南昌大学概率论与数理统计2020第一学期

2020年大学基础课概率论与数理统计期末考试题及答案（最新版）一、单选题 1、设()(P Poission λX分布)，且()(1)21E X X --=⎡⎤⎣⎦，则λ=A ）1，B ）2，C ）3，D ）0 【答案】A2、设X ～(1,)p β 12,,,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自X 的样本，那么下列选项中不正确的是 (A)当n 充分大时，近似有X ～(1),p p N p n -⎛⎫⎪⎝⎭(B){}(1),k kn k n P X k C p p -==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅ (C ）{}(1),k k n k n kP X C p p n-==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅ (D ）{}(1),1k kn k i nP X k C p p i n -==-≤≤ 【答案】B3、设X ～2(,)N μσ其中μ已知，2σ未知，123,,X X X 样本，则下列选项中不是统计量的是 A ）123X X X ++ B ）123max{,,}X X X C ）2321i i X σ=∑ D ）1X μ-【答案】C4、掷一颗均匀的骰子600次，那么出现“一点”次数的均值为 A ） 50 B ） 100 C ）120 D ） 150 【答案】B5、 设123,,X X X 相互独立同服从参数3λ=的泊松分布，令1231()3Y X X X =++，则 2()E Y =A ）1.B ）9.C ）10.D ）6. 【答案】C6、设离散型随机变量(,)X Y 的联合分布律为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)1/61/91/181/3X Y P αβ且Y X ,相互独立，则A ） 9/1,9/2==βαB ） 9/2,9/1==βαC ） 6/1,6/1==βαD ） 18/1,15/8==βα 【答案】A7、对于任意两个随机变量X 和Y ，若()()()E XY E X E Y =⋅，则 A ）()()()D XY D X D Y =⋅ B ）()()()D X Y D X D Y +=+ C ）X 和Y 独立 D ）X 和Y 不独立 【答案】B8、假设随机变量X 的分布函数为F(x),密度函数为f(x).若X 与-X 有相同的分布函数，则下列各式中正确的是 A ）F(x) = F(-x); B) F(x) = - F(-x); C) f (x) = f (-x); D) f (x) = - f (-x). 【答案】C9、若X ～()t n 那么2χ～(A ）(1,)F n (B ）(,1)F n (C ）2()n χ (D ）()t n【答案】A10、设总体X 服从正态分布()212,,,,,n N X X X μσ是来自X 的样本，则2σ的最大似然估计为（A ）()211n i i X X n =-∑ （B ）()2111n i i X X n =--∑ （C ）211n i i X n =∑ （D ）2X 【答案】A 二、填空题1、设总体服从正态分布，且未知，设为来自该总体的一个样本，记，则的置信水平为的置信区间公式是 ；若已知，则要使上面这个置信区间长度小于等于0.2，则样本容量n 至少要取__ __。

—南昌大学考试试卷答案—【适用时间：20 13 ～20 14 学年第一学期课程编号：课程名称： J5510N0008 试卷类型：[ A ]卷】试卷编号：概率论与数理统计（II）教 30 教师填写栏试卷说明： 1、本试卷共 6 页。

2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。

开课学院：适用班级：理学院48 学时考试形式：考试时间：闭卷 120 分钟题号题分得分一 24 二 24 三 40 四12 五六七八九十总分累分人 100 签名考生姓名：考生学号：所属班级：考试日期： 1、请考生务必查看试卷中是否有缺页或破损。

如有立即举手报告以便更换。

2、严禁代考，违者双方均开除学籍；严禁舞弊，违者取消学位授予资格；严禁带手机等有储存或传递信息功能的电子设备等入场（包括开卷考试），违者按舞弊处理；不得自备草稿纸。

