南昌大学概率论与数理统计2020第一学期

2020年大学基础课概率论与数理统计期末考试题及答案（最新版）一、单选题 1、设()(P Poission λX分布)，且()(1)21E X X --=⎡⎤⎣⎦，则λ=A ）1，B ）2，C ）3，D ）0 【答案】A2、设X ～(1,)p β 12,,,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自X 的样本，那么下列选项中不正确的是 (A)当n 充分大时，近似有X ～(1),p p N p n -⎛⎫⎪⎝⎭(B){}(1),k kn k n P X k C p p -==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅ (C ）{}(1),k k n k n kP X C p p n-==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅ (D ）{}(1),1k kn k i nP X k C p p i n -==-≤≤ 【答案】B3、设X ～2(,)N μσ其中μ已知，2σ未知，123,,X X X 样本，则下列选项中不是统计量的是 A ）123X X X ++ B ）123max{,,}X X X C ）2321i i X σ=∑ D ）1X μ-【答案】C4、掷一颗均匀的骰子600次，那么出现“一点”次数的均值为 A ） 50 B ） 100 C ）120 D ） 150 【答案】B5、 设123,,X X X 相互独立同服从参数3λ=的泊松分布，令1231()3Y X X X =++，则 2()E Y =A ）1.B ）9.C ）10.D ）6. 【答案】C6、设离散型随机变量(,)X Y 的联合分布律为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)1/61/91/181/3X Y P αβ且Y X ,相互独立，则A ） 9/1,9/2==βαB ） 9/2,9/1==βαC ） 6/1,6/1==βαD ） 18/1,15/8==βα 【答案】A7、对于任意两个随机变量X 和Y ，若()()()E XY E X E Y =⋅，则 A ）()()()D XY D X D Y =⋅ B ）()()()D X Y D X D Y +=+ C ）X 和Y 独立 D ）X 和Y 不独立 【答案】B8、假设随机变量X 的分布函数为F(x),密度函数为f(x).若X 与-X 有相同的分布函数，则下列各式中正确的是 A ）F(x) = F(-x); B) F(x) = - F(-x); C) f (x) = f (-x); D) f (x) = - f (-x). 【答案】C9、若X ～()t n 那么2χ～(A ）(1,)F n (B ）(,1)F n (C ）2()n χ (D ）()t n【答案】A10、设总体X 服从正态分布()212,,,,,n N X X X μσ是来自X 的样本，则2σ的最大似然估计为（A ）()211n i i X X n =-∑ （B ）()2111n i i X X n =--∑ （C ）211n i i X n =∑ （D ）2X 【答案】A 二、填空题1、设总体服从正态分布，且未知，设为来自该总体的一个样本，记，则的置信水平为的置信区间公式是 ；若已知，则要使上面这个置信区间长度小于等于0.2，则样本容量n 至少要取__ __。

概率论与数理统计
§1.1 样本空间与随机事件
若事件A1, A2 ,..., An满足 : (1) A1 A2 ... An (2) Ai Aj (i j) 则称A1, A2 ,..., An为完备事件组.
概率论与数理统计
§1.1 样本空间与随机事件
事件的运算法则
1.交换律
AB B A ; AB B A
概率论与数理统计
§1.2 概率的直观定义
A={某指定的n个房间中各有一个人住}
P( A)
n! Nn
B={恰好有n个房间，其中各住一人}
P(B)
C
n N
N
n!
n
N! N n ( N n)!
C={某指定的一间房中恰好有m (m<n)人}
P(C )
Cnm ( N 1)nm Nn
Cnm
1 N
m
1
1 N
2.结合律
A (B C) (A B) C A (B C) (A B) C
3.分配律
A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C)
4.对偶原则 A B A B ; A B A B
概率论与数理统计
§1.1 样本空间与随机事件
者 实验者实验者 掷币 实次 验数 者掷币 n 次掷数币n次出 数现掷n正币面次 出次数 现数正n出m面现次正数面m次出数现频正 m率面fn次(频 A数)率mfn频(A率) fn(A)频 弗 隶莫弗隶莫弗 隶20莫48弗 2048 2048 12006418 1061 1061 0.15016811 0.51810.5181 0
则称P(A)为事件A的概率。
概率论与数理统计
§1.3 概率的公理化定义

—南昌大学考试试卷答案—【适用时间：20 13 ～20 14 学年第一学期课程编号：课程名称： J5510N0008 试卷类型：[ A ]卷】试卷编号：概率论与数理统计（II）教 30 教师填写栏试卷说明： 1、本试卷共 6 页。

2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。

开课学院：适用班级：理学院48 学时考试形式：考试时间：闭卷 120 分钟题号题分得分一 24 二 24 三 40 四12 五六七八九十总分累分人 100 签名考生姓名：考生学号：所属班级：考试日期： 1、请考生务必查看试卷中是否有缺页或破损。

如有立即举手报告以便更换。

2、严禁代考，违者双方均开除学籍；严禁舞弊，违者取消学位授予资格；严禁带手机等有储存或传递信息功能的电子设备等入场（包括开卷考试），违者按舞弊处理；不得自备草稿纸。

