第20讲 对数函数的性质及反函数

高一数学中的反函数与对数函数有何特性在高一数学的学习中，反函数与对数函数是两个重要的概念，它们具有独特的特性和应用。

理解这些特性对于我们掌握数学知识、解决数学问题以及培养数学思维都具有重要意义。

首先，让我们来了解一下反函数。

反函数是指对于一个给定的函数，如果把它的自变量和因变量互换，所得到的新函数就是原函数的反函数。

通俗地说，如果函数 f(x) 把 x映射到 y，那么它的反函数就把 y 映射回 x。

反函数存在的条件是原函数必须是一一映射。

也就是说，对于原函数定义域内的每一个 x 值，都有唯一的 y 值与之对应；反过来，对于值域内的每一个 y 值，也都有唯一的 x 值与之对应。

以最简单的一次函数 y ＝ 2x 为例，它是一个一一映射的函数。

我们将 x 和 y 互换，得到 x ＝ 05y，然后将 y 写成自变量的形式，即 y ＝05x，这就是原函数的反函数。

反函数的图像与原函数的图像关于直线 y ＝ x 对称。

这是反函数的一个重要特性。

通过这个特性，我们可以通过研究原函数的图像来了解反函数的图像特征，反之亦然。

反函数的性质还体现在其定义域和值域上。

原函数的定义域是其反函数的值域，原函数的值域是其反函数的定义域。

接下来，我们再看看对数函数。

对数函数是以对数形式表示的函数，常见的有以自然常数 e 为底的自然对数函数（ln x）和以 10 为底的常用对数函数（log₁₀ x）。

对数函数的定义是：如果 a 的 b 次幂等于 N（a＞0，且a≠1），那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作logₐ N ＝ b。

对数函数的定义域是（0，＋∞），因为对数中的真数必须大于 0。

对数函数具有一些重要的性质。

首先，当底数 a＞1 时，函数单调递增；当 0＜a＜1 时，函数单调递减。

例如，对于函数 y ＝ log₂ x，因为底数 2＞1，所以它在定义域内是单调递增的。

而对于函数 y ＝ log₀5 x，由于底数 05＜1，所以它在定义域内是单调递减的。

对数函数的定义和基本性质1. 对数函数的定义对数函数是实数域上的一个函数，通常用符号y = log_a(x)（其中a是底数，x是真数）表示。

对数函数是对数arithmetic和函数function的组合。

对数函数是一类重要的数学函数，在数学分析、高等数学、工程学等领域中都有广泛的应用。

2. 对数函数的基本性质（1）单调性对数函数y = log_a(x)在定义域（即真数集）内是单调递增的。

当底数a > 1时，随着真数x的增加，对数函数的值也增加；当底数0 < a < 1时，随着真数x的增加，对数函数的值减少。

（2）反函数对数函数y = log_a(x)（其中a是底数，x是真数）和函数y = a^x（其中a是底数，x是真数）是互为反函数的关系。

也就是说，对于任意一个正实数y，都存在一个正实数x使得log_a(y) = x，则有a^x = y。

（3）对数恒等式对数恒等式是指对数函数在不同底数之间可以进行转换。

具体来说，有以下两个恒等式：•对数换底公式：log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)（其中a, b, c 都是正实数，且a != 1, c != 1）。

