不知道汽车开过来的顺序．他采用了这样的乘车方案：先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况，如果第二辆车的状况比第一辆好，他就上第二辆车；如果第二辆比第一辆差，他就上第三辆车．如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请尝试着解决下面的问题：（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？（2）你认为此人采用的方案，使自己乘坐上等车的可能性有多大？【分析】(1)根据可能性大小的方法,找准两点:1、符合条件的情况数目;2、全部情况的总数;二者的比值就是可能性发生的大小;(2)比较两个概率即可.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比变式：1．小明投掷一枚普通的骰子，前三次投出的朝上数字都是6，则第4次投出的朝上数字（）A．按照小明的运气来看，一定还是6B．前三次已经是6了，这次一定不是6C．按照小明的运气来看，是6的可能性最大D．是6的可能性与是1～5中任意一个数字的可能性相同2．甲、乙两人轮流做下面的游戏：掷一枚均匀的骰子（每个面分别标有1，2，3，4，5，6这六个数字），如果朝上的数字大于3，则甲获胜，如果朝上的数字小于3，则乙获胜，你认为获胜的可能性比较大的是．3．某校体育室里有球类数量如下表，如果随机拿出一个球（每一个球被拿出来的可能性是一样的），那么拿出一个球是足球的可能性是．4．从形状、大小相同的9张数字卡片（分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9）中任意抽1张，抽出的恰好是：①偶数；②小于6的数；③不小于9的数，这些事件按发生的可能性从大到小排列是（填序号）知识点2：等可能条件下的概率1.等可能条件下的概率一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，当其中的m个结果之一出现时，事件A发生，那么事件A发生的概率P（A）=m（其中m是指事件A发生可能出现的结果数，n是指所有等可能出现的结果数）.n当一个随机事件在一次试验中的所有可能出现的结果是有限个，且具有等可能性时，只需列出一次试验可能出现的所有结果，就可以求出某个事件发生的概率.2.等可能条件下的概率的求法一般地，等可能性条件下的概率计算方法和步骤是：（1）列出所有可能的结果，并判定每个结果发生的可能性都相等；（2）确定所有可能发生的结果的个数n和其中出现所求事件的结果个数m；.（3）计算所求事件发生的可能性：P（所求事件）=mn3.用列举法计算概率常用的列举法有两种：列表法和画树状图法.①列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.要点诠释：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.②树状图当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图.树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.要点诠释：(1)树状图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；(2)在用树状图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.例题1.在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球为白球的概率是32，则黄球的个数是（ ） A.16 B.12 C.8 D.4【分析】考察随机事件的概率例题2.给甲乙丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率为（ ）A. 61B.31C.21D.32 【分析】考察随机事件的概率例题3.在一个不透明的袋中装有2个黄球，3个黑球和5个红球，它们除颜色之外其他都相同。