本人知道考试违纪、作弊的严重性，将严格遵守考场纪律，如若违反则愿意接受学校按有关规定处分！考生签名：第 1 页共 4 页考生填写栏所属学院：所属专业：考生须知考生承诺得分一、填空题：（每空 4 分，共 24 分）评阅人 1. 0.375 2. 2/3 3. 18 4. k Cn（ n 6. 0.967 得分二、单项选择题：（每题 4 分，共 24 分） 1. D 2. B 3. B 4. C 5. A 6. A 得分三、计算题：（每题 10 分，共 40 分） 1. 解：设事件 A={取到的数能被 2 整除}，事件 B={取到的数能被 3 整除}，则有 P 评阅人评阅人所求概率为解：2 2 有 f(x,y=fX(xfY(y，故 X 与 Y 独立第 2 页共 4 页3. 解：设表示第 k 个学生来参加会议的家长数，则 X k (k的分布律为 Xk Pk 0 0.05 1 0.8 2 0.15 易知而，根据同分布中心极限定理随机变量近似服从标准正态分布， 400 0.19 因此解：似然函数令的极大似然第 3 页共 4 页得分四、证明题：（每题 6 分，共 12 分） 1、证明：因为，所以 P ( X 评阅人，因为 X 与 Y 相互独立所以即得证。

在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
32
(二) 乘法公式:
由条件概 ,立率 即P 定 可 (A 义 0 得 )则 , 有 P(AP B()A)|A P)(.B
33
例3. r只红球○ t只白球○
每次任取一只球观 察颜色后, 放回, 再 放回a只同色球
在袋中连续取球4次, 试求第一、二次取到红球且 第三、四次取到白球的概率.
34
(三) 全概率公式和贝叶斯公式:
1. 样本空间的划分
定义 : 若B1,B2,,Bn一组事件 : 满足
(iB i) B j φ ,i ji,j, 12,.,.n .,,
(1) 样本空间中的元素只有有限个;
(2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
例如:掷一颗骰子,观察出现的点数.
概率的古典定义:
对于古典概型, 样本空间S＝{1, 2, … , n}, 设事件A包 含S的 k 个样本点，则事件A的概率定义为
A中 的 基 本 事k件 数 P(A)S中的基本事n件总数 15
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即 10 对于每一 B有 个 , 1 事 P(件 |B A)0.
20 P (|SA) 1.
30 设B1,B2,两两互不,相 则容
P(Bi |A)P(Bi |A.)
i1
k1
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的
积，即事件A与BA同时发生. A B 可简记为AB.