本人知道考试违纪、作弊的严重性，将严格遵守考场纪律，如若违反则愿意接受学校按有关规定处分！考生签名：第 1 页共 4 页考生填写栏所属学院：所属专业：考生须知考生承诺得分一、填空题：（每空 4 分，共 24 分）评阅人 1. 0.375 2. 2/3 3. 18 4. k Cn（ n 6. 0.967 得分二、单项选择题：（每题 4 分，共 24 分） 1. D 2. B 3. B 4. C 5. A 6. A 得分三、计算题：（每题 10 分，共 40 分） 1. 解：设事件 A={取到的数能被 2 整除}，事件 B={取到的数能被 3 整除}，则有 P 评阅人评阅人所求概率为解：2 2 有 f(x,y=fX(xfY(y，故 X 与 Y 独立第 2 页共 4 页3. 解：设表示第 k 个学生来参加会议的家长数，则 X k (k的分布律为 Xk Pk 0 0.05 1 0.8 2 0.15 易知而，根据同分布中心极限定理随机变量近似服从标准正态分布， 400 0.19 因此解：似然函数令的极大似然第 3 页共 4 页得分四、证明题：（每题 6 分，共 12 分） 1、证明：因为，所以 P ( X 评阅人，因为 X 与 Y 相互独立所以即得证。

