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常微分方程期末试题标准答案

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一、填空题（每空2 分，共16分）。

1、方程
22d d y x x
y +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.
3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f x
y =初值唯一的 充分 条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x t
y y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心 5．方程2)(2
1y y x y '+'=的通解是221C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是
()()x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关
8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e
-- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。

9．一阶线性微分方程
d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）． （A ）⎰=x
x p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）
（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程
（C ）全微分方程 （D ）贝努利方程
11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．
(A) 1±=x (B)1±=y
(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x
12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．
（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间
（C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间
13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．
（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无
三、计算题（每小题8分，共48分）。

14．求方程2
2
2d d x y xy x y -=的通解 解：令u x y =，则 dx dy x u dx dy +=，于是，Cx u
u x u u dx du =--=1,2 所以原方程的通解为 x y x Cx C y =+=
,12 15．求方程0d )ln (d 3=++y x y x x
y 的通解 解：取()()x y y x N x
y y x M ln ,,,3+== 则()()x
y x N y x M x y 1,,==，于是原方程为全微分方程 所以原方程的通解为 ⎰⎰=+y x C dy y dx x y 1
31 即 C y x y =+44
1ln 16．求方程2221)(x y x y y +
'-'=的通解 解:令 p y ='，得到2
2
2x xp p y +-= （*） ，两端同时关于求导， 整理得 ()012=⎪⎭
⎫ ⎝⎛--dx dp x p ，则 取 02=-x p ,得 2
x p =,代入（*） 得解 42x y = 取 01=-dx
dp ,得C x p +=,代入（*）得原方程得通解为 22
2
Cx Cx x y ++=
17．求方程53x y y e '''-=的通解
解 对应的齐次方程的特征方程为 032=-λλ，
特征根为 01=λ，32=λ
故齐次方程的通解为 x C C y 321e += 因为5=α不是特征根。

所以，设非齐次方程的特解为
x A x y 51e )(= 代入原方程，得
x x x A A 555e e 15e
25=- 即 10
1=A ， 故原方程的通解为 x x C C y 5321e 101e
++= 18．求方程2(cos 7sin )x y y y e x x '''+-=-的通解
解：先求解对应的其次方程：02=-'+''y y y ，则有，
x x e C e C y 221212;2,1,02-+=-===-+λλλλ
因为数i i ±=±1βα不是特征根，故原方程具有形如
()x B x A e y x sin cos 1+= 的特解。

将上式代入原方程，由于 ()x B x A e y x sin cos 1+=
()()[]x A B x B A e y x sin cos 1-++='
[]x A x B e y x sin 2cos 21
-='' 故 =-'+''y y y 2[]x A x B e x sin 2cos 2-()()[]x A B x B A e x sin cos -+++ ()()x x e x B x A e x x sin 7cos sin cos 2-=+-
或 ()()x x x A B x A B sin 7cos sin 3cos 3-=+--
比较上述等式两端的x x sin ,cos 的系数，可得 73,13-=--=+-B A B A 因此，.1,2==B A 故()x x e y x
sin 1cos 21+= 所求通解为()x
x x e C e C x x e y 21sin 1cos 2+++= 19．求方程组3553dY Y dx ⎛⎫= ⎪-⎝⎭
的实基本解组 解：方程组的特征多项式为 3553
--λλ，其特征根是i 532,1±=λ，那么
属于1λ的特征向量⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=11i α， 属于2λ的特征向量⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=i 12α。

则方程的基本解组为()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=Φ-+-+x i x i x i x
i ie e e ie x 535353531， 其实基本解组为()()0111-ΦΦx 。

而()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=Φ--i i i i 1121110111 因此所求实基本解组为 ()=Φx ()()0111-ΦΦx
()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=-+x e x e x e x e i i ie e
e ie t t t t x i x i x i x i 5cos 5sin 5sin 5cos 1121333353535353 四、应用题（每小题 11 分，共11分）。

20．（1）求函数()at
f t e =的拉普拉斯变换
（2）求初值问题3322(0)0,(0)0
t
x x x e x x '''⎧-+=⎨'==⎩的解
解：（1）[]()()⎪⎩⎪⎨⎧≤∞>-=∞+--===----∞
+-⎰⎰a
s a s a s e a s dt e dt e e e t a s t a s at st at ,,1010 （2）设()[]()s X t x = ，()t x 是已知初值问题的解。

