单个正态总体参数的双侧区间估计

解:(1)总体N , 2 的的置信水平为1的双侧
置信区间分两种情况:
2已知时，为 X
n
z 2 , X &#
t
2
它们都关于X 对称，所以
(n 1), X + 区间长度
S n
t
2 (n
1)
11.46 7.54
置信下限 9.5 (11.46 9.5) 7.54; 3.92. 17
本X1,..., X n的观测值，若样本均值x 9.5,且参数
的置信水平为1 的双侧置信区间的置信上限
为11.46.(其中(1.96) 0.975) (1)求该双侧置信区间的置信下限及区间长度l；
（2）若已知 4,为使双侧置信区间的置信度达
到0.95, 且区间长度不超过l，求最小样本容量n.
16
22
总结： （1）正确理解置信区间的含义， （2）正确运用置信区间的公式
确定参数
2已知 2未知
的置信区间.
2
23
21
解：总体X ~ B(1, p),均值 p,方差 2 p(1 p), p的置信度为1 的近似置信区间为
X z /2S / n , X z /2S / n
n
650,
pˆ
x
52 650
0.08,
s2
pˆ (1
pˆ )
0.0736,
查表知 z0.025 1.96，代入得(0.059,0.101).
常取a 和b 满足
P此(G时( X，1,P...,XˆL
n
(
; ) a)
X1,, X
n)
P(G(X11,...,2X,
n
;
)
b)
2
.

正态总体参数的区间估计实验结论正态总体参数的区间估计是统计学中一种常用的方法，可以帮助我们估计未知正态总体参数的取值范围。

通过构建置信区间，我们可以在一定的置信水平下对总体参数的取值范围进行估计。

以下是一个关于正态总体参数的区间估计实验结论。

在本实验中，我们以某个地区的成年人男性身高为研究对象，采集了一组样本数据。

通过对样本数据的分析和计算，得出了平均身高和标准差的估计值，并以此构建了置信区间。

首先，我们计算出了样本数据的均值为175cm，并且样本的标准差为5cm。

接下来，我们选择了一个置信水平为95%的置信区间进行计算。

根据正态分布的性质，我们可以使用标准正态分布表来确定置信区间的边界。

通过查表，我们找到了置信水平为95%对应的临界值，记为z。

在本实验中，z的取值为1.96。

然后，我们可以根据样本的均值、标准差和样本容量来计算置信区间的上限和下限。

置信区间的上限计算公式为：上限 = 均值 + z * (标准差/ √样本容量)；置信区间的下限计算公式为：下限 = 均值 - z * (标准差/ √样本容量)。

根据实验数据的计算，最终得出了置信区间为(172.04cm,177.96cm)。

这意味着在95%的置信水平下，我们可以合理地推断该地区成年男性的平均身高位于该区间内。

这个实验结论具有以下几个指导意义。

首先，通过正态总体参数的区间估计，我们可以更准确地估计未知总体参数的取值范围，有助于我们了解总体的特征。

其次，通过选择合适的置信水平，我们可以控制估计结果的可靠性和精确度。

在本实验中，我们选择了95%的置信水平，意味着我们有95%的把握让估计结果覆盖真实总体参数。

最后，置信区间的上下限提供了关于总体参数范围的重要信息，可以用来支持决策和制定策略。

总之，正态总体参数的区间估计是一种重要的统计方法，可以为我们提供对未知总体参数取值范围的估计。

通过该方法，我们可以在一定的置信水平下对总体参数进行准确的估计，从而为实际问题的分析和决策提供科学依据。

第十九讲 正态总体均值及方差的区间估计1. 单个正态总体方差的区间估计设总体),(~2σμN X ， ),,(21n X X X 为来自X 的一个样本，已给定置信度（水平）为α-1，求2σ的置信区间。

①当μ已知时，由于),(~2σμN X i ，因此，)1,0(~N X i σμ-（,2,1=i n , ）。

由2χ分布的定义知：∑=-ni i n X 1222)(~)(χσμ，据)(2n χ分布上α分位点的定义，有：αχσμχαα-=<-<∑=-1)}()()({21222122n X n P ni i从而αχμσχμαα-=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-∑∑1)()()()(2112221222n X n X P ni i ni i 故2σ的置信度为α-1的置信区间为：⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==∑∑)()(,)()(211221222n X n X ni i n i i ααχμχμ ②当μ未知时，据抽样分布有：)1(~)1(222--n S n χσ类似以上过程，得到第七章 参数估计第5节 正态总体均值及方差的区间估计单个正态总体均值的区间估计 ①当2σ已知时，μ的置信水平为α-1的置信区间为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±2ασz n X （5.1） ②当2σ未知时，μ的置信水平为α-1的置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±)1(2n t n SX α.（5.4）注意：当分布不对称时，如2χ分布和F 分布，习惯上仍然取其对称的分位点，来确定置信区间，但所得区间不是最短的。

αχσχαα-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--<<---1)1()1()1()1(21222222n S n n S n P 2σ的置信度为α-1的置信区间为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----)1()1(,)1()1(2122222n S n n S n ααχχ σ的置信度为α-1的置信区间为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1()1(,)1()1(2122222n S n n S n ααχχ 例２ 有一大批袋装糖果, 现从中随机地取出16袋, 称得重量(以克计)如下:506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布, 求总体标准差σ的置信水平为0.95的置信区间.解：总体均值μ未知，σ的置信度为α-1的置信区间为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1()1(,)1()1(2122222n S n n S n ααχχ 此时，,975.021,025.02,05.0=-==ααα16=n ，查表得,488.27)15(025.0=χ,262.6)15(975.0=χ由给出的数据算得.4667.382=s 因此，σ的一个置信度为0.95的置信区间为（4.58，9.60）.2. 两个正态总体均值差的区间估计设总体),(~),,(~222211σμσμN Y N X ，且X 与Y 相互独立，),,(21m X X X 来自X 的一个样本，),,,(21n Y Y Y 为来自Y 的一个样本，且设2221,,,S S Y X 分别为总体X 与Y 的样本均值与样本方差，对给定置信水平α-1，求21μμ-的一个置信区间。

