格林公式习题课

§11.3 格林公式及其应用授课次序69教 学 基 本 指 标教学课题 §11.3 格林公式及其应用 教学方法 当堂讲授，辅以多媒体教学 教学重点 格林公式及其应用教学难点 各种不同情况下的计算 参考教材 同济大学编《高等数学（第6版）》 自编教材《高等数学习题课教程》作业布置 《高等数学》标准化作业双语教学 微分 ：differential calculus ；全微分：total differential ；偏微分：partial differential ；积分：integral ；重积分：multiple integral ；二重积分：double integral ；三重积分：threefold integral课堂教学目标1． 掌握格林公式；2． 会运用平面曲线积分与路径无关的条件； 3． 会求全微分的原函数。

教学过程 1．格林公式（45min ）；2．平面曲线积分与路径无关的条件（20min ）； 3．全微分的原函数（25min ）教 学 基 本 内 容§11.3 格林公式及其应用一、格林公式单连通与复连通区域:设D 为平面区域,如果D 内任一闭曲线所围的部分都属于D ,则称D 为平面单连通区域,否则称为复连通区域.对平面区域D 的边界曲线L , 我们规定L 的正向如下: 当观察者沿L 的这个方向行走时,D 内在他近处的那一部分总在他的左边.区域D 的边界曲线L 的方向:定理1设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成,函数P (x ,y )及Q (x ,y )在D 上具有一阶连续偏导数,则有⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂L DQdy Pdx dxdy yPx Q )(,其中L 是D 的取正向的边界曲线.简要证明:备注栏仅就D 即是X －型又是Y －型的情形进行证明. 设D ={(x ,y )|ϕ1(x )≤y ≤ϕ2(x ),a ≤x ≤b }.因为yP ∂∂连续,所以由二重积分的计算法有 dx x x P x x P dx dy y y x P dxdy y P b ax x b a D)]}(,[)](,[{}),({12)()(21ϕϕϕϕ-=∂∂=∂∂⎰⎰⎰⎰⎰.另一方面,由对坐标的曲线积分的性质及计算法有⎰⎰⎰⎰⎰+=+=abb aL L Ldx x x P dx x x P Pdx Pdx Pdx )](,[)](,[2121ϕϕdx x x P x x P ba )]}(,[)](,[{21ϕϕ-=⎰.因此⎰⎰⎰=∂∂-L DPdx dxdy yP .设D ={(x ,y )|ψ1(y )≤x ≤ψ2(y ),c ≤y ≤d }.类似地可证⎰⎰⎰=∂∂L DQdx dxdy x Q.由于D 即是X －型的又是Y －型的,所以以上两式同时成立,两式合并即得⎰⎰⎰+=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂L D Qdy Pdx dxdy y P x Q . 应注意的问题:对复连通区域D ,格林公式右端应包括沿区域D 的全部边界的曲线积分,且边界的方向对区域D 来说都是正向.设区域D 的边界曲线为L , 取P =-y ,Q =x ,则由格林公式得⎰⎰⎰-=L Dydx xdy dxdy 2, 或⎰⎰⎰-==LDydx xdy dxdy A 21.例1.椭圆x =a cos θ,y =b sin θ所围成图形的面积A . 分析:只要1=∂∂-∂∂y P x Q , 就有A dxdy dxdy yP x QDD==∂∂-∂∂⎰⎰⎰⎰)(. 解:设D 是由椭圆x =a cos θ,y =b sin θ所围成的区域. 令y P 21-=,x Q 21=, 则12121=+=∂∂-∂∂y P x Q .于是由格林公式,例2 设L 是任意一条分段光滑的闭曲线,证明⎰=+L dy x xydx 022.证:令P =2xy ,Q =x 2,则022=-=∂∂-∂∂x x yPx Q . 因此,由格林公式有0022=±=+⎰⎰⎰dxdy dy x xydx DL . (为什么二重积分前有“±”号？ )3.计算⎰⎰-Dy dxdy e 2,其中D 是以O (0, 0),A (1, 1),B (0, 1)为顶点的三角形闭区域.分析: 要使2y e yP x Q -=∂∂-∂∂,只需P =0,2y xe Q -=.解:令P =0,2y xe Q -=,则2y e yP x Q -=∂∂-∂∂. 因此,由格林公式有⎰⎰⎰++--=BOAB OA y Dy dy xe dxdy e 22)1(2111022----===⎰⎰e dx xe dy xe x OAy . 例4计算⎰+-L y x ydxxdy 22,其中L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L 的方向为逆时针方向.解: 令22y x y P +-=,22y x x Q +=.则当x 2+y 2≠0时,有yP y x x y x Q ∂∂=+-=∂∂22222)(. 记L 所围成的闭区域为D . 当(0, 0)∉D 时,由格林公式得022=+-⎰L y x ydx xdy ;当(0, 0)∈D 时, 在D 内取一圆周l :x 2+y 2=r 2(r >0). 