4湖南省学业水平考试数学试卷四

2024年湖南省长沙市部分学校初中学业水平联考数学试题一、单选题112-， 9，3.14，其中比0小的数是（ ） AB ．12-C ．9D ．3．14 2．“科技改变世界”．下列与科技最前沿相关的图形中，只是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ．D ．3．长沙市因地制宜，大力发展新质生产力，眼下长沙跻身“数字经济新一线城市”，数字经济总量达450000000000元，数据450000000000用科学记数法表示为（ ） A ．120.4510⨯ B ．114.510⨯ C ．104510⨯ D ．104.510⨯ 4．下列计算正确的是（ ）A ．23a b ab +=B ．()3263a b a b -=C ．()1a b ab a -=-D ．222=- 5．若3，6，x 是某三角形的三边长，则x 可取的最大整数为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．76．下列事件是必然事件的是（ ）A ．任画一个凸多边形，其外角和是360︒B ．在乒乓球比赛中，世界排名第一的运动员一定打赢排名第二的运动员C ．圆柱无论怎样摆放，它的三视图都是矩形D ．若 a 是实数，则a a >7．如图，直线AB CD ∥，点G 是直线CD 上一点，射线GE ，GF 分别交直线AB 于点H ，N ，若156∠=︒，270∠=︒，则EGF ∠的度数为（ ）A ．50︒B ．54︒C ．58︒D ．62︒8．如图，AC 是O e 的直径，BC 与O e 相切于点C ，AB 交O e 于点D ，连接OD ，若84COD ∠=︒，则ABC ∠的度数为（ ）A ．46︒B ．48︒C ．50︒D ．52︒9．龙年春晚的扑克牌魔术激发了小明的兴趣．他抽取了一副扑克牌中的四张：黑桃3，红桃5，梅花7，方片10（黑桃和梅花是黑色，红桃和方片是红色），他将这四张扑克牌充分洗匀，再随机抽取2张，则他抽到的两张扑克牌颜色不同的概率是（ ）A ．23B ．13C ．14 D ．1610．如图是一张三角形纸片，其中1012AB AC BC ===，，按如下步骤折纸： 第一步：将该纸片对折，点B 与点C 重合，折痕为AD ；第二步：展开后，再将该纸片折叠；折痕为BE ，点A 的对称点A '恰好落在AC 上 根据以上折纸过程，可以求出折痕BE 的长度为（ ）A ．10B ．9.8C ．9.7D ．9.6二、填空题11．分解因式：3x 9x -=.12．方程组x y 3{x y 1+=-=的解是 ．13．安全教育是素质教育的重要内容之一，为增强学生的安全意识，提升学生自我保护 能力，某校对学生进行了“中小学生安全知识100条”的讲座和实践活动，为检验学习效果，对学生进行了安全知识测试，并随机抽取了8位学生成绩如下（满分：100分）：98，85，90，88，92，95，82，90，则这一组数据的众数是．14．如图，在Rt PQR △中，90PQR ∠=︒，43PQ RQ ==，，将Rt PQR △绕直线PQ 旋转一周，会得到一个几何体，则这个几何体的侧面积等于．（结果保留π）15．已知一次函数()0y ax a =≠的图象如图所示，则反比例函数a y x=的图象经过第象限．16．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，点M ，N 分别在边AB ，DC 上，且EF MN ⊥，垂足为点O ，若线段EF 恰好平分正方形ABCD 的面积，1AE =，则22EF MN +=．三、解答题17．计算： 101tan 60202452π-⎛⎫⎛⎫+-︒++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 18．先化简，后求值：2211121x x x x ⎛⎫+÷ ⎪--+⎝⎭，其中100x =． 19．如图，四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 平分BCD ∠，过点A 作AF CD ⊥交其延长线于点F ，过点F 作FE BC ⊥于点E ．(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若60BCD ∠=︒，12AD =，求FE 的值．20．为进一步提高义务教育质量，提升学生的信息素养，湖南中考于2026年将信息科技科目纳入中考范围，2023年入学的七年级新生将于2025年参加信息科技的中考，为了解学生的信息科技课程学习情况，更好地促进课程学习，长沙某校于2023年期末对全校七年级学生进行了信息科技上机测试．学校将测试成绩（满分：100分），收集、整理分组，记得分为x 分，并制作了如下不完整的统计图表．根据上面信息，回答下列问题：(1)该校七年级总人数为____人；a =____；b =____；(2)将频数分布直方图补充完整；(3)若将上述表格转化为扇形统计图，则C 组学生所对应扇形的圆心角的度数为____︒．21．如图，在ABCV中，O是AB边的中点，D是CO上一点，AE∥BD交CO的延长线于点E．(1)求证：AE BD=；(2)若90ACB∠=︒，BDO CAO∠=∠，6AC=，求BD的长．22．为响应国家关于推动各级各类生产设备、服务设备更新和技术改造的号召，某公司计划将办公电脑全部更新为国产某品牌，市场调研发现，A品牌的电脑单价比B品牌电脑的单价少1000元，通过预算得知，用30万元购买A品牌电脑比购买B品牌电脑多10台．(1)试求A，B两种品牌电脑的单价分别是多少元；(2)该公司计划购买A，B两种品牌的电脑一共40台，且购买B品牌电脑的数量不少于A品牌电脑的35，试求出该公司费用最少的购买方案．23．根据以下实践活动项目提供的材料，完成相关任务．【活动主题】怎样确定隧道口车辆通过限行高度？【活动过程】素材1：长沙附近有一条两车道隧道，隧道口有4.5m限高标志，如图1，表示车辆顶部最高处到地面的距离不超过4.5m，否则禁止通行．素材2：李明通过实地测量和查阅有关资料，获得以下信息，如图2：①隧道口上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的长和半圆的直径相等②矩形的长为10m，高为2m，车道两侧各有1m人行道；③设计部门要求车辆顶部（约定为平顶）与隧道圆拱内部在竖直方向至少有mh的距离．【问题解决】(1)试求隧道口上半圆中点E到路面AB的距离EF；(2)求h 的最小值．24．我们不妨约定：如果抛物线的顶点在直线y x =上，那么我们把这样的抛物线叫做“星链抛物线”．根据约定，解答下列问题：(1)试判断下列抛物线是否为“星链抛物线”，若是，请在括号内画“√”；若不是，请在括号内画“⨯”．①2y x =（ ）；②221y x x =-+（ ）；③()2y x h h =--+（ ）．(2)如图，已知“星链抛物线”()21y x k =--+的顶点为点A ，将该抛物线沿直线y x =向上平移，使点A ，和点B 重合，两条“星链抛物线”的交点为点C ，设点B ，点C 的横坐标分别为m ，(1)n m >．①若AB =②在平移过程中，若45ACB ∠=︒，试求mn 的值．25．如图，过O e 上的动点D 作O e 的切线AD ，在O e 上取点B （异于点D ），使得AB AD =，弦CD AB ∥，连接AC 交O e 于点F ，连接DF 并延长，交AB 于点E ，连接BC ．(1)求证：AB 是O e 的切线；(2)记AEF V ，ADF V ；DCF V 的面积分别为1S ，2S ，3S ，当123S S S +=时，求AF CF的值； (3)设O e 的半径为R ，当DE CB ∥时，求四边形BCDE 的面积．（用含R 的式子表示）。

2024年湖南省初中学业水平考试模拟数学试题（四）一、单选题1．2024的绝对值是（ ）A ．2024-B ．2024C ．12024D ．12024- 2．欣赏图形的对称之美：下列安全标志图片中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．脱贫攻坚成果举世瞩目，5575万农村贫困人口实现脱贫，5575万这个数用科学记数法表示为（ ）A ．355.7510⨯B ．20.557510⨯C ．85.57510⨯D ．75.57510⨯ 4．下列计算正确的是（ ）A ．235a a a ⋅=B ．()325a a =C ．325a a a +=D ．()444ab a b -=- 5．在平面直角坐标系xOy 中，点(),A m n ，关于x 轴对称的点B 的坐标是（ ） A ．(),m n - B ．(),m n C ．(),m n - D ．(),m n -- 6．下列说法正确的是（ ）A ．“明天下雨的概率为80%”，意味着明天有80%的时间下雨B ．了解市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查C ．一组数据5，5，3，4，1的中位数是3D ．有关部门对某药店在售口罩的合格情况进行抽检，抽检了20包口罩，其中18包合格，该商店共进货100包，估计合格的口罩约有90包7．如图，已知AB CD ∥，点E 在AD 上，若72AEC ∠=︒，30A ∠=︒，则C ∠的度数为（ ）A ．28︒B ．30︒C ．40︒D ．42︒8．如图，在冬奥会滑雪场有一坡度为AC 的长为150m ，则BC 的长为（ ）A ．75mB ．C ．D ．9．已知ABCD Y ，下列条件能使ABCD Y 成为矩形的是（ ）A ．AB BC = B ．AC BD ⊥ C ．AC BD = D ．A C ∠=∠10．如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象经过点()1,2，且与x 轴的交点的横坐标分别为1x ，2x ，其中110x -<<，212x <<．下列结论：①0a >；②20a b +<；③<0a b c -+；④对任意0m >，()21a m a bm +<-都成立，其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．写出一个三视图相同的立体图形名称：．12．函数y x 的取值范围是.13．因式分解：24x y y -=．14．在一个不透明袋子中有3个红球和2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则取出红球的概率是．15．已知点()11,A y ，()23,B y 在反比例函数()0m y m x=>上，则1y 2y （填“>，＜，=”） 16．如图，在ABC V 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，ADE V 与ABC V 的面积分别为ADE S V ，ABC S V ，则:ADE ABC S S =V V ．17．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，问折断处离地面有多高？设折断处离地而高x 尺，可列方程得．18．如图，在矩形ABCD 中，∠BAC ＝30°，AB =B 为圆心，BC 为半径画弧交矩形的边AB 于点E ，交对角线AC 于点F ，则图中阴影部分的面积为．三、解答题19．计算：()1012cos 4522024π2-⎛⎫︒+--+- ⎪⎝⎭． 20．先化简，再求值：22216911a a a a a a a --+⎛⎫-÷ ⎪---⎝⎭，其中4a =． 21．如图，在ABCD Y 中，BE 平分ABC ∠交CD 延长线于点E ，作CF BE ⊥，垂足为点F ．(1)求证：BF EF =；(2)若6AB =，3DE =，求ABCD Y 的周长．22．“古诗词诵读比赛”结束后，张老师和李老师将所有参赛选手的成绩进行整理(得分均为整数，分段包括起点，不含终点)，并分别绘制扇形图和直方图(未完善)．(1)本次比赛参赛选手共有 人，扇形图中“70～80”这组人数占总参赛人数的百分比为 ．(2)评奖约定：成绩由高到低居前60%获奖，成绩为79分的选手，他 获奖．(3)成绩前三名是1名男生和2名女生，从中任选2人发言，试求男生被选中的概率． 23．如图，已知()1,A m -，()4,1B -是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数m y x=的图象的两个交点．(1)求反比例函数与一次函数的表达式，(2)求AOB V 的面积、(3)结合函数图象直接写出不等式m kx b x+>的解集． 24．随着梦天实验舱的顺利发射，我国空间站完成了在轨组装，为了庆祝这令人激动的时刻，某校开展了关于空间站的科学知识问答竞赛．为了奖励在竞赛中表现优异的学生，学校准备一次性购买A ，B 两种航天器模型作为奖品．已知购买1个A 模型和1个B 模型共需159元；购买3个A 模型和2个B 模型共需374元．(1)求A 模型和B 模型的单价．(2)根据学校的实际情况，需一次性购买A 模型和B 模型共20个，但要求购买A 模型的数量多于12个，且不超过B 模型的3倍．请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需的费用．25．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，点E 是»BC的中点，延长AC 交BE 的延长线于点D ，点F 在AB 的延长线上，EF ⊥AD ，垂足为G ．（1）求证：GF 是⊙O 的切线；（2）求证：CE ＝DE ；（3）若BF ＝1，EF ⊙O 的半径．26．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()3,0A -，()1,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ．(1)求抛物线的表达式．(2)点P 是抛物线上位于线段AC 下方的一个动点，连接AP ，CP ，求APC △面积最大时点P 的坐标；(3)在抛物线上是否存在点Q ，使得以点A ，C ，Q 为顶点的三角形是直角三角形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．。