•对数性质公式：log_a(b^c) = c * log_a(b)（其中a, b, c都是正实数，且a != 1）。

（4）对数函数的图像对数函数的图像是一条经过点(1, 0)，且斜率在0和+∞之间的曲线。

当底数a > 1时，图像位于第一象限；当底数0 < a < 1时，图像位于第二象限。

（5）对数函数的渐近线对数函数没有水平渐近线，但有一条垂直渐近线，即x = 0。

当x趋近于0时，对数函数的值趋近于负无穷；当x趋近于正无穷时，对数函数的值趋近于正无穷。

（6）对数函数与指数函数的关系对数函数和指数函数是互为逆运算的关系。

具体来说，对于任意一个正实数y，如果y = log_a(x)，则有x = a^y。

对数函数总结对数函数是高中数学中的重要概念之一，它在各种科学与工程领域中都有广泛应用。

本文将对对数函数进行详细的总结，并介绍其定义、性质以及应用。

一、定义对数函数是指函数y = logₐ(x)，其中a是一个正实数且不等于1，x 和y是实数。

对数函数可以看作是指数函数y = aˣ的反函数。

对数函数y = logₐ(x)的定义域是正实数集合，值域是实数集合。

二、常用对数函数2. 通用对数：y = log₁₀(x)，其中a = 10。

3. 二进制对数：y = log₂(x)，其中a = 2三、性质1. 对数函数的图像：通用对数函数y = log₁₀(x)的图像是一条上升的曲线，自然对数函数和二进制对数函数也具有相似的性质。

2.对数函数的定义域：对数函数的定义域是正实数集合，即x>0。

3.对数函数的值域：对数函数的值域是所有的实数集合，即(-∞,+∞)。

4.对数函数的基本性质：对数函数满足以下基本性质：（1）对数函数的对称性：logₐ(aˣ) = x；（2）对数函数的换底公式：logₐ(x) = logᵦ(x)/logᵦ(a)，其中a、b 是正实数且不等于1；（3）对数函数的推广：logₐ(m·n) = logₐ(m) + logₐ(n)，logₐ(m/n) = logₐ(m) - logₐ(n)，logₐ(mˣ) = x·logₐ(m)，其中a、m、n是正实数且不等于1五、对数函数的应用对数函数在各种科学与工程领域中都有广泛应用，主要包括以下几个方面：1.声音与音乐：声音的强度、功率以及音乐的音量等常用以对数函数作为数学模型。

2.生物学与医学：生物学中的激素浓度、细胞的增殖和死亡速率等可以使用对数函数进行建模。

此外，医学中的药物浓度、毒性等也可以通过对数函数进行分析。

3.经济学与金融学：经济学中的利润增长、利息的计算等可以使用对数函数进行建模。

金融学中的复利计算、收益率的估计等也可以通过对数函数进行分析。

对数函数性质运算公式对数函数是数学中的一种特殊函数，它是指数函数的逆运算。

对数函数的性质和运算公式是我们学习和应用对数函数的基础。

一、对数函数的定义和性质1. 对数函数的定义：对于正数a和正数x，以a为底的对数函数定义为y=loga(x)，其中a>0且a≠1，x>0。

2.对数函数的性质：a)对数函数的定义域是正实数集R+，值域是实数集R；b) 当x=1时，loga(1)=0，这是对数函数的一个特殊性质；c) loga(a)=1，这是对数函数的另一个特殊性质；d) 对于任意正实数a和正实数x，loga(a^x)=x，这是对数函数的重要性质。

二、对数函数的运算公式1.对数函数的换底公式：对于正实数a、b和正实数x，loga(x)=logb(x)/logb(a)。

这一公式可以用来在不同底数的对数之间进行换算。

2.对数函数的乘法公式：对于正实数a、b和正实数x、y，有loga(xy)=loga(x)+loga(y)。

这一公式表示对数函数可以将乘法运算转化为加法运算。

3.对数函数的除法公式：对于正实数a、b和正实数x、y，有loga(x/y)=loga(x)-loga(y)。

这一公式表示对数函数可以将除法运算转化为减法运算。

4.对数函数的幂函数公式：对于正实数a、b和正实数x，有loga(x^b)=b*loga(x)。

这一公式表示对数函数可以将幂函数运算转化为乘法运算。

5.对数函数的逆函数公式：对于正实数a、b和正实数x，有a^loga(x)=x。

这一公式表示对数函数和指数函数是互为逆函数。

三、应用举例1.求解对数方程：需要利用对数函数的性质和运算公式来求解对数方程，例如：log2(x+3)+log2(x-1)=3，可以先将乘法公式应用到方程中，然后解方程得到结果。

2.求解指数方程：对数函数和指数函数是互为逆函数，可以利用对数函数的性质和运算公式来求解指数方程，例如：2^x=5，可以将对数公式应用到方程中，然后解方程得到结果。