第1课时实数概念及运算姓名班级学习目标：1.理解平方根与立方根的意义，能估算一个数的平方根（立方根）的大致范围。

2.了解无理数和实数的概念，认识实数与数轴上的点一一对应，会求一个数的相反数与绝对值，会比较实数大小，了解近似数与有效数字概念，会按要求取近似值。

3.会进行实数的简单混合运算，并能用运算简化运算。

学习重难点：实数的概念，无理数的定义，科学计数法，实数的混合运算。

学习过程：一、知识梳理（一）实数概念1．整数和统称有理数;叫无理数;有理数和无理数统称．2.数轴的三要素为、和 . 数轴上的点与构成___对应.3.实数a的相反数为________. 若a，b互为相反数，则ba+= .4.非零实数a的倒数为______. 若a，b互为倒数，则ab= .5.绝对值_______ (0)_______ (0)_______ (0)aa aa>⎧⎪==⎨⎪<⎩6.把一个数表示成10na⨯的形式，其中a满足______，n是整数. 7.一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到_____.（二）实数的有关运算8. 实数加法法则：（1）同号两数相加，取_____符号，并把________相加;（2）异号两数相加，绝对值相等时，和为_____;绝对值不等时，取_____较大的数的符号，并用_______减去_______.9. 实数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的_________.10. 实数的乘法法则：两数相乘，同号得_____，异号得_____，并把________相乘.11. 实数的除法法则：两数相除，同号得_____，异号得_____，并把________相除.12.如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的．a的平方根用符号表示为．其中正的平方根又叫做a 的，记作．13.如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的 ，记作 ．14.求一个数的平方根的运算叫做 ;求一个数的立方根的运算叫做 ． 与乘方互为逆运算．三、精典题例例1 实数120.3π7--、、中，无理数的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 例2 估计20的算术平方根的大小在（ ）A ．2与3之间B ．3与4之间C ．4与5之间D ．5与6之间例3 如图，A 、B 两点在数轴上表示的数分别是a 、b ，则下列式子中成立的是（ ）A ．0a b +＜B ．a b —＜—C ．1212a b ﹣＞﹣D ．0a b ﹣＞四、课堂练习1．银原子的直径为0.0003微米，把0.0003这个数用科学记数法表示应为（ ）．A ．30.310⨯－B ．4310⨯C ．5310⨯－D ．4310⨯－2．下列运算正确的是（ ）．A 3=±B ．33-=-C ．3=-D ．239-=3．在-5，30sin ︒，30tan ︒，3π，..0.23这六个实数中，无理数的个数为（ ）． A.1 B.2 C.3D.44．若21(2)0x y -++=，则xyz ＝（ ）．A ．－6B ．6C ．0D ．25．计算：301()20162-+= ．6．如果2a ＝，1b ＝－，比较大小：b a a b （填“＜”、“=”或“＞”）．7．定义2a b a b =※－，则()123※※=______．8．若1(1)0n n +-=，则(1)n -＝ ．9．计算：（1）212552⨯+-－． （2）1sin 30π+32-0°+()（3）()2517 2.458612⎛⎫-+-+⨯- ⎪⎝⎭ （4）2324(3)25--÷++-10．观察下面的规律：1=11122⨯－;111=2323⨯－;111=3434⨯－;…… 解答下面的问题：（1）若n 为正整数，请你猜想1(1)n n ⨯+＝ ; （2）求和：1111++++12233420152016⨯⨯⨯⨯＝ . 整式姓名 班级学习目标：1.了解幂的意义，会进行幂的运算，注意“符号”问题和区分各种运算时指数的不同运算。

第26课时 与圆有关的概念及性质 姓名 学号 班级 学习目标 1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念． 2.探索并掌握垂径定理及其推论．3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论．4. 知道三角形的外心，并能画任意三角形的外接圆．学习重难点：利用圆周角与圆心角及其所对弧的关系学习过程一．知识梳理(1)圆的基本概念：在同一平面内，线段OA 绕它固定的一个端点 形成的图形叫做圆， 叫做圆心， 叫做半径．圆上任意两点间的 叫做圆弧；在同圆或等圆中，能够 的弧叫做等弧．(2) 圆的有关性质：①对称性：圆是中心对称图形， 是它的对称中心；圆也是轴对称图形， 都是它的对称轴．②圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别 .③垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦(不是直径)的直径 于弦，并且平分这条弦所对的两条弧．⑶圆心角和圆周角：①圆心角：顶点在 的角叫做圆心角；圆心角的度数 它所对的弧的度数．圆周角：顶点在圆上，两边都与圆 的角叫做圆周角．②圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于这条弧所对的圆心角的 ．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦是． ⑷确定圆的条件：①不在 的三个点可以确定一个圆．② 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心叫做三角形的 .⑸圆的内接四边形：圆的内接四边形的对角 .二、典型例题1.垂直定理及其推论问题1.(2017·呼和浩特)如图，CD 为 O e 的直径，弦AB CD ，垂足为M ，若12AB ＝，58OMMD ∶＝∶，则 O e 的周长为 ( ) A. 26π B. 13π C.965π D. 39105π2.圆心角的应用 问题2 (2016·兰州)如图，在 O e 中，C 是» AB 的中点，50A ∠︒＝，则BOC ∠的度数为 ( )A. 40︒B. 45︒C. 50︒D. 60︒3.圆周角定理及其推论问题3、点O 是△ABC 的外心，若80BOC ∠=︒，求BAC ∠的度数．4.圆内接四边形问题4、(2017·广东)如图，四边形ABCD 内接于 O e ，DA DC ＝，50CBE ∠︒＝，则DAC ∠的度数为( )A. 130︒B. 100︒C. 65︒D. 50︒问题5、如图，将O e 沿弦AB 折叠，圆弧恰好经过圆心O ，点P 是优弧¼AMB 上一点， 求APB ∠．5.圆的性质与其他知识的综合应用问题6、（中考指要例3）如图，AB 是O e 的直径，弦CD AB ⊥与点E ，点P 在O e 上，1C ∠=∠，（1）求证：CB ∥PD ；（2）若335BC sin P =∠=，，求O e 的直径．问题7、 (2017·六盘水)如图，MN 是O e 的直径，4MN ＝，点A 在O e 上，30AMN ∠︒＝，B 为弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点．(1) 利用尺规作图，确定当PA PB ＋最小时点P 的位置(不写作法，但要保留作图痕迹)；(2) 求PA PB ＋的最小值．三、中考预测.如图，AB 是O e 的直径，点D 是圆上一动点，连接.BD(1)若30CDB ∠=︒，则ABC ∠=_______(2)若BD ABC ∠平分，CD BC =，图中相等的线段有__________，相等的弧(不包括半圆)有_______,ABC ∠=_____。