2024年湖南省初中学业水平考试数 学本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息：2．选择题部分请按题号用2B 铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效：4．在草稿纸、试题卷上作答无效；5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸．一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 在日常生活中，若收入300元记作300+元，则支出180元应记作（ ）A. 180+元 B. 300+元C. 180-元D. 480-元2. 据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家，将4015000用科学记数法表示应为（ ）A. 70.401510⨯ B. 64.01510⨯ C. 540.1510⨯ D.34.01510⨯3. 如图，该纸杯的主视图是（）A. B. C. D.4. 下列计算正确是（ ）A. 22321a a -= B. 32(0)a a a a ÷=≠ C. 236a a a ⋅= D.()3326a a =5.）AB. C. 14D.6. 下列命题中，正确的是（ ）A. 两点之间，线段最短B. 菱形的对角线相等C. 正五边形的外角和为720︒D. 直角三角形是轴对称图形7. 如图，AB ，AC 为O 的两条弦，连接OB ，OC ，若45A ∠=︒，则BOC ∠的度数为（ ）A. 60︒B. 75︒C. 90︒D. 135︒8. 某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是（ ）A. 130B. 158C. 160D. 1929. 如图，在ABC 中，点D E ，分别为边AB AC ，的中点．下列结论中，错误的是（ ）A DE BC∥ B. ADE ABC△△∽ C. 2BC DE =D.的..12ADE ABC S S =10. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点(),P x y ，若x ，y 均为整数，则称点P 为“整点”．特别地，当yx（其中0xy ≠）的值为整数时，称“整点”P 为“超整点”，已知点()24,3P a a -+在第二象限，下列说法正确的是（ ）A. 3a <-B. 若点P 为“整点”，则点P 的个数为3个C. 若点P 为“超整点”，则点P 的个数为1个D. 若点P 为“超整点”，则点P 到两坐标轴的距离之和大于10二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．11. 计算：()2024--=________．12. 有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是________．13. 分式方程21x +=1的解是_______．14. 一个等腰三角形的一个底角为40︒，则它的顶角的度数是________度．15. 若关于x 的一元二次方程2420x x k -+=有两个相等的实数根，则k 的值为________．16. 在一定条件下，乐器中弦振动的频率f 与弦长l 成反比例关系，即kf l=（k 为常数．0k ≠），若某乐器的弦长l 为0.9米，振动频率f 为200赫兹，则k 的值为________．17. 如图，在锐角三角形ABC 中，AD 是边BC 上高，在BA ，BC 上分别截取线段BE ，BF ，使BE BF =；分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，在ABC ∠内，两弧交于点P ，作射线BP ，交AD 于点M ，过点M 作MN AB ⊥于点N ．若2MN =，4AD MD =，则AM =________．的18. 如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng ）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知AB CD ⊥于点B ，AB 与水平线l 相交于点O ，OE l ⊥．若4BC =分米，12OB =分米．60BOE ∠=︒，则点C 到水平线l 的距离CF为________分米（结果用含根号的式子表示）．三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19. 计算：01|3|cos 602⎛⎫-+-+︒ ⎪⎝⎭．20. 先化简，再求值：22432x x x x x-⋅++，其中3x =．21. 某校为了解学生五月份参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查、家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等．学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图：请根据以上信息，解答下列问题：（1）本次被抽取的学生人数为 人；（2）补全条形统计图：（3）在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是︒；（4）若该校有学生1200人，请估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数．22. 如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，点E 在边AB 上， ．请从“①B AED ∠=∠；②AE BE =，AE CD =”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：（1）求证：四边形BCDE 为平行四边形；（2）若AD AB ⊥，8AD =，10BC =，求线段AE 的长．23. 某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元．（1）求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；（2）该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？24. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．活动主题测算某水池中雕塑底座的底面积测量工具皮尺、测角仪、计算器等模型抽象某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD ，其示意图如下：活动过程测绘过程与数据信息①在水池外取一点E ，使得点C ，B ，E 在同一条直线上；②过点E 作GH CE ⊥，并沿EH 方向前进到点F ，用皮尺测得EF的长为4米；③在点F 处用测角仪测得60.3CFG ∠=︒，45BFG ∠=︒，21.8AFG ∠=︒；④用计算器计算得：sin60.30.87︒≈，cos60.30.50︒≈，tan60.3 1.75︒≈．sin21.80.37︒≈，cos21.80.93︒≈，tan21.80.40︒≈．请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：（1）求线段CE 和BC 的长度：（2）求底座的底面ABCD 的面积．25. 已知二次函数2y x c =-+的图像经过点()2,5A -，点()11,P x y ，()22,Q x y 是此二次函数的图像上的两个动点．（1）求此二次函数表达式；（2）如图1，此二次函数的图像与x 轴的正半轴交于点B ，点P 在直线AB 的上方，过点P 作PC x ⊥轴于点C ，交AB 于点D ，连接AC DQ PQ ,,．若213x x =+，求证DCPDQ A S S △△的值为定值；（3）如图2，点P 在第二象限，212x x =-，若点M 在直线PQ 上，且横坐标为11x -，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，求线段MN 长度的最大值．26. 【问题背景】已知点A 是半径为r 的O 上的定点，连接OA ，将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转9(0)0αα︒<<︒得到OE ，连接AE ，过点A 作O 的切线l ，在直线l 上取点C ，使得CAE ∠为锐角．【初步感知】（1）如图1，当60α=︒时，CAE ∠=︒；的【问题探究】（2）以线段AC 为对角线作矩形ABCD ，使得边AD 过点E ，连接CE ，对角线AC ，BD 相交于点F ．①如图2，当2AC r =时，求证：无论α在给定的范围内如何变化，BC CD ED =+总成立：②如图3，当43=AC r ，23CE OE =时，请补全图形，并求tan α及A BB C的值．2024年湖南省初中学业水平考试数 学本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息：2．选择题部分请按题号用2B 铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效：4．在草稿纸、试题卷上作答无效；5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸．一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 在日常生活中，若收入300元记作300+元，则支出180元应记作（ ）A. 180+元 B. 300+元C. 180-元D. 480-元【答案】C 【解析】【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，结合题意解答即可；【详解】解：收入为“+”，则支出为“-”，那么支出180元记作180-元．故选：C ．2. 据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家，将4015000用科学记数法表示应为（ ）A. 70.401510⨯ B. 64.01510⨯ C. 540.1510⨯ D.34.01510⨯【答案】B 【解析】【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为10n a ⨯，其中110a ≤<，n 可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a 的形式，以及指数n 的确定方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n 是负数．【详解】解：4015000用科学记数法表示为64.01510⨯．故选：B ．3. 如图，该纸杯的主视图是（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】直接依据主视图即从几何体的正面观察，进而得出答案．此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题的关键．【详解】解：该纸杯的主视图是选项A ，故选：A ．4. 下列计算正确的是（ ）A. 22321a a -= B. 32(0)a a a a ÷=≠ C. 236a a a ⋅= D.()3326a a =【答案】B 【解析】【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方，根据以上运算法则逐项分析即可．【详解】解：A 、22232a a a -=，故该选项不正确，不符合题意； B 、32(0)a a a a ÷=≠，故该选项正确，符合题意；C 、235a a a ⋅=，故该选项不正确，不符合题意； D 、()3328a a =，故该选项不正确，不符合题意；故选：B ．5. ）A. B. C. 14 D.【答案】D 【解析】【分析】此题主要考查了二次根式的乘法，正确计算是解题关键．直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．=故选：D6. 下列命题中，正确的是（ ）A. 两点之间，线段最短B. 菱形的对角线相等C. 正五边形的外角和为720︒D. 直角三角形是轴对称图形【答案】A 【解析】【分析】本题考查了命题与定理的知识，多边形外角性质，菱形性质及轴对称图形的特点，解题的关键是掌握这些基础知识点．