本方差，给定置信度 1 求:方差 2 的置信区间.
解: Q S 2 是 2 的无偏估计，且统计量：
(n 1)S 2
2
~ 2(n 1)
是不依赖于任何未知参数的。
概率统计
故对于给定的置信水平，
按照 2分布的上 分
位点的定义有：
P
{|
(n
1)
2
s2
|
2
2(n
1)}
1
从中解得：
P{
求: 的 95% 的置信区间.
X
解: 由已知： Q 1 95% 5%,
n
~ N (0,1)
查正态分布表得： z z0.05 z0.025
((z0.025 ) 1 0.025 0.975)
2
2
u(1 0.025) 1.96
得：
0.029
n
z
2
1.96 0.014 16
概率统计
例4. 求 例3 中的 (1), (2)两种情况下， 2 的置信度为
0.9 的置信区间.
(1) 用金球测定观察值为: 6. 683, 6. 681, 6. 676,
取统计量：
解: 在(1)中
6. 678, 6. 679, 6. 672
(n 1) s2 (6从而 的 95%的置信区间为：
(2.705 0.014, 2.705 0.014) (2.691, 2.719)
即用 X 2.705 来估计 值的可靠程度达到 95%
的区间范围是 (2.691, 2.719)
(2). 方差 2 未知的情形
Q 2 未知，但考虑到样本方差是 2的无偏估计，
2
1
2(n
1)
(n 1)S 2

1)
1,
即
P
X
S n t / 2 (n 1)
X
S n
t
/
2
(n
1)
1
,
于是得 的置信度为 1 的置信区间
X
S n
t
/
2
(n
1)
.
例1 有一大批糖果, 现从中随机地取16袋, 称得
重量(克)如下:
506 508 499 503 504 510 497 512
514 505 493 496 506 502 509 496
2
2
/
2
(n
1)
1,
即
(n 1)S 2
P
2
/
2
(
n
1)
2
(n 1)S 2
2 1
/
2
(n
1)
1 ,
于是得方差 2 的置信度为1 的置信区间
(n
2 /
1)S 2(n
2
1)
,
(n
2 1
/2
1)S 2 (n 1)
.
进一步可得:
标准差 的一个置信度为1 的置信区间
n 1S ,
只要n1和n2都很大(实用上 50即可), 则有
1 2的一个置信度为1 的近似置信区间
X
Y
z / 2
S12 n1
S22 n2
.
(3)
2 1
22
2,
但 2 为未知,
1 2的一个置信度为1 的置信区间
X Y t / 2(n1 n2 2)Sw
1 n1
1 n2
.
其中
Sw2
2. 两个总体方差比 12 的置信区间 22

总体参数的区间估计公式在进行区间估计时，我们首先需要收集到一个样本，并根据样本对总体参数进行估计。

然后根据样本的统计量，结合分布的性质和抽样方法，建立置信区间。

设总体参数为θ，我们希望得到它的置信水平为1-α的置信区间。

置信水平表示我们对总体参数的估计的可信程度，一般常用的置信水平有90%、95%和99%等。

参数估计的方法有很多，具体的方法选择取决于总体参数的性质、样本的大小以及其他假设条件。

常见的参数估计方法有：1.总体均值的区间估计：假设总体呈正态分布，样本大小为n，则总体均值的区间估计公式为：[样本均值-Z值（α/2）*总体标准差/√(n),样本均值+Z值（α/2）*总体标准差/√(n)]其中Z值（α/2）为标准正态分布的分位数，可以从标准正态分布表中查得。

2.总体比例的区间估计：假设总体为二项分布，样本大小为n，成功的次数为x，则总体比例的区间估计公式为：[样本比例-Z值（α/2）*√(样本比例*(1-样本比例)/n),样本比例+Z值（α/2）*√(样本比例*(1-样本比例)/n)]其中Z值（α/2）为标准正态分布的分位数，可以从标准正态分布表中查得。

3.总体方差的区间估计：假设总体呈正态分布，样本大小为n，则总体方差的区间估计公式为：[(n-1)*样本方差/卡方分布（α/2）,(n-1)*样本方差/卡方分布（1-α/2])]其中卡方分布是用于描述自由度为n-1的卡方随机变量的概率分布，可以从卡方分布表中查得。