n-1 n-1 n《概率论与数理统计》第一学期期末试卷一．判断题（10 分，每题 2 分）1.在古典概型的随机试验中，P( A) = 0 当且仅当A 是不可能事件 ( )2.连续型随机变量的密度函数f (x) 与其分布函数F (x) 相互唯一确定 ( )3.若随机变量X 与Y 独立，且都服从p = 0.1的 (0，1) 分布，则X =Y ( )4.设X 为离散型随机变量, 且存在正数k使得P( X >k ) = 0 ，则X 的数学期望E( X ) 未必存在( )5.在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率不能同时减少 ( )二．选择题（15 分，每题 3 分）1.设每次试验成功的概率为p (0 <p < 1) ，重复进行试验直到第n 次才取得r (1 ≤r ≤n) 次成功的概率为.(a) (c) C r -1 p r (1 -p)n-r ；(b)C r -1 p r -1 (1 -p)n-r +1 ；(d)C r p r (1 -p)n-r ；p r (1 -p)n-r .2.离散型随机变量X 的分布函数为F (x) ，则P( X =xk) = .(ａ) (ｃ) P(xk -1≤X ≤xk) ；(ｂ)P(xk -1<X <xk +1) ；(ｄ)F (xk +1) -F (xk -1) ；F (xk) -F (xk -1) .3.设随机变量X 服从指数分布，则随机变量Y = max ( X , 2003) 的分布函数.(ａ) 是连续函数；(ｂ) 恰好有一个间断点；(ｃ) 是阶梯函数；(ｄ) 至少有两个间断点.4.设随机变量( X , Y ) 的方差D( X ) = 4 , D(Y ) = 1, 相关系数ρXY= 0.6 , 则n ⎩方差 D ( 3X - 2Y ) = .(ａ) 40；(ｂ) 34；(ｃ) 25.6； (ｄ) 17.625. 设( X 1 , X 2 , , X ) 为总体 N( 1, 2 ) 的一个样本， X 为样本均值，则下列结论中正确的是.X - 1 1 n 2(ａ)2 / ~ t ( n ) ；(ｂ)n∑( X i - 1) i =1 ~ F ( n , 1) ；X - 1 1n22(ｃ)2 / n~ N ( 0, 1) ；(ｄ)∑( X i- 1) i =1~ χ ( n ) .二. 填空题（28 分，每题 4 分）1. 一批电子元件共有 100 个, 次品率为 0.05. 连续两次不放回地从中任取一个, 则第二次才取到正品的概率为2. 设连续随机变量的密度函数为 f (x ) ，则随机变量Y = 3e X 的概率密度函数为 f Y ( y ) =3. 设 X 为总体 X ~ N ( 3 , 4) 中抽取的样本( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 )的均值, 则P (-1 < X < 5) ＝.4. 设二维随机变量( X , Y ) 的联合密度函数为⎧1, y < x , 0 < x < 1;f (x , y ) = ⎨ 0 , 其 他则条件密度函数为,当时 , f Y X ( y x ) =5. 设 X ~ t ( m ) ,则随机变量Y = X 2 服从的分布为( 需写出自由度 )6. 设某种保险丝熔化时间 X 样本均值和方差分别为 X ~ N (μ, σ2 ) （单位：秒），取n = 16 的样本，得 = 15, S 2 = 0.36 ，则μ的置信度为 95%的单侧 置信区间上限为7. 设 X 的分布律为4 41 2X 1 2 3 Pθ22θ(1 -θ)(1 -θ)2已知一个样本值(x 1 , x 2 , x 3 ) = ( 1, 2 , 1) ，则参数的极大似然估计值为三. 计算题（40 分，每题 8 分）1. 已知一批产品中 96 %是合格品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是 0.02；一次品被误认为是合格品的概率是 0.05．求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率2. 设随机变量 X 与Y 相互独立， X ， Y 分别服从参数为λ,μ(λ≠ μ) 的指数分布，试求Z = 3X + 2Y 的密度函数 f Z (z ) .3. 某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为λ= 1的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（52 周）售出该商品件数在 50 件到 70 件之间的概率.4. 总体 X ~ N (μ,σ2 ) ， ( X , X , , X n ) 为总体 X 的一个样本.求常数 k , 使k ∑ i =1X i - X 为σ 的无偏估计量.5．（1） 根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力 X ~ N (μ, σ2 )（单位：kg）. 已知σ = 8 kg ， 现从该厂生产的一大批特种金属丝中随机抽取 10 个样品，测得样本均值 x = 575.2 kg . 问这批特种金属丝的平均折断力可否认为是 570 kg ？ （ α= 5 % ）（2） 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布 N (μ, 0.0482 ) . 某日抽取5 个样品，测得其纤度为:1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 .问 这天的纤度的总体方差是否正常？试用 α= 10 % 作假设检验.四. 证明题（7 分）nY设随机变量 X ,Y , Z 相互独立且服从同一贝努利分布 B (1, p ) . 试证明随机变量 X + Y 与Z 相互独立.附表： 标准正态分布数值表χ2 分布数值表t 分布数值表参 考 答 案一. 判断题（10 分，每题 2 分）是 非 非 非 是 .二. 选择题（15 分，每题 3 分） （ａ）（ｄ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）.三. 填空题（28 分，每题 4 分）1.1/22 ；2. ⎧ 1 f ( y ) = ⎨ y ⎩f [ln(y / 3)]) 0 y > 0 y ≤ 0 ； 3.0.9772 ； ⎧1/(2x ) - x < y < x4. 当0 < x < 1 时 f Y X ( y x ) = ⎨ ；⎩ 0其 他5. F (1, m )6. 上限为 15.263 .7. 5 / 6 .四. 计算题（40 分，每题 8 分） 1. A被查后认为是合格品的事件， B抽查的产品为合格品的事件. (2 分)P ( A ) = P (B )P ( A B ) + P (B )P ( A B ) = 0.96 ⨯ 0.98 + 0.04 ⨯ 0.05 = 0.9428 ， (4 分)P (B A ) = P (B )P ( A B ) / P ( A ) = 0.9408/ 0.9428 = 0.998.(2 分)⎧ λe- λx2.f X (x ) = ⎨x > 0 ⎧ μe - μy f Y ( y ) = ⎨ y > 0(1 分)⎩ 0其他⎩ 0其他z ≤ 0 时， F Z (z ) = 0 ，从而 f Z (z ) = 0 ；(1 分)t 0.025 (15) = 2.1315 t 0.05 (15) = 1.7531 t 0.025 (16) = 2.1199 t 0.05 (16) = 1.7459(5) = 1.145 0.95 χ2(5) = 11.071 0.05 χ2(4) = 0.711 0.95 χ2(4) = 9.488 0.05 χ2Φ(0.28) = 0.6103Φ(1.96) = 0.975Φ(2.0) = 0.9772Φ(2.5) = 0.9938+∞ 2⎰-∞ ⎨ ⎨ ∑ | z ZZ z ≤ 0 时， f Z (z ) =1f X (x ) f Y [(z - 3x ) / 2]dx(2 分)= 1 z / 3λμe -λx -μ[( z - x ) / 2] dx =λμ(e -λz / 3 - e -μz / 2 )(2 分)2 ⎰3μ- 2λ所以⎧ λμ(e -λz / 3 - e -μz / 2 ),z > 0f (z ) = ⎪3μ- 2λ [⎩⎪ 0, ⎧ λμ(e-λz / 2- e-μz / 3),z ≤ 0z > 0f (z ) = ⎪ 2μ- 3λ](2 分)⎩⎪ 0,z ≤ 03. 设 X i 为第 i 周的销售量, i = 1, 2 , , 52X i ~ P (1 )(1 分)则一年的销售量为 52Y =X i， E (Y ) = 52 ,i =1D (Y ) = 52 .(2 分)由独立同分布的中心极限定理，所求概率为⎛ - 2 Y - 52 18 ⎫ ⎛ 18 ⎫ ⎛ 2 ⎫(4 分)P (50 < Y < 70) = P < 52 < ⎪ ≈ Φ 52 52 ⎪ + Φ 52 ⎪ - 152 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭= Φ(2.50) + Φ(0.28) - 1 = 0.9938 + 0.6103 - 1 = 0.6041.(1 分)4. 注意到X - X =1(- X in1 - X2 + (n -1) X i - - X n )E ( X i - X ) = 0 , ⎛D ( X n - 1 - X ) = n - 1σ2i n2 ⎫(2分) X i - X ~ N 0, σ ⎪ ⎝ n ⎭ - z 2 n -1 2(1分)E (| X - X |) = ⎰ 2 σn dz -∞= 2⎰ - z 2 2 n -1σ2e n dz (3分)⎛ n⎫ ⎛ n ⎫ 令E k ∑| X i - X |⎪ = k ∑E | X i - X |⎪σ⎝ i =1 ⎭ ⎝ i =1 ⎭+∞ i +∞σ/ nX 0 1 PqpX + Y 0 1 2Pq 22 pqp 20 0 1 1σ 22 0 0 5. (1) 要检验的假设为检验用的统计量 H 0 : μ= 570 , U =X - μ0H 1 : μ≠ 570~ N ( 0,1) ， (1 分)拒绝域为U ≥ z α(n -1) = z 0.025 = 1.96 .(2 分)2U 0 = 0.65= 2.06 > 1.96 ，落在拒绝域内，故拒绝原假设 H 0 ，即不能认为平均折断力为 570 kg .571 - 569.2[ U 0 == 0.2 = 0.632 < 1.96 , 落在拒绝域外，故接受原假设 H 0 ，即可以认为平均折断力为 571 kg . ] (1 分)(2) 要检验的假设为H :σ2 = 0.0482 , [ H :σ2 = 0.792 , H :σ2 ≠ 0.0482H :σ2 ≠ 0.792] (1 分)5∑( X i -X ) 2检验用的统计量 χ2= i =1~ χ2 (n - 1) ，拒绝域为χ2 > χ2 (n - 1) = χ2(4) = 9.488 或α0.05χ2 < χ2 (n -1) = χ2(4) = 0.711(2 分)x = 1.41 1-α[ x = 1.49 ]0.95χ2 = 0.0362 / 0.0023 = 15.739 > 9.488 ,落在拒绝域内，[ χ2= 0.0538 / 0.6241 = 0.086 < 0.711 ,落在拒绝域内，]故拒绝原假设 H 0 ，即认为该天的纤度的总体方差不正常 .(1 分)五、证明题 (7 分)由题设知(2 分)P ( X + Y = 0 , Z = 0) = q 3 = P ( X + Y = 0)P (Z = 0) ； P ( X + Y = 0 , Z = 1) = pq 2 = P ( X + Y = 0)P (Z = 1) ； P ( X + Y = 1, Z = 0) = 2 pq 2 = P ( X + Y = 1)P (Z = 0) ；10 10P( X +Y = 1, Z = 1) = 2 pq 2 =P( X +Y = 1)P(Z = 1) ；P( X +Y = 2 , Z = 0) =pq 2 =P( X +Y = 2)P(Z = 0) ；P( X +Y = 2 , Z = 1) =p 3 =P( X +Y = 2)P(Z = 1) .所以X +Y 与Z 相互独立. (5 分)。

