北师大版高中数学选修2-2第二章章末总结

选修2-2 本章小结建议第一章推理与证明一、学习要求1.合情推理的意义与应用（1）会利用归纳进行简单的推理与猜想；（2）会利用类比进行简单的推理与猜想。

2.演绎推理的意义与应用（1）体会演绎推理的重要性，并能进行简单的推理；（2）了解数学证明的几种基本方法：综合法、分析法、反证法，并能运用这些方法进行一些简单的数学证明；（3）了解合情推理和演绎推理之间的联系、差异和各自所起的作用。

二、复习建议1.依据课本、笔记及作业总结本章的基本知识，掌握本章的基本思想方法，使知识有条理、有层次地呈现。

2.按照学习要求中的两个部分，做出本章小结。

3.本章复习时，可供参考的思考问题：（1）日常和数学学习中有哪些合情推理的方式？举例说明；（2）如何运用合情推理进行数学和其他学科的学习？如何避免合情推理的局限性？（3）分析法与综合法各自有何特点？在解决问题时各自有何作用？（4）归纳推理与数学归纳法有何关系？（选修1-2无）（5）与其它证明方法相比，反证法的思考过程有何特点？4.请同学们相互交流学习本章的感受，特别是本章所学的常用的思维方式在日常学习和生活中的应用。