以上是常见的总体参数区间估计公式，这些公式是根据统计学理论推导而来的，适用于不同情况下的参数估计。

在实际应用中，我们根据具体问题和假设条件选择适当的参数估计方法，计算置信水平的区间估计，从而对总体参数进行估计和推断。

正态总体参数的区间估计实验结论在统计学中，正态分布是一种非常重要的分布，许多自然现象和实验数据都可以用正态分布来描述。

而在实际应用中，我们常常需要估计正态总体的参数，比如均值和标准差。

在这篇文章中，我将介绍如何利用区间估计的方法来估计正态总体的参数，并给出一个实验结论。

让我们来回顾一下区间估计的基本原理。

区间估计是通过样本数据来估计总体参数的一种方法，其核心思想是利用样本数据给出一个参数的估计区间，该区间包含真实参数的概率较高。

在正态总体参数的区间估计中，我们通常使用样本均值和样本标准差来进行估计。

接下来，我将介绍一个实际的例子来说明正态总体参数的区间估计方法。

假设我们有一批产品的重量数据，我们想要估计这批产品的平均重量。

我们随机抽取了一部分产品进行称重，得到了样本均值和样本标准差。

根据中心极限定理，我们知道样本均值的分布是正态分布的，可以利用这一性质来构建参数的置信区间。

假设我们得到的样本均值为100，样本标准差为5，样本量为30。

我们可以利用正态分布的性质来构建样本均值的置信区间，假设置信水平为95%，那么我们可以计算出置信区间为(98, 102)。

这意味着在95%的置信水平下，真实的总体平均重量落在98到102之间。

通过这个简单的例子，我们可以看到区间估计的重要性和实际应用。

在实际问题中，我们往往无法得知总体参数的真实值，只能通过样本数据来进行估计。

区间估计可以帮助我们对参数的估计进行更准确的评估，同时也可以给出参数估计的不确定性范围。

总的来说，正态总体参数的区间估计是统计学中一种常用的方法，通过构建置信区间来估计总体参数的真实值。

在实际应用中，我们可以根据样本数据来进行参数的估计，同时也可以评估参数估计的置信水平。

通过区间估计的方法，我们可以更准确地了解总体参数的情况，为决策提供更可靠的依据。

希望本文能帮助读者更好地理解正态总体参数的区间估计方法，并在实际问题中应用到实践中。

总体参数的区间估计公式(一)总体参数的区间估计公式1. 总体均值的区间估计公式• 单个总体均值的区间估计公式：x ‾±z ⋅σ√n其中，x ‾为样本的平均值，σ为总体标准差，n 为样本容量，z 为置信水平对应的标准正态分布的临界值。

例：假设某地有100人，我们从中随机抽取了50人进行调查，发现他们的平均年龄为30岁，总体标准差为5岁。

现在我们希望估计这个地区的总体平均年龄在置信水平为95%的情况下的区间估计。

根据公式，我们可以得到：30±⋅5√50 计算后得到的区间估计为：岁 ~ 岁。

2. 总体比例的区间估计公式• 单个总体比例的区间估计公式：p̂±z ⋅√p̂(1−p̂)n其中，p̂为样本中的比例，n 为样本容量，z 为置信水平对应的标准正态分布的临界值。

例：某医院想要估计该地区患有某种疾病的总体比例置信水平为90%的情况下的区间估计。

他们随机调查了500名患者中有50人确诊为该疾病。

根据公式，我们可以得到：50500±⋅√50500(1−50500)500计算后得到的区间估计为： ~ 。

3. 总体方差的区间估计公式• 单个总体方差的区间估计公式：(n −1)s 2χα/2,n−12≤σ2≤(n −1)s 2χ1−α/2,n−12 其中，s 2为样本方差，n 为样本容量，α为显著性水平，χα/2,n−12和χ1−α/2,n−12为自由度为n −1的卡方分布的上分位数。

例：某公司想要估计员工的工资水平的总体方差置信水平为90%的情况下的区间估计。

他们随机调查了30名员工的工资，得到样本方差为100000。

根据公式，我们可以得到：(30−1)⋅100000χ/2,292≤σ2≤(30−1)⋅100000χ/2,292 计算后得到的区间估计为： ~ 。

以上列举了总体参数的区间估计公式，并通过具体例子进行了解释。

根据不同的问题和数据类型，可以选择相应的公式进行区间估计。

（单侧检验）
2
(n
1)S 2
2 0
～2n1
2
2 /2
n
1
或
2
2 1- / 2
n 1
2 2 n 1
2
≥
2 0
2
<
2 0
（单侧检验）
2
2 1-
n
1
2. 两个正态总体均值及方差的假设检验表(显著性水平 α)
条件 原假设 H0 备择假设 H1
检验统计量
拒绝域
12
，
2 2
已知
1 =2 1 2 1 2
1 2
1 2
（单侧检验）
SW
(n1 1)S12 (n2 1)S22 n1 n2 2
T < - t (n1 n2 2)
1，2
未知
2 1
=
2 2
2 1
≤
2 2
2 1
≠
2 2
（双侧检验）
2 1
>
2 2
（单侧检验）
F
S12 S22
～
F ( n1 - 1, n2 - 1)
F ≥ F /2 n1 1, n2 1
已知
0 / n
X
0 n
u
/2,
X
0 n
u
/2
2 未知 T X 0 ～ t(n 1) S/ n
X
S n 1
t / 2
n
1 ,
X
S n
1
t
/
2
n
1
方差 2
未知
2
(n 1)S 2
2 0
～2n1
(n 2 /
1)S 2

总体均值μ的区间估计是一种基于抽样 调查的方法，通过样本均值和标准差 来估计总体均值的范围，常用t分布或z 分布计算置信区间。
详细描述
在进行总体均值μ的区间估计时，首先 需要收集样本数据，计算样本均值和 标准差。然后，根据样本数据的大小 和置信水平，选择适当的分布（如t分 布或z分布）来计算置信区间。最后， 根据置信区间的大小和分布特性，可 以得出总体均值μ的可能取值范围。
正态分布的性质
集中性
正态分布的曲线关于均值μ对称。
均匀变动性
随着x的增大，f(x)逐渐减小，但速 度逐渐减慢。
随机变动性
在μ两侧对称的位置上，离μ越远， f(x)越小。
正态分布在生活中的应用
金融
正态分布在金融领域的应用十分 广泛，如股票价格、收益率等金 融变量的分布通常被假定为正态 分布。
生物医学
THANKS
感谢观看
实例二：总体方差的区间估计
总结词
在正态分布下，总体方差的区间估计可以通过样本方 差和样本大小来计算。
详细描述
当总体服从正态分布时，根据中心极限定理，样本方差 近似服从卡方分布。因此，总体方差σ²的置信区间可以 通过以下公式计算：$[s^2 cdot frac{n - 1}{n} cdot F^{-1}(1 - frac{alpha}{2}), s^2 cdot frac{n - 1}{n} cdot F^{-1}(1 - frac{alpha}{2})]$，其中$s^2$是样本 方差，$n$是样本容量，$F^{-1}$是自由度为1的卡方 分布的逆函数，$alpha$是显著性水平。
详细描述
当总体服从正态分布时，根据中心极限定理，样本均值 近似服从正态分布。因此，总体均值μ的置信区间可以通 过以下公式计算：$[bar{x} - frac{s}{sqrt{n}} cdot Phi^{-1}(1 - frac{alpha}{2}), bar{x} + frac{s}{sqrt{n}} cdot Phi^{-1}(1 - frac{alpha}{2})]$，其中$bar{x}$是样 本均值，$s$是样本标准差，$n$是样本容量，$Phi^{1}$是标准正态分布的逆函数，$alpha$是显著性水平。