南昌大学 2010～2011学年第一学期期中考试试卷
考试科目：概率论与数理统计
姓名：学号：班级：
计算题（每题20分，共100分）
1、对一个三人学习小组考虑生日问题：
(1) 求三个人中恰有二人的生日在星期天的概率；
(2) 求三个人中至多有一人的生日在星期天的概率；
(3) 求三个人的生日不都在星期天的概率。

2、r个人互相传球，每传一次时，传球者等可能地传给其余1
r个人中之一，
试求第n次传球时，此球由最初发球者传出的概率
p（发球那一次算作第0次）。

n
3、两台机床加工同样的零件 ，第一台出现废品的概率为 0.05 ，第二台出现废品的概率为0.02 ，加工的零件混放在一起 ，若第一台车床与第二台车床加工的零件数为5 : 4，求
( 1 ) 任意地从这些零件中取出一个为合格品的概率 ；
( 2 ) 若已知取出的一个零件为合格品 ，那么，它是由哪台机床生产的可能性较大？
.)3()2
1,21()2()1(,01,1)(42的分布函数内的概率；落在区间；系数求：其他
的密度函数为连续型随机变量、X X A x x A x f X -⎪⎩⎪⎨⎧<-=)(e ,0,
00e )(5y f Y x x x f X Y X x X 的概率密度求随机变量，概率密度为、设随机变量=⎩⎨⎧<≥=-。

2020年大学必修课概率论与数理统计必考题及答案（完整版）一、单选题1、设X ～(1,)p β 12,,,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自X 的样本，那么下列选项中不正确的是 (A)当n 充分大时，近似有X ～(1),p p N p n -⎛⎫⎪⎝⎭(B){}(1),k kn k n P X k C p p -==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅ (C ）{}(1),k k n k n kP X C p p n-==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅ (D ）{}(1),1k kn k i nP X k C p p i n -==-≤≤ 【答案】B2、设总体X 服从正态分布()212,,,,,n N X X X μσ是来自X 的样本，则2σ的最大似然估计为（A ）()211n i i X X n =-∑ （B ）()2111n i i X X n =--∑ （C ）211n i i X n =∑ （D ）2X 【答案】A3、1621,,,X X X 是来自总体），10(N ~X 的一部分样本，设：216292821X X Y X X Z ++=++= ，则YZ~（ ） )(A )1,0(N )(B )16(t )(C )16(2χ )(D )8,8(F【答案】D4、在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（ ） (A)在H 0不成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 (B)在H 0不成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 (C)在H 00成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 (D)在H 0成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 【答案】C5、在单因子方差分析中，设因子A 有r 个水平，每个水平测得一个容量为的样本，则下列说法正确的是___ __(A)方差分析的目的是检验方差是否相等 (B)方差分析中的假设检验是双边检验im(C)方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异(D)方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异【答案】D6、设X 的密度函数为)(x f ，分布函数为)(x F ，且)()(x f x f -=。

南昌大学2021 学年概率论与数理统计第一学期期末试卷一、单项选择题〔每题3分，总分值24分〕1、设随机变量X 的概率密度为1||,22()40,x x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其它 ,则 =≤<-}11{X P ( )。

