21.2.3因式分解法课件_图文.ppt

即
10x－4.9x2＝0.
①
请你试着用配方法或公式法解方程①.
配方法解方程 10x - 4.9x2 = 0
解： x2 100 x 0， 49
x2
100 49
x
50 49
2
0
50 49
2
x
50 49
2
50 49
2
，
x 50 50，
49 49
x1
100 ， 49
x2 0.
概 念 将方程左边因式分解，右边= 0.
因
式 分 依据
如果 a ·b = 0，那么 a = 0 或 b = 0.
解
法
步 骤 1．移项；2．分解；3．转化；4．求解
谢谢各位同学的观看
基本思路
解 直接开平方
一
法
元
二 配方法
次 方 公式法
程
的 方
因式分解法
法
将二次方程化为一次方程，即降次
用平方根的意义直接进行降次
适用于部分一 元二次方程先配方，再用直接开平方法降次适用于全部一
直接利用求根公式
元二次方程
先使方程一边化为两个一次因
式乘积的形式，另一边为0， 适用于部分一
根据“若 ab = 0，
4
x1
4
3 2
2
，
x2
4
3 2
2 .
练习 7 以下是圆圆解方程 (x 3)2 2(x 3) 的具体过程： 方程两边同时除以 (x 3) ，得 x 3 2，移项，得 x 5，问 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解 答过程.
解：圆圆的解答过程有错误. 正确的解答过程：移项，得 (x 3)2 2(x 3) 0 ， (x 3)(x 3 2) 0 ， x3 0或 x5 0， x1 3 ， x2 5 .

x 0或x 3 0.
x1 0, x2 3. 这个数是0或3.
小亮做得对吗?
x 2 3x.
小明是这样解的 : 【解析】方程x 2 3x,
两边都同时约去x, 得. x 3.
这个数是3.
小明做得对吗?
快速回答：下列各方程的根分别是多少？
AB=0A=0或Ｂ＝０
（1） x2+x=0 解： 因式分解，得
x ( x+1 ) = 0. 则有 x = 0 或 x + 1 =0， x1=0 , x2=－1.
3 x 0
x x 2 3 0.
则有x 0或x 2 3 0，


x1 0, x2 2 3.
3x2 6x 3, 4x2 121 0 3 4
3 x 2 x 1 4 x 2 5
因式分解，得
6 x 4 5 2 x
2
2
解：变形有
( x －4 ) 2 － ( 5 － 2x )2=0.
因式分解，得
( 3x － 2 )( 2x + 1 ) = 0.
则有 3x － 2 = 0 或 2x + 1 = 0， ( x － 4 － 5 + 2x )( x － 4 + 5 －2x ) = 0. 2 1
a 2ab b a b
2 2 2
（3）十字相乘法: x2+(p+q)x+pq= (x+p)(x+q).
x 2 +5x+6
x -7x+12
2
问题
根据物理学规律，如果把一个物体从 地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物 体离地面的高度（单位：m）为

1
2
3
4
5
因为 x2-5x-6=0,即(x+1)(x-6)=0, 所以 x+1=0 或 x-6=0. 所以 x1=-1,x2=6.故选 A. A
关闭
解析 解析
关闭 答案
4.方程 x2-4x=0 的解是
1
2
3
4
5
.
因为 x2-4x=0,即 x(x-4)=0, 所以 x=0 或 x-4=0.所以 x1=0,x2=4. x1=0,x2=4
名师指导“a=0 或 b=0”包含三层意思:(1)a=0,且
b=0;(2)a=0,且 b≠0;(3)a≠0,且 b=0.
2.因式分解法 先因式分解,使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式,再使这两个 一次式分别等于 0,从而实现降次,这种解一元二次方程的方法叫做因式分 解法.
课标要求 知识梳理
关闭
解析 解析
关闭 答案
5.解方程 x(x-2)=x.
1
2
3
4
5
解:因为原方程可化为 x(x-2)-x=0, 所以 x(x-2-1)=0.所以 x=0 或 x-3=0. 所以 x1=0,x2=3.
关闭
解析
答案
1.方程(x-1)(x+2)=0 的两根分别为( )
A.x1=-1,x2=2 C.x1=-1,x2=-2
B.x1=1,x2=2 D.x1=1,x2=-2
1
2
3
4
5
由(x-1)(x+2)=0,得 x-1=0 或 x+2=0.故 x1=1,x2=-2,应选 D.
D
解析
关闭
关闭 答案
2.方程 x(x-2)+x-2=0 的解是( )