对数函数及其性质知识点总结讲义一、对数基本概念1.对数的定义：对数是数学中的一种运算，用一个数的指数表示另一个数。

2. 对数的表示方法：如果a^x = b，则记作x = loga(b)。

3.对数函数：对数函数是指以对数的形式来表示函数的函数。

二、对数函数的性质1.定义域和值域：-对数函数的定义域为正实数集，即x>0。

-对数函数的值域为实数集，即y∈R。

2.对称性：- 设a > 1，则loga(x) = y当且仅当a^y = x。

- 设0 < a < 1，则loga(x) = y当且仅当a^y = x。

3.基本性质：- loga(1) = 0，其中a ≠ 0。

- loga(a) = 1，其中a ≠ 1- loga(x · y) = loga(x) + loga(y)，其中x > 0，y > 0。

- loga(x / y) = loga(x) - loga(y)，其中x > 0，y > 0。

- loga(x^p) = p · loga(x)，其中x > 0，p ∈ R。

- loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中a，b > 0，且a ≠ 1，c ≠14.基本图像：- 对数函数y = loga(x)的图像为一条曲线，也称为对数曲线。

-当0<a<1时，对数曲线在第一象限上严格递减。

-当a>1时，对数曲线在第一象限上严格递增。

5.特殊对数函数：- 以2为底的对数函数y = log2(x)常用于衡量信息的位数及计算机科学中。

- 自然对数函数y = ln(x)常用于微积分和其它分支的数学中。

三、对数函数的应用1.指数增长与对数函数：对数函数的性质使得它在描述指数增长的问题中非常有用。

-对数函数可以用来模拟人口增长、投资收益、疾病传播等指数增长的过程。

2.对数函数在数据处理中的应用：-对数函数可以用来处理大量数据、极大值、极小值等情形。

对数函数知识点总结对数函数知识点一：对数函数的概念1．定义：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域为),(+∞-∞.它是指数函数xa y = )10(≠>a a 且的反函数．注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：x y 2log 2=，5log 5xy = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．○2 两个常用对数： (1)常用对数简记为: lgN （以10为底） (2)自然对数简记为: lnN （以e 为底）例1、求下列函数的定义域、值域：(1)41212-=--xy ( 2))52(log 22++=x x y (3))54(log 231++-=x x y (4))(log 2x x y a --=知识点二：对数函数的图象方法一：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于x y =的对称图形，即可获得。

同样：也分1>a 与10<1log =为例方法二：①确定定义域; ②列表; ③描点、连线。

（1）x y 2log =（2） x y 21log =y=x o 11 yxy =log 2x o 11 yxy=xy =x 21log（3）x y 3log =（4） x y 31log =思考：函数x y 2log =与y =3log x 与y对函数的相同性质和不同性质. 相同性质：不同性质：例2、作出下列对数函数的图象：知识点三：对数函数的性质由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质．思考：底数a 是如何影响函数x y a log =的．（学生独立思考，师生共同总结）规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．例3、比较下列各组数中两个值的大小：⑴ 5.8log ,4.3log 22；⑵7.2log ,8.1log 3.03.0；⑶)1,0(9.5log ,1.5log ≠>a a a a ．变式训练：（1）若3log 3log n m <，求n m 和的关系。

对数函数的性质与计算方法随着科技的进步和计算机的普及，数学在各个领域的应用也变得越来越广泛。

对数函数作为数学中的一种重要函数，在实际问题的建模和解决过程中起到了关键的作用。

本文将讨论对数函数的性质以及计算方法，旨在帮助读者更好地理解和应用对数函数。

一、对数函数的定义与基本性质对数函数是指满足以下条件的函数：对于任意的正数a和大于1的实数x，存在唯一的实数y，使得a的y次方等于x，即y = logₐ(x)。

其中，a被称为对数函数的底数。

对数函数的基本性质如下：1. 对数函数的定义域为正实数集（x > 0），值域为实数集。

2. 当底数a>1时，对数函数是递增的；当0<a<1时，对数函数是递减的。

3. 对数函数存在反函数，即幂函数。

即logₐ(x)的反函数为a的x次方函数。

4. 特殊情况下，底数为e（自然对数）时的对数函数称为自然对数函数，记作ln(x)。

二、对数函数的计算方法对数函数的计算方法主要包括对数的换底公式、对数的运算法则以及特殊常用对数的计算。

1. 换底公式对于任意底数a、b和正实数x，换底公式表达为：logₐ(x) = log_b(x) / log_b(a)利用换底公式，可以将对数函数的底数转化为常见的底数，从而简化计算过程。