(A) 0.75 , (B) 0.5 , (C) 0.25 , (D) 0 。

2、随机变量X 的分布函数为x b a x F arctan )(+=,+∞<<∞-x , 假设实数c 满足1{}6P X c >=，则c =〔 〕。

〔A3； 〔B〔C 〕1； 〔D 〕3π。

3、设随机变量),(~2σμN X ,则4(||)E X μ-=〔 〕。

(A) 43σ； (B) 44σ； (C) 45σ； (D) 46σ。

4、设B A ,为任意两事件,则以下关系成立的是( ).(A) A B B A =+-)(； (B) ()A B A B A +-= ;(C) A B B A =-+)(; (D) ()()A B A B B A A B -++-=+ 。

5、一盒内装有5个红球和15个白球,从中不放回取10次,每次取一个球, 则第5次取球时得到的是红球的概率是〔 〕。

〔A 〕15； 〔B 〕14； 〔C 〕13；〔D 〕12。

6、设每次试验成功的概率为p )10(<<p ,则在5次重复试验中至少失败 一次的概率为〔 〕。

(A) 51p -, (B) 4(1)p p -, (C) 5(1)p -, (D) 145(1)C p p -。

7、设二维随机变量221(,)~(1,2;2,3;)2X Y N -,则=+-)12(Y X D ( )。

(A) 13, (B) 14 , (C) 19 , (D) 37 .8、甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现目标被命中,则它是甲射中的概率为〔 〕。

(A)0.6, (B)116, (C)0.75 , (D)115 。

5
有: P( A) P5(i) i2
1
1 P5(i) i0
1
1
C
i 5
0.3i
0.7
5
i
i0
0.47178
13
4.每次试验的成功率为p(0<p<1), 则在3次 重复试验中至少失败一次的概率为_____B
(A)(1－p)3
1
C
0 3
(1
p)0
p3
1
p3
(B)1－p3 (C)3(1－p)
或C
1 3
(1
p)1
p2
C
2 3
(1
p)2
p1
C
3 3
(1
p)3
p0
3 p2 (1 p) 3 p(1 p)2 (1 p)3
3
P(B) P(Bi )P(B | Bi ) i 1 0.36 0.2 0.41 0.6 0.141 0.458 8
三、 当系统中某一危险情况C发生时,电路开关 以0.96的概率闭合并发出警报.为此,工程上通常 采用并联两个或多个开关来改善系统可靠性: 当系统中危险情况C发生时, 并联电路中的每个 开关都以0.96的概率闭合;如果并联电路中至少 有一个开关发生闭合,则系统就会发出警报. 设各个开关闭合与否都是相互独立的 1)求两个开关并联时系统的可靠性 2) (即电路一定闭合的概率) (2)如果需要有一个可靠性至少为0.9999的系统, 则需并联多少开关?
(D)(1－p)3+p(1－p)2+p2(1－p)
5
二、 甲、乙、丙三人同时向某飞机射击. 设击中的概率分别是0.4、0.5和0.7. 如果 只有一人击中,则飞机被击落的概率为0.2; 如果有两人击中, 则飞机被击落的概率为 0.6; 如果三人都击中,则飞机一定被击落. 求飞机被击落的概率

第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。

)!(!!n m n m C n m -=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。

例1．1：方程xx x C C C 76510711=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。

(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。

例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法A．120种B．140种 C．160种D．180种(4)一些常见排列①特殊排列②相邻③彼此隔开④顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？①3个舞蹈节目排在一起；②3个舞蹈节目彼此隔开；③3个舞蹈节目先后顺序一定。

例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？①重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？②对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？③ 顺序问题例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序） 例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序） 例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