概率论与数理统计
07
参数估计
问题
如何让与θ的误差体现在估计中？ˆθ•湖中鱼数的真值[ ]对给定的置信水平(置信度)1－α
办法称为未知参数θ的置信度为1－α的置信区间.12
ˆˆ(,)θθ置信下限(X 1, X 2, …, X n )和置信上限(X 1, X 2, …, X n )1ˆθ2
ˆθ12
ˆˆ()1P θθθα<<≥−使含义若1－α=0.95，抽样100次中约有95个包含θ.12
ˆˆ(,)θθ
单个正态总体均值的区间估计σ2已知μ的置信度为1－α的置信区间为2~(,)
X N n
σμ/2()1/X P u n
αμασ−<=−/2/2()1P X u X u n n αασσμα−<<+=−/2/2(,);X u X u n n αασσ−+/2()
X u n ασ±2~(0,1)n X N σμ−
➢置信区间长度注➢相同置信水平下，置信区间选取不唯一.
l = 2σn u α/2 /2/2(,)
X u X u n n αασσ−+单个正态总体均值的区间估计
例滚珠直径X ~N (μ, 0.0006)，从某天生产的滚珠中随机抽取6个，测得直径为(单位：mm) 1.46 1.51 1.49 1.48 1.52 1.51
求μ 的置信度为95%的置信区间.解/2/2(,)
X u X u n n αασσ−+单个正态总体均值的区间估计
1.495x =，0.05α=，
0.05/20.025 1.96u u ==0.0006(1.495 1.96)6±⨯(1.4754,1.5146)=。

, 0
2
2 ( 1 , ) 2
已知
≥0
2
2
2
2
2
( n 1)
( n 1)
]
正态总体均值和方差的假设检验 检 验 法
H H
0
1
检验统计量
自 由 度
拒绝域
| |
2
条件
0
≠ 0
> 0 < 0
=
x 0
μ
检 验
≤ 0
≥ 0
0
n
0
, 0
2
已知
0
| t | t
六大分布的期望和方差 分布 参数为 p 的 0~1 分布 离 散 型 分布率或概率密度 P{X=0}=q, P{X=1}=p; 0<p<1,q=1-p P{X=k}=C n p q k=0,1,…,n;0<p<1,q=1-p 泊松分布 X~P(λ ) P{X=k}=
e
k
期望
方差
p np λ
设 x 1 , x 2 , , x n 为来自正态总体 N ( , ) 的一个样本，则样本函数
2
t 分布
def
t
x s/ n
~ t ( n 1 ),
其中 t(n-1)表示自由度为 n-1 的 t 分布。
2
设 x 1 , x 2 , , x n 为来自正态总体 N ( , ) 的一个样本，则样本函数
n
μ = t=

(x )

(x ) s ( n 1) s
2
[x u [x t [

2

总体参数的区间估计公式摘要：1.总体参数的区间估计概述2.区间估计公式的推导3.区间估计在统计学中的应用正文：一、总体参数的区间估计概述总体参数的区间估计是统计学中一种重要的参数估计方法。

在实际问题中，我们通常需要对总体的某个未知参数进行估计，例如均值、方差等。

由于样本数据的随机性，我们需要通过一定的方法来估计总体参数的真实值，区间估计就是其中一种常用的方法。

区间估计的核心思想是利用样本数据计算出一个区间，该区间内包含总体参数真实值的概率在一定范围内。

这个概率范围通常用置信水平来表示，置信水平越高，所估计的区间范围就越宽，包含总体参数真实值的可能性就越大。

二、区间估计公式的推导设总体X 的概率密度函数为f(x)，样本容量为n，样本均值为x，样本标准差为s，我们要估计总体均值μ。

根据中心极限定理，当n 充分大时，样本均值的分布近似于正态分布，即：x ~ N(μ, σ/n)其中，σ为总体方差。

为了估计总体均值μ，我们可以构造一个置信区间。

设α为置信水平，对应的Z 值为Zα，那么：μ的置信区间为：x ± Zα * s / √n其中，s / √n 为样本标准差除以√n，它实际上是总体标准差σ的估计。

三、区间估计在统计学中的应用区间估计在统计学中有广泛的应用，主要包括以下几个方面：1.对总体参数的单个估计：通过构造置信区间，我们可以估计总体参数的单个值，如均值、方差等。