第13课时 二次函数(2)班级： 姓名： 学习目标：1.掌握二次函数图象与x 轴的交点横坐标与一元二次方程两根的关系.2.理解二次函数图象与x 轴的交点的个数与一元二次方程根的个数的关系.3.能用二次函数与一元二次方程的关系解决综合问题. 学习难点：利用二次函数与一元二次方程关系解决综合问题。

学习过程： 一、知识梳理1.抛物线2y ax bx c =++中a b c 、、符号的确定 (1) a 的符号由抛物线开口方向决定, 当0a >时,抛物线开口 , 当0a <时,•抛物线开口 ;(2) c 的符号由抛物线与y 轴交点的纵坐标决定.当c 0时,抛物线交y 轴于正半轴；当c 0时,抛物线交y 轴于负半轴； (3)b 的符号由对称轴来决定.当对称轴在y 轴左侧时,b 的符号与a 的符号 ；当对称轴在y 轴右侧时,b 的符号与a 的符号 ；•简记左同右异. 2.二次函数与一元二次方程的关系抛物线2y ax bx c =++，当0y =时，抛物线转化为一元二次方程20ax bx c ++=,(1)当抛物线与x 轴有两个交点时,方程20ax bx c ++=有 ；(2)当抛物线2y ax bx c =++与x 轴有一个交点,方程20ax bx c ++=有 ； (3)当抛物线2y ax bx c =++与x 轴无交点,•方程20ax bx c ++= 。

变式：抛物线2y ax bx c =++，当y k =时，抛物线转化为一元二次方程 ，试说明该方程根的情况 。

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二、典型例题1. 抛物线中a 、b 、c 符号的确定（中考指要例1）（2017•株洲）如图示二次函数2y ax bx c =++的对称轴在y 轴2y ax bx c =++的右侧，其图象与x 轴交于点10A （﹣，）与点20C x （，），且与y 轴交于点02B （，﹣），小强得到以下结论：①02a ＜＜；②10b ﹣＜＜；③1c =﹣；④当a b =时251x -＞；以上结论中正确结论的序号为 ．2. 二次函数与一元二次方程(不等式)的关系（1）抛物线234y x x =--+与坐标轴的交点的个数是( ) A ．3B ．2C ．1D ．0（2）若二次函数21y ax =+的图像经过点(2,0)-，则关于x 的方程2(2)10a x -+=实数根为（ ）A ．120,4x x ==B ．122,6x x =-= C. 1235,22x x == D ．124,0x x =-= （3）已知抛物线26y x x m =++与x 轴只有一个交点，则m ＝ .（4）如图，已知ABC V 的顶点坐标分别为021021A B C （，）、（，）、（，），若二次函数21y x bx =++的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b 的取值范围是（ ） A ．2b ≤﹣ B ．2b ＜﹣ C ．2b ≥﹣ D ．2b ＞﹣（5）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于x 的方程230ax bx c ++-=的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个异号实数根C ．有两个相等的实数D ．无实数根（6）已知二次函数2y x bx c =-++的图象如图所示，解决下列问题： ①求关于x 的一元二次方程20x bx c -++=的解； ②求此抛物线的函数表达式； ③当x 为值时，0y ＜?3.利用二次函数求一元二次方程的根的近似值（1）根据下列表格的对应值，判断方程20ax bx c ++= (a ≠0，a ，b ，c 为常数)一个解的范围是( )A. 3 3.23x ＜＜ B ．3.23 3.24x ＜＜ C ．3.24 3.25x ＜＜ D ．3.25 3.26x ＜＜ 三、反思总结1.本节课你复习了哪些内容？2.通过本节课的学习，你还有哪些困难？四、达标检测1.下列函数的图象与x 轴只有一个交点的是( )A ．223y x x =+- B ．223y x x =++ C ．223y x x =-+ D ．221y x x =-+ 2 2.二次函数263y kx x =-+的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是( ) A. 3k < B ．30k k <≠且 C ．3k ≤ D ．30k k ≤≠且3.若二次函数2y x bx =+的图象的对称轴是经过点(2)0，且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x3.233.24 3.25 3.26 2ax bx c ++ －0.06－0.020.030.0925x bx +=的解为 。

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】第36课时 新定义型问题姓名 班级 学习目标：1、 能结合已有知识、能力理解并应用新定义、新法则解决新问题。