由L 及l 围成了一个复连通区域D 1,应用格林公式得02222=+--+-⎰⎰l L y x ydxxdy y x ydx xdy ,其中l 的方向取逆时针方向.于是⎰⎰+-=+-l L y x ydxxdy y x ydx xdy 2222⎰+=πθθθ2022222sin cos d r r r =2π.二、平面上曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关:设G 是一个开区域,P (x ,y )、Q (x ,y )在区域G 内具有一阶连续偏导数.如果对于G 内任意指定的两个点A 、B 以及G 内 从点A 到点B 的任意两条曲线L 1、L 2,等式⎰⎰+=+21L L Qdy Pdx Qdy Pdx恒成立,就说曲线积分⎰+L Qdy Pdx 在G 内与路径无关,否则说与路径有关.设曲线积分⎰+L Qdy Pdx 在G 内与路径无关,L1和L 2是G 内任意两条从点A 到点B 的曲线,则有⎰⎰+=+21L L Qdy Pdx Qdy Pdx ,因为⎰⎰+=+21L L Qdy Pdx Qdy Pdx ⇔021=+-+⎰⎰L L Qdy Pdx Qdy Pdx⇔021=+++⎰⎰-LL Qdy Pdx Qdy Pdx ⇔0)(21=+⎰-+L L Qdy Pdx ,在L 所围成的区域内时, 结论未必成立. 三、二元函数的全微分求积曲线积分在G 内与路径无关, 表明曲线积分的值只与起点从点(x 0,y 0)与终点(x ,y )有关. 如果⎰+LQdy Pdx 与路径无关,则把它记为⎰+),(),(00y x y x Qdy Pdx即⎰⎰+=+),(),(00y x y x L Qdy Pdx Qdy Pdx .若起点(x 0,y 0)为G 内的一定点,终点(x ,y )为G 内的动点,则u (x ,y )⎰+=),(),(0y x y x Qdy Pdx为G 内的的函数.二元函数u (x ,y )的全微分为du (x ,y )=u x (x ,y )dx +u y (x ,y )dy .表达式P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy 与函数的全微分有相同的结构,但它未必就是某个函数的全微分.那么在什么条件下表达式P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy 是某个二元函数u (x ,y )的全微分呢？当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？定理 3 设开区域G 是一个单连通域,函数P (x ,y )及Q (x ,y )在G 内具有一阶连续偏导数,则P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy 在G 内为某一函数u (x ,y )的全微分的充分必要条件是等式xQ y P ∂∂=∂∂在G 内恒成立.简要证明:必要性:假设存在某一函数u (x ,y ),使得du =P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy ,则有y x u x u y y P ∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂2)(,xy u y u x x Q ∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂2)(.因为y P y x u ∂∂=∂∂∂2、x Q x y u ∂∂=∂∂∂2连续, 所以xy u y x u ∂∂∂=∂∂∂22,即x Q y P ∂∂=∂∂.充分性:因为在G 内xQ y P ∂∂=∂∂, 所以积分⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(在G 内与路径无关.考虑函数u (x ,y )⎰+=),(),(0),(),(y x y x dy y x Q dx y x P .因为 u (x ,y )⎰+=),(),(0),(),(y x y x dy y x Q dx y x P ⎰⎰+=xx y y dx y x P dy y x Q 0),(),(0,所以),(),(),(000y x P dx y x P x dy y x Q x x u x x y y =∂∂+∂∂=∂∂⎰⎰.类似地有),(y x Q yu =∂∂,从而du =P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy .即P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy 是某一函数的全微分. 求原函数的公式:⎰+=),(),(0),(),(),(y x y x dy y x Q dx y x P y x u ,⎰⎰+=y y xx dy y x Q dx y x P y x u 0),(),(),(0,⎰⎰+=xx y y dx y x P dy y x Q y x u 0),(),(),(0.例6 验证:22yx ydxxdy +-在右半平面(x >0)内是某个函数的全微分,并求出一个这样的函数. 解: 这里22y x y P +-=,22y x x Q +=.。