2.对总体参数的统计推断：通过比较不同置信水平下的置信区间，我们可以对总体参数进行统计推断，如判断总体参数是否等于某个值等。

3.对样本容量的估计：在实际问题中，我们通常需要根据样本数据来估计总体参数，而样本容量的大小直接影响到估计的准确性。

通过构造置信区间，我们可以估计合适的样本容量。

若存在统计量 θ θ ( X 1 , X 2 , , X n ) 和 θ θ ( X 1 , X 2 , , X n )， 使得 P {θ θ θ } 1 α， 则称区间 (θ , θ ) 是参数θ 的置信度为1-α的置信区间， θ 和 θ 分别称为置信度 为1-α的置信区间的置信下限和置信上限， 1-α称为置 信度。
第四节
参数的区间估计
一、置信区间和置信度 二、单个正态总体均值和方差的置信区间 三、两个正态总体均值差的置信区间 四、两个正态总体方差比的置信区间
一、置信区间和置信度 P152
1.定义： 设总体X的概率密度为 f ( x , θ )， θ是未知参数， X1,X2,…,Xn为X 的样本，对于事先给定的α (0<α<1)，
（一）总体均值 的估计 2 1. 方差 已知 （X z 2 , X z 2 ）
n n
S S 2. 方差 （X t ( n 1), X t ( n 1) ） n 2 n 2 （二）总体方差n 2的估计 n
2未知
1. 已知
（ i 1
2 ( X μ ) i 2 χα (n)
注： (1)置信区间的长度反映了估计的精确度，置信区间
长度越小，估计的精确度越高. (2)置信度1－α反映了估计的可靠度， 1－α 越大越可
靠. 但是，若提高可靠度就会降低精确度，提高精确
度就会降低可靠度. 处理原则： 先保证可靠度（置信度）1－α, 再选置信区间中长 度最小的那个以提高精确度.
二、单个正态总体均值和方差的置信区间
所以，总体均值 的置信度为0.95的置信区间是：
n 7 7 （ 115 1.96 , 115 1.96 ） （110.43 , 119.57） 9 9

这个误差的可信度为95%. 这个误差的可信度为
续例) 续例 求补充1中总体标准差 例2 (续例 求补充 中总体标准差σ 的置信度为 0.95的置信区间 的置信区间. 的置信区间 解
α
2
975,
n − 1 = 15,
附表2-2 附表
查 χ 2 ( n − 1) 分布表可知 :
= 1 − α,
即
S12 σ12 S12 1 1 P 2 < 2< 2 S2 F1−α / 2 (n1 − 1, n2 − 1) S2 Fα / 2 (n1 − 1, n2 − 1) σ 2
2 S12 S1 1 1 2 . , 2 S F (n − 1, n − 1) S F (n1 − 1, n2 − 1) 2 1−α / 2 2 α/2 1 2
注意: 在密度函数不对称时,如χ 2 分布和 F分布, 注意: 在密度函数不对称时, 习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间(如图). 习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间(如图).
二、两个总体 N ( µ1 ,σ ), N ( µ 2 ,σ )的情况
2 1 2 2
设给定置信度为1 − α , 并设 X 1 , X 2 ,L, X n 为
σ 于是得 的一个置信度为1 − α 的置信区间 σ
2 1 2 2
= 1 − α,
例5
2
生产的钢管内径, 研究由机器 A 和机器 B 生产的钢管内径
随机抽取机器 A 生产的管子 18 只, 测得样本方差
为s1 = 0.34(mm 2 ); 抽取机器 生产的管子 13 只, 抽取机器B生产的管子
2 测得样本方差 s 2 = 0.29(mm 2 ). 设两样本相互独
其中

正态分布N (μ,σ)参数区间估计允许μ为任意的实数,σ为任意的正实数。

基于Wolfram Mathematica ,给出了正态分布N (μ,σ)抽样定理,从而得到参数μ,σ2,σ的区间估计。

在σ已知和未知情形下,通过均值分布、中位值分布、卡方分布三种方法估计总体均值μ,区间长度均值分布最短,卡方分布次之,中位值分布最长,但当样本量n 较大时,区间长度趋于接近。