【详解】解：A 、两点之间，线段最短，正确，是真命题，符合题意；B 、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，选项错误，是假命题，不符合题意；C 、正五边形的外角和为360︒，选项错误，是假命题，不符合题意；D 、直角三角形不一定轴对称图形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，选项错误，是假命题，不符合题意；故选：A ．7. 如图，AB ，AC 为O 的两条弦，连接OB ，OC ，若45A ∠=︒，则BOC ∠的度数为（ ）A. 60︒B. 75︒C. 90︒D. 135︒【答案】C【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理可知12A BOC ∠=∠，即可得到答案．【详解】根据题意，圆周角A ∠和圆心角BOC ∠同对着 BC，∴12A BOC ∠=∠，45A ∠=︒ ，224590BOC A ∴∠=∠=⨯︒=︒．故选：C ．8. 某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是（ ）A. 130B. 158C. 160D. 192【答案】B【解析】【分析】本题考查了中位数，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．据此求解即可．【详解】解：从小到大排序为130，141，158，179，192，最中间的数是158，∴中位数是158，故选：B ．是9. 如图，在ABC 中，点D E ，分别为边AB AC ，的中点．下列结论中，错误的是（ ）A DE BC ∥ B. ADE ABC △△∽ C. 2BC DE = D. 12ADE ABC S S = 【答案】D【解析】【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质可判断A C 、；由相似三角形的判定和性质可判断B D 、，掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】解：∵点D E ，分别为边AB AC ，的中点，∴DE BC ∥，2BC DE =，故A C 、正确；∵DE BC ∥，∴ADE ABC △△∽，故B 正确；∵ADE ABC △△∽，∴221124ADE ABC S DE S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△，∴14ADE ABC S S = ，故D 错误；故选：D ．10. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点(),P x y ，若x ，y 均为整数，则称点P 为“整点”．特别地，当y x（其中0xy ≠）的值为整数时，称“整点”P 为“超整点”，已知点()24,3P a a -+在第二象限，下列说法正确的是（ ）A. 3a <- B. 若点P 为“整点”，则点P 的个数为3个C. 若点P 为“超整点”，则点P 的个数为1个D. 若点P 为“超整点”，则点P 到两坐标轴的距离之和大于10【答案】C.【解析】【分析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征等知识，利用各象限内点的特征求出a 的取值范围，即可判断选项A ，利用“整点”定义即可判断选项B ，利用“超整点”定义即可判断选项C ，利用“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断选项D ．【详解】解：∵点()24,3P a a -+在第二象限，∴24030a a -<⎧⎨+>⎩，∴32a -<<，故选项A 错误；∵点()24,3P a a -+为“整点”， 32a -<<，∴整数a 为2-，1-，0，1，∴点P 的个数为4个，故选项B 错误；∴“整点”P 为()8,1-，()6,2-，()4,3-，()2,4-，∵1188=--，2163=--，3344=--，422=--∴“超整点”P 为()2,4-，故选项C 正确；∵点()24,3P a a -+为“超整点”，∴点P 坐标为()2,4-，∴点P 到两坐标轴的距离之和246+=，故选项D 错误，故选：C ．二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．11. 计算：()2024--=________．【答案】2024【解析】【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义，即可求解．【详解】解：()20242024--=，故答案为：2024．12. 有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是________．【答案】14【解析】【分析】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解本题的关键．概率=所求情况数与总情况数之比．根据概率公式计算即可．【详解】解：∵共有4枚棋子，∴从中任意摸出一张，恰好翻到棋子“”的概率是14．故答案为：1413. 分式方程21x +=1的解是_______．【答案】x=1【解析】【分析】先给方程两边同乘最简公分母x+1，把分式方程转化为整式方程2=x+1，求解后并检验即可．【详解】解：方程的两边同乘x+1，得2=x+1，解得x=1．检验：当x=1时，x+1=2≠0．所以原方程的解为x=1．故答案为：x=1．【点睛】此题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤及方法是解题的关键．14. 一个等腰三角形的一个底角为40︒，则它的顶角的度数是________度．【答案】100【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和，解答时根据等腰三角形两底角相等，求出顶角度数即可．【详解】解：因为其底角为40°，所以其顶角180402100=︒-︒⨯=︒．故答案为：100．15. 若关于x 的一元二次方程2420x x k -+=有两个相等的实数根，则k 的值为________．【答案】2【解析】【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根，则240b ac ∆=->；有两个相等的实数根，则240b ac ∆=-=；没有实数根，则24<0b ac ∆=-．据此即可求解．【详解】解：由题意得：()22444120b ac k ∆=-=--⨯⨯=，解得：2k =故答案为：216. 在一定条件下，乐器中弦振动的频率f 与弦长l 成反比例关系，即k f l=（k 为常数．0k ≠），若某乐器的弦长l 为0.9米，振动频率f 为200赫兹，则k 的值为________．【答案】180【解析】【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，把0.9l =，200f =代入k f l =求解即可．【详解】解：把0.9l =，200f =代入k f l =，得2000.9k =，解得180k =，故答案为：180．17. 如图，在锐角三角形ABC 中，AD 是边BC 上的高，在BA ，BC 上分别截取线段BE ，BF ，使BE BF =；分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，在ABC ∠内，两弧交于点P ，作射线BP ，交AD 于点M ，过点M 作MN AB ⊥于点N ．若2MN =，4AD MD =，则AM =________．【答案】6【解析】【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知BP 平分ABC ∠，根据角平分线的性质可知2DM MN ==，结合4AD MD =求出AD ，AM ．详解】解：作图可知BP 平分ABC ∠，∵AD 是边BC 上的高，MNAB ⊥，2MN =，∴2MD MN ==，∵4AD MD =，∴8AD =，∴6AM AD MD =-=，故答案为：6．18. 如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng ）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知AB CD ⊥于点B ，AB 与水平线l 相交于点O ，OE l ⊥．若4BC =分米，12OB =分米．60BOE ∠=︒，则点C 到水平线l 的距离CF 为________分米（结果用含根号的式子表示）．【答案】(6-##()6-+【解析】【分析】题目主要考查解三角形及利用三角形等面积法求解，延长DC 交l 于点H ，连接OC，根据题意及解三角形确定BH =OH =，再由等面积法即可求解，作出辅助线是解题关键．【详解】解：延长DC 交l 于点H ，连接OC ，如图所示：在Rt OBH △中，906030BOH ∠=︒-︒=︒，12dmOB =【12tan 30BH ∴=⨯︒=，OH =OBH OCH OBCS S S =+△△△ 111222OB BH OH CF OB BC ∴⋅=⋅+⋅即11112124222CF ⨯=⨯+⨯⨯，解得：6CF =-．故答案为：(6-．三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19计算：01|3|cos 602⎛⎫-+-+︒ ⎪⎝⎭【答案】52【解析】【分析】题目主要考查实数的混合运算，特殊角的三角函数、零次幂的运算等，先化简绝对值、零次幂及特殊角的三角函数、算术平方根，然后计算加减法即可，熟练掌握各个运算法则是解题关键．【详解】解：01|3|cos 602⎛⎫-+-+︒ ⎪⎝⎭13122=++-52=．20. 先化简，再求值：22432x x x x x-⋅++，其中3x =．【答案】1x x +，43【解析】【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．先计算乘法，再计算加法，然后把3x =代入化简后的结果，即可求解．【详解】解：22432x x x x x-⋅++()()22232x x x x x x+-⋅++=.23x x x-=+1x x +=，当3x =时，原式31433+==．21. 某校为了解学生五月份参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查、家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等．学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图：请根据以上信息，解答下列问题：（1）本次被抽取的学生人数为 人；（2）补全条形统计图：（3）在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是 ︒；（4）若该校有学生1200人，请估计该校五月份参与家务劳动项目数量达到3项及以上的学生人数．【答案】（1）100（2）见解析 （3）36（4）300人【解析】【分析】题目主要考查条形统计图与扇形统计图，样本估计总体，求扇形统计图圆心角等，理解题意，结合统计图得出相关信息是解题关键．（1）根据参与1项家务劳动的人数及比例即可得出结果；（2）先求出参加3项家务劳动的学生人数，然后补全统计图即可；（3）用360度乘以4项及以上所占的比例即可；（4）用总人数乘以参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的比例即可．【小问1详解】解：根据题意得：3030%100÷=人，的故答案为：100；【小问2详解】100330421015----=，补全统计图如下：【小问3详解】1036036100︒⨯=︒，故答案为：36；【小问4详解】15101200300100+⨯=人．22. 如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，点E 在边AB 上， ．请从“①B AED ∠=∠；②AE BE =，AE CD =”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：（1）求证：四边形BCDE 为平行四边形；（2）若AD AB ⊥，8AD =，10BC =，求线段AE 的长．【答案】（1）①或②，证明见解析；（2）6【解析】【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键．（1）选择①或②，利用平行四边形的判定证明即可；（2）根据平行四边形的性质得出10DE BC ==，再由勾股定理即可求解．【小问1详解】解：选择①，证明：∵B AED ∠=∠，∴DE CB ∥，∵AB CD ∥，∴四边形BCDE 为平行四边形；选择②，证明：∵AE BE =，AE CD =，∴CD BE =，∵AB CD ∥，∴四边形BCDE 为平行四边形；【小问2详解】解：由（1）得10DE BC ==，∵AD AB ⊥，8AD =，∴6AE ==．23. 某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元．