n-1 n-1 n《概率论与数理统计》第一学期期末试卷一．判断题（10 分，每题 2 分）1.在古典概型的随机试验中，P( A) = 0 当且仅当A 是不可能事件 ( )2.连续型随机变量的密度函数f (x) 与其分布函数F (x) 相互唯一确定 ( )3.若随机变量X 与Y 独立，且都服从p = 0.1的 (0，1) 分布，则X =Y ( )4.设X 为离散型随机变量, 且存在正数k使得P( X >k ) = 0 ，则X 的数学期望E( X ) 未必存在( )5.在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率不能同时减少 ( )二．选择题（15 分，每题 3 分）1.设每次试验成功的概率为p (0 <p < 1) ，重复进行试验直到第n 次才取得r (1 ≤r ≤n) 次成功的概率为.(a) (c) C r -1 p r (1 -p)n-r ；(b)C r -1 p r -1 (1 -p)n-r +1 ；(d)C r p r (1 -p)n-r ；p r (1 -p)n-r .2.离散型随机变量X 的分布函数为F (x) ，则P( X =xk) = .(ａ) (ｃ) P(xk -1≤X ≤xk) ；(ｂ)P(xk -1<X <xk +1) ；(ｄ)F (xk +1) -F (xk -1) ；F (xk) -F (xk -1) .3.设随机变量X 服从指数分布，则随机变量Y = max ( X , 2003) 的分布函数.(ａ) 是连续函数；(ｂ) 恰好有一个间断点；(ｃ) 是阶梯函数；(ｄ) 至少有两个间断点.4.设随机变量( X , Y ) 的方差D( X ) = 4 , D(Y ) = 1, 相关系数ρXY= 0.6 , 则n ⎩方差 D ( 3X - 2Y ) = .(ａ) 40；(ｂ) 34；(ｃ) 25.6； (ｄ) 17.625. 设( X 1 , X 2 , , X ) 为总体 N( 1, 2 ) 的一个样本， X 为样本均值，则下列结论中正确的是.X - 1 1 n 2(ａ)2 / ~ t ( n ) ；(ｂ)n∑( X i - 1) i =1 ~ F ( n , 1) ；X - 1 1n22(ｃ)2 / n~ N ( 0, 1) ；(ｄ)∑( X i- 1) i =1~ χ ( n ) .二. 填空题（28 分，每题 4 分）1. 一批电子元件共有 100 个, 次品率为 0.05. 连续两次不放回地从中任取一个, 则第二次才取到正品的概率为2. 设连续随机变量的密度函数为 f (x ) ，则随机变量Y = 3e X 的概率密度函数为 f Y ( y ) =3. 设 X 为总体 X ~ N ( 3 , 4) 中抽取的样本( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 )的均值, 则P (-1 < X < 5) ＝.4. 设二维随机变量( X , Y ) 的联合密度函数为⎧1, y < x , 0 < x < 1;f (x , y ) = ⎨ 0 , 其 他则条件密度函数为,当时 , f Y X ( y x ) =5. 设 X ~ t ( m ) ,则随机变量Y = X 2 服从的分布为( 需写出自由度 )6. 设某种保险丝熔化时间 X 样本均值和方差分别为 X ~ N (μ, σ2 ) （单位：秒），取n = 16 的样本，得 = 15, S 2 = 0.36 ，则μ的置信度为 95%的单侧 置信区间上限为7. 设 X 的分布律为4 41 2X 1 2 3 Pθ22θ(1 -θ)(1 -θ)2已知一个样本值(x 1 , x 2 , x 3 ) = ( 1, 2 , 1) ，则参数的极大似然估计值为三. 计算题（40 分，每题 8 分）1. 已知一批产品中 96 %是合格品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是 0.02；一次品被误认为是合格品的概率是 0.05．求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率2. 设随机变量 X 与Y 相互独立， X ， Y 分别服从参数为λ,μ(λ≠ μ) 的指数分布，试求Z = 3X + 2Y 的密度函数 f Z (z ) .3. 某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为λ= 1的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（52 周）售出该商品件数在 50 件到 70 件之间的概率.4. 总体 X ~ N (μ,σ2 ) ， ( X , X , , X n ) 为总体 X 的一个样本.求常数 k , 使k ∑ i =1X i - X 为σ 的无偏估计量.5．（1） 根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力 X ~ N (μ, σ2 )（单位：kg）. 已知σ = 8 kg ， 现从该厂生产的一大批特种金属丝中随机抽取 10 个样品，测得样本均值 x = 575.2 kg . 问这批特种金属丝的平均折断力可否认为是 570 kg ？ （ α= 5 % ）（2） 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布 N (μ, 0.0482 ) . 某日抽取5 个样品，测得其纤度为:1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 .问 这天的纤度的总体方差是否正常？试用 α= 10 % 作假设检验.四. 证明题（7 分）nY设随机变量 X ,Y , Z 相互独立且服从同一贝努利分布 B (1, p ) . 试证明随机变量 X + Y 与Z 相互独立.附表： 标准正态分布数值表χ2 分布数值表t 分布数值表参 考 答 案一. 判断题（10 分，每题 2 分）是 非 非 非 是 .二. 选择题（15 分，每题 3 分） （ａ）（ｄ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）.三. 