在μ已知和未知情形下,通过卡方分布可以估计总体方差的置信区间,通过卡分布、卡方分布可以估计总体标准差的置信区间。

最后给出不同情形下不同方法的MMA 程序及运行结果。

◼抽样分布定理引理1：X Ν(μ,σ)⇔X -μσΝ 0,1 .转换分布TransformedDistributionX -μσ,X 正态分布NormalDistribution [μ,σ]NormalDistribution [0,1]转换分布TransformedDistribution [μ+X σ,X 正态分布NormalDistribution [],假设Assumptions →σ>0]NormalDistribution [μ,σ]引理2:X χ(ν)⇔X 2 χ2(ν).转换分布TransformedDistribution X 2,X 卡分布ChiDistribution [ν]ChiSquareDistribution [ν]转换分布TransformedDistribution X ,X 卡方分布ChiSquareDistribution [ν]ChiDistribution [ν]引理3:X Ν 0,1 ,Y χ2(n )⇒Xt (n ).=转换分布TransformedDistributionX,{X 正态分布NormalDistribution [],Y 卡方分布ChiSquareDistribution [n ]} ;概率密度函数PDF [ ,x ]==⋯PDF [学生t 分布StudentTDistribution [n ],x ]//幂展开PowerExpand //完全简化FullSimplify [#,n >0&&x ≠0]&True定理1：X i Ν(μ,σ)⇒X -Νμ,σn⇔X --μσnΝ 0,1 .CharacteristicFunction NormalDistribution [μ,σ],t nn;特征函数CharacteristicFunction 正态分布NormalDistribution μ,σn,t ;%⩵%%//完全简化FullSimplify [#,n >0&&n ∈整数域Integers ]&True定理2：X i Ν(μ,σ)⇒ i =1nX i -μσ2=∑i =1n (X i -μ)2σ2χ2(n )⇔σχ(n ).转换分布TransformedDistributionX [i ]-μσ,X [i ] 正态分布NormalDistribution [μ,σ]NormalDistribution [0,1]n =7;=转换分布TransformedDistribution i =1nY [i ]2,数组Array [Y,n ] 联合分布ProductDistribution [{正态分布NormalDistribution [],n }]ChiSquareDistribution [7]定理3:X i Ν(μ,σ)⇒(n -1)S 2σ2χ2 n -1⇔σχ n -1 .令Y i =X i -μσ,则(n -1)S 2σ2=i =1n2=i =1n-= i =1nY i -Y 2= i =1nY i 2-2Y Y i +Y 2= i =1nY i 2-2Y i =1nY i +n Y 2= i =1nY i 2-n Y 2χ2n -1 ⇒σχ n -1 .2 正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nbn =n0=35;=转换分布TransformedDistribution i =1nY [i ]2-1ni =1nY [i ]2,数组Array [Y,n ] 联合分布ProductDistribution [{正态分布NormalDistribution [],n }] ;Block {n =n0},显示Show 直方图Histogram 伪随机变数RandomVariate ,2×106 ,500,"概率密度函数PDF" ,绘图Plot [⋯PDF [卡方分布ChiSquareDistribution [n -1],x ],{x,5,65},绘图样式PlotStyle →粗Thick ]定理4:X i Ν(μ,σ)⇒X --μSnt n -1 .根据定理1,得X iΝ(μ,σ)⇒X --μσnΝ 0,1 ,根据定理3,得(n -1)S 2σ2χ2 n -1 ,根据引理3,X --μσn=X --μSnt n -1 .定理5：F Xn +12=正则化的不完全贝塔函数BetaRegularized12补余误差函数Erfc-x +μ2σ ,1+n2,1+n 2,n =2k +1.次序分布OrderDistribution {正态分布NormalDistribution [μ,σ],n },n +12;累积分布函数CDF [%,x ]//完全简化FullSimplifyBetaRegularized 12Erfc ,1+n 2,1+n 2推论：μ=x +2σ反互补误差函数InverseErfc 2正规化不完全贝塔函数的逆InverseBetaRegularized q,1+n 2,1+n 2.In[2]:=解方程Solve 正则化的不完全贝塔函数BetaRegularized12补余误差函数Erfc-x +μ2σ ,1+n 2,1+n 2⩵q,μOut[2]=μ→x +2σInverseErfc 2InverseBetaRegularized q,1+n 2,1+n 2定理6：-2 i =1n对数Log12补余误差函数Erfc-X i +μ2σχ2 2n .正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nb3In[5]:=转换分布TransformedDistribution -2对数Log12补余误差函数Erfc-X +μ2σ,X 正态分布NormalDistribution [μ,σ] ;概率密度函数PDF [%,x ]⩵⋯PDF [卡方分布ChiSquareDistribution [2],x ]//完全简化FullSimplify [#,x >0]&Out[6]=True**参数区间估计**In[7]:=需要Needs ["HypothesisTesting`"]μ0=20;σ0=3;X =伪随机变数RandomVariate [正态分布NormalDistribution [μ0,σ0],10001];n =长度Length [X ];S =标准偏差StandardDeviation [X ];α=0.01;"参数的极大似然估计:"清除Clear [μ,σ]{μ1,σ1}={μ,σ}/.求分布参数FindDistributionParameters [X,正态分布NormalDistribution [μ,σ]]"一、总体均值μ的区间估计""(一)均值分布U =X --μσnＮ(0,1)——σ已知"σ=σ0;Sw =σn ;m =平均值Mean [X ];"1.计算法"Q =分位数Quantile 正态分布NormalDistribution [0,1],1-α 2 ;{m -Sw Q,m +Sw Q }"2.MeanCI"MeanCI X,KnownVariance →σ2,置信级别ConfidenceLevel →1-α"3.NormalCI"NormalCI [m,Sw ,置信级别ConfidenceLevel →1-α]"区间长度："L =2Sw Q"相对区间长度:"r =L /m "(二)均值分布T =X -μSnt (n -1)——σ未知""1.计算法"Sw =S n ;m =平均值Mean [X ];Q =分位数Quantile 学生t 分布StudentTDistribution [n -1],1-α 2 ;{m -Sw Q,m +Sw Q }4 正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nb"2.MeanCI"MeanCI [X,KnownVariance →无None,置信级别ConfidenceLevel →1-α]"3.StudentTCI"StudentTCI [m ,Sw ,n -2,置信级别ConfidenceLevel →1-α]"区间长度："L =2Sw Q"相对区间长度:"r =L /m"(三)均值近似分布U =X --μσn~Ｎ[0,1]——σ未知""1.计算法"σ=σ1;Sw =σn ;m =平均值Mean [X ];Q =分位数Quantile 正态分布NormalDistribution [0,1],1-α 2 ;{m -Sw Q,m +Sw Q }"2.MeanCI"MeanCI X,KnownVariance →σ12,置信级别ConfidenceLevel →1-α"3.NormalCI"NormalCI [m,Sw ,置信级别ConfidenceLevel →1-α]"区间长度："L =2Sw Q"相对区间长度:"r =L /m"(四)中位值分布F Xn +12=正则化的不完全贝⋯BetaRegularized [12补余误差函数Erfc [-x +μ2σ],1+n 2,1+n2],n =2k +1——σ已知""1.等尾区间："σ=σ0;x =中位数Median [X ];μL =x +2σ反互补误差函数InverseErfc 2正规化不完全贝塔函数的逆InverseBetaRegularized 1-α 2,1+n 2,1+n 2;μU =x +2σ反互补误差函数InverseErfc 2正规化不完全贝塔函数的逆InverseBetaRegularized α 2,1+n 2,1+n 2;{μL,μU }"等尾区间长度："L =μU -μL"相对区间长度:"r =2L μU +μL "(五)中位值分布F Xn +12=正则化的不完全贝⋯BetaRegularized [12补余误差函数Erfc [-x +μ2σ ],1+n 2,1+n2],n =2k +1——σ未知""1.等尾区间："σ=σ1;x =中位数Median [X ];正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nb5中位数μL =x +2σ反互补误差函数InverseErfc 2正规化不完全贝塔函数的逆InverseBetaRegularized 1-α 2,1+n 2,1+n 2;μU =x +2σ反互补误差函数InverseErfc 2正规化不完全贝塔函数的逆InverseBetaRegularized α 2,1+n 2,1+n 2;{μL,μU }"等尾区间长度："L =μU -μL"相对区间长度:"r =2L μU +μL"(六)卡方分布-2 i =1n对数Log [12补余误差函数Erfc [-X i +μ2σ]] χ2(2n )——σ已知"清除Clear [μ]σ=σ0;x =-2 i =1n对数Log12补余误差函数Erfc-X i +μ2σ;F =卡方分布ChiSquareDistribution [2n ];μL =μ/.求根FindRoot 累积分布函数CDF [F,x ]==α2,{μ,μ1} ;μU =μ/.求根FindRoot 累积分布函数CDF [F,x ]⩵1-α2,{μ,μ1} ;{μL,μU }"等尾区间长度："L =μU -μL"相对区间长度:"r =2L μU +μL"(七)卡方分布-2 i =1n对数Log [12补余误差函数Erfc [-X i +μ2σ ]]~χ2(2n )——σ未知"清除Clear [μ]σ=σ0;x =-2 i =1n对数Log12补余误差函数Erfc-X i +μ2σ;F =卡方分布ChiSquareDistribution [2n ];μL =μ/.