（1）求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；（2）该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？【答案】（1）50元、30元（2）400棵【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x 元/棵，y 元/棵，根据“购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元”列方程组求解即可；（2）购买脐橙树苗a 棵，根据“总费用不超过38000元”列不等式求解即可．【小问1详解】解：设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x 元/棵，y 元/棵，根据题意，得211023190x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得5030x y =⎧⎨=⎩，答：脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为50元/棵，30元/棵；【小问2详解】解：设购买脐橙树苗a 棵，则购买黄金贡柚树苗()1000a -棵，根据题意，得()5030100038000a a +-≤，解得400a ≤，答：最多可以购买脐橙树苗400棵．24. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．活动主题测算某水池中雕塑底座的底面积测量工具皮尺、测角仪、计算器等模型抽象某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD ，其示意图如下：活动过程测绘过程与数据信息①在水池外取一点E ，使得点C ，B ，E 在同一条直线上；②过点E 作GH CE ⊥，并沿EH 方向前进到点F ，用皮尺测得EF的长为4米；③在点F 处用测角仪测得60.3CFG ∠=︒，45BFG ∠=︒，21.8AFG ∠=︒；④用计算器计算得：sin60.30.87︒≈，cos60.30.50︒≈，tan60.3 1.75︒≈．sin21.80.37︒≈，cos21.80.93︒≈，tan21.80.40︒≈．请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：（1）求线段CE 和BC 的长度：（2）求底座的底面ABCD 的面积．【答案】（1）7米；3米（2）18平方米【解析】【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键．（1）根据题意得tan tan60.3 1.75CE CFE EF∠=︒=≈，即可确定CE 长度，再由45BFG ∠=︒得出4BE EF ==米，即可求解；（2）过点A 作AM GH ⊥于点M ，继续利用正切函数确定6AB ME ==米，即可求解面积．【小问1详解】解：∵GH CE ⊥，EF 的长为4米，60.3CFG ∠=︒，∴tan tan60.3 1.75CE CFE EF∠=︒=≈，∴7CE =米；∵45BFG ∠=︒，∴4BE EF ==米，∴3CB CE BE =-=米；【小问2详解】过点A 作AM GH ⊥于点M ，如图所示：∵21.8AFG ∠=︒，∴tan tan21.80.4AM AFG MF∠=︒=≈，∵4AM BE ==米，∴10MF =米，∴1046AB ME ==-=米，∴底座的底面ABCD 的面积为：3618⨯=平方米．25. 已知二次函数2y x c =-+的图像经过点()2,5A -，点()11,P x y ，()22,Q x y 是此二次函数的图像上的两个动点．（1）求此二次函数的表达式；（2）如图1，此二次函数的图像与x 轴的正半轴交于点B ，点P 在直线AB 的上方，过点P 作PC x ⊥轴于点C ，交AB 于点D ，连接AC DQ PQ ,,．若213x x =+，求证DC PDQ A S S △△的值为定值；（3）如图2，点P 在第二象限，212x x =-，若点M 在直线PQ 上，且横坐标为11x -，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，求线段MN 长度的最大值．【答案】（1）29y x =-+（2）为定值3，证明见解析（3）374【解析】【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AB 的解析式，()211,9P x x -+，则()()2113,39Q x x +-++，()11,3D x x -+，表示出()()23PD x x =+-+，13CD x =-+，代入DC PDQA S S △△即可求解；（3）设()211,9P x x -+，则()2112,49Q x x --+，求出直线PQ 的解析式，把11x x =-代入即可求出线段MN 长度的最大值．【小问1详解】∵二次函数2y x c =-+的图像经过点()2,5A -，∴54c =-+，∴9c =，∴29y x =-+；【小问2详解】当0y =时，209x =-+，∴123,3x x =-=，∴()3,0B ，设直线AB 的解析式为y kx b =+，∴2530k b k b -+=⎧⎨+=⎩，∴13k b =-⎧⎨=⎩，∴3y x =-+，设()211,9P x x -+，则()()2113,39Q x x +-++，()11,3D x x -+，∴()()()2211111193623PD x x x x x x =-+--+=-++=+-+，13CD x =-+．∴()()()()()11111233332PDQ ADC S x x x x S x x +-++-==-++ ，∴DCPDQA S S △△的值为定值；【小问3详解】设()211,9P x x -+，则()2112,49Q x x --+，设直线PQ 的解析式为y mx n =+，∴2112119249mx n x mx n x ⎧+=-+⎨-+=-+⎩，∴12129m x n x =⎧⎨=-+⎩，∴12129y x x x -=+，当11x x =-时，()22111113712924y x x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭，∴当12x =-时，线段MN 长度的最大值374．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键．26. 【问题背景】已知点A 是半径为r 的O 上的定点，连接OA ，将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转9(0)0αα︒<<︒得到OE ，连接AE ，过点A 作O 的切线l ，在直线l 上取点C ，使得CAE ∠为锐角．【初步感知】（1）如图1，当60α=︒时，CAE ∠= ︒；【问题探究】（2）以线段AC 为对角线作矩形ABCD ，使得边AD 过点E ，连接CE ，对角线AC ，BD 相交于点F ．①如图2，当2AC r =时，求证：无论α在给定的范围内如何变化，BC CD ED =+总成立：②如图3，当43=AC r ，23CE OE =时，请补全图形，并求tan α及A B B C的值．【答案】（1）30︒；①证明见解析；②补全图形见解析，43，12【解析】【分析】（1）可证OEA △是等边三角形，则60OAE ∠=︒，由直线l 是O 的切线，得到90OAC ∠=︒，故906030CAE ∠=︒-︒=︒；（2）①根据矩形的性质与切线的性质证明OAE FCD △≌△，则AE CD =，而BC AD =，由AD AE DE =+，得到BC CD DE =+；②过点O 作OG AE ⊥于点G ，AH OE ⊥于点H ，在Rt AOC 中，先证明点E 在线段OC 上，4tan 3AC AO α==，由等腰三角形的性质得12EOG α∠=，根据互余关系可得12EAH EOG α∠=∠=，可求4tan 3AH OH α==，解OAE △，求得1tan 2EAH ∠=，可证明12ACB α∠=，故在Rt ABC △中，1tan tan 22AB ACB BC α∠===．【详解】解：（1）由题意得60AOE α∠==︒，∵OA OE =，∴OEA △是等边三角形，∴60OAE ∠=︒，∵直线l 是O 的切线，∴90OAC ∠=︒，∴906030CAE ∠=︒-︒=︒，故答案为：30︒；（2）①如图：∵OA OE =，∴OAE OEA ∠=∠，∵AOE α∠=，∴180OAE OEA α∠+∠+=︒，∴18019022OAE αα︒-∠==︒-，∵90OAC ∠=︒，∴12DAC α∠=，∵四边形ABCD 是矩形，∴FA DF =，12CF DF AC r ===，∴12DAC FDA α∠=∠=，∴1122DFC ααα∠=+=，∵OA OE r ==，∴,OA FC OE FD ==，∵AOE DFC ∠=∠，∴OAE FCD △≌△，∴AE CD =，∵四边形ABCD 是矩形，∴BC AD =，∵AD AE DE =+，∴BC CD DE =+；②补全图形如图：过点O 作OG AE ⊥于点G ，AH OE ⊥于点H ，在Rt AOC 中，4,3OA r AC r ==，∴由勾股定理得53OC r =，∵23CEOE =，∴23CE r =，∴OC OE CE =+，∴点E 在线段OC 上，∴在Rt ACO ，4tan 3AC AO α==，∵OG AE ⊥，OA OE =，∴12EOG α∠=，∵AH OE ⊥，∴90EOG OEA EAH OEA ∠+∠=∠+∠=︒，∴12EAH EOG α∠=∠=，在Rt OAH △中，4tan 3AHOH α==，∴设4,3AH m OH m ==，∴由勾股定理得5OA OE m ==，∴532HE m m m =-=，∴在Rt AHE △中，1tan tan22HE EAH AH α∠===∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ∥，∴12ACB DAC α∠=∠=，而12EAH α∠=，∴12ACB α∠=，∴在Rt ABC △中，1tan tan 22AB ACB BC α∠===．【点睛】本题考查了圆的切线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．。

2024年湖南省初中学业水平考试试卷·数学注意事项1. 本学科试卷分试题卷和答题卡两部分.考试时量为120分钟.满分为120分：2. 请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上；3. 请你在答题卡上作答，答在本试卷上无效.一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1.2024的倒数是 ( )A.-2024B.2024C. D,2. 据湖南政府工作报告，2023年湖南省粮食再获丰收，总产量达61360000000斤，将数据61360000000 用科学记数法表示应为 ( )A.61.36×10⁶B.6.136×1010C.6.136×1011D.0.6136×10123. 湖南自古就有“鱼米之乡”的美誉，明清时期更有“湖广熟，天下足”之说.如图①是某粮仓的实物图.图②是其抽离出来的几何体，关于它的三视图，下列说法正确的是( )图①.图②第3题图A. 主视图与左视图相同B. 左视图与俯视图相同C. 主视图与俯视图相同D. 三个视图完全相同4,不等式组的解集在数轴上可表示为( )A B C D5. 某小区开展“节约用水，从我做起”活动，下表是该小区随机抽取的10户家庭当月节水情况(较上月节水量)统计：节水量(m³)0.2 0.3 0.4 0.5 0.6家庭数(户) 2 4 1 2 1黑卷·数学第1页(共6页)则这10户家庭当月节水量的中位数与众数分别是 ( ) A.0.3,0.3 B.0.5,0.4 C.0.3,0.5 D.0.4,0.36.“双碳“背景下，我国新能源汽车保有量己处于世界第一，随着消费入群不断增多，某款新能源汽 车硝售量持续增长，如果第三个月销售量的增长率是第二个月的2倍，第三个月的销售量是第一个月的3倍，设第…个月销售量为a 辆，第二个月销售量的增长率为x,则可列出方程是( )A a(1+x)²=3aB a(1+2x)²=3aC 、a(1+2x)(1+3x)=3a D.a(1+x)(1+2x)=3a7,如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AB 边上一点，若DE,CE 分别是∠ADC,∠BCD 的平分线，若平行四边形ABCD 的周长为18,则AB 的长为A.4 B.5第7题图C.6D.7 ( )第9题图8.如图，小明同学把-块等腰直角三角板的顶点A 放在半径为2的圆形铁丝上， 三角板的斜过及一条直角边分别与圆交于点 B,C,则图中BC 的长为 ( )A.B.C.πD.2t9.如图，在平面直角坐标系中，点A 是反比例函数图象上的一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B,点C 是y 轴负半轴上一点，连接4C 交x 轴于点D,若OD 是△ABC 的中位线，△ABC 的面积为12,则k 的值是 ( )A.-6 B,-12 C.6 D 、1210.