填空题（28 分，每题 4 分）1.1/22 ；2. ⎧ 1 f ( y ) = ⎨ y ⎩f [ln(y / 3)]) 0 y > 0 y ≤ 0 ； 3.0.9772 ； ⎧1/(2x ) - x < y < x4. 当0 < x < 1 时 f Y X ( y x ) = ⎨ ；⎩ 0其 他5. F (1, m )6. 上限为 15.263 .7. 5 / 6 .四. 计算题（40 分，每题 8 分） 1. A被查后认为是合格品的事件， B抽查的产品为合格品的事件. (2 分)P ( A ) = P (B )P ( A B ) + P (B )P ( A B ) = 0.96 ⨯ 0.98 + 0.04 ⨯ 0.05 = 0.9428 ， (4 分)P (B A ) = P (B )P ( A B ) / P ( A ) = 0.9408/ 0.9428 = 0.998.(2 分)⎧ λe- λx2.f X (x ) = ⎨x > 0 ⎧ μe - μy f Y ( y ) = ⎨ y > 0(1 分)⎩ 0其他⎩ 0其他z ≤ 0 时， F Z (z ) = 0 ，从而 f Z (z ) = 0 ；(1 分)t 0.025 (15) = 2.1315 t 0.05 (15) = 1.7531 t 0.025 (16) = 2.1199 t 0.05 (16) = 1.7459(5) = 1.145 0.95 χ2(5) = 11.071 0.05 χ2(4) = 0.711 0.95 χ2(4) = 9.488 0.05 χ2Φ(0.28) = 0.6103Φ(1.96) = 0.975Φ(2.0) = 0.9772Φ(2.5) = 0.9938+∞ 2⎰-∞ ⎨ ⎨ ∑ | z ZZ z ≤ 0 时， f Z (z ) =1f X (x ) f Y [(z - 3x ) / 2]dx(2 分)= 1 z / 3λμe -λx -μ[( z - x ) / 2] dx =λμ(e -λz / 3 - e -μz / 2 )(2 分)2 ⎰3μ- 2λ所以⎧ λμ(e -λz / 3 - e -μz / 2 ),z > 0f (z ) = ⎪3μ- 2λ [⎩⎪ 0, ⎧ λμ(e-λz / 2- e-μz / 3),z ≤ 0z > 0f (z ) = ⎪ 2μ- 3λ](2 分)⎩⎪ 0,z ≤ 03. 设 X i 为第 i 周的销售量, i = 1, 2 , , 52X i ~ P (1 )(1 分)则一年的销售量为 52Y =X i， E (Y ) = 52 ,i =1D (Y ) = 52 .(2 分)由独立同分布的中心极限定理，所求概率为⎛ - 2 Y - 52 18 ⎫ ⎛ 18 ⎫ ⎛ 2 ⎫(4 分)P (50 < Y < 70) = P < 52 < ⎪ ≈ Φ 52 52 ⎪ + Φ 52 ⎪ - 152 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭= Φ(2.50) + Φ(0.28) - 1 = 0.9938 + 0.6103 - 1 = 0.6041.(1 分)4. 注意到X - X =1(- X in1 - X2 + (n -1) X i - - X n )E ( X i - X ) = 0 , ⎛D ( X n - 1 - X ) = n - 1σ2i n2 ⎫(2分) X i - X ~ N 0, σ ⎪ ⎝ n ⎭ - z 2 n -1 2(1分)E (| X - X |) = ⎰ 2 σn dz -∞= 2⎰ - z 2 2 n -1σ2e n dz (3分)⎛ n⎫ ⎛ n ⎫ 令E k ∑| X i - X |⎪ = k ∑E | X i - X |⎪σ⎝ i =1 ⎭ ⎝ i =1 ⎭+∞ i +∞σ/ nX 0 1 PqpX + Y 0 1 2Pq 22 pqp 20 0 1 1σ 22 0 0 5. (1) 要检验的假设为检验用的统计量 H 0 : μ= 570 , U =X - μ0H 1 : μ≠ 570~ N ( 0,1) ， (1 分)拒绝域为U ≥ z α(n -1) = z 0.025 = 1.96 .(2 分)2U 0 = 0.65= 2.06 > 1.96 ，落在拒绝域内，故拒绝原假设 H 0 ，即不能认为平均折断力为 570 kg .571 - 569.2[ U 0 == 0.2 = 0.632 < 1.96 , 落在拒绝域外，故接受原假设 H 0 ，即可以认为平均折断力为 571 kg . ] (1 分)(2) 要检验的假设为H :σ2 = 0.0482 , [ H :σ2 = 0.792 , H :σ2 ≠ 0.0482H :σ2 ≠ 0.792] (1 分)5∑( X i -X ) 2检验用的统计量 χ2= i =1~ χ2 (n - 1) ，拒绝域为χ2 > χ2 (n - 1) = χ2(4) = 9.488 或α0.05χ2 < χ2 (n -1) = χ2(4) = 0.711(2 分)x = 1.41 1-α[ x = 1.49 ]0.95χ2 = 0.0362 / 0.0023 = 15.739 > 9.488 ,落在拒绝域内，[ χ2= 0.0538 / 0.6241 = 0.086 < 0.711 ,落在拒绝域内，]故拒绝原假设 H 0 ，即认为该天的纤度的总体方差不正常 .(1 分)五、证明题 (7 分)由题设知(2 分)P ( X + Y = 0 , Z = 0) = q 3 = P ( X + Y = 0)P (Z = 0) ； P ( X + Y = 0 , Z = 1) = pq 2 = P ( X + Y = 0)P (Z = 1) ； P ( X + Y = 1, Z = 0) = 2 pq 2 = P ( X + Y = 1)P (Z = 0) ；10 10P( X +Y = 1, Z = 1) = 2 pq 2 =P( X +Y = 1)P(Z = 1) ；P( X +Y = 2 , Z = 0) =pq 2 =P( X +Y = 2)P(Z = 0) ；P( X +Y = 2 , Z = 1) =p 3 =P( X +Y = 2)P(Z = 1) .所以X +Y 与Z 相互独立. (5 分)。