概率论09-10第一学期（36课时）一、填空题(每题4分, 共20分)1.设事件A , B 是互不相容的, P (A )=0.5, P (B )=0.3,则)(B A P =_____2.已知P (A )=P (B )=P (C )=2/5, P (AB )=0, P (AC )=P (BC )=1/6,则事件A , B , C 至少有一个发生的概率为_____3.已知随机变量X 的分布函数为F (x )=π121+arctan x ,则P {0≤X ≤3}=_____ 4.设随机变量ξ服从(-1/2, 1/2)上的均匀分布,则η=tan2ξ的数学期望为_____5.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且E [(X -1)(X -2)]=1, 则D (X )=_____二、选择题(每题3分, 共15分)1.设A , B , C 为三事件,则A , B , C 恰有一个发生的是_____(A)A ∪B ∪C (B)ABC (C)C B A C B A C B A (D) C B A C B A C B A2.P {X =k }=kc )32( (k =1,2,3,⋅⋅⋅)是某随机变量的分布律,则C =_____(A)2 (B)1/2 (C)1 (D)3/23.设随机变量X 服从正态分布N (μ, σ2),则随着σ 的增大,概率P {|X -μ|<σ}_____(A)单调增大 (B)单调减少 (C)保持不变 (D)增减不定 2.设随机变量ξ1,ξ2,...,ξ 10独立,且E (ξi )=a ,D (ξi )=b ,i =1,2,...,10,记η=∑=101101i i ξ,则_____ (A) E (η)=a , D (η)=b (B) E (η)=a , D (η)=0.1b (C) E (η)=0.1a , D (η)=b (D) E (η)=0.1a , D (η)=0.1b5.设随机变量X 1,X 2独立同分布,均服从正态分布X ~N (1,2),下列随机变量中方差最小的是_____ (A))(2121X X + (B)214341X X + (C) X 2 (D) 213132X X + 三、求下列概率密度1.设连续型随机变量X 的概率密度为f (x )=⎩⎨⎧>-其他,00 ,x e x ,试求Y =X 2的概率密度. (12分) 2. 设随机变量X ,Y 独立同分布,且X 的概率密度为f (x )=⎩⎨⎧≤>-0,00 ,x x e x ,试求Z =2Y X +的概率密度. (11分)四、计算题1.设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎩⎨⎧<<+其他 ,020 ,1x kx ,求(1)k 值; (2)P {1<X <2}. (10分) 2.设随机变量X 和Y 相互独立同分布, X 的概率密度为f (x )=⎩⎨⎧≤≤其他 ,010 ,32x x ,求P {X +Y ≤1}. (10分)五、解答题及应用题1.设X 的概率密度为f (x ,θ)=⎩⎨⎧<≥--θθθx x e x ,0 ,)(,求X 的数学期望. (11分)2.随机地向半圆0≤y ≤24x -内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比,求该点和原点的连线与y 轴的夹角小于π/3的概率. (11分)一、1.0.3 2.13/15 3.1/3 4.0 5.1 二、1.D 2.B 3.C 4.B 5.A 三、1.当y ≤0时, F Y (y )=0当y >0时, F Y (y )=P {Y ≤y }=P {X 2≤y }=P {0<X ≤y }=dx e yx ⎰-0 ⇒f Y (y )=⎪⎩⎪⎨⎧≤>-0,00 ,2y y y e y2.F Z (z )=2(Y X P +≤z )=P {X +Y ≤2z }=dxdy y x f z y x ⎰⎰≤+2),(当z <0⇒F Z (z )=0当z ≥0⇒F Z (z )=dy e dx e dxdy e e x z y z x D y x ⎰⎰⎰⎰-----=⋅2020=dx e e zx x z ⎰-+--202)1( =1-e -2z -2ze -2z则 f Z (z )=⎩⎨⎧<≥-0,00 ,42z z ze z 四、1.(1)dx kx ⎰+20)1( =2k +2=1⇒k =21- (2)P {1<X <2}=dx x ⎰+-21)121( =41 2.P {X +Y ≤1}=dxdy y x f y x ⎰⎰≤+1),(=dy y x dx x ⎰⎰-1022109=1/20五、1. E (X )=dx xe x ⎰+∞--θθ)( =1+θ2.令Ω={(x ,y ): 0≤y ≤24x -}A ={点和原点的连线与y 轴的夹角小于π/3}∩ΩP (A )=ΩS S A =ππ234=32。

称这种试验为等可能概型(或古典概型)。
*
例1：一袋中有8个球，其中3个为红球，5个为黄球，设摸到每一球的可能性相等，从袋中不放回摸两球， 记A={恰是一红一黄}，求P(A)． 解：
（注：当L>m或L<0时，记 ）
例2：有N件产品，其中D件是次品，从中不放 回的取n件， 记Ak＝{恰有k件次品}，求P(Ak)． 解：
*
第四章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差及相关系数 4.4 矩、协方差矩阵 第五章 大数定律和中心极限定理 5.1 大数定律 5.2 中心极限定理 第六章 数理统计的基本概念 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布
*
第七章 参数估计 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计 第八章 假设检验 8.1 假设检验 8.2 正态总体均值的假设检验 8.3 正态总体方差的假设检验 8.4 置信区间与假设检验之间的关系 8.5 样本容量的选取 8.6 分布拟合检验 8.7 秩和检验 第九章 方差分析及回归分析 9.1 单因素试验的方差分析 9.2 双因素试验的方差分析 9.3 一元线性回归 9.4 多元线性回归
解： 设 Ai={ 这人第i次通过考核 }，i=1,2,3 A={ 这人通过考核 }，
亦可：
*
例：从52张牌中任取2张，采用(1)放回抽样，（2）不放 回抽样，求恰是“一红一黑”的概率。
利用乘法公式
与 不相容
（1）若为放回抽样：
（2）若为不放回抽样：
解： 设 Ai={第i次取到红牌}，i=1,2 B={取2张恰是一红一黑}
①
②
①
1 2 N
①
②
1 2 N
……

2020年大学公共课概率论与数理统计必考题及答案（最新版）一、单选题1、对总体的均值和作区间估计，得到置信度为95%的置信区间，意义是指这个区间 (A)平均含总体95%的值 (B)平均含样本95%的值(C)有95%的机会含样本的值 (D)有95%的机会的机会含的值 【答案】D2、对于事件A ，B ，下列命题正确的是 （A ）若A ，B 互不相容，则A 与B 也互不相容。