已知抛物线y=x²+2x+t-1,现有以下四个结论：①当x>-1时 .y 随x 的增大而增大；②当t= 1时，抛物线经过坐标原点；③不论x 为何值，y>t-2;④若关于x 的--元二次方程 x²+2x+t- 1=0在1<x<3的范围内有实数根，则t 的取值范围是-12<i <-4.其中，正确的结论有 ( )A.①②B.①④C.②③D.②④数学 第2页(共6页)第8题图二、填空题(本大题有8个小题，每小题3分，共24分)12.实数 m ,n 在数轴上对应点的位置如图所示，比较大小：|m | n (填“>”“<”或“=”).第12题图第13题图13.如图，点A 的坐标是(2,4),点B 的坐标是(6,0),将△OAB 沿x 轴向右平移得到△DCE,若OE=8,则点C 的坐标为14.生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多.为了解甲、乙、丙、丁四个品种大豆的光合作用速率，科研人员从这四个品种的大豆中各选五株，在同等 实验条件下，测量它们的光合作用速率(单位：μmol·m -2·s -1), 统计结果如下表：品种 甲 乙 丙 丁 平均数 24 25 23 25 方差7.615.66.8.4则这四个大豆品种中光合作用速率又快又稳定的是 15.已知四边形ABCD 的对角线 BD 垂直平分对角线AC 于点0,要使四边形ABCD 为菱形，则 可添加的条件是 (添加一个条件即可，不添加其他的点和线).16.对于实数a,b, 我们定义符号max{a,b}的意义为：当a>b 时，max{a,b}=a; 当a≤b 时，max{a,b}=b,如 max{1,-2}=1, 则方程max{x,x+2}=x²-4 的解为 17.如图，在△AB C 中，①以点C 为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC,B C 于点M,N ;②分别以点M,N 为圆心，大于长为半径作弧，两弧在∠ACB 内部交于点 P;③作射线 CP 交AB于点D;④过点A 作AE⊥CD,交BC 于点E,交CD 于点F.若AE=BE,∠B=35°,则∠ACB 的度数为第17题图第18题图18.如图，在矩形ABCD 中，AB=2,BG=4,E,F 分别是AD,BC 上的点(点E,F 分别不与点A,C重合),且EF⊥BD,则BE+EF+DF 的最小值为数学 第3页(共6页)三、解答题(本大题有8个小题，第19~20题每题6分，第21~22题每题8分，第23~24题每题9分，第25~26题每题10分，共66分.解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)19.解方程组：20.先化简，再求值：,其中x=3.21.为了贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生全面发展，某校积极倡导人文运动观念，提高同学们的身体素质.该校对七、八年级部分学生每周的锻炼时间(单位：h)进行统计，按照每周锻炼时间分成四组：A:O≤x<3;B:3≤x<6;C:6≤x<9;D:9≤x≤12,并绘制了如下两幅不完整的统计图：抽取学生每周锻炼时间的条形统计图四七年级口八年级图①抽取学生每周锻炼时间的扇形统计图图②第21题图请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：(1)该校此次调查共抽取了名学生，扇形统计图中“B”组对应的扇形圆心角的度数为,并补全条形统计图；(2)若该校八年级共300名学生，请估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数，(3)若“D”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选2名参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率.22.慈氏塔(如图①)作为湖南现存最早的砖塔之一，以其巍然耸立，雄视洞庭湖，成为“巴陵胜状”之一.某兴趣小组决定利用所学知识开展以“测量慈氏塔的高度”为主题的活动，并写出如下项目报告：课题测量慈氏塔的高度测量工具测角仪、无人机等测量示意图图①第22题图数学第4页(共6页) C B45°45°20D/图②AE续表测量过程如图②,测量小组使无人机在点A处以10m/s的速度竖直上升8s后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为20°,然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为45°说明点A,B,C,D,E均在同一竖直平面内，且点A,E在同一水平线上，DE⊥AE, 结果精确到1m.参考数据：sin 20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan 20⁰≈0.36(1)求无人机从点B 到点C 处的飞行距离；(2)求慈氏塔DE 的高度.23. 随着年轻消费群体对健康关注度日益增长，某品牌保温杯的销量一路攀升，该生产企业抓住商机，计划加大生产一批优质保温杯，现有A,B 两组员工可完成这项任务.已知A 组员工单独完成此项任务所需的时间是B 组员工的1.5倍，若由两组合作完成，则需12天可完成此项任务.(1)求A,B 两组员工单独完成此项任务各需多少天；(2)根据市场需求，规定完成该任务所需时间不能超过8天，已知4组原有10人，两组合作2天后，A组决定增加员工，B 组人数保持不变，两组继续合作；假设A组每个人的工作效率相同，则A 组至少增加多少人时，两组才能在规定时间内生产完这批保温杯?24. 如图，AB 为圆O 的直径，点C 为圆上一点，连接AC,BC, 过点B 作圆O 的切线BD, 连接AD交BC 于点E, 交O0 于点F, 连接BF, 且AD平分∠BAC.(1)求证：∠DEB=∠D;(2)若DE=2,BD=5, 求OO 的半径.第24题图数学第5页(共6页)25.【问题背景】已知，在正方形ABCD 中，BD 为正方形的对角线，0为BD 的中点，点E 为射线 OB 上一个动 点(不与点B,O 重合),分别过点B,D 向直线 CE 作垂线，垂足分别为点M,N,连接OM,ON. 【猜想感知】(1)如图①,当点E 在线段O B 上时，判断△O MN 的形状，并说明理由； 【类比探讨】(2)如图②,当点E 在线段OB 的延长线上时，试探究线段BM,OM,DN 之间的数量关系； 【问题解决】(3)若BM=1,DN=4,求线段 OM 的长.图①第25题图图②备用图26.定义：若抛物线C,沿x 轴向右平移m 个单位长度得到抛物线C ₂,那么我们称抛物线C ₂ 是C的“友好抛物线”,m 称为“友好值”.如图，抛物线C:y=a(x+2)²-6 与x 轴交于A(-8,0),B 两点，抛物线C₂是C,的“友好抛物线”,“友好值”为2,抛物线C₂与x 轴交于A₁,B₁ 两点，与y 轴交于点C,作直线 B ₁C,点M 是抛物线 C ₂ 上一动点. (1)抛物线 C,的表达式为 _;(2)若点M 在第四象限，过点M 作MQ ⊥x 轴于点Q,交B₁C 于点P, 当PQ=2PM 时，求MQ 的长；(3)是否存在点M,使得∠MCB₁=15°? 若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理 由.第26题图数学 第6页(共6.页)。

湖南省普通高中学业水平考试仿真数学试卷（专家版四）本试・卷包括选舞题、填空物和解答版三部分，共4页・时量1缈分钟，满分分・「、选撑题（本大题共10个小题.聋小题4分，共40分。

在下列各小多的四个这项中，只看一个选项是符合题目要求的CL设集合4-{5*卅,集合B <-3 *为八门3-{2},则「等于A. 1 K2 八口*42.巳知明,%,小二心,则直线&与直线内的位置关系是%平行 B.相殳或异面C.异面D.平行或异面3,已知向量s = ].弱/三（2所八若事$共镂『则用的值为A TB. - 3Q3 D.E九正弦函数八工》工品⑺K图象的一条对称轴是A. J=O R I=T5.在正方悻AHCD A 8c 口中.直缘g 与平面& BCD」所成的角是, 人加“R6O0 ,八 ,C.田口30，.仙 ~4- 反下面-段程序执行后的结果是——%7.茬了》比“，则下列不第式中正确的是B- a.fb>b-cC.〃 +「：”小数学试题卷第I页（H 4页）PR1X ]8.如图•边长为2的正方形中有一封闭曲线闱成的阴影区域.住正方形中随机撒一粒豆子*它落在阴影区域内的概率为弓,则阴影区域的面枳为U8_星在ZkABC中*已知&n 16*则（等于K3D. 51口.从山摩到山下的招待所的距离为20千米.某人从山顶以4千米/时的速度到山下的招待所，他与招待所的距离H千米）与时间N小时）的函数关系用图象发示为*$20一、填空题放大键共一，小题，厚小第4分，共2口分口）1L将.个城地均匀的六面般子抛掷［加。

次・估计点数是行的次数大妁为12*设向量。

={0,幻/={曰/）,则%力的夹俗等于___________ .1"设，（才」是定义在R上的一个函数，则函数F。

）=*丁）+ ff —1）在R匕一定是---------- ------ '域',奇随数"）偶身数轲「既是奇函数又是偶函数二”非奇非偶函数r四者之一）.此水平放置的△月月「的斜二测直观图如图所示，已知浦U = 3,2V=2,则AH的实际长度为^*£才，，+_y〈l + +则3的拙大值为众一L数学试题卷第2页（共4页）三、解答■本大题其5小乩共40余解答应写出文字说明、证的程或演算步碟J 16”本小题满分6分）设等差数列缶M满足口$ = 5旧尸319J本小腮满分8分)a 如BJ所示.以「两点是函数/C )=总皿卜了十g)(A>0)图象上相邻的两个最高点.D点为函数j 3)图象与j轴的.个交点.□ >若A="求fCH在区间上的值域;(2)若BD_LCD,求人的值.如■(本小题满分10分)如图•在平面直角坐标系X8中，点八(0,*.直线人万一〃_丸设圆C的半径为1,圆心在/上.(1)若圆心C也在直线*=1一］上，求圆E'的方程w(2)对于｛ I｝中的圆&过点在作圆。

2019年湖南省普通高中学业水平考试数学模拟试题 (四 )姓名 分数一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1. 已知集合{1,0,1,2}A =-,{2,1,2}B =-，则A B =I ( ) .A. {1}B. {2}C. {1,2}D. {2,0,1,2}- 2. 若运行右图的程序，则输出的结果是（ ）. A. 4 B. 13 C. 9 D. 223. 将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数为6”的概率是（ ）. A . 13 B. 14 C. 15 D. 164.sincos44ππ的值为（ ）.A.12B.2 C.4 D.5. 已知直线l 过点（0，7），且与直线42y x =-+平行，则直线l 的方程为（ ）. A. 47y x =-- B. 47y x =- C. 47y x =-+ D. 47y x =+6. 已知向量(1,2)=a ,(,1)=-b x ,若⊥a b ,则实数x 的值为（ ）.A.2- B. 2 C. 1- D. 1 7. 已知函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：在下列区间中，函数必有零点的区间为（ ）.A .（1，2） B. （2，3） C.（3，4） D. （4，5）8. 已知直线l ：1y x =+和圆C: 221x y +=，则直线l 和圆C 的位置关系为（ ）. A .相交 B. 相切 C .相离 D. 不能确定 9. 下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）. A.1()3=x y B.3log y x = C.1y x= D. cos =y x 10. 已知实数x y 、满足约束条件100x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z y x =-的最大值为（ ）.A. 1B. 0C.1- D. 2-（第2题图）（请将选择题答案填在下表内） 题号 12345678910答案二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11. 已知函数2(0)()1(0)x x x f x x x ⎧-≥=⎨+<⎩，则(2)f = .12. 把二进制数101（2）化成十进制数为 .13. 在△ABC 中，角A 、B 的对边分别为a b 、, 60,A =︒3,30,a B ==︒则b = .14. 如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积为 .15. 如图，在△ABC 中，M 是BC 的中点，若AB AC AM λ+=u u u r u u u r u u u u r,则实数λ= .三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分6分)已知函数()2sin()3π=-f x x ，∈x R .