南昌大学 2010～2011学年第一学期期中考试试卷
考试科目：概率论与数理统计
姓名：学号：班级：
计算题（每题20分，共100分）
1、对一个三人学习小组考虑生日问题：
(1) 求三个人中恰有二人的生日在星期天的概率；
(2) 求三个人中至多有一人的生日在星期天的概率；
(3) 求三个人的生日不都在星期天的概率。

2、r个人互相传球，每传一次时，传球者等可能地传给其余1
r个人中之一，
试求第n次传球时，此球由最初发球者传出的概率
p（发球那一次算作第0次）。

n
3、两台机床加工同样的零件 ，第一台出现废品的概率为 0.05 ，第二台出现废品的概率为0.02 ，加工的零件混放在一起 ，若第一台车床与第二台车床加工的零件数为5 : 4，求
( 1 ) 任意地从这些零件中取出一个为合格品的概率 ；
( 2 ) 若已知取出的一个零件为合格品 ，那么，它是由哪台机床生产的可能性较大？
.)3()2
1,21()2()1(,01,1)(42的分布函数内的概率；落在区间；系数求：其他
的密度函数为连续型随机变量、X X A x x A x f X -⎪⎩⎪⎨⎧<-=)(e ,0,
00e )(5y f Y x x x f X Y X x X 的概率密度求随机变量，概率密度为、设随机变量=⎩⎨⎧<≥=-。

2020年大学必修课概率论与数理统计必考题及答案（完整版）一、单选题1、设X ～(1,)p β 12,,,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自X 的样本，那么下列选项中不正确的是 (A)当n 充分大时，近似有X ～(1),p p N p n -⎛⎫⎪⎝⎭(B){}(1),k kn k n P X k C p p -==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅ (C ）{}(1),k k n k n kP X C p p n-==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅ (D ）{}(1),1k kn k i nP X k C p p i n -==-≤≤ 【答案】B2、设总体X 服从正态分布()212,,,,,n N X X X μσ是来自X 的样本，则2σ的最大似然估计为（A ）()211n i i X X n =-∑ （B ）()2111n i i X X n =--∑ （C ）211n i i X n =∑ （D ）2X 【答案】A3、1621,,,X X X 是来自总体），10(N ~X 的一部分样本，设：216292821X X Y X X Z ++=++= ，则YZ~（ ） )(A )1,0(N )(B )16(t )(C )16(2χ )(D )8,8(F【答案】D4、在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（ ） (A)在H 0不成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 (B)在H 0不成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 (C)在H 00成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 (D)在H 0成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 【答案】C5、在单因子方差分析中，设因子A 有r 个水平，每个水平测得一个容量为的样本，则下列说法正确的是___ __(A)方差分析的目的是检验方差是否相等 (B)方差分析中的假设检验是双边检验im(C)方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异(D)方差分析中包含了随机误差外,还包含效应间的差异【答案】D6、设X 的密度函数为)(x f ，分布函数为)(x F ，且)()(x f x f -=。

南昌大学2021 学年概率论与数理统计第一学期期末试卷一、单项选择题〔每题3分，总分值24分〕1、设随机变量X 的概率密度为1||,22()40,x x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其它 ,则 =≤<-}11{X P ( )。

(A) 0.75 , (B) 0.5 , (C) 0.25 , (D) 0 。

2、随机变量X 的分布函数为x b a x F arctan )(+=,+∞<<∞-x , 假设实数c 满足1{}6P X c >=，则c =〔 〕。

〔A3； 〔B〔C 〕1； 〔D 〕3π。

3、设随机变量),(~2σμN X ,则4(||)E X μ-=〔 〕。

(A) 43σ； (B) 44σ； (C) 45σ； (D) 46σ。

4、设B A ,为任意两事件,则以下关系成立的是( ).(A) A B B A =+-)(； (B) ()A B A B A +-= ;(C) A B B A =-+)(; (D) ()()A B A B B A A B -++-=+ 。

5、一盒内装有5个红球和15个白球,从中不放回取10次,每次取一个球, 则第5次取球时得到的是红球的概率是〔 〕。

〔A 〕15； 〔B 〕14； 〔C 〕13；〔D 〕12。

6、设每次试验成功的概率为p )10(<<p ,则在5次重复试验中至少失败 一次的概率为〔 〕。

(A) 51p -, (B) 4(1)p p -, (C) 5(1)p -, (D) 145(1)C p p -。

7、设二维随机变量221(,)~(1,2;2,3;)2X Y N -,则=+-)12(Y X D ( )。

(A) 13, (B) 14 , (C) 19 , (D) 37 .8、甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现目标被命中,则它是甲射中的概率为〔 〕。

(A)0.6, (B)116, (C)0.75 , (D)115 。

第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。

)!(!!n m n m C n m -=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。

例1．1：方程xx x C C C 76510711=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。

(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。

例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法A．120种B．140种 C．160种D．180种(4)一些常见排列①特殊排列②相邻③彼此隔开④顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？①3个舞蹈节目排在一起；②3个舞蹈节目彼此隔开；③3个舞蹈节目先后顺序一定。

例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？①重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？②对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？③ 顺序问题例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序） 例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序） 例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。