对已知方程两端同时使用拉普 拉斯变换，可分别得到
[][][][]()[]()()()()();
212323232322--=+-=+-=+'-''=+'-''s s s X s s s X s s s X x x x x x x [][]322233-==s e e t
t 故有 ()()()()
3212---=s s s s X 使用部分分式法，可得 ()3
12211-+---=s s s s X 由（1）可知，[][][]
31;21;1132-=-=-=s e s e s e t t t 故所求的初值解为 ()t t t e e e t x 322+-= 。

五、证明题（每小题10分，共10分）。

21 ．证明：对任意0x 及满足条件001y 的0y ，方程22d (1)d 1y y y x x y -=++的满足条件00()y x y =的解()y y x =在(,)-∞+∞上存在。

证： 由于 221)1(),(y
x y y y x f ++-= 22222)1(2)1()1)(12(),(y x y y y y x y y x f y ++--++-='
在全平面上连续，所以原方程在全平面上满足解的存在唯一性定理及解的延展定理条件．
又显然1,0==y y 是方程的两个特解．现任取),(0∞+-∞∈x ，
)1,0(0∈y ，记)(x y y =为过),(00y x 的解，那么这个解可以唯一地向平面的边界无限延展，又
上不能穿越1=y ，下不能穿越0=y ，因此它的存在区间必为),(∞+-∞．。

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常微分期末试题及答案

常微分期末试题及答案

常微分期末试题及答案[正文开始]第一部分：选择题1. 若函数 f(x) = 3x^2 + 2x + c 在区间 [0, 1] 上是增函数，则实数 c 的取值范围是：A) c > 1/4B) c > -1/4C) c < 1/4D) c < -1/4答案：A) c > 1/4解析：当 f(x) 是增函数时，f'(x) > 0。

对于 f(x) = 3x^2 + 2x + c，求导得到 f'(x) = 6x + 2。

显然当 x > -1/3 时，f'(x) > 0，即 c > 1/4。

2. 解微分方程 dy/dx = x^2 + 1 的通解为：A) y = (1/3)x^3 + x + CB) y = (1/3)x^3 + CC) y = (1/3)x^2 + x + CD) y = (1/3)x^2 + C答案：A) y = (1/3)x^3 + x + C解析：对方程 dy/dx = x^2 + 1 进行积分，得到 y = (1/3)x^3 + x + C，其中 C 为积分常数。

3. 设三角函数f(x) = sin(2x + π/3)，则 f'(x) = ？A) 2cos(2x + π/3)B) 2cos(2x - π/3)C) 2cos(2x)D) 2cos(2x + π/6)答案：B) 2cos(2x - π/3)解析：根据链式法则，对sin(2x + π/3) 求导，得到 f'(x) = 2cos(2x +π/3) * 2 = 2cos(2x - π/3)。

4. 设 f(x) = e^x，g(x) = ln(x)，则 f(g(2)) = ？A) e^2B) e^3C) 2D) ln(2)答案：A) e^2解析：首先求 g(2) = ln(2)，然后将结果代入 f(x) = e^x 中计算，得到 f(g(2)) = f(ln(2)) = e^ln(2) = 2。

福师《常微分方程》期末答案解析

福师《常微分方程》期末答案解析

福师《常微分方程》期末答案解析I. 选择题1. 下列关于常微分方程的定义正确的是？A. 含有未知函数及其导数的等式B. 只含有一个未知函数的方程C. 含有多个未知函数的方程D. 含有未知函数及其导数的等式，且未知函数的导数出现在等式的另一边答案：D解析：常微分方程是指含有未知函数及其导数的等式，且未知函数的导数出现在等式的另一边。

2. 常微分方程的阶数是指？A. 方程中未知函数的个数B. 方程中未知函数导数的最高阶数C. 方程中变量的个数D. 方程中常数的个数答案：B解析：常微分方程的阶数是指方程中未知函数导数的最高阶数。