2. 对数的运算法则（1）对数的乘法法则：logₐ(x·y) = logₐ(x) + logₐ(y)（2）对数的除法法则：logₐ(x/y) = logₐ(x) - logₐ(y)（3）对数的幂法法则：logₐ(x^m) = m·logₐ(x)（4）对数的换底法则（已在前文提及）通过运用对数的运算法则，可以对对数函数进行合并、拆分和化简，使得计算更加灵活和高效。

3. 特殊常用对数的计算（1）10为底的常用对数：log₁₀(x)常用记作log(x)，表示10的几次方等于x。

在计算过程中，可以直接利用计算器或者查表得到对应的数值。

对数函数知识点总结对数函数是高中数学中的重要知识点之一，它广泛应用于数学、物理、经济学等领域。

本文将对对数函数的定义、性质和应用进行详细总结，帮助读者全面了解对数函数。

一、对数函数的定义1. 对数函数的定义：对于任意正实数a（a≠1）和正实数x，称y=logₐx为以a为底x的对数，其中x被称为真数，a被称为底数，y被称为对数。

记作y=logaₐx。

2. 以10为底的对数函数：y=log₁₀x，通常将其简写为y=logx。

3. 自然对数函数：以e≈2.71828为底的对数函数，记作y=loge x或y=lnx。

二、对数函数的基本性质1. 对数函数与指数函数的互为反函数性质：对数函数y=logₐx与指数函数y=aˣ满足关系方程aˣ=x，x>0，a>0且a≠1。

2. 对数函数的定义域和值域：对数函数y=logₐx的定义域是(0,+∞)，值域是(-∞,+∞)。

3. 对数函数的对称关系：对于任意正实数x和定义域内的正实数a，有对称关系logₐx=y↔aʸ＝x。

4. 对数函数的性质：（1）等式性质：logₐx=logₐy→x=y；logₐx=logb x/lobb a；logₐ1=0；l ogₐa=1。

（2）倒数性质：loga(1/x)=-logₐx。

（3）指数性质：logₐxⁿ=nlogₐx。

（4）乘法性质：logₐ(xy)=logₐx+logₐy。

（5）除法性质：logₐ(x/y)=logₐx-logₐy。

三、对数函数的图像与性质1. 对数函数y=logₐx的图像特点：（1）定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)。

（2）过点(1,0)。

（3）随着x的增大，y增大，但增长速度逐渐减小。

（4）曲线在x轴的右侧均为上升曲线。

（5）曲线在x=1处有一垂直渐近线。

2. 自然对数函数y=lnx的图像特点：（1）定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)。

（2）过点(1,0)。

（3）随着x的增大，y增大，但增长速度逐渐减小。

对数的反函数一、引言对数函数是高等数学中常见的一种函数，它在许多领域中都有广泛的应用，如物理学、工程学、经济学等。

而对数的反函数则是对数函数的逆运算，也称为指数函数。

本文将介绍对数的反函数及其相关知识。

二、对数函数1. 定义对数函数是指以某个正实数为底数，将另一个正实数作为指数所得到的幂次方所代表的实数值。

即：y=loga(x)，其中a为底数，x为真数，y为幂次方。

2. 特点（1）定义域：x>0；（2）值域：R；（3）单调性：当0<a<1时，y=loga(x)单调递减；当a>1时，y=loga(x)单调递增；（4）奇偶性：当a>0且a≠1时，y=loga(x)是奇函数；（5）图像特征：当a>1时，图像在y轴右侧且开口向上；当0<a<1时，图像在y轴左侧且开口向下。