（B ）若A ，B 相容，那么A 与B 也相容。

（C ）若A ，B 互不相容，且概率都大于零，则A ，B 也相互独立。

（D ）若A ，B 相互独立，那么A 与B 也相互独立。

【答案】D3、设 ()2~,X N μσ，其中μ已知,2σ未知,1234,,,X X X X 为其样本， 下列各项不是统计量的是＿＿＿＿(Ａ)4114i i X X ==∑ (Ｂ)142X X μ+-(Ｃ)42211()i i K X X σ==-∑ (Ｄ)4211()3i i S X X ==-∑【答案】C4、假设随机变量X 的分布函数为F(x),密度函数为f(x).若X 与-X 有相同的分布函数，则下列各式中正确的是 A ）F(x) = F(-x); B) F(x) = - F(-x); C) f (x) = f (-x); D) f (x) = - f (-x). 【答案】C5、1X ,2X 独立,且分布率为 (1,2)i =,那么下列结论正确的是A ）21X X = Ｂ）1}{21==X X P C ）21}{21==X X P Ｄ）以上都不正确【答案】C6、设 ()2~,N ξμσ，其中μ已知，2σ未知，123,,X X X 为其样本， 下列各项不是2~(,)X N μσμμ统计量的是（ ）(A)22212321()X X X σ++ (Ｂ)13X μ+(Ｃ)123max(,,)X X X (D)1231()3X X X ++【答案】A7、总体X ～2(,)N μσ，2σ已知，n ≥ 时，才能使总体均值μ的置信水平为0.95的置信区间长不大于L （A ）152σ/2L （B ）15.36642σ/2L （C ）162σ/2L （D ）16 【答案】B8、下列二无函数中， 可以作为连续型随机变量的联合概率密度。

2020年大学公共课概率论与数理统计必考题及答案（精华版）一、单选题1、设X ～2(,)N μσ,那么当σ增大时，{}P X μσ-<= A ）增大 B ）减少 C ）不变 D ）增减不定。

【答案】C2、服从正态分布，，，是来自总体的一个样本，则服从的分布为___ 。

(A)N (,5/n) (B)N (,4/n) (C)N (/n,5/n) (D)N (/n,4/n) 【答案】B3、设n X X ,,1 是来自总体X 的样本，且μ=EX ，则下列是μ的无偏估计的是（ ）)(A ∑-=111n i i X n )(B ∑=-n i i X n 111 )(C ∑=ni i X n 21 )(D ∑-=-1111n i i X n 【答案】D 4、设为来自正态总体的一个样本，若进行假设检验，当___ __时，一般采用统计量(A) (B)(C)(D)【答案】D5、设12,,,n X X X ⋅⋅⋅是取自总体X 的一个简单样本，则2()E X 的矩估计是（A ）22111()1n i i S X X n ==--∑（B ）22211()n i i S X X n ==-∑（C ）221S X + （D ）222S X + 【答案】D6、设总体X 服从正态分布()212,,,,,n N X X X μσ是来自X 的样本，则2σ的最大似然估计为X 1-=EX 25EX =),,(1n X X X ∑==ni inX X 111-1-1-1-nX X X ,,,21 2(,)N μσX U =220μσσ未知，检验＝220μσσ已知，检验＝20σμμ未知，检验＝20σμμ已知，检验＝（A ）()211n i i X X n =-∑ （B ）()2111n i i X X n =--∑ （C ）211n i i X n =∑ （D ）2X 【答案】A7、在单因子方差分析中，设因子A 有r 个水平，每个水平测得一个容量为的样本，则下列说法正确的是____ _(A)方差分析的目的是检验方差是否相等 (B)方差分析中的假设检验是双边检验(C) 方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异(D) 方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异【答案】D 8、设为来自正态总体的一个样本，若进行假设检验，当__ __时，一般采用统计量(A) (B)(C)(D)【答案】C9、设n X X ,,1 是来自总体X 的样本，且μ=EX ，则下列是μ的无偏估计的是（ ）)(A ∑-=111n i i X n )(B ∑=-n i i X n 111 )(C ∑=ni i X n 21 )(D ∑-=-1111n i i X n 【答案】D10、设X 1,X 2,…X n ，X n+1, …,X n+m 是来自正态总体2(0,)N σ的容量为n+m 的样本，则统计量2121ni i n mi i n m V n =+=+X =X ∑∑服从的分布是(A) (,)F m n (B) (1,1)F n m -- (C) (,)F n m (D)(1,1)F m n -- 【答案】C 二、填空题im 211.()im r e ij i i j S y y ===-∑∑2.1()rA i i i S m y y ==-∑nX X X ,,,21 2(,)N μσX t =220μσσ未知，检验＝220μσσ已知，检验＝20σμμ未知，检验＝20σμμ已知，检验＝1、设总体X ～[]120,,(,,,)n U X X X θ⋅⋅⋅是来自X 的样本，则θ的最大似然估计量是 。