（1）写出函数()f x 的周期；（2）将函数()f x 图象上的所有的点向左平行移动3π个单位,得到函数()g x 的图象,写出函数()g x 的表达式,并判断函数()g x 的奇偶性. 17. (本小题满分8分)某市为节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，为了较为合理地确定居民日常用水量的标准，通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量（单位：吨），右表是100位居民月均用水量的频率分布表，根据右表解答下列问题： （1）求右表中a 和b 的值；（2）请将频率分布直方图补充完整，并根据直方图估计该市每位居民月均用水量的众数.18. (本小题满分8分)如图,在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ,且PA=AB.（1）求证：BD ⊥平面PAC ； （2）求异面直线BC 与PD 所成的角. 19. (本小题满分8分)如图，某动物园要建造两间完全相同的矩形熊猫居室，其总面积为24平方米，设熊猫居室的一面墙AD 的长为x 米 (26)x ≤≤. （1）用x 表示墙AB 的长；分组 频数 频率 [0,1) 10[1,2) [2,3) 30[3,4) 20[4,5) 10 [5,6] 10 合计1002 2 （第14题图） 正视图 侧视图 23 3 俯视图 （第17题图） PCDA （第18题图） A C BM （第15题图）（2）假设所建熊猫居室的墙壁造价（在墙壁高度一定的前提下）为每米1000元，请将墙壁的总造价y （元）表示为x(米)的函数；（3）当x 为何值时，墙壁的总造价最低？ 20. (本小题满分10分)在正项等比数列{}n a 中，14a =, 364a =. (1) 求数列{}n a 的通项公式n a ;(2) 记4log =n n b a ,求数列{}n b 的前n 项和n S ;(3) 记24,y m λλ=-+-对于（2）中的n S ，不等式n y S ≤对一切正整数n 及任意实数λ恒成立，求实数m 的取值范围.2019年湖南省普通高中学业水平考试数学模拟试题 (四 ) 参考答案一、选择题（每小题4分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CDDACBBABA二、填空题（每小题4分，共20分） ； 12. 5； ；14. 3π；15. 2三、解答题16.解：(1)周期为2π………………………3分 (2)()2sin =g x x ,………………………5分 所以g(x)为奇函数……………………6分 17.解：(1) a =20; ………2分b =.………4分(2)根据直方图估计该市每位居民月均用水量的众数为 ………………8分（说明：第二问中补充直方图与求众数只要做对一个得2分，两个全对的4分.）18.（1）证明：∵PA ABCD ⊥平面，BD ABCD ⊂平面，PA BD ∴⊥，……………………1分又ABCD 为正方形，BD AC ∴⊥，……………2分 而,PA AC 是平面PAC 内的两条相交直线，BD PAC ∴⊥平面……………………4分 (2)解： ∵ABCD 为正方形，BC ∴∥AD ，PDA ∴∠为异面直线BC 与AD 所成的角，…6分xD CF （第19题图）（第16题图）P CDA （第17题图）由已知可知，△PDA 为直角三角形，又PA AB =，∵PA AD =， 45PDA ∴∠=︒，∴异面直线BC 与AD 所成的角为45o.……………………8分19.解：（1）24,⋅==Q AB AD AD x 24∴=AB x…………………2分（2）163000()(26)y x x x=+≤≤………………5分（没写出定义域不扣分）（3）由163000()3000224000x x +≥⨯= 当且仅当16=x x，即4=x 时取等号 4∴=x (米)时，墙壁的总造价最低为24000元.答：当x 为4米时，墙壁的总造价最低.……………8分20.解：(1). 23116a q a ==Q ，解得4q = 或4q =-(舍去)∴4q =……2分111444n n n n a a q --∴==⨯=……………3分 (4q =-没有舍去的得2分)（2）Q 4log ==n n b a n ，………5分∴数列{}n b 是首项11,=b 公差1=d 的等差数列(1)2+∴=n n n S ………7分 (3)解法1：由（2）知，22+=n n nS ，当n=1时，n S 取得最小值min 1=S ………8分 要使对一切正整数n 及任意实数λ有n y S ≤恒成立， 即241λλ-+-≤m即对任意实数λ，241λλ≥-+-m 恒成立，2241(2)33λλλ-+-=--+≤Q ,所以3≥m ,故m 得取值范围是[3,).+∞……………10分 解法2：由题意得：2211422λλ≥-+--m n n 对一切正整数n 及任意实数λ恒成立，即221133(2)(),228λ≥---++m n 因为2,1λ==n 时，221133(2)()228λ---++n 有最小值3，所以3≥m ,故m 得取值范围是[3,).+∞……………10分。

湖南省2022年普通高中学业水平合格性考试（四）数学时量：90分钟 满分：100分一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}0,2,4A =,{}2,0,2B =-, 则A B ⋃= A. {}0,2B. {}2,4-C. []0,2D.{}2,0,2,4-【答案】D 【解析】【分析】由并集运算求解即可【详解】由并集的定义，可得{}A B 2,0,2,4⋃=-. 故选D.【点睛】本题考查集合的并集运算,熟记并集定义是关键,是基础题 2. 设命题:0p x ∀>，20x >，则p ⌝（ ）A. 0x ∃>，20x ≤B. 0x ∀≤，20x >C. 0x ∀>，20x ≤D. 0x ∃≤，20x ≤【答案】A 【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，命题:p “0x ∀>，20x >”的否定:p ⌝“0x ∃>，20x ≤”. 故选：A.3. 已知a ，b ∈R ，且a ＜b ，则下列不等式一定成立的是（ ） A. a +3<b +3 B. a -5>b -5C. 2a >2bD.33a b > 【答案】A 【解析】【分析】利用不等式的性质分析判断 【详解】因为a ，b ∈R ，且a ＜b ，所以由不等式的性质可得33a b +<+，55-<-a b ，22a b <，33a b <， 所以A 正确，BCD 错误， 故选：A4 lg2lg5+=（ ） A. -1 B. 0C. 1D. 10【答案】C 【解析】【分析】利用对数的运算性质求值即可. 【详解】由lg 2lg5lg(25)lg101+=⨯==. 故选：C.5. 一个矩形的周长是20，矩形的长y 关于宽x 的函数解析式为（ ）（默认y >x ） A. y ＝10－x (0<x <5) B. y ＝10－2x (0<x <10) C. y ＝20－x (0<x <5) D. y ＝20－2x (0<x <10) 【答案】A 【解析】【分析】利用周长列方程，化简求得y 关于x 的表达式，求得定义域，由此求得函数解析式.【详解】由题意可知2y ＋2x ＝20，即y ＝10－x ，又10－x >x ，所以0<x <5. 所以函数解析式为()1005y x x =-<<. 故选：A6. 在复平面内，复数i1i+对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A 【解析】【分析】根据复数的乘除运算将复数化为代数形式，然后求出对应点的坐标，再判断对应点的象限即可.【详解】i i(1i)i 111i 1i (1i)(1i)222-+===+++-，其对应点的坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭位于第一象限. 故选：A7. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，若()11f -=，则f （1）=（ ） A. -1 B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性进行求解.【详解】因为f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以111f f .故选：A8. 与y x =为同一函数的是（ ）A. y x =B. y =C. ()(),0,0x x y x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩D. log a x y a =【答案】B 【解析】【分析】根据定义域和对应法则，逐项判断即可得解.【详解】对于A ，函数y x =与y x =的对应法则不同，所以两函数不是同一函数，故A 错误；对于B ，函数y x ==，与函数y x =的对应法则相同，且定义域均为R ，所以两函数同一函数，故B 正确；对于C ，函数()(),0,0x x y x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩的定义域为{}0x x ≠，y x =的定义域为R ，两函数定义域不同，不是同一函数，故C 错误；对于D ，函数log a x y a =的定义域为{}0x x >，y x =的定义域为R ， 两函数定义域不同，不是同一函数，故D 错误. 故选：B.9. 函数()tan 23f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】直接利用函数()tan y x ωϕ=+ 的周期公式T πω=求解.【详解】函数()tan 23f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是22T ππ==，故选：B ．【点睛】本题主要考查正切函数的周期性，还考查了运算求解的能力，属于基础题． 10. 正方体1111ABCD A B C D -中与1AD 垂直的平面是（ ） A. 平面11DD C CB. 平面1A DBC. 平面1111D C B AD. 平面11A DB【答案】D 【解析】【分析】在正方体中，证明1AD ⊥面11A DCB ，而面11DD C C 、面1A DB 、面1111D C B A 均与面11A DCB 相交，即可判断.【详解】正方体1111ABCD A B C D -中，在A 中，1AD 与平面11DD C C 相交但不垂直，故A 错误； 在B 中，1AD 与平面1A DB 相交但不垂直，故B 错误； 在C 中，1AD 与平面1111D C B A 相交但不垂直，故C 错误； 在D 中，11AD A D ⊥，111AD A B ⊥，1111A DA B A =，1AD ∴⊥平面11A DB ，故D 正确.故选D.11. 下列函数中，最小值为2的函数是（ ） A. ()10y x x x=+< B. 222y x x -=+ C.()301y x x =+<<D. 2y =【答案】D 【解析】【分析】根据基本不等式和配方法分别求出各选项的最值，即可得到答案； 【详解】解：对于A ，当0x <时，0y <，故A 错误； 对于B ，2(1)11y x =-+≥，故B 错误；对于C ，当01x <<时，334x <+<，故C 错误；对于D ，222y ===≥，当且仅当0x =取等号，故D正确； 故选：D.12. 某校为了了解学生对“中国梦”伟大构想的认知程度，举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分，以下数据为参加竞赛决赛的15名同学的成绩（单位：分）：68，60，62，76，78，69，70，71，84，74，46，88，73，80，81．则这15人成绩的第80百分位数是（ ） A. 80 B. 80.5C. 81D. 81.5【答案】B 【解析】【分析】将15人的成绩从小达到排列，根据百分位数的定义求解即可.【详解】解：将15人的成绩从小到大排列：46，60，62，68，69，70，71，73，74，76，78，80，81，84，88；又1580%12⨯=，则第12位数字是80，第13位数字是81， 故这15人成绩第80百分位数是808180.52+=. 故选：B.13. 将函数y ＝sin x 的图象上的所有点向右平移5π个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ） A. sin y x =B. cos y x =C. sin 5y x π⎫⎛=-⎪⎝⎭D.sin 5y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】利用三角函数图象的平移变换求解.【详解】解：将函数y ＝sin x 的图象上的所有点向右平移5π个单位长度，所得图象的函数解析式为sin 5y x π⎫⎛=- ⎪⎝⎭. 故选：C14. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，若11AA =，1AB AC ==112B C =，则异面直线1A C 与11B C 所成的角的余弦值为（ ）A.12B.6C.D.8【答案】D 【解析】【分析】11B C ∥BC ，所以1ACB ∠及为异面直线1A C 与11B C 所成的角或其补角，连接1A B ，根据余弦定理即可求得答案.