三、指数函数1. 定义指数函数是指以某个正实数为底数，在自变量上取幂次方所得到的结果。

即：y=a^x，其中a为底数，x为幂次方，y为指数函数的值。

2. 特点（1）定义域：R；（2）值域：(0,+∞)；（3）单调性：当a>1时，y=a^x单调递增；当0<a<1时，y=a^x 单调递减；（4）奇偶性：当a>0且a≠1时，y=a^x是奇函数；（5）图像特征：当a>1时，图像在y轴右侧且开口向上；当0<a<1时，图像在y轴左侧且开口向下。

四、对数的反函数1. 定义对数的反函数是指以某个正实数为底数，在自变量上取指数所得到的结果。

即：y=a^x的反函数为y=loga(x)。

2. 特点对于任意正实数a和b，有以下关系式：loga(a)=1；loga(1)=0；loga(ab)=loga(a)+loga(b)；loga(a/b)=loga(a)-loga(b)；loga(a^n)=n*loga(a)。

3. 应用对数的反函数在许多领域中都有广泛的应用。

例如，在计算机科学中，使用以2为底的对数可以方便地计算出一个整数的位数；在经济学中，使用对数函数可以简化复杂的经济模型；在物理学中，使用对数函数可以方便地表示各种物理量的比值等。

对数函数的性质及运算对数函数是数学中经常使用的一种函数，它在许多领域都有重要的应用。

本文将探讨对数函数的性质及其运算规则。

一、对数函数的定义及性质对数函数的定义：给定一个正数a（a>0且a≠1），那么以a为底的对数函数记作logₐ(x)，定义为满足a的x次方等于b的数x，即aˣ=b，其中b>0。