( + )( − )
−
( − )( + )
情境引入
对于方程 − = ，除了可以用配方法或公式法求
解，还可以怎样求解呢？
观察和分析小亮的解法，你认为他的解法有没有道理？
小亮的思考及解法
解一元二次方程的关键是将它转化为一元一次方程，因此，
可将方程的左边分解因式.于是，得( − ) = .
那么这两个因式中至少有一个等于0;
（3）用因式分解法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边
化为0;②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式；
（4）解一元二次方程时，如果能用因式分解法进行解题，那么它是
首选.
知识点2：换元法解一元二次方程（难点）
1. 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使
0,解得y₁=2,y₂=-1(不合题意,舍去),∴|x|=2,∴x₁=2,x₂=-2.
变式：已知(x+y-3) (x+y+4)=-10, 求x+y的值.
解：整理，得( − ) = ，
直接开平方，得 − = 或 −
= −，
解得 = ， = −.
（） + − = .
解： = , = , = −,
− = + = > ,
所以 =
−±

= − ± ，
21.2.3 因式分解法
1.通过阅读课本 ， 学生会用因式分解法解某些简单的数字系
数的一元二次方程，提高了学生的运算能力．
2.通过学生自主探究利用因式分解的方法解方程，培养学生
分析问题、解决问题的能力，并体会通过“降次”把一元二
次方程转化为两个一元一次方程的转化思想．

(1) 3x2 – 12x = – 12
(1)x1=x2=2
(2) 3x(x-1) = 1-x
1
(2)x1=1,x2=
3
(3) 9(x-1)2 - (3-2x)2=0
(3)x1=-2,x2= 6
(4)
x2–3x+2=0
5
(4)x1=1,x2=2
2.三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程
x2﹣13x+36=0的根，则该三角形的周长为（ A ）
2
回顾复习
1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法?
直接开平方法
x2=a (a≥0)
配方法
(mx+n)2=p (n=p≥0)
公式法
2.什么叫分解因式?
把一个多项式分解成几个整式乘积
的形式叫做分解因式.
回顾与复习
分解因式的方法有那些?
（1）提取公因式法:
am+bm+cm=m(a+b+c).
（2）公式法:
提 示:
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;
2.关键是熟练掌握因式分解的知识;
3.理论依据是“ab=0,则a=0或b=0 ”
合作探究
思考 解方程10x－4.9x2＝0时，二次方程是如何降为一次的？
解方程10x－4.9x2＝0时，不是用开平方降次，而是先因
式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再
针对练习
(5) x2 – 2x – 8 = 0
(6) x2 + x – 12 = 0
解：分解因式得
解：分解因式得
( x – 4 )( x + 2 )=0
( x – 3 )( x + 4 )=0

(3)(3x
2)(2x
1)
0
x1
2 3
,
x2
1 2
(4)x2 x
x1 0, x2 1
例3.解下列方程:
(1)x(x 2) x 2 0;
(2)5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1.将方程右边等于0; 2. 将方程左边因式分解为A×B; 3. 根据“A×B=0,则A=0或B=0”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
1.解下列方程： （1）x2+x=0 ； （2）x2 2 3x 0; （3）3x2-6x=-3 ； （4）4x2-121=0； （5）3x(2x+1)=4x+2 （6）(x-4)2=(5-2x)2.
2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场 地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.
解:设小圆形场地的半径为r.
(r 5)2 2r2 r 10 200 .
r2 10r 25 0
2
负值舍去,r 5 5 2.
练习2：解下列方程：
1) x2 = 3x
2）5(x2 x) 3(x2 x)
3) x2 + 10x – 11 = 0 4) t ( t – 12 ) = 28
5)(y-1)2- 4(y-1)+4=0
6) ( y – 2 )2 – 3 = 0
7)x2 ( 3 5)x 15 0
配方法要先配方,再降次;通过配方法可以推出 求根公式,公式法直接利用求根公式;因式分解法要 先使方程一边为两个一次因式相乘,另一边为0,再分 别使各一次因式等于0.配方法、公式法适用于所有 一元二次方程,因式分解法用于某些一元二次方程. 总之,解一元二次方程的基本思路是:将二次方程化 为一次方程,即降次.

老师：XXX
时间：20XX.4
Trend Design
第二十一章 一元二次方程
前言
学习目标
1.会用因式分解法解一元二次方程。
2.能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解
决问题的多样性。
重点难点
重点：运用因式分解法求解一元二次方程。
难点：灵活应用各种因式分解法解一元二次方程。
回顾
.
课堂测试
2.若代数式3x2+1的值等于76，则x的值为 ±5
.
3.对于方程x2=m-3,若方程有两个不相等的实数根,则
m ＞3 ;若方程有两个相等的实数根，则m =3 ;若方程无
实数根，则m ＜3
.
课堂测试
4.用直接开平方法解下列方程：
⑴2x2-50=0；
⑵4x2+12x+9=1.
解：⑴移项，得2x2= 50 .
子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗?
根据平方根的意义，得x=±5,
60个面 即x1=5, x2=﹣5.
可以验证，x1=5, x2=﹣5，
是方程①的两个根
设正方体的棱长为x dm，
则一个正方体的表面积为6x2 dm2，
10×6x2=1 500
整理，得x2=25
①
因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5 dm
因式分解法解一元二次方程的一般步骤
①移项,使一元二次方程等式右边为0;
②分解，把左边运用因式分解法化为两个一次因式的积;
③赋值，分别令每个因式等于0,得到两个一元一次方程;
④求解，分别解这两个一元一次方程，得到方程的解。
归纳：右化零，左分解，两因式，各求解.
思考
2)解：移项、合并同类项，