【详解】如图，连接1A B，则1A B ==1AC =，AB =，2BC =，∵11B C ∥BC ，所以1ACB ∠及为所求角或其补角，所以2221111cos 2AC BC A B ACB AC BC ∠+-====⋅.故选：D.15. 在ABC 中，已知2AC =，4BC =，1cos 4C =，则ABC 的面积为（ ）A.4B. 1C. D. 【答案】C 【解析】【分析】先用平方关系求出sin C ，再用面积公式求面积【详解】1cos 4C =⇒sin C ==所以11sin 4222ABCSab C ==⨯⨯=故选：C16. 已知函数()y f x =的大致图象如图所示，则函数()y f x =的解析式可能为（ ）A. 1()sin 1x x e f x x e -=⋅+B. 1()cos 1x x e f x x e -=⋅+C. 1()sin 1x x e f x x e +=⋅-D. 1()cos 1x x e f x x e +=⋅-【答案】A 【解析】【分析】根据特殊值，排除选项.【详解】由图象可知，函数的定义域里有0，所以排除CD ，并且()0f π=，排除B.故选：A17. 甲､乙去同一家药店各购一种医用外科口罩，已知这家药店出售A ，B ､C 三种医用外科口罩，则甲､乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为（ ） A.13B.14C.15D.12【答案】A 【解析】【分析】分别写出基本事件数和符合条件的事件数，利用古典概型公式求解即可. 【详解】甲、乙在A ，B ，C 三种医用外科口罩中各购一种的基本事件有(,)B A ,(,)B B ,(,)B C ,(,)A A ，(,)A B ,(A,C),(C,A),(,)C B ,(,)C C 共9种，其中甲，乙购买的是同一种医用外科口罩基本事件有(,)A A ,(,)B B (,)C C 3种， 则其概率为3193P ==. 故选:A .18. 已知函数()22,0,log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩则下列说法正确的个数是（ ）①()f x 是R 上的增函数；②()f x 的值域为R；③“x ”是“()12f x >”的充要条件；④若关于x 的方程()0f x x a +-=恰有一个实根，则1a > A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C 【解析】【分析】结合分段函数、指数函数、对数函数的图象与性质对四个说法进行分析，由此确定正确答案.【详解】画出()f x 的图象如下图所示，所以()f x 在(],0-∞和()0,∞+上递增，①错误；()f x 的值域为R ，②正确； ()1012f =>，所以③错误；()()0f x x a f x x a +-=⇒=-+，要使“关于x 的方程()0f x x a +-=恰有一个实根”，即()f x 图象与y x a =-+的图象只有一个交点，则1a >，所以④正确. 所以正确的有2个. 故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．19. 已知AB a =，BC b =，CD c =，DE d =，AE e =，则a b c d +++=________． 【答案】e ##AE 【解析】【分析】根据向量加法的三角形法则可得.【详解】()()a b c d AB BC CD DE AC CE AE e +++=+++=+==. 故答案为：e .20. 2sin15cos15︒︒=_____． 【答案】12. 【解析】【详解】 由正弦的背胶公式可得012sin15cos15sin 302==. 21. 某医院一天内派出医生下乡医疗，派出医生的人数及其概率如下表：【答案】0.79 【解析】【分析】从频率分布表中找出至多派出2名医生的所有情况，并将相应的概率相加可得出答案．【详解】由题意可知，事件“至多派出2名医生”包含“派出的医生数为0、1、2”， 其概率之和0.180.250.360.79++=，故答案为0.79．【点睛】本题考查概率的基本性质，考查概率的加法公式的应用，解题时要弄清所求事件所包含的基本事件，考查计算能力，属于基础题．22. 某工厂8年来某种产品年产量C 与时间t (年)的函数关系如图所示.以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快； ②前三年产量增长的速度越来越慢； ③第三年后这种产品停止生产； ④第三年到第八年每年的年产量保持不变. 其中说法正确的序号是________. 【答案】②④ 【解析】【分析】根据函数图象，结合函数增长率的情况，即可容易判断.【详解】由图可知，前3年的产量增长的速度越来越慢，故．错误，．正确； 第三年后这种产品的产量保持不变，故．错误，．正确； 综合所述，正确的为：．．. 故答案为：．．.三、解答题：本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c sin A cos B a =． （1）求角B ；（2）若3b =，sin C A =，求a ，c ．【答案】（1）6B π=；（2）3,a c ==【解析】【分析】．1）利用正弦定理化简已知条件，然后求解B 的大小． ．2）利用正弦定理余弦定理，转化求解即可． 【详解】（1）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=sin sin cos B A A B =． 又因为在ABC ∆中sin 0A ≠．cos B B =．法一：因为0B π<<，所以sin 0B ≠，因而cos 0B ≠．所以sin tan cos 3B B B ==， 所以6B π=．cos 0B B -=即2sin 06B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以()6B k k Z ππ-=∈，因为0B π<<， 所以6B π=． （2）由正弦定理得sin sin a c A C=，而sin C A =，所以c = ，①由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2292cos6a c ac π=+-，即229a c +-=， ②把①代入②得3,a c ==【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.24. 如图，O 是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB 为等腰直角三角形，C 为底面圆周上一点.（1）若弧BC 的中点为D ，求证：//AC 平面POD ；（2）如果PAB △的面积是9，求此圆锥的表面积.【答案】（1）证明见解析；（2）(9π【解析】【分析】（1）证明//AC OD 即可；（2）由条件可得h r =，l =，然后由PAB △的面积是9求出r ，然后可算出答案.【详解】（1） ．AB 是底面圆的直径，．AC BC ⊥．弧BC 的中点为D ，．OD BC又AC ，OD 共面，．//AC OD又AC ⊄平面POD ，OD ⊂平面POD ，．//AC 平面POD（2）设圆锥底面半径为r ，高为h ，母线长为l ，．圆锥的轴截面PAB 为等腰直角三角形，．h r =，l =由21292PAB S rh r =⨯==△，得3r =．圆锥的表面积(2291S rl r r r πππππ=+=+=【点睛】本题考查的是线面平行的证明和圆锥表面积的求法，考查了学生的逻辑推理能力和计算能力，属于基础题.25. 已知f (x )＝ln11mx x --是奇函数. （1）求m ；（2）判断f (x )在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明.【答案】（1）－1； （2）在(1，＋∞)上单调递减，证明见解析.【解析】【分析】(1)根据奇函数()()f x f x --＝即可求出m ；(2)用定义法即可证明f (x )在(1，＋∞)上的单调性﹒【小问1详解】 ()()1111ln ln ,ln ln 1111mx mx mx x f x f x x x x mx+-----==-=-=--+--. ()f x 是奇函数,()()f x f x ∴-=-,即11ln ln 11mx x x mx ---+=+-,得1,1m m -=⎧⎨=-⎩,1m ∴=-；【小问2详解】()f x 在()1,∞+上单调递减.证明:由(1)知()12ln ln 111x f x x x +⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭.任取12,x x 满足121x x <<,2112121222221111111x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+=-=⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭,由121x x <<知,21120,10,10x x x x ->->->, 122211011x x ⎛⎫⎛⎫∴+-+> ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,即122211011x x +>+>--,又ln y x =为增函数,1222ln 1ln 111x x ⎛⎫⎛⎫∴+>+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,即()()12,f x f x >()f x ∴在()1,∞+上是减函数.。

一、单选题二、多选题三、填空题四、解答题1.在等比数列中，，，则（ ）A．B．C．D．2. 若角的终边上有一点，则的值是（ ）A．B ．0C ．1D ．不存在3. 若集合，，则的充要条件是（ ）A．B．C．D．4. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）A ．或B．C．D ．或5. 已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6.是等差数列，且，则的值为（ ）A ．24B ．27C ．30D ．337. 下列函数为奇函数的是（ ）A．B．C．D．8. 设函数满足：对任意实数、都有,且当时，.设.则下列命题正确的是（ ）A．B ．函数有对称中心C ．函数为奇函数D ．函数为减函数9. 已知是虚数单位，若复数，则____10.若函数（且）与的图象有两个交点，则实数的取值范围为___________.11.已知圆，直线上定点，若与圆相交于P ，Q 两点线段PQ 的中点为M ，又与：的交点为，则的值为_______________．12. 函数的部分图象如图所示，T为的最小正周期，若，写出一个满足条件的正整数_____________.2022年湖南省普通高中学业水平合格性考试(四)数学试题(高频考点版)2022年湖南省普通高中学业水平合格性考试(四)数学试题(高频考点版)13. 某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响，统计了近年投入的年研发费用与年销售量的数据，得到散点图如图所示．(1)利用散点图判断和（其中均为大于的常数）哪一个更适合作为年销售量和年研发费用的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）(2)对数据作出如下处理，令，得到相关统计量的值如下表：根据第(1)问的判断结果及表中数据，求关于的回归方程；151528.2556.5(3)已知企业年利润（单位：千万元）与的关系为（其中），根据第(2)问的结果判断，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用?附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，14. 某初中调查了该校名初三学生最近一次数学测试成绩与课堂注意力表现情况，得到下表：数学成绩分数学成绩分总计上课注意力集中418279697上课注意力不集43260303中总计4615391000请根据表中提供的数据判断：上课注意力集中与否对学习成绩有影响吗？15. 若存在使得函数和满足，则称函数为的型“同形”函数.(1)探究：若，，是否存在，使得函数为的型“同形”函数.若存在，求出a，b的值并证明；若不存在，说明理由；(2)在（1）的条件下，函数，若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围.16. 已知函数的部分图象如图所示.(1)求的解析式；(2)若函数在区间上单调递增，求实数a的最大值.。

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湖南省2020年新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷(四)
数学试题
(解析版)
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.某几何体的三视图及其尺寸如图，则该几何体的体积为（）
A. 6
B. 9
C. 12
D. 15
【答案】A
【解析】
【分析】
由三视图可得几何体为横放着的四棱锥，其底面是边长为2和3的矩形，一条长为3的侧棱垂直于底面，再结合棱锥的体积公式求解即可.