1. 对数函数的定义域和值域：对数函数的定义域是(0, +∞)，值域是(-∞, +∞)。

当底数a>1时，对数函数是递增的；当0<a<1时，对数函数是递减的。

2. 对数函数的性质：（1）logₐ(a)=1，即对数函数的基本性质。

（2）logₐ(aˣ)=x，即对数函数的反函数性质。

（3）logₐ(a×b)=logₐ(a)+logₐ(b)，即对数函数的乘法公式。

（4）logₐ(a/b)=logₐ(a)-logₐ(b)，即对数函数的除法公式。

（5）logₐ(a^k)=k·logₐ(a)，即对数函数的幂函数公式。

（6）logₐ1=0，即对数函数的特殊性质。

二、对数函数的运算规则1. 对数运算的基本性质：（1）logₐ(m×n)=logₐ(m)+logₐ(n)，即对数乘法法则。

（2）logₐ(m/n)=logₐ(m)-logₐ(n)，即对数除法法则。

（3）logₐ(m^k)=k·logₐ(m)，即对数幂函数法则。

（4）logₐ(a)=1/logₐ⁡(a)，即对数底变换公式。

2. 特殊情况下的对数运算：（1）logₐ(a)=1，其中a是正实数且a>0，即指数和对数的底为同一个数时，结果为1。

（2）logₐ(a)≠0，其中a是正实数且a>0，即指数和对数的底不相等时，结果不为0。

三、对数函数的应用对数函数在科学研究和实际生活中有着广泛的应用，例如：1. 财务与利息计算：对数函数可以用于计算复利、年化利率等问题。

2. 生物学与医学研究：对数函数可以用于研究生物体的生长和代谢等问题。

4.2.2 对数函数及其性质知识点一、对数函数的定义一般地，形如x y a log =)10(≠>a a 且的函数叫做对数函数，其中x 是自变量．知识点二、对数函数的图象与性质知识点三、反函数一般的，函数)(x f y =)(A x ∈中，设它的值域为C ．我们根据这个函数中x ，y 的关系，用y 把x 表示出来，得到)(y x ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过)(y x ϕ=，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么)(y x ϕ=就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数．这样的函数)(y x ϕ=)(C y ∈叫作函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1x f y -=． （1）一些常见的结论：①原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域； ②)(x f y =与)(1x f y -=互为反函数，设)(x f y =的定义域是A ，值域是C ，则)()]([1C x x x f f ∈=-．③若点a (，)b 在函数数)(x f y =上，则点b (，)a 在它的反函数)(1x f y -=的图像上；④函数)(x f y =与它的反函数)(1x f y -=的图像具有相同的单调性； ⑤只有具有严格单调性的函数才具有反函数． （2）互为反函数的两个函数的图像具有一下性质：①对称性：函数)(x f y =与它的反函数)(1x f y -=的图像在同一坐标系中关于直线x y =对称； ②自反性：若互为反函数的两个函数是同一个函数，则该函数的图像自身关于直线x y =对称．一、函数的概念与定义域 例1、求下列函数的定义域：（1）)432(log )3(xx y -=+ （2）121log 8.0--=x x y（3）（4）)2(log 1|2|)(22x x x x f ---= （5）)(lg log 2x y = （6）)25(log 25.0x y -=例2、已知)(x f y =的定义域0[，]1，求函数)]3([log 21x f y -=的定义域．)78lg(2-+-=x x y【举一反三】设=)(x f lg x x -+22，则)2()2(xf x f +的定义域为 ．例3、已知0(11log )(>-+=a xxx f a，且)1≠a ． （1）求)(x f 的定义域；（2）判断)(x f 的奇偶性，并证明； （3）求使0)(>x f 的x 的取值范围．二、对数函数的值域与最值例4、函数)13(log )(2+=x x f 的值域是（ ） A ．),0(+∞ B ．),0[+∞ C ．)1[∞+ D ．),1(+∞【举一反三】1、若函数()log (1)x a f x a x =++在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为（ ） A ．41B ．21 C ．2 D ．42、当1>a 时，函数x x f a log )(=在区间]2,[a a 上的最大值和最小值之差是21，则a 的值为（ ） A ．2 B ．2 C ．22 D ．43、求下列函数的值域 （1）22log (3)y x =- （2）)2(log 231+-=x x y例5、已知x 满足不等式21log 321-≤≤-x ，求函数)2(log )4(log 22xx y ⋅=的最大值与最小值．【举一反三】已知x 满足20.50.52(log )7log 30x x ++≤ ，求函数22()(log )(log )24x xf x =的最值．例6、已知函数)32(log )(25.0+-=ax x x f ，解答下述问题 （1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围； （3）若函数在),1[+∞-内有意义，求实数a 的取值范围； （4）若函数的定义域为),3()1,(+∞-∞ ，求实数a 的值； （5）若函数的值域为]1,(--∞，求实数a 的值；（6）若函数在]1,(-∞内为增函数，求实数a 的取值范围．三、 对数值大小的比较例7、比较下列各组数中两个数的大小 （1）4.3log 2与5.8log 2（2）0.5log 1.8，0.5log 2.1；（3）7log 6与6log 7（4）0.91.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8【举一反三】1、已知c a b 5.05.05.0log log log <<，则（ ） A ．222b a c >> B ．222a b c >> C ．222c b a >>D ．222c a b >>2、若03log 3log >>b a ，则a ，b ，1 的大小关系为（ ） A ．b a <<1 B ．a b <<1 C ．10<<<b a D ．10<<<a b3、已知10<<a ，设3log 2log a a x +=，5log 21a y =，3log 21log a a z -=，则（ ） A ．