2、 能根据问题情境的变化合理进行思想方法的迁移，结合具体题目应用新的知识解决问题。

学习重、难点：能结合已有知识、能力理解并应用新定义、新法则解决新问题。

学习过程：1、与“数与式”有关的新定义型问题（中考指要例1）（2017 重庆）对任意一个三位数n ，如果n 满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F n （）．例如123n =，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以1236F =（）． （1）计算：243617F F （），（）； （2）若s t ，都是“相异数”，其中10032150s x t y =+=+，（19x ≤≤，19y ≤≤，x y ，都是正整数），规定：F s k F t =（）（），当18F s F t +=（）（）时，求k 的最大值．例2(2016•重庆)我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n p q ⨯＝ (p q 、是正整数，且p q ≤)．在n 的所有这种分解中，如果p 与q 之差的绝对值最小，那么我们称p q ⨯是n 的最佳分解，并规定：()F n pq＝.例如12可以分解成112⨯、26⨯或34⨯，因为1216243>>－－－，所以34⨯是12的最佳分解．所以()3124F ＝。

(1) 如果一个正整数a 是另外一个正整数b 的平方，那么我们称正整数a 是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m ，总有()1F m ＝.(2) 如果一个两位正整数1019()t x y x y x y ≤≤≤＝＋，、为自然数，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t 为“吉祥数”．求所有“吉祥数”中()F t 的最大值．2、与“方程、不等式”有关的新定义型问题例、对于实数a 、b ，定义一种新运算“⊗”： 21b ba a =⊗-，这里等式的右边是实数运算.例如211=18133⊗-=-，则方程()2421x x ⊗--=-的解是（ ） .4A x = .5B x = .6C x = .7D x =3、与“统计与概率”有关的新定义型问题例、(2015·泰安)十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都大的三位数叫做中高数．如796就是一个“中高数”．若十位上的数字为7，则从3，4，5，6，8，9中任选两个数，与7组成“中高数”的概率是( )2.1A3.1B 5.2C 5.3D 4、与“函数”有关的新定义型问题例、 (2015·衢州)小明在课外学习时遇到这样一个问题．定义：如果二次函数2111y a x b x c ＝＋＋ 11110()a a b c ≠，、、是常数与2222y a x b x c ＝＋＋22220()a a b c ≠，、、是常数满足120a a ＋＝，12b b ＝，120c c ＋＝，那么称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y ＝－x 2＋3x －2的“旋转函数”．小明是这样思考的：由函数232y x x ＝－＋－可知，111132a b c ＝－，＝，＝－.根据120a a ＋＝，12b b ＝，120c c ＋＝，求出222a b c 、、的值，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面问题：(1) 写出函数232y x x ＝－＋－的“旋转函数”；(2) 若函数2432y x mx ＝－＋－与22y x nx n ＝－＋互为“旋转函数”，求2015()m n ＋的值；(3) 已知函数1()()214y x x ＝－＋－的图象与x 轴交于点A 、B(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C ，点A 、B 、C 关于原点的对称点分别是点111A B C 、、，求证：图象经过点111A B C 、、的二次函数与函数1()()214y x x ＝－＋－互为“旋转函数”5、与“图形的认识”有关的新定义型问题 例、(2016·湖州)定义：若点()P a b ，在函数1y x=的图象上，将以a 为二次项系数，b 为一次项系数构造的二次函数2y ax bx ＝＋称为函数1y x=的一个“派生函数”. 例如：点122⎛⎫ ⎪⎝⎭，在函数1y x =的图象上，则函数2212y x x ＝＋称为函数1y x=的一个“派生函数”．现给出以下两个命题：① 存在函数1y x=的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y 轴的右侧；② 函数1y x=的所有“派生函数”的图象都经过同一点，则下列判断正确的是( ) A.命题①与命题②都是真命题 B. 命题①与命题②都是假命题 C. 命题①是假命题，命题②是真命题 D. 命题①是真命题，命题②是假命题1. (2014·泰州)如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组的是( ). 123A ，， . 112B ，， . 113C ，， . 123D ，， 6、与“图形的变换”有关的新定义型问题例1（中考指要例2） (2016·宁波)从三角形(不是等腰三角形)的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线(1) 如图①，在△ABC 中，CD 为角平分线，40A ∠︒＝，60B ∠︒＝，求证：CD 为△ABC 的完美分割线．(2) 在△ABC 中，48A ∠︒＝，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 为等腰三角形，求ACB ∠的度数．