南昌大学概率论07-08第一学期期末考试试卷概率论07-08第一学期一、填空题（每空3分，共15分）1.如果每次试验成功的概率均为p (02.设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量3X +2Y 的方差为______3.同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面向上的概率为_________4.设随机变量X ~B (10, 0.4)，则X 2的数学期望为_________5.设随机变量X 的概率密度为f (x )=)1(12x +π，则2X 的概率密度为_________二、求下列概率（20分）1.箱中有m 件正品，n 件次品，现把产品随机地一件件取出来，求第2次取出的一件产品是正品的概率.（10分）2.在区间(0, 1)中随机地取两个数，试求取得的两数之积小于1/4的概率.（10分）三、计算题（25分）1．已知随机变量X 的概率密度为f (x )=<<+其它 ,010 ,x b ax ，且85}21{=>X P .(1)求a ，b ；(2)计算}2141{≤<="" p="">2.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为?(x ,y )=?>>+-其它 ,000 ,2)2(,y x e y x .求随机变量Z =X +2Y 的分布函数.（10分）四、解答题（30分）1.设随机变量(X ,Y )的联合密度函数为f (x ,y )=>>+-其它,000 ,)43(,y x Ae y x ，求(1)系数A ；(2)X的数学期望.（15分）2.设随机变量X 与Y 相互独立同分布，X 的概率密度为f (x )=??≤≤其它,010 ,32x x ，求}21{≤+Y XP .（15分）五、应用题（10分）一学生金工实习时，用同一台机器连续独立地制造2个同样的零件，第i 个零件时合格品的概率p i =1+i i (i =1,2)，以X 表示2个零件中合格品数，求X 得数学期望.一、1. 1/3 2. 44 3. 3/8 4. 18.4 5.)4(22x +π二、1.)!()!1(n m n m m +-+=m m +2. Ω={(x ,y ): 0<x <1, 0<y <1}, A ={(x ,y ): xy <1/4}∩Ω p =</p> AS S Ω=+1414141dx x=)4ln 1(41+三、1.dx x f ?+∞∞-)(=dx b ax ?+1)(=b a +2=1 }21{>X P =dx b ax ?+121)(=283b a +=85 解得a =1, b =1/2}21{<<="" p="" x="">2141)21(=3272.当z ≤0时, F Z (z )=0当z >0时, F Z (z )=P {Z ≤z }=P {X +2Y ≤z }= dxdyy x zy x ??≤+2),(?=dy edx x z y x z-+-20)2(02=1-e -z-ze -z四、1.dxdy y x f ?+∞∞-+∞∞-),(=1?dy Aedx y x ?+∞+-+∞)43(0=1?A =12 E (X )=dy ex dx y x ?+∞+-+∞)43(012= dx xex+∞-033=1/32.(X ,Y )的联合密度函数为f (x ,y )=≤≤≤≤其它,010,10 ,922y x y x}21{≤+Y X P =dxdy y x f y x ??≤+21),(=dy y x dx x-210222109=12801五、令X i =??个零件部合格第个零件合格第i i ,0 ,1,则X 1~B (1, 1/2), X 2~B (1, 2/3)X = X 1+ X 2 E (X 1)=1/2 E (X 2)=2/3 E (X )= E (X 1)+ E (X 2)=1/2+2/3=7/6 或X =0,1,2 P (X =0)=(1-p 1)(1-p 2)=1/6 P (X =1)=p 1(1-p 2)+(1-p 1)p 2=1/2 P (X =2)=p 1p 2=1/3 E (X )=0?1/6+1?1/2+2?1/3=7/6。

2020年大学基础课概率论与数理统计期末考试卷及答案(精选版)一、单选题1、设X , X ，…,X 是取自总体X 的一个简单样本，则E (X 2)的矩估计是 1 2n,【答案】D2、若X 〜t (n )那么X 2〜【答案】A设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于0,则D (X + 丫-D (X ^+D ^Y )是X 和Y 的不相关的充分必要条件； 、 X - R 、 X - RB) t = ---- J== C) t =S /Vn -1 S / nn2 3S 2 =(A) 1n -1i =1(B) S 2 =1E (X - X )22nii =1(C)S 12+X 2(D)S 2+ X2(A)F (1,n )(B )F (n ,1)(C)殍(n )(D)t (n )3、 A) 不相关的充分条件，但不是必要条件； B) 独立的必要条件，但不是充分条件；D) 独立的充分必要条件 【答案】C4、设某个假设检验问题的拒绝域为W ，且当原假设H0成立时，样本值(XjX,x n )落入亚的概率为0.15,则犯第一类错误的概率为 (A) 0.1(B) 0.15(C) 0.2(D) 0.25【答案】B5、设X , X ，…X 为来自正态总体N (R ,。

2)简单随机样本，X 是样本均值 12 n记 S 2 = -L-Z(X -X )2，S 2 =1Z (X - X )22n ii =1S 2 = -L- Z (X -^)2，3n -1 iS 2 = 1 Z(X -^)2， 4nii =1则服从自由度为n -1的t 分布的随机变量是X - RA) t = ----- =S /- nn -1 1X -RD) t = -------S / nn【答案】BnrX = 1 £x i6、X服从正态分布，EX =T, EX 2 =5, (x i，…,X n )是来自总体x的一个样本，则ni=1服从的分布为o(A)N( —1,5/n) (B)N( —1,4/n) (C)N( —1/n,5/n) (D)N( —1/n,4/n) 【答案】B7、设X〜N(从 e 2),那么当o增大时，尸{X -川＜°} =A)增大B)减少C)不变D)增减不定。

若X，Y相互独立，则 =_______。
3.设随机变量 的分布未知， ,则根据切比雪夫不等式 _______。
4.设总体 , 是取自总体 的样本， 是标准正态分布的上 分为点，若参数 的置信度为 的置信区间为 ，则 __________。
5.设X与Y相互独立,且 ， ,则 的概率密度函数 __________。
（A）如果 互不相容，那么 , 也互不相容
（B）如果 独立，那么 , 也独立
（C）如果 相容，那么 , 也相容
（D）如果 不独立，那么ห้องสมุดไป่ตู้, 有可能独立
4.设 是取自总体 的样本， ， ，若
是 的无偏估计量，则常数 =_____.
（A） （B） （C） （D）
5.设 为总体 的一个样本， 为样本均值，则下列结论中正确的是.
二、单项选择题（每小题 4 分，共 20 分）
得 分
评阅人
1.设每次试验成功的概率为 ，重复进行试验直到第 次才取得 次成功的概率为.
(A) ； (B) ；
(C) ； (D) .
2.设随机变量 的方差 相关系数 则方差 .
(A) 40； (B) 34； (C) 25.6； (D) 17.6
3.对于事件 , 命题是正确的.
的极大似然估计值。（10分）
得 分
评阅人
八、证明题：
设随机变量 与 相互独立同分布， 的概率密度为
求证： .（7分）
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
累分人
签 名
题分
20
20
8
10
10
15
10
7