求根FindRoot 累积分布函数CDF [F,x ]==α2,{μ,μ1} ;μU =μ/.求根FindRoot 累积分布函数CDF [F,x ]⩵1-α2,{μ,μ1} ;{μL,μU }"等尾区间长度："L =μU -μL"相对区间长度:"6 正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nbr =2L μU +μL"二、总体方差σ2的区间估计""(一)卡方分布χ2=∑i =1n (X i -μ)2σ2χ2(n )——μ已知"μ=μ0;T =n 平均值Mean (X -μ)2 ;F =卡方分布ChiSquareDistribution [n ];"1.等尾区间："QL =分位数Quantile F,1-α 2 ;QU =分位数Quantile F,α 2 ;VL =T QL;VU =T QU;{VL,VU }"等尾区间长度："L =VU -VL"相对区间长度:"r =2L VL +VU "(二)卡方分布χ2=(n -1)S 2σ2χ2(n -1)——μ未知"T = n -1 S 2;F =卡方分布ChiSquareDistribution [n -1];"1.等尾区间："QL =分位数Quantile F,1-α 2 ;QU =分位数Quantile F,α 2 ;VL =T QL;VU =T QU;{VL,VU }"等尾区间长度："L =VU -VL"相对区间长度:"r =2L VL +VU "(三)卡方分布χ2=∑i =1n (X i -μ )2σ2~χ2(n )——μ未知"μ=μ1;T =n 平均值Mean (X -μ)2 ;F =卡方分布ChiSquareDistribution [n ];"1.等尾区间："QL =分位数Quantile F,1-α 2 ;QU =分位数Quantile F,α 2 ;VL =T QL;VU =T QU;{VL,VU }"等尾区间长度："L =VU -VL"相对区间长度:"r =2L VL +VU"三、总体标准差σ的区间估计""(一)卡分布χ(n )——μ已知"μ=μ0;T =n Mean (X -μ)2 ;F =卡分布ChiDistribution [n ];"1.等尾区间："正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nb7QL =分位数Quantile F,1-α 2 ;QU =分位数Quantile F,α 2 ;σL =T QL;σU =T QU;{σL,σU }"等尾区间长度："L =σU -σL"相对区间长度:"r =2L σL +σU "(二)卡分布χ(n -1)——μ未知"T =n -1S;F =卡分布ChiDistribution [n -1];"1.等尾区间："QL =分位数Quantile F,1-α 2 ;QU =分位数Quantile F,α 2 ;σL =T QL;σU =T QU;{σL,σU }"等尾区间长度："L =σU -σL"相对区间长度:"r =2L σL +σU "(三)卡分布χχ(n )——μ未知"μ=μ1;T =n Mean (X -μ)2 ;F =卡分布ChiDistribution [n ];"1.等尾区间："QL =分位数Quantile F,1-α 2 ;QU =分位数Quantile F,α 2 ;σL =T QL;σU =T QU;{σL,σU }"等尾区间长度："L =σU -σL"相对区间长度:"r =2L σL +σU "(四)卡方分布-2 i =1n对数Log [12补余误差函数Erfc [-X i +μ2σ]] χ2(2n )——μ已知"清除Clear [σ]μ=μ0;x =-2 i =1n对数Log12补余误差函数Erfc-X i +μ2σ;F =卡方分布ChiSquareDistribution [2n ];σL =σ/.求根FindRoot 累积分布函数CDF [F,x ]⩵1-α2,{σ,σ1} ;σU =σ/.求根FindRoot 累积分布函数CDF [F,x ]⩵α2,{σ,σ1} ;{σL,σU }8 正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nb"等尾区间长度："L =σU -σL"相对区间长度:"r =2L σL +σU"(五)卡方分布-2 i =1n对数Log [12补余误差函数Erfc [-X i +μ2σ]] χ2(2n )——μ未知"清除Clear [σ]μ=μ1;x =-2 i =1n对数Log12补余误差函数Erfc-X i +μ2σ;F =卡方分布ChiSquareDistribution [2n ];σL =σ/.求根FindRoot 累积分布函数CDF [F,x ]⩵1-α2,{σ,σ1} ;σU =σ/.求根FindRoot 累积分布函数CDF [F,x ]⩵α2,{σ,σ1} ;{σL,σU }"等尾区间长度："L =σU -σL"相对区间长度:"r =2L σL +σUOut[11]=参数的极大似然估计:Out[13]={19.9803,3.00134}Out[14]=一、总体均值μ的区间估计Out[15]=(一)均值分布U =X --μσnＮ(0,1)——σ已知Out[17]=1.计算法Out[19]={19.9031,20.0576}Out[20]=2.MeanCIOut[21]={19.9031,20.0576}Out[22]=3.NormalCIOut[23]={19.9031,20.0576}Out[24]=区间长度：Out[25]=0.154542Out[26]=相对区间长度:Out[27]=0.00773471Out[28]=(二)均值分布T =X -μSn t (n -1)——σ未知正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nb9Out[29]= 1.计算法Out[32]={19.903,20.0577} Out[33]= 2.MeanCIOut[34]={19.903,20.0577} Out[35]= 3.StudentTCIOut[36]={19.903,20.0577} Out[37]=区间长度：Out[38]=0.154648Out[39]=相对区间长度:Out[40]=0.00774003Out[41]=(三)均值近似分布U=X--μσ n~Ｎ[0,1]——σ未知Out[42]= 1.计算法Out[45]={19.903,20.0576} Out[46]= 2.MeanCIOut[47]={19.903,20.0576} Out[48]= 3.NormalCIOut[49]={19.903,20.0576} Out[50]=区间长度：Out[51]=0.154611Out[52]=相对区间长度:Out[53]=0.00773817Out[54]=(四)中位值分布F X n+12=BetaRegularized[12Erfc,1+n2,1+n2],n=2k+1——σ已知Out[55]= 1.等尾区间：Out[59]={19.8529,20.0466} Out[60]=等尾区间长度：Out[61]=0.193686Out[62]=相对区间长度:Out[63]=0.00970872Out[64]=(五)中位值分布F X n+12=BetaRegularized[12Erfc,1+n2,1+n2],n=2k+1——σ未知Out[65]= 1.等尾区间：Out[69]={19.8529,20.0466}Out[70]=等尾区间长度：10正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nbOut[71]=0.193773Out[72]=相对区间长度:Out[73]=0.00971306Out[74]=(六)卡方分布-2 i =1n Log [12Erfcχ2(2n )——σ已知Out[78]={19.9015,20.0722}Out[79]=等尾区间长度：Out[80]=0.170753Out[81]=相对区间长度:Out[82]=0.00854324Out[83]=(七)卡方分布-2 i =1n Log [12Erfcχ2(2n )——σ未知Out[87]={19.9015,20.0722}Out[88]=等尾区间长度：Out[89]=0.170753Out[90]=相对区间长度:Out[91]=0.00854324Out[92]=二、总体方差σ2的区间估计Out[93]=(一)卡方分布χ2=∑i =1n (X i -μ)2σ2 χ2(n )——μ已知Out[95]= 1.等尾区间：Out[98]={8.68869,9.34535}Out[99]=等尾区间长度：Out[100]=0.656658Out[101]=相对区间长度:Out[102]=0.0728243Out[103]=(二)卡方分布χ2=(n -1)S 2σ2 χ2(n -1)——μ未知Out[105]= 1.等尾区间：Out[108]={8.68917,9.3459}Out[109]=等尾区间长度：Out[110]=0.656728Out[111]=相对区间长度:Out[112]=0.0728279Out[113]=(三)卡方分布χ2=∑i =1n (X i -μ )2σ2~χ2(n )——μ未知正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nb 11Out[115]= 1.等尾区间：Out[118]={8.68832,9.34495}Out[119]=等尾区间长度：Out[120]=0.65663Out[121]=相对区间长度:Out[122]=0.0728243Out[123]=三、总体标准差σ的区间估计Out[124]=(一)卡分布χ(n )——μ已知Out[126]= 1.等尾区间：Out[129]={2.94766,3.05702}Out[130]=等尾区间长度：Out[131]=0.109358Out[132]=相对区间长度:Out[133]=0.0364242Out[134]=(二)卡分布χ(n -1)——μ未知Out[136]= 1.等尾区间：Out[139]={2.94774,3.05711}Out[140]=等尾区间长度：Out[141]=0.109366Out[142]=相对区间长度:Out[143]=0.0364261Out[144]=(三)卡分布χχ(n )——μ未知Out[146]= 1.等尾区间：Out[149]={2.9476,3.05695}Out[150]=等尾区间长度：Out[151]=0.109355Out[152]=相对区间长度:Out[153]=0.0364242Out[154]=(四)卡方分布-2 i =1n Log [12Erfcχ2(2n )——μ已知Out[158]={2.89486,3.15965}Out[159]=等尾区间长度：12 正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nbOut[160]=0.264793Out[161]=相对区间长度:Out[162]=0.0874698Out[163]=(五)卡方分布-2 i =1n Log [12Erfcχ2(2n )——μ未知Out[167]={2.86679,3.12718}Out[168]=等尾区间长度：Out[169]=0.260386Out[170]=相对区间长度:Out[171]=0.0868828正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nb 13。