z y x >> B ．x y z >> C ．z x y >> D ．y x z >>4、若1>>b a ，10<<c ，则（ ） A ．c c b a < B ．c c ba ab <C ．c b c a a b log log <D ．c c b a log log <四、对数型复合函数的单调性与单调区间例8、已知（1）求的单调区间；（2）求的最大值，并求取得最大值时的的值．)32(log 24x x y -+=)(x f y x【举一反三】1、已知函数()log ()a f x a x =-在[2,3]上单调递减，则a 的取值范围是 ．2、已知)2(log ax y a -=在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是. ．3、已知函数)(log 25.0a ax x y --=在区间-∞(，）31-上是增函数，则a 的取值范围是. ．五、对数函数的图像及应用 例9、作出下列函数的图像 （1）()2()log 1f x x =+（2）()2()|log 1|f x x =+（3）lg |1|y x =-（4）()lg 1y x =-例10、函数x x f 2log 1)(+=与x x g -=12)(在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）【举一反三】若0(>-=-a a ka y x x 且)1≠a 在R 上是奇函数又是增函数，则)(log k x y a +=图象是（ ）例11、已知函数|lg |)(x x f =，若b a <<0，且)()(b f a f =则b a 2+的取值范围是（ ） A．)+∞ B．)+∞C ．(3,)+∞D ．[3,)+∞【举一反三】已知函数|lg |,010()16,102x x f x x x <<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，若a ，b ，c 均不相等，且)()()(c f b f a f ==，则abc 的取值范围是（ ） A ．1(，)10 B ．5(，)6 C ．10(，)12 D ．20(，)24六 、反函数例12、若点1(，)2既在函数b ax x f +=)(的图像上，又在它的反函数图像上，求)(x f 的解析式．【举一反三】1、已知1x 是方程3lg =+x x 的根，2x 是方程310=+x x 的根，求21x x +的值．2、设)(1x f -是函数)1)((21)(>-=-a a a x f x x 的反函数，且使1)(1>-x f 成立的取值范围．【课后巩固】 一、选择题1．若01a <<，则函数log (5)a y x =+的图象不经过（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若143log <a ，则a 的取值范围是（ ） A ．)43,0(B ．),43(+∞C ．)1,43(D ．)43,0(),1(+∞3．已知函数|lg |)(x x f =，b a <<0，且)()(b f a f >，则（ ） A ．1>ab B ．1<abC ．1=abD ．1)1)(1(>--b a4．设)11lg()(a xx f +-=是奇函数，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（ ） A ．1(-，)0B ．0(，)1C ．-∞(，)0D ．R5．若函数)(x f y =是函数x a y =0(>a 且)1≠a 的反函数，且1)2(=f ，则=)(x f （ ） A ．x 2logB ．x 21C ．x 21logD ．22-x6．若函数log ()a y x b =+0(>a 且)1≠a 的图象过两点)0,1(-和)1,0(，则（ ） A ．2==b a B ．2=a ，2=bC ．2=a ，1=bD ．2==b a7．函数y=lg （112-+x）的图像关于（ ） A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线x y =对称8．已知0>a ，且≠a 1，函数x a y =与)(log x y a -=的图象只能是图中的（ ）9．已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．1(0,)3C ．11[,)73D ．1[,1)710．已知函数满足，且当时，，则与函数的图象的交点个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5二、填空题 11．使121log >a成立的a 的取值范围是 ． 12．若函数()ln(f x x x =为偶函数，则a = ． 13．函数)10(5)13(log 2≠>++-=a a x x y a 且过定点 ． 14．函数()log (1)a f x x =+的定义域和值域都是[0,1]，则a 的值为 ． 15．已知12>>>a b a ，则b m a log =，a n b log =，abp blog =的大小关系是 ． 16．若函数()f x 是奇函数，且0x >时，()()lg 1f x x =+，则当0x <时，()f x = ． 三、解答题17．讨论函数lg(1)lg(1)y x x =++-的奇偶性与单调性18．已知，求的值．))((R x x f y ∈=)1()1(-=+x f x f []1,1-∈x 2)(x x f =)(x f y =x y 5log =22log (4)log (1)log 5log (21)(01)a a a a x y xy a a +++=+->≠，且8log yx19．设0(>a 且)1≠a ，若函数)32(lg 2)(+-=x x a x f 有最大值，试解不等式0)75(log 2>+-x x a ．20．设f (x )＝lg(ax 2－2x ＋a ),（1）如果f (x )的定义域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值范围； （2）如果f (x )的值域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值范围．21．已知x 满足不等式06log 7)(log 222≤++x x ，求函数=)(x f )2(log )4(log 42x x •的值域．22．已知函数()f x 满足()()2223log 0,16ax f x a a x-=>≠- （1）求()f x 的解析式 （2）判断()f x 的奇偶性； （3）讨论()f x 的单调性； （4）解不等式()()log 2a f x x ≥．。