(3) 如图②，在△ABC 中，2AC ＝，2BC ＝，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形．求完美分割线CD 的长例2（中考指要例3）（2017 济宁）定义：点P 是△ABC 内部或边上的点（顶点除外），在△PAB ，△PBC ，△PCA 中，若至少有一个三角形与△ABC 相似，则称点P 是 △ABC 的自相似点．例如：如图1，点P 在△ABC 的内部，PBC A ∠=∠，PCB ABC ∠=∠，则△BCP ∽△ABC ，故点P 为△ABC 的自相似点．请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题： 在平面直角坐标系中，点M 是曲线C ：33y =()0x >上的任意一点，点N 是x 轴正半轴上的任意一点．（1）如图2，点P 是OM 上一点，ONP M ∠=∠, 试说明点P 是△MON 的自相似点； 当点N 的坐标是()3,3，点N 的坐标是()3,0时，求点P 的坐标；（2）如图3，当点M 的坐标是()3,3，点N 的坐标是()2,0时，求△MON 的自相似点的坐标； （3）是否存在点M 和点N ,使△MON 无自相似点,？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．四、反思总结1.本节课你复习了哪些内容？2.通过本节课的学习，你还有哪些困难？五、达标检测1、(2015•铜仁)定义一种新运算：x 2y x y x +*= ，如2212122+⨯*== ， 则()4*2*()1－＝________．2、(2016·广州)定义运算：(*)1a b a b ＝－．若a 、b 是方程()21400x x m m <－＋＝的两根，则**b b a a －的值为( ).0A .1B .2C .D m 与有关3、(2016·岳阳)对于实数a b 、，我们定义符号{}max a b ，的意义为：当a b ≥时，{}max a b a ，＝；当a b <时，{}max a b b ，＝.如：}24{4max ，－＝，33{}3max ，＝.若关于x 的函数为{31}y max x x ＝＋，－＋，则该函数的最小值是( ). 0A . 2B . 3C . 4D4、（自我评估1）我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例： 指数运算 122=224=328=…133= 239= 3327=…新运算221log =242log =283log = … 331log = 392log = 3273log = …根据上表规律，某同学写出了三个式子：2164log =①,5255log =②,2112log =③﹣.其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③5．（自我评估2）规定：[x]表示不大于x 的最大整数，（x ）表示不小于x 的最小整数，[x ）表示最接近x 的整数（x ≠n+0.5，n 为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．则下列说法正确的是 ．（写出所有正确说法的序号） ①当x=1.7时，[x]+（x ）+[x ）=6； ②当x=﹣2.1时，[x]+（x ）+[x ）=﹣7； ③方程4[x]+3（x ）+[x ）=11的解为1＜x ＜1.5；④当﹣1＜x ＜1时，函数y=[x]+（x ）+x 的图象与正比例函数y=4x 的图象有两个交点．6．（自我评估3）（2017 扬州）我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在△ABC 中，AO 是BC 边上的中线，AB 与AC 的“极化值”就等于22AO BO ﹣的值，可记为22AB AC AO BO =﹣．（1）在图1中，若90BAC ∠=︒，8AB =，6AC =，AO 是BC 边上的中线，则AB AC = ，OC OA = ；（2）如图2，在△ABC 中，4AB AC ==　，120BAC ∠=︒，求AB AC 、BA BC 的值； （3）如图3，在△ABC 中，AB AC =， AO 是 BC 边上的中线，点N 在AO 上，且13ON AO =．已知14AB AC =，10BN BA =，求△ABC 的面积．7. （自我评估3）（2017 绍兴）定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形.（1）如图1 ，等腰直角四边形=,90ABCD AB BC ABC ︒∠=， .①若1,AB CD ==AB CD ，对角线BD 的长.②若AC BD ⊥ ，求证：AD CD =.（2）如图2 ，矩形ABCD 中，5,9,AB BC == 点P 是对角线BD 上一点. 且2BP PD = ，过点P 作直线分别交,AD BC 于点,E F ，使四边形ABEF 是等腰直角四边形.求AE 的长.8．（自我评估3）（2016 北京）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（1x ，1y ），点Q 的坐标为（2x ，2y ），且12x x ≠，12y y ≠，若P ，Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P ，Q 的“相关矩形”．下图为点P ，Q 的“相关矩形”的示意图． （1）已知点A 的坐标为（1，0）．①若点B 的坐标为（3，1）求点A ，B 的“相关矩形”的面积；②点C 在直线x =3上，若点A ，C 的“相关矩形”为正方形，求直线AC 的表达式；（2）⊙O 2，点M 的坐标为（m ，3）．若在⊙O 上存在一点N ，使得点M ，N 的“相关矩形”为正方形，求m 的取值范围．中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。