\ 2 的置信度为 1 - a 的置信区间为 2 2 ( n - 1)S ( n - 1)S ( 2 ) ， 2 a / 2 ( n - 1) 1 - a / 2 ( n - 1)
而 的置信度为 1 - a 的置信区间为 (
n - 1S
2 / 2 ( n - 1) a
，
n - 1S
2 1 - a / 2 ( n - 1)
2 2 1 2 的置信区间包含1, 在实际中我们认为 1 , 由于 2
2 两者没有显著差别。 2
17
全章要求
1. 了解点估计的概念， 掌握矩估计法、极大 似然估计法； 2. 了解估计量的评选标准：
无偏性、有效性、一致性。
2 1 n1 + 2 n 2 2
~ N(0,1),
即 可 得 到 1 - 2的 一 个 置 信 度 为 a的 置 信 区 间 12 ( X - Y z a / 2 1 n1 + 2 n 2 ). 2
2. 当 和 均 未 知 时求 1 - 2的 置 信 区 间 ,
2 1 2 2
1
第七章 参 数 估 计
§5.正态总体均值与方差的区间估计
一. 单个正态总体的均值与方差的区间估计: 二. 两个正态总体的区间估计:
2
一. 单个正态总体的均值与方差的区间估计:
设总体 ~ N(, ), X1 , X2 , , Xn是一个样本 X .
2
1 .当 2 已知时，求 的置信区间。 X - 选取 Z = n
本题中的置信下限大于零，实际中可认为μ1比μ2大。
13
三. 两个总体方差比的置信区间:
仅讨论总体均值 1 , 2 未知的 情况，由于
2 ( n1 - 1) S1