【详解】解：由三视图可知,几何体为如图所示的横放着的四棱锥,其底面是边长为2和3的矩形,一条长为3的侧棱垂直于底面,
则
11
2336 33
ABCD
V S SB
=⨯=⨯⨯⨯=,
故选：A.
【点睛】本题考查空间几何体的三视图,由三视图还原几何体是解题的关键,属基础题.
2.已知集合{}1,0,2A =-,}3{B x =，
,若{}2A B ⋂=,则x 的值为（ ） A. 3
B. 2
C. 0
D. 1-
【答案】B
【解析】
【分析】
由{}2A B ⋂=得,2B ∈,可解除答案. 【详解】集合{}1,0,2A =-,}3{B x =，
. {}2A B ⋂=,则2B ∈.
所以2x =.
故选：B
【点睛
本题考查根据两个集合的交集求集合的元素.属于基础题.
3.已知函数()sin cos f x x x =+,则函数()f x 的最大值和周期分别是（ ） 22π 2,π C. 2,2π
D. 2,π
【答案】A
【解析】
【分析】。

[20XX学年高中学业水平数学模拟测试卷(四)]XX学考试卷高中学业水平考试模拟测试卷(四) (时间：90分钟总分100分) 一、选择题(共15小题，每题4分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，全集U＝{1，2，3}，则∁U(P∩Q)等于( ) ．{3} B．{2，3} C．{2} D．{1，3} 解析：因为全集U＝{1，2，3}，集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，所以P ∩Q＝{2}，所以∁U(P∩Q)＝{1，3}，应选D. 答案：D 2．圆x2＋y2－4x＋6y＋11＝0的圆心和半径分别是( ) ．(2，－3)；B．(2，－3)；2 C．(－2，3)；1 D．(－2，3)；解析：圆x2＋y2－4x＋6y＋11＝0的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝2，据此可知圆心坐标为(2，－3)，圆的半径为，应选. 答案：3．已知⊥b，||＝2，|b|＝3且向量3＋2b与k－b相互垂直，则k的值为( ) ．－ B. C．±D．1 解析：因为3＋2b与k－b相互垂直，所以(3＋2b)·(k－b)＝0，所以3k2＋(2k－3)·b－2b2＝0，因为⊥b，所以·b＝0，所以12k－18＝0，k＝. 答案：B 4．若cos＝，则sin＝( ) . B. C．－D．－解析：因为cos＝，所以sin＝sin＝cos＝，应选. 答案：5．已知函数f(x)＝＋，则f(x)的定义域是( ) ．[－1，2) B．[－1，＋∞) C．(2，＋∞) D．[－1，2)∪(2，＋∞) 解析：依据题意得解得x≥－1且x≠2，故f(x)的定义域为[－1，2)∪(2，＋∞)，应选D. 答案：D 6．若双曲线－y2＝1的一条渐近线方程为y＝3x，则正实数的值为( ) ．9 B．3 C.D. 解析：双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±，由题意可得＝3，解得＝，应选D. 答案：D 7．若直线l过点(－1，2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程为( ) ．3x＋2y－1＝0 B．2x＋3y－1＝0 C．3x＋2y＋1＝0 D．2x－3y－1＝0 解析：因为2x－3y＋4＝0的斜率k＝，所以直线l的斜率k′＝－，由点斜式可得l的方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0，应选. 答案：8．已知＝(1，－1，0)，C(0，1，－2)，若＝2，则点D的坐标为( ) ．(－2，3，－2) B．(2，－3，2) C．(－2，1，2) D．(2，－1，－2) 解析：设点D的坐标为(x，y，z)，又C(0，1，－2)，所以＝(x，y－1，z＋2)，因为＝(1，－1，0)，＝2，所以(x，y－1，z＋2)＝(2，－2，0)，即则点D 的坐标为(2，－1，－2)．应选D. 答案：D 9．已知平面α，β和直线m，直线m不在平面α，β内，若α⊥β，则“m∥β〞是“m⊥α〞的( ) ．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由α⊥β，m∥β，可得m⊥α或m∥α或m与α既不垂直也不平行，故充分性不成立；由α⊥β，m⊥α可得m∥β，故必要性成立，应选B. 答案：B 10．将函数y＝sin的图象经怎样平移后，所得的图象关于点成中心对称( ) ．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位解析：将函数y＝sin的图象向左平移φ个单位，得y＝sin的图象，因为该图象关于点成中心对称，所以2×＋2φ＋＝kπ(k∈Z)，则φ＝－(k∈Z)，当k＝0时，φ＝－，故应将函数y＝sin的图象向右平移个单位，选B. 答案：B 11．△BC的内角，B，C的对边分别为，b，c，若C＝，c＝，b＝3，则△BC的面积为( ) . B. C. D. 解析：已知C＝，c＝，b＝3，所以由余弦定理可得7＝2＋b2－b＝2＋92－32＝72，解得＝1，则b＝3，所以S△BC＝bsin C＝×1×3×＝.应选B. 答案：B 12．函数y＝的图象大致是( ) 解析：因为y＝的定义域为{x|x≠0}，所以排除选项；当x＝－1时，y＝0，故排除选项B；当x→＋∞时，y→0，故排除选项D，应选C. 答案：C 13．若实数x，y满足约束条件则z＝x2＋y2的最大值是( ) . B．4 C．9 D．10 解析：作出约束条件的可行域，如图中阴影部分所示，因为(0，－3)，C(0，2)，所以|O||OC|.联立解得B(3，－1)．因为x2＋y2的几何意义为可行域内的动点与原点距离的平方，且|OB|2＝9＋1＝10，所以z＝x2＋y2的最大值是10.应选D. 答案：D 14．已知等差数列{n}的前n项和是Sn，公差d不等于零，若2，3，6成等比数列，则( ) ．1d0，dS30 B．1d0，dS30 C．1d0，dS30 D．1d0，dS30 解析：由2，3，6成等比数列，可得＝26，则(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，即21d＋d2＝0，因为公差d不等于零，所以1d0，21＋d＝0，所以dS3＝d(31＋3d)＝d20.应选C. 答案：C 15．如下图，在正三角形BC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为F，D，BE，DE的中点．将△BC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，HG与IJ所成角的度数为( ) ．90°B．60°C．45°D．0°解析：将△BC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，点，B，C重合为点M，得到三棱锥M-DEF，如图．因为I、J分别为BE、DE的中点，所以IJ∥侧棱MD，故GH与IJ所成的角等于侧棱MD与GH所成的角．因为∠HG＝60°，即∠MHG ＝60°，所以GH与IJ所成的角的度数为60°，应选B. 答案：B 二、填空题(共4小题，每题4分，共16分．) 16．设公比不为1的等比数列{n}满足123＝－，且2，4，3成等差数列，则公比q＝______，数列{n}的前4项的和为_______．解析：公比不为1的等比数列{n}满足123＝－，所以＝－，解得2＝－，3＝－q，4＝－q2，又2，4，3成等差数列，故24＝2＋3，解得q＝－，1＝1，由Sn＝可得S4＝. 答案：－17．设函数f(x)(x∈R)满足|f(x)－x2|≤，|f(x)＋1－x2|≤，则f(1)＝________．解析：由|f(x)－x2|≤，得－≤f(x)－x2≤. 由|f(x)＋1－x2|≤，得－≤f(x)－x2＋1≤，即－≤f(x)－x2≤－，所以f(x)－x2＝－，则f(1)－1＝－，故f(1)＝. 答案：18．若半径为10的球面上有、B、C三点，且B＝8，∠CB＝60°，则球心O到平面BC的距离为________．解析：在△BC中，B ＝8，∠CB＝60°，由正弦定理可求得其外接圆的直径为＝16，即半径为8，又球心在平面BC上的射影是△BC的外心，故球心到平面BC的距离、球的半径及三角形外接圆的半径构成了一个直角三角形，设球面距为d，则有d2＝102－82＝36，解得d ＝6.故球心O到平面BC的距离为6. 答案：6 19．已知动点P 是边长为的正方形BCD的边上任意一点，MN是正方形BCD 的外接圆O的一条动弦，且MN＝，则·的取值范围是________．解析：如图，取MN的中点H，连接PH，则＝＋＝－，＝＋. 因为MN＝，所以·＝2－2＝2－≥－，当且仅当点P，H重合时取到最小值．当P，H不重合时，连接PO，OH，易得OH＝，则2＝(＋)2＝2＋2·＋2＝2＋－2||||·cos∠POH＝2＋－||·cos∠POH≤2＋＋||≤＋，当且仅当P，O，H三点共线，且P在，B，C，D其中某一点处时取到等号，所以·＝2－≤＋1，故·的取值范围为. 答案：三、解答题(共2小题，每题12分，共24分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．) 20．已知△BC的三个内角，B，C的对边分别为，b，c.若sin2＋sin2B－sin2C＝sin sin B. (1)求角C的大小；(2)若△BC的面积为2，c＝2，求△BC的周长．解：(1)由sin2 ＋sin2 B－sin2 C＝sin sin B及正弦定理，得2＋b2－c2＝b，由余弦定理得cos C＝＝，因为C∈(0，π)，所以C＝. (2)由(1)知C＝. 由△BC的面积为2得b·＝2，解得b＝8，由余弦定理得c2＝2＋b2－2b×＝(＋b)2－3b＝12，所以(＋b)2＝36，＋b＝6，故△BC的周长为6＋2. 21．如图，直线l与椭圆C：＋＝1交于M，N两点，且|MN|＝2，点N关于原点O的对称点为P. (1)若直线MP的斜率为－，求此时直线MN的斜率k的值；(2)求点P到直线MN的距离的最大值．解：(1)设直线MP的斜率为k′，点M(x，y)，N(s，t)，则P(－s，－t)，k′＝－，且＋＝1，＋＝1，所以y2＝2－，t2＝2－. 又k′·k＝·＝＝＝－. 且k′＝－，所以k＝1. (2)当直线MN的斜率k存在时，设其方程为y＝kx＋m，由消去y，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－4＝0，则Δ＝8(4k2－m2＋2)0，x1＋x2＝，x1·x2＝，由|MN|＝|x1－x2|＝·＝2，化简得m2＝. 设点O到直线MN的距离为d，则P到MN的距离为2d，又d＝，则4d2＝＝＝8－8，所以02d2. 当直线MN的斜率不存在时，则M(－，1)，N(－，－1)，则P(，1)，此时点P到直线MN的距离为2. 综上，点P到直线MN的距离的最大值为2.。