第二章变化率与导数一、学习要求1.导数的概念通过具体情境，感受在现实世界和生活实际中存在着大量的变化率问题，体会平均变化率和导数的实际意义，理解导数的几何意义。

2.导数运算（1）会利用导数定义计算一些简单的函数的导数。

（2）会利用导数公式表求出给定函数的导数。

（3）掌握求导的四则运算法则，并会利用导数的四则运算法则求出函数的导函数。

（4）了解简单复合函数的求导法则，并会利用导数公式表求出一些简单的复合函数的导数。

二、复习建议1.依据课本、笔记及作业总结本章的基本知识，掌握本章的基本思想方法，使知识有条理、有层次地呈现。

2.按照学习要求中的两个部分，以适当形式做出本章小结。

3.本章复习时，可供参考的思考问题：（1）实际生活中经常会涉及变化快慢的问题，你是否有体会？（2）什么是导数？如何利用定义求函数的导数？怎样解释导数的实际意义？能否举例说明？（3）是否会用导数的四则运算法则求函数的导数？（4）复合函数的中间变量的意义是什么？如何寻找中间变量？怎样求复合函数的导数？4.请同学们相互交流学习本章的感受与体会。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作章末总结知识点一导数的概念平均变化率表示函数在某个区间内变化的快慢，瞬时变化率(导数)表示函数在某一点处变化的快慢．f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.例1求函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数．例2航天飞机发射后的一段时间内，第t时的高度h(t)＝5t3＋30t2＋45t＋4，其中h的单位为m，t的单位为s.(1)h(0)，h(1)分别表示什么；(2)求第1 s内高度的平均变化率；(3)求第1 s末高度的瞬时变化率，并说明它的意义．知识点二 导数的几何意义函数y ＝f (x )在x 0处的导数，是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率，利用导数可以求曲线的切线斜率和切线方程．例3 已知曲线方程为y ＝x 2，(1)求过点A (2,4)且与曲线相切的直线方程；(2)求过点B (3,5)且与曲线相切的直线方程．例4 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图像经过点M (1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线x ＋9y ＝0垂直．(1)求实数a ，b 的值；(2)求过已知函数图像上某点处切线的斜率的取值范围．知识点三 导数的计算导数的计算主要考查导数公式的应用和导数的四则运算，复合函数的求导．在求导数时，一定要认清函数的形式，然后选择适当的公式和法则进行计算．例5 (1)求函数f (x )＝4x 3在x ＝16处的导数；(2)求函数y ＝x 5＋x ＋sin x x 2的导数； (3)求函数y ＝e sin(2x ＋3)的导数．知识点四 导数的实际意义实际生活中存在大量的变化率问题，我们可以根据导数计算并表示变化的快慢，在实际问题中理解导数的意义．例6 在受到制动后的t 秒内飞轮转过的角度(弧度)由函数φ(t )＝4t －0.3t 2给出． 求：(1)t ＝2秒时，飞轮转过的角度；(2)飞轮停止旋转的时刻．例7 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如第x h 时，原油的温度(单位：℃)为f (x )＝x 2－7x ＋15 (0≤x ≤18)．求函数y ＝f (x )在x ＝6处的导数f ′(6)，并解释它的实际意义．答 案重点解读例1 解 f ′(x )＝lim Δx →02(x ＋Δx )2＋4(x ＋Δx )－(2x 2＋4x )Δx ＝lim Δx →04x ·Δx ＋2(Δx )2＋4Δx Δx ＝lim Δx →0(4x ＋2Δx ＋4)＝4x ＋4， ∴y ′|x ＝3＝f ′(3)＝4×3＋4＝16.例2 解 (1)h (0)表示航天飞机未发射时的高度，h (1)表示航天飞机发射1 s 后的高度． (2)Δh Δt ＝h (1)－h (0)1－0＝80(m/s)， 即第1 s 内高度的平均变化率为80 m/s.(3)h ′(1)＝lim Δt →0 Δh Δt ＝lim Δt →0h (1＋Δt )－h (1)Δt ＝lim Δt →0[5(Δt )2＋45Δt ＋120]＝120， 即第1 s 末高度的瞬时变化率为120 m/s.它说明在第1 s 末附近，航天飞机的高度大约以120 m/s 的速度增加．例3 解 (1)∵A (2,4)在y ＝x 2上．由y ＝x 2得，y ′＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝2x . ∴f ′(2)＝4.∴切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 20)．由(1)得y ′＝2x ，∴f ′(x 0)＝2x 0.∴切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)．∵点(3,5)在切线上，∴5－x 20＝2x 0(3－x 0)．即x 20－6x 0＋5＝0.解得x 0＝1或x 0＝5，∴切线方程为2x －y －1＝0或10x －y －25＝0.例4 解 (1)因为y ′＝f ′(x )＝lim Δx →0a (x ＋Δx )3＋b (x ＋Δx )2－ax 3－bx 2Δx ＝3ax 2＋2bx .∵f (x )＝ax 3＋bx 2的图像过点M (1,4)，∴a ＋b ＝4.又∵曲线在点M 处的切线与直线x ＋9y ＝0垂直，∴f ′(1)＝9，∴3a ＋2b ＝9.由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝43a ＋2b ＝9得，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝3. (2)由(1)知y ′＝f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＝3x 2＋6x＝3(x ＋1)2－3≥－3.∴过已知函数图像上某点处的切线的斜率的取值范围是k ≥－3. 例5 解 (1)∵f ′(x )＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x， ∴f ′(16)＝34·416＝34×2＝38. (2)∵y ＝x 3＋x －32＋sin x x 2， ∴y ′＝(x 3)′＋(x －32)′＋(sin x )′x 2－(x 2)′sin x x 4＝3x 2－32x －52＋x 2cos x －2x sin x x 4＝3x 2－32x －52＋x －2cos x －2x －3sin x . (3)设y ＝e u ，u ＝sin t ，t ＝2x ＋3，则y ′＝y ′u ·u ′t ·t ′x ＝e u cos t ×2＝2e sin(2x ＋3)·cos(2x ＋3)．例6 解 (1)t ＝2秒时，飞轮转过的角度φ(2)＝8－1.2＝6.8(弧度)．(2)由题意得，φ′(t )＝4－0.6t ，飞轮停止旋转，即瞬时角速度为0，所以令4－0.6t ＝0⇒t ＝203. 所以在t ＝203秒时飞轮停止转动． 例7 解 ∵f ′(x )＝2x －7，∴f ′(6)＝5.导数f ′(6)＝5表示当x ＝6 h 时原油温度的瞬时变化率，即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，如果保持6 h 时温度的变化速度，每经过1 h ，原油温度将升高5 ℃.。

导数与切线方程函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线的斜率，因此求曲线在某点处的切线方程，可以先求出函数在该点的导数，即曲线在该点的切线的斜率，再用直线的点斜式，写出直线的方程。

例、已知函数()316f x x x =+-.⑴求曲线()y f x =在点()2,6-处的切线的方程；⑵直线L 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线L 的方程及切点坐标；⑶如果曲线()y f x =的某一切线与直线134y x =-+垂直，求切点坐标与切线方程。

解析：⑴∵()()321631f x x x x ''=+-=+∴在点()2,6-处的切线的斜率为()2232113k f '==⨯+=，∴切线的方程为：()()1326y x =-+-，即136y x =-。

⑵法一、设切点为()00,x y ，则直线L 的斜率为()20031f x x '=+∴直线L 的方程为()()2200003116y x x x x x =+-++-又∵直线L 过点()0,0，∴()()22000003116x x x x =+-++-整理得，308x =-，∴02x =-，∴()()30221626y =-+--=-，∴13k = ∴直线L 的方程为13y x =，切点坐标为()2,26--。

法2、设直线L 的方程为y kx =，切点为()00,x y ，则3000000160y x x k x x -+-==- 又∵()30031k f x x '==+，∴3300001631x x x x +-=+，解得02x =-， ∴()()30221626y =-+--=-，13k =∴直线L 的方程为13y x =，切点坐标为()2,26--。

⑶∵切线与直线134y x =-+垂直，∴斜率4k = ∴设切点为()00,x y ，则()200314f x x '=+=，∴01x =±∴00114x y =⎧⎨=-⎩或00118x y =-⎧⎨=-⎩，∴切线方程为()4114y x =--或()4118y x =+- ∴即414y x =-或418y x =-点评：根据条件列方程或方程组是解决该问题的主要方法，灵活运用0x x =处的导数就是该点处的切线的斜率是解决有关问题的关键，由导数的几何意义可知，点()()00,x f x 处的切线方程()()()000y f x x x f x '=-+。