4.变形:化成 （x + m）2 = a
分解因式法的条件是方程左边易于分解,而右边等于零,关 键是熟练掌握因式分解的知识,理论依旧是“如果两个因 式的积等于零,那么至少有一个因式等于零。”
因式分解法解一元二次方程的步骤是:
(1)化方程为一般形式；
(2)将方程左边因式分解；
(3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程。
(4)两个一元一次方程的根就是原方程的根。
的方法是如何使二次方程降为一次的？
x(10 - 4.9x ) = 0 ①
x = 0 或 10 - 4.9x = 0, ② 可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不 是用开方降次，而是先因式分解使方程化为两 个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一 次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫 做因式分解法。
实际问题
根据物理学规律，如果把一 个物体从地面 10 m/s 的速度
竖直上抛，那么经过 x s 物体
离地面的高度（单位：m）为
10x-4.9x2
根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？ （精确到 0.01 s）
提示
设物体经过 x s 落回地面，这时 它离地面的高度为 0 ，即
10x-4.9x2=0
例1. 解下列方程： （1）x(x - 2)+ x - 2 = 0
(2)5x2 - 2x - 1 = x2 - 2x + 3
4
4
可以试用 多种方法解 本例中的两
个方程 。
解：（1）因式分解，得 (x－2)(x＋1)=0.
于是得
(2)移项、合并同类项，得
4x2 - 1 = 0
因式分解，得 (2x＋1）(2x－1)=0.
直接开平方法 x2=a (a≥0)

(x + a)
x
+a
(x + b)
x
+b
( x a )( x b)
十字相乘法
初中数学
（三）拓展探索
思考 怎样解方程 x2 − 4x + 3=0？
x
+3
x
x
+1
x
3x + x = 4x
−3
−1
− 3x − x = − 4x
解：因式分解，得
(x − 3)(x − 1)=0.
初中数学
（三）拓展探索
x1 = − 1 + 5，
2 =−1 − 5.
初中数学
（四）巩固应用
1. 用因式分解法解下列方程，正确的是( A )
A. (2x－2)(3x－4)＝0，则2x－2＝0，或3x－4＝0
B. (x＋3)(x－1)＝1， 则x＋3＝1，或x－1＝1
C. (x－2)(x－3)＝2×3，则x－2＝2，或x－3＝3
① x2 =2 3x；
② 9x²－144=0;
③ 4x²+1=4x；
④ x²－7 x+6=0.
2.有一根长20米的长绳，怎样用它围成一个面积为
24m²的矩形？
初中数学
国家中小学课程资源
同学们，再见！
D. x(x＋2)＝0，则x＋2＝0 ，x=0.
初中数学
（四）巩固应用
2.已知x=2是关于x的一元二次方程kx²+(k²﹣2)x+2k+4=0
的一个根，则k的值为
.
解析 把x=2代入kx²+(k²－ 2)x+2k+4=0,
得4k+2k²－4+2k+4=0.

解方程10x-4.9x2=0时，不是用开平方降次，而 是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于 0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现 降次。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
解下列方程： x(x-2)+x-2=0； 解： 分解因式，得 (x-2)(x+1)=0 即 x-2 =0或x+1 =0, x1=2，x2=-1
2
x1 1 2 , x2 1 2
(x-2)(x-4)=0 x1=2，x2=4
x2+2x-35=0； 解：分解因式，得
(x-5)(x+7)=0 x1=5, x2=-7
(x-1)2+2x-3=0； 解：化简，得
x2-2x+1+2x-3=0 x2-2=0 x2 2 x1 2, x2 2
直接开平方法适用于哪种形式的方程？ x2=p 配方法适用于哪种形式的方程？ (mx+n)2=p 公式法适用于哪种形式的方程？ ax2+bx+c=0(a≠0) 因式分解法适用于哪种形式的方程？x2-(m+n)x+mn=0
随堂演练
1.一元二次方程(x-3)(x-5)=0的两根分别为（ D ）
A.3，-5 B.-3，-5 C.-3，5 D.3，5
2.一元二次方程x(x-2)=2-x的根是（ D ）
A.-1
B.2
C.1和2 D.-1和2
3.方程x2-3x+2=0的根是 x1=1, x2=2 .
4. 方程 x2 4 3x 12＝0 的根是 x1 x2 2 3 .
5x2－2x－1 x2 2x 3
4
4
解： 移项、合并同类项得
4x2-1=0
(2x-1)(2x+1)=0