II. 填空题1. 一阶微分方程是指未知函数的最高导数为一次的方程，即\(\frac{dy}{dx} = f(x)\)。

2. 二阶微分方程是指未知函数的最高导数为二次的方程，一般形式为 \(a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y =g(x)\)，其中 \(a_0, a_1, \ldots, a_n \) 是常数。

III. 解答题1. 求解一阶线性微分方程 \(\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\)。

答案：解：一阶线性微分方程 \(\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\) 的通解为 \(y = e^{-\int P(x)dx} \left( \int e^{\int P(x)dx} Q(x)dx + C \right)\)，其中 \(C\) 是积分常数。

2. 求解二阶线性常系数齐次微分方程 \(ay'' + by' + c y = 0\)，其中 \(a \neq 0\)。

答案：解：二阶线性常系数齐次微分方程 \(ay'' + by' + c y = 0\) 的通解为 \(y = C_1 e^{-\int \frac{b}{a}dx} + C_2 x e^{-\int \frac{b}{a}dx}\)，其中 \(C_1, C_2\) 是积分常数。

常微分方程期末试题答案

常微分方程期末试题答案

一、填空题（每空2 分，共16分）。

1、方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是　xoy 平面 ．22d d y x x y+=2. 方程组的任何一个解的图象是 n+1 维n x x xR Y R Y F Y∈∈=,),,(d d 空间中的一条积分曲线.3．连续是保证方程初值唯一的 充分 条件．),(y x f y '),(d d y x f xy=4．方程组的奇点的类型是 中心⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x ty y txd d d d )0,0( 5．方程的通解是2)(21y y x y '+'=221C Cx y +=6．变量可分离方程的积分因子是()()()()0=+dy y q x p dx y N x M ()()x P y N 17．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要)(1x y ϕ=)(2x y ϕ=条件是 线性无关8．方程的基本解组是440y y y '''++=x x x 22e ,e--二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。

9．一阶线性微分方程的积分因子是（ A ）．d ()()d yp x y q x x+=（A ）（B ）（C ）（D ）⎰=xx p d )(e μ⎰=xx q d )(e μ⎰=-xx p d )(e μ⎰=-xx q d )(e μ10．微分方程是（ B ）0d )ln (d ln =-+y y x x y y （A ）可分离变量方程（B ）线性方程（C ）全微分方程（D ）贝努利方程11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．(A)(B)1±=x 1±=y (C ), (D ), 1±=y 1±=x 1=y 1=x12．阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．n （A ）构成一个线性空间（B ）构成一个维线性空间1-n（C ）构成一个维线性空间（D ）不能构成一个线性空间1+n 13．方程（ D ）奇解．222+-='x y y （A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个（D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。

常微分期末考试试题和答案

常微分期末考试试题和答案

《 常微分方程 》期末考试试卷（1）班级 学号 姓名 成绩.一、填空（每格3分，共30分）1、方程(,)(,)M x y d x N x y d y +=有只与x有关的积分因子的充要条件是 。

2、若12(),(),,()n x t x t x t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是 。

3、若()t Φ和()t ψ都是'()x A t x=的基解矩阵，则()t Φ和()t ψ具有的关系是_____________________________。

4、函数),(y x f 称为在矩形域Ｒ上关于y 满足利普希兹条件，如果 。

5、当 时，方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程，或称全微分方程。

6、若()t Φ是x t A x )(='的基解矩阵，则x t A x )(=')(t f =满足η=)(0t x的解 。

7、若()(1,2,,)i x t i n =为n 阶齐线性方程()()1()()0n n n x a t x a t x +++=的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为 。

8、求dxdy=f(x,y)满足00()y x y =的解等价于求积分方程 的解。

9、如果),(y x f 在R 上 且关于y 满足李普希兹条件，则方程),(y x f dxdy=存在唯一的解)(x y ϕ=，定义于区间h x x ≤-0上，连续且满足初始条件00)(y x =ϕ，其中h = ，),(max ),(y x f M Ry x ∈=。

二、计算题(每题10分,共50分)10、求方程 221dy y dx xy x y +=+ 的解。

11、求方程2dyx y dx=-通过点(1,0)的第二次近似解。

12、求非齐线性方程sin x xt ''+=的特解。

13、求解恰当方程 0